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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Capítulo I
INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
ACTIVIDAD 1: Definición de investig...
Hay que hacer notar que los modelos matemáticos de la ivestigacion de operacines que
utilizaron estos precursores, estaban...
Aquí el papel de la I.O es integrar en su estudio el mecanismo de coordinación, para evitar
que las componentes del sistem...
Capitulo II
PROGRAMACION LINEAL
ACTIVIDAD 7: Programación Lineal
Introducción: La programación lineal es una técnica matem...
FASE II.- Construcción del Modelo del Problema: cuando la función objetivo a
optimizar (maximizar ó minimizar), así como l...
PROBLEMA DE AUTOEVALUACION:
Una compañía puede producir tablones para la construcción o laminas para puertas, la
cantidad ...
PROBLEMAS PROPUESTOS:
Formular y construir los modelos de los siguientes problemas de programación lineal:
1).- Un agente ...
6).- Un inversionista tiene $10000 que quisiera produjeran tanto dinero como sea
posible; quiere invertir parte en accione...
10).- La compañía “HOLSA” de México quiere minimizar los desperdicios de lamina,
para lo cual encarga a su departamento de...
efectivo de $800 debido a compromisos previos. El saldo de efectivo a principios de mes
es de $ 28,425.
TABLA DE DATOS TÉC...
FASE III: METODOS DE SOLUCION DEL PROBLEMA.
I).- Método grafico: El presentar el método grafico para la solución de proble...
0 P2 X1
VII).- Encontrar el área o las áreas de solución, definidas por el conjunto convexo* y las
situaciones que se pued...
P7 p5 p6 p2 X1
aij xj ≤bj
aij xj ≥ bj
4).- SIN SOLUCION: Es el caso de no encontrar área.
*”Conjunto Convexo”: Espacio don...
I).- METODO GRAFICO:
PROBLEMA DE AUTOEVALUACION:
El director de servicio de agua de una ciudad encuentra una forma de prop...
III).- Convertir el sistema de restricciones a un sistema de ecuaciones (en forma directa).
SISTEMA DE RESTRICCIONES SISTE...
VI) Limitar de acuerdo al tipo de restricción.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
P1
X2>=0
P10
P9
P7
P8
P5
P3 P2
P6
P4
0 1 2 3 4 5 6 7 8...
VII) Encontrar el área de solución, definida por el conjunto convexo.
Como podemos observar en las graficas, el área 1, es...
P1(0 , 10) ; P8(4 , 6) ; P9(5 , 6) y P10(5 , 10)
P(X1 , X2) ; Min Z = 300 X1+500X2
P1(0 , 10) ; Z1 = 300(0)+500(10) = 0+50...
Problemas Propuestos:
1).- Una compañía elabora dos productos. Mesas y sillas y se deben procesar a través de
los departam...
La mayoría de los problemas reales de programación lineal tienen mas de dos variables
y son por ende demasiado grandes par...
1)El conjunto de soluciones factibles es un conjunto convexo.
2)Si existe una solución factible, existirá una solución bás...
MATRIZ DE CUERPO MATRIZ IDENTIDAD
Cj C1 C2 .. Cj 0 0 .. 0 +_M +_M .. +_M
Vb bj X1 X2 .. Xj H1 H2 ..
H
j
A1 A2 .. Aj
0 H1 b...












−












=












a jd as e l e c c i o n a
c o l u m n al ac o ...
XI)Conclusión.
II) Método Simplex :
Problema de Auto evaluación.
Una compañía manufacturera puede producir dos productos A...
SOLUCION:
a). Obtener solución optima, empleando simplex.
I) Formulación del problema (fase I).
a) Determinar el objetivo ...
Vb bj X1 X2 H1 H2 H3
0 H1 72 2 3 1 0 0
0 H2 30 1 1 0 1 0
0 H3 40 1 2 0 0 1 Sale H3 (R3 seleccionado)
Zj 0 0 0 0 0 0
Cj-Zj ...
Vb = bj/a2 ;
;
2 0
3 0
2 4
2/4 0
1/3 0
3/7 2
3
2
1
1
3
4 0
3 0
7 2
3
2
1










=










=


...
Vb, definiendo asi, el renglon seleccionado R3.
3)Obtener el numero pivote np, de acuerdo a la tabla N°1 , np = 2
4)Obtene...
VIII).- Verificar optimalidad: como el objetivo Max Z ; Cj – Zj ≤ 0, en todos sus
elementos, ya que C1- Z1 = 3 ≥ 0 ; no cu...










=










=










∴


















=









...
entonces H2 debe salir de la base Vb, definiendo el renglón seleccionado R2.
3).- Obtener el numero pivote np, de acuerdo ...
Zj H1= 0(1) + 8(0) + 10(0) = 0+0+0 = 0 Cj-Zj H2 = 0-6 = -6
Zj H2= 0(-1) + 8(2) + 10(-1) = 0+16-10 = 6 Cj-Zj H3 = 0-2 = -2
...
c).- Si a la compañía le ofrecen pintura en oferta de $2/litro, ¿debería comprarla?
Revisando la tabla N°3 (optima), es el...
2).- Un inversionista tiene $ 10000 que quisiera produjeran tanto dinero como sea posible,
quiere invertir parte en accion...
III)Construir el problema primal cuando el objetivo es MAX Z, todas sus restricciones
deben quedar expresadas con menor e ...
Sujeta a:
a11y1 + a21y2 + … + aλ1yj ≥ c1
a21x1 + a22x2 + … + aλ2yj ≥ c2
: : : : :
a1jy1 + a2jy2 + … + aijyj ≥ cj
Yj ≥ Ø : ...
VI)Obtener la solución optima: de la tabla SIMPLEX optima, se obtienen los valores
absolutos de Cj – Zj, de las variables ...
X1 = numero de unidades a utilizar del producto A; c1=$20/producto
X2 = numero de unidades a utilizar del producto B; c1=$...
Y
1
Restricciones: 5y1 – 5y2 + Øy3 – y4 ≤ 20
10y1 – 10y2 + 4y3 + Øy4 ≤ 80
Ecuaciones: 5y1 – 5y2 + Øy3 – y4 + H1 = 20
10y1 ...






2
1
H
H
=












1 0
5
8 0
2 0
=






=





∴





8
4
2
1
1 ...
e)Calcular renglón restante R2, empleando la ecuación “NE”, e introducirlo a la tabla N°2.
NR2 = R2-10 R.P.
R2 80 10 -10 1...
d)Calcular los elementos del renglón pivote: R.P.= 1R2; e introducirlo a la siguiente tabla,
es decir a la tabla N°3:
R.P....
VII)Verificar factibilidad: Sustituir los valores X1=2 y X2=14, en el sistema de
restricciones del problema original.
1.- ...
Actividad 9: Aplicando la Fase III: Resolver
Problema de Auto evaluación:
Cierta compañía tiene una fabrica situada a los ...
a)Determinar el objetivo del problema: Maximizar la ganancia.
b)Definir las variables del problema:
Z = Ganancia
X1 = Nume...
VI) Limitar de acuerdo al tipo de restricción.
0
100
200
300
400
500
600
700
800
100 200 300 400 500 600 700 800
x2>=0
3x1...
VII) Encontrar el área o áreas de solución definida por el conjunto convexo, como
podemos observar en la grafica, el área ...
Solución:
Aplicando el método simplex.
I) Formular el problema (Fase I).
a) Determinar el objetivo del problema: Maximizar...
X1+ X2 ≤600 (departamento de inspección)
c) No-negatividad: X1 ≥0 ; X2 ≥0
III) Convertir el sistema de restricciones en un...
VII) Resover tabla N°1 (primera iteración)
1)Determinar la variable de entrtada: como el objetivo es Max Z, la determina e...










=










∴










=


















=









...
entonces H1 debe slir de la base Vb. (R1:seleccionado)
3)Obtener el numero pivote np ; de acuerdo a la tabla N°1 ; Np = 3
...
VIII).- Verificar optimalidad: Cuando el objetivo es Max Z ; Cj – Zj ≤ 0, en todos sus
elementos, de acuerdo a la tabla N°...










=










∴










=


















=









...
definiendo el renglón seleccionado R2.
3).- Obtener el numero pivote np, de acuerdo a la tabla N°2, np= 5/3
4).- Obtener l...
VIII).- Verificar optimalidad como el objetivo es Max Z, Cj-Zj ≤ 0, en todos sus
elementos, de acuerdo a la tabla N° 3, to...
Solución:
Aplicando el método Dual
I) Formular el problema (Fase I).
a) Determinar el objetivo del problema: Maximizar la ...
Y
1
IV)Construir el problema dual: si el objetivo del primal es MAX Z (caso 1); entonces el
objetivo del dual es MIN Z, cu...
Y
2
Zj Y1 = M(2)+M(3) = 2M+3M = 5M Cj-Zj Y2 = 1500-5M = 1500-5M
Zj Y2 = M(3)+M(2) = 3M+2M = 5M Cj-Zj Y3 = 600-2M = 600-2M
...
R1 10 2 3 1 -1 0 1 0
-2R.P. –2( 4 1 2/3 1/3 0 -1/3 0 1/3)
10 2 3 1 -1 0 1 0 sumar
-8 -2 -4/3 -2/3 0 2/3 0 -2/3
NR1 2 0 5/3...
Cj 1500 1500 600 0 0 M M
Vb bj Y1 Y2 Y3 H1 H2 A1 A2
1500 Y2 6/5 0 1 1/5 -3/5 2/5 3/5 -2/5 R.P.
1500 Y1 16/5 1 0 1/5 2/5 -3...
ZMax=6600 , H3=0
VII)Verificar factibilidad: sustituyendo X1=300 y X2=300; en el sistema de restricciones
del problema ori...
Capitulo III
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Actividad 11: análisis de sensibilidad:
Introducción: El análisis de sensibilidad co...
Cj C1 C2 . . . Cj 0 0 . . . 0 Función objetivo
Vj bj X1 X2 . . . Xj H1 H2 . . . Hj
C1 X1 m1
C2 X2 m2
. . .
. . . B-1
A B-1...
Actividad 12: I)Cambios que afectan la factibilidad.
1)Cambios en los recursos disponibles bj: Sabemos por calculos primal...
paso N°8.
5.2)Si XB < 0, en alguno de sus elementos, la nueva solución XB es infactible; cuando esto
ocurre, ir al paso N°...
5)Empleando el metodo simplex, se resuelve la tabla restablecida, bajo el siguiente
procedimiento.
a)Sacar de columna Vb, ...
I)Formulación del problema (fase I).
a)Determinar el objetivo del problema: Maximizar la ganancia.
b)Definir las variables...
1)Determinar variable de entrada: cuando el objetivo es Max Z, la define el mayor valor
positivo de Cj-Zj, es decir: C2-Z2...
-20 -1 -2 0 -1/2
NR1 20 3 0 1 -1/2
6)Calcular los elementos de los renglones Zj y Zj-Cj, e introducirlos a la tabla N°2.
Z...
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
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Investigación de operaciones
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Investigación de operaciones
Investigación de operaciones
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Investigación de operaciones

