Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.

7. trigonometri

  • Als Erste(r) kommentieren

7. trigonometri

  1. 1. TRIGONOMETRIDrs Manaek Lumban Gaol SMK N 2 Doloksanggul
  2. 2. PERBANDINGAN TRIGONOMETRIKONSEP SINUS BB CC DD EE ... AB AC AD AE Adaptif
  3. 3. PERBANDINGAN TRIGONOMETRIKONSEPKOSINUS AB AC AD AE ... AB AC AD AE Adaptif
  4. 4. PERBANDINGAN TRIGONOMETRIKONSEPTANGEN BB CC DD EE ... AB AC AD AE Adaptif
  5. 5. Perbandingan trigonometriDiketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang sisi AB = 10cm, sisi BC = 5 cm.Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah .... B 10 5 didapat 5V3 A C ? Maka diperoleh : sin A = ½ Jadi : cos A = ½ V3 tan A = 1/3 V3 Adaptif
  6. 6. Perbandingan TrigonometriSudut khususSudut Khusus C S R A D B P Q ABC sama sisi PQRS persegi panjang sisi = 2a panjang sisi = 2a Adaptif
  7. 7. Perbandibgan Trigonometri Sudut Khusus 1 1 sin 45 0 2 cos 450 2 0 2 2 45 2 Tan 45 0 1 1 45 0 1 Sin 30 0 1 ; Cos 30 0 1 3 2 2 1 30 0 Tan 30 0 3 3 2 3 1 1 Sin 60 0 3 Cos 60 0 2 2 60 0 Tan 60 0 3 1 Adaptif
  8. 8. Perbandingan TrigonometriDengan menggunakan gambar di atas,tentukan nilai perbandingan : 0o 300 450 600 900 sin …. …. …. …. …. cos …. …. …. …. …. tg …. …. …. …. …. ctg …. …. …. …. …. sec …. …. …. …. …. cos ec …. …. …. …. …. Adaptif
  9. 9. Perbandingan TrigonometriHal Khusus1. Jika αo + βo + γo = 180o , maka: sin(α + β)o = sin(180 – γ)o = sin γo cos(α + β)o = cos(180 – γ)o = –cos γo sin ½ (α + β)o = sin(90 – ½ γ)o = cos ½ γo cos ½ (α + β)o = cos (90 – ½ γ)o = sin ½ γo2. Jika αo + βo + o = 270o, maka: sin(α + β)o = sin(270 – )o = –cos o cos(α + β)o = cos(270 – )o = –sin o Adaptif
  10. 10. 7.1. Perbandingan trigonometri1. Perbandingan Trigonometri (Sinus, Cosinus Dan Tangen) C A B Pada gambar di atas , yakni Segitiga ABC siku – siku di A a. Jika panjang sisi AB = 8 dan Panjang sisi AC = 6. Tentukanlah panjang sisi BC b. Jika sin = 0.5 dan panjang sisi AC =10. Tentukanlah Panjang sisi-sisi yang lainnya. c. Jika Cos = 0,5 . Tentukanlah tan dan sin Adaptif
  11. 11. 7.1.1 Perbandingan trigonometriRelasi / Rumus dasar trigonometri 1. Relasi kebalikan : 1 1 1 sec , csc , dan cot cos sin tan 2. Relasi perbandingan: sin cos tan dan cot cos sin 3. Relasi Pythagoras 1. sin 2 cos 2 1 2. tan 2 1 sec2 3. 1 Cot 2 csc2 Adaptif
  12. 12. 7.1.1 Perbandingan trigonometri2. Dengan menggunakan Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa . Lengkapilah tabel berikut ini. a. o0 300 450 600 900 Sec Csc Cot b. Jika sin = 0,6 . Tentukanlah : csc , Cos , tan ,sec , dan cot Adaptif
  13. 13. 7.1.2 Perbandingan trigonometri sudut-sudut diberbagai kwadran Perhatikan gambar berikut y Jika XOP = . P2(-b,a) P1 (b,a) Nilai ordinat b Sin Jari jari r P(a,b) P3(-a,b) Nilai absis a Cos X Jari jari r O Ordinat b Tan Absis a P4(-a,-b) P7(a,-b) Perhatikan XOP 1 = ( 900 - ) P5(-b,-a) P6(b,-a) Nilai ordinat P1 ... Sin(90 ) Jari jari ... Nilai absis P1 ... Cos (90 ) Jari jari ... Nilai ordinat P1 ... Tan(90 ) Nilai absis P1 ... Adaptif
