Sekadar perkongsian..

1. FAKULTI PENDIDIKAN DAN BAHASA
SEMESTER SEPTEMBER 2012
HBMT4403
TEACHING MATHEMATICS IN FORM SIX
NAMA PELAJAR : MARSHIZAWATI BINTI RASIP
NO. TELEFON : 0176143324
E-MEL : marshiza@gmail.com
1

2. DISEDIAKAN OLEH:
PN MARSHIZAWATI BINTI RASIP
2

3. Merupakan operasi atau konsep
matematik yang digunakan dalam
kalkulus di mana sesuatu terbitan fungsi
atau pembolehubah ditentukan
Ia juga merupakan songsangan bagi
konsep pengamiran
Nota : Pembezaan 3

4. KONSEP PEMBEZAAN
Pembezaan boleh ditakrifkan sebagai proses
mencari Terbitan Fungsi. Pembezaan boleh
digunakan sebagai alat untuk mengira atau
mengkaji kadar perubahan kuantiti berkenaan
dengan perubahan dalam kuantiti lain. Contoh
yang paling biasa adalah pengiraan halaju dan
pecutan. Halaju diberi oleh v = dx / dt, dimana 'x'
adalah jarak yang diliputi oleh badan yang
bergerak dalam masa 't'.
Nota : Pembezaan
4

5. Definisi :Terbitan
Pengiraan kecerunan garis tangen, kadar serta-merta perubahan fungsi, dan
halaju seketika objek pada semua yang diperlukan untuk mengira had
berikut.
Perubahan kecil notasi had ini juga boleh ditulis sebagai,
Ini adalah apa-apa had yang penting dan ia timbul di banyak tempat maka ia
diberikan nama. Itulah terbitan. Berikut adalah definisi rasmi terbitan.
Terbitan berkenaan dengan x adalah fungsi dan ditakrifkan sebagai,
Nota : Pembezaan 5

6. TERBITAN FUNGSI
Pembezaan Daripada Prinsip Pertama
Terbitan fungsi y = f (x) pada titik (x, f (x)) bersamaan dengan kecerunan garis
tangen kepada graf pada ketika itu. Ia boleh ditakrifkan sebagai:
Di mana 'h' menghampiri sifar sebagai had. Rajah di bawah
menggambarkan konsep ini secara grafik:
Formula terbitan (atas) memberikan kecerunan garis sekan di antara kedua-dua titik.
Ketika nilai 'h' menjadi lebih kecil, kedua-dua titik menjadi lebih dekat dan kecerunan
sekan menghampiri garis tangen kepada lengkung itu pada (x, f (x)):
Nota : Pembezaan(HBMT4403) 6

7. KAEDAH PEMBEZAAN
Jika y = x n maka = n x n-1 , n R
Jika y = f (x) = e x maka = f ' (x) = e x
Jika y = e f(x) maka = e f(x) . f ' (x)
Jika y = ln x maka =
Nota : Pembezaan 7

8. Imbas Kembali: Fungsi terbitan ditakrifkan hanya untuk x positif, bukan untuk x = 0.
Apabila r = 0, peraturan ini menunjukkan bahawa f '(x) adalah sifar untuk x ≠ 0, yang
hampir kepada peraturan malar(seperti yang dinyatakan di bawah).
Fungsi Eksponen dan Logaritma
Fungsi Songsangan
Fungsi Trigonometri Trigonometri
Nota : Pembezaan 8

9. Imbas Kembali Mengenai Petua Pembezaan
Bagi Satu Fungsi Pembolehubah
d =
1) k 0
dx
d n
2) x nx n 1
dx
d =
3) f x g x f x g x
dx
Nota : Pembezaan
9

10. Petua Fungsi Malar
Terbitan bagi fungsi malar adalah bersamaan 0 untuk setiap nilai x
d
1) k 0
dx
Buktikan jika: f(x) k, Maka f(N) k
:
f ( x) f ( N ) k k
f '(N) lim lim 0
x N x N x N x N
f (N ) 0 Maka
f '(x) 0
:
Nota : Pembezaan 10