  1. 1. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Capítulo I INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES ACTIVIDAD 1: Definición de investigación de operaciones. La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-maquina) a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización. ACTIVIDAD 2: La investigación de operaciones en la toma de decisiones. El tamaño de las empresas modernas implica que la decisiones administrativas pueden tener efectos sobre grandes cantidades de capital y un gran numero de personas. Los errores pueden ser tremendamente costosos y una sola decisión equivocada puede requerir años para rectificarse, mas aun, el ritmo de la empresa moderna es tal que las decisiones se requieren mas rápidamente que nunca, simplemente posponer la acción puede dar una decidida ventaja a un competidor. No es sorprendente que el aumento de la dificultad de tomar decisiones ha requerido de esfuerzos para dar a esta actividad una base mas objetiva y rutinaria. La investigación de operaciones esta en pleno desarrollo y depende ampliamente de los métodos que han demostrado tener éxito en la ciencia, desde el punto de vista de la investigación de operaciones, una decisión es una recomendación de que se lleva a cabo un curso de acción que se espera produzca los “mejores” resultados en términos de los objetivos generales de la organización, de la cual el sistema es una parte. Se puede decir, también, que quien toma una decisión intenta hacer que el sistema sea mas efectivo para alcanzar las metas de la organización. ACTIVIDAD 3: Reseña histórica de la investigación de operaciones. Los inicios de lo que hoy se conoce como investigación de operaciones se remonta a los años 1759 cuando el economista QUESNAY, empieza a utilizar modelos primitivos de programación matemática, mas tarde , WALRAS, hace uso, en 1874, de técnicas similares. Los modelos lineales de investigación de operaciones, tienen como precursores a JORDAN en 1873, en 1896 y a FARKAS en 1903. Los modelos dinámicos probabilisticos tienen su origen con MARKOV a fines del siglo pasado. El desarrollo de los modelos de inventarios, asi como el de tiempos y movimientos, se lleva a cabo por los años 20’S del siglo pasado, mientras que los modelos, de lineas de espera se originan con los estudios de ERLANG, a principios del siglo XX. VON NEWMAN cimienta en 1937 lo que años mas tarde culminara como la teoria de juegos.
  2. 2. Hay que hacer notar que los modelos matemáticos de la ivestigacion de operacines que utilizaron estos precursores, estaban basados en el calculo diferencial e integral (NEWTON, LAGRANGE, LAPLACE, LESBEQUE, LEIBNITZ, REIMMAN, STIELTJEN, por mencionar algunos), la probabilidad y estadística(BERNOULLI, POISSON, GAUSS, BAYES, GOSSET, SINEDECOR, ETC.). No fue sino hasta la segunda guerra mundial, cuando la investigación de operaciones empezó a tomar auge, primero se le utilizo en la logística estratégica para vencer al enemigo(teoría de juegos) y, mas tarde al finalizar la guerra, en la logística de distribución de todos los recursos militares de los aliados dispersos por todo el mundo, fue debido precisamente a este ultimo problema, que la fuerza aérea norteamericana, a travez de su centro de investigación RAND CORPORATION, comisiono a un grupo de matemáticos para que resolviera este problema que estaba consumiendo tantos recursos humanos, financieros y materiales. Fue el doctor GEORGE DANTZIG, el que en 1947, resumiendo el trabajo de muchos de sus precursores, inventara el método simplex, con lo cual dio inicio a la programación lineal. Con el avance de las computadoras digitales se empezó a extender la I.O. , durante los 50’S en las áreas de: Programación dinámica (BELLMAN), programación no lineal (KUHH Y TUCKER), programación entera(GOMORY), redes de optimización (FORD Y FOLKERSON), simulación(MARKOWITZ), inventarios(AAROW, KARLIN, WHITIN), análisis de decisiones (RAIFFA) y procesos markovianos de decisión (HOWARD). ACTIVIDAD 4: Beneficios de un proyecto de Investigación de Operaciones. En la practica, la instrumentación de un proyecto de I.O. en la solucion de un problema real en una organización, acarrea los siguientes beneficios: 1).- Incrementa la posibilidad de tomar mejores decisiones: antes de la aplicación de la I.O. en una organización, las decisiones que se toman son generalmente de carácter intuitivo, ignorando la mayoría de las interrelaciones que existen entre las componentes del sistema. El ser humano, sin la ayuda de una tecnología mas sofisticada( como la I.O.) y de la herramienta mas moderna(como son las computadoras electrónicas), no puede visualizar, mucho menos analizar todas las posibles alternativas generadas por los millares de interacciones que existen. Imaginemos a “PEMEX” que debe controlar el reparto de combustible a toda la republica a fin de satisfacer la demanda en todos los centros de consumo buscando siempre el menor costo de embarque. 2).- Mejora la coordinación entre las múltiples componentes de la organización: en otras palabras, la I.O. genera un mayor nivel de ordenación, es decir de que sirve que se incrementen las exportaciones de México al mundo exterior, cuando la capacidad de maniobras de nuestros puertos permanecen estancadas. El sistema económico trata de equilibrar la balanza de pagos, la otra parte tiende a crear cuellos de botella de mercancía que tienen que esperar en el puerto hasta que se le embarquen, muchas veces a la interperie, con riesgo de deteriorase. El tiempo de demora del cliente aumenta, su apatismo para comerciar con México se incrementa, a corto plazo, se empiezan a sentir otra vez los efectos negativos en la balanza de pagos. En este caso la presidencia de la republica debe coordinar esfuerzos con la secretarias de comercio, hacienda, comunicaciones, marina y de obras publicas.
  3. 3. Aquí el papel de la I.O es integrar en su estudio el mecanismo de coordinación, para evitar que las componentes del sistema se desmembrasen y actúen independientemente una de otras. 3).-Logra el Control del Sistema: al instituir procedimientos sistemáticos que supervisan por un lado las operaciones que se llevan acabo en la organización y por el otro lado, evita al regreso a un sistema peor. Por ejemplo, existe una liberación de las gentes dedicadas a actividades de tipo tedioso y rutinario, permitiendo los accesos a una nueva variedad de las mismas además, estos procedimientos sistemáticos permiten señalar decisiones que pueden conducir a resultados muy peligrosos para estabilidad y buen funcionamiento del sistema. 4).-Logra un mejor sistema: al hacer que este opere con costos mas bajos, con interacciones mas fluidas, eliminando cuellos de botella y logrando una mejor combinación entre los elementos mas importantes de todo el sistema. ACTIVIDAD 5: Aplicación de la Investigación de Operaciones en los Sectores Privados y Públicos. Actualmente la Investigación de operaciones no solo se aplica en el sector privado como son industrias, sistemas de comercialización, sistemas financieros, transportes, sistemas de salud, etc. Sino también el sector de los servicios públicos, tanto como los en los países desarrollados como a los países de tercer mundo. Precisamente en México la I.O. se utiliza dentro del sector de servicios públicos entre otros: la Secretaria de Agricultura, de Comunicaciones, de la Presidencia, Petróleos Mexicanos, Comisión Federal de Electricidad, Instituto Mexicano del Seguro Social, Departamento del D.F., ETC. ACTIVIDAD 6 : Construcción de modelos En la I.O. existen tres clases de modelos: icónicos, analógicos y simbólicos. Los Modelos Icónicos: son imágenes a escala del sistema cuyo problema se requiere resolver, por ejemplo, las fotografias,las maquetas, dibujos y modelos a escala de barcos automóviles, aviones, canales. ETC. Modelos Analógicos: Se basan en la representación de las propiedades de un sistema cuyos problemas se requieren resolver utilizando otro sistema cuyas propiedades son equivalentes. Por ejemplo, las propiedades de un sistema hidráulico son equivalentes a las de un sistema eléctrico o inclusive, económico. Los Modelos Simbólicos: son conceptualizaciones abstractas del problema real a base de letras, números, variables y ecuaciones. Estos tipos de modelos son fáciles de manipular y se pueden hacer con ellos un gran numero de experimentos. De las tres clases de modelos los simbólicos son los mas económicos de construir y operar. En este trabajo serán los modelos simbólicos los que se usen para la solución de problemas de programación lineal.
  4. 4. Capitulo II PROGRAMACION LINEAL ACTIVIDAD 7: Programación Lineal Introducción: La programación lineal es una técnica matemática ampliamente utilizada, diseñada para ayudar a los administradores de producción y operaciones en la planeación y toma de decisiones relativas a la negociación necesaria para asignar recursos. Aplicación : a partir de 1950 se inicia un fuerte desarrollo en la programación lineal apoyada por una gran variedad de aplicaciones practicas en la economía y la administración industrial. Principales problemas: Algunos de los principales problemas que han sido establecidos en base a la programación lineal, así como sus áreas de aplicación son los siguientes: 1).- La selección de la mezcla de productos es una fabrica para tomar el mejor uso de las horas disponibles de la maquinaria y mano de obra, mientras se maximiza la utilidad de la empresa. 2).- La selección de diferentes mezclas de materias primas en los molinos de comida para producir combinaciones de alimentos terminados al mínimo costo. 3).- Otros como pueden ser de relaciones ínter indústriales ( modelos de Lentieff, análisis económico), problemas de transito ( industria de transportes y aviación) ETC. La programación lineal resuelve los problemas en términos de un conjunto de ecuaciones lineales y una ecuación también lineal llamada función objetivo , que cuantifica el beneficio proporcionado por la solución del conjunto de ecuaciones lineales que corresponden a las restricciones . Definición: La programación lineal es una herramienta matemática que sirve para resolver de la mejor manera posible sistema de Asignación en los que la problemática consiste en asignar recursos escasos y limitados entre actividades competitivas y cuando desde el punto de vista matemático las relaciones entre los elementos del sistema sean estrictamente lineales. ACTIVIDAD 8: fase para la solución de problemas de programación lineal FASE I.- Formación del Problema: Es una de las fases más importantes en la aplicación de la programación lineal; es decir, la representación matemática del problema que se desea resolver, una guía útil en la formulación del problema es: a)Determinar el objeto del problema, el cual puede ser: Maximizar.- utilidades, producción, publicidad, audiencia, etc. Minimizar.- costo, tiempo, distancia, desperdicios, etc. b)Definir las variables del problema, así cual es el sistema de medicina a utilizar números de artículos, horas-hombres, horas-maquina, etc. c) Establecer las restricciones del problema, en cuanto a materia prima, tiempo, recursos financieros, requerimientos de producción, etc.
  5. 5. FASE II.- Construcción del Modelo del Problema: cuando la función objetivo a optimizar (maximizar ó minimizar), así como las restricciones son funciones lineales, entonces el problema es completamente lineal y su forma general queda establecida de la siguiente manera dada las j variables X1, X2,... Xj, llamadas variables de decisión, determinar que valor de cada una de ellas hacen máxima ó mínima una función objetivo Z, es decir, que sea óptima, considerando que una función es óptima, si primero es factible y su formulación general es: a)Función objetivo: Max ó Min Z= C1, X1, + C2 X2 + . . . +Cj Xj b)Sujeta a las restricciones: a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1 jXj < = > b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2 jXj < = > b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 X1 + ai2 X2 + . . . + aij Xj < = > bj c) No-negatividad: X j ≥ 0 ; j = 1, 2, 3, ... n DONDE: Z = Objetivo del problema (maximizar ó minimizar) Xj = Variables de decisión ( j = 1, 2, 3.... n ) Cj = Contribución por unidad de la variable de decisión. aij = Coeficiente Tecnológico(i =1,2,3,...,m ; j =1,2,3, . . . ,n) bj = Recurso Disponible. NOTA: El coeficiente Tecnológico (aij) es la cantidad que se emplea del recurso disponible bj para elaborar el producto Xj (dato técnico). El recurso disponible bj, en algunos casos representa la capacidad, (cantidad que no se puede sobrepasar y se representa como menor e igual matemáticamente ≤); en otros casos puede representar el requerimiento (cantidad que puede usarse por lo menos y se representa matemáticamente como mayor e igual ≥) y en algunos casos este recurso deberá ser exactamente su valor( cantidad que matemáticamente se representa como una igualdad =).
  6. 6. PROBLEMA DE AUTOEVALUACION: Una compañía puede producir tablones para la construcción o laminas para puertas, la cantidad máxima de la fabrica es de 400 unidades, de las cuales necesariamente 100 unidades deben ser tablones y 150 laminas, para satisfacer la necesidades de los clientes, si la utilidad por tablón es de $200 y de $300 pesos por lamina. Determine el numero de tablones y laminas que se deben producir para obtener la máxima utilidad. (Formular y construir el modelo del problema). Solución: Fase 1: Formulación del Problema. a).- Determinar el objetivo del problema: Maximizar utilidades. b).- Definir las Variables del problema: Z = utilidad X1 = numero de tablones a producir ; C1 = $200/Tablón. X2 = numero de laminas a producir ; C2= $300/Lamina. c).- Establecer las restricciones del problema: 1) Capacidad máxima de producción: 400 unidades. 2) Requerimientos de producción de pro lo menos 100 tablones y 150 laminas. Fase II: Construcción del modelo del problema. a).- Función objetivo: Max Z = 200X1 + 300X2 b).- Sujeta a las restricciones: 1).- Capacidad de producción: X1 + X2 ≤ 400 2).- Requerimientos Mínimos: X1 ≥ 100 X2 ≥ 150 C).- No negatividad: X1 ≥0 y X2 ≥0
