1. Função Quadrática
Revisão
Definição de Função Quadrática
Uma função f: →
chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com
a ≠ 0, tal que f(x) = ax² + bx + c para todo x ∈ .
f:
→
x  ax² + bx + c
Alguns exemplos:
* f(x) = -x² + 100x, em que a = -1, b = 100 e c = 0
* f(x) = 3x² - 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1
* f(x) = x² - 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4
* f(x) = 17x², em que a = 17, b = 0 e c = 0
Observe que não são funções quadráticas:
* f(x) = 3x
* f(x) = 2 x
* f(x) = x³ + 2x² + x + 1
Exercícios Propostos
1) As seguintes funções são definidas em . Verifique quais delas são funções
quadráticas e identifique em cada uma os valores de a, b e c:
a) f(x) = 2x (3x - 1)
b) f(x) = (x + 2) (x - 2) – 4
c) f(x) = 2(x + 1)²
2) Dada a função quadrática f(x) = 3x² - 4x + 1, determine:
a) f(1)
c) f( 2 )
b) f(0)
d) f(-2)
e) f(h + 1)
f) x de modo que f(x) = -1
3) De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus quatro
cantos, quadrados de lado x. Determine a expressão que indica a área da parte que
sobrou em função de x.
Gráfico da Função Quadrática

2. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
Exemplo: f(x) = x² - 4x + 3
Observe a tabela abaixo:
x
0
1
2
3
4
Y = f(x) = x² -4x + 3
3
0
-1
0
3
(x, y)
(0, 3)
(1, 0)
(2, -1)
(3, 0)
(4, 3)
Gráfico:
Zeros da Função Quadrática
Os zeros de f(x) = ax² + bx + c são os números x ∈ tais que f(x) = 0, ou seja, os zeros
da f são os pontos do eixo das abscissas onde a parábola o intercepta.
Determinação dos Zeros da Função Quadrática
A fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, às raízes da equação do 2º grau
ax² + bx + c = 0 é a fórmula de Báscara: x =
(discriminante).
−b ± ∆
com ∆ = b² - 4.a.c
2.a

3. Observações:
1) Quando ∆ > 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem dois zeros reais diferentes (a
parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos).
2) Quando ∆ = 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem um zero real duplo (a parábola
intersecta o eixo x em um só ponto).
3) Quando ∆ < 0, a função f(x) = ax² + bx + c não tem zeros reais (a parábola não
intersecta o eixo x).
4) Relação entre coeficientes e raízes da equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0.
Existindo zeros reais tal que:
x1 =
−b + ∆
2.a
x1+ x2 =
x2 =
−b − ∆
, obtemos:
2.a
−b
−b + ∆
−b − ∆
− 2b + ∆ − ∆
+
=
=
a
2.a
2.a
2.a
Logo, x 1 + x 2 =
x1. x2 =
e
−b
.
a
b ² − b ² + 4ac
c
−b + ∆
− b − ∆ b² − ( ∆ ) 2
.
=
=
=
4a ²
a
2.a
2.a
4a ²

4. Logo, x 1 . x 2 =
c
.
a
Exercícios Propostos
1) Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas abaixo:
a) f(x) = x² - 3x
b) f(x) = x² +4x + 5
c) f(x) = -x² +2x + 8
d) –x² +3x – 5
2) Para que valores reais de k a função f(x) = (k - 1)x² - 2x + 4 não admite zeros reais?
3) Os 180 alunos de uma escola estão dispostos de forma retangular, em filas, de tal
modo que o número de alunos de cada fila supera em 8 o número de filas. Quantos
alunos há em cada fila?
Gráfico da função definida por f(x) = ax² + bx + c
Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a função
quadrática f(x) = ax² + bx + c.
Parâmetro a: Responsável pela concavidade e abertura da parábola.

5. Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola
(parábola mais “fechada”), independentemente da concavidade.
Parâmetro b:
Um ponto ao percorrer a parábola, da esquerda para a direita, ao cruzar o eixo das
ordenadas poderá estar subindo ou descendo.
Se b = 0 o vértice a parábola cruza o eixo y no vértice V, isto é, o vértice V da parábola
está no eixo das ordenadas.
Parâmetro c: Indica o ponto onde a parábola cruza o eixo y.
A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c).
Exemplo: Na função quadrática f(x) = ax² + bx + c da figura abaixo, a < 0, b > 0, c > 0.

