Matematicas CLEI III 1PARTE

Material de apoyo. Adaptación para el bachillerato de adultos
NOMBRE DEL ESTUDIANTE:
CLEI:

2
CONTENIDO
TEMA 1
Estructura del sistema de numeración decimal.
TEMA 2
Operaciones en el conjunto de los números
naturales.
TEMA 3
Ecuaciones en números naturales
TEMA 4
Otras operaciones en el conjunto de números
naturales.
TEMA 5
Múltiplos y divisores
TEMA 6
Números primos y compuestos
TEMA 7
Máximo común divisor – mínimo común múltiplo.
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA
PRUEBAS SABER.
LOGROS
 Interpreta, utiliza y representa el conjunto de los números naturales.
 Interpreta el significado de valor absoluto de un número natural.
 Representa los números naturales en la recta numérica.
 Interpreta relación de orden en el conjunto de los números naturales.
 Aplica las operaciones suma y resta de números naturales en la solución de problemas de la vida cotidiana.
 Efectúa de manera precisa operaciones de suma y resta de los números naturales.
 Identifica y resuelve situaciones en las que debe usar la adición y/o la sustracción de números naturales.
 Plantea y soluciona ecuaciones que involucren la adición y la sustracción de números naturales.
 Aplica las operaciones multiplicación y división de números naturales en la solución de problemas de la
vida cotidiana.
 Efectúa multiplicaciones con números naturales y las aplica en la solución de problemas.
 Reconoce y resuelve situaciones que involucran la multiplicación de números naturales y sus propiedades.
 Efectúa divisiones de números naturales y las aplica en la solución de ejercicios.
 Resuelve polinomios aritméticos con números naturales.
 Realiza operaciones de potenciación, radicación de números naturales y las aplica en la solución de
problemas.
BIBLIOGRAFIA
 Aritmética y Geometría I. Editorial Santillana.
 Matemática 2000, editorial voluntad
 Estándares curriculares para el área de matemáticas
 Elementos de matemáticas, editorial Bedout
 Decreto 1290 de 2009
 PáginaWeb:http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/WebC/eltanque/default.htm
 PáginaWeb:
http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/WebC/eltanque/todo_mate/numenteros/enteros_p.ht
ml

3
TEMA1
Estructura del sistema de numeración decimal.
LOGRO
Conoce la estructura del sistema de numeración decimal
CONCEPTOS BÁSICOS.
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.
ORDEN, EQUIVALENCIA Y POSICIÓN DE LOS NÚMEROS.
El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o
dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la
cifra: unidades, decenas, centenas, millares, entre otros.
El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de
símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno,
contando desde la derecha.
El sistema de numeración decimal tiene dos características:
1. Es decimal: 10 unidades de un orden forman 1 unidad del orden siguiente.
2. Es posicional: el valor de cada cifra depende de su posición en el número.
MILLONES(MM) MILLARES (M) UNIDADES (U)
Centena
de millón
Decena
de millón
Unidad
de millón
Centena
de millón
Decena
de millón
Unidad
de millar
Centena Decena Unidad
CMM DMM UMM CM DM UM C D U
1 1
- 10 -10 -10
En este sistema el número 528, significa:
5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir,
500 + 20 + 8 o, lo que es lo mismo,
5 x 10
2
+ 2 x 10 + 8 x 100 = 528
En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de
las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal.
El número 8245,97 se calcularía como:
8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos
8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97
8 x10
3
+ 2 x10
2
+ 4 x 10
1
+ 5 x 10
0
+ 9 x 10
-1 + 7 x 10
-2 = 8.245,97
EJEMPLO
EJEMPLO

4
1. Observa el siguiente número y completa.
UMM CM DM UM C D U
8 7 0 6 2 6 5
Se lee……………………………………………………………………………………………………
2. Expresa con cifras los números y colócalos en orden.
a. Tres millones cuatrocientos cinco mil ciento veinte.
b. Cincuenta mil ochocientos treinta y nueve.
c. Mil seis.
d. Doscientos ocho mil quinientos setenta y siete.
e. Diecisiete mil novecientos cincuenta y dos.
f. Tres mil quinientos cincuenta y siete.
g. Doce.
h. Setecientos treinta y dos.
i. Cuarenta y ocho mil doscientos.
j. Ciento veintitrés mil.
3. Completa la tabla, indicando el orden de unidades y el valor de la cifra 7 en cada número.
NÚMERO ORDEN DE
UNIDADES
VALOR SE LEE
15.728 centenas 700 Quince mil setecientos veintiocho
Setenta y cuatro mil ciento cincuenta y seis
1.967
87.003 Ochenta y siete mil tres
415
Cuarenta y cinco
4. Escribe el número que representa cada descomposición polinómica.
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA NÚMERO
5.000.000 + 300.000 + 70.000 + 8.000 + 100 + 50 + 6
709.541
10 UMM + 80 CM + 40 DM + 1 UM
45.869
7 UM + 0 C + 4 D + 1 U
2.315.114
ACTIVIDAD
………………………. Unidades
……………………….. Unidades
UMM CM DM UM C D U