  7. 7. PROBLEMAS PROPUESTOS: Formular y construir los modelos de los siguientes problemas de programación lineal: 1).- Un agente esta arreglando un viaje en esquís, puede llevar un máximo de 10 personas y ha decidido que deberán ir por lo menos 4 hombres y 3 mujeres. Su ganancia será de 10 pesos por cada mujer y 15 pesos por cada hombre. ¿ Cuantos hombres y cuantas mujeres le producen la mayor ganancia? 2).- Un sastre tiene las siguientes materias primas a su disposición: 16 m2 de algodón, 11 m2 de seda y 15m2 de lana. Un traje requiere: 2 m2 de algodón, 1m2 de seda y 1 m2 de lana. Una túnica requiere: 1m2 de algodón, 2m2 de seda y 3m2 de lana. Si el traje se vende en $300 y una túnica en $500. ¿Cuántas piezas de cada confección debe hacer el sastre para obtener la máxima cantidad de dinero?. 3).- Mueblería MARY elabora dos productos, mesas y sillas que se deben procesar a través de los departamentos de ensamble y acabado. Ensamble tiene 60 hrs. disponibles, acabado puede manejar hasta 40 hrs. de trabajo. La fabricación de una mesa requiere de 4 hrs. de ensamble y 2 hrs. de acabado, mientras que una silla requiere de 2 hrs. de ensamble y 2 hrs. de acabado. Si la utilidad es de $80 por mesa y $60 por silla. ¿Cuál es la mejor combinación posible de mesas y sillas a producir y vender para obtener la máxima ganancia? 4).- Una firma corredora de bolsa ofrece dos tipos de inversiones que producen ingresos a razón de 4% y 5% respectivamente. Un cliente desea invertir un máximo de $10000 y que su ingreso anual sea por lo menos de $4500. insiste en que por lo menos ¾ del total debe ser invertido al 5%. El corredor recibe el 1% de los ingresos de la inversión al 5% y 2% de la inversión del 4%. ¿Cuánto invertirá el corredor a cada tasa para que sus honorarios sean máximos?. 5).- Una compañía de carga aérea desea maximizar los ingresos que obtiene por la carga que transporta la compañía tiene un solo avión diseñado para transportar dos clases de carga. Carga normal y carga frágil. La compañía no recibe pago extra por transportar carga frágil; sin embargo para asegurar ciertos contratos de negocios, la compañía ha acordado transportar cuando menos 5 toneladas de carga frágil. Este tipo de carga debe llevarse en una cabina presurizada. La capacidad de la cabina principal es de 20 toneladas de carga. La cabina presurizada no puede llevar mas de 10 toneladas de carga. El avión tiene restricción de peso que le impide llevar mas de 20 toneladas de carga, para mantener en equilibrio el peso, la carga de la cabina presurizada debe ser menor o igual que dos tercios del peso de la cabina principal, mas una tonelada, la compañía recibe $1000 por tonelada de los dos tipos de carga que transporta.
  8. 8. 6).- Un inversionista tiene $10000 que quisiera produjeran tanto dinero como sea posible; quiere invertir parte en acciones, parte en bonos y colocar el resto en una cuenta de ahorro. El inversionista cree poder ganar 8% con el dinero que invierta en acciones y el 7% que invierte en bonos. El banco paga el 5% de interés sobre las cuentas de ahorros. Como las acciones son una inversión con cierto riesgo, decide no invertir en acciones mas de lo que ponga en la cuenta de ahorro. El inversionista se quedara con al menos $2000 en la cuenta de ahorros por si necesita dinero en efectivo de inmediato.¿Cuánto dinero deberá invertir en cada tipo? 7).- Una mujer quiere diseñar un programa de ejercicios semanales, incluyendo caminata, bicicleta y natación. Para variar los ejercicios planea invertir al menos tanto tiempo en bicicleta como la combinación de caminata y natación. Además, quiere nadar al menos dos hrs a la semana, por que le gusta mas nadar que los otros ejercicios. La caminata consume 600 calorías por hora, en la bicicleta usa 300 calorías por hora nadando gasta 300 calorías por hora. Quiere quemar al menos 3000 calorías a la semana por medio de los ejercicios. ¿Cuántas horas debe dedicar a cada tipo de ejercicio si quiere minimizar el numero de horas invertidas.? 8).- Cierta compañía tiene una filial que le provee de las latas que necesita para comercializar su producto, en dicha filial que produce latas de aluminio contiene las tapaderas a partir de hojas metálicas rectangulares. Las dimensiones de estas hojas son de 6cms x 15cms Se requieren dos tamaños diferentes de tapas, el diámetro de las pequeñas es de 3cms y el de las grandes de 6 cms. El programa de producción en un día determinado es de 20000 tapas chicas y 5000 tapas grandes. ¿Cuál es el programa que minimice el numero total de hojas metálicas usadas de tal manera de obtener la mejor combinación de tapas de los diferente tamaños que pueden ser cortadas? 9).- General Motors que vende el carro mas compacto desea hacer publicidad para este modelo a través de canal 13 de televisión, la publicidad consistirá en pequeños comerciales de duración variable que se intercalaran en un programa semanal de 60 min. En el cual se presentaran los mejores cantantes del continente y un cómico de la localidad. General Motors insiste en tener al menos 5 min. De comerciales y el reglamento de la televisora requiere cuando mucho los comerciales consuman 18 min en programas de 60 min., y que nunca sea mayor el tiempo de los comerciales de actuación de los cantantes, los cantantes no quieren trabajar mas de 30 min. De los 60 que dura el programa, de manera que el cómico se utiliza para cualquier lapso de tiempo en el cual no habrá comerciales o cuando no estén trabajando los cantantes. Por experiencia de la empresa televisora, se sabe que por cada min. Que los cantantes estén en el aire 6000 televidentes mas estarán viendo el programa, por cada minuto que el comico este trabajando 3000 televidentes estarán viendo el programa, en cambio por cada min de comerciales se pierden 500 televidentes. El cómico cobra $200 por minuto, los cantantes cobran $1000 por min y los comerciales $50 por min. Si en General Motors desea: 1).- Maximizar el numero de televidentes al finalizar el programa de 60 min. 2).- producir el programa un mínimo costo. ¿Cuál es el medelo a utilizar para cada situación?
  9. 9. 10).- La compañía “HOLSA” de México quiere minimizar los desperdicios de lamina, para lo cual encarga a su departamento de producción que optimice el costo de las laminas de acuerdo a los requisitos de los consumidores. En particular se hará con el consumidor mas importante al cual se le surten tres tamaños de laminas a saber: tipo 1:30 cms x 60 cms y espesor de 8 mm; tipo 2:30cmsx 70 cms y espesor de 8 mm tipo 3:30cms x 50 cms y espesor de 8 mm. Las cantidades necesarias son 10000, 15000 y 5000 por mes respectivamente. Si las laminas que produce la compañía son de dimensiones de 30 cms x 180 cms con espesor de 8 mm. ¿Cuál es el modelo para optimizar los desperdicios?. 11).- Una compañía de zapatos puede producir tres tipos de zapatos a su máxima capacidad: zapatos de vestir, de trabajo y de deporte, la utilidad neta es de $1000. $800 y $400 respectivamente. El mercado de zapatos ha bajado como consecuencia de las dificultades económicas existentes en el pais de tal manera que hay una capacidad excesiva de 550,650 y 300 unidades por dia. En las plantas existen dificultades de almacenamiento causado por el decremento de las ventas. Las tres plantas tienen: 10000, 8500 y 4000 metros cuadrados de espacio disponibles respectivamente. Los zapatos de vestir requieren de .50 metros cuadrados para almacén , de .75 metros cuadrados para los de trabajo y .40 metros cuadrados para los de deporte. La compañía ha pronosticado que las ventas serán de 700, 850 y 750 unidades respectivamente para los zapatos de vestir, trabajo y deporte. ¿cuál es el modelo que maximiza la utilidad neta?. 12).- E n un salón de Banquetes se tienen programados banquetes durante los siguientes cinco días, los requisitos de manteles por banquete son : Banquete : 1 2 3 4 5 Numero de manteles : 80 60 100 130 200 El problema del administrador es que se requieren manteles diferentes a los que el usa, por lo que tendrá que comprar ese tipo de manteles; el costo de cada mantel es de $40 y el costo de mandarlo a la lavandería bajo servicio urgente para tenerlo listo a los dos días es de $10 por mantel. ¿cuál es el modelo que le permitirá al administrador cumplir con sus requisitos y además minimizar el costo total? 13).-Un inversionista dispone de $ 5000 los cuales desea invertir, se le presentan dos opciones; A y B. El plan A le garantiza que cada peso invertido producirá $ 0.50 en un año, mientras que el plan B le garantiza que cada peso invertido le producirá $1.50 en dos años. ¿cómo debe invertir dicha persona con el fin de maximizar sus ganancias al final de tres años? 14).- Una compañía fabrica tres productos: volantes, juntas y ejes, el gerente enfrenta el problema de decidir cual debe ser el mejor programa de producción para el siguiente mes. Se ha determinado que hay disponibles cuando mas 1620 horas de tiempo de producción para el mes siguiente . no hay limite para el abastecimiento de metal para estos tres productos, cada hora de tiempo de producción cuesta $ 7.00 y cada unidad de metal cuesta $2.20. todas las ventas son efectivo y todos los costos deben pagarse en efectivo durante el siguiente mes los costos fijos para el siguiente mes son de $ 2,200 y se requiere un flujo de
  10. 10. efectivo de $800 debido a compromisos previos. El saldo de efectivo a principios de mes es de $ 28,425. TABLA DE DATOS TÉCNICOS. PRODUCTO HORAS DE TIEMPO DE PRODUCCIÓN POR UNIDAD FABRICADA UNIDADES DE METAL NECESARIAS POR UNIDAD FABRICADA PRECIO UNITARIO AL CLIENTE (EN $) DEMANDA PRONOSTICADA DE LOS CLIENTES (EN UNIDADES). VOLANTES 4.5 3.25 $50.65 300 JUNTAS 1.8 4.70 $38.94 550 EJES 3.6 5.00 $50.20 320 La producción puede realizarse con velocidad suficiente para permitir su distribución dentro del mismo mes. ¿ cual debe ser el programa de producción para el próximo mes, a fin de maximizar las utilidades?.
  11. 11. FASE III: METODOS DE SOLUCION DEL PROBLEMA. I).- Método grafico: El presentar el método grafico para la solución de problemas de programación lineal, tiene como finalidad introducir una serie de conceptos que permiten una mejor comprensión del problema y que además son fundamental para una interpretación del método algebraico de solución. Este método es practico y sencillo cuando utiliza solo dos variables de decisión, además requiere de dibujos a escala muy precisa. Procedimiento de calculo: I).- Formular el problema. (Fase I). II).- Construir el modelo del problema (Fase II). III).-Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones (en forma directa). IV).- Para cada ecuación, encontrar los puntos vértices P( X1,X2); considerando la no productividad, es decir, primero no producimos a X1 (X1 = 0) y segundo no producimos a X2 (X2= 0). Una restricción con dos variables de decisión tendrá dos puntos vértices mientras que si solo contiene una sola variable de decisión. Solo tendrá un punto vértice considerando con valor cero a la variable que no contenga, los puntos obtenidos se enumeran en forma progresiva. V).- Se elige una escala (trabajable) para trazar cada una de las restricciones por sus respectivos puntos vértices y enumerar los puntos de intersección originados por el cruce de las rectas. VI).- Limitar de acuerdo a cada restricción, es decir, si es ≤ limita hacia la izquierda o hacia abajo, = limita en ambos sentidos ya que una igualdad es un producto de dos desigualdades y ≥ limita hacia la derecha o hacia arriba como se muestra en las graficas. X2 X2 Requerimiento Mínimo P1 Capacidad Máxima P1 aij Xj ≥bj aij Xj ≤ bj 0 P2 X1 0 X1 P2 X2 Uso Total P1 aij Xj = bj
  12. 12. 0 P2 X1 VII).- Encontrar el área o las áreas de solución, definidas por el conjunto convexo* y las situaciones que se pueden presentar son: 1).- SOLUCION ACOTADA X2 P1 aijXj ≤ bj P3 P6 AREA aijXj ≤ bj X1 0 P5 P2 P4 2).- SOLUCION ILIMITADA. X2 P1 aijXj ≥ bj P3 P6 aij Xj ≥ bj P5 P2 P4 X1 0 3).- SOLUCION MULTIPLE. X2 aij xj ≤bj P1 aij xj ≤bj P10 P11 P15 aij xj ≤ bj AR P16 AR p13 p12 aij xj ≥ bj P9 P7 p4 AR p14
  13. 13. P7 p5 p6 p2 X1 aij xj ≤bj aij xj ≥ bj 4).- SIN SOLUCION: Es el caso de no encontrar área. *”Conjunto Convexo”: Espacio donde convergen el sistema de restricciones. VIII).- Tomar los puntos vértices del area de solucion y sustituir los valores de X1 y X2 , en la función objetivo (Max o Min) = C1 X1 + C2 X2 y se elige la opción que optimiza el valor de Z ( solucion optima). IX).- Probar factibilidad, es decir, sustituir los valores de X1 y X2 que optimizan Z , en cada una de las restricciones del problema, recordando que la función Z es optima, si primero es factible. X).- CONCLUSIÓN.
