1. Problemas
de
mecánica clásica
Moisés Carrera Núñez
Los problemas que aquí se presentan pertenecen
al capítulo 1: Survey of the Elementary Principles,
de la tercera edición del libro Classical Mechanics,
de los autores Herbert Goldstein, Charles Poole y
John Safko.
(Principios elementales)
2. 1.
Demuestre que para una part´ıcula con masa constante la ecuaci´on
de movimiento implica la siguiente ecuaci´on diferencial para la
energ´ıa cin´etica:
dT
dt
= F · v,
mientras si la masa var´ıa con el tiempo la ecuaci´on correspon-
diente es
d(mT)
dt
= F · p.
La energ´ıa cin´etica T de una part´ıcula de masa m y velocidad v
en coordenadas cartesianas esta dada por
T =
1
2
mv2
=
1
2
m ˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
,
si m es constante:
dT
dt
=
d
dt
1
2
m ˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
=
1
2
m
d
dt
˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
=
1
2
m 2 ˙x
d ˙x
dt
+ 2 ˙y
d ˙y
dt
+ 2 ˙z
d ˙z
dt
= m
d ˙x
dt
, m
d ˙y
dt
, m
d ˙z
dt
· ( ˙x, ˙y, ˙z)
= F · v
Si m var´ıa con el tiempo m = m(t),
d
dt
(mT) =
d
dt
1
2
m2
˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
=
1
2
dm2
dt
( ˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
) + m2 d
dt
( ˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
)
=
1
2
2m
dm
dt
( ˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
)
+ m2
2 ˙x
d ˙x
dt
+2 ˙y
d ˙y
dt
+ 2 ˙z
d ˙z
dt
= ˙x
dm
dt
m ˙x + ˙y
dm
dt
m ˙y + ˙z
dm
dt
m ˙z
+ m
d ˙x
dt
m ˙x + m
d ˙y
dt
m ˙y + m
d ˙z
dt
m ˙z
= ˙x
dm
dt
+ m
d ˙x
dt
m ˙x + ˙y
dm
dt
+ m
d ˙y
dt
m ˙y
+ ˙z
dm
dt
+ m
d ˙z
dt
m ˙z
=
d
dt
(m ˙x) m ˙x +
d
dt
(m ˙y) m ˙y +
d
dt
(m ˙z) m ˙z
=
d
dt
(m ˙x, m ˙y, m ˙z) · (m ˙x, m ˙y, m ˙z)
=
dp
dt
· p
= F · p
2.
Demuestre que la magnitud R del vector de posici´on del centro
de masa desde un origen arbitrario est´a dado por la ecuaci´on
M2
R2
= M
i
mir2
i −
1
2 i,j
mimjr2
ij.
Tenemos1
.
R =
1
M i
miri =⇒ MR =
i
miri,
entonces
M2
R2
= MR · MR
=
i,j
mimjri · rj. (2.1)
Como rij = ri −rj se tiene r2
ij = r2
i +r2
j −2ri ·rj, resolviendo para
ri · rj:
ri · rj =
1
2
(r2
i + r2
j − r2
ij) (2.2)
sustituyendo la Ec. (2.2) en el lado derecho de la Ec. (2.1) se tiene
M2
R2
=
i,j
mimj
1
2
(r2
i + r2
j − r2
ij)
=
1
2 i,j
mimjr2
i +
1
2 i,j
mimjr2
j −
1
2 i,j
mimjr2
ij
=
1
2
M
i
mir2
i +
1
2
M
j
mjr2
j −
1
2 i,j
mimjr2
ij
= M
i
mir2
i −
1
2 i,j
mimjr2
ij
1Esta soluci´on fue sacada directamente de la referencia [9]
10. que claramente corresponden a la ecuaci´on de un oscilador arm´oni-
co simple, en otras palabras, una masa m que se mueve bajo la
acci´on de una ´unica fuerza (proporcional a la posici´on de la ma-
sa) la cual se opone a su movimiento. L describe el movimiento
arm´onico simple en dos dimensiones.
Una transformaci´on puntual del plano xy al plano uv (es decir,
un punto en el plano xy genera un punto en plano uv) que puede
intuirse a partir de la Ecs. (18.1) y (18.2) viene dada por:
u = ax + by, (18.3a)
v = bx + cy (18.3b)
resulta claro que ¨u = a¨x+b¨y, y, ¨u = a¨x+b¨y. Entonces las ecuaciones
de movimiento en el plano uv se miran como
m¨u = −ku y m¨v = −kv,
que son las ecuaciones de movimiento m´as habituales para el mo-
vimiento arm´onico simple.