5
5. Escribe 4 números anteriores y posteriores a 8.475
Anteriores 8.475 Posteriores
_________ _________
_________ _________
_________ _________
_________ _________
6. Forma 6 números de 4 cifras con los números de las siguientes figuras. Ordénalos de menor a mayor (<).
7. Dados los siguientes números, colócalos en su lugar correspondiente.
TEMA 2
Operaciones en el conjunto de los números naturales.
LOGRO
Realiza operaciones básicas con números naturales.
CONCEPTOS BÁSICOS
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES
El conjunto de los números naturales está formado por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
1. Con los números naturales podemos:
Contar los elementos de un
conjunto (número cardinal).

6
EJEMPLO: 8 es el número de planetas del
Sistema Solar.
2. Expresar la posición u orden que ocupa
un elemento en un conjunto (número
ordinal).
EJEMPLO: El pez verde es el segundo
(2º) de los tres peces.
3. Identificar y diferenciar los distintos
elementos de un conjunto.
EJEMPLO: Mi número de socio en el carnet
del Club de vela es 40257.
Los números Naturales están ordenados,
lo que nos permite comparar dos números
naturales entre sí:
EJEMPLO:
5 > 3 5 es mayor que 3.
3 < 5 3 es menor que 5.
Los números naturales son ilimitados, si a
un número natural le sumamos 1,
obtenemos otro número natural.
EJEMPLO

7
1. Efectúa las siguientes operaciones.
a. 23.612 + 915 + 1.036 =
b. 114.308 + 24.561 + 37 =
c. 421.754 + 124.560 + 45.275 =
d. 782.450 + 1.456.781 + 456.124 =
e. 124.784 + 561.703 + 410.004 =
2. Completa con las cifras correspondientes.
3. Completa las operaciones y escribe dos restas por cada suma.
a. 5.665 + 1.335 =
b. 777 + 11.099 =
c. 879.450 + 56.231 =
d. 89.456 + 872.147 =
e. 69.780 + 420.452 =
La multiplicación es la suma de varios sumandos iguales. Los términos de la multiplicación se denominan
factores. El resultado final se llama producto.
4. Completa.
5. Efectúa las multiplicaciones.
ACTIVIDAD
EJEMPLO
X 80 65 12 10
7
5
8
15
20
X 5 10 20 25
10
100
1.000
10.000
100.000

8
La multiplicación de dos o más números se puede realizar de distintas maneras sin que el resultado varíe.
Son las propiedades conmutativa y asociativa.
6. Completa.
7. Completa.
Dividir es repartir una cantidad en partes iguales.
Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cociente y residuo.
- Dividendo: Cantidad que se reparte (D)
- Divisor: Número de partes que se hacen (d).
- Cociente: Cantidad que corresponde a cada parte (c).
- Residuo: Cantidad que queda sin repartir (r).
EJEMPLO

9
8. ¿Cuántas garrafas de 50 litros se pueden llenar con el contenido de cada uno de estos recipientes?
9. Resuelve las siguientes divisiones. Indica cuáles son exactas e inexactas. Utiliza la propiedad fundamental
de la división.
a. 609 ÷ 3 =
b. 305 ÷ 15 =
c. 1.046 ÷ 23 =
d. 16.605 ÷ 81 =
e. 14.741 ÷ 45 =
10. Completa estas tablas.
DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE RESIDUO
350 5
54 9
4 30
DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE RESIDUO
3 45
150 30
500 10