  14. 14. I).- METODO GRAFICO: PROBLEMA DE AUTOEVALUACION: El director de servicio de agua de una ciudad encuentra una forma de proporcionar al menos 10 millones de litros de agua potable al dia (10mld). El suministro puede ser proporcionado por el deposito local o por medio de unas tuberías desde una ciudad vecina (por bombeo). El deposito local tiene un rendimiento diario de 5 millones de litros de agua diarios (5mld), que no puede ser sobrepasado. La tubería no puede abastecer mas de 10 millones de litros diarios (10mld), debido a su diámetro. Por otra parte. Por acuerdo contractual, se bombearía como mínimo 6 millones de litros diarios (6mld). Finalmente el agua del deposito cuesta $ 300 por millón de litros de agua (ml) y $ 500 por tubería (por bombeo). ¿cómo podrá el director minimizar los costos de suministro diario de agua?. SOLUCION: I).- Formular el Problema (Fase I). a).- Determinar el objetivo del Problema : minimizar los costos. b).- Definir las variables del Problema: Z = Costos X1 = Cantidad de litros de agua abastecidos por el deposito local: C1 = $300 / millón de litros X2 = Cantidad de litros de agua abastecidos por tubería (bombeo): C2 = $ 500/ Millon de litros. c).- Establecer restricciones del problema: 1).- Requerimiento mínimo de abastecimiento de 10 millones de litros de agua diarios. 2).- Capacidad máxima del deposito local de 5 millones de litros de agua diarios. 3).- Capacidad máxima de tubería de 10 millones de litro de agua diarios. 4).- Requerimiento mínimo por contrato de la tubería de 6 millones de litros de agua diarios. II).- Construir el modelo del problema (Fase II). a).- Función Objetivo : Min Z = 300X1 + 500X2. b).- Sujeta a las Restricciones: 1. X1 + X2 ≥ 10 mld (Para satisfacer el requerimiento mínimo de litros de agua de la ciudad). 2. X1 ≤ 5 mld ( Capacidad del deposito). 3. X2 ≤ 10 mld ( Capacidad de la tubería) 4. X2 ≥ 6 mld (Requerimiento de suministro de la tubería). c).- No – negatividad: X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0.
  15. 15. III).- Convertir el sistema de restricciones a un sistema de ecuaciones (en forma directa). SISTEMA DE RESTRICCIONES SISTEMA DE ECUACIONES 1. X1 + X2 ≥10 1. X1 + X2 = 10 2. X1 ≤ 5 2. X1 = 5 3. X2 ≤10 3. X2 = 10 4. X2 ≥ 6 4. X2 = 6 5. X1 ≥ 0 ; X2 ≥0 IV).- Encontrar los puntos vértices P( X1, X2), de cada ecuación. 1. X1 + X2 = 10 Si X1 = 0 por lo tanto X2 = 10 : P1 (0, 10). Si X2 = 0 por lo tanto X1 = 10 : P2 (10, 0). 2. X1 = 5 por lo tanto X2 = 0 : P3 (5, 0) 3. X2 = 10 por lo tanto X1 = 0 : P4 (0, 10) 4. X2 = 6 por lo tanto X1 = 0 : P5 (0, 6). V) Eligiendo una escala, trazar cada una de las restricciones (1/2 CMS =1 unidad)
  16. 16. VI) Limitar de acuerdo al tipo de restricción. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 P1 X2>=0 P10 P9 P7 P8 P5 P3 P2 P6 P4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X2>=6 X2>=0X1<=5 X1 + X2>=10 X1>=0 Coordenadas (gráficamente) P1 (0,10) P7 (5,5) P2 (10,0) P8 (4,6) P3 (5,0) P9 (5,6) P4 (0,10) P10 (5,10) P5 (6,10) P6 (0,0)
  17. 17. VII) Encontrar el área de solución, definida por el conjunto convexo. Como podemos observar en las graficas, el área 1, es en la que es en la que converge todas las flechas (conjunto convexo). VIII) Sustituir los puntos vértices del área de solución en la función objetivo. De acuerdo a la grafica, los puntos vértices del área de solución son: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 P1 X2>=0 P10 P9 P7 P8 P5 P3 P2 P6 P4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X2>=6 X2>=0X1<=5 X1 + X2>=10 X1>=0 () () () ( ) ( ) ( ) AREA DE SOLUCION P1 (0,10) P10 (5,10) P8 (4,6) P9 (5,6)
  18. 18. P1(0 , 10) ; P8(4 , 6) ; P9(5 , 6) y P10(5 , 10) P(X1 , X2) ; Min Z = 300 X1+500X2 P1(0 , 10) ; Z1 = 300(0)+500(10) = 0+5000 ∴Z1=$5000 P8(4 , 6) ; Z8 = 300(4)+500(6) = 1200+3000 ∴Z8=$4200 Optimo mínimo P9(5 , 6) ; Z9 = 300(5)+500(6) = 1500+3000 ∴Z9=$4500 P10(5 , 10) ; Z10 = 300(5)+500(10) = 1500+5000 ∴Z1=$6500 Como podemos observar el punto P8(4 , 6), arroja el valor mínimo de Z = $4200 Solución optima: X1 = 4 mld ; X2 = 6 mld y Z Min= $4200 IX)Probar factibilidad: Si X1=4 y X2=6 1.- X1+X2 ≥10 3.- X2 ≤10 5.- X1 ≥0 y X2 ≥0 4 + 6 ≥10 6 ≤10 (Cumple) 4 ≥0 y 6 ≥0 (Cumple) 10 ≥10 (Cumple) 2.- X1 ≤5 4.- X2 ≥6 4 ≤5 (Cumple) 6 ≥6 (Cumple) X)Conclusión: El director deberá suministrar 4 millones de litros de agua diarios a través del deposito local y 6 millones de litros de agua diarios a través de las tuberías (Por bombeo); para satisfacer el requerimiento mínimo de 10 millones de litros de agua diarios a un costo mínimo de $4200. I).- METODO GRAFICO:
  19. 19. Problemas Propuestos: 1).- Una compañía elabora dos productos. Mesas y sillas y se deben procesar a través de los departamentos de ensamble y acabado. Ensamble tiene 60 horas disponibles, acabado puede manejar hasta 48 horas de trabajo. La fabricación de una mesa requiere 4 horas de ensamble y 2 horas de acabado. Si la utilidad es de $80 por mesa y $60 por silla, ¿ cual es la mejor combinación posible de mesas y sillas para producir y vender y obtener la máxima ganancia? 2).- Una compañía esta tratando de encontrar la mejor manera de cortar platos de papel de rollo estándar. Tiene dos pedidos de platos: uno por 100,000 platos de 9 pulgadas. El otro por 178,000 platos de 7 pulgadas. Se han propuesto dos métodos de corte. El corte A rinde 5 platos de 9 pulgadas y 10 platos de 7 pulgadas, mas 4 pulgadas de desperdicio por cada rollo de material. El corte B rinde 8 platos de 9 pulgadas y 5 platos de 7 pulgadas, mas 6 pulgadas de desperdicios por cada rollo de material. ¿ Cuantos cortes de cada tipo deben hacerse para minimizar el desperdicio?. 3).- Un expendio de carnes de la ciudad acostumbrada ha preparar carnes para albondigon con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo, la carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa y le cuesta a la tienda $40 el kilo, la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa y cuesta $30 por kilo. ¿ Que cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada kilo de albondigon, si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor del 25%?. II).- MÉTODO SIMPLEX:
  20. 20. La mayoría de los problemas reales de programación lineal tienen mas de dos variables y son por ende demasiado grandes para su solución grafica. Un procedimiento llamado método simplex desarrollado en 1947 por el norteamericano George B. Dantzia puede ser utilizado para encontrar la solución óptica de los problemas con multivariables. El Método Simplex es en realidad un algoritmo ( ó un conjunto de instrucciones) con el que se examinan los puntos vértices (esquinas) de una manera metódica hasta conseguir la mejor solución: la máxima utilidad ó el mínimo costo, por ejemplo. TIPOS DE SOLUCIÓN: Solución Factible: Es un valor del conjunto de variables (vector solución) para el cual todas las restricciones se cumplen, incluyendo las de no-negatividad. Solución Optima: Es una solución factible que optimiza la función objetivo “z”. Solución Básica: En un sistema de ecuaciones con n variables (n , m). Una solución es aquella se obtiene de fijar (n , m) variables del sistema iguales a cero y resolver el sistema en función de las “m” restantes, a estas variables se les llaman Variables Básicas. Solución Básica Factible: Es aquella solución básica en que todas las variables básicas son no-negativo. TIPOS DE VARIABLES: Variables de Decisión: Son aquellas variables que determinan la solución del problema y se denotan por Xj. Variables Base: Son aquellas variables que se agregan al sistema de restricciones como de holgura y artificiales y pertenecen a la columna Vb. Variables de Holgura: La variable de holgura se denota por Hi y Hj, cuya ecuación es: 1)Al introducirla a la restricción, la convierte en ecuación. 2)Forma parte de la matriz identidad y su costo es cero. 3)En la tabla simplex, en renglón representa el sobrante del recurso y en la columna representa el sobrante de la contribución. Variable Artificial: Esta variable se denota por Ai y Aj, cuya función es: 1)Sirve como variable basica inicial, carece de sentido en el problema, solo en un artificio. 2)Forma parte de la matriz identidad y su costo es M, tan grande cuando Z se minimiza y tan pequeña cuando Z se maximiza, para garantizar valore negativos y positivos, respectivamente 3)Tiene preferencias de entrar a la tabla simplex inicial. PROPIEDADES:
  21. 21. 1)El conjunto de soluciones factibles es un conjunto convexo. 2)Si existe una solución factible, existirá una solución básica factible, correspondiente a un punto vértice del conjunto de soluciones factibles (conjunto convexo). 3)Existe un número finito de soluciones básicas factibles (puntos vértices del conjunto convexo). 4)Si la función objetivo posee un óptimo finito. Entonces dicho óptimo estará dado por una ó mas soluciones básicas factibles. PROCEDIMIENTO DE CALCULO: I)Formación del problema (fase I). II)Construccion del modelo del problema (fase II). III)Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones; agregando variables de holgura y artificiales, según sea el tipo de restricción: TIPO DE RESTRINCCION SE AGREGA FUNCION OBJETIVO ≤ Hi Max ó Min Z= 0 Hj = Ai Max Z = -MAj ó Min Z= Maj ≥ -Hi + Ai Max Z=0Hj-MAj ó Min Z=0Hj+MAj NOTA: La variables artificial Ai, tiene preferencia de entrar a la columna base Vb. IV)Construir la nueva función objetivo, incluyendo las variables de holgura primero y segundo las variables artificiales, con sus respectivos costos (0 y +M ó –M) V)Construir el sistema de ecuaciones, incluyendo las variables de holgura primero y segundo las artificiales, la variable que no contenga la ecuación, se agregará con coeficiente cero. VI)Construir la tabla simplex inicial (tabla N°1): 1)Definir una columna-renglón Cj que contenga en renglón los coeficientes de la función objetivo y en columna los coeficientes de las variables básicas (holgura y artificiales) 2)Definir una columna que contenga las variables básicas Vb ( de holgura y artificiales). 3)Definir una columna que contenga los recursos disponibles bj (columna solucion). 4)Definir la matriz de cuerpo que contiene las columnas de las variables de decisión Xi y sus coeficientes tecnológicos aij. 5)Definir la matriz identidad que contiene las columnas de las variables básicas (primero las de holgura y después las artificiales), con sus respectivos coeficientes técnicos +- 1. 6)Definir el renglón Zj, empleando las expresión : Zj = ( columna Cj ) ( columnas aj) ; es decir, la suma de los productos de los elementos correspondientes de la columna Cj con cada columna aj. 7)Definir el renglón Cj- Zj ; el cual se obtiene restando los elementos del renglón Zj, de los elementos correspondientes del renglón Cj. TABLA SIMPLEX INICIAL (Tabla N° 1)
  22. 22. MATRIZ DE CUERPO MATRIZ IDENTIDAD Cj C1 C2 .. Cj 0 0 .. 0 +_M +_M .. +_M Vb bj X1 X2 .. Xj H1 H2 .. H j A1 A2 .. Aj 0 H1 b1 a11 a12 .. aij 1 0 .. 0 +_1 0 .. 0 0 H2 b2 a21 a22 .. a2j 0 1 .. 0 0 +_1 .. 0 : : : : : .. : : : .. : : : .. : 0 Hi : : : .. : : : .. : : : .. : +- M A1 : : : .. : : : .. : : : .. : +-M A2 : : .. : : : .. : : : .. : : : : : : .. : : : .. : : : .. : +-M Ai bj ai1 ai2 .. aij 0 0 .. 1 0 0 .. +_1 Zj Cj-Zj VII).- Resolver la tabla simplex (proceso iterativo). 1)Determinar la variable de entrada : la determina el valor mayor positivo del renglón Cj- Zj, si el objetivo es Max Z o el valor mayor negativo si el objetivo es Min Z, definiéndose así, la columna seleccionada aj. 2)Determinar la variable de salida : esta variable se determina empleando la ecuación matricial : Vb = bj/aj ; es decir, el menor valor positivo de dividir cada elemento de la columna recursos bj entre sus correspondientes elementos de la columna seleccionada aj, definiendo así, el renglón seleccionado Rs. (posteriormente renglón pivote). 3)Obtener el numero pivote np, el cual se obtiene por la intersección del renglón y columna seleccionados y se encierra en un circulo.       n pR s a j 4)Obtener los elementos del renglón pivote (R.P.) , el cual se obtiene multiplicando los elementos del renglón seleccionado Rs por el inverso multiplicativo del numero pivote np, es decir : R.P. = np 1 Rs y se introduce a las siguiente tabla 5)Calcular los valores de los renglones restantes aplicando la expresión “NE”.
  23. 23.             −             =             a jd as e l e c c i o n a c o l u m n al ac o n a c t u a lr e n g l o nd e l o nI n t e r s e c c iE l e m e n t o r e n g l o n d e l a c t u a l e s E l e m e n t o s r e n g l o n n u e v o d e l E l e m e n t o s             p i v o t e r e n g l o n d e l E l e m e n t o s “NE” e introducirlos a la siguiente tabla: 6)Calcular los renglones Zj y Cj – Zj, e introducirlos a la siguiente tabla. VIII) Verificar optimalidad : si el objetivo es Max Z; Cj – Cj ≤ 0. en todos sus elementos y si el objetivo es Min Z; Cj- Zj ≥ 0, en todos sus elementos , de no cumplirse, repetir el paso VII. IX)Obtener la solución optima del problema, empleando la ecuación matricial : Vb = bj. X)Verificar la factibilidad. Sustituyendo los valores óptimos de las variables de decisión Xi encada restricción, incluyendo las de no- negatividad.
  24. 24. XI)Conclusión. II) Método Simplex : Problema de Auto evaluación. Una compañía manufacturera puede producir dos productos A y B. La producción esta organizada en tres departamentos : fabricación, ensamble y pintura, con capacidades semanales de 72 hora, 30 horas y 40 horas para los tres departamentos, respectivamente. Cada unidad del producto A requiere dos horas de tiempo de fabricación, una hora de ensamble y dos horas de pintura. Las condiciones en las ganancias son de $ 8 y $ 10 por unidad del producto A y B, respectivamente. La compañía es capaz de vender cualquier cantidad de los dos productos, determine: a).- la solución optima, empleando el método simplex; b) ¿qué departamento tiene exceso de capacidad? Y c) si a la compañía le ofrecen pintura en oferta a $ 2/litro. ¿debería comprarla?.