11. Petua Fungsi Kuasa
d n n 1
2) x nx
dx
Terbitan fungsi xn adalah bersamaan
Jika, f(x) xn,
Maka, f '(x) nx n-1
Contohnya: Jika
x 4 Maka, dy/dx 4x 3
Nota : Pembezaan 11

12. KAEDAH PEMBEZAAN
• Petua Hasil Tambah - Hasil Tolak
• Petua Hasil Darab
• Petua Hasil Bahagi
• Fungsi Gubahan
• Fungsi Mutlak
Nota : Pembezaan
12

13. d
3) f x g x f x g x
dx
Terbitan bagi Hasil Tambah(atau Hasil Tolak) Dua Fungsi
adalah sama denganHasil Tambah (atau Hasil Tolak)
Terbitan bagi Dua Fungsi.
C Q3 4Q 2 10Q 75
dC d 3 d d d
Q 4Q 2 10Q 75
dQ dQ dQ dQ dQ
dC
3Q 2 8Q 10 0
dQ
Nota : Pembezaan 13

14. Petua Hasil Darab
d
4) f xg x g x f x f xg x
dx
Terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan fungsi kedua
didarabkan dengan terbitan hasil tambah fungsi pertama
didarabkan dengan terbitan fungsi kedua
Algoritma Mnemonik:
(2d1 1d2)
Nota : Pembezaan 14

15. Tinjauan Semula Petua-petua Pembezaan Bagi
Fungsi Satu Pembolehubah
Petua Hasil Darab
d
4) f xg x g x f x f xg x
dx
algorithm mnemonic : 2d1 1d2
d
5a) cx c Petua Malar dan Petua Hasil Darab
dx
d
cx x 0 c 1x 0 c
dx
d n Petua Malar , Petua Hasil Darab dan Petua
5b) cx cnxn 1
Kuasa
dx
d n
cx xn 0 c nx n 1
cnxn 1
dx
Nota : Pembezaan 15

16. f x
g x
d f x g x f x f xg x
6) 2
dx g x g x
2d1 - 1d2
Algorithm mnemonic :
22
Nota : Pembezaan 16

17. Untuk membezakan fungsi gubahan kita
menggunakan aturan rantai yang ditulis seperti
berikut;
[ f (g (x)) ] = f ' (g (x)) g' (x) = f ' ( ) . g' (x)
Ini bermaksud membezakan fungsi luar, meninggalkan hujah
fungsi luar sahaja, dan kemudian darabkan dengan terbitan
di dalam fungsi.
Nota : Pembezaan 17

18. Untuk mencari , daripada Fungsi Mutlak yang diberikan, kita perlu menggunakan
Petua rantai dan petua hasil darab
Teknik untuk mencari kita namakan sebagai Fungsi Mutlak
Nota : Pembezaan 18

19. Petua Pembezaan
Melibatkan Fungsi Yang Pembolehubahnya
Berbeza
Nota : Pembezaan 19

20. chain rule w/ one exog. variable
let z f g x
dz dz dy
7) f yg x
dx dy dx
chain rule w/ more than one exog. variable
let z f g x1 ,...,xn
dz dz y
8) dx2. .n 0
dx1 dy x1
Nota : Pembezaan 20

21. Petua Rantaian
Ini adalah kes di mana dua atau lebih fungsi
diterbezakan, yang mana setiap satunya
mempunyai pembolehubah tak bersandar
Dimana, z f(g(x)) i.e.,
,
z f(y) i.e.,
, Z adalah fungsi pembolehubah y dan
y g(x), i.e., Y adalah fungsi pembolehubah x
dz dz dy
7)
dx dy dx
df y df y dg x
f yg x
dx dy dx
Nota : Pembezaan 21

22. Petua Rantaian
Ini adalah kes di mana dua atau lebih fungsi
diterbezakan, yang mana setiap satunya
mempunyai pembolehubah tak bersandar
dz dz dy
7)
dx dy dx
Jika, R f(Q) Dan jika, Q g(L)
dR dR dQ
dL dQ dL
f Q g L
MR MPPL MRPL
Nota : Pembezaan 22