10
11. Los 2.700 alumnos de un colegio van de campamento. ¿Pueden ir en autobuses de 55 plazas sin que
sobre ninguno? ¿Y en autobuses de 30 plazas? Razona tus respuestas.
OPERACIONES COMBINADAS
Para resolver operaciones combinadas (suma, resta, multiplicación y división…) hay que seguir un orden:
1º. Quitar paréntesis.
2º. Resolver las multiplicaciones y divisiones (en el orden en que aparecen).
3º. Resolver las sumas y restas (en el orden en que aparecen).
1. Efectúa las siguientes operaciones combinadas con los números naturales. Realizar todos los
procedimientos en cada problema.
a. 17 x 38 + 17 x 12 =
b. 6 x 59 + 4 x 59 =
c. 7 x 5 – 3 x 5 + 16 x 5 – 5 x 4 =
d. 2 + 5 x (2 x3) =
e. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
f. 7 x 3 + [6 + 2 x (8 ÷ 4 + 3 x 2) – 7 x2] + 9 ÷ 3 =
g. { [3 + 2 - (9 - 7) + (3 + 4) ] } =
h. {45 - 28 - (12 - 9) + (2 + 3) } =
i. 18. 24 + 5 - {13 + 4 - 5 - [ 7 + ( 6 + 4 ) - 7 - 6 ] +
4 } =
j. 19. { [5 x 4 + ( 3 x 5) ] ÷ (56 ÷8) } ÷5 =
2. Problemas de números naturales
a. Dados los números 5, 7 y 9 forma todos los números posibles de tres cifras distintas, ordénalos de menor a
mayor y súmalos.
b. El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605. ¿Cuál es el dividendo?
c. El cociente de una división entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321. ¿Cuál es el resto?
d. Pedro compró una finca por $643 750 y la vendió ganando $75 250. ¿Por cuánto lo vendió?
e. Con el dinero que tengo y $247 más, podría pagar una deuda de $525 y me sobrarían $37. ¿Cuánto
dinero tengo?
TEMA 3
Ecuaciones en el Conjunto de los números Naturales.
LOGRO
Encuentra el valor de la incógnita de una ecuación dada.
CONCEPTOS BÁSICOS
Una ecuación puede compararse con una balanza de platillos. Para mantener el perfecto equilibrio es
necesario tener la misma masa en ambos lados. Si se aumenta la masa en el platillo de la izquierda, la balanza
se inclinará hacia la izquierda, por lo tanto, para mantenerla equilibrada será necesario aumentar a la derecha la
misma cantidad de masa.
Si, por el contrario, la masa disminuye, también habrá que disminuir la misma cantidad de masa en el otro
platillo de la balanza.
ACTIVIDAD

11
Este ejemplo aplicado a una ecuación indica que si se agrega (suma) un número a la derecha, también es
necesario sumar el mismo número a la izquierda para mantener la igualdad y si se resta, debe hacerse lo
mismo a ambos lados. Lo mismo ocurre al multiplicar o dividir.
Debemos saber que existen ecuaciones de dos tipos: ecuaciones aditivas y ecuaciones multiplicativas.
 Las ecuaciones aditivas tienen la forma a + x = b
 Las ecuaciones multiplicativas tienen la forma a · x = b
 Ecuaciones aditivas: a + x = b
Para resolver ecuaciones de la forma a + x = b se utiliza la Propiedad 1 antes mencionada; es decir, se usa
la propiedad de las igualdades, que textualmente dice:
Cuando se suman o restan el mismo número en ambos miembros de una ecuación, la igualdad se
mantiene.
Los pasos a seguir para encontrar la incógnita son los siguientes:
1. Se suma a ambos lados de la ecuación el inverso aditivo del número que suma o resta a la incógnita.
Recordar que el inverso aditivo de un número es el mismo número con signo contrario (el inverso aditivo de
6 es –6; el inverso aditivo de –99 es 99. Recuerda además que +99 es lo mismo que 99).
2. Se realiza la operación indicada. Ejemplo:
28 + x = 13 / –28
El número que acompaña a la incógnita sumándolo es 28, por lo tanto, se debe agregar a ambos lados de la
ecuación su inverso aditivo que es –28.
28 + x + –28 = 13 + –28
Como 28 y –28 tienen signo contrario entre sí, la regla de signos indica que deben restarse.
28 + –28 = 0
Como 13 y –28 son números de distinto signo, éstos se restan y se conserva el signo del número con mayor
valor absoluto (el número sin signo).
13 + –28 = –15
Por lo tanto, después de realizar las operaciones indicadas más arriba, se tiene que:
28 + x = 13 / –28
28 + x + –28= 13 + –28
x + 0 = –15
x = –15
1. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. 4x + 1 = 3x + 7
b. 6x + 1 = 5x + 3
c. 12x + 3x – 7 = 10x + 8
d. (x – 4) ÷ 3 = 2
e. (6x + 2) ÷ 4 = 2
f. M – 10 = 20
g. 3 + w = 14
h. 5 + t = 23
EJEMPLO
ACTIVIDAD