La transformaci´on inversa de las Ecs.(18.3) puede encontrase de
la siguiente manera:
bu − av = bax + b2
y − bax − cay
= b2
y − cay
as´ı que
y =
bu − av
b2 − ac
.
Por otro lado:
−cu + bv = −acx − bcy + b2
x + bcy
= −acx + b2
x
entonces
x =
bu − cv
b2 − ac
de donde puede apreciarse la importancia de la condici´on
b2
− ac = 0.
19.
Obtenga las ecuaciones de Lagrange del movimiento para un
p´endulo esf´erico, i. e., una masa suspendida por medio de una
barra r´ıgida sin peso.
Sea m la masa de la plomada que est´a sujeta a un punto fijo por
una barra r´ıgida de longitud l como se muestra en la Figura 7, la
plomada es libre de navegar en cualquier direcci´on bajo la acci´on
de la gravedad, pero est´a restringida a moverse en el interior de la
superficie de una esfera.
m
l
g
q
f
Figura 7: P´endulo esf´erico.
La geometr´ıa esf´erica que presenta el problema nos induce ha uti-
lizar coordenadas esf´ericas para su soluci´on. El vector de posici´on
r = (r1, r2, r3) de la plomada es (de acuerdo a la Figura 7):
r = (l sen θ cos φ, l sen θ sen φ, l cos θ),
y las componentes de su velocidad
v1 = l ˙θ cos θ cos φ − l ˙φ sen θ sen φ,
v2 = l ˙θ cos θ sen φ + l ˙φ sen θ cos φ,
v3 = −l ˙θ sen θ.
Entonces:
v2
1 = l2 ˙θ2
cos2
θ cos2
φ − 2l2 ˙θ ˙φ sen θ sen φ cos θ cos φ
+ l2 ˙φ2
sen2
θ sen2
φ,
v2
2 = l2 ˙θ2
cos2
θ sen2
φ + 2l2 ˙θ ˙φ sen θ sen φ cos θ cos φ
+ l2 ˙φ2
sen2
θ cos2
φ,
v2
3 = l2 ˙θ2
sen2
θ,
ahora podemos calcular v2
:
v2
= v2
1 + v2
2 + v2
3
= l2 ˙θ2
+ l2 ˙φ2
sen2
θ.
As´ı que, la energ´ıa cin´etica del sistema ser´a
T =
1
2
mv2
=
1
2
m(l2 ˙θ2
+ l2 ˙φ2
sen2
θ).
(19.1)
Si tomamos el punto de soporte como el nivel de referencia para
la energ´ıa potencial, entonces
V = mgl cos θ, (19.2)
11. as´ı, por ejemplo, cuando la plomada se encuentra en el punto ver-
tical m´as alto θ = 0 y V = mgl, cuando se encuentra en el plano
del punto de soporte θ = π/2 y V = 0, y cuando se encuentra en
el punto vertical m´as bajo θ = π entonces V = −mgl.
El Lagrangiano del sistema es:
L = T − V
=
1
2
m(l2 ˙θ2
+ l2 ˙φ2
sen2
θ) − mgl cos θ,
(19.3)
l es constante, por lo que s´olo hay dos grados de libertad, que
corresponden a las dos coordenadas generalizadas independientes φ
y θ, entonces, habr´a dos ecuaciones de Lagrange para el movimiento
del p´endulo esf´erico:
d
dt
∂L
∂ ˙φ
−
∂L
∂φ
= 0, (19.4a)
d
dt
∂L
∂ ˙θ
−
∂L
∂θ
= 0. (19.4b)
Obtengamos las derivadas correspondientes para φ
∂L
∂ ˙φ
=
∂
∂ ˙φ
1
2
m(l2 ˙θ2
+ l2 ˙φ2
sen2
θ) − mgl cos θ
= ml2 ˙φ sen2
θ,
entonces
d
dt
∂L
∂ ˙φ
=
d
dt
ml2 ˙φ sen2
θ
= ml2
[¨φ sen2
θ + ˙φ(2 sen θ)(cos θ)( ˙θ)]
= ml2 ¨φ sen2
θ + 2ml2 ˙θ ˙φ sen θ cos θ,
y
∂L
∂φ
=
∂
∂φ
1
2
m(l2 ˙θ2
+ l2 ˙φ2
sen2
θ) − mgl cos θ
= 0.
