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I. INTRODUCCIÓN
MECANICA DE
CUERPO RIGIDOS
MECÁNICA DE
CUERPO
DEFORMABLE
MECÁNICA
DE FLUIDOS
ESTATICA DINAMICA
CINEMATICA CINETICA

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II.NOCION DE CINEMATICA
 La cinemática (del griego κινεω, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica
clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las
causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en
función del tiempo.
 También se dice que la cinemática estudia la geometría del movimiento.
 En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir las
trayectorias, denominado sistema de referencia. II.
III.ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA
1. ESPACIO ABSOLUTO.
 Es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independientes de la
existencia de estos.
 Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se
supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las
regiones de ese espacio.
 El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica mediante un espacio puntual
euclídeo.
2. TIEMPO ABSOLUTO
La Mecánica Clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del
mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la
existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos
3. MOVIL
 El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o partícula.
 La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la Naturaleza, en el
mismo sentido en que lo es el concepto de punto geométrico.

3. fisica 2012
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 Entendemos por punto material o partícula a un cuerpo de dimensiones tan
pequeñas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo su posición en
el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto geométrico.
 Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo estará en
relación con las condiciones específicas del problema considerado.
IV.RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO
 Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su posición en
el espacio en función del tiempo, para ello se necesita un sistema de
referencia.
 En el espacio euclidiano un sistema de queda definido por los elementos
siguientes.
a. Un origen O, que es un punto del espacio físico.
b..Una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho espacio físico.
 Decimos que una partícula se encuentra en movimiento con respecto a un
referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo.

4. fisica 2012
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 En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto al referencial,
el cuerpo está en reposo en dicho referencial.
 De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el reposo de un
cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos
 En la Figura hemos representado dos observadores, S y S′, y una partícula P.
 Estos observadores utilizan los referenciales xyz y x′y′z′, respectivamente.
 Si S y S′ se encuentran en reposo entre sí, describirán del mismo modo el
movimiento de la partícula P. Pero si S y S′ se encuentran en movimiento relativo,
sus observaciones acerca del movimiento de la partícula P serán diferentes.

5. fisica 2012
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 Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describirá una órbita casi
circular en torno a la TIERRA.
 Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es una línea
ondulante.
 Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientos relativos, podrán
reconciliar sus observaciones

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V. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Decimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo cuando su trayectoria medida
con respecto a un observador es una línea recta
1. POSICIÓN.
 La posición de la partícula en cualquier instante queda definida por la coordenada
x medida a partir del origen O.
 Si x es positiva la partícula se localiza hacia la derecha de O y si x es negativa se
localiza a la izquierda de O.
2. DESPLAZAMIENTO.
 El desplazamiento se define como el cambio de posición.
 Se representa por el símbolo Δx.
 Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de su posición inicial P, el
desplazamiento x es positivo cuando el desplazamiento es hacia la izquierda ΔS
es negativo

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3. VELOCIDAD MEDIA
Si la partícula se mueve de P a P’ experimentando un desplazamiento Δx positivo durante
un intervalo de tiempo Δt, entonces, la velocidad media será

8. fisica 2012
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 La velocidad media también puede interpretarse geométricamente para ello se
traza una línea recta que une los puntos P y Q como se muestra en la figura. Esta
línea forma un triángulo de altura x y base t.
 La pendiente de la recta es x/t. Entonces la velocidad media es la pendiente
de la recta que une los puntos inicial y final de la gráfica posición-tiempo

9. fisica 2012
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4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA
 Es la velocidad de la partícula en cualquier instante de tiempo se obtiene llevando
al límite la velocidad media es decir, se hace cada vez más pequeño el intervalo de
tiempo y por tanto valores más pequeños de x. Por tanto:
 Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima más y más a P los
intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida que Q se aproxima a P
el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de esta manera las pendientes a la
tangente. Por tanto, la velocidad instantánea en P es igual a la pendiente de la
recta tangente en el punto P. La velocidad instantánea puede ser positiva (punto
P), negativa (punto R) o nula (punto Q) según se trace la pendiente
correspondiente