12
2. En cada caso, planteen la ecuación traduciendo la expresión a lenguaje simbólico.
a. El doble de un número es 28.
b. El triple de un número es 45.
c. El doble de un número sumado al triple del
mismo es 75.
d. Un número es igual a su doble disminuido en
15.
e. Un número aumentado en dos, equivale a 8.
3. Plantear la ecuación, para cada problema. Luego resolver.
a. Si al doble de un número se le resta 6, se obtiene ese número más 6. Encuentren el número planteando la
ecuación correspondiente.
b. ¿Cuál es el número que cumple la condición de que si a su doble se le resta 17 da lo mismo que si al
número se le sumara 5?
c. Si al triple de un número le restamos 16 se obtiene 20. ¿Cuál es el número?
d. Pedro, que actualmente tiene 42 años, tiene 8 años más que el doble de la edad de Antonio. ¿Qué edad
tiene Antonio?
e. Pepe tiene 5 años más que Antonio y éste 7 años más que Ángela. Entre los tres suman 103 años.
Calcular la edad de Ángela.
TEMA 4
Otras Operaciones En El Conjunto De Los Números Naturales.
SUBTEMAS
Potenciación – Radicación - Logaritmación
POTENCIACIÓN EN NÚMEROS NATURALES
LOGRO
Comprende el concepto de potencia.
CONCEPTOS BÁSICOS.
En el gimnasio del colegio hay 4 cajas de cartón, cada una de las cuales contiene 4 redes con 4 pelotas en
cada red. ¿Cuántas pelotas hay en total?
4 cajas, 4 redes y 4 pelotas 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64 pelotas.
Esta operación la podemos expresar de la siguiente manera:
43 = 4 ∙ 4 ∙ 4
43 es la potencia.
Una potencia está formada por una base y un exponente.
Base: factor que se repite. Exponente: número de veces que hay que
multiplicar la base por sí misma.
Se lee: cuatro elevado al cubo.
Por tanto, 43 = 4 ∙ 4 ∙ 4
Una potenciaesla formaabreviadade escribirunamultiplicaciónde factores iguales.
EJEMPLO
43

13
1. Completa la siguiente tabla.
POTENCIA BASE EXPONENTE SE LEE
35 3 5 Tres elevado a la quinta
42
64
53
70
2. Resuelve:
a. 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 =
b. 6 ⋅ 6 =
c. 7 ⋅ 7 ⋅ 7 =
d. 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 =
e. 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2
f. 105 =
g. 63 =
h. 74 =
i. 92 =
j. 24 =
3. Escribe con números y sus resultados.
a. Seis elevado al cuadrado =
b. Ocho elevado al cuadrado =
c. Tres elevado al cubo =
d. Diez elevado a la cuarta =
e. Siete elevado a la quinta =
f. Cinco elevado a la sexta =
NÚMEROS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Elevado al cuadrado
Elevado al cubo
Elevado a la cuarta
Elevado a la quinta
POTENCIAS DE BASE 10.
 Las potencias de base 10 y cualquier número natural como exponente son un caso especial de
potencias.
 Se utilizan para expresar números muy grandes: distancias espaciales, habitantes de un país, entre
otros.
POTENCIA EXPRESION NÚMERO SE LEE
102 10 ∙ 10 100 Cien
103 10 ∙ 10 ∙ 10 1.000 Mil
104 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 10.000 Diez Mil
105 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 100.000 Cien Mil
106 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 1.000.000 Un Millón
5. Expresa en forma de potencia de base 10 los siguientes productos y encuentra su resultado.
a. 10 ⋅ 10 ⋅ 10 =
b. 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 =
c. 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 =
d. 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 =
e. 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 =
ACTIVIDAD

14
6. Completa.
NÚMERO PRODUCTO DE DOS NÚMEROS CON POTENCIA DE BASE 10
2.000 2 x 1.000 2 x 103
25.000 25 x
15 x 100
4 x 106
13.000.000
33 x 10.000
RADICACIÓN EN NÚMEROS NATURALES
LOGRO
Comprende el concepto de radicación en números naturales.
CONCEPTOS BÁSICOS.
La radicación es la operación inversa de la potenciación; es decir si nos dan el área de un cuadrado, extraer la
raíz es encontrar el lado de ese cuadrado; mientras que la potenciación nos dan el lado del cuadrado y
encontramos el área.
Calcular qué número multiplicado por sí mismo 2 veces da 196. Ese número es 14. Porque 14 x 14 = 196
→ √196 = 14 =
El número que está dentro del radical se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice y se encuentra en
la V del radical, el resultado se llama raíz.
1. Halle la raíz de cada una de las siguientes expresiones:
a. √9 =
b. √64
3
=
c. √625
4
=
d. √64 =
e. √144 =
f. √1000
3
=
g. √766
=
h. √855
=
i. √1077
=
j. √5168
=
EJEMPLO
Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por sí mismo un
número n de veces nos da el número a.
ACTIVIDAD