6. Exercícios Propostos
1) Esboce o gráfico da função f cuja parábola passa pelos pontos (3, -2) e (0, 4) e tem
vértice no ponto (2, -4); em seguida, verifique qual das seguintes sentenças corresponde
a essa função:
a) f(x) = -2x² - 8x + 4
b) f(x) = 2x² - 8x + 4
c) f(x) = 2x² + 8x +4
2) O gráfico abaixo representa a função f(x) = ax² + bx + c.
Pode se afirmar que:
a) a < 0, b > 0 e c < 0
b) a < 0, b = 0 e c < 0
c) a < 0, b > 0 e c > 0
d) a > 0, b < 0 e c < 0
e) a < 0, b < 0 e c < 0
Imagem da Função Quadrática
A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite
determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo.
As coordenadas do vértice V(x v , y v ) da função quadrática f(x) = ax² + bx + c podem
ser calculadas de duas maneiras:
1ª Maneira: Utilizando as seguintes fórmulas:
xv=
−b
2a
e
yv= −
∆
4a
2ª Maneira:
* Para calcular o x v , obtemos as raízes x 1 e x 2 da equação do 2º grau e calculamos o
ponto médio das mesmas. Assim:
xv=
x1 + x 2
2

7. * Substituímos o valor do x v na função quadrática para que possamos obter a
coordenada y v .
Examine os exemplos:
1º) f(x) = 2x² - 8x
Obtendo as raízes, teremos x 1 = 0 e x 2 = 4. Portanto, x v =
0 +4
x1 + x 2
=
=2
2
2
Substituindo x v = 2 na função, obtemos a ordenada do vértice:
y v = f(x v ) = 2 (x v )² - 8(x v )
y v = f(2) = 2 . 2² - 8 . 2 = -8
* O vértice é o ponto (2, 8).
* A função assume valor mínimo -8 quando x = 2
* Im(f) = {y ∈
│y ≥ 0}
* Essa função não tem valor máximo.
2º) f(x) = -4x² + 4x + 5
Sabemos que o vértice V de uma parábola dada por f(x) = ax² + bx + c, a
pode ser calculado assim: V = (x v , y v ) =
Neste caso, temos:
f(x) = -4x + 4x + 5
xv=
−b
−4
1
=
=
2a
−8
2
yv= −
− (16 + 80) − 96
∆
=
=
=6
4a
− 16
− 16
V = (1/2, 6)
 −b

 2a
,
∆
−
.
4a 
≠ 0, também

8. * O vértice é o ponto (1/2, 6).
* A função assume valor máximo 6 quando x = 1/2
* Im(f) = {y ∈
│y ≤ 6}
* Essa função não tem valor mínimo.
→
De modo geral, dada a função f:
tal que f(x) = ax² + bx + c, com a
V (x v , y v ) é o vértice da parábola correspondente, temos então:
a > 0 ⇔ y v é o valor mínimo de f ⇔ Im(f) = {y ∈
a < 0 ⇔ y v é o valor máximo de f ⇔ Im(f) = {y ∈
≠ 0, se
│y ≥ y v }
│y ≤ y v }
Exercícios Propostos
1) Calcule o vértice V de cada parábola definida pelas funções quadráticas abaixo
indicando o valor máximo ou o valor mínimo admitido pelas mesmas e determine o
conjunto imagem das funções:
a) f(x) = -3x² + 2x
b) f(x) = 2x² - 3x – 2
c) f(x) = -4x² + 4x - 1
2) Qual o valor de m para que a função f(x) = (4m + 1)x² - x + 6 admita valor mínimo?
3) Determine k de modo que o valor máximo da função f(x) = (m + 3)x² + 8x – 1 seja 3.
4) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por
C = x² - 80x + 3000. Nessas condições, calcule:
a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo;

