SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 7
Downloaden Sie, um offline zu lesen
ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΤΟ 10ο ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ
15/7/2014
Dr. Maria D. Chalkou, State
High School Advisor
ΟΡΙΣΜΟΙ
 Είναι γνωστό, ότι ένας αριθμός είναι άρρητος
αν δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα της
μορφής μ/ν, όπου μ, ν ακέραιοι με (μ,ν)= 1,
και ν διάφορο του μηδενός.
 Οι άρρητοι αριθμοί μπορεί να είναι είτε
αλγεβρικοί (ρίζες πολυωνυμικών εξισώσεων
με ρητούς συντελεστές) όπως π.χ. η √3 (είναι
ρίζα της εξίσωσης χ²-3= 0), είτε
υπερβατικοί (δεν υπάρχει πολυωνυμική
εξίσωση με ρητούς συντελεστές της οποίας να
είναι ρίζες), όπως π.χ. οι αριθμοί π, e.
15/7/2014
Dr. Maria D. Chalkou, State
High School Advisor
ΤΟ 10ο ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ
 Το βιβλίο Χ του Ευκλείδη το οποίο σχετίζεται
με τα ασύμμετρα μεγέθη μας προκαλεί δέος
λόγω του όγκου αλλά και της δύσκολης
μεθοδολογίας του. Θεωρείται -ίσως όχι άδικα-
ένα από τα πιο βαθυστόχαστα και
δυσκολονόητα μαθηματικά κείμενα στην
Ιστορία των Μαθηματικών.
 Η πρόθεση να διευκρινιστούν οι γεωμετρικές
φόρμες που χρησιμοποίησε ο Ευκλείδης
αποτυγχάνει ακόμα και με σύγχρονους
υπολογισμούς.
15/7/2014
Dr. Maria D. Chalkou, State
High School Advisor
Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΩΝ ΑΣΥΜΜΕΤΡΩΝ
 Σύμφωνα με τον T. Heath οι αρχαίοι
Έλληνες άρχισαν να ασχολούνται με τα
ασύμμετρα μεγέθη, όταν αυτά προέκυψαν
σαν ρίζες Β΄ βαθμίων εξισώσεων.
 Σύγχρονοι μελετητές υποστηρίζουν, πως
η ανακάλυψη των ασυμμέτρων, η οποία
έγινε πριν από το μέσον του 5ου αι.
οφείλεται στον Πυθαγόρα.
15/7/2014
Dr. Maria D. Chalkou, State
High School Advisor
ΠΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ
 Ο Πλάτων και ο Αριστοτέλης θεωρούσαν τη
πλευρά και τη διαγώνιο του τετραγώνου ως
παραδειγματικά ασύμμετρα μεγέθη, οι δε
δυσκολίες που προκύπτουν για τον
υπολογισμό της ρίζας του 2 έχουν ιστορία
1000 χρόνων.
 Κατά τον Πλάτωνα οι γραμμές ορίζονται ως
"μήκη" και τα τετράγωνα τους ως "δυνάμεις".
Αυτές οι τελευταίες μπορεί να μην είναι
σύμμετρες στο μήκος, αλλά μόνο κατά τα
εμβαδά που παράγουν.
15/7/2014
Dr. Maria D. Chalkou, State
High School Advisor
ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ ΚΑΙ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ
 Κατά τον Θεαίτητο, αν έχουμε δύο γραμμές σύμμετρες σε
τετράγωνο, αλλά όχι σε μήκος, τότε και ο αριθμητικός και ο
γεωμετρικός καθώς και ο αρμονικός μέσος τους θα είναι
άρρητες γραμμές.
 Κατά τον Ευκλείδη, αν θεωρήσουμε δύο γραμμές α, β
σύμμετρες μόνο σε τετράγωνο, τότε το άθροισμά τους είναι
άλογος (όχι ρητή) και ονομάζεται διωνυμική γραμμή.
 Το ίδιο συμβαίνει και με τη διαφορά τους (αν από τη
μεγαλύτερη αφαιρεθεί η μικρότερη), η οποία καλείται
αποτομή.
 Αν για τις ίδιες γραμμές θεωρήσουμε το γινόμενό τους
γ2=α.β, τότε και αυτό είναι ασύμμετρο μέγεθος και
ονομάζεται μέσο εμβαδόν.
 Επιπλέον η γ είναι ασύμμετρο μέγεθος και ονομάζεται
μέση γραμμή.
15/7/2014
Dr. Maria D. Chalkou, State
High School Advisor
ΤΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ
 Κάτω άραγε από ποιες συνθήκες μία
τετραγωνική ρίζα είναι μία διωνυμική
ή μία αποτομή;
 Αν λυθεί το πρόβλημα αυτό μήπως θα
έχουμε το κλειδί για την εξήγηση του
νοήματος όλης της θεωρίας του
Ευκλείδη;
15/7/2014
Dr. Maria D. Chalkou, State
High School Advisor

Más contenido relacionado

Was ist angesagt?

ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.8
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.8ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.8
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.8Dimitris Psounis
 
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέος
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέοςΕξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέος
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέοςΓιάννης Φερεντίνος
 
Γιάννης Θωμαΐδης : H θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο υποχρεωτικό πρό...
Γιάννης Θωμαΐδης : H θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο υποχρεωτικό πρό...Γιάννης Θωμαΐδης : H θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο υποχρεωτικό πρό...
Γιάννης Θωμαΐδης : H θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο υποχρεωτικό πρό...Thales and friends
 
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέος
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέοςΕξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέος
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέοςΓιάννης Φερεντίνος
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7Dimitris Psounis
 
Γιάννης Θωμαΐδης: «Η ιστορία των μαθηματικών ως πηγή ιδεών για ερευνητικές ε...
Γιάννης Θωμαΐδης:  «Η ιστορία των μαθηματικών ως πηγή ιδεών για ερευνητικές ε...Γιάννης Θωμαΐδης:  «Η ιστορία των μαθηματικών ως πηγή ιδεών για ερευνητικές ε...
Γιάννης Θωμαΐδης: «Η ιστορία των μαθηματικών ως πηγή ιδεών για ερευνητικές ε...Thales and friends
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6 Dimitris Psounis
 
βασικές προτάσεις σχήματα-λύσεις
βασικές προτάσεις σχήματα-λύσειςβασικές προτάσεις σχήματα-λύσεις
βασικές προτάσεις σχήματα-λύσειςΜάκης Χατζόπουλος
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.2ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.2Dimitris Psounis
 
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένουΕξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένουΓιάννης Φερεντίνος
 
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β ΛυκείουΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 

Was ist angesagt? (15)

ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.8
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.8ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.8
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.8
 
25 μεθοδολογίες στα διανύσματα
25 μεθοδολογίες στα διανύσματα25 μεθοδολογίες στα διανύσματα
25 μεθοδολογίες στα διανύσματα
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
 
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέος
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέοςΕξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέος
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέος
 
Γιάννης Θωμαΐδης : H θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο υποχρεωτικό πρό...
Γιάννης Θωμαΐδης : H θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο υποχρεωτικό πρό...Γιάννης Θωμαΐδης : H θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο υποχρεωτικό πρό...
Γιάννης Θωμαΐδης : H θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο υποχρεωτικό πρό...
 
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέος
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέοςΕξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέος
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέος
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
 
Γιάννης Θωμαΐδης: «Η ιστορία των μαθηματικών ως πηγή ιδεών για ερευνητικές ε...
Γιάννης Θωμαΐδης:  «Η ιστορία των μαθηματικών ως πηγή ιδεών για ερευνητικές ε...Γιάννης Θωμαΐδης:  «Η ιστορία των μαθηματικών ως πηγή ιδεών για ερευνητικές ε...
Γιάννης Θωμαΐδης: «Η ιστορία των μαθηματικών ως πηγή ιδεών για ερευνητικές ε...
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.6
 
βασικές προτάσεις σχήματα-λύσεις
βασικές προτάσεις σχήματα-λύσειςβασικές προτάσεις σχήματα-λύσεις
βασικές προτάσεις σχήματα-λύσεις
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.2ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.2
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
 
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένουΕξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου
 
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β ΛυκείουΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
 

Andere mochten auch

The codex vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th century, ff. 11r-126r
The codex vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th century, ff. 11r-126rThe codex vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th century, ff. 11r-126r
The codex vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th century, ff. 11r-126rDr. Maria D. Chalkou
 
The Pythagorean Theorem in Greece at 18th century - Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στη...
The Pythagorean Theorem in Greece at 18th century - Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στη...The Pythagorean Theorem in Greece at 18th century - Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στη...
The Pythagorean Theorem in Greece at 18th century - Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στη...Dr. Maria D. Chalkou
 