15
2. Resuelva los siguientes ejercicios:
a. √16 𝑥 25=
b. √4 𝑥 9 𝑥 36=
c. √81 𝑥 49=
d. √27 𝑥 64 𝑥 8
3
=
e. √144 𝑥 81 =
f. √16 𝑥 81
4
=
g. √27 𝑥 125
3
=
h. √32 𝑥 243
5
=
i. √9 𝑥 100=
j. √
9
4
=
LOGARITMACIÓN EN NÚMEROS NATURALES.
LOGRO
Realiza las opresiones de logaritmación con números naturales.
CONCEPTOS BÁSICOS.
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el
número.
Se lee “logaritmo de x en base a es igual a y”, pero debe cumplir con la condición general de que a (la base)
sea mayor que cero y a la vez distinta de uno:
Para aclarar el concepto, podríamos decir que logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciación, como
en este ejemplo:
Que leeremos: logaritmo de 9 en base 3 es igual a 2
Esto significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se puede expresar como
potencia. El gráfico siguiente nos muestra el nombre que recibe cada uno de los elementos de una potencia al
expresarla como logaritmo:
Log2 4 = 2
El resultado 2 es el exponente por el cual debemos elevar la base 2 para obtener la potencia 4: 22 = 4
EJEMPLO

16
1. Calcule los siguientes logaritmos:
a. log10 100 =
b. Log2 128 =
c. Log5 625 =
d. Log4 256 =
e. Log10 1.000 =
f. Log8 4.096 =
g. Log3 729 =
2. Pase a la forma de logaritmo y raíz las siguientes potencias:
a. 53 = 125
b. 132 = 169
c. 62 = 36
d. 90 = 1
e. 106 = 1.000.000
f. 83 = 512
g. 113 = 1331
3. Escriba en forma de potencia y raíz los siguientes logaritmos:
a. Log11 1 = 0
b. Logx 25 = 2
c. Log4 x = 2
d. Log5 125 = 3
e. Log10 1 = 0
f. Log10 1.000 = 3
g. Log10 100000 = 5
4. Escriba en forma de potencia y logaritmo las siguientes raíces:
a. √9 = 3
b. √125
3
= 5
c. √1
10
= 1
d. √𝑚 = n
e. √144 = 12
f. √81 = 9
g. √1.000
𝑚
= 10
5. Halle los logaritmos y luego realice las operaciones indicadas:
a. Log2 4 + Log3 9 =
b. Log2 16 – Log3 1 =
c. Log5 25 x Log3 81 =
d. (Log2 64 ÷ Log6 36) – Log7 1 =
e. Log2 10.000 ÷ Log2 32 – Log7 1 =
f. [Log5 125]3
g. √ 𝐿𝑜𝑔2 2563
=
TEMA 5
Múltiplos y Divisores de los números Naturales.
SUBTEMAS
Múltiplos de un número – Divisores de un número – Criterios de Divisibilidad.
MÚLTIPLOS y DIVISORES DE UN NÚMERO NATURAL.
LOGRO.
Identifica los múltiplos y divisores de un número natural.
CONCEPTOS BÁSICOS.
Los múltiplos de un número son aquellos que se obtienen multiplicando dicho número por n1, 2, 3, 4, 5, …, es
decir, por los números naturales. Múltiplos de 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,…
ACTIVIDAD

17
1. Fíjate en la siguiente secuencia y complétala.
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4
2
3
4
5 35
6
7 14
8 80
9
10
3. Escribe los números que faltan (en algunos apartados pueden existir varias soluciones).
a. 28 es múltiplo de 4 porque 28 = 4 x _______
b. 35 es múltiplo de _____ porque _____ = _____ x 7
c. _____ es múltiplo de ______ porque _____ = _____ x _____
d. _____ es múltiplo de 8 porque _____ = 8 x _____
e. 30 es múltiplo de 10 porque 30 = 10 x _____
4. Halla cuatro múltiplos de:
a. 3 = b. 5 = c. 9 = d. 11 =
5. Escribe los números que sean:
EJEMPLO
ACTIVIDAD

18
a. Múltiplos de 3 menores que 36.
b. Múltiplos de 4 menores que 60.
c. Múltiplos de 100 menores que 1.000.
d. Múltiplos de 7 que estén comprendidos entre
30 y 90.
6. Juan acude a unos grandes almacenes y observa que algunos artículos se venden de la siguiente forma.
 Lapiceros en paquetes de 10 unidades.
 Los lápices en paquetes de 5 unidades.
 Los borradores en cajas de 12 unidades.
 Los DVD en grupos de 5 unidades.
¿Cuántas unidades de cada artículo podríamos comprar?
Una división exacta es aquella en la que al dividir dos números entre sí su residuo es cero.
Los divisores de un número son los que dividen dicho número, un número exacto de veces.
6 y 8 son divisores de 24 porque dividen exactamente a 24.