9. b) o valor mínimo do custo.
Estudo do sinal da função quadrática
Estudar o sinal da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0, significa determinar os
valores reais de x para os quais f(x) se anula (f(x) = 0), f(x) é positiva (f(x) > 0) e f(x) é
negativa (f(x) < 0).
O estudo do sinal da função quadrática vai depender do discriminante ∆ = b² - 4ac da
equação do 2º grau correspondente ax² + bx + c = 0 e do coeficiente a.
Dependendo do discriminante, podem ocorrer três casos e, em cada caso, de acordo com
o coeficiente a, podem ocorrer duas situações. Portanto, temos um total de seis casos.
Acompanhe:
1º Caso: ∆ > 0
Neste caso:
* A função admite dois zeros reais distintos, x 1 e x 2 ;
* A parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos.
a<0
a>0
f(x) = 0 para x = x ou x = x
f(x) > 0 para x < x ou x > x
f(x) < 0 para x < x < x
f(x) = 0 para x = x 1 ou x = x
2
f(x) > 0 para x 1 < x < x 2
f(x) < 0 para x < x 1 ou x > x
2º Caso: ∆ = 0
Neste caso:
* A função admite um zero real duplo x 1 = x 2
* A parábola que representa a função tangencia o eixo x.
a>0
a<0

10. f(x) = 0 para x = x 1 = x 2
f(x) > 0 para x ≠ x 1
f(x) = 0 para x = x 1 = x 2
f(x) < 0 para x ≠ x 1
3º Caso: ∆ < 0
Neste caso:
* A função não admite zeros reais;
* A parábola que representa a função não intersecta o eixo x.
a>0
a<0
f(x) > 0 para todo x real
f(x) < 0 para todo x real
Exemplos:
1º) Vamos estudar os sinais das seguintes funções:
a) f(x) = x² - 7x + 6
b) f(x) = 9x² + 6x + 1
c) f(x) = -2x² +3x – 4
a) f(x) = x² - 7x + 6
a=1>0
∆ = (-7)² - 4 (1) (6) = 25 > 0
Zeros da função: x 1 = 6 e x 2 = 1
Então:
* f(x) = 0 para x = 1 ou x = 6
* f(x) < 0 para x < 1 ou x > 6
* f(x) < 0 para 1 < x < 6
Portanto, f(x) é positiva para x fora do intervalo [1, 6], é nula para x = 1 ou x = 6 e
negativa para x entre 1 e 6.

11. b) f(x) = 9x² + 6x + 1
a=9>0
∆ = (6)² - 4 (9) (1) = 0
Zeros da função: x = -1/3
Então:
* f(x) = 0 para x = -1/3
* f(x) > 0 para todo x ≠ -1/3
c) f(x) = -2x² +3x – 4
a = -2 < 0
∆ = (3)² - 4 (-2) (-4) = -23 < 0
Portanto, ∆ < 0 e a função não tem zeros reais.
Logo, f(x) < 0 para todo x real, ou seja, f(x) é sempre negativa.
2º) Quais são os valores reais de k para que a função f(x) = x² - 2x + k seja positiva para
todo x real?
Condições:
* a > 0 (já satisfeita, pois a = 1 > 0)
* ∆< 0
Cálculo de ∆ :
∆ = (-2)² - 4 (1) (k) = 4 – 4k
Daí:
4 – 4k < 0 ⇒ -4k < -4 ⇒ 4k > 4 ⇒ k >4/4 ⇒ k > 1
Logo, k ∈
│k > 1.
Exercícios Propostos
1) Estude o sinal das seguintes funções quadráticas:
a) f(x) = x² - 10x + 25
b) -3x² + 2x + 1
c) -4x² + 1
2) Dada a função f(x) = -2x² + 3x, determine os valores reais de x para os quais
f(x) > 0.

12. 3) Para quais valores de m a função f(x) = (m - 1)x² - 6x – 2 assume valores negativos
para todo x real?
4) Dada a função quadrática f(x) = –x² + 6x – 9, determine:
a) Se a concavidade da parábola esta voltada para cima ou para baixo;
b) Os zeros da função;
c) O vértice V da parábola definida pela função;
d) A intersecção com o eixo x e com o eixo y;
e) O domínio D e o conjunto Im da função;
f) Os intervalos onde a função é crescente, decrescente ou constante;
g) O esboço do gráfico.