Πυθαγόρας
Πυθαγόρας Πυθαγόρας
Πυθαγόρας gymzosim
 
The Pythagorean Theorem and its application according to a greek manuscript o...
The Pythagorean Theorem and its application according to a greek manuscript o...The Pythagorean Theorem and its application according to a greek manuscript o...
The Pythagorean Theorem and its application according to a greek manuscript o...Dr. Maria D. Chalkou
 
τα άγνωστα μαθηματικά των βυζαντινών
τα  άγνωστα  μαθηματικά  των βυζαντινώντα  άγνωστα  μαθηματικά  των βυζαντινών
τα άγνωστα μαθηματικά των βυζαντινώνDr. Maria D. Chalkou
 
τετρακτύς
τετρακτύςτετρακτύς
τετρακτύςgilo458
 
Pythagoreio theorhma
Pythagoreio theorhmaPythagoreio theorhma
Pythagoreio theorhma2gymkori
 
Τα γεωμετρικά σχήματα και η σημασία της ύπαρξής τους στα ελληνικά χειρόγραφα....
Τα γεωμετρικά σχήματα και η σημασία της ύπαρξής τους στα ελληνικά χειρόγραφα....Τα γεωμετρικά σχήματα και η σημασία της ύπαρξής τους στα ελληνικά χειρόγραφα....
Τα γεωμετρικά σχήματα και η σημασία της ύπαρξής τους στα ελληνικά χειρόγραφα....Dr. Maria D. Chalkou
 
Pythagorio Theorima
Pythagorio TheorimaPythagorio Theorima
Pythagorio TheorimaYPEPTH
 
μαθηματικα και φιλοσοφια
μαθηματικα και φιλοσοφιαμαθηματικα και φιλοσοφια
μαθηματικα και φιλοσοφιαmarypol47
 
εισαγωγη στη μαθηματικη σκεψη
εισαγωγη στη μαθηματικη σκεψηεισαγωγη στη μαθηματικη σκεψη
εισαγωγη στη μαθηματικη σκεψηDr. Maria D. Chalkou
 
Διδακτικές Μέθοδοι Μαθηματικών
Διδακτικές Μέθοδοι ΜαθηματικώνΔιδακτικές Μέθοδοι Μαθηματικών
Διδακτικές Μέθοδοι ΜαθηματικώνDr. Maria D. Chalkou
 
σχέδιο μαθήματος διαθεματικοτητα (1)
σχέδιο μαθήματος   διαθεματικοτητα (1)σχέδιο μαθήματος   διαθεματικοτητα (1)
σχέδιο μαθήματος διαθεματικοτητα (1)Σωκράτης Ρωμανίδης
 
η μαθηματική σκέψη ως προνόμιο των πολλών
η μαθηματική σκέψη ως προνόμιο των πολλώνη μαθηματική σκέψη ως προνόμιο των πολλών
η μαθηματική σκέψη ως προνόμιο των πολλώνDr. Maria D. Chalkou
 
Νικηφόρος Θεοτόκης: Η διδακτική προσέγγιση της θεωρίας των λογαρίθμων στην Ελ...
Νικηφόρος Θεοτόκης: Η διδακτική προσέγγιση της θεωρίας των λογαρίθμων στην Ελ...Νικηφόρος Θεοτόκης: Η διδακτική προσέγγιση της θεωρίας των λογαρίθμων στην Ελ...
Νικηφόρος Θεοτόκης: Η διδακτική προσέγγιση της θεωρίας των λογαρίθμων στην Ελ...Dr. Maria D. Chalkou
 
Πυθαγόρειο Θεώρημα
Πυθαγόρειο ΘεώρημαΠυθαγόρειο Θεώρημα
Πυθαγόρειο Θεώρημαfanifanius
 

Andere mochten auch (20)

The codex vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th century, ff. 11r-126r
The codex vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th century, ff. 11r-126rThe codex vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th century, ff. 11r-126r
The codex vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th century, ff. 11r-126r
 
κ.καραθεοδωρη ο ελληνας αινσταιν
κ.καραθεοδωρη   ο ελληνας αινσταινκ.καραθεοδωρη   ο ελληνας αινσταιν
κ.καραθεοδωρη ο ελληνας αινσταιν
 
The Pythagorean Theorem in Greece at 18th century - Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στη...
The Pythagorean Theorem in Greece at 18th century - Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στη...The Pythagorean Theorem in Greece at 18th century - Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στη...
The Pythagorean Theorem in Greece at 18th century - Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στη...
 