19
8. Tacha aquellos números que no sean:
a. Divisores de 5 = 1, 3, 5
b. Divisores de 25 = 1, 3, 5, 10, 20, 25
c. Divisores de 9 = 1, 2, 3, 6, 9
d. Divisores de 48 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 45, 48
e. Divisores de 11 = 1, 3, 9, 11
9. Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones y razona tu respuesta.
El número 15 es:
10. Halla todos los divisores de:
a. 18
b. 20
c. 22
d. 16
e. 15
f. 14
Para calcular todos los divisores de un número, lo dividimos entre los números naturales menores e iguales que
él. Los números que hacen que la división sea exacta son sus divisores.
11. En la clase de Educación Física hay 24 alumnos. ¿De cuántas maneras se podrán formar grupos iguales
de alumnos sin que sobre ninguno? Razona tu respuesta.
12. Completa con la palabra adecuada, múltiplo o divisor.
a. 25 es................................. de 5
b. 11 es................................. de 33
c. 60 es................................. de 120
d. 100 es............................... de 25
e. 16 es................................. de 8
f. 7 es................................... de 63
Múltiplo y divisor: son dos conceptos relacionados entre sí. En una división exacta de dos números existe una
relación llamada divisibilidad.
El número mayor es múltiplo del menor.
El número menor de divisor del mayor.
48 ÷ 8 = 6 48 es múltiplo de 8, porque 48 = 8 x 6.
8 es divisor de 48, porque 8 divide un número exacto de veces a 48 (6 veces).
48 ÷ 6 = 8 48 es múltiplo de 6, porque 48 = 6 x 8
6 es divisor de 48, porque 6 divide un número exacto de veces a 48 (8 veces).

20
13. Dados los números 15, 10, 1, 25, 5, 8, 20, 45, 2, 12, indica cuáles son:
a. Divisores de 50 =
b. Múltiplos de 3=
14. Observa estos números: 9, 25, 15, 20, 48, 100, 45, 5, 2, 22, 3. Forma, al menos, 4 parejas que verifiquen la
relación de divisibilidad.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
LOGRO
Comprende y aplica los criterios de divisibilidad.
CONCEPTOS BÁSICOS
Los criterios de divisibilidad son una serie de normas que permiten saber si un número es divisible por 2, 3, 5,
10,… esta es también una manera fácil de realizar divisiones exactas.
 Los saltos del atleta tienen algo en común: al dividirlos entre 2, la división es exacta: el resto es cero; son
múltiplos de 2 y la distancia entre ellos es la misma, 2 metros.
Los números que acaban en 0, 2, 4, 6, y 8 son divisores por 2. Esta es la regla de divisibilidad por 2.
 Los saltos de la rana tienen algo en común: al dividirlos entre 3, la división es exacta: el resto es cero; son
Observa que sí sumamos sus cifras, el número obtenido es múltiplo de 3. Esta es la regla de divisibilidad
por 3.
3, 12, 21… sus cifras suman 3, que es múltiplo de 3.
 Los saltos de la garza tienen algo en común: al dividirlos entre 5, la división es exacta: el resto es cero; son
Los números que acaban en cero 0 en 5 son divisores por 5. Esta es la regla de divisibilidad por 5.
 Los saltos del canguro tienen algo en común: al dividirlos entre 10, la división es exacta: el resto es cero;
son múltiplos de 10 y la distancia entre ellos es la misma, 10 metros.
Los números que acaban en cero son divisibles por 10. Esta es la regla de divisibilidad por 10.
EJEMPLO

21
1. Indica cuál de los números cumple los criterios de divisibilidad de la tabla (algunos números pueden serlo
por varios).
2. De los números 230, 496, 520, 2.080, 2.100, 2.745 y 455, di:
a. ¿Cuáles son múltiplos de 2?
b. ¿Y múltiplos de 3?
c. ¿Cuáles son múltiplos de 5?
d. ¿Y múltiplos de 10?
3. Completa las cifras que faltan en cada número para que se cumpla el criterio de divisibilidad que se indica
(pueden existir varias soluciones).
ACTIVIDAD

22
TEMA 6
Números Primos y Números Compuestos.
SUBTEMAS
Números Primos - Números Compuestos - Descomposición de números en factores primos.
NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS.
LOGRO
Identifica los números primos y compuestos de los números naturales.
CONCEPTOS BÁSICOS.
Numero Primo: sólo tiene dos divisores, él mismo y la unidad.
Número Compuesto: tiene más de dos divisores.
1. Halla los números primos que hay desde 70 hasta 100 (escríbelos en rojo).
70 71 72 80
81 85
97 100
EJEMPLO
ACTIVIDAD