  25. 25. SOLUCION: a). Obtener solución optima, empleando simplex. I) Formulación del problema (fase I). a) Determinar el objetivo : maximizar la ganancia. b) Definir variables : Z= ganancia X1 = Nª de productos tipo A a producir ; C1 = $ 8 / producto. X2 = Nª de productos tipo B a producir : C2 = $ 10 / producto. c). Establecer restricciones : 1). Tiempo • Departamento de Fabricación : 72 horas semanales • Departamento de ensamble : 30 horas semanales. • Departamento de pintura : 40 horas semanales. II) Construcción del modelo del problema (fase II). a). Funcion objetivo : Max Z = 8X1 + 10 X2 b). Sujeta a las restricciones : • Departamento de Fabricación : 2X1 + 3X2 ≤ 72 • Departamento de ensamble : X1 + X2 ≤ 30 • Departamento de pintura : X1 + 2X2 ≤ 40 c). No – Negatividad : X1 ≥ 0; X2 ≥ 0 III) Convertir el sistema de restricciones a un sistema de ecuaciones, agregando variables de holgura y/o artificiales, según el tipo de restricción, en este problema, podemos observar las tres restricciones son ≤ , por lo tanto a ambas se les agrega variable de holgura Hi. Sistema de Restricciones Sistema de Ecuaciones 2X1 + 3X2 ≤ 72 2X1 + 3X2 + H1 = 72 X1 + X2 ≤ 30 X1 + X2 + H2 = 30 X1 + 2X2 ≤ 40 X1 + 2X2 + H3 = 40 H1 ; H2 y H3, Con costo cero IV). Construir nueva Función Objetivo : Max Z = 8X1 + 10X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 V). Construir el sistema de ecuaciones : 2X1 + 3X2 + H1 + 0H2 + 0H3 = 72 X1 + X2 + 0H1 + H2 + 0H3 = 30 X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + H3 = 40 No – Negatividad : X1 ≥ 0 ; X2≥ 0 ; H1≥ 0 ; H2≥ 0 ; H3≥ 0. VI). Construir la tabla simplex inicial ( tabla n° 1). Tabla N°1: Entra X2 (a2:seleccionada). Función objetivo. Cj 8 10 0 0 0
  26. 26. Vb bj X1 X2 H1 H2 H3 0 H1 72 2 3 1 0 0 0 H2 30 1 1 0 1 0 0 H3 40 1 2 0 0 1 Sale H3 (R3 seleccionado) Zj 0 0 0 0 0 0 Cj-Zj 8 10 0 0 0 Zj = (Columna Cj) (columna aj) Cj-Zj = renglón Cj – renglón Zj Zjbj = 0 (72) + 0 (30) + (40) = 0 Cj – Zj X1 = 8-0 = 8 ZjX1= 0(2) + 0 (1) + 0 (1) = 0 Cj – ZjX2 = 10 –0 = 10 ZjX2= 0(3) + 0 (1) + 0 (2) = 0 Cj – ZjH1 = 0-0 = 0 ZjH1= 0(1) + (0) + 0 (0) = 0 Cj – ZjH2 = 0-0 = 0 ZjH2= 0(0) + 0(1) + 0 (0) = 0 Cj – ZjH3 = 0-0 = 0 ZjH3= 0(0) + 0(0) + 0(1) = 0 VII). Resolver la tabla N°1 (Primera iteración) 1)Determinar la variable de entrada : como el objetivo es Max Z; la determina el mayor valor positivo de Cj – Zj = 10 , entonces X2 debe entrar a la base Vb, definiendo asi la columna seleccionada a2 =           2 1 3 2)Determinar la variable de salida empleando la ecuación matricial Vb = bj/a2 (menor valor positivo)
  27. 27. Vb = bj/a2 ; ; 2 0 3 0 2 4 2/4 0 1/3 0 3/7 2 3 2 1 1 3 4 0 3 0 7 2 3 2 1           =           =               ∴                 =           H H H H H H Siendo 20 el menor valor positivo, entonces H3 debe salir de la base
  28. 28. Vb, definiendo asi, el renglon seleccionado R3. 3)Obtener el numero pivote np, de acuerdo a la tabla N°1 , np = 2 4)Obtener los elementos del renglón pivote, empleando la ecuación : R.p. = 1/2R3, e introducirlo a la tabla siguiente ; es decir, tabla N° 2. R.P. = ½ (40 1 2 0 0 1) = 20 ½ 1 0 0 ½ Tabla N°2: Entra X1 (a1:seleccionada). Función objetivo. Cj 8 10 0 0 0 Vb bj X1 X2 H1 H2 H3 0 H1 12 1/2 0 1 0 -3/2 0 H2 10 1/2 0 0 1 -1/2 Sale H2 (R2 seleccionado) 10 X2 20 1/2 1 0 0 1/2 Zj 200 5 10 0 0 5 Cj-Zj 3 0 0 0 -5 5)Obtener los valores de los renglones restantes R1 y R2 ; empleando la expresión “NE”, e introducirlos a la siguiente tabla (Tabla Nª 2 ) NR1=R1-3 R.P. NR2=R2-1 R.P. R1 72 2 3 1 0 0 R2 30 1 1 0 1 0 -3 R.P. –3(20 ½ 1 0 0 ½) -1 R.P. –1(20 ½ 1 0 0 ½) 72 2 3 1 0 0 30 1 1 0 1 0 -60 -3/2 –3 0 0 -3/2 -20 –1/2 -1 0 0 -1/2 NR1 12 ½ 0 1 0 -3/2 NR2 10 ½ 0 0 1 -1/2 6)Calcular los renglones Zj y Cj–Zj e introducirlos a la siguiente tabla.(Tabla Nª 2). Zjbj = 0 (12) + 0 (10) + 10 (20) = 200 Cj – ZjX1 = 8-5 = 3 ZjX1= 0 (1/2) + 0 (1/2) + 10 (1/2) = 5 Cj – ZjX2 = 10 –10 = 0 ZX2 = 0 (0) + 0 (0) + 10 (1) = 10 Cj – ZjH1 = 0-0 = 0 ZjH1 = 0 (1) + 0 (0) + 10 (0) = 0 Cj – ZjH2 = 0-0 = 0 ZjH2 = 0 (0) + 0 (1) + 10 (0) = 0 Cj – ZjH3 = 0-5 = -5 ZjH3 = 0 (-3/2) + 0 (-1/2) + 10 (1/2) = 5 *Poner tabla después de paso 6 NR1 NR2 R.P. sumarsumar
  29. 29. VIII).- Verificar optimalidad: como el objetivo Max Z ; Cj – Zj ≤ 0, en todos sus elementos, ya que C1- Z1 = 3 ≥ 0 ; no cumple, repetir el paso VII. VII).- Resolver tabla N° 2 (segunda iteración). 1).- Se determina la variable de entrada ; como el objetivo es Max Z, la determina el valor mayor positivo de Cj – Zj = 3, entonces X1, debe entrar a la base Vb, definiendo asi la columna seleccionada a1 =           2/1 2/1 2/1 2).-Se determina la variable de salida empleando la ecuación matricial : Vb bj/a1 (menor valor positivo), es decir:
  30. 30.           =           =           ∴                   =           4 0 2 0 2 4 2/1/2 0 2/1/1 0 2/1/1 2 2 2 1 2/1 2/1 2 0 1 0 1 2 2 2 1 X H H X H H ; Siendo 20 el menor valor positivo,
  31. 31. entonces H2 debe salir de la base Vb, definiendo el renglón seleccionado R2. 3).- Obtener el numero pivote np, de acuerdo a la tabla N°2, np= ½ 4).- Obtener los elementos del renglón pivote R.P., empleando la ecuación R.P.= 2R2; e introducirlo a la siguiente ; es decir, tabla N°3. R.P. = 2 (10 ½ 0 0 1 -1/2) = 20 1 0 0 2 -1 Tabla N°2: Cj 8 10 0 0 0 Vb bj X1 X2 H1 H2 H3 0 H1 2 0 0 1 -1 -1 8 X1 20 1 0 0 2 -1 10 X2 10 0 1 0 -1 1 Zj 260 8 10 0 6 2 Cj-Zj 0 0 0 -6 -2 5).- Calcular los valores de los renglones restantes R1 y R3, empleando la expresión “NE”, e introducirlos a la siguiente tabla (Tabla N° 3). NR1=R1-1/2 R.P. NR3=R3-1 R.P. R1 12 ½ 0 1 0 -3/2 R3 20 ½ 1 0 0 ½ -1/2 R.P. –1/2(20 1 0 0 2 -1) -1/2 R.P. –1(20 ½ 1 0 0 ½) 12 ½ 0 1 0 -3/2 20 ½ 1 0 0 ½ -10 -½ 0 0 -1 ½ -20 –1/2 -1 0 0 -1/2 NR1 12 ½ 0 1 0 -3/2 NR3 10 ½ 0 0 1 -1/2 6).- Calcular los renglones Zj y Cj- Zj, e introducirlos a la siguiente tabla ( Tabla Nª 3) Zjbj = 0(2) + 8(20) + 10(10) = 0+160+100=260 Cj-Zj X1= 8-8 = 0 Zj X1= 0(0) + 8(1) + 10(0) = 0+8+0 = 8 Cj-Zj X2 = 10-10 = 0 Zj X2= 0(0)+ 8(0) + 10(1) = 0+0+10 = 10 Cj-Zj H1= 0-0 = 0 NR1 NR2 R.P. Función Objetivo sumarsumar
  32. 32. Zj H1= 0(1) + 8(0) + 10(0) = 0+0+0 = 0 Cj-Zj H2 = 0-6 = -6 Zj H2= 0(-1) + 8(2) + 10(-1) = 0+16-10 = 6 Cj-Zj H3 = 0-2 = -2 Zj H3= 08-1) + 8(-1) + 10(1) = 0-8+10 = 2 VIII).- Verificar optimalidad como el objetivo es Max Z, Cj-Zj ≤ 0, en todos sus elementos, de acuerdo a la tabla N° 3, todos cumplen, por lo tanto, la tabla N° 3, es optima. IX).- Obtener la solución optima, empleando la ecuación matricial : Vb = bj ; es decir:               =               2 6 0 1 0 2 0 2 2 1 1 Z j X X H ; por lo tanto ; X).- Verificar Factibilidad : sustituyendo X1=20 y X2=10; en el sistema de restricciones del problema: 2X1 + 3X2 ≤ 72 X1 + X2 ≤ 30 X1 + 2X2≤ 40 2(20) + 3(60) ≤ 72 20 + 10 ≤ 30 20 + 2(10)≤ 40 40 + 30 ≤ 72 (cumple) 30≤ 30 (cumple) 40 ≤ 40 (cumple) IX).- Conclusión : La compañía deberá elaborar 20 productos tipo A y 10 productos tipo B ; para obtener la Máxima utilidad de $ 260, a la semana. b).- ¿ Que departamento o departamentos tiene exceso de capacidad? Revisando la tabla N° 3 (optima), el valor de las variables de holgura en renglón: H1=2 ; H2=0 y H3=0, entonces. Si H1=2, esto indica que el departamento de fabricación es el que tiene exceso de capacidad de 2 horas semanales. X1=20 H1=2 X2=10 H2=0 Z Max = $260 H3=0
  33. 33. c).- Si a la compañía le ofrecen pintura en oferta de $2/litro, ¿debería comprarla? Revisando la tabla N°3 (optima), es el valor absoluto de las variables de holgura en columna H1=$0, H2=$6 y H3=$2; como podemos observar H3= $2 ; por lo tanto la compañía deberá comprar la pintura de oferta. II).- METODO SIMPLEX: Problemas Propuestos: 1).- En un taller José esta tratando de decidir cuantos ganchos para trailer debe hacer para usar un metal de desperdicio ; tiene dos tipos de metal y puede hacer cualquiera de dos tipos de ganchos : en la tabla siguiente se proporcionan los datos necesarios: METAL RECURRIDO PARA DISPONIBLE Gancho Tipo I Gancho Tipo II Hierro Acanalado 5 5 35 Hierro Plano 6 9 54 a) Jose gana $ 13 por cada gancho tipo I y $ 16 por cada tipo II, ya prometió hacer dos ganchos tipo II. b) A José le ofrecen hierro acanalado adicional a $2 / unidad. ¿deberá comprarlo?
  34. 34. 2).- Un inversionista tiene $ 10000 que quisiera produjeran tanto dinero como sea posible, quiere invertir parte en acciones, parte en bonos y colocar el resto en una cuenta de ahorro. El inversionista cree poder ganar 8 % con el dinero que invierte en acciones el 7 % que invierte en bonos. El banco el 5 % de intereses sobre la cuenta de ahorro. Como las acciones son una inversión con cierto riesgo, decide no invertir en acciones mas de lo que ponga en la cuenta de ahorros. El inversionista se quedara con al menos $ 2000 en la cuenta de ahorros por si necesita dinero en efectivo de inmediato .¿ cuanto dinero deberá invertir en cada tipo? 3).- Una mujer quiere diseñar un programa de ejercicios semanales, incluyendo caminata bicicleta y natación. Para variar los ejercicios, planea invertir al menos: tanto tiempo en bicicleta como la combinación de caminata y natación .Además quiere nadar al menos dos horas ala semana, por que le gusta mas nadar que los otros ejercicios. La caminata consume 66 calorías por hora , en la bicicleta consume 300 calorías por hora, quiere quemar al menos 300 por hora y nadando gasta 300 ,quiere al menos 3000 calorías a la semana por medio de los ejercicios.¿Cuantas horas debe dedicar a cada tipo de ejercicio si quiere minimizar el numero de hojas invertidas? . 4).- Cierta compañía tiene un filial que le provee las latas que necesita para comercializar su producto, en dicha filial que produce las latas de aluminio obtiene las tapaderas, a partir de hojas metálicas rectangulares, las dimensiones de estas hojas son de : 6 centímetros * 15 centímetros se requieren dos tamaños diferentes de tapas, el diámetro de las pecunias es de 3 centímetros y el de las grandes de 6 centímetros. El programa de producción de un dia determinado es de 20000 tapa . chicas y 5000 tapas grandes. a) Formular construir el modelo de programación lineal correspondiente que minimice el numero total de hojas metálicas usadas de tal manera de obtener la mejor combinación de tapas de los diferentes tamaños que pueden ser cortadas. b) Obtenga la solución optima, empleando el Método Simplex III)Método Dual: Asociado a cualquier problema de programación lineal (primal), hay otro problema relacionado llamado “Dual”. Aunque la idea de dualidad es esencialmente en Matemáticas, veremos en esta sección que la dualidad tiene importantes interpretaciones económicas que pueden ayudar a los gerentes a responder preguntas sobre recursos alternativos de acción y sus valores relativos, es decir, el método dual es la base del análisis de sensibilidad. Este método se recomienda utilizarlo, cuando el numero de restricción es mayor al número de variables de decisión Xj, requiere un cambio de variable de Xj a Yj. Este método los problemas de maximización, los resuelve minimizando y los de minimización los resuelve maximizando. Procedimiento de calculo: I)Formular el problema (fase I) II)Construir el modelo del problema (fase II)
  35. 35. III)Construir el problema primal cuando el objetivo es MAX Z, todas sus restricciones deben quedar expresadas con menor e igual (≤), y cuando el objetivo es MIN Z, todas sus restricciones deben quedar con mayor e igual (≥); es decir. Problema primal (caso I). Cambio de variable a).- Función objetivo: MAX Ζ= c1x1 + c2x2 +… + cjxj para el dual b).- Sujeta a las restricciones: a11X1 + a12X2 +… + a1jxj ≤ b1 y1 a21X1 + a22X2 +… + a2jxj ≤ b2 y2 : : : : : : : ai1X1 + ai2X2 + … + aijxj ≤ bj yj c).- No-Negatividad : xj ≥ Ø ; j = 1,2,3, …, n. Problema primal (caso II). Cambio de variable a).- Función objetivo: Min Ζ = c1x1 + c2x2 +… + cj xj para el dual b).- Sujeta a las restricciones: a11X1 + a12X2 +… + a1jxj ≥ b1 y1 a21X1 + a22X2 +… + a2jxj ≥ b2 y2 : : : : : : : ai1X1 + ai2X2 + … + aijxj ≥ bj yj c).- No Negatividad : xj ≥ Ø ; j = 1,2,3, …, n. IV)Construir el problema dual, a partir del problema primal haciendo cambio de variable y tomando los valores de los recursos bj y la nueva variable Yj, se construye la función objetivo del problema dual y las restricciones se establecen tomando coeficientes tecnológicos aij de las columnas del primal, para convertirlas en región para el dual, restringiéndolas a la contribución Cj de las variables de decisión Xj, sin olvidar que si el objetivo del primal es Max Z, el dual lo resuelve Min Z, con sus restricciones mayor e igual, pero si el objetivo del primal es Min Z, el dual lo resuelve Max Z, con sus restricciones mayor e igual. Problema primal (caso I) Max Z = c1x1 + c2x2 + … + cjxj Sujeta a: a11x1 + a12x2 + … + a1jxj ≤ b1 a21x1 + a22x2 + … + a2jxj ≤ b2 : : : : : ai1X1 + ai2X2 + … + aijxj ≤ bj Xj ≥ Ø : j = 1,2,3, …, n Problema Dual (caso I) Min Z = b1y1 + b2y2 + … + bjyj
  36. 36. Sujeta a: a11y1 + a21y2 + … + aλ1yj ≥ c1 a21x1 + a22x2 + … + aλ2yj ≥ c2 : : : : : a1jy1 + a2jy2 + … + aijyj ≥ cj Yj ≥ Ø : j = 1,2,3, …, n Problema primal (caso II) Min Z = c1x1 + c2x2 + … + cjxj Sujeta a: a11x1 + a12x2 + … + a1jxj ≥ b1 a21x1 + a22x2 + … + a2jxj ≥ b2 : : : : : ai1X1 + ai2X2 + … + aijxj ≥ bj yj ≥ Ø : j = 1,2,3, …, n Problema Dual (caso II) Max Z = b1y1 + b2y2 + … + bjyjj Sujeta a: a11y1 + a21y2 + … + ai1yj ≤ c1 a12y1 + a22y2 + … + ai2yj ≤ c2 : : : : : a1jy1 + a2jy2 + … + aijyj ≤ cj yj ≥ Ø : j = 1,2,3, …, n V)Resolver el problema dual, empleando el método SIMPLEX con el siguiente procedimiento: 1)Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones, agregando variables de holgura y artificiales, según el tipo de restricción. 2)Establecer la nueva función objeto, que incluya todas las variables 3)Establecer el nuevo sistema de ecuaciones, que incluya todas las variables. 4)construir la tabla SIMPLEX inicial (tabla N°1). 5)Resolver tabla número 1 (proceso iterativo): Obtener: a)Variable de entrada; b)Variable de salida; c)Numero pivote; d)Elementos de región pivote; e)Elementos de los regionales restantes y f)Elementos de las regiones zj y cj-zj. 6)Revisar optimalidad, de no cumplirse repetir el paso V.