Por lo tanto la Ec. (19.4a) nos da nuestra primer ecuaci´on de mo-
vimiento: §
¦
¤
¥
ml2 ¨φ sen2
θ + 2ml2 ˙θ ˙φ sen θ cos θ = 0. (19.5)
Para la coordenada θ
∂L
∂ ˙θ
=
∂
∂ ˙θ
1
2
m(l2 ˙θ2
+ l2 ˙φ2
sen2
θ) − mgl cos θ
= ml2 ˙θ,
entonces
d
dt
∂L
∂ ˙θ
= ml2 ¨θ
y
∂L
∂θ
=
∂
∂θ
1
2
m(l2 ˙θ2
+ l2 ˙φ2
sen2
θ) − mgl cos θ
= ml2 ˙φ2
sen θ cos θ + mgl sen θ.
As´ı que de la Ec. (19.4b) obtenemos la segunda ecuaci´on de movi-
miento:
§
¦
¤
¥
ml2 ¨θ − ml2 ˙φ2
sen θ cos θ − mgl sen θ = 0. (19.6)
20.
Una part´ıcula de masa m se mueve en una dimensi´on tal que tiene
el Lagrangianoa
L =
m2
˙x4
12
+ m ˙x2
V (x) − V 2
(x)
donde V es alguna funci´on diferenciable de x. Encuentre las ecua-
ciones de movimiento para x(t) y describa la naturaleza f´ısica del
sistema sobre las bases de esta ecuaci´on.
aEn la referencia [1] este lagrangiano aparece como L =
m2 ˙x4
12
+
m ˙x2V (x) − V2(x), donde V2(x) debe ser un error tipogr´afico.
Tenemos:
∂L
∂x
= m ˙x2 dV
dx
− 2V
dV
dx
. (20.7)
Y
∂L
∂ ˙x
=
4m2
˙x3
12
+ 2m ˙xV,
entonces:
d
dt
∂L
∂ ˙x
=
3m2
˙x2
¨x
3
+ 2m¨xV + 2m ˙x
dV
dt
= m2
˙x2
¨x + 2m¨xV + 2m ˙x2 dV
dx
,
(20.8)
en el ´ultimo t´ermino del lado derecho de la ecuaci´on anterior se
utiliz´o la regla de la cadena:
dV
dt
=
dV
dx
dx
dt
= ˙x
dV
dx
,
puesto que V = V x(t) .
La ecuaci´on de Lagrange, de acuerdo a los resultados de las
Ecs. (20.7) y (20.8) llega a ser:
d
dt
∂L
∂ ˙x
−
∂L
∂x
= 0
m2
˙x2
¨x + 2m¨xV + 2m ˙x2 dV
dx
− m ˙x2 dV
dx
+ 2V
dV
dx
= 0
m2
˙x2
¨x + 2m¨xV + m ˙x2 dV
dx
+ 2V
dV
dx
= 0
2
1
2
m ˙x2
+ V m¨x + 2
1
2
m ˙x2
+ V
dV
dx
= 0
1
2
m ˙x2
+ V m¨x +
dV
dx
= 0,
en el primer t´ermino dentro del primer par´entesis del lado de la
izquierda, podemos identificar la energ´ıa cin´etica T = mv2
/2, y, si
identificamos Fexterna = −dV/dx, entonces, T + V es constante y
diferente de cero, as´ı la ecuaci´on de Lagrange se reduce a
§
¦
¤
¥m¨x = Fexterna. (20.9)
L representa el movimiento de una part´ıcula que se mueve bajo la
acci´on de un campo de fuerza conservativo.
13. recuerde que d˜L/dt = 0, as´ı esta ´ultima ecuaci´on puede integrase
directamente para obtener:
1
2
(m1 + m2) ˙s2
+
1
2
˜L2
(l − s)2m1
− m2gs = cte.
1
2
(m1 + m2) ˙s2
+
1
2
(l − s)4 ˙θ2
m2
1
(l − s)2m1
− m2gs = cte.
1
2
(m1 + m2) ˙s2
+
1
2
(l − s)2 ˙θ2
m1 − m2gs = cte.
L + V = cte.
esto es, la energ´ıa total del sistema se conserva.