Πυθαγόρας
Πυθαγόρας Πυθαγόρας
Πυθαγόρας
 
The Pythagorean Theorem and its application according to a greek manuscript o...
The Pythagorean Theorem and its application according to a greek manuscript o...The Pythagorean Theorem and its application according to a greek manuscript o...
The Pythagorean Theorem and its application according to a greek manuscript o...
 
τα άγνωστα μαθηματικά των βυζαντινών
τα  άγνωστα  μαθηματικά  των βυζαντινώντα  άγνωστα  μαθηματικά  των βυζαντινών
τα άγνωστα μαθηματικά των βυζαντινών
 
τετρακτύς
τετρακτύςτετρακτύς
τετρακτύς
 
Pythagoreio theorhma
Pythagoreio theorhmaPythagoreio theorhma
Pythagoreio theorhma
 
Τα γεωμετρικά σχήματα και η σημασία της ύπαρξής τους στα ελληνικά χειρόγραφα....
Τα γεωμετρικά σχήματα και η σημασία της ύπαρξής τους στα ελληνικά χειρόγραφα....Τα γεωμετρικά σχήματα και η σημασία της ύπαρξής τους στα ελληνικά χειρόγραφα....
Τα γεωμετρικά σχήματα και η σημασία της ύπαρξής τους στα ελληνικά χειρόγραφα....
 
Applications of Conic Sections
Applications of Conic SectionsApplications of Conic Sections
Applications of Conic Sections
 
Pythagorio Theorima
Pythagorio TheorimaPythagorio Theorima
Pythagorio Theorima
 
μαθηματικα και φιλοσοφια
μαθηματικα και φιλοσοφιαμαθηματικα και φιλοσοφια
μαθηματικα και φιλοσοφια
 
εισαγωγη στη μαθηματικη σκεψη
εισαγωγη στη μαθηματικη σκεψηεισαγωγη στη μαθηματικη σκεψη
εισαγωγη στη μαθηματικη σκεψη
 
Πυθαγόρειο θεώρημα - θωρία
Πυθαγόρειο θεώρημα - θωρίαΠυθαγόρειο θεώρημα - θωρία
Πυθαγόρειο θεώρημα - θωρία
 
Διδακτικές Μέθοδοι Μαθηματικών
Διδακτικές Μέθοδοι ΜαθηματικώνΔιδακτικές Μέθοδοι Μαθηματικών
Διδακτικές Μέθοδοι Μαθηματικών
 
σχέδιο μαθήματος διαθεματικοτητα (1)
σχέδιο μαθήματος   διαθεματικοτητα (1)σχέδιο μαθήματος   διαθεματικοτητα (1)
σχέδιο μαθήματος διαθεματικοτητα (1)
 
η μαθηματική σκέψη ως προνόμιο των πολλών
η μαθηματική σκέψη ως προνόμιο των πολλώνη μαθηματική σκέψη ως προνόμιο των πολλών
η μαθηματική σκέψη ως προνόμιο των πολλών
 
Νικηφόρος Θεοτόκης: Η διδακτική προσέγγιση της θεωρίας των λογαρίθμων στην Ελ...
Νικηφόρος Θεοτόκης: Η διδακτική προσέγγιση της θεωρίας των λογαρίθμων στην Ελ...Νικηφόρος Θεοτόκης: Η διδακτική προσέγγιση της θεωρίας των λογαρίθμων στην Ελ...
Νικηφόρος Θεοτόκης: Η διδακτική προσέγγιση της θεωρίας των λογαρίθμων στην Ελ...
 
Geometria a-lykeiou
Geometria a-lykeiouGeometria a-lykeiou
Geometria a-lykeiou
 
Πυθαγόρειο Θεώρημα
Πυθαγόρειο ΘεώρημαΠυθαγόρειο Θεώρημα
Πυθαγόρειο Θεώρημα
 

Ähnlich wie Irrational Numbers. The mystery

άρρητοι&υπερβατικοί αριθμοί. (2)
άρρητοι&υπερβατικοί αριθμοί. (2)άρρητοι&υπερβατικοί αριθμοί. (2)
άρρητοι&υπερβατικοί αριθμοί. (2)Daphne_Yrl
 
Dianismata b lykeioy_2013-2014
Dianismata b lykeioy_2013-2014Dianismata b lykeioy_2013-2014
Dianismata b lykeioy_2013-2014georkara
 