  14. 14. 7.1.1 Sudut yang berrelasi Ternyata1. Sin (90 - ) = Cos2. Cos (90 - ) = Sin3. Tan (90 - ) = Cot Buatlah perbandingan trigonometri untuk masing- masing 1. XOP2 =(90+ ). 2. XOP3=...? 3. XOP4 =...? 4. XOP5 =...? 5. XOP6 =...? 6. XOP7 =...? Adaptif
  15. 15. 7.1.1 Sudut yang berrelasi2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasi a. sin(90 – α)o = cos αo cos(90 – α)o = sin αo tan(90 – α)o = cot αo cot(90 – α)o = tan αo sec(90 – α)o = csc αo csc(90 – α)o = sec αo b. sin(180 – α)o = sin α0 sin(180 + α)o = –sin αo cos(180 – α)o = –cos α0 cos(180 + α)o = –cos αo tan(180 – α)o = –tan α0 tan(180 + α)o = tan αo c. sin(360 – α)o = –sin α0 sin(–αo) = –sin αo cos(360 – α)o = cos α0 cos(–αo) = cos αo tan(360 – α)o = –tan α0 tan(–αo) = –tan αo Bernilai ”+” Sin All Tan Cos Adaptif
  16. 16. Koordinat Kartesius dan Kutub Y Y x P(x,y) x P(r, ) y r y x X o O Koordinat Kartesius Koordinat KutubKoordinat Kutub ke Kartesius Koordinat Kartesius ke Kutub x = r cos a r2 = x2 + y2 y Y = r sin a tan α = x Adaptif
  17. 17. ATURANSINUS BAN KOSINUS1.Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC: a b c sin sin sin2. Aturan (rumus) kosinus:a2 = b2 + c2 – 2bc cos αb2 = a2 + c2 – 2ac cos β atauc2 = a2 + b2 – 2ab cos γ c2 a 2 b2 cos β = 2ca b2 c2 a2cos α = cos γ = a2 b2 c2 2bc 2ab Adaptif
  18. 18. Rumus Trigonometri dalam segitigaDari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan kecepatan 10knot (mil/jam) ke arah 160o dan kapal B ke arah 220o dengankecepatan 16 knot. Berapa jarak kedua kapal 2 jam kemudian? U AB2 = 202 + 322 – 2. 20 . 32 . cos 60o = 400 + 1024 – 640 220 = 784 O 160 o o AB = 28 60o 20 32 A Jarak antara kedua kapal 28 mil B Adaptif
  19. 19. C 37 20 A 51 BBerapakah nilai tan A dan sin B?cos A = sehingga sin A =cos B = sehingga sin B =Maka Tan A = . . . . .? Adaptif
  20. 20. Luas segitiga C 1 1. L ab sin C t 2 1 2. L ac sin BA 2 c B 1 1 3. L bc sin ALuas segitiga = . alas tinggi 2 2t b sin A 1L c b sin A 2Atau L = . . . . . . . . .Bila melibatkan sudut B Adaptif
  21. 21. LUAS SEGITIGAPerhatikan segitiga di bawah ini C Soal : Tentukan luas segitiga a ABC pada gambar b berikut ini. C 1200 c 8 cm D A B 1 L ABC alas tinggi 1350 B 2 1 L ABC c b sin 600 2 12 cm A Adaptif
  22. 22. Pembahasan soal Luas segitiga C Luas ABC =. . . . . . . ? 1350 B D A Adaptif
  23. 23. LUAS SEGITIGALuas segitiga apabila diketahui sebuah sisidan tiga sudut 1 L ABC a b sin C .......... .......1Perhatikan segitiga ABC 2di bawahini a b sin B atau b a ...... 2 sin A sin B sin A C a Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh : a 2 sin B. sin C L ABC B 2 sin A b 2 sin A sin C A L ABC 2 sin B c 2 sin A sin B L ABC 2 sin C Adaptif
  24. 24. Aplikasi penggunaan rumusDiketahui segitiga ABC sebagai mana gambar di bawahini A C B Adaptif
  25. 25. PEMBUKTIAN RUMUS LUAS SEGITIGAIngat aturan Cosinus Sin2 A Cos 2 A 1 b2 c2 a2 sin 2 A 1 Cos 2 A CosA 2bc Identitas dasar trigonometri Sin2 A 1 Cos 2 A (1 CosA)(1 CosA) b2 c2 a 2 b2 c2 a 2 Sin2 A 1 1 2bc 2bc 1 2bc (b 2 c 2 a 2 ) 2bc (b 2 c2 a2 ) 4b 2 c 2 1 2 2 b c a2 a2 b c 4b 2 c 2 Notes 2 b c b2 c2 2bc b2 c2 2bc Adaptif
