Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το lisari.blogspot.gr

1. 2 Ιανουαρίου 2017
Εργασία μαθητών Γ΄ Λυκείου
1) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f;
2) Αν  f x ln x τότε  
1
f x
x
  για *
xR ;
3) Πώς παραγωγίζονται οι συναρτήσεις
       
2
3 23
ημx ,x 0
f x x , g x x , h x xημx, k x
x x 0

    

;
Ευχαριστώ το Θεόδωρο Παγώνη και Παύλο Τρύφωνα από τη lisari teaμ για τις χρήσιμες
παρατηρήσεις τους…
Θερμές ευχές,
Μάκης Χατζόπουλος
lisari.blogspot.gr

2. Πεδίο ορισμού της παραγώγου
Θεωρία (από το σχολικό βιβλίο μαθηματικών)
Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, και Β το σύνολο των x A στα οποία η f
είναι παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε x B
αντιστοιχίζεται στο
h 0
f(x h) f(x)
f (x) lim
h
 
  .
Η συνάρτηση αυτή λέγεται (πρώτη) παράγωγος (derivative) της f και συμβολίζεται με f .
Συμπέρασμα:
 B A
 αν f : A  R τότε f : B A   R
Ας δούμε μερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις που δημιουργείται σύγχυση ή αβλεψία
του μαθητή…
1) Η  f x ln x έχει πεδίο ορισμού το  0, . Γνωρίζουμε ότι  
1
f x
x
  , άρα κάποιος
μπορεί να υποθέσει ότι το πεδίο ορισμού της είναι το    *
,0 0,   R . Σωστά;
Προφανώς και είναι λάθος αφού από θεωρία γνωρίζουμε ότι το πεδίο ορισμού της
παραγώγου είναι το Β που είναι υποσύνολο του Α, δηλαδή του πεδίου ορισμού της f.
Άρα είμαστε υποχρεωμένοι να εξετάσουμε την παράγωγο της f στο διάστημα  0, .
Επομένως, όπως γνωρίζουμε και από τη θεωρία γράφουμε:
Για κάθε  x 0,  έχουμε:    
1
f x ln x
x
  
2) Η  f x x έχει πεδίο ορισμού το  0, ενώ από θεωρία γνωρίζουμε ότι είναι
παραγωγίσιμη στο  0, με  
1
f x
2 x
  .

3. Το πεδίο ορισμού της f δεν το γνωρίζουμε από τον τύπο της αλλά πριν παραγωγίσουμε τη
συνάρτηση f. Πώς; Αρχικά βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης f στο  0, που
είναι το  
1
f x
2 x
  και μετά μελετάμε αν υπάρχει η παράγωγος της f στο σημείο 0
x 0 .
Εύκολα βρίσκουμε ότι:
   
x 0 x 0 x 0
f x f 0 x 1
lim lim lim
x 0 x x
  
  

   

άρα η συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται (ή δεν ορίζεται) στο σημείο 0
x 0 .
3) Η  f x x ημx  έχει πεδίο ορισμού  0, άρα σύμφωνα με τα παραπάνω αναμένουμε
να παραγωγίζεται στο διάστημα  0, . Παρόλα αυτά ορίζεται το  f 0 αφού
   
x 0 x 0
f x f 0 x ημx
lim lim 0 1 0
x 0 x 
 
   

άρα η συνάρτηση f ορίζεται ως εξής:
 
x
x x, x 0
f x 2 x
0 ,x 0

  
  
 
4) Αν f : R R τότε δεν είναι υποχρεωτικό η f να έχει πεδίο ορισμού το R . Για
παράδειγμα η συνάρτηση
x , x 0
f(x)
x 1 , x 0
 
 
  
έχει πεδίο ορισμού το R , ενώ για
κάθε    x ,0 0,    έχουμε:
 
 
ημx , x 0
f (x)
x 1 , x 0
  
  
  
δηλαδή
συνx , x 0
f (x)
x , x 0



  

Εξετάζουμε χωριστά την παράγωγο της f στο 0
x 0 :

4.    
x 0 x 0
f x f 0 ημx
lim lim 1
x 0 x 
 

 

και
   
x 0 x 0
f x f 0 x 1
lim lim 0
x 0 x 
 
  
 

άρα δεν υπάρχει η παράγωγος της f στο 0
x 0 .
Οπότε, η παράγωγος της f ορίζεται στο διάστημα     *
,0 0,    R .
5) Επίσης μια κλασική άσκηση του σχολικού βιβλίου που αντιμετωπίζεται λάθος από τους
μαθητές είναι η εύρεση της παραγώγου της συνάρτησης   23
f x x .
Η αντιμετώπιση του μαθητή είναι συνήθως η εξής:
Το πεδίο ορισμού της f είναι το R , άρα για κάθε x R έχουμε:
   