Π ΕΝΑΣ ΜΑΓΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ
Π ΕΝΑΣ ΜΑΓΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣΠ ΕΝΑΣ ΜΑΓΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ
Π ΕΝΑΣ ΜΑΓΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣSaltis Moisis
 
ΦΥΣΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ
ΦΥΣΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣΦΥΣΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ
ΦΥΣΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣAthanasios Panagiotopoulos
 
Η Γοητεία του αριθμού π (=3,14)
Η Γοητεία του αριθμού π (=3,14)Η Γοητεία του αριθμού π (=3,14)
Η Γοητεία του αριθμού π (=3,14)Froso Stamou
 
Aριθμος φ και οι εφαρμογες του
Aριθμος φ και οι εφαρμογες τουAριθμος φ και οι εφαρμογες του
Aριθμος φ και οι εφαρμογες τουkkll6465
 
Σημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
Σημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ ΛυκείουΣημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
Σημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 
μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannis
μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannisμαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannis
μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannisChristos Loizos
 

Ähnlich wie Irrational Numbers. The mystery (14)

Erotiseis theorias a gymn
Erotiseis theorias a gymnErotiseis theorias a gymn
Erotiseis theorias a gymn
 
άρρητοι&υπερβατικοί αριθμοί. (2)
άρρητοι&υπερβατικοί αριθμοί. (2)άρρητοι&υπερβατικοί αριθμοί. (2)
άρρητοι&υπερβατικοί αριθμοί. (2)
 
Dianismata b lykeioy_2013-2014
Dianismata b lykeioy_2013-2014Dianismata b lykeioy_2013-2014
Dianismata b lykeioy_2013-2014
 
Π ΕΝΑΣ ΜΑΓΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ
Π ΕΝΑΣ ΜΑΓΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣΠ ΕΝΑΣ ΜΑΓΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ
Π ΕΝΑΣ ΜΑΓΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ
 
ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιοημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
 
ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιοημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
 
Synola arithmon
Synola arithmonSynola arithmon
Synola arithmon
 
ΦΥΣΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ
ΦΥΣΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣΦΥΣΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ
ΦΥΣΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ
 
Protikrisi 1
Protikrisi 1Protikrisi 1
Protikrisi 1
 
Pi chris2009
Pi chris2009Pi chris2009
Pi chris2009
 
Η Γοητεία του αριθμού π (=3,14)
Η Γοητεία του αριθμού π (=3,14)Η Γοητεία του αριθμού π (=3,14)
Η Γοητεία του αριθμού π (=3,14)
 
Aριθμος φ και οι εφαρμογες του
Aριθμος φ και οι εφαρμογες τουAριθμος φ και οι εφαρμογες του
Aριθμος φ και οι εφαρμογες του
 
Σημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
Σημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ ΛυκείουΣημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
Σημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
 
μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannis
μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannisμαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannis
μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannis
 

Mehr von Dr. Maria D. Chalkou

Η σημασία της ύπαρξης των γεωμετρικών σχημάτων στα Ελληνικά χειρόγραφα
Η σημασία της ύπαρξης των γεωμετρικών σχημάτων στα Ελληνικά χειρόγραφαΗ σημασία της ύπαρξης των γεωμετρικών σχημάτων στα Ελληνικά χειρόγραφα
Η σημασία της ύπαρξης των γεωμετρικών σχημάτων στα Ελληνικά χειρόγραφαDr. Maria D. Chalkou
 
Transcription introduction and mathematical comments'', history
Transcription introduction and mathematical comments'', historyTranscription introduction and mathematical comments'', history
Transcription introduction and mathematical comments'', historyDr. Maria D. Chalkou
 
Αρρητοι αριθμοί- Το βιβλίο 10 του Ευκλείδη
Αρρητοι αριθμοί- Το βιβλίο 10 του ΕυκλείδηΑρρητοι αριθμοί- Το βιβλίο 10 του Ευκλείδη
Αρρητοι αριθμοί- Το βιβλίο 10 του ΕυκλείδηDr. Maria D. Chalkou
 
Δείγμα Μεταγραφής Ελληνικού Μαθηματικού Χειρογράφου του 18ου αι. της Ιστορική...
Δείγμα Μεταγραφής Ελληνικού Μαθηματικού Χειρογράφου του 18ου αι. της Ιστορική...Δείγμα Μεταγραφής Ελληνικού Μαθηματικού Χειρογράφου του 18ου αι. της Ιστορική...
Δείγμα Μεταγραφής Ελληνικού Μαθηματικού Χειρογράφου του 18ου αι. της Ιστορική...Dr. Maria D. Chalkou
 