  26. 26. PEMBUKTIAN RUMUS LUAS SEGITIGAMaka kita dapat tuliskan bahwa: 2 1 2 Sin A 2 2 b c a 2 a 2 (b c) 2 4b c 2 1 Sin A 2 2 b c a b c a a b c a b c 4b cLanjutkan; 2s b c a 1 s keliling segitiga 2 b c a a b c 2a 2 s 2a 2s a a c b a b c 2b 2s 2b 2 s b a b c a b c 2c 2s 2c 2 s c Adaptif
  27. 27. PEMBUKTIAN RUMUS LUAS SEGITIGAMaka dapat kita tuliskan bahwa: 1 Sin2 A 2 2 b c a b c a a b c a b c 4b cMenjadi 1 Sin2 A 2 2 2s 2 s a 2 s b 2 s c 4b cRuas kiri dan ruas kanan sama-sam di kali dengan 4b2 c2 Adaptif
  28. 28.  Kita peroleh : 2 2bc Sin2 A 2s 2 s a 2s b 2s c 2bcSinA 2s 2 s a 2s b 2s c bcSinA 4 4 s(s a )(s b)(s c) atau 2 bcSinA s(s a )(s b)(s c) 2 L s( s a )(s b)(s c) Adaptif
  29. 29. JARI –JARI LINGKARAN DALAM SEGITIGA Perhatikan gambar di bawah ini L = + C + Atau: =(1/2).c.r =(1/2).b.r =(1/2).a.r r _______________________ + N L =(1/2).r.(a+b+c) A 2(L ) = r.(a+b+c B 2 Luas ABC r Keliling Adaptif
  30. 30. Penggunaan rumusTentukan luas daerah diarsir pada segitiga ABC di bawah ini apabilamasing-masing sisinya , a = 4 , b = 5 , dan c = 3 Ingat rumus luas segitiga C L ABC ss a s b s c 66 4 6 5 6 3 6 2 1 3 36 6 sl r Jari-jari lingkaran dalam segitiga: N 2 L ABC r A Keliling 2 6 B r 12 r 1 Luas daerah diarsir= ABC – Luas lingkaran = 6- Adaptif
  31. 31. Jari- jari lingkaran luar segitigaPerhatikan APB Dengan cara yang sama kita peroleh a 2R sin A dan b 2R sin B 1 C Luas ABC ab sin C 2 P 1 Luas ABC ab sin C 2 c Perhatikanganbar sin C A B 2R maka :AB2 AP2 PB2 2 AP PBCos APB 1 c Luas ABC ab 2 2Rc2 R2 R2 2 R R cos C abcc2 2 R 2 1 cos ACB Luas ABC 4Rc2 2 R 2 1 cos 2 ACB abcc2 2 R 2 2 sin 2 C kitasin gkat; ACB C R 4Luas ABCc2 2 2 R 2 sin 2 C a.b.cc 2 R sin C R 4L Adaptif
  32. 32. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL Rumus-rumus dasar Identitas trigonometri Rumus trigonometri untuk jumlah dua buah sudut1. Sin Sin Cos Cos Sin 5. Tan Tan2. Sin( ) Sin Cos Cos Sin Tan 1 Tan Tan3. Cos Cos Cos Sin Sin 6. Tan Tan Tan4. Cos( ) Cos Cos Sin Sin 1 Tan Tan Rumus trigonometri untuk sudut rangkap1. Sin2 2Sin Cos2. Cos2 Cos 2 Sin23. 2Tan Tan2 1 Tan2 Adaptif
  33. 33. Drs Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 Doloksanggul RUMUS TRIGONOMETRI UNTUK PERTENGAHAN SUDUTKita ketahui bahwa: 2 2 1 1 CosCos2 Cos Sin Sin 2 2Cos 2 Cos 2 1 Cos 2 2 1 1 Cos Cos2 2Cos 1 Tan 2 1 Cos 2Cos 2 1 Cos 2 penyebutnya dirasionalkan 1 Cos 2 maka diperoleh Cos 2 2 1 1 Cos 1 CosMisalkan 2 = → ...dst 2 1 Cos 1 Cosrumus terahir akan menjadi 1 1 Cos 1 Sin Cos Tan 2 2 2 1 CosDengan cara yang sama akan kita peroleh Adaptif
  34. 34. Bentuk equivalen rumus pertengahan sudut bagi tangen 1 Sin 1 Cos Tan 2 1 Cos 1 Cos 1 Sin 1 Cos Tan 2 1 Cos 2 1 Sin 1 Cos Tan 2 Sin2 1 1 Cos Tan 2 Sin Adaptif
  35. 35. Contoh penggunaan rumus, sekaligus bukti 0 1 Sin30 2 1 1 Cos 600 Sin 600 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 4 2 2 Adaptif
  36. 36. 0 1 Cos300Sin15 2 1 1 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 41 2 32 Adaptif
  37. 37. Drs. Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 DoloksanggulPenggunaan rumus trigonometri untuk pertengahan sudut1.Nilai eksak dari Cos150 dan Sin(22,5)0 dapat ditentukan dengan rumus pertengahan sudut. Tentu kanlah!Penyelesaian: 1 Cos300 Cos150 Cos 450 300 Cos150 2 Cos45 cos30 sin 450 sin 300 1 1 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 4 1 2 3 2 Adaptif
