Σημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
•
2 likes•12,790 views
Επιμέλεια: Θεόδωρος Παγώνης για το lisari
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Viewers also liked
Viewers also liked (20)
Similar to Σημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
Similar to Σημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου (20)
More from Μάκης Χατζόπουλος
More from Μάκης Χατζόπουλος (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Σημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
- 1. Θεόδωρος Παγώνης μαθηματικός 2015-2016 β΄ λυκείου μαθηματικά κατεύθυνσης
- 2. Κσκλοθορούν επίζης Μαθημαηικά Καηεύθσνζης Γ΄ Λσκείοσ Μαθημαηικά Γενικής Παιδείας, Άλγεβρα Β΄ Λσκείοσ Θεόδωρος Παγώνης e-mail: theomath@yahoo.gr