Βυζαντινός και Μεταβυζαντινός Ελληνισμός. Η διδασκαλία των εμβαδών στον Βυζαν...
Βυζαντινός και Μεταβυζαντινός Ελληνισμός. Η διδασκαλία των εμβαδών στον Βυζαν...Βυζαντινός και Μεταβυζαντινός Ελληνισμός. Η διδασκαλία των εμβαδών στον Βυζαν...
Βυζαντινός και Μεταβυζαντινός Ελληνισμός. Η διδασκαλία των εμβαδών στον Βυζαν...Dr. Maria D. Chalkou
 
8η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα: Τα εμβαδά στον βυζαντινό και μεταβυζαντινό ελ...
8η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα: Τα εμβαδά στον βυζαντινό και μεταβυζαντινό ελ...8η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα: Τα εμβαδά στον βυζαντινό και μεταβυζαντινό ελ...
8η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα: Τα εμβαδά στον βυζαντινό και μεταβυζαντινό ελ...Dr. Maria D. Chalkou
 
Number theory in byzantium according to codex vindobonensis
Number theory in byzantium according to codex vindobonensisNumber theory in byzantium according to codex vindobonensis
Number theory in byzantium according to codex vindobonensisDr. Maria D. Chalkou
 
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Συνέδριο 2015 Νικηφορος Θεοτοκης: Οι λογαριθμοι...
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Συνέδριο 2015 Νικηφορος Θεοτοκης: Οι λογαριθμοι...Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Συνέδριο 2015 Νικηφορος Θεοτοκης: Οι λογαριθμοι...
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Συνέδριο 2015 Νικηφορος Θεοτοκης: Οι λογαριθμοι...Dr. Maria D. Chalkou
 
Plagiarism of the codex vindobonensis phil
Plagiarism of the codex vindobonensis philPlagiarism of the codex vindobonensis phil
Plagiarism of the codex vindobonensis philDr. Maria D. Chalkou
 
Interaction of mathematical education and byzantine society according
Interaction of mathematical education and byzantine society accordingInteraction of mathematical education and byzantine society according
Interaction of mathematical education and byzantine society accordingDr. Maria D. Chalkou
 
Problems of technical education according to the codex
Problems of  technical education  according  to  the codexProblems of  technical education  according  to  the codex
Problems of technical education according to the codexDr. Maria D. Chalkou
 
Παλαιογραφία: Μορφωτικό Ίδρυμα της Εθνικής Τράπεζας της Ελλάδος (ΜΙΕΤ)
Παλαιογραφία: Μορφωτικό Ίδρυμα της Εθνικής Τράπεζας της Ελλάδος (ΜΙΕΤ)Παλαιογραφία: Μορφωτικό Ίδρυμα της Εθνικής Τράπεζας της Ελλάδος (ΜΙΕΤ)
Παλαιογραφία: Μορφωτικό Ίδρυμα της Εθνικής Τράπεζας της Ελλάδος (ΜΙΕΤ)Dr. Maria D. Chalkou
 
Library of Demetsana: The codex 72 of the 18th century named 'Mathematarion' ...
Library of Demetsana: The codex 72 of the 18th century named 'Mathematarion' ...Library of Demetsana: The codex 72 of the 18th century named 'Mathematarion' ...
Library of Demetsana: The codex 72 of the 18th century named 'Mathematarion' ...Dr. Maria D. Chalkou
 

Mehr von Dr. Maria D. Chalkou (16)

Η σημασία της ύπαρξης των γεωμετρικών σχημάτων στα Ελληνικά χειρόγραφα
Η σημασία της ύπαρξης των γεωμετρικών σχημάτων στα Ελληνικά χειρόγραφαΗ σημασία της ύπαρξης των γεωμετρικών σχημάτων στα Ελληνικά χειρόγραφα
Η σημασία της ύπαρξης των γεωμετρικών σχημάτων στα Ελληνικά χειρόγραφα
 
Interview
Interview Interview
Interview
 
Who is who στην Ελλάδα
Who is who στην ΕλλάδαWho is who στην Ελλάδα
Who is who στην Ελλάδα
 
Transcription introduction and mathematical comments'', history
Transcription introduction and mathematical comments'', historyTranscription introduction and mathematical comments'', history
Transcription introduction and mathematical comments'', history
 