Comentarios
La condici´on de “considerar el movimiento ´unicamente hasta que m1
alcanza el agujero” qued´o incrustada en la forma T y V que se to-
maron, pues, una ves que la masa m1 comenzara a caer habr´ıa que
considerar, por ejemplo, su contribuci´on a la energ´ıa potencial, enton-
ces habr´ıa que a˜nadir un t´ermino extra a la Ec. (21.4). Mientras que
la energ´ıa cin´etica (Ec. (21.3)) tomar´ıa otra forma.
23.
Obtenga el Lagrangiano y las ecuaciones de movimiento para el
p´endulo doble ilustrado en la Figura 1.4, donde la longitudes de
las p´endulas son l1 y l2 con correspondientes masas m1 y m2.
m1
l1
m2
l2
g
q1
q2
Figura 1.4: P´endulo doble.
Las coordenadas de las dos part´ıculas m1 y m2 est´an dadas por
Para m1 Para m2
x1 = l1 cos θ1 x2 = l1 cos θ1 + l2 cos θ2
y1 = l1 sen θ1 y2 = l1 sen θ1 + l2 sen θ2,
y sus velocidades:
Para m1 Para m2
˙x1 = −l1
˙θ1 sen θ1 ˙x2 = −l1
˙θ1 sen θ1 − l2
˙θ2 sen θ2
˙y1 = l1
˙θ1 cos θ1 ˙y2 = l1
˙θ1 cos θ1 + l2
˙θ2 cos θ2,
as´ı que
Para m1 Para m2
v2
1 = ˙x2
1 + ˙y2
1 v2
2 = ˙x2
2 + ˙y2
2
= l2
1
˙θ2
1 = l2
1
˙θ2
1 + l2
2
˙θ2
2 + 2l1l2
˙θ1
˙θ2 cos(θ1 − θ2).
Podemos ahora calcular la energ´ıa cin´etica del sistema:
T =
1
2
m1l2
1
˙θ2
1 +
1
2
m2[l2
1
˙θ2
1 + l2
2
˙θ2
2 + 2l1l2
˙θ1
˙θ2 cos(θ1 − θ2)]. (23.1)
Si se elige el nivel de referencia para la energ´ıa potencial a la dis-
tancia l1 + l2 debajo del punto de suspensi´on, tenemos
V = m1g(l1 + l2 − l1 cos θ1)
+ m2g[l1 + l2 − (l1 cos θ1 + l2 cos θ2)]. (23.2)
Por lo tanto el Lagrangiano del sistema es:
L =
1
2
m1l2
1
˙θ2
1 +
1
2
m2[l2
1
˙θ2
1 + l2
2
˙θ2
2 + 2l1l2
˙θ1
˙θ2 cos(θ1 − θ2)]
− m1g(l1 + l2 − l1 cos θ1)
− m2g[l1 + l2 − (l1 cos θ1 + l2 cos θ2)]. (23.3)
Y las ecuaciones del movimiento son:
(m1 + m2)l2
1
¨θ1 + m2l1l2
¨θ2 cos(θ1 − θ2)
+ m2l1l2
˙θ2
2 sen(θ1 − θ2) = −(m1 + m2)gl1 sen θ1, (23.4)
y
m2l2
2
¨θ2 + m2l1l2
¨θ1 cos(θ1 − θ2)
− m2l1l2
˙θ2
1 sen(θ1 − θ2) = −m2gl2 sen θ2. (23.5)
Bibliograf´ıa
[1] H. Goldstein, C. Poole y J. Safko: Classical Mechanics, 3th ed.
Addison Wesley, 2002.
[2] T. L. Chow: Classical Mechanics. John Wiley Sons, Inc. 1995.
[3] W. Greiner. Classical Mechanics: Point Particles and Relati-
vity. Springer, 2004.
[4] S. T. Thornton y J. B. Marion: Classical Dynamics of Particles
and Systems, 5th ed. Thomson Brooks/cole.
[5] L. D. Landau y E. M. Lifshitz: Mechanics, 3th ed. Butterworth-
Heinenann, 2000 (reprinted).
[6] H. D. Young y R. A. Freedman: Sears and Zemansky’s Uni-
versity Physics: with Modern Physics, 12th ed. Addison Wes-
ley, 2008.
[7] D. Halliday, R. Resnick y J. Walker: Fundamentals of Physics.
[8] H. Reid: Solutions to Problems in Goldstein, Classical Mecha-
nics, 2th ed.
[9] M. Good: Goldstein Chapter 1 Exercises and Derivations.