2 2 1
1
23 3 3 3
2 2
f x x x x x
3 3
 
       
 
το λάθος γίνεται στο πρώτο βήμα όταν το 23
x γράφεται
2
3
x αφού ισχύει μόνο για τα θετικά
x. Επομένως η λύση δεν έχει ολοκληρωθεί για τα αρνητικά x.
Επομένως, θα ήταν καλύτερα να γράψουμε   2 23 3f x x x  άρα η ορθή αντιμετώπιση της
άσκησης είναι η εξής:
 Για κάθε  x 0,  έχουμε    
2 2 1
1
23 3 3 3
2 2
f x x x x x
3 3
 
       
 
 Για κάθε  x ,0  έχουμε
            
2 2 1
2 1
3 3 3 3
2 2
f x x x x x x
3 3
 
              
 
 Για 0
x 0 έχουμε:
    2 2 23 3
3 3
333x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
f x f 0 x x x 1
lim lim lim lim lim
x 0 x x xx
    
    

     


5. άρα δεν ορίζεται το  f 0 .
Επομένως η παράγωγος της συνάρτησης f είναι:
 
 
1
3
3
1
3
3
2 12 ,x 0x ,x 0
3 x3
f x
2 2 1
x ,x 0 ,x 0
3 3 x


    
   
      
  
6) Σε αντιδιαστολή με την παραπάνω άσκηση υπάρχει και η άσκηση του σχολικού βιβλίου
που είναι ανάλογη αλλά η αντιμετώπιση της δεν πρέπει να είναι η ίδια.
Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της f, όπου    
2
3
f x x 1  .
Υπενθυμίζουμε ότι όλες οι δυνάμεις με ρητό εκθέτη ορίζονται για θετική βάση, δηλαδή η
συνάρτηση
μ
x
ορίζεται στο  0, . Άρα στην περίπτωσή μας το πεδίο ορισμού της f είναι
το  A 1,  αφού πρέπει x 1 0 x 1    .
Επομένως, για κάθε  x 1,  έχουμε:
         
2 2 1
1
3 3 3
3
2 2 2 1
f x x 1 x 1 x 1 x 1
3 3 3 x 1
 
             
  
Σημείωση: Μια βασική άσκηση που αναφέρουμε στους μαθητές μας στην παράγραφο της
ισότητας συναρτήσεων είναι η εξής:
Οι συναρτήσεις      
2 2
ln x
233 3
f x x , g x x , h x e   είναι ίσες; Αν όχι, βρείτε το
μεγαλύτερο υποσύνολο Α του R στο οποίο να ισχύει      f x g x h x  για κάθε x A .
7) Τέλος, ίδια λογική έχει και η παραγώγιση της συνάρτησης   x
f x x αφού δεχόμαστε ως
πεδίο ορισμού της το σύνολο  0, .
Επομένως, για κάθε  x 0,  έχουμε:          x x ln x x ln x x
f x x e e xln x x ln x 1        

6. Συμπεράσματα
Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που αναζητάμε την παράγωγό της.
Ανάλογα από την μορφή του πεδίο ορισμού της συνάρτησης συνεχίζουμε ανάλογα.
1) Αν  f : ,   R ή  f : ,α  R ή  f : ,   R τότε παραγωγίζουμε τη συνάρτηση
f σε αυτά τα διαστήματα σύμφωνα με τους κανόνες παραγώγισης.
2) Αν  f : ,   R ή  f : ,α  R ή  f : ,   R, τότε για αρχή παραγωγίζουμε στα
ανοικτά διαστήματα που ορίζεται η συνάρτηση f σύμφωνα με τους κανόνες παραγώγισης.
Στη συνέχεια εξετάζουμε την παράγωγο της f στα κλειστά άκρα των διαστημάτων με την
βοήθεια του ορισμού της παραγώγου.
3) Στις ασκήσεις πολλαπλού τύπου τις παραγωγίζουμε στα ανοικτά διαστήματα και στα
κλειστά άκρα του διαστήματος που ορίζεται η συνάρτηση την μελετάμε την παράγωγό της
χωριστά.
Οπότε,
αν  
 
 
1
2
g x ,x
f x
g x ,x
 
 
 
τότε  
 
 
1
2
g x ,x
f x
g x ,x
  
  
 
(με 1 2
g ,g παραγωγίσιμες συναρτήσεις) και μελετάμε χωριστά την παράγωγο της f στο
σημείο 0
x α με τον ορισμό της παραγώγου.
Αν  
 g x ,x
f x
,x
  
 
  
τότε    f x g x  για κάθε    x ,α ,    
(με g παραγωγίσιμη συνάρτηση) και μελετάμε χωριστά την παράγωγο της f στο σημείο
0
x α με τον ορισμό της παραγώγου.
Άσκηση για κατανόηση
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης    f x x , x 0,2    όπου ορίζεται.