  38. 38. Buktikan bahwa: 1 1 2 3 2 3 1 2 4 Bukti ruas kiri 1 1 64x 2 32x 3 0 2 3 2 3 2 4 Misalkan 1 1 1 1 1 3 a + b =. . . . . 3 2 3 2 2 4 2 8 2 64 a.b = . . . . . . 1; kitaidentifikasi; a b 2 a b a b 2 a.b 3 32a 2b 1; dan; ab a 64 64b Adaptif
  39. 39. Soal soal aplikasi Adaptif
  40. 40. Pembuktian identitas bentuk irasional Adaptif
  41. 41. 1Cos 22,5 Cos 450 2 1 Cos 450 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 2 4 1 2 2 2 Adaptif
  42. 42. Drs Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 Doloksanggul Perkalian sin dan cos  Dari rumus-rumus trigonometri untuk ( ± ) sin sin cos cos sin .......... ... 1 sin sin cos cos sin .......... ... 2 cos cos cos sin sin .......... ... 3 cos cos cos sin sin .......... ... 4  Dari (1) + (2)  2.Sin .cos =sin ( + )+ sin ( - ). . . . . . . (5)  Dari (1) - (2)  2.Cos .Sin =Sin ( + )- sin ( - ). . . . . . . .(6)  Dari (3) + (4)  2.Cos .Cos =cos ( + )+ cos ( - ). . . . . . . (7)  Dari (3) - (4)  -2.Sin .Sins =Cos ( + )- Cos ( - ). . . . . . . .(8)  Perhatikan penggunaan rumus (5) s/d ()8 Adaptif
  43. 43. Drs Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 DoloksanggulPembahasan soal perkalian sin dan cos 1.Nyatakan bentuk berikut ini sebagai jumlah atau selisih sinus 0 0 Kita pilih satu soal untuk kita jawab: 1 1 a. sin 52 sin 7 d. Jawab: Xz 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 b. 0 sin 8 x cos 2 x 0 cos52 sin 7 sin 52 7 sin 52 7 2 2 2 2 2 2 2 0 0 c. cos 52 1 cos 7 1 1 2 2 sin 60 0 sin 450 0 0 2 1 1 d. cos 52 sin 7 1 1 1 2 2 3 2 2 2 2 1 1 3 2 2 2 1 3 2 4 Adaptif
  44. 44. Drs Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 DoloksanggulPenggunaan rumus-rumus penjumlahan sin dan cos Dari rumus-rumus penjumlahan sinus dan cosinus: sin sin 2 sin c os .......... .......1 sin sin 2 c os sin .......... .......2 c os c os 2 c os c os ............... 2 c os c os 2 Sin Sin .......... 4 ... Kita misalkan A; dan : B :: Maka: A A B B  2 A B dan 2 1 A B 1 A B A B 2 2 Maka rumus- rumus penjumlahan di atas akan menjadi: 1 1 sin A sin B 2 sin A B c os A B 2 2 1 1 sin A sin B 2 c os A B sin A B 2 2 1 1 c os A c os B 2 c os A B c os A B 2 2 1 1 c os A c os B 2 sin A B sin A B 2 2 Adaptif
  45. 45. Drs Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 DoloksanggulPenggunaan rumus-rumus penjumlahan sin dan cos1. Buktikan bahwa : Sin4 Sin3 + 2Cos5 Cos2 - Cos3 = CosKita buktikan ruas kiri2 sin 4 sin 3 2Cos5 Cos 2 Cos3 Cos7 Cos Cos7 Cos3 Cos3 Cos7 Cos Cos7 Cos3 Cos3 Cos2. Buktikan bahwa: Sin 3A + (Cos A + sin A)(1-2Sin A) = Cos 3AKita buktikan ruas kiri.Sin3A CosA 2Sin2 ACosA SinA 2Sin2 A SinA Sin3 A CosA (Sin3 A SinA) SinA (cos3 A CosA) Sin3A CosA Sin3A SinA SinA Cos3A CosA Cos3A Adaptif
  46. 46. Drs Manaek Lumban Gaol Guru SMK N 2 DoloksanggulPenggunaan rumus-rumus penjumlahan sin dan cos 3. Buktikan bahwa: 16Cos3 Sin2 2Cos Cos3 cos5 Kita jabarkan ruas kiri; 2 16Cos 3 Sin2 16 Sin Cos Cos 2 1 16 Sin2 Cos 2 4 Sin2 2 Cos 2 Sin2 2 Sin2 Cos 2 Sin2 Sin3 Sin 2 Sin3 Sin2 2 Sin2 Sin Cos Cos5 Cos Cos3 2Cos Cos3 Cos5 Adaptif