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5. RAPIDEZ MEDIA.
La rapidez media se define como la distancia total de la trayectoria recorrida por una
partícula ST, dividida entre el tiempo transcurrido t, es decir,
6. ACELERACIÓN MEDIA .
Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasa por P’ es v’ durante un
intervalo de tiempo Δt, entonces:
Ejemplo 01
 La posición de una partícula que se mueve en línea recta está definida por la
relación Determine: (a) la posición, velocidad y aceleración en
t = 0; (b) la posición, velocidad y aceleración en t = 2 s; (c) la posición, velocidad y
aceleración en t = 4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s;

11. fisica 2012
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Solución
 La ecuaciones de movimiento son
 Las cantidades solicitadas son
 En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
 En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
 En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2
 En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2
VI. DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA
1. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t).
Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir
2
312 tt
dt
dx
v 
t
dt
xd
dt
dv
a 6122
2


12. fisica 2012
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2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN a = f(x).
Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir
3. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD a = f(v).
Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds, entonces podemos escribir

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4. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante
A este caso se le denomina movimiento rectilíneo uniforme y las ecuaciones
obtenidas son
Ejemplo 01
El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad para
un período corto de tiempo es definida por pies/s, donde
t es el tiempo el cual está en segundos. Determine su posición y aceleración cuando t =
3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0

14. fisica 2012
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Solución
POSICIÓN
 Para el sistema de referencia
considerado y sabiendo que la
velocidad es función del tiempo v
= f(t). La posición es
Cuando t = 3 s, resulta  ACELERACIÓN. Sabiendo que v = f(t),
la aceleración se determina a partir
de a = dv/dt
 Cuando t = 3 s

15. fisica 2012
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Ejemplo 02
Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido
con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una desaceleración
del proyectil que es igual a donde v se mide en m/s.
Determine la velocidad v y la posición S cuatro segundos después de que se disparó el
proyectil.
Solución
Velocidad: Usando el sistema de
referencia mostrado y sabiendo que a =
f(v) podemos utilizar la ecuación a =
dv/dt para determinar la velocidad como
función del tiempo esto es

16. fisica 2012
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POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t), la
posición se determina a partir de la
ecuación v = dS/dt
Ejemplo 03
 Una partícula metálica está sujeta a la influencia de un campo magnético tal que se
mueve verticalmente a través de un fluido, desde la placa A hasta la placa B, Si la
partícula se suelta desde el reposo en C cuando S = 100 mm, y la aceleración se
mide como donde S está en metros. Determine; (a) la
velocidad de la partícula cuando llega a B (S = 200 mm) y (b) el tiempo requerido
para moverse de C a B
Solución
 Debido a que a = f(S), puede
obtenerse la velocidad como
función de la posición usando vdv
= a dS. Consideramos además que
v = 0 cuando S = 100 mm

17. fisica 2012
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La velocidad cuando S = 0,2 m es
 El tiempo que demora en viajar la
partícula de C a B se determina en
la forma
 Cuando S = 0,2 m el tiempo es
Ejemplo 04
Desde una ventana situada a 20 m
sobre el suelo se lanza una bola
verticalmente hacia arriba con una
velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la
bola todo el tiempo se encuentra
sometida a un campo gravitacional que
le proporciona una aceleración g = 9,81
m/s2 hacia abajo. Determine: (a) la
velocidad y la altura en función del
tiempo, (b) el instante en que la bola
choca con el piso y la velocidad
correspondiente