23. Cari dz dx1 , dimana z f(y) dan y g(x1, x 2 ).
Prosedur: Gantikan kebezaan jumlah y ke
dalam z dan bahagikan kepada dx1
Dengan mengandaikan dx 0 2
dz dz y y
1) dz dy 3) dz dx1 dx2
dy dy x1 x2
y y dz dz y
2) dy dx1 dx2 4) dx2 0
x1 x2 dx1 dy x1
Nota : Pembezaan 23

24. y Kecerunan lengkungan, y = f(x), pada
B
titik R atas lengkungan diberi oleh
T
lengkungan tangen di R. Ia juga diberi
R oleh nilai di atas titik R, yang mana
A ia boleh dikira menggunakan
x persamaan lengkungan. Oleh itu, kita
boleh mengira kecerunan tangen bagi
lengkungan pada sebarang titik R
Nota : Pembezaan 24

25. Jika A (x1 , y1) ialah titik pada garisan y = f(x), kecerunan
garis (pada garis lurus) atau kecerunan tangen di atas garis
(lengkungan) nilai apabila x = x1
Kecerunan Tangent pada A (x1 , y1):
= Kecerunan Tangen
Persamaan Tangen: y – y1 = m tangent (x - x1)
Kecerunan Normal pada A (x1 , y1):
m normal = - 1 __
m tangent
Kecerunan normal
Persamaan Normal : y – y1 = = m normal (x - x1)
Nota : Pembezaan 25

26. Jika y suatu fungsi x, maka merupakan kadar
perubahan y terhadap x. Sebagai contoh jika r mewakili
jejari dalam meter dan tmewakili masa dalam saat, r ialah
fungsi t, maka mewakili kadar perubahan jejari terhadap
masa.
Nilai yang positif mewakili kadar perubahan menokok
bagi y terhadap x manakala nilai yang negatif mewakili
kadar perubahan menyusut bagi y terhadap x.
Nota : Pembezaan 26

27. CONTOH-CONTOH
SOALAN
BERKAITAN TOPIK
PEMBEZAAN
Nota : Pembezaan 27

28. .
SOALAN-SOALAN PEMBEZAAN
Soalan 1: Cari pembezaan bagi Jawapan
Soalan 2: Cari pembezaan bagi Jawapan
Soalan 3: Cari kecerunan fungsi y = 3x2 apabila x = 5. Jawapan
Soalan 4: Bezakan terhadap x. 2x3 + x + x2 2x
Jawapan
x2
Soalan 5: Bezakan Jawapan
Nota : Pembezaan 28

29. Jawapan soalan 1:
Nota : Pembezaan 29

30. Jawapan soalan 1:
Nota : Pembezaan 30

31. Jawapan soalan 3:
Dengan itu, apabila x = 5
Nota : Pembezaan 31

32. 14. 1
x 2
2
Jawapan soalan 4:
Bahagikan : 1 + 2x 1
Bezakan: 6x2 + 2x 2
Nota : Pembezaan 32

33. Jawapan soalan 5:
Pemboleh ubah adalah m dan oleh itu terbitan
fungsi adalah terhadap m.
Pembezaan mesti diselesaikan
dengan menggunakan hukum rantai. Ia adalah:
Nota : Pembezaan 33

34. TAMAT
SEKIAN
TERIMA
KASIH
Nota : Pembezaan 34

35. RUJUKAN
Nor Hayati Md Yusof.Aisah Ali. (2011)HBMT4403Teaching Mathematics
In Form Six. OUM.Meteor.Doc.Sdn.Bhd.Selangor
Mohd Nasir Mahmud.et.al. (2011)HBMT4303Teaching Mathematics In Form
Five. OUM.Meteor.Doc.Sdn.Bhd.Selangor
Expert Math Tutoring
http://www.expertmathtutoring.com/Differentiation-Knowledge-Examples.php
Bab 3:Penggunaan Pembezaan
http://www.oocities.org/enotebvp/bab3/bab_3_penggunaan_pembezaan.htm
Differentiation
http://www.mathslearn.co.uk/core2differentiation.html
Differentiation From First Principle
http://www.mathsrevision.net/alevel/pages.php?page=23
http://math2.org/math/derivatives/more/trig.htm
Nota : Pembezaan 35