  47. 47. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL 7.1. Identitas trigonometriIdentitas trigonometri (Kesamaan Trigonometri)1. Rumus-rumus berkebalikan: 1 1 1 Sin Cos Tan Co sec Sec Cot2. Rumus-rumus perbandingan: Sin Cos Tan Cot cos Sin3. Rumus Hubungan Sin , Cos , dan Tan 2 2 1 Tan2 Sec2 Sin Cos 1 2 2 1 Cot Co sec Adaptif
  48. 48. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL Rumus-rumus dasar Identitas trigonometri Rumus-rumus Trigonometri Untuk Setengah Sudut. 1 1 Cos 1 1 Cos 1 1 Cos 1. Cos 2. Sin 3. Tan 2 2 2 2 2 1 Cos Rumus-rumus Perkalian Sinus danCosinus1. 2.Sin .cos = sin ( + )+ Sin ( - )2. 2.Cos .Sin = Sin ( + )- Sin ( - )3. 2.Cos .Cos = cos ( + )+ cos ( - )4. -2.Sin .Sins = Cos ( + )- Cos ( - ) Rumus-rumus Penjumlahan Sinus dan Cosinus1. 1 1 sin A sin B 2 sin A B cos A B 2. 2 2 1 13. sin A sin B 2 cos A B sin A B 1 1 2 2 cos A cos B 2 cos A B cos A B 2 2 4. 1 1 cos A cos B 2 sin A B sin A B 2 2 Adaptif
  49. 49. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL Pembahasan soal-soal Identitas Trigonometri1. Buktikan bahwa: 2 Sin P Q TanP TanQ Samakan penyebut Cos P Q Cos P Q Penyelesaian: SinP SinQ TanP TanQ Applikasikan Sin ( + ) =.....? CosP CosQ SinP CosQ CosP SinQ = CosP CosQ Sin P Q Bagaimana melahirkan angka = 2 CosP CosQ Sin P Q 2 = Ubah perkalian menjadi CosP CosQ 2 penjumlahan 2Sin P Q = 2CosP CosQ 2 Sin P Q = Cos P Q Cos P Q Adaptif
  50. 50. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL2. Buktikan bahwa: Sin4 A Sin2 A Tan3 A Ubah penjumlahan Sin dan Cos Cos4 A Cos2 A menjadi perkalian Penyelesaian: sederhanakan Kita jabarkan ruas kiri: 1 1 2Sin 4 A 2 A Cos 4 A 2 A Sin4 A Sin2 A 2 2 = 1 1 Cos 4 A Cos 2 A 2Cos 4 A 2 A Cos 4 A 2 A sederhanakan 2 2 2Sin3 A CosA = Lalu . . . . . ? 2Cos3 A CosA Sin3 A = Cos3 A = Tan3 A Adaptif
  51. 51. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL Pembahasan soal-soal Identitas Trigonometri 3. Tunjukkan bahwa: Ubah menjadi perkalian 1 Tan A B SinA SinB 2 Uraikan menjadi dua fraksi perkalian SinA SinB 1 Tan A B 2 Bukti ruas kiri: 1 1 2Sin A B Cos A B SinA SinB 2 2 = 1 1 SinA SinB 2Cos A B Sin A B Ubah fraksi perkalian menjadi fraksi pembagian 2 2 1 1 2Sin A B Cos A B 2 2 = 1 1 2Cos A B Sin A B Ingat perbandingan Sin dan Cos 2 2 1 1 Sin A B Sin A B 2 2 = 1 1 Cos A B Cos A B Kemudian. . . . . . . . . .? 2 2 1 1 = Tan A B Tan A B 2 2 1 Tan A B 2 = 1 Tan A B 2 Adaptif
  52. 52. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL Pembahasan soal-soal Identitas Trigonometri4. Tuhjukkan bahwa: 2Tan Sin2 1 Tan2 Penyelesaian: Jabarkan penyebut Kita jabarkan ruas kiri: Sin 2 2Tan Cos = 1 Tan2 Sin2 1 Cos 2 sederhanakan Sin 2 = Cos 2 Ubah menjadi Cos Sin2 catatan sin dan cos Cos 2 = 2Sin Cos Cos 2 Sin2 = Sin2 Adaptif
  53. 53. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL Pembahasan soal-soal Identitas Trigonometri 5. Tunjukkan bahwa: Ubah menjadi perkalian Cos 2 Cos 4 Sec Sin2 Sin3 Penyelesaian: sederhanakan Kita jabarkan ruas kiri: 1 1 2 Sin 2 4 Sin 2 4 Cos 2 Cos 4 2 2 = Sin2 Sin3 Sin2 Sin3 Sin(- ) = - Sin 2Sin3 Sin = Ingat rumus sudut rangkap Sin2 Sin3 2 Sin = Sin2 sederhanakan 2Sin = 2Sin Cos = Sec Adaptif