18. fisica 2012
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SOLUCION
 
  tvtvdtdv
a
dt
dv
ttv
v
81.981.9
sm81.9
0
0
2
0



  ttv 





 2
s
m
81.9
s
m
10
 
   
0
21
0 2
0
10 9.81
10 9.81 10 9.81
y t t
y
dy
v t
dt
dy t dt y t y t t
  
     
  2
2
s
m
905.4
s
m
10m20 ttty 













19. fisica 2012
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Cuando la bola alcanza su altura máxima su
velocidad es cero, entonces se tiene
Remplazando el valor del tiempo obtenido se tiene
Cuando la bola choca contra el suelo y = 0 Entonces
tenemos.
  0
s
m
81.9
s
m
10 2






 ttv s019.1t
 
   2
2
2
2
s019.1
s
m
905.4s019.1
s
m
10m20
s
m
905.4
s
m
10m20


























y
ttty
m1.25y
  0
s
m
905.4
s
m
10m20 2
2












 ttty
 
s28.3
smeaningless243.1


t
t

20. fisica 2012
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VII. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS:
1. Movimiento relativo
 Sea A y B dos partículas que se mueven en línea recta como se ve en la figura. Sus
posiciones respecto a O serán xA y xB. La posición relativa de B con respecto a A
será.
 La velocidad relativa de A con respecto a B será.
 La aceleración relativa se expresa en la forma
Ejemplo 05
 
   s28.3
s
m
81.9
s
m
10s28.3
s
m
81.9
s
m
10
2
2














v
ttv
s
m
2.22v
B A B Ax x x   ABAB xxx 
B A B Av v v   ABAB vvv 
B A B Aa a a   ABAB aaa 

21. fisica 2012
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 Desde una altura de 12 m, en el interior de un hueco de un
ascensor, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con
una velocidad de 18 m/s. En ese mismo instante un
ascensor de plataforma abierta está a 5 m de altura
ascendiendo a una velocidad constante de 2 m/s.
Determine: (a) cuando y donde chocan la bola con el
ascensor, (b) La velocidad de la bola relativa al ascensor en
el momento del choque
SOLUCION:
Remplazando la posición, velocidad inicial y el valor de la
aceleración de la bola en las ecuaciones generales se tiene
La posición y la velocidad del ascensor serán
2
2
2
2
1
00
20
s
m
905.4
s
m
18m12
s
m
81.9
s
m
18
ttattvyy
tatvv
B
B




















ttvyy
v
EE
E








s
m
2m5
s
m
2
0

22. fisica 2012
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Página 22
Escribiendo la ecuación para las posiciones relativas de la bola
con respecto al elevador y asumiendo que cuando chocan la
posición relativa es nula, se tiene.
• Remplazando el tiempo para el impacto en la ecuación de la posición del elevador
y en la velocidad relativa de la bola con respecto al ascensor se tiene
2. Movimiento dependiente
 La posición de una partícula puede depender de la posición de otra u otras
partículas.
 En la figura la posición de B depende de la posición de A.
Debido a que la longitud del cable ACDEFG que une ambos bloques es
constante se tiene
Debido a que sólo una de las coordenadas de
posición xA o xB puede elegirse arbitrariamente
el sistema posee un grado de libertad
    025905.41812 2
 ttty EB
0.39 s
3.65s
t
t
 

 
 65.381.916
281.918

 tv EB
 65.325Ey m3.12Ey
s
m
81.19EBv

23. fisica 2012
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Página 23
 Aquí la posición de una partícula depende de
dos posiciones más.
 En la figura la posición de B depende de la
posición de A y de C
 Debido a que la longitud del cable que une a
los bloques es constante se tiene
Como solo es posible elegir dos de las coordenadas, decimos que el sistema posee DOS
grados de libertad
Ejemplo 06
 El collar A y el bloque B están enlazados como se muestra en la figura mediante
una cuerda que pasa a través de dos poleas C, D y E. Las poleas C y E son fijas
mientras que la polea D se mueve hacia abajo con una velocidad constante de 3
pul/s. Sabiendo que el collar inicia su movimiento desde el reposo cuando t = 0 y
alcanza la velocidad de 12 pulg/s cuando pasa por L, Determine la variación de
altura, la velocidad y la aceleración del bloque B cuando el collar pasa por L
2 2A B Cx x x ctte  
022or022
022or022


CBA
CBA
CBA
CBA
aaa
dt
dv
dt
dv
dt
dv
vvv
dt
dx
dt
dx
dt
dx

24. fisica 2012
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Solución
 Se analiza en primer lugar el
movimiento de A.
 El collar A tiene un MRUV,
entonces se determina la aceleración y el
tiempo
 Como la polea tiene un MRU se calcula el
cambio de posición en el tiempo t.