23
2. Clasifica los números en primos o compuestos: 6, 15, 7, 24, 13, 2, 20, 11 y 10.
a. Números primos: b. Números compuestos:
3. Un equipo de fútbol tiene 11 jugadores.
a. ¿De cuántas maneras se pueden colocar formando grupos iguales de jugadores?
b. Si se une al entrenamiento otro jugador, ¿cómo se agruparían?
DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS.
LOGRO.
Descompone números en sus factores primos.
CONCEPTOS BÁSICOS.
DIVISORES DE UN NÚMERO
 Para obtenertodoslosdivisoresde unnúmerolodividimosentre losnúmerosnaturalesmenorese iguales
que él, y aquellos números con los que se obtenga una división exacta serán sus divisores.
Si los números son muy grandes existe una manera más sencilla de hacerlo, y consiste en descomponer el
númeroen producto de númerosprimos, y expresarsusdivisores mediante la combinación de esos números
(llamados factores).
Determinar los divisores de 36.
1. Descomponemos en factores primos el número 36.
 Se coloca el número.
 Se traza una línea vertical a su derecha.
 Se comienza a dividir entre los sucesivos números primos: 2, 3, 5, 7 …
 Acabamos de dividir cuando el último número es un número primo (cociente 1).
Podemos expresar el número 36 como producto de otros números primos:
36 =2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 =22 ∙ 32 = 4 ∙ 9
2. Colocamos en fila el 1 y las potencias sucesivas del primer factor primo. En este caso sería desde 2 hasta
22 = 4.
1 2 4
EJEMPLO
 El primernúmeroprimoporel que es
divisible 36es2: 36 ÷ 2 = 18
divisible 18 es 2: 18 ÷ 2 = 9
divisible 9es3: 9 ÷ 3 = 3
divisible 3es3: 3 ÷ 3 = 1

24
3. Multiplicamos cada número de la fila anterior por el siguiente factor primo 3
1 2 4
3 6 12
4. Multiplicamos cada número de la primera fila por la siguiente potencia de 3. En este caso sería 32 = 9
1 2 4
3 6 12
9 18 36
5. Ordenamos los números, los divisores de 36 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
1. Descompón el número 45 en factores primos.
2. Descompón como producto de factores primos los números 50 y 60.
3. Quiero guardar 40 latas en cajas iguales sin que sobre ninguna. ¿De cuántas maneras puedo hacerlo?
ACTIVIDAD
4. María desea distribuir el agua de una
garrafa de 12 litros en envases que
contengan el mismo número de litros.
a. ¿Qué capacidadestendránlos
recipientes?
b. ¿Cuántosnecesitaráencadacaso?

25
TEMA 7
Máximo común divisor – MCD. Y Mínimo común múltiplo – MCM de dos o más números.
LOGRO
Obtener el M.C.D y el M.C.M de dos o más números
CONCEPTOS BÁSICOS
Máximo común divisor
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número que divide a todos
exactamente.
Cálculo del máximo común divisor
1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes con menor exponente.
3. Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd.
EJEMPLO

26
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes de varios números,
excluido el cero.
Cálculo del mínimo común múltiplo
1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
1. Resuelva el mate grama. Halle el m.c.d
Halle el máximo común divisor (m. c. d) de los números de cada casilla y escríbalo en la casilla correspondiente
en el tablero de la derecha.
2. Halle EL máximo común divisor de:
a. 78, 46, 92
b. 30, 54, 72
c. 100, 30, 80
d. 50, 150, 200
e. 33, 55, 77
f. 24, 62, 16
g. 55, 75, 90
h. 84, 48, 60
3. Halle el mínimo común múltiplo (m. c. m) de:
a. 200, 100, 250
b. 25, 55, 275
c. 25, 50, 20
d. 12, 16, 36
e. 7, 3, 21
f. 16, 32, 2
g. 98, 49, 14
h. 15, 25, 45
ACTIVIDAD
EJEMPLO

27
Busca el resultado de las siguientes operaciones y grafícalos:
Nombre del Estudiante
________________________________
CLEI: ______
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA

28
LAS SIGUIENTES SON PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA.
1. Un sistema de numeración es posicional cuando:
a. El valor de sus cifras depende de la posición que
ocupa dentro del número.
b. La posición de las cifras no afecta el valor del
número.
c. El número se igual hacia la derecha que hacia la
izquierda.
d. El valor del número depende del símbolo que
emplee.
2. El conjunto de los números naturales es:
a. un conjunto finito cuyo primer elemento es 0.
b. un conjunto infinito, pero ordenado, cuyo primer
elemento es 1.
c. el conjunto formado por los número 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9.
d. el conjunto formado por los múltiplos de 2.
3. La afirmación falsa es:
a. Si en la recta numérica a esta a la derecha de b, entonces a > b.
b. Si a  N, entonces existe b  N, de tal forma que b > a.
c. Si a N, entonces existes b  N, del tal forma que a < b.
d. Si una desigualdad se suma el mismo número natural a ambos lados, el sentido de la desigualdad se conserva.
4. La propiedad conmutativa en N0 se verifica:
a. Únicamente para la suma.
b. Para la adición y la multiplicación.
c. Para la sustracción y la división.
d. Para la adición y la potenciación.
5. Un estanque puede llenarse por dos llaves. La primera llave vierte 15 litros de agua cada minuto y la segunda
vierte 20 litros de agua cada minuto. Si el tanque tiene una capacidad de 1.500 litros y, además, un desagüe por
el que sale 25 litros de agua por minuto, el tiempo que tarda en llenarse el estanque vacío, cuando abre
simultáneamente las llaves y el desagüe es:
a. 2 horas. b. 1 hora y 30
minutos.
c. 2 horas y 30
minutos.
d. 3 horas.
6. Si una docena de manzanas cuesta $ 6.600, 20 manzanas cuánto cuestan:
a. $ 15.000 b. $ 11.000 c. $ 13.000 d. $ 12.000
7. Si en una división el residuo es 45, el menor valor del divisor es:
a. 40 b. 50 c. 46 d. 80
8. Uno de los siguientes números no es cuadrado perfecto:
a. 121 b. 169 c. 125 d. 81
9. Si el área de un cuadrado es 64m2
, la medida del lado de dicho cuadrado es:
a. 9 cm b. 32 cm c. 8 cm d. 7 cm
PRUEBAS SABER

29
10. La solución de la ecuación 5x + 3 = 23 es:
a. 5 b. 8 c. 4 d. 2
11. Los productos de dos números de un numero dos dígitos que es múltiplo de 6. ¿Cuáles son estos números?
a. 2 y 5 b. 1 y 6 c. 3 y 4 d. 4 y 5
12. La suma de dos divisores de 66 es igual a la suma de los divisores de:
a. 48 b. 70 c. 96 d. 99
13. De las siguientes, la afirmación verdadera es:
a. si la última cifra de un número es 0, entonces es
divisible entre 2.
b. si un número es divisible entre 2, entonces
termina en 0.
c. si un número es divisible por 5, entonces termina
en 0.
d. si un número es divisible entre 5, entonces
termina en 5.
14. El número primo de dos cifras, cuya suma digital es otro número primo es:
a. 23 b. 31 c. 53 d. 71
15. ¿Cuál es el conjunto de los divisores de 76?
a. 1, 2, 3, 8, 19, 38, 76
b. 1, 2,3, 4, 6, 8, 38, 76
c. 1, 2, 4, 8, 38, 76
d. 1, 2, 4, 19, 38, 76
16. ¿Cuántos múltiplos de 4 y 6 son mayores que 12 y menores que 96?
a. 1 b. 4 c. 6 d. 8
17. Teresa tiene un reloj que da una señal cada 30 minutos, otro reloj que da una señal cada 90 minutos y un tercero
que la da cada 150 minutos. A las 8 de la mañana los tres relojes vuelven a dar la señal. ¿a qué horas los tres
relojes vuelven a dar la señal simultáneamente?
a. 8: 00 p.m. b. 10: 30 a.m. c. 3: 00 p.m. d. 3: 30 p.m.
18. La afirmación falsa es:
a. 0 es múltiplo de todos los números.
b. 1 es divisor de todos los números.
c. El conjunto de los divisores de un número es
infinito.
d. El conjunto de múltiplos de un número es infinito.
19. Pedro tiene 48 mangos, 36 guayabas, 96 manzanas y 24 peras. Estas frutas se deben repartir sin mezclarlas, en
bolsas de igual cantidad.
 ¿Cuál es el mayor número de frutas que se puede guardar en cada bolsa?
a. 12 b. 24 c. 36 d. 48
 ¿Cuántas bolsas se llenaran?
a. 12 b. 15 c. 17 d. 96
20. En un estadio hay 16 cajas de pelotas con una docena cada una, y además una caja con 8 pelotas. Para saber
cuántas pelotas son en total, ¿cuál de las siguientes expresiones utilizarías?
a. 16+ (12 x 8) b. 16x (12 +8) c. 8 + (16 x 12) d. (8 + 16) x 12

Matematicas CLEI III 1PARTE

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