CLASE CALCULO II

1. CÁLCULO II
UNIDAD III: LA
INTEGRAL DEFINIDA

2. • ¿Qué es el volumen?
Comenzamos con sólidos sencillos denominados cilindros rectos
cuatro de los cuales se muestran en la figura. En cada caso el sólido
se genera moviendo una región plana (la base) a lo largo de una
distancia h en dirección perpendicular a esa región. Y en cada caso el
volumen del sólido se define como el área A de la base por la altura
h; esto es,

3. • Después ,consideremos un sólido en capas delgadas o rebanadas
(véase la figura). El volumen ∆Vi de una rebanada debe ser
aproximadamente el volumen de un cilindro; esto es,

4. • El “volumen” V del sólido debe estar dado, de manera aproximada, por la
suma de Riemann.
• Cuando hacemos que la norma de la partición tienda a cero, obtenemos una
integral definida; ésta se define como el volumen del sólido.

5. • Cuando una región plana está por completo en un lado de una recta fija
en su plano y se hace girar alrededor de esa recta, genera un sólido de
revolución. La recta fija se denomina eje del sólido de revolución.
• A manera de ilustración, si la región acotada por un semicírculo y su
diámetro se hace girar alrededor de ese diámetro, barre un sólido
esférico (véase la figura 4). Si la región dentro de un triángulo
rectángulo se hace girar alrededor de uno de sus catetos, genera un
sólido cónico (véase la figura 5)

6.  ALGUNAS VECES, AL REBANAR UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN SE OBTIENEN
DISCOS CON AGUJEROS EN MEDIO. LES LLAMAMOS ARANDELAS. OBSERVE EL
DIAGRAMA Y LA FÓRMULA DE VOLUMEN QUE LA ACOMPAÑA, LOS CUALES SE
MUESTRAN EN LA FIGURA.

7.  UN CASCARÓN CILÍNDRICO ES UN SÓLIDO ACOTADO POR DOS
CILINDROS CIRCULARES RECTOS CONCÉNTRICOS (VÉASE LA
FIGURA). SI EL RADIO INTERNO ES R1, EL RADIO EXTERNO ES R2 Y
LA ALTURA ES H, ENTONCES SU VOLUMEN ESTÁ DADO POR:

11. 1) Encuentre el volumen del sólido generado cuando la región que se indica
se hace girar alrededor del eje especificado; rebane, aproxime, integre.

12. 2) Dibuje la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y
muestre una rebanada vertical representativa. Después encuentre el
volumen del sólido generado al hacer girar R en torno al eje x.

13. 3) Haga un dibujo de la región R acotada por las gráficas de las
ecuaciones dadas y muestre una rebanada horizontal
representativa. Determine el volumen del sólido generado al hacer
girar R alrededor del eje y.

14. 4) Encuentre el volumen del sólido que se genera al hacer girar, en
torno al eje x, la región acotada por la recta x - 2y = 0 y la parábola
y2 = 4x.
5) Encuentre el volumen del sólido que se genera al hacer girar, en
torno al eje y, la región acotada por la recta y = 4x y la parábola y =
4x2.

15. Encuentre el volumen del sólido que se genera cuando la
región r, acotada por las curvas dadas, se hace girar en torno al
eje que se indica.
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6

16. • Encuentre el volumen del sólido generado cuando la región que se
indica se hace girar alrededor del eje especificado; rebane, aproxime,
integre.
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17. Dibuje la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y
muestre una rebanada vertical representativa. Después encuentre
el volumen del sólido generado al hacer girar R en torno al eje x.
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18. • Haga un dibujo de la región R acotada por las gráficas de las
ecuaciones dadas y muestre una rebanada horizontal
representativa. Determine el volumen del sólido generado al
hacer girar R alrededor del eje y.
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19. Haga un dibujo de la región R acotada por las gráficas de las
ecuaciones dadas y muestre una rebanada horizontal
representativa. Determine el volumen del sólido generado al hacer
girar R alrededor del eje y.
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19

20. Haga un dibujo de la región R acotada por las gráficas de las
ecuaciones dadas y muestre una rebanada horizontal
representativa. Determine el volumen del sólido generado al hacer
girar R alrededor del eje y.
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21. Haga un dibujo de la región R acotada por las gráficas de las
ecuaciones dadas y muestre una rebanada horizontal
representativa. Determine el volumen del sólido generado al hacer
girar R alrededor del eje y.
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22. Haga un dibujo de la región R acotada por las gráficas de las
ecuaciones dadas y muestre una rebanada horizontal
representativa. Determine el volumen del sólido generado al hacer
girar R alrededor del eje y.
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23. GRACIAS POR SU ATENCIÓN!!