  37. 37. VI)Obtener la solución optima: de la tabla SIMPLEX optima, se obtienen los valores absolutos de Cj – Zj, de las variables holgura Hj, cuyos valores corresponden a las variables de Xj, es decir, Xj = Hj y para obtener el valor optimo de Z, se sustituyen los valores de Xj en la función de objetivo del problema original (fase II). VII)Se verifica la factibilidad; sustituyendo los valores de Yj en el sistema de restricciones del sistema original (fase II). VIII)Conclusión. III)Método Dual: Problema de auto evaluación: En una determinada empresa, uno de los productos finales que se fabrican, tienen una especificación de peso igual a 150 gramos. Las dos materias primas que se utilizan son A, con un costo unitario de $20 y B con un costo unitario de $80; se deben usar por lo menos 14 unidades de B y no mas de 20 unidades de A. cada unidad A pesa 5 gramos y las de B pesan 10 gramos. ¿Cuánto debe usar de cada tipo de material por unidad de producto final si se desea minimizar los costos? Resuelva empleando el método dual. Solución: I)Formular el problema (fase I) a) Determinar el objetivo: minimizar los costos b) Definir las variables: Z = costos
  38. 38. X1 = numero de unidades a utilizar del producto A; c1=$20/producto X2 = numero de unidades a utilizar del producto B; c1=$80/producto c) Establecer restricciones: 1.-Peso del producto final = 150 gramos 2.-Requerimiento mínimo de 14 unidades del producto B 3.-Requerimiento máximo de 20 unidades del producto A II)Construir el método del problema (fase II) a) Función objetivo: Min Z = 20X1 + 80X2 b) Sujeta a las restricciones: 1. Peso del producto final: 5X1 + 10X2 = 150 2. Requerimiento mínimo: X2 ≥ 14 3. Requerimiento máximo X1 ≤ 20 c) No-negatividad: X1 ≥ Ø ; X2 ≥ Ø Nota: cuando una restricción esta definida para una igualdad, esta debe expresarse como dos desigualdades, es decir: 5x1 + 10x2 = 150; debe expresarse: 5x1 + 10x2 ≥ 150 5x1 + 10x2 ≤ 150 III)Construir el problema primal: como el objetivo es Min Z, todas sus restricciones deben quedar expresadas con mayor e igual ≥, es decir: Problema primal (caso II) Min Z = 20x1 + 80x2 Sujeta a: Cambio de variable para dual 5x1 + 10x2 ≥ 150 y1 -5x1 - 10x2 ≥ -150 y2 Øx1 + x2 ≥ 14 y3 - x1 + Øx2 ≥ -20 y4 x1 ≥ Ø; x2 ≥ Ø IV)construir el problema dual: si el objetivo del primal es Min Z (caso II); entonces el problema dual, lo resuelve Max Z, cuyas restricciones deben quedar expresadas como menor e igual ≤, es decir: Problema primal (caso II) Problema dual (caso II) MIN Z = 20x1 + 80x2 Max Z = 150y1 – 150y2 + 14y3 - 20y4 Sujeta a: Sujeta a: 5x1 + 10x2 ≥ 150 5y1 – 5y2 + Øy3 – y4 ≤ 20 -5x1 - 10x2 ≥ -150 10y1 – 10y2 + 4y3 + Øy4 ≤ 80 Øx1 + x2 ≥ 14 y1; y2; y3; y4 ≥ Ø - x1 + Øx2 ≥ -20 x1 ≥ Ø;x2 ≥ Ø V)Resolver el problema dual, empleando el método SIMPLEX. 1)Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones: esto se logra agregando variables de holgura y artificiales, según el tipo de estricción; en nuestro problema queda así:
  39. 39. Y 1 Restricciones: 5y1 – 5y2 + Øy3 – y4 ≤ 20 10y1 – 10y2 + 4y3 + Øy4 ≤ 80 Ecuaciones: 5y1 – 5y2 + Øy3 – y4 + H1 = 20 10y1 – 10y2 + 4y3 + Øy4 + H2 = 80 2)Función objetivo: Max Z = 150y1 – 150y2 +14y3 -20y4 + ØH1 + ØH2 3)Sistema de ecuaciones: 5y1 – 5y2 + Øy3 – y4 + H1 + ØH2 = 20 10y1 – 10y2 + y3 + Øy4 + ØH1 + H2 = 80 y1; y2; y3; y4; ≥ Ø; H1; H2 ≥ Ø 4)Construir la tabla SIMPLEX inicial (tabla 1) Tabla N°1: Entra Y1 (a1:seleccionada). Función objetivo. Cj 150 -150 14 -20 0 0 Vb bj Y2 Y3 Y4 H1 H2 0 H1 20 5 -5 0 -1 1 0 0 H2 80 10 -10 1 0 0 1 Zj 0 0 0 0 0 0 0 Cj-Zj 150 -150 14 -20 0 0 5)Resolver tabla No 1 (primera iteración) a)Determinar variable de entrada: como el objetivo es Max Z, la defina Cj-Zj mayor positivo; es decir: C1-Z1=150 ; por lo que Y1, debe entrar la base Vb (a1 seleccionada) b)Determinar variable de salida: empleando la ecuación matricial Vb = bj/a1 (Menor valor positivo; es decir: H 1 Sale H1 (R1 seleccionado)
  40. 40.       2 1 H H =             1 0 5 8 0 2 0 =       =      ∴      8 4 2 1 1 0/8 0 5/2 0 H H ; Siendo 4 el menor valor positivo, H1 debe salir de la base Vb. (R1 seleccionado). c)Obtener el numero pivote np: de acuerdo a la tabla N°1 ; np = 5. d)Calcular los elementos del renglón pivote R.P. , empleando la ecuación. R.P.= 1/5 R1 ; e introducirlo a la siguiente tabla, es decir, tabla N°2. R.P. = 1/5 [ ]011-05-520 = 4 1 -1 0 -1/5 1/5 0 Tabla N°2: Entra Y3 (a3:seleccionada). Función objetivo. Cj 150 -150 14 -20 0 0 Vb bj Y1 Y2 Y3 Y4 H1 H2 150 Y1 4 1 -1 0 -1/5 1/5 0 0 H2 40 0 0 1 2 -2 1 Zj 600 150 -150 0 -30 30 0 Cj-Zj 0 0 14 10 -30 0 H 2 Sale H2 (R2 seleccionado) R.P. NR2
  41. 41. e)Calcular renglón restante R2, empleando la ecuación “NE”, e introducirlo a la tabla N°2. NR2 = R2-10 R.P. R2 80 10 -10 1 0 0 1 -10R.P. -10( 4 1 -1 0 -1/5 1/5 0 ) 80 10 -10 1 0 0 1 sumar -40 -10 10 0 2 -2 0 NR2 40 0 0 1 2 -2 1 f)Calcular los renglones Zj y Cj-Zj Zj bj = 150(4)+0(40) = 600+0 = 600 Cj-Zj Y1 = 150-150 =0 Zj Y1 = 150(1)+0(40) = 150+0 = 150 Cj-Zj Y2 = -150-(-150) = -150+150 = 0 Zj Y2 = 150(-1)+0(0)= -150+0 Cj-Zj Y3 = 14-0 = 14 Zj Y3 = 150(0)+0(1)= 0+0 = 0 Cj-Zj Y4 = -20-(-30) = -20+30 = 10 Zj Y4 = 150(-1/5)+0(2) = -30+0 = -30 Cj-Zj H1 = 0-30 = -30 Zj H1 = 150(1/5)+0(-2) = 30+0 = 30 Cj-Zj H2 = 0-0 = 0 Zj H2 = 150(0)+0(0) = 0+0 = 0 6)Verificar optimalidad: cuando el objeto es Max Z; Cj-Zj ≥0, en todos sus valores, de acuerdo a la tabla N°2: C3-Z3=14 > 0 ; C4-Z4=10 > 0 ; no cumplen, por lo tanto se repite el paso N°5. 5)Resolver tabla N°2 (Segunda iteración). a)Determinar variable de entrada: Cuando el objetivo es Max Z, la define Cj-Zj mayor valor positivo ; es decir: C3-Z3= 14, por lo tanto Y3 debe entrar a la base Vb: (a3:seleccionada) b)Determinar variable de salida: Empleando la ecuación matricial Vb = bj/a3 (menor valor positivo); es decir:       2 1 H Y =               1 0 4 0 4 =       = ∞= 401/40 0/4 ∴       2 1 H Y =       ∞ 40 ; Siendo 40 el valor menor positivo, entonces H2 debe salir de la base Vb (R2 seleccionado). c)Obtener el numero pivote np. De acuerdo a la tabla N°2. np = 1
  42. 42. d)Calcular los elementos del renglón pivote: R.P.= 1R2; e introducirlo a la siguiente tabla, es decir a la tabla N°3: R.P.= 1[ ]12-210040 = 40 0 0 1 2 -2 1 Tabla N°3: Función objetivo. Cj 150 -150 14 -20 0 0 Vb bj Y1 Y2 Y3 Y4 H1 H2 150 Y1 4 1 -1 0 -1/5 1/5 0 14 Y3 40 0 0 1 2 -2 1 Zj 1160 150 -150 14 -2 2 14 Cj-Zj 0 0 0 -18 -2 -14 e)Calcular renglón restante R1, empleando la ecuación “NE”, e introducirlo a la tabla N°3. NR1 = R1-0 R.P. R1 4 1 -1 0 -1/5 1/5 0 -10R.P. 0( 40 0 0 1 2 -2 1 ) 4 1 -1 0 -1/5 1/5 0 sumar 0 0 0 0 0 0 0 NR2 4 1 -1 0 -1/5 1/5 0 f)Calcular los renglones Zj y Cj-Zj , e introducirlos a la tabla N°3. Zj bj = 150(4)+14(40) = 600+560 = 1160 Cj-Zj Y1 = 150-150 =0 Zj Y1 = 150(1)+14(0) = 150+0 = 150 Cj-Zj Y2 = -150-(-150) = -150+150 = 0 Zj Y2 = 150(-1)+14(0)= -150+0 Cj-Zj Y3 = -20-(-2) = -20+2 = -18 Zj Y3 = 150(-1/5)+14(2)= -30+28 = -2 Cj-Zj Y4 = 14-14 = 0 Zj Y4 = 150(0)+14(1) = 0+14 = 14 Cj-Zj H1 = 0-2 = -2 Zj H1 = 150(1/5)+14(-2) = 30-28 = 2 Cj-Zj H2 = 0-14 = -14 Zj H2 = 150(0)+14(1) = 0+14 = 14 6)Revisar optimalidad: Como el objeto es Max Z; Cj-Zj ≥0, en todos sus elementos revisando la tabla N°3: se cumple Cj-Zj ≤ 0 ; por lo tanto la tabla N°3, es optima. VI)De la tabla optima, obtenemos los valores absolutos de las contribuciones de las variables de holgura Hj, es decir: H1=2 y H2=14 ; valores que corresponden a X1 y X2, respectivamente, por lo tanto: Z min = 20(2)+80(14) = 40+1120 = $1160. La X1=2 Solución X2=14 Optima Z Min = $1160.
  43. 43. VII)Verificar factibilidad: Sustituir los valores X1=2 y X2=14, en el sistema de restricciones del problema original. 1.- 5X1+10X2 = 150 2.- X2 ≥14 3.- X1 ≤20 5(2)+10(14)=150 14 ≥14 (cumple) 2 ≤20 (cumple) 10 + 140 =150 150 = 150 (cumple) VIII)Conclusión: La empresa deberá usar 2 unidades del producto A y 14 unidades del producto B, para obtener un producto final de peso igual a 150 gramos a un costo mínimo de $1160. III)METODO DUAL Problemas Propuestos. 1)Una compañía mueblera manufactura dos clases de camas hechas de madera prensada, la cama tipo A requiere 5 minutos para corte y 10 minutos para ensamble. La cama tipo B requiere 8 minutos para corte y 8 minutos para ensamble. El beneficio de cama tipo A es de $50 y de $60 para tipo B. ¿Cuántas camas de cada clase se deben producir para obtener la máxima ganancia, si existe un compromiso de producción de cuando menos 10 del tipo A y 10 del tipo B? Resuelva empleando el método dual. 2)Una compañía fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas: normal y extra grande. El proceso de manufactura asociado con la fabricación de las bombas implica tres actividades: ensamblado, pintado y control de calidad. Los requerimientos de recursos para ensamble, pintura y control de calidad de las bombas se muestran en la tabla. La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es $50 en tanto que la utilidad por una bomba extra grande es de $75. Existen disponibles por semana 4800 horas de tiempo para ensamble,1980 horas de tiempo de pintura y 400 horas de tiempo de control de calidad. Las experiencias anteriores de ventas señalan que la compañía puede esperar vender cuando menos 300 bombas normales y 180 de las extra grandes por semana. A la compañía le gustaría determinar la cantidad de cada tipo de bomba que debe fabricar semanalmente con el objeto de maximizar sus: utilidades. Resuelva empleando el método Dual. Tabla de datos técnicos: Tipo de bomba Tiempo de ensamblé Tiempo de pintura Tiempo de control de calidad Normal 3.6 1.6 0.6 Extra grande 4.8 1.8 0.6
  44. 44. Actividad 9: Aplicando la Fase III: Resolver Problema de Auto evaluación: Cierta compañía tiene una fabrica situada a los alrededores de una ciudad. Su producción se limita a dos productos industriales A y B. El departamento de contabilidad ha calculado las contribuciones de cada producto en $10 para A y de $12 para B. Cada producto pasa por tres departamentos de la fabrica. Los requerimientos de tiempo para cada producto y el total de tiempo disponible en cada departamento, se citan en la tabla. ¿Qué cantidad de cada producto debe fabricarse, para obtener el máximo beneficio? Resolver aplicando los métodos: Grafico, simplex y dual. Tabla de Datos Técnicos: Departamentos Productos A B Horas disponibles (semanales) Ensamble 2 3 1500 Acabado 3 2 1500 Inspección 1 1 600 Solución: Aplicando el Método Grafico: I)Formular el problema (Fase I).
  45. 45. a)Determinar el objetivo del problema: Maximizar la ganancia. b)Definir las variables del problema: Z = Ganancia X1 = Numero de unidades a producir del producto A; c1=$10/producto. X2 = Numero de unidades a producir del producto B; c1=$12/producto. c)Establecer las restricciones del problema: 1)Capacidad de tiempo semanal. Departamento de ensamble: 1500 Horas Departamento de acabado: 1500 Horas Departamento de inspección: 600 Horas II) Construcción del modelo del problema (fase II). a)Función objetivo: Max Z = 10X1+12X2 b)Restricciones: 3X1+3X2 ≤1500 (departamento de ensamble) 3X1+2X2 ≤1500 (departamento de acabado) X1+ X2 ≤600 (departamento de inspección) c)No-negatividad: X1 ≥0 ; X2 ≥0 III)Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones (en forma directa). Sistema de restricciones: Sistema de ecuaciones: 1.- 2X1+3X2 ≤1500 1.- 2X1+3X2 = 1500 2.- 3X1+2X2 ≤1500 2.- 3X1+2X2 = 1500 3.- X1+ X2 ≤600 3.- X1+ X2 = 600 X1 ≥0 ; X2 ≥0 IV) 1.- 2X1+3X2 =1500 2.- 3X1+2X2 = 1500 3.- X1+X2 = 600 1°) Si X1= 0 1°) Si X1= 0 1°) Si X1= 0 2(0)+3X2=1500 3(0)+2X2=1500 0+X2=600 3X2=1500 2X2=1500 X2=600 X2=500 X2=750 ∴P5(0 , 600) ∴P1(0 , 500) ∴P3(0 , 750) 2°) Si X2 = 0 2°) Si X2 = 0 2°) Si X2 = 0 X1+0 = 600 2X1+3(0) = 1500 3X1+2(0) = 1500 X1=600 2X1=1500 3X1=1500 ∴P6(600 , 0) X1=750 X1=500 ∴P2(750 , 0) ∴P4(500 , 0) V) Eligiendo una escala, trazar cada una de las restricciones (1 CMS =100 unidades)
  46. 46. VI) Limitar de acuerdo al tipo de restricción. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 100 200 300 400 500 600 700 800 x2>=0 3x1+2x2<=1500 X1+x2<=600 P8(300,300) 2x1+3x2<=1500 X1>=0P2P6P4 P1 P5 P3 P7 0 100 200 300 400 500 600 700 800 100 200 300 400 500 600 700 800 x2>=0 3x1+2x2<=1500 X1+x2<=600 P8(300,300) 2x1+3x2<=1500 X1>=0P2P6P4 P1 P5 P3 P7 AS ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
  47. 47. VII) Encontrar el área o áreas de solución definida por el conjunto convexo, como podemos observar en la grafica, el área 4, es en la que convergen todas las fichas (Conjunto convexo). VIII ) Sustituir cada uno de los puntos vértices del área de solución en la función objetivo, para obtener la solución optima. P(X1 , X2) ; Max Z = 10X1+12X2 P1 (0 , 500) ; Z1 = 10 (0)+12(500) = 0+6000 = 6000 P4 (500 , 0) ; Z4 = 10 (500)+12(0) = 5000+0 = 5000 P7 (0 , 0) ; Z7 = 10 (0)+12(0) = 0+0 = 0 P8 (300 , 300) ; Z8 = 10 (300)+12(300) = 3000+3600 = 6600 Optimo máximo Como podemos observar el punto P8(300 , 300), arroja el valor máximo de Z; entonces: La solución optima es : X1 = 300 ; X2=300 y Z Max = $6,600. IX) Verificar factibilidad; sustituyendo X1=300 y X2=300 ; en el sistema de restricciones: 1.- 2X1+3X2 ≤1500 2.- 3X1+2X2 ≤ 1500 3.- X1+X2 ≤ 600 2(300)+3(300) ≤1500 3(300)+2(300) ≤1500 300+300 ≤600 600+900 ≤1500 900+600 ≤1500 600 ≤600(Cumple) 1500 ≤1500 (Cumple) 1500 ≤1500 (Cumple) X)Conclusión: La compañía deberá elaborar 300 productos tipo A y 300 productos tipo B; para obtener la máxima ganancia de $6,600 en la semana. AREA DE SOLUCION P1(0,500) P8(300,300) P4(500,0) P7(0,0)