Αρρητοι αριθμοί- Το βιβλίο 10 του Ευκλείδη
Αρρητοι αριθμοί- Το βιβλίο 10 του ΕυκλείδηΑρρητοι αριθμοί- Το βιβλίο 10 του Ευκλείδη
Αρρητοι αριθμοί- Το βιβλίο 10 του Ευκλείδη
 
Δείγμα Μεταγραφής Ελληνικού Μαθηματικού Χειρογράφου του 18ου αι. της Ιστορική...
Δείγμα Μεταγραφής Ελληνικού Μαθηματικού Χειρογράφου του 18ου αι. της Ιστορική...Δείγμα Μεταγραφής Ελληνικού Μαθηματικού Χειρογράφου του 18ου αι. της Ιστορική...
Δείγμα Μεταγραφής Ελληνικού Μαθηματικού Χειρογράφου του 18ου αι. της Ιστορική...
 
DIGITAL BOOKS
DIGITAL BOOKS DIGITAL BOOKS
DIGITAL BOOKS
 
Βυζαντινός και Μεταβυζαντινός Ελληνισμός. Η διδασκαλία των εμβαδών στον Βυζαν...
Βυζαντινός και Μεταβυζαντινός Ελληνισμός. Η διδασκαλία των εμβαδών στον Βυζαν...Βυζαντινός και Μεταβυζαντινός Ελληνισμός. Η διδασκαλία των εμβαδών στον Βυζαν...
Βυζαντινός και Μεταβυζαντινός Ελληνισμός. Η διδασκαλία των εμβαδών στον Βυζαν...
 
8η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα: Τα εμβαδά στον βυζαντινό και μεταβυζαντινό ελ...
8η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα: Τα εμβαδά στον βυζαντινό και μεταβυζαντινό ελ...8η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα: Τα εμβαδά στον βυζαντινό και μεταβυζαντινό ελ...
8η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα: Τα εμβαδά στον βυζαντινό και μεταβυζαντινό ελ...
 
Number theory in byzantium according to codex vindobonensis
Number theory in byzantium according to codex vindobonensisNumber theory in byzantium according to codex vindobonensis
Number theory in byzantium according to codex vindobonensis
 
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Συνέδριο 2015 Νικηφορος Θεοτοκης: Οι λογαριθμοι...
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Συνέδριο 2015 Νικηφορος Θεοτοκης: Οι λογαριθμοι...Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Συνέδριο 2015 Νικηφορος Θεοτοκης: Οι λογαριθμοι...
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Συνέδριο 2015 Νικηφορος Θεοτοκης: Οι λογαριθμοι...
 
Plagiarism of the codex vindobonensis phil
Plagiarism of the codex vindobonensis philPlagiarism of the codex vindobonensis phil
Plagiarism of the codex vindobonensis phil
 
Interaction of mathematical education and byzantine society according
Interaction of mathematical education and byzantine society accordingInteraction of mathematical education and byzantine society according
Interaction of mathematical education and byzantine society according
 
Problems of technical education according to the codex
Problems of  technical education  according  to  the codexProblems of  technical education  according  to  the codex
Problems of technical education according to the codex
 
Παλαιογραφία: Μορφωτικό Ίδρυμα της Εθνικής Τράπεζας της Ελλάδος (ΜΙΕΤ)
Παλαιογραφία: Μορφωτικό Ίδρυμα της Εθνικής Τράπεζας της Ελλάδος (ΜΙΕΤ)Παλαιογραφία: Μορφωτικό Ίδρυμα της Εθνικής Τράπεζας της Ελλάδος (ΜΙΕΤ)
Παλαιογραφία: Μορφωτικό Ίδρυμα της Εθνικής Τράπεζας της Ελλάδος (ΜΙΕΤ)
 
Library of Demetsana: The codex 72 of the 18th century named 'Mathematarion' ...
Library of Demetsana: The codex 72 of the 18th century named 'Mathematarion' ...Library of Demetsana: The codex 72 of the 18th century named 'Mathematarion' ...
Library of Demetsana: The codex 72 of the 18th century named 'Mathematarion' ...
 