25. fisica 2012
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 El movimiento del bloque B depende del movimiento
de collar y la polea. El cambio de posición de B será
Derivando la relación entre las posiciones se obtiene
las ecuaciones para la velocidad y la aceleración
 
    in.4s333.1
s
in.
30
0








DD
DDD
xx
tvxx
     
        
       0in.42in.8
02
22
0
000
000



BB
BBDDAA
BDABDA
xx
xxxxxx
xxxxxx
  in.160  BB xx
2 constant
2 0
in. in.
12 2 3 0
s s
18 lg/
A D B
A D B
B
B
x x x
v v v
v
v pu s
  
  
   
     
   
 
in.
18
s
Bv  
2
2 0
in.
9 0
s
A D B
B
a a a
a
  
 
  
 
2
2
in.
9
s
9 lg/
B
B
a
a pu s
 
 

26. fisica 2012
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VIII. Resolución gráfica de problemas en el movimiento rectilíneo
 Integrando la ecuación de la velocidad tenemos
 El área bajo la gráfica v-t entre t1 y t2 es igual al desplazamiento neto durante este
intervalo de tiempo
 El área bajo la gráfica a-t entre t1 y t2 es igual al cambio neto de velocidades
durante este intervalo de tiempo
Otros métodos gráficos

27. fisica 2012
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El momento de área se puede utilizar
para determinar la posición de la
partícula en cualquier tiempo
directamente de la curva v-t:
Usando dv = a dt ,
Momento de primer
orden de area bajo la
curva a-t con repecto
a la línea t = t1
 
1
0
1 0
0 1 1
area bajo la curva
v
v
x x v t
v t t t dv
  
  
  
1
0
11001
v
v
dtatttvxx
  1 0 0 1 1área bajo la curva
abscisa del centroide
x x v t a -t t t
t C
   

  
1
0
1
v
v
dtatt

28. fisica 2012
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Página 28
 Método para determinar la
aceleración de una partícula de
la curva v-x
Ejemplo 12
La gráfica v-t, que describe el movimiento de un motociclista que se mueve en línea recta
es el mostrado en la figura. Construir el gráfico a-s del movimiento y determinar el tiempo
que requiere el motociclista para alcanzar la posición S = 120 m
Solución
Grafico a-s.
Debido a que las ecuaciones de los segmentos de la gráfica están dadas, la gráfica a-t
puede ser determinada usando la ecuación dv = a ds
tan
a BC
dv
a v
dx
AB
a BC subnormal



 

29. fisica 2012
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Página 29
Calculo del tiempo.
El tiempo se obtiene usando la gráfica v-t y la ecuación v = ds/dt. Para el primer
tramo de movimiento, s = 0, t = 0
Cuando s = 60 m, t = 8,05 s
Para el segundo tramo de movimiento
Cuando S = 120 m, t´= 12 s
Ejemplo 13
Una partícula parte del reposo y se mueve describiendo una línea recta, su aceleración de
5 m/s2 dirigida hacia la derecha permanece invariable durante 12 s. A continuación la
aceleración adquiere un valor constante diferente tal que el desplazamiento total es 180
0
;15;12060
6.004.0
32.0;600




ds
dv
va
vmsm
s
ds
dv
va
svms
05.4
15
15
15
;15;12060
6005.8




s
t
ds
dt
ds
v
ds
dtvms
st

30. fisica 2012
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m hacia la derecha y la distancia total recorrida es de 780 m. Determine: (a) la aceleración
durante el segundo intervalo de tiempo, (b) el intervalo total de tiempo.
Solución
En la figura se muestra el gráfico velocidad-tiempo, ya que a = constante.
Como la aceleración es la pendiente de la
curva v-t, tenemos
La distancia total es la suma de las áreas en valor absoluto
El desplazamiento viene expresado por
Sumando las ecuaciones (2) y (3), resulta