  54. 54. = Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL Pembahasan soal-soal Identitas Trigonometri = 6. Buktikan bahwa: Sin2 Sin2 Sin2 4Sin Sin Sin Dengan ketentuan: 180 0 Ingat rumus sudut rangkap Penyelesaian: 0 o 180 0 : 180 dan = 180 Bukti ruas kiri : Sin2 Sin2 Sin2 Sederhanakan Sin2 Sin2 2Sin Cos 1 1 Applikasikan rumus penjumlahan 2 Sin 2 2 Cos 2 2 2Sin Cos menjadi perkalian ! 2 2 sin A sin B 2 sin 1 cos 1 2 Sin Cos 2Sin Cos 2 2 2 Sin 180 Cos 2Sin Cos = 1800 – ( + ) + =1800 - 2Sin Cos 2Sin Cos 2Sin Cos 2Sin Cos 180 Cos (1800 – ) = - Cos 2Sin Cos 2Sin Cos Sin (1800 - ) = Sin Faktorkan 2Sin Cos 2Sin Cos 2Sin Cos Cos 2Sin 2Sin Cos 4Sin Sin Sin Adaptif
  55. 55. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL SOAL LATIHAN IDENTITAS TRIGONOMETRI1. Buktika bahwa: Cos3 Cos5 Tan a. Sin3 Sin5 CosA CosB 1 1 b. Tan A B Tan A B CosA CosB 2 22. Diketahui bahwa: m SinA Sin3A dan n CosA Cos3A Tuniukkan bahwa: a. m n 2CosA Cos 2 A Sin2 A b. m Tan2 A n3. Buktikan bahwa: Sin Sin 120 0 Sin 240 0 0 Sin2 Sin4 Sin64. Tunjukkan bahwa: Tan 4 Cos 2 Cos 4 Cos6 Adaptif
  56. 56. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL PERSAMAAN TRIGONO METRIA.`PersamaanTrigonometri sederhana 1. Persamaan berbentuk : Sin x = Sin a0 Grafik fungsi trigonometri Y=Sin x 1.5 1 0.5 Axis Title 0 Series2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 -0.5 -1 -1.5 Axis Title Sin a0 = Sin (a0 + k. 3600) Sin a0 = Sin (1800 – a0). (pelurus dari a0) Sin a0 = Sin (1800 – a0) + k. 3600 (Perode) Sehingga : 0 Sin x = Sina0 x a 0 k 3600 dan x 180 a0 k 360 0 x Bil.R, k Bil.Bulat Adaptif
  57. 57. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL PERSAMAAN TRIGONO METRI2. Persamaan berbentuk : Cos x = Cos a0 Grafik Fungsi Y = Cos x 1.5 1 0.5 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 -0.5 -1 -1.5 Maka untuk Cos X = Cos a x =a0 + k. 3600 (Perioditas). Dan Cos a0 = Cos (– a0) Menyebapkan Cos a0 = Cos(-a0 + k.3600) Sehingga : Cos x = Cos a0 0 0 Maka : Cosx a 0 k 3600 x a k 360 0 0 dan x a k 360 x R, k Bil.Bulat Adaptif
  58. 58. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL PERSAMAAN TRIGONO METRI3. Persamaan berbentuk : Tan x = Tan a0 Grafik Fungsi y = Tan x 2 1.5 1 0.5 0 90 180 270 360 450 540 630 720 -0.5 -1 -1.5 -2 Tan a0 = Tan (a + k.3600) Tan a0 = Tan (1800 + a) dan Tan a0 = Tan(1800 + a0) + k,3600 Sehingga : Tan x = Tan a0 ↔ x = a0 + k.3600 dan x = (1800 + a) + k.1800 atau Tan x = Tan a ↔ x a k 1800 dengan x .Bil.Riel, k Bil.Bulat Adaptif
  59. 59. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGULPEMBAHASAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRi1. Tentukan x yang memenuhi persamaan: Sin x = Sin 300 Rangkuman I Penyelesaian: Persamaan trigonometri berdasarkan perioditas Dik: Sin x = Sin 300 maka: 1. Sin x = Sin a0 maka: x = 300 + k.3600 dan x = (180-300) +k.3600 x = a0 + k.3600 dan x = (180 - a0) +k.3600 x = 1500 + k.3600 2. Cos x = Cos a0 maka:2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan: x = ± a + k.3600 Sin 2x =Sin 300 dalam selang; 00 ≤ x ≥ 3600 3. Tan x =Tan a0 maka: Penyelesaian: x = a + k.1800 2x = 30 + K.3600 ↔ x = 15 + k. 180 k = -1 → x = 15 – 1800 = -1650 (Tidak memenuhi) k = o → x = 15 k = 1 → x =195 dan 2x = (180 – 30) + K.360 ↔ x = 75 + k. 180 k = o → x = 75 k = 1 → x = 255 k = 2 → x = 75 + 2.180 ↔ x = 4550 (tidak memenuhi) Himpunan penyelesaian: {150,750 ,1950,2550 }3. Tentukan x yang memenuhi persamaan: Cos x = Cos 600 Penyelesaian: Dik: Cos x = Cos 600 maka: x = 600 + k.3600 dan x = ±600 + k.3600 Adaptif
  60. 60. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL PEMBAHASAN SOAL PERSAMAAN TRIGONO METRi4. Tentulan nilai x yang memenuhi persamaan: Rangkuman I Cos 2x = Cos 400 dalam selang 00 ≤ x ≤ 3600 Persamaan trigonometri berdasarkan Penyelesaian: perioditas 2x = ±400 +k.3600 ↔ x = ±200 +k.1800 1. Sin x = Sin a0 maka: x = a0 + k.3600 dan x = (180 - a0) k = -1 → x = 200 – 1800 dan +k.3600 x = -200 -1800 = -2000 (tidak memenuhi) 2. Cos x = Cos a0 maka: x = 200- 180 = -1600 (tidak memenuhi) x = ± a + k.3600 k=0→x= 200 + 0 3. Tan x =Tan a0 maka: x = -200 + 0 = -20 (tidak memenuhi) x = a + k.1800 x = 200 + 0 = 200 k = 1 → x = ± 200 +1800 x = -20 +1800 = 1600 x = 20 +1800 = 2000 K=2→x= 200 + 3600 x = -200 + 3600 = 3400 x = 200 + 3600 = 3800 (tidak memenuhi) HP: {200 , 1600 , 2000 ,3400 } Adaptif
  61. 61. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL PEMBAHASAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRi5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan: Tan x = tan 300 dalam selang: 00 ≤ x ≤ 3600 Rangkuman I Penyeleaian: Persamaan trigonometri berdasarkan x = 30 0 + k. 1800 perioditas k = -1 → x = . . .? 1. Sin x = Sin a0 maka: k = 0 → x = 300 x = a0 + k.3600 dan x = (180 - a0) +k.3600 k = 1 → x = 300 + 1800 2. Cos x = Cos a0 maka: x = 210 0 x = ± a + k.3600 k = 2 → x = 300 + 3600 3. Tan x =Tan a0 maka: x = 3900 (tidak mememnuhi) x = a + k.1800Himpunan penyelesaian: {300 , 2100}6. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan: Tan 2x = Tan450 : 00 ≤ x ≤ 3600 Penyelesaian: 2x = 450 +k.1800 ↔ x = 22,50 + k.90 K = 0 → x = 22.50 + 0 x 90 = 22.50 K = 1 → x = 22.50 + 1 x 90 = 112.50 K = 2 → x = 22.50 + 2 x 90 = 202.50 K = 3 → x = 22.50 + 3 x 90 = 292.50 K = 4 → x = 22.50 + 4 x 90 = 382.50 (tidak memenuhi) Himpunan penyelesaian: {22.50, 112.50, 202.50, 292.50} Adaptif
  62. 62. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL PEMBAHASAN PERSAMAAN TRIGONOMETRi 4. Persamaan berbentuk : Sin x = Cos a0 Dari hubungan perbandingan trigonometri sudut- sudut diberbagai kwadran, kita ketahui bahwa: Sin x = Cos a0 00 ≤ a ≤ 900 maka: Cos a0 = Sin (90 - a0) dan Cos a0 = Sin (90 + a0) sehjngga terdapat dua persamaan yang eqivalen dengan persamaan; Sin x = Cos a0 yakni: 0 0 0 0 Sinx Sin 900 a0 Sinx Cosa Cosa Sin 90 a Sinx Sin 900 a0 Selanjutnya diselesaikan dengan ccara di atas. 5. Persamaan berbentuk : Cos x =Sin a0 Dari hubungan perbandingan trigonometri sudut- sudut diberbagai kwadran, kita ketahui bahwa: Cos x =Sin a0 dalam selang 00 ≤ a ≤ 900 maka: Sin a0 = Cos (90 - a0) dan Sin a0 = Cos (90 + a0) sehjngga terdapat dua persamaan yang eqivalen dengan persamaan; Sin x = Cos a0 yakni: Cosx Cos 900 a 0 Cosx Sina0 Sina0 Cos 900 a0 Cosx Cos 900 a0 Selanjutnya diselesaikan dengan ccara di atas. Adaptif
  63. 63. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL PEMBAHASAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRi7. Tentulan nilai x yang memenuhi persamaan: Cos x = Sin 400 dalam selang 00 ≤ x ≥ 3600 Penyelesaian: Cos x = Sin 400 Sin 400 = Cos (900 ± 400 ) Rangkuman II I. Cos x = Cos 900 - 400 Persamaan trigonometri berdasarkan perioditas Cos x = Cos 500 1. Sin x = Sin a0 maka: x = ± 50 0 + k. 3600 x = a0 + k.3600 dan x = (180- a0) +k.3600 k = 0 → x = ± 500 + 0 2. Cos x = Cos a0 maka: x = -500 + 0 = -500 < 0 (tidak memenuhi) x = ± a + k.3600 3. Tan x =Tan a0 maka: X = 500 + 0 = 500 x = a + k.1800 k = 1 → x = ± 500 + 3600 x = -500 + 3500 = 3000 Sinx Cosa 0 Cosa 0 Sin 900 a 0 x = 500 + 3500 = 4100 >0 (tidak memenuhi) 4. Sinx Sin 900 a 0 II. Cos x =Cos 90 + 400 Cos x = Cos 1300 , maka: Sinx Sin 900 a 0 x = ±1300 + k. 3600 k = 0 → x = ± 1300 + 0 Cosx Sina0 Sina0 Cos 900 a 0 x= -1300 + 0 = -130 < 0 (tidak memenuhi) 5. Cosx Cos 900 a 0 x = 1300 + 0 = 1300 Cosx Cos 900 a 0 k=1 → x = ± 130 0 +3600 x = - 1300 +3600 = 2300 x = 1300 +3600 = 4900 > 0 (tidak memenuhi) HP.{500 . 1300 , 2300 , 3000} Adaptif
  64. 64. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL PEMBAHASAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRi8. Tentulan nilai x yang memenuhi persamaan: Cos x = Sin 300 dalam selang 00 ≤ x ≥ 3600 Penyelesaian: Rangkuman II Sinx = Cos 400 Persamaan trigonometri berdasarkan perioditasI. Cos 400 = Sin (90 ±40) 1. Sin x = Sin a0 maka: Sin x = Sin 50 0 maka: x = a0 + k.3600 dan x = (1800 - a0) +k.3600 x = (1800 – 500) + K. 3600 2. Cos x = Cos a0 maka: x = 1300 + k.3600 x = ± a + k.3600 3. Tan x =Tan a0 maka: k = 0 → x = 1300 + 0 = 1300 x = a + k.1800 k = 1 → x = 1300 + 3600 = 3900 (tidak memenuhi) dan Cosx Sina0 Sina0 Cos 900 a 0 x = 50 + k.3600 4. Cosx Cos 900 a 0 k = 0 → x = 50 0 + 0 = 500 k = 1 → x = 500 + 3600 = 4100 (tidak memenuhi) Cosx Cos 900 a 0II. Cos 40 = Sin (900 +400) Sin x = Sin 1300 maka: Sinx Cosa 0 Cosa 0 Sin 900 a 0 x = (1800 – 1300) + K. 3600 5. Sinx Sin 900 a 0 x = 500 + k.3600 0 0 Sinx Sin 90 a k = 0 → x = 500 + 0 = 500 k = 1 → x = 500 + 3600 = 4100 (tidak memenuhi) x = 1300 + k.3600 k = 0 → x = 1300 + 0 = 1300 k = 1 → x = 1300 + 3600 = 4900 (tidak memenuhi) HP: {50, 130,} Adaptif
  65. 65. Drs. Manaek Lumban Gaol SMK N 2 DOLOKSANGGUL PEMBAHASAN PERSAMAAN TRIGONOMETRi6. Persamaan trigonmetri berbentuk : a Cos x + b Sin x = c Simaklah uraian berikut ini. r Cos ( - ) = r. Cos Cos + r. Sin Sin = c Misalkan; a = r. Cos dan b = r. Sin . Terdapat hubungan yakni a2 + b2 = r2 Cos2 +r2 Sin2 a2 + b2 = r2 (Cos2 + Sin2 ) a r 2 Sin a a2 + b2 = r2↔ r 2 a b 2 dan 2 Tan Tan b r Cos b Persamaan persamaan trigonmetri berbentuk : a Cos x + b Sin x = c dapat diselesaik dengan terlebih dahulu mengubah persamaan itu menjadi bentuk; r Cos(x - ) = c dan memenuhi persyaratan apabila: c c 2 2 ; 2 Cos( x ) 1 1 r c r c r c r 0 c r 0 c r2 r r Dari itu maka harus dipenuhi syarat: c2 ≤ a2 + b2 Kesimpulannya: Persamaan trigonmetri berbentuk : a Cos x + b Sin x = c ; r a 2 b2 memenuhi syarat; c2 ≤ r2 a = r Cos a b = r Sin ; Tan b Adaptif

×