Este documento presenta el análisis de una armadura mediante el método de nudos y el método matricial. Se explican los conceptos teóricos de armadura, método de nudos, tipos de apoyos y armaduras estáticamente determinadas. Luego, se realiza el análisis de una armadura de ejemplo usando ambos métodos y se comprueban los resultados. Finalmente, se concluye que ambos métodos proporcionan soluciones consistentes para este tipo de problemas estructurales.

1. 2012
ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE
NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
CURSO: Mecánica de Sólidos II
MALQUI ALAYO FRANZ KENNEDY
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL
CALLAO
10/05/2012

2. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
INTRODUCCION
Las armaduras de acero o de distintos tipos de material, constituyen un elemento de gran utilidad
dentro del campo de la ingeniería estructural. Su diseño permite distribuir las fuerzas producidas por
diferentes cargas a lo largo de su estructura interna y así poder llevarlas a sus respectivos apoyos unas
ves definidas. Las diferentes clases de armaduras tienen varios tipos de análisis dependiendo de su
diseño y de su función a futuro, en este trabajo de investigación se busca analizar las armaduras por
medio de el método matricial de rigidez y así comparar los resultados con otros métodos utilizados
dentro del campo de la ingeniería.
OBJETIVO
 Determinar las fuerzas internas en la armadura, es decir, las fuerzas de acción y reacción entre los
elementos o barras que la forman.
 Analizar el método matricial para solucionar armaduras.
 Desarrollar y explicar paso a paso el proceso de solución de armaduras con el método matricial.
 Analizar el método de nudos para solucionar armaduras.
 Comparar el método de nudos con el matricial.
FUNDAMENTO TEÓRICO
ARMADURA
Una estructura de barras unidas por sus extremos de manera que constituyan una unidad rígida recibe
el nombre de armadura. Algunos ejemplos son los puentes, los soportes de cubiertas o las grúas.
MÉTODO DE NUDOS
El equilibrio es uno de los requisitos que debe cumplir una estructura, lo cual implica que la resultante
de las fuerzas externas es cero y no existe un par de fuerzas; al descomponer en un plano cada fuerza y
cada par en sus componentes rectangulares, se encuentra las condiciones necesarias y suficientes para
el equilibrio de un cuerpo rígido se pueden expresar también por las tres ecuaciones siguientes:
(Convención de signo)
Mecánica de sólidos II Página 1

3. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
Estas ecuaciones expresan el hecho de que las componentes de las fuerzas externas en las direcciones
x y y, así como los momentos de las fuerzas externas están en equilibrio. Por tanto, el sistema de
fuerzas externas no impartirá ni movimiento de traslación ni de rotación al cuerpo rígido considerado
(Beer y Johnston, 1979; Das, Kassimali y Sami, 1999).
El uso de la condición de equilibrio en una estructura permite realizar el proceso analítico esencial en
un problema estructural. En la etapa inicial se pueden conocer las fuerzas que se generan en los
apoyos para hacer que la estructura este en equilibrio.
Las ecuaciones del equilibrio se aplican a los pasadores de las uniones. En cada nudo se consideran las
fuerzas externas aplicadas junto con las
fuerzas de reacción correspondientes a las
fuerzas internas en las barras. Dado que
las fuerzas son concurrentes, no hay que
considerar la suma de momentos sino sólo
la suma de componentes x e y de las
fuerzas.
Estas ecuaciones se aplican en primer lugar
a un nudo que contenga sólo dos
incógnitas y después se van aplicando a los
demás nudos, sucesivamente.
Fffff figura 1 Convencionalmente, se
consideran positivas las fuerzas internas en
las barras cuando salen hacia afuera (tracción) y negativas si van hacia el interior (compresión).
Tipos de apoyos
Los apoyos de vigas, son los elementos que le proporcionan la estabilidad a la viga y por lo general, se
encuentran en los extremos o cerca de ellos.
Las fuerzas en los apoyos que se generan son productos de las cargas aplicadas y se llaman reacciones
y equilibran las cargas aplicadas. Analíticamente estas reacciones representan las incógnitas de un
problema matemático.
Las reacciones se pueden dividir en tres grupos que corresponden al tipo de apoyo que se está
empleando (Das, Kassimali y Sami, 1999).
Reacciones formada por una fuerza de dirección conocida
Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: rodillos, balancines, superficies lisas,
bielas y cables cortos. Estos apoyos solo impiden el movimiento en una dirección. Las reacciones de
este grupo solo proporcionan una incógnita, que consiste en la magnitud de la reacción y se pueden
dirigir en uno u otro sentido a lo largo de la dirección conocida.
Mecánica de sólidos II Página 2

4. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
Apoyo Esquema del apoyo y reacciones Número de
incógnitas
Fffff figura 2
Reacciones formada por una fuerza y un par
Estas reacciones son producidas por apoyos fijos o empotramientos que impiden cualquier
movimiento inmovilizándolo por completo la viga. En las reacciones de este grupo intervienen tres
incógnitas, que son generalmente las dos componentes de la fuerza y el momento del par.
Cuando no se ve claramente el sentido de la fuerza o del par de las reacciones, no se debe intentar su
determinación. El sentido de la fuerza o del par se puede suponer arbitrariamente y el signo de la
respuesta indicará si la suposición fue conecta o no (Beer y Johnston, 1979).
Armaduras Estáticamente Determinadas
Una armadura es una estructura consistente en un número finito de barras conectadas en uniones por
pasadores sin fricción en los cuales pueden aplicarse las fuerzas externas. En la Figura 3.1 se muestra
una unión de armadura típica en la situación ideal, donde un pasador se inserta en los extremos de
barras de ojo. Las barras tienen libertad de girar sobre el pasador.
Mecánica de sólidos II Página 3

5. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
Fffff figura 3
Cualquier sistema de fuerza externa actuando sobre una armadura bidimensional puede describirse por
las magnitudes numéricas en las dos direcciones de referencia en los nudos, excepto aquellas a lo largo
de las cuales ya hay componentes desconocidas de las reacciones.
Si una armadura es determinante debe cumplir:
Donde: numero de nodos
Numero de miembros
Número de componentes de reacciones
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS DETERMINADAS POR PROCESAMIENTO
SEMIAUTOMATIZADO
Para automatizas el proceso se debe observar el problema como la solución simultanea de las 2NJ
ecuaciones como NM + NR incógnitas, esto significa que primero deben escribirse todas las ecuaciones
de equilibrio en las juntas, para cada junta de la estructura.
Por convención se considera toda las fuerzas en tención y suponemos fuerzas +X1 y +Y1 que actúa
sobre cada nodo.
Al obtener las ecuaciones debemos plantear las matrices mediante la siguiente formula
Mecánica de sólidos II Página 4

6. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
EJERCICIO (6.156)
De la armadura calcular las fuerzas internas por el método de nodos y el método matricial semi-
automatizad, además efectuar la comprobación correspondiente
Figura 4
ANÁLISIS POR MÉTODO DE NUDOS
Figura 5
Mecánica de sólidos II Página 5

7. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
I) Para las fuerzas externas
Aplicamos momento total en “E”
Por equilibrio de fuerzas:
II) Ahora analizamos las fuerzas internas nodo por nodo
NODO (E): hacemos cortes imaginarios
Figura 6
Se cumple por equilibro de fuerzas:
Mecánica de sólidos II Página 6

8. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
También:
NODOS (F): hacemos cortes imaginarios
Figura 7
Se cumple por equilibrio de fuerzas
También:
Mecánica de sólidos II Página 7

9. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
NODO (C): hacemos cortes imaginarios
Figura 8
Se cumple por equilibrio de fuerzas
También:
NODO (D): hacemos cortes imaginarios
Figura 9
Mecánica de sólidos II Página 8

10. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
Se cumple por equilibrio de fuerzas
También:
NODO (A): hacemos cortes imaginarios
Figura 10
Se cumple por equilibrio de fuerzas
Mecánica de sólidos II Página 9

11. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
También:
Vemos que se Cumple como
NODO (B): hacemos cortes imaginarios
Figura 11
Se cumple por equilibrio de fuerzas
También:
Mecánica de sólidos II Página 10

12. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
ANÁLISIS POR MÉTODO MATRICIAL
Figura 12
a) Colocamos números a los nodos
Figura 13
b) Veamos si es determinado o indeterminado por la formula
ENTONCES SE PUEDE USAR EL MÉTODO MATRICIAL PARA ARMADURAS DETERMINADAS.
Mecánica de sólidos II Página 11

13. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
c) Por convención suponemos todas las fuerzas internas (color verde) y las reacciones (color rojo) en
TENSIÓN. Suponemos la presencia de fuerzas en +X y en +Y (color azul) en cada nodo.
Figura 1 4
d) Planteamos las 12 ecuaciones con las 12 incógnitas.
Mecánica de sólidos II Página 12

14. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
Veamos el valor de
e) Acomodando matricialmente tenemos
1 0 0 0 0 0 0,8 0 0 0 0 0
0 0 -1 0 0 0 -0,6 0 0 0 0 0
-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0,8 0 0 0 0
0 0 1 0 -1 0 0 -0,6 0 0 0 0
0 0 0 -1 0 0 -0,8 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 -1 0,6 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0
0 0 0 0 0 0 0 -0,8 -1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0,6 0 0 0 -1
Hacemos un cambio de variable
INGRESAMOS LA MATRIZ [A] AL PROGRAMA MATLAB
Mecánica de sólidos II Página 13

15. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
COMO LA MATRIZ [B] =-[A] ENTONCES MULTIPLICAMOS POR -1 EN EL PROGRAMA
Vemos que nos queda:
-1 0 0 0 0 0 -0,8 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0,6 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 -1 0 0 0 -0,8 0 0 0 0
0 0 -1 0 1 0 0 0,6 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0,8 0 0 0 0 0
0 -1 0 0 0 1 -0,6 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0,8 1 0 0 0
0 0 0 0 0 -1 0 -0,6 0 0 0 1
Ahora calculamos la inversa de [B]
Hacemos otro cambio de variable
Mecánica de sólidos II Página 14

16. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
Nos queda
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0,75 1 0,75 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1,5 1 1,5 0 0,75 1 0,75 0 0 0 0 0
-0,8 0 -0,75 1 0 0 0 1 0 0 0 0
-1,3 0 -1,25 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-1,3 0 -1,25 0 -1,25 0 -1,25 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1,5 1 1,5 0 0,75 1 0,75 0 0 1 0 0
-1,5 0 -1,5 1 -0,75 0 -0,75 1 0 0 0 1
Ingresamos al PROGRAMA MATLAB los valores de {P} sabiendo que son 8 y 8
respectivamente
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0,75 1 0,75 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1,5 1 1,5 0 0,75 1 0,75 0 0 0 0 0
-0,8 0 -0,75 1 0 0 0 1 0 0 0 0
-1,3 0 -1,25 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-1,3 0 -1,25 0 -1,25 0 -1,25 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1,5 1 1,5 0 0,75 1 0,75 0 0 1 0 0
-1,5 0 -1,5 1 -0,75 0 -0,75 1 0 0 0 1
Mecánica de sólidos II Página 15

17. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
Recordar que:
Como en el programa ya está almacenado los valores de [C] y {P} hacemos la operación y obtenemos
NO QUEDA COMO REPUESTA:
Mecánica de sólidos II Página 16

18. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
VERIFICACIÓN
 Reemplacemos los valores obtenidos en las ecuaciones del punto ( 1 )
Por dato
CUMPLE
Por dato
CUMPLE
 Reemplacemos los valores obtenidos en las ecuaciones del punto (2)
Por dato
CUMPLE
Por dato
CUMPLE
 Reemplacemos los valores obtenidos en las ecuaciones del punto (3)
Por dato
CUMPLE
Mecánica de sólidos II Página 17

19. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
Por dato
CUMPLE
 Reemplacemos los valores obtenidos en las ecuaciones del punto (4)
Por dato
CUMPLE
Por dato
CUMPLE
 Reemplacemos los valores obtenidos en las ecuaciones del punto (5)
Por dato
CUMPLE
Por dato
CUMPLE
 Reemplacemos los valores obtenidos en las ecuaciones del punto (6)
Por dato
CUMPLE
Mecánica de sólidos II Página 18

20. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
Por dato
CUMPLE
COMPARACIÓN DE RESULTADOS
Método matricial Método de nodos
Signo ( + ) fuerza en tensión y signo ( - ) fuerza en compresión
Mecánica de sólidos II Página 19

21. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
RECOMENDACIONES
 Para el método matricial tenemos que considerar todas la fuerzas en tensión
 También para el método matricial tenemos que considerar la numeración de la parte
superior de izquierda a derecha.
 Tener cuidado con las operaciones por el método de nudos y sobre todo con los sentidos de
las fuerzas.
 Por el método de nudo tener en cuenta el punto de inicio para el análisis de cada nodo.
 Verificar si la armadura es determinada o indeterminada antes de hacer el análisis por el
método matricial.
 Nos basaremos en la hipótesis de que todos los miembros de una armadura son miembros
de dos fuerzas, es decir, que cada uno se encuentra en equilibrio bajo la acción de dos únicas
fuerzas, aplicadas en sus extremos, que serán iguales, opuestas y colineales.
OBSERVACIONES
 Vemos por el método matricial nos salen valores negativo.
 Vemos también que por el método matricial hay dos fuerzas que nos sale cero.
 Por el método de nodos no nos sale fueras negativas porque estamos asumiendo las fuerzas
en su correcta dirección.
 En el método de nudos se inicio por el nodo “E” por tener solo 2 fuerzas incógnitas
previamente hallado las fuerzas externas y 2 ecuaciones.
 El método matricial es solo para armaduras determinadas y no fuese utilizaríamos otros
métodos.
 Estamos considerando armaduras planas y estáticamente determinada o isostática.
CONCLUSIONES
 Los valores negativos obtenidos por el método matricial nos indica que los fuerzas
esto en comprensión.
 Los valores positivos de nuestra respuesta nos indica tensión.
 Si existe la inversa de la matriz estática -[A], la armadura es estáticamente estable, pero si la
matriz estática -[A] es singular, la armadura es estáticamente inestable.
 Losa valores obtenido por el método matricial y el método de nodos son numéricamente
iguales pero no necesaria mente con el mismo signo.
 El método matricial es más directo para calcular las fuerzas que actúan en una armadura
determinada.
 El método de nudos es más laborioso y estense en comparación con el otro método.
 La numeración realizada a cada nodo es la correcta por que en la verificación de los
resultados cumple.
 Si tómanos otra numeración el resultado puede divergir de la respuesta deseada.
 La consideración de la numeración mencionada en las recomendaciones es muy importante
para armaduras más complejas para no divergir de la respuesta deseada.
 Este análisis de las fuerzas internas es muy importante para poder diseñar y saber qué tipo y
que dimensiones debe tener el material que debemos usar.
Mecánica de sólidos II Página 20

22. ANÁLISIS DE ARMADURA POR MÉTODO DE NODOS Y MÉTODO MATRICIAL
BIBLIOGRAFÍA
 Beer, F. y Johnston, E. (1979). Mecánica vectorial para ingenieros. Estática. Bogotá,
Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana, S.A.
 Das, B., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecánica para Ingenieros, Estática. México D.F.,
México:Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.
 Nilson, A. H. 1999. Diseño de estructuras de concreto. 12° edición
 Hibbeler, R. C. 1997. Análisis estructural. 3º edición.
Mecánica de sólidos II Página 21