  48. 48. Solución: Aplicando el método simplex. I) Formular el problema (Fase I). a) Determinar el objetivo del problema: Maximizar la ganancia. b) Definir las variables del problema: Z = Ganancia X1 = Numero de unidades a producir del producto A; c1=$10/producto. X2 = Numero de unidades a producir del producto B; c1=$12/producto. c) Establecer las restricciones del problema: 1) Capacidad de tiempo semanal. Departamento de ensamble: 1500 Horas Departamento de acabado: 1500 Horas Departamento de inspección: 600 Horas II) Construcción del modelo del problema (fase II). a) Función objetivo: Max Z = 10X1+12X2 b) Restricciones: 3X1+3X2 ≤1500 (departamento de ensamble) 3X1+2X2 ≤1500 (departamento de acabado)
  49. 49. X1+ X2 ≤600 (departamento de inspección) c) No-negatividad: X1 ≥0 ; X2 ≥0 III) Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones, agregando variables base. Es decir, de holgura y artificiales, según el tipo de restricción, de acuerdo al sistema de restricciones, se agregar variable de holgura Hi, por ser del tipo ≤, entonces: Sistema de restricciones: Sistema de ecuaciones: 2X1+3X2 ≤1500 2X1+3X2 +H1 = 1500 ; H1 ≥0 3X1+2X2 ≤1500 3X1+2X2 +H2= 1500 ; H2 ≥0 X1+ X2 ≤600 X1+ X2 +H3= 600 ; H3 ≥0 H1 ; H2 ; H3 ; Con Costo Cero IV) Función objetivo: Max Z = 10X1+12X2+0H1+0H2+0H3 V) Sistema de ecuaciones: 2X1+3X2+ H1+0H2+0H3 = 1500 3X1+2X2+0H1+ H2+0H3 = 1500 X1+ X2+0H1+0H2+ H3 = 600 VI)Constituir la tabla simplex inicial (Tabla N°1). Tabla N°1 Entra X2 (a2:seleccionada). Cj 10 12 0 0 0 Vb bj X1 X2 H1 H2 H3 0 H1 1500 2 3 1 0 0 0 H2 1500 3 2 0 1 0 0 H3 600 1 1 0 0 1 Zj 0 0 0 0 0 0 Cj-Zj 10 12 0 0 0 Zj = (Columna Cj) (Columna aj) y Cj-Zj = Renglón Cj-Renglón Zj Función objetivo. Sale H1(R1:Seleccionado)
  50. 50. VII) Resover tabla N°1 (primera iteración) 1)Determinar la variable de entrtada: como el objetivo es Max Z, la determina el mayor valor positivo de Cj-Zj, es decir, C2-Z2=12 ; por lo tanto X2, debe entrar a la base Vb. (a2 seleccionada). 2)Determine la variable de salida: empleando la ecuación matricial. Vb = bj/a2 (Menor valor positivo).
  51. 51.           =           ∴           =                   =           6 0 0 7 5 0 5 0 0 3 2 1 1/6 0 0 2/1 5 0 0 3/1 5 0 0 2 3 6 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 3 2 1 H H H H H H ; Siendo 500 el menor valor positivo,
  52. 52. entonces H1 debe slir de la base Vb. (R1:seleccionado) 3)Obtener el numero pivote np ; de acuerdo a la tabla N°1 ; Np = 3 4)Obtener los elementos del renglón pivote R.P. ; empleando la ecuación. R.P.=1/3 R1 ; e introducirlo a la siguiente tabla ; es decir, a la tabla N°2. R.P. = 1/3 (1500 2 3 1 0 0) = 500 2/3 1 1/3 0 0 Tabla N°1 Entra X1 (a1:seleccionada). Cj 10 12 0 0 0 Vb bj X1 X2 H1 H2 H3 12 X2 500 2/3 1 1/3 0 0 0 H2 500 5/3 0 -2/3 1 0 0 H3 100 1/3 0 -1/3 0 1 Zj 6000 8 12 4 0 0 Cj-Zj 2 0 -4 0 0 5)Obtener los valores de los renglones restantes ; empleando la expresión “NE”, e introducirlos a la tabla N°2; es decir, NR2 = R2-2 R.P. NR3 = R3-1 R.P. R2 1500 3 2 0 1 0 R3 600 1 1 0 0 1 -2 R.P. –2(500 2/3 1 1/3 0 0) -1 R.P. –1(20 ½ 1 0 0 ½) 500 3 2 0 1 0 600 1 1 0 0 1 -1000 -4/2 –2 -2/3 0 0 -500 –2/3 -1 –1/3 0 0 NR2 500 5/3 0 -2/3 1 0 NR3 100 1/3 0 –1/3 0 1 6)Calcular los renglones Zj y Cj–Zj e introducirlos a la siguiente tabla.(Tabla Nª 2). Zj bj = 12 (500) + 0 (500) + 0 (100) = 6000+0+0 = 6000 Cj – Zj X1 = 10-8 = 2 Zj X1= 12 (2/3) + 0 (5/3) + 0 (1/3) = 8+0+0 = 8 Cj – Zj X2 = 12 –12 = 0 Zj X2 = 12 (1) + 0 (0) + 0 (0) = 12+0+0 = 12 Cj – Zj H1 = 0-4 = -4 Zj H1 = 12 (1/3) + 0 (-2/3) + 0 (-1/3) = 4+0+0 = 4 Cj – Zj H2 = 0-0 = 0 Zj H2 = 12 (0) + 0 (1) + 0 (0) = 0+0+0 = 0 Cj – Zj H3 = 0-0 = 0 Zj H3 = 12 (0) + 0 (0) + 0 (1) = 0+0+0 = 0 R.P. NR2 NR3 Función objetivo. Sale H2(R2:Seleccionado) sumarsumar
  53. 53. VIII).- Verificar optimalidad: Cuando el objetivo es Max Z ; Cj – Zj ≤ 0, en todos sus elementos, de acuerdo a la tabla N°2; C1- Z1 = 2 ≥ 0 ; no cumple, repetir el paso VII. VII).- Resolver tabla Nª 2 (segunda iteración). 1).- Determina la variable de entrada ; Cuando el objetivo es Max Z, la determina el valor mayor positivo de Cj–Zj; es decir, C1-Z1 = 2, entonces X1, debe entrar a la base Vb. (a1 seleccionada) 2).-Se determina la variable de salida: empleando la ecuación matricial : Vb bj/a1 (menor valor positivo), es decir:
  54. 54.           =           ∴           =                   =           3 0 0 3 0 0 7 5 0 3 2 2 3/1/1 0 0 3/5/5 0 0 3/2/5 0 0 3/5 3/2 1 0 0 5 0 0 5 0 0 3 2 2 H H X H H X ; Siendo 300 el menor valor positivo, entonces H2 debe salir de la base Vb,
  55. 55. definiendo el renglón seleccionado R2. 3).- Obtener el numero pivote np, de acuerdo a la tabla N°2, np= 5/3 4).- Obtener los elementos del renglón pivote R.P., empleando la ecuación R.P.= 3/5R2; e introducirlo a la siguiente ; es decir, tabla N°3. R.P. = 3/5 (500 5/3 0 -2/3 1 0) = 300 1 0 -2/5 3/5 0 Tabla N°2: Cj 10 12 0 0 0 Vb bj X1 X2 H1 H2 H3 12 X2 300 0 1 3/5 -2/5 0 10 X1 300 1 0 -2/5 3/5 0 0 H3 0 0 0 -1/5 -1/5 1 Zj 6600 10 12 16/5 6/5 0 Cj-Zj 0 0 -16/5 -6/5 0 5).- Calcular los valores de los renglones restantes, empleando la expresión “NE”, e introducirlos a la siguiente tabla (Tabla N° 3). NR1 = R1-2/3 R.P. NR3 = R3-1/3 R.P. R1 500 2/3 1 1/3 0 0 R3 100 1/3 0 -1/3 0 1 -2/3 R.P.=–2/3(300 1 0 -2/5 3/5 0) -1/3 R.P. –1/3(300 1 0 -2/5 3/5 0) 500 2/3 1 1/3 0 0 100 1/3 0 -1/3 0 1 -200 -2/3 0 4/15 –2/5 0 100 –1/3 0 2/15 -1/5 0 NR1 300 0 1 3/5 -2/5 0 NR3 0 0 0 –1/5 -1/5 1 6).-Obtener los elementos de los renglones Zj y Cj- Zj, e introducirlos a la tabla(Tabla N°3) Zj bj = 12 (300) + 10 (300) + 0 (0) = 3600+3600+0 = 6600 Cj – Zj X1 = 10-10 = 0 Zj X1= 12 (0) + 10 (1) + 0 (0) = 0+10+0 = 10 Cj – Zj X2 = 12 –12 = 0 Zj X2 = 12 (1) + 10 (0) + 0 (0) = 12+0+0 = 12 Cj – Zj H1 = 0-16/5 = -16/5 Zj H1 = 12 (3/5) + 10 (-2/5) + 0 (-1/5) = 36/5-20/5+0 = 16/5 Cj – Zj H2 = 0-6/5 = -6/5 Zj H2 = 12 (-2/5) + 10 (3/5) + 0 (-1/5) =-24/5+30/5+0 = 6/5 Cj – Zj H3 = 0-0 = 0 Zj H3 = 12 (0) + 10 (0) + 0 (1) = 0+0+0 = 0 NR1 N.P. RN3 Función Objetivo sumarsumar
  56. 56. VIII).- Verificar optimalidad como el objetivo es Max Z, Cj-Zj ≤ 0, en todos sus elementos, de acuerdo a la tabla N° 3, todos cumplen, por lo tanto, la tabla N° 3, es optima. IX).- Obtener la solución optima, empleando la ecuación matricial : Vb = bj ; es decir:               =               6 6 0 0 0 3 0 0 3 0 0 3 1 2 Z j H X X ; por lo tanto ; X).- Verificar Factibilidad : sustituyendo X1=300 y X2=300; en el sistema de restricciones, es decir : 1.- 2X1 + 3X2 ≤ 1500 2.- 3X1 + 2X2 ≤ 1500 3.- X1 + X2≤ 600 2(300) + 3(300) ≤ 1500 3(300)+2(300) ≤ 1500 300 + (300)≤ 40 600 + 900 ≤ 1500 900+600≤ 1500 600 ≤ 600 (cumple) 1500 ≤ 1500 (cumple) 1500≤ 1500 (cumple) IX).- Conclusión : La compañía deberá elaborar 300 productos tipo A y 300 productos tipo B ; para obtener la Máxima ganancia de $6600 a la semana. X1=300 H1= X2=300 H2=0 Z Max = $6600 H3=0
  57. 57. Solución: Aplicando el método Dual I) Formular el problema (Fase I). a) Determinar el objetivo del problema: Maximizar la ganancia. b) Definir las variables del problema: Z = Ganancia X1 = Numero de unidades a producir del producto A; c1=$10/producto. X2 = Numero de unidades a producir del producto B; c1=$12/producto. c) Establecer las restricciones del problema: 1) Capacidad de tiempo semanal. Departamento de ensamble: 1500 Horas Departamento de acabado: 1500 Horas Departamento de inspección: 600 Horas II) Construcción del modelo del problema (fase II). a) Función objetivo: Max Z = 10X1+12X2 b) Restricciones: 3X1+3X2 ≤ 1500 (departamento de ensamble) 3X1+2X2 ≤ 1500 (departamento de acabado) X1+ X2 ≤600 (departamento de inspección) c) No-negatividad: X1 ≥0 ; X2 ≥0 III) Construir el problema primal; cundo el objetivo es Max Z ; todas sus restricciones deben quedar expresadas con menor e igual ≤ ; es decir: Problema Primal (Caso I) Max Z = 10X1+ 12X2 Cambio de variable Sujeta a: para Dual 2X1+3X2 ≤1500 Y1 3X1+2X2 ≤1500 Y2 X1+ X2 ≤600 Y3 X1 ≥0 ; X2 ≥0
  58. 58. Y 1 IV)Construir el problema dual: si el objetivo del primal es MAX Z (caso 1); entonces el objetivo del dual es MIN Z, cuyas restricciones serán mayor e igual ≥ ;es decir. Problema primal (caso 1) problema dual (caso 1) Max Z = 10X1+12X2 Min Z = 1500Y1+1500Y2+600Y3 Sujeta a: Sujeta a: 2X1+3X2 ≤1500 2Y1+3Y2+Y3 ≥10 3X1+2X2 ≤1500 3Y1+2Y2+Y3 ≥12 X1+ X2 ≤600 Y1; Y2; Y3 ≥ 0 X1 ≥0; X2 ≥0 V)Resolver el problema Dual, empleando el método simplex. 1)Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones, agregando variables de holgura y artificiales, de acuerdo al tipo de restricción; es decir: Restricciones: 2Y1+3Y2+Y3 ≥10 ; Ecuaciones: 2Y1+3Y2+Y3 –H1+A1=10 3Y1+2Y2+Y3 ≥12 3Y1+2Y2+Y3 –H2+A2=12 H1 y H2 con costo cero, A1 y A2 con costo M 2)Función objetivo: Min Z=1500Y1+1500Y2+600Y3+0H1+0H2+MA1+MA2 3)Sistema de ecuaciones: 2Y1+3Y2+Y3-H1+0H2+A1+0A2=10 3Y1+2Y2+Y3+0H1-H2+0A1+A2=12 Y1; Y2; Y3; H1; H2; A1; A2 ≥0 4)Construir la tabla simplex inicial (Tabla N°1) Tabla N°1: Entra Y1 (a1:seleccionada). Función objetivo. Cj 1500 1500 600 0 0 M M Vb bj Y2 Y3 H1 H2 A1 A2 M A1 10 2 3 1 -1 0 1 0 M 12 3 2 1 0 -1 0 1 Sale A2 R2:selec. Zj 22M 5M 5M 2M -M -M M M Cj-Zj 1500-5M 1500-5M 600-2M M M 0 0 -3500 -3500 -1400 100 100 NOTA: M=1000 Zj bj = M(10)+M(12) = 10M+12M = 22M Cj-Zj Y1 = 1500-5M = 1500-5M A 2 3
  59. 59. Y 2 Zj Y1 = M(2)+M(3) = 2M+3M = 5M Cj-Zj Y2 = 1500-5M = 1500-5M Zj Y2 = M(3)+M(2) = 3M+2M = 5M Cj-Zj Y3 = 600-2M = 600-2M Zj Y3 = M(1)+M(1) = M+M = 2M Cj-Zj H1 = 0-(-M) = M Zj H1 = M(-1)+M(0) = -M+0 = -M Cj-Zj H2 = 0-(-M) = M Zj H2 = M(0)+M(-1) = 0-M = -M Cj-Zj A1 =M-M = 0 Zj A1 = M(1)+M(0) = M+0 = M Cj-Zj A2 = M-M = 0 Zj A2 = M(0)+M(1) = 0+M = M 5)Resolver tabla N°1 (Primera iteración). a)Determinar variables de entrada: cuando el onjetivo es Min Z; la define el mayor valor negativo de Cj-Zj; es decir C1-Z1=-3500, por lo tanto Y1 debe entrar a la base Vb: (a1:seleccionada). b)Determinar variable de salida: empleando la ecuación matrricial Vb = bj/a1(Menor valor positivo);       2 1 A A =       3/2 12/10 =       3/12 2/10 ∴       2 1 A A =       4 5 ; Siendo 4 el menor valor positivo; por lo tanto A2, sale de la base Vb (R2:seleccionado). c)Obtener el numero pivote np; de acuerdo a la tabla N°1; np=3. d)Calcular los elementos del renglón pivote R.P., con la ecuación: R.P. = 1/3R2, e introducirlo a la siguiente tabla, es decir, a la tabla N°2. R.P. = 1/3 [ ]101-012312 = 4 1 2/3 1/3 0 -1/3 0 1/3 Tabla N°2: Entra Y2 (a2:seleccionada). Función objetivo. Cj 1500 1500 600 0 0 M M Vb bj Y1 Y3 H1 H2 A1 A2 Sale A1 M A1 2 0 5/3 1/3 -1 2/3 1 -2/3 R1:selec. 1500 Y1 4 1 2/3 1/3 0 -1/3 0 1/3 Zj 2M+600 1500 5/3M+1000 1/3M+500 -M 2/3M-500 M -2/3+500 Cj-Zj 0 500-5/3M 100-1/3M M 500-2/3M 0 5/3M-500 -1166.7 -233.33 1000 -166.7 1166.7 M=1000 e)Calcular región restante R1, empleando la ecuación “NE”,e introducirlo a la tabla N°2 NR1=R1-2R.P.
  60. 60. R1 10 2 3 1 -1 0 1 0 -2R.P. –2( 4 1 2/3 1/3 0 -1/3 0 1/3) 10 2 3 1 -1 0 1 0 sumar -8 -2 -4/3 -2/3 0 2/3 0 -2/3 NR1 2 0 5/3 1/3 -1 2/3 1 -2/3 f)Calcular los renglones Zj y Cj-Zj e introducirlos a la tabla N°2. Zj bj = M(2)+1500(4)=2M+600 Cj-Zj Y1 = 1500-1500 =0 Zj Y1 = M(0)+1500(1)=1500 Cj-Zj Y2=1500-(5/3M+1000)=1500-5/3M-1000=500-5/3M Zj Y2 = M(5/3)+1500(2/3)=5/3M+100 Cj-Zj Y3=600-(1/3M+500)=600-1/3M-500=100-1/3 Zj Y3 = M(1/3)+1500(1/3)=1/3M+500 Cj-Zj H1=0-(-M) = M Zj H1 = M(-1)+1500(0) = -M Cj-Zj H2 = 0-(2/3M-500) = 500-2/3M Zj H2 = M(2/3)+1500(-1/3)=2/3M-500 Cj-Zj A1 =M-M = 0 Zj A1 = M(1)+1500(0) = M Cj-Zj A2=M-(-2/3M+500)=M+2/3M-500=5/3M-500 Zj A2 = M(-2/3)+1500(1/3)=-2/3M+500 6)Verificar optimalidad: cuando el objeto es Min Z; Cj-Zj ≤0, en todos sus valores, revisando la tabla N°2, C3-Z3 = 14 > 0 y C4-Z4 = 10 > 0 ; no cumplen, por lo tanto se repite el paso N°5. 5)Resolver tabla N°2 (Segunda iteración). a)Determinar variable de entrada: Como el objetivo es Max Z, la define Cj – Zj mayor valor positivo; es decir: C3-Z3 = 14 ; por lo tanto Y3 debe entrar a la base Vb, (a3:seleccionada). b)Determinar variable de salida: Empleando la ecuación matricial Vb = bj/a3 (menor valor positivo) ; es decir:       2 1 H Y =               1 0 4 0 4 =       = ∞= 401/40 0/4 ∴       2 1 H Y =       ∞ 40 ; Siendo 40 el menor, por lo tanto A1 debe salir de la base Vb (R1 seleccionado). c)Obtener el numero pivote np. De acuerdo a la tabla N°2. np=5/3 d)Calcular los elementos del renglón pivote R.P. empleando la ecuación: R.P.=3/5R1; e introducirlo a la siguiente tabla, es decir a la tabla N°3: R.P.= 3/5[ ]2/3-12/31-1/35/302 = 6/5 0 1 1/5 -3/5 2/5 3/5 -2/5 Tabla N°3: Función objetivo.
  61. 61. Cj 1500 1500 600 0 0 M M Vb bj Y1 Y2 Y3 H1 H2 A1 A2 1500 Y2 6/5 0 1 1/5 -3/5 2/5 3/5 -2/5 R.P. 1500 Y1 16/5 1 0 1/5 2/5 -3/5 -2/5 3/5 NR2 Zj 6600 1500 1500 600 -300 -300 300 300 Cj-Zj 0 0 0 300 300 M-300 M-300 M=1000 e)Calcular región restante R2, empleando la ecuación “NE”, e introducirlo a la tabla N°3. NR2 = R2-2/3R.P. R2 4 1 2/3 1/3 0 -1/3 0 1/3 -2/3R.P. –2/3 (6/5 0 1 1/5 -3/5 2/5 3/5 -2/5 4 1 2/3 1/3 0 -1/3 0 1/3 sumar -4/5 0 -2/3 -2/15 2/5 -4/15 -2/5 4/5 NR1 16/5 1 0 1/5 2/5 -3/5 -2/5 3/5 f)Calcular los renglones Zj y Cj-Zj, e introducirlos a la tabla N°3. Zj bj = 1500(6/5)+1500(16/5) = 1800+4800 = 6600 Zj Y1 = 1500(0)+1500(1)=0+1500=1500 ; Cj-Zj Y1 = 1500-1500 =0 Zj Y2 =1500(1)+1500(0)=1500+0=1500 ; Cj-Zj Y2=1500-1500=0 Zj Y3 =1500(1/5)+1500(1/5)=300+300=600 ; Cj-Zj Y3=600-600=0 Zj H1 =1500(-3/5)+1500(2/5)=-900+600=-300 ; Cj-Zj H1=0-(-300) = 300 Zj H2 =1500(2/5)+1500(-3/5)=600-900=-300 ; Cj-Zj H2 = 0-(-300) = 300 Zj A1 = 1500(3/5)+1500(-2/3)=900-600=300 ; Cj-Zj A1 =M-300 = M-300 Zj A2 =1500(-2/5)+1500(3/5)=-600+900=300 ; Cj-Zj A2=M-300=M-300 6)Verificar optimalidad: Cuando el objetivo es Min Z; Cj-Zj ≥0; en todos sus elementos; de acuerdo a la tabla N°3; todos cumplen; por lo tanto la tabla N°3, es optima. VI)De la tabla optima, obtener los valores absolutos de las contribuciones de las variables de holgura (Hj). Es decir: H1=300 y H2=300; valores que corresponden a X1 y X2, respectivamente, por lo tanto: X1=300 y X2=300; sustituyéndolos en la funcion objetivo del problema original, para obtener el valor de Z, entonces: ZMax = 10X1+12X2= 10(300)+12(300) = $6600. SOLUCION X1=300 , H1=0 OPTIMA X2=300 , H2=0
