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MAESTRIA EN
MATEMATICA BASICA
Dr. MsI. Alonso Alvarez Olivo
Riobamba, 2013
Ecuaciones Diferenciales
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i. Obtener respuestas sobre lo que
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Ecuaciones diferenciales

  1. 1. MAESTRIA EN MATEMATICA BASICA Dr. MsI. Alonso Alvarez Olivo Riobamba, 2013 Ecuaciones Diferenciales
  2. 2. Modelos Matemáticos Es cualquier conjunto de ecuaciones o estructuras matemáticas, completo y consistente, que es elaborado para representar alguna entidad. Puede ser una entidad: física, biológica, social, psicológica o conceptual, incluso otro modelo matemático. La construcción de un modelo matemático cumple con un mínimo de objetivos:
  3. 3. i. Obtener respuestas sobre lo que sucederá en el mundo físico ii. Influir en la experimentación u observaciones posteriores iii. Promover el progreso y la comprensión conceptuales iv. Auxiliar a la axiomatización de la situación física Objetivos de los Modelos
  4. 4. ¿Por que utilizar ecuaciones diferenciales (modelar)? Porque la “mayoría” de problemas que queremos modelar son cambiantes en el tiempo, por lo tanto se usa derivadas como un instrumento para medir variaciones instantaneas. Si depende sólo de una variable independiente, se usa Ec. Dif. Ordinarias, pero si depende de mas de una, se usa Ec. Dif. En Derivadas Parciales.
  5. 5. Condicionamiento de un Problema Un problema matemático, se dice bien condicionado, si cumple las siguientes condiciones: 1) Existencia de la solución. 2) Unicidad de la solución. 3) Dependencia continua de los datos Pequeñas variaciones en los datos de entrada, implican pequeñas variaciones en los datos de salida
  6. 6. Ecuaciones Diferenciales. Definición.-Llamamos ecuación diferencial, aquella ecuación cuya incógnita es una “función” de una o más variables, con la particularidad de que en dicha ecuación figura no sólo la propia función, sino también sus derivadas. Si la función incógnita tiene una sola variable se llama ecuación diferencial ordinaria, si tiene mas de dos variables se llama ecuación diferencial en derivadas parciales. 0),...,,...,,...,,,...,,,,...,( .0))(),...(''),('),(,( 1 2 2 2 1 2 1 1 )( m n m m m nn n n x u x u x u x u x u x u uxx xfxfxfxfx
  7. 7. Ejemplos .0 .015' .01)(5)(' x y u yy xfxf 02 2 2 2 x u c t u
  8. 8. Problemas de Ec. Diferenciales 10 00 )(' )( )()(')('' yxy yxy xgyxcyxby x x Problema de Cauchy )( ),( )(),( 0 0 0 2 2 2 2 xg t txu xftxu x u c t u t t Problema de Cauchy
  9. 9. Ejemplos Ix xQy )(' CdxxQy dxxQdxy )( )('
  10. 10. Ejemplo: Supongamos de tener una partícula que se mueve a lo largo de una recta, de forma que su velocidad en el instante t es 2sen(t). Determinar su posición en un instante cualquiera. SOLUCION: Si Y(t) representa la posición en el tiempo t, medida a partir de un punto inicial, la derivada Y’(t) representa la velocidad en el instante t. Entonces: Y’(t)=2sen(t) KtdttsentY )cos(2)(2)(
  11. 11. Solución de ecuaciones ordinarias de 1er. orden bay xQyxPxy )( )()()(' x a x a tAxAxA dttPxA dtetQebexy )()( ,)()( )()()( Solución:
  12. 12. Ejemplo [,0] )1(' )2( x eyxxy x Hallar todas las soluciones de la ecuacion diferencial de primer orden Solución:
  13. 13. x Cee y tee x e e xxdttxA x e y x y xx ttA x xA x x 2 1)( 1 )( 1 2 ; )1()log()1/1()( )1 1 (' Solución:
  14. 14. Ejemplo La población de una pequeña ciudad crece, en un instante cualquiera de tiempo, con una rapidez proporcional al número de habitantes en dicho instante. Si su población inicial es de 500 habitantes y la constante de proporcionalidad k=0,014. SOLUCION: Sea N la población al tiempo t, la ecuación diferencial que se puede deducir es: 500 )014.0( 0t N N dt dN
  15. 15. Ejemplo: Un problema de enfriamiento: El coeficiente de variación de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente (Ley de enfriamiento de Newton). SOLUCION Si y(t) es la temperatura del cuerpo al tiempo t y M designa la temperatuta del medio ambiente, la ley de Newton conduce a la ecuación diferencial y’=k[y-M]
  16. 16. Ejemplo La propagación de una enfermedad contagiosa, puede ser descrita mediante una ecuación diferencial, cuya solución nos dirá el número de personas infectadas por la enfermedad en cada instante de tiempo. Supongamos que cada persona tiene la misma probabilidad de infectarse y que, una vez infectada, permanezca inmune. La posibilidad de contagio será mayor en cuanto sea mayor el número de personas infectadas, y además el número de personas que podrían infectarse es tanto mayor cuanto mayor es el número de individuos sanos. Determinar el número de enfermos en cualquir instante de tiempo.
  17. 17. Solución: Sea x(t) el número de individuos sanos al tiempo t, y(t) el número de infectados al tiempo t, Donde k es una constante positiva que caracteriza al modelo y esta ligada con el grado de contagio de la enfermedad. La constante m, representa el número total de individuos de la población. )()( txtky dt dy ))()(( tymtky dt dy
  18. 18. Ecuaciones Diferenciales en Variables Separables 0)()()()( 2211 dyygxfdxygxf 0 )( )( )( )( 1 2 2 1 dy yg yg dx xf xf Cdy yg yg dx xf xf )( )( )( )( 1 2 2 1
  19. 19. Ejemplo )ln( )cos(' y y xy Con la condición inicial y(0)=1 )ln( )cos( y y dx dy x
  20. 20. Solución )cos( )ln( x dx dy y y )cos( )ln( x dx dy y y Cxxtg y ))sec()(ln( 2 )(ln2 ))sec()(ln( 2 )(ln2 xxtg y

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