31. fisica 2012
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La aceleración en el segundo intervalo
tiempo es
Se determina At3 Remplazando la ec. (4) y (6) en (3) se
tiene
El intervalo total de tiempo será
IX. MOVIMIENTO CURVILÍNEO
Se dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo cuando su trayectoria descrita
esta es una línea curva

32. fisica 2012
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OBJETIVOS
1. Describir el movimiento de una
partícula que viaja a lo largo de
una trayectoria curva
2. Expresar las cantidades
cinemáticas en coordenadas
rectangulares, componentes
normal y tangencial, así como
radial y transversal

33. fisica 2012
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Página 33
1. Vector Posición: Es aquel vector dirigido desde el origen de un sistema
coordenado hacia el punto de ubicación instantánea P la partícula. Se representa
por r = r(t).
2. Vector Desplazamiento: Supongamos ahora que la partícula se mueve durante un
pequeño intervalo de tiempo Dt hasta el punto P’, entonces su posición será r’ (t +
∆D). El desplazamiento es vector dirigido desde P a P’ y se expresa

34. fisica 2012
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Página 34
3. Velocidad Media: Cuando la partícula se mueve de P a P’ experimenta un
desplazamiento ∆r en un intervalo de tiempo ∆t. la velocidad media se define
Como
 La velocidad media es un vector
que tiene la misma dirección que
el desplazamiento es decir es
secante a la curva.
 La velocidad media depende del
intervalo de tiempo.
4. Velocidad Instantánea:
Si el intervalo de tiempo se hace cada ves más pequeño (∆t®0), el desplazamiento
también tiende a cero. Llevando al límite la velocidad media se obtiene la
velocidad instantánea. Es decir
 La velocidad instantánea es un
vector tangente a la trayectoria.

35. fisica 2012
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Página 35
Multiplicando y dividiendo la expresión anterior por la longitud del arco Ds = acrPQ,
obtenemos
 A medida que Q se acerca a P la
magnitud de ∆r se aproxima a ∆s,
entonces se tiene
 Además se tiene
5. Aceleración media: En la figura se observa las velocidades instantáneas de la
partícula en P y Q. El cambio de velocidades durante ∆t es ∆v. La aceleración media
es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir
 La aceleración media es un vector
paralelo a ∆v y también depende
de la duración del intervalo de
tiempo

36. fisica 2012
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Página 36
6. Aceleración instantánea: Se obtiene llevando al límite la aceleración media es
decir haciendo cada ves mas y mas pequeños los intervalos de tiempo
 La aceleración instantánea es un
vector que tiene misma dirección
que el cambio instantáneo de la
velocidad es decir apunta hacia la
concavidad de la curva
7. COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN
7.1 POSICIÓN. La posición instantánea de una partícula en componentes x, y, z es
 Las coordenadas x, y, z son
funciones del tiempo: x = f(t),
y = f(t), z = f(t)
 La magnitud del vector de
posición será

37. fisica 2012
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Página 37
7.2 Desplazamiento. Si una partícula se mueve de P a P en un intervalo de
tiempo ∆t. El desplazamiento está dado por
7.3 Velocidad media. Si una partícula se mueve de P a P’ experimenta un
desplazamiento ∆r en un intervalo de tiempo ∆t. La velocidad media será
 Es un vector secante a
la trayectoria
7.4 Velocidad instantánea: Se obtiene llevando al límite cuando Dt ® 0, la
velocidad media es decir:
 Es un vector tangente a
la curva y tiene una
magnitud definida por

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7.5 Aceleración media: Cuando la partícula cambia de posición su velocidad
también cambia. Entonces la aceleración media será
 Es un vector que se
encuentra dirigido a lo
largo del cambio de
velocidades
7.6 Aceleración instantánea: Se obtiene llevando al límite la aceleración media.
 Es un vector que se
encuentra dirigido
hacia la concavidad de
la curva y su magnitud
es
Ejemplo
En cualquier instante la posición horizontal del globo meteorológico está
definida por x = (9t) m, donde t es el segundo. Si la ecuación de la trayectoria
es y = xª/30, donde a = 2: Determinar la distancia del globo a la estación A, la
magnitud y la dirección de la velocidad y de la aceleración cuando t = 2 s