  62. 62. ZMax=6600 , H3=0 VII)Verificar factibilidad: sustituyendo X1=300 y X2=300; en el sistema de restricciones del problema original, es decir: 1) 2X1+3X2 ≤1500 2) 3X1+2X2 ≤1500 3) X1+X2 ≤600 2(300)+3(300)= ≤1500 3(300)+2(300) ≤1500 300+300 ≤600 600+900 ≤1500 900+600 ≤1500 600 ≤600 (cumple) 1500 ≤1500 (cumple) 1500 ≤1500(cumple) VIII) Conclusión: La compañía devera elaborar 300 productos tipo A y 300 productos tipo B; para obtener la máxima ganancia de $6600 a la semana. NOTA: Como podemos observar la solución del problema es igual, independientemente del método de solución, lo único que cambia es el de cada uno de ellos. Actividad 10: aplicando la fase III; Resolver los problemas de programación lineal. 1)Aplicando los métodos: grafico, simplex y dual, resolver los problemas propuestos: 1, 2, 3, 4, y 5 de la actividad 8 y del método grafico los problemas propuestos 1, 2, y 3. 2)Aplicando el método simplex, resolver los problemas propuestos: 6, 7, 8, 9 y 14 de la actividad 8; del método dual los problemas propuestos 1 y 2. 3)Aplicando el método dual, resolver los problemas propuestos: 1, 2, 3 y 4 del método simplex.
  63. 63. Capitulo III ANALISIS DE SENSIBILIDAD Actividad 11: análisis de sensibilidad: Introducción: El análisis de sensibilidad concierne al estudio de posibles cambios en la solución optima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original. Al alterarse nuestra situación actual y proporcionar nuevos datos, sobre estos podemos hacernos la pregunta ¿Cómo puede alterar cada situación la solución optima actual?, con cierta reflexión, sus respuestas podrán contestarse en alguna de las dos categorías siguientes: 1)La solución actual puede volverse infactible y 2)La solución actual puede volverse no optima. Las categorías están basadas en los cálculos primales duales, de los cuales observamos los siguientes: I)La infactibilidad de la solución puede ocurrir solo si: 1)Se altera la disponibilidad de los recursos bj y 2)Se agregan nuevas restricciones Xn II)La no optimalidad de la solución actual puede ocurrir solo si: 1)Se cambia la contribución Cj; 2)Se cambia los coeficientes tecnológicos aij y 3)Se añaden nuevas actividades Xj Procedimiento general: Con base en lo antes propuesto, el procedimiento general para realizar el análisis de sensibilidad se puede resumir de la manera siguiente: 1)Empleando el método simplex, resolver el modelo de programación lineal y obtener su tabla simplex optima.
  64. 64. Cj C1 C2 . . . Cj 0 0 . . . 0 Función objetivo Vj bj X1 X2 . . . Xj H1 H2 . . . Hj C1 X1 m1 C2 X2 m2 . . . . . . B-1 A B-1 . . . Cj Xj mj Zj CBXB CBB-1 A-Cj CBB-1 Cj-Zj Donde: B-1 = Matriz inversa (comprendida solo por las variables de holgura Hj) CBB-1 = Vector dual (comprendido solo por las variables de holgura Hj) 2)Para el o los cambios propuestos en el modelo original, volver a determinar los nuevos elementos de la tabla optima actual mediante el uso de los cálculos primales duales. Estos consisten en restablecer la tabla simplex optima del problema original e introducirle los cambios del nuevo problema. 3)Si la nueva tabla no es optima, ir al paso #4, si es infactible, ir al paso #5, de lo contrario anotar la solución en la nueva tabla como el nuevo optimo. 4)Aplicar el método simplex a la nueva tabla para obtener una nueva solución optima. 5)Aplicar el método dual a la nueva tabla para recobrar la factibilidad.
  65. 65. Actividad 12: I)Cambios que afectan la factibilidad. 1)Cambios en los recursos disponibles bj: Sabemos por calculos primales duales que los cambios en los segundos miembros de las restricciones solo pueden afectar a la columna bj de la tabla optima, es decir solo pueden afectar la factibilidad. Por lo tanto, todo lo que tenemos que hacer es volver a calcular la columna bj de la tabla original. Supongamos que el problema original es ; Ahora si cambiamos a bj por(bj+ ∆bj); el nuevo problema es: Max Z = CjXj Max Z = CjXj Sujeta a: Sujeta a: Axj ≤bj Axj ≤(bj+ ∆bj) Xj ≥0 Xj ≥0 Procedimiento de análisis: 1)Obtener la solución optima del problema original, empleando el método simplex. 2)Se incrementa bj, quedando como: bj+ ∆bj. 3)Se establece el nuevo problema (en forma primal) 4)Se extrae la matriz inversa B-1 , de la tabla simplex optima. 5)Se calcula la nueva solución optima XB; empleando la ecuación matricial: XB =B-1 (bj+ ∆bj) donde XB es la matriz columna formada por las variables de la columna base Vb. 5.1)Si XB ≥0, en todos sus elementos; la nueva solución XB, es factible y el nuevo valor de Z, se calcula sustituyendo los valores de Xi en la función objetivo y después ir al
  66. 66. paso N°8. 5.2)Si XB < 0, en alguno de sus elementos, la nueva solución XB es infactible; cuando esto ocurre, ir al paso N°6. 6)Aplicando el método dual, restablecer la tabla simplex optima, introduciéndole los valores de XB en la columna Vb y calcular los renglones Zj y Zj-Cj. 7)Aplicando el método simplex, resolver la tabla restablecida, bajo el siguiente procedimiento: A)Sacar de la columna Vb las variables de valor negativo (infactible). B)Introducir la variable que hace positivo a la variable de salida (siendo el cociente de menor valor positivo). C)Obtener el numero pivote np (intersección de renglón y columna seleccionada). D)Calcular los elementos del renglón pivote R.P., con la ecuación: R.P.= np 1 Rs, e introducirlo a la siguiente tabla (nueva). E)Calcular los nuevos elementos de los renglones restantes, aplicando la ecuación “NE” e introducirlos a la nueva tabla. F)Calcular los elementos de los renglones Zj y Cj-Zj, e introducirlos a la nueva tabla. G)Calcular la nueva solución optima, aplicando la ecuación matricial: Vb=bj. H)Verificar factibilidad; sustituyendo los nuevos valores de Xi en el nuevo problema. 8)Conclusión. 2)Agregar nueva restricciones Xn: Agregar nuevas variables Xn; crea nuevos términos Zj-Cj y nuevas columnas Yj en la tabla. Si asociado a la nueva actividad Xn se conoce su contribución Cj y su vector de coeficientes tecnológicos aij el procedimiento de análisis que debe seguirse es: 1)Obtener la solución optima del problema original, empleando el método simplex. 2)Establecer el nuevo problema (en forma primal). 3)El agregar una nueva restricción Xn, puede dar origen a dos situaciones: 3.1)La nueva restricción Xn, la satisface la solución optima, si esto ocurre, la solución optima no sufre cambios, ir al paso N°7. 3.2)La solución optima, no satisface a la nueva restricción Xn, por lo tanto se volverá de enlace (debe entrar a la columna Vb), ir al paso N°4. 4)Aplicando el método dual, restablecer la tabla simplex optima, bajo el siguiente procedimiento. a)Agregar una nueva variable de holgura Hi, a la nueva restricción. b)Calcular el valor de la nueva variable de holgura, aplicando procedimiento algebraico entre renglones, basándonos en la nueva restricción y la tabla simplex optima. c)Calcular los valores del renglón de la nueva variable de holgura, basándonos en el procedimiento algebraico entre renglones. d)Los valores de la columna de la nueva variable de holgura, son todos igual a cero en cada uno de los renglones, excepto el ultimo renglón, el cual debe ser la unidad. e)Construir la nueva tabla, agregando renglón y columna que corresponden a la nueva variable de holgura. f)Calcular los elementos de los renglones Zj y Zj-Cj, e introducirlo a la nueva tabla.
  67. 67. 5)Empleando el metodo simplex, se resuelve la tabla restablecida, bajo el siguiente procedimiento. a)Sacar de columna Vb, la variable de valor negativo (infactible). b)Introducir la variable que hace positiva a la variable de salida, siendo el cociente de menor valor positivo. c)Obtener el numero pivote np. d)Calcular los elementos del renglón pivote R.P., empleando la ecuación: R.P.= np 1 Rs , e introducirlo a la siguiente tabla. e)Calcular los nuevos elementos de los renglones restantes, empleando la ecuación “NE” e introducirlos a la siguiente tabla. f)Calcular los elementos de los renglones Zj y Zj-Cj, e introducirlo a la nueva tabla. 6)Obtener la nueva solucion optima, empleando la ecuación matricial Vb = bj. 7)Conclusión. Actividad 13: I)Cambios que afectan la factibilidad. PROBLEMA DE AUTOEVALUACION: En una carpintería se fabrican mesas y sillas, la carpintería cuenta con dos departamentos en paralelo con capacidad de 40 horas semanales respectivamente. Cada mesa deja una ganancia de $150 y requiere de 4 horas de trabajo en el departamento I y 2 horas en el departamento II. Mientras que una silla deja ganancia de $200 y requiere 2 horas de trabajo del departamento I y 4 horas del departamento II. Obtener: a)La solución optima, empleando el método simplex. b)Si la capacidad de los departamentos cambian ambos de 40 a 48 horas semanales. ¿afecta a la solución optima el cambio de los recursos? c)Si la capacidad del departamento I cambia de 40 a 24 horas semanales y la capacidad del departamento II, cambia de 40 a 60 horas semanales. ¿afecta a la solución optima el cambio de los recursos disponibles? d)En una de las semanas en la misma empresa un cliente importante pidió a la carpintería que fabricara mínimo 4 sillas. ¿puede la carpintería satisfacer el pedido del cliente?, en caso de que no, ¿qué debe de hacer la carpintería para poder satisfacer la orden del cliente?. e)Supongamos que en una de las semanas el cliente pidió la producción mínima de 7 sillas. ¿podría la carpintería satisfacer la petición del cliente? En caso de que no. ¿qué debe hacer la carpintería para satisfacer la orden del cliente?. SOLUCION: A)Obtener la solución optima, empleando el método simplex.
  68. 68. I)Formulación del problema (fase I). a)Determinar el objetivo del problema: Maximizar la ganancia. b)Definir las variables del problema: Z = ganancia X1 = numero de mesas a producir; C1=$150/mesas X2 = numero de sillas a producir; C2 = $200/sillas c)Establecer las restricciones del problema: 1)capacidad de tiempo semanal *Departamento I: 40 horas *Departamento II: 40 horas II)Construcción del modelo del problema (fase II). a)Función objetivo: Max Z = 150X1+200X2 b)Restricciones: 4X1+2X2 ≤40 (departamento I) 2X1+4X2 ≤40 (departamento II) c)No-negatividad: X1 ≥0 ; X2 ≥0 III)Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones Sistema de restricciones: Sistema de ecuaciones: 4X1+2X2 ≤40 4X1+2X2+H1=40 ; H1 ≥0 2X1+4X2 ≤40 2X1+4X2+H2=40 ; H2 ≥0 IV)Función objetivo: Max Z = 150X1+200X2+0H1+0H2 V)Sistema de ecuaciones: Depto. I: 4X1+2X2+H1+0H2 =40 Depto. II: 2X1+4X2+0H1+H2 =40 VI)Construir tabla simplex inicial (tabla N°1) Tabla N°1: Entra X1 (a2:seleccionada). Cj 150 200 0 0 Función objetivo. Vb bj X1 X2 H1 H2 0 H1 40 4 2 1 0 0 40 2 4 0 1 Sale A2 (R2:seleccionado). Zj 0 0 0 0 0 Cj-Zj 150 200 0 0 VII)Resolver tabla N°1 (primera iteración). H 2
  69. 69. 1)Determinar variable de entrada: cuando el objetivo es Max Z, la define el mayor valor positivo de Cj-Zj, es decir: C2-Z2 = 200, entonces X2 debe entrar a la base Vb: a2 seleccionada. 2)Determinar variable de salida: empleando la ecuación matricial Vb = bj/a2 (menor valor positivo).       2 1 H H =               4 2 4 0 4 0 = ∴      4/40 2/40       2 1 H H =       10 20 ; siendo 10, el menor valor positivo, entonces H2, debe salir de la base Vb (R2:seleccionado). 3)Obtener el numero pivote: np = 4. 4)Calcular los elementos del renglón pivote: R.P.= 4 1 R2 ; e introducirlo a la siguiente tabla (tabla N°2). R.P. = 4 1 [ ]104240 = 10 1/2 1 0 1/4 Tabla N°2: Entra X1 (a1:seleccionada). Cj 150 200 0 0 Función objetivo. Vb bj X1 X2 H1 H2 0 H1 20 3 0 1 -1/2 Sale H1 (R1:seleccionado). NR1 200 X2 10 1/2 1 0 1/4 R.P. Zj 200 100 200 0 50 Cj-Zj 50 0 0 -50 5)Calcular los nuevos elementos del renglón restante R1, aplicando la ecuación “NE”, introducirlo a la tabla N°2 ; NR1 = R1-2R.P. R1 40 4 2 1 0 -2R.P. -2[ ]1/4011/210 40 4 2 1 0 sumar
  70. 70. -20 -1 -2 0 -1/2 NR1 20 3 0 1 -1/2 6)Calcular los elementos de los renglones Zj y Zj-Cj, e introducirlos a la tabla N°2. Zj bj = 0(20)+200(10) = 0+2000 = 2000 Zj X1 = 0(3)+200(1/2) = 0+100 = 100 ; Cj-Zj X1 = 150-100 = 50 Zj X2 = 0(0)+200(1) = 0+200 = 200 ; Cj-Zj X2 = 200-200 = 0 Zj H1 = 0(1)+200(0) = 0+0 =0 ; Cj-Zj H1 = 0-0 = 0 Zj H2 = 0(-1/2)+200(1/4) = 0+50 = 50 ; Cj-Zj H2 = 0-(-300) = 300 VIII)Verificar optimalidad: cuando el objeto es Maz Z, Cj-Zj ≤0, en todos sus elementos, de acuerdo a la tabla N°2, C1-Z1 = 50 no cumple, por la tanto repetir el paso VII. VII)Resolver tabla simplex N°2 (segunda iteración). 1)Determinar variable de entrada: como el objetivo es Max Z, la determina el valor mayor positivo de Cj-Zj, es decir: C1-Z1 = 50, por lo tanto X1 debe entrar a la base Vb.(a1 seleccionada). 2)Determinar variable de salida: empleando la ecuación matricial Vb = bj/a1 (menor valor positivo).       2 1 X H =               2/1 3 1 0 2 0 = ∴      2/1/10 3/20       2 1 X H =       20 3/20 ; siendo 20/3, el menor valor positivo, entonces H1, debe entrar de la base Vb (R1:seleccionado). 3)Obtener el numero pivote: np = 3. 4)Calcular los elementos del renglón pivote: R.P.= 3 1 R1 ; e introducirlo a la siguiente tabla (tabla N°3). R.P. = 3 1 [ ]1/2-10320 = 20/3 1 0 1/3 -1/6 Tabla N°3: (optima) Cj 150 200 0 0

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