Irrational Numbers. The mystery

  • 1. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟ 10ο ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ 15/7/2014 Dr. Maria D. Chalkou, State High School Advisor
  • 2. ΟΡΙΣΜΟΙ  Είναι γνωστό, ότι ένας αριθμός είναι άρρητος αν δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα της μορφής μ/ν, όπου μ, ν ακέραιοι με (μ,ν)= 1, και ν διάφορο του μηδενός.  Οι άρρητοι αριθμοί μπορεί να είναι είτε αλγεβρικοί (ρίζες πολυωνυμικών εξισώσεων με ρητούς συντελεστές) όπως π.χ. η √3 (είναι ρίζα της εξίσωσης χ²-3= 0), είτε υπερβατικοί (δεν υπάρχει πολυωνυμική εξίσωση με ρητούς συντελεστές της οποίας να είναι ρίζες), όπως π.χ. οι αριθμοί π, e. 15/7/2014 Dr. Maria D. Chalkou, State High School Advisor
  • 3. ΤΟ 10ο ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ  Το βιβλίο Χ του Ευκλείδη το οποίο σχετίζεται με τα ασύμμετρα μεγέθη μας προκαλεί δέος λόγω του όγκου αλλά και της δύσκολης μεθοδολογίας του. Θεωρείται -ίσως όχι άδικα- ένα από τα πιο βαθυστόχαστα και δυσκολονόητα μαθηματικά κείμενα στην Ιστορία των Μαθηματικών.  Η πρόθεση να διευκρινιστούν οι γεωμετρικές φόρμες που χρησιμοποίησε ο Ευκλείδης αποτυγχάνει ακόμα και με σύγχρονους υπολογισμούς. 15/7/2014 Dr. Maria D. Chalkou, State High School Advisor
  • 4. Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΩΝ ΑΣΥΜΜΕΤΡΩΝ  Σύμφωνα με τον T. Heath οι αρχαίοι Έλληνες άρχισαν να ασχολούνται με τα ασύμμετρα μεγέθη, όταν αυτά προέκυψαν σαν ρίζες Β΄ βαθμίων εξισώσεων.  Σύγχρονοι μελετητές υποστηρίζουν, πως η ανακάλυψη των ασυμμέτρων, η οποία έγινε πριν από το μέσον του 5ου αι. οφείλεται στον Πυθαγόρα. 15/7/2014 Dr. Maria D. Chalkou, State High School Advisor
  • 5. ΠΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ  Ο Πλάτων και ο Αριστοτέλης θεωρούσαν τη πλευρά και τη διαγώνιο του τετραγώνου ως παραδειγματικά ασύμμετρα μεγέθη, οι δε δυσκολίες που προκύπτουν για τον υπολογισμό της ρίζας του 2 έχουν ιστορία 1000 χρόνων.  Κατά τον Πλάτωνα οι γραμμές ορίζονται ως "μήκη" και τα τετράγωνα τους ως "δυνάμεις". Αυτές οι τελευταίες μπορεί να μην είναι σύμμετρες στο μήκος, αλλά μόνο κατά τα εμβαδά που παράγουν. 15/7/2014 Dr. Maria D. Chalkou, State High School Advisor
  • 6. ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ ΚΑΙ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ  Κατά τον Θεαίτητο, αν έχουμε δύο γραμμές σύμμετρες σε τετράγωνο, αλλά όχι σε μήκος, τότε και ο αριθμητικός και ο γεωμετρικός καθώς και ο αρμονικός μέσος τους θα είναι άρρητες γραμμές.  Κατά τον Ευκλείδη, αν θεωρήσουμε δύο γραμμές α, β σύμμετρες μόνο σε τετράγωνο, τότε το άθροισμά τους είναι άλογος (όχι ρητή) και ονομάζεται διωνυμική γραμμή.  Το ίδιο συμβαίνει και με τη διαφορά τους (αν από τη μεγαλύτερη αφαιρεθεί η μικρότερη), η οποία καλείται αποτομή.  Αν για τις ίδιες γραμμές θεωρήσουμε το γινόμενό τους γ2=α.β, τότε και αυτό είναι ασύμμετρο μέγεθος και ονομάζεται μέσο εμβαδόν.  Επιπλέον η γ είναι ασύμμετρο μέγεθος και ονομάζεται μέση γραμμή. 15/7/2014 Dr. Maria D. Chalkou, State High School Advisor
  • 7. ΤΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ  Κάτω άραγε από ποιες συνθήκες μία τετραγωνική ρίζα είναι μία διωνυμική ή μία αποτομή;  Αν λυθεί το πρόβλημα αυτό μήπως θα έχουμε το κλειδί για την εξήγηση του νοήματος όλης της θεωρίας του Ευκλείδη; 15/7/2014 Dr. Maria D. Chalkou, State High School Advisor