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Solución
 Cuando t = 2 s, la posición del
globo es
 La distancia en línea recta será
 Las componentes de la velocidad
son
 La magnitud y dirección de la
velocidad para t = 2 s son
 Las componentes de la aceleración serán
 La magnitud y dirección de la
aceleración son

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8. MOVIMIENTO CURVILINEO PLANO
Es aquel movimiento que se realiza en un solo plano
9. MOVIMIENTO PARABÓLICO
Es caso mas simple del movimiento plano, en el cual ax = 0 y ay = - g = - 9,81
m/s2 =-32,2 pies/s2. En la figura se muestra este movimiento y su trayectoria
9.1 MOVIMIENTO PARABÓLICO: Hipótesis
Para analizar este movimiento se usa las siguientes hipótesis
(a) El alcance del proyectil es suficientemente pequeño como para poder
despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleración gravitatoria g
es normal a dicha superficie);
(b) La altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña como para
poder despreciar la variación del campo gravitatorio (aceleración de la
gravedad) terrestre con la altura;
(c) La velocidad del proyectil es suficientemente pequeña como para poder
despreciar la resistencia que presenta el aire al movimiento del proyectil y

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(d) No tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra que, como
veremos más adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la derecha de su
trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el hemisferio Norte.
DIAGRAMA DEL MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL
9.2 MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones
Movimiento horizontal. Debido a que ax = 0

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Movimiento vertical: Debido a que ay = - g = -9,81 m/s2
9.3 MOVIMIENTO PARABÓLICO: Altura máxima y alcance alcanzado por el proyectil
Cuando se estudia el movimiento de
proyectiles, dos características son de
especial interés.
1. El alcance R, es la máxima
distancia horizontal alcanzada
por el proyectil
2. La altura máxima h
alcanzada por el proyectil

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9.4 MOVIMIENTO PARABÓLICO: alcance alcanzado por el proyectil
El máximo alcance es logrado cuando el ángulo de lanzamiento es 45°
10. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
10.1.OBJETIVOS
Determinar las componentes normales y tangencial de la velocidad y la aceleración
de una partícula que se encuentra moviéndose en un trayectoria curva
10.2. APLICACIONES
Cuando un auto se mueve en una curva experimenta una aceleración, debido al
cambio en la magnitud o en la dirección de la velocidad.
¿Podría Ud. preocuparse por la aceleración del auto?.
Si el motociclista inicia su movimiento desde el reposo e incrementa su velocidad a
razón constante. ¿Cómo podría determinar su velocidad y aceleración en la parte
más alta de su trayectoria.
10.3. POSICIÓN
Cuando la trayectoria de una partícula es conocida, a veces es conveniente utilizar
las coordenadas normal (n) y tangencial (t) las cuales actúan en las direcciones
normal y tangencial a la trayectoria.
En un movimiento plano se utilizan las vectores unitarios ut y un
El origen se encuentra ubicado sobre la trayectoria de la partícula

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El eje t es tangente a la trayectoria y positivo en la dirección del movimiento y el
eje n es perpendicular al eje t y esta dirigido hacia el centro de curvatura
10.4 VELCOIDAD
Debido a que la partícula se esta moviendo, la posición S está cambiando con el
tiempo.
La velocidad v es un vector que siempre es tangente a la trayectoria y su magnitud
se determina derivando respecto del tiempo la posición S = f(t). Por lo tanto se
tiene
10.5. ACELERACIÓN
 Consideremos el movimiento de una partícula en una trayectoria curva plana
En el tiempo t se encuentra en P con una velocidad v en dirección tangente y una
aceleración a dirigida hacia la concavidad de la curva. La aceleración puede

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descomponerse en una componente tangencial at (aceleración tangencial)
paralela a la tangente y otra paralela a la normal an (aceleración normal)
 La aceleración tangencial es la responsable del cambio en el modulo de la
velocidad
La aceleración normal es la responsable del cambio en la dirección de la
velocidad
 Tracemos en A un vector unitario . La aceleración será
 Si la trayectoria es una recta, el vector sería constante en magnitud y dirección,
por tanto
 Pero cuando la trayectoria es curva la dirección de cambia por lo tanto

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 Introduzcamos el vector unitario normal a la curva y dirigido hacia el lado
cóncavo de la curva. Sea β el ángulo que forma la tangente en A con el eje x.
Entonces se tiene
 La derivada del vector unitario tangente será
 Por otro lado se tiene que
 Donde dS es el pequeño arco a lo largo del movimiento en un dt.
 Las normales a la curva en A y A´ se intersecan en C. Entonces
 La razón de cambio del vector unitario tangencial es
 Remplazando esta ecuación en la aceleración se tiene

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 Es decir las aceleraciones tangencial y normal se escriben
 La magnitud de la aceleración total será
CASOS ESPECIALES
1. La partícula se mueve a lo largo de una línea recta
r   => an = v2/r = 0 => a = at = v
La componente tangencial representa la razón de cambio de la magnitud de la
velocidad
2. La partícula se mueve en la curva a velocidad constante
at = v = 0 => a = an = v2/r
La componente normal representa la razón de cambio de la dirección de la
velocidad
3. La componente tangencial de la aceleración es constante, at = (at)c.

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So and vo son la posición y la velocidad de la partícula en t = 0
4. La partícula se mueve a lo largo de la trayectoria dada por y = f(x). Entonces el
radio de curvatura es
Ejemplo 02
 Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un
radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razón constante de 2,1 m/s2
partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una
aceleración de 2,4 m/s2. ¿Cuál es su velocidad en ese instante.
Solución
 Se sabe que la aceleración
tangencial es constante e igual a
 La aceleración normal será
 La aceleración total será
 La velocidad en este instante será

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ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN
TRASLACIÓN
 Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una partícula usando un
marco de referencia fijo.
 Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del movimiento de una
partícula es complicada, de modo que es más factible analizar el movimiento en
partes usando dos o más marcos de referencia.
 Por ejemplo, el movimiento de una partícula localizada en la hélice de un avión ,
mientras éste está en vuelo , es más fácil describirlo si observamos primero el
movimiento del avión a partir de un sistema de referencia fijo y después se
superpone vectorialmente el movimiento circular de la partícula medida a partir de
un marco de referencia móvil unido al aeroplano
 En esta sección nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a marcos de
referencia en traslación. El análisis del movimiento relativo de partículas usando
marcos de referencia en rotación se tratará en el curso de Dinámica
MOVIMIENTO RELATICO: POSICIÓN
 Consideremos dos partículas A y B moviéndose en las trayectorias mostradas
 Las posiciones absolutas de A y B con respecto al observador fijo en el marco de
referencia OXYZ serán
 El observador B sólo experimenta traslación y se encuentra unidos al sistema de
referencia móvil Oxyz

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 La posición relativa de A con respecto al observador B , es
Movimiento relativo: Velocidad
 Derivando la ecuación de la posición relativa se tiene

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Movimiento relativo: Aceleración
 Derivando la ecuación de la velocidad relativa se tiene
Ejemplo 01
 Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza una carretera,
como se muestra en la figura. Si el automóvil A está viajando por la carretera con
una velocidad de 67,5 km/h. Determine la magnitud y dirección de la velocidad
relativa del tren con respecto al auto.
SOLUCIÓN
 La velocidad relativa es medida desde el observador ubicado en el auto al cual se le
asocial el sistema de referencia OX’Y’,
 Como las velocidades de T y A son conocidas, entonces la velocidad relativa se
obtiene de
 La magnitud de la velocidad relativa será
 La dirección de la velocidad relativa es

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