Este documento explica brevemente los conceptos básicos de los grafos, incluyendo sus componentes (vértices y aristas), tipos (grafos eulerianos, hamiltonianos y árboles), y aplicaciones (circuitos eléctricos, redes sociales, biología). También describe cómo representar gráficamente grafos mediante matrices de adyacencia e incidencia.

1. Instituto Universitario de Tecnología
Antonio José de Sucre
Barquisimeto Edo-Lara
GRAFOS
Integrante: Marcos Lo Tauro
CI. 22329682
Escuela: 78

2. INTRODUCCION
Hoy en día podemos ver muchas cosas que nos pueden parecer de lo mas
cotidianas, carreteras, líneas telefónicas, líneas de televisión por cable, el transporte colectivo
metro, circuitos eléctricos de nuestras casas, automóviles, y tantas cosas mas; lo que no
pensamos frecuentemente es que estos forman parte de algo que en matemáticas se
denomina como grafos.
En este trabajo se tratará brevemente de explicar lo que son los grafos, sus tipos, y algunas
derivaciones de ellos, así como su representación matricial

3. GRAFOS
Un grafo, G, es un par ordenado de V y A, donde V es el conjunto de vértices o nodos del grafo
y A es un conjunto de pares de vértices, a estos también se les llama arcos o ejes del grafo. Un
vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente a dos vértices.
Los grafos representan conjuntos de objetos que no tienen restricción de relación entre ellos.
Un grafo puede representar varias cosas de la realidad cotidiana, tales como mapas de
carreteras, vías férreas, circuitos eléctricos, etc.
La notación G = A (V, A) se utiliza comúnmente para
identificar un grafo.
Los grafos se constituyen principalmente de dos partes:
las aristas, vértices y los caminos que pueda contener el mismo grafo.

4. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE
GRAFOS (PROGRAMAS)
Matriz de adyacencia.
Es una matriz cuadrada en la cual los nodos del grafo se indican como renglones y como
columnas. El orden de los nodos es el mismo que guardan los renglones y las columnas de la
matriz. Se coloca 1 como elemento de la matriz cuando existe una relación entre uno y otro
vértice, o bien un 0 cuando no exista relación alguna.
Nota: en una matriz de adyacencia no es posible representar lados paralelo.
Matriz de incidencia.
En esta matriz se colocan los nodos del grafo como renglones y las aristas como columnas. En
esta matriz si es posible representar lados paralelos. Al sumar los elementos de cada una de
los renglones se obtiene la valencia de los nodos, al sumar las columnas es posible distinguir
cuando se trata de un lazo ya que su suma es 1

5. GRAFOS EULERIANOS.
Para definir un camino euleriano es importante definir un camino euleriano primero. Un camino
euleriano se define de la manera más sencilla como un camino que contiene todos los arcos
del grafo.
Teniendo esto definido podemos hablar de los grafos eulerianos describiéndolos simplemente
como aquel grafo que contiene un camino euleriano. Como ejemplos tenemos las siguientes
imágenes:
El primer grafo de ellos no contiene caminos eulerianos mientras el segundo contiene al menos
uno.

6. GRAFOS HAMILTOLIANO
En el campo matemático de la teoría de grafos, un camino hamiltoniano en un grafo es un
camino, una sucesión de aristas adyacentes, que visita todos los vértices del grafo una sola
vez. Si además el último vértice visitado es adyacente al primero, el camino es un ciclo
hamiltoniano.
El problema de encontrar un ciclo (o camino) hamiltoniano en un grafo arbitrario se sabe que
es NP-completo.
Los caminos y ciclos hamiltonianos fueron nombrados después que William Rowan
Hamilton, inventor del juego de Hamilton, lanzara un juguete que involucraba encontrar un ciclo
hamiltoniano en las aristas de un grafo de un dodecaedro. Hamilton resolvió este problema
usando cuaterniones, pero esta solución no se generaliza a todos los grafos.
Un camino hamiltoniano es un camino que pasa
por cada vértice exactamente una vez.
Un grafo que contiene un camino hamiltoniano se
denomina un ciclo hamiltoniano o
circuito hamiltoniano si es un ciclo que pasa
por cada vértice exactamente una vez
(excepto el vértice del que parte y al cual llega).
Un grafo que contiene un ciclo hamiltoniano se dice grafo hamiltoniano.

7. ARBOLES
Un grafo que no tiene ciclos y que conecta a todos los puntos, se llama un árbol. En un grafo
con n vértices, los árboles tienen exactamente n - 1 aristas, y hay nn-2 árboles posibles. Su
importancia radica en que los árboles son grafos que conectan todos los vértices utilizando el
menor número posible de aristas. Un importante campo de aplicación de su estudio se
encuentra en el análisis filogenético, el de la filiación de entidades que derivan unas de otras
en un proceso evolutivo, que se aplica sobre todo a la averiguación del parentesco entre
especies; aunque se ha usado también, por ejemplo, en el estudio del parentesco entre
lenguas.
Ejemplo

8. Aplicaciones
• Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la
síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes
áreas por ejemplo, Dibujo computacional, en toda las áreas de Ingeniería.
• Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través
de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para el trayecto
aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd.
• Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como PERT en las que se modelan los
mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos.
• La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especial
para desarrollar un concepto no metafórico de red social que sustituye los nodos por los
actores sociales y verifica la posición, centralidad e importancia de cada actor dentro de la red.
Esta medida permite cuantificar y abstraer relaciones complejas, de manera que la estructura
social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puede representar la
estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos (aristas), su dirección e
intensidad y da idea de la manera en que el poder se transmite y a quiénes.
• Los grafos son importantes en el estudio de la biología y hábitat. El vértice representa un
hábitat y las aristas (o "edges" en inglés) representa los senderos de los animales o las
migraciones. Con esta información, los científicos pueden entender
cómo esto puede cambiar o afectar a las especies en su hábitat.