1. Kelompok 5
MAYDINA IZZATUL YAZIDAH
WIDYA APRINIKA SARI
ALMA SUPHIA DEVI
ZAHRATUNNISA
WANDA HIKMAH PERMANA
RELASI DAN FUNGSI
2. PENGERTIAN RELASI
Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B adalah
pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-
anggota B.
Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari ,
kurang dari , setengah dari , faktor dari dan
sebagainya.
3. Contoh :
Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 } . Jika
himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi “ kurang dari “ ,
maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah :
1 .
2 .
3 .
4 .
.1
.2
.3
BA
RELASI”KURANG
DARI”
4. MENYATAKAN RELASI
Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3
cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan
Himpunan pasangan berurutan .
a. Diagram Panah
5. 1
1 2 3 4 5 6 7 98 100
2
3
4
5
6
7
8
9
10
HimpunanB
Himpunan A
DIAGRAM KARTESIUS
Contoh :
Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan
B = { 1, 2, 3, …, 10 }.
Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B dengan
hubungan : “SETENGAH DARI”
6. HIMPUNAN BERURUTAN
Contoh :
Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan
B = { 1, 2, 3, … , 10 } .
Tentukan himpunan pasangan berurutan yang
menyatakan relasi A ke B dengan hubungan :
“KUADRAT DARI”
JAWAB
{ (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }
7. PERHATIKAN…
. 1
. 2
. 3
. 4
. 5
0 .
2 .
4 .
6 .
B
A
Daerah kawan/
kodomain
Daerah asal/
Domain
Daerah hasil/
Range
8. Diagram panah pada gambar di
samping merupakan pemetaan
maka rangenya adalah
a. {a, b, c}
b. {d, e}
c. {a, b, c, d, e}
d. {1, 2, 3, 4}
CONTOH SOAL
9. Misalkan R adalah Relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Sifat yang
mungkin pada R:
1. Refleksif : Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika
(a,a) anggota R untuk setiap a anggota A
Menyatakan bahwa di dalam relasi refleksif setiap elemen di dalam A
berhubungan dengan dirinya sendiri.
2. Simetris : Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika
(a,b) anggota R, maka (b,a) anggota R , untuk a,b anggota A
menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika
(a,b) anggota R sedemikian sehingga (b,a) anggota R
3. Transitif : Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika
(a,b) anggotaR dan (b,c) anggota R, maka (a,c) anggota R untuk semua
a,b,c anggota A
SIFAT-SIFAT RELASI
10. 4. Antisimetris
Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika (a,b)Î R
dan (b,a) Î R maka a = b, untuk semua a,b Î A.
Definisi di atas menyatakan bahwa jika (a,b) Î R, maka (b,a) ÏR
kecuali a = b. Juga menyatakan bahwa relasi R pada himpunan
A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan
b sedemikian sehingga (a,b) Î R dan (b,a) Î R.
5) Ekuivalen
Relasi R disebut ekuivalensi jika dan hanya jika relasi R bersifat
reflektif, simetris, dan transitif.
12. PENGERTIAN FUNGSI
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah
suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A
secara tunggal , dengan elemen pada B
SYARAT RELASI ADALAH FUNGSI :
Semua anggota A memiliki pasangan anggota B
Anggota A hanya memiliki satu pasangan dengan
anggota B
13. Sebuah fungsi f : x y adalah suatu aturan yang
memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan
(daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y
dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain).
Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil /
range fungsi tersebut .
Untuk lebih memahami pengertian diatas
perhatikan contoh berikut :
14. PERHATIKAN...
. 1
. 2
. 3
. 4
. 5
0 .
2 .
4 .
6 .
B
A
Daerah kawan/
kodomain
Daerah asal/
Domain
Daerah hasil/
Range
15. Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa :
1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota A dengan
tepat satu anggota B.
2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah
asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan
{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).
16. Notasi Fungsi
Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan
dengan huruf kecil f , g , h , dan
sebagainya.
Misal :
f : x y dibaca f memetakkan x ke y ,
maka
y = f(x) dibaca sama dengan f dari x
digunakan untuk menunjukkan bahwa y
adalah fungsi dari x .
17. MENYATAKAN FUNGSI
Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan
diagram panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan
berurutan .
Contoh :
Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 }
a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan
pemetaan f yang ditentukan oleh : a 1 ,
i 2 , u 1 , e 4 , o 2 .
b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius
c . Nyatakan pula f sebagai himpunan
pasangan berurutan .
18. 1. DIAGRAM PANAH
. 1
. 2
. 3
. 4
a .
i .
u .
e .
o .
BA
a 1 ,
i 2 ,
u 1 ,
e 4 ,
o 2 .
19. DIAGRAM KARTESIUS
1
a i u e o0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }
• HIMPUNAN BERURUTAN
20. SIFAT KHUSUS FUNGSI
1. Fungsi Injektif (satu-satunya)
Jika setiap anggota A memiliki bayangan berbeda di B
2. Fungsi Surjektif (pada)
Jika setiap anggota B prapeta di A.
3. Fungsi Bijektif (korespondensi satu-satu)
Jika fungsi tsb injektif sekaligus surjektif.
21. Jenis-jenis Fungsi
1) Fungsi konstan (fungsi tetap)
Fungsi konstan adalah fungsi yang dinyatakan dalam
rumus f(x) = c, dengan c suatu konstanta. Grafiknya
jika dilukis dalam suatu sumbu koordinat dimana
domainnya sumbu x merupakan garis yang sejajar
dengan sumbu x.
Fungsi konstan ditulis sebagai:
f: x f(x) = k
22. 2) Fungsi linear
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu
ditentukan oleh
f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan
grafiknya berupa
garis lurus.
3) Fungsi identitas
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap
anggota domain fungsi
berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi
dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas
berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua
titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas
ditentukan oleh f(x) = x.
23. 4) Fungsi kuadrat
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh
f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan
grafiknya berupa parabola.
5) Fungsi tangga (bertingkat)
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk
interval-interval yang sejajar.
6) Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini
memetakan
setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.
7) Fungsi ganjil dan fungsi genap
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan
disebut
fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi
ini
tidak genap dan tidak ganjil.
24. MENGHITUNG NILAI FUNGSI
Untuk menghitung nilai fungsi dapat digunakan rumus :
f (x) = ax + b
Contoh :
1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x 5x -3
Tentukan :
a. Rumus fungsi .
b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .
JAWAB :
a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3
b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3
untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17
x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = -8
Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 dan
x = -1 adalah -8
25. Menentukan bentuk fungsi
Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika
data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier
dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b .
Contoh :
Suatu fungsi ditentukan dengan rumus
f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 .
Tentukan :
a. Nilai a dan b
b. Bentuk fungsinya
26. JAWAB
a. f (x) = ax + b
f (2) = 2a + b = 10 2a + b = 10
f (-4) = -4a + b = -8 -4a + b = -8 -
6a = 18
a = 3
untuk a = 3 2a + b = 10
2 . 3 + b = 10
6 + b = 10
b = 4
Jadi , nilai a = 3 dan b = 4
b. f (x) = ax + b
f (x) = 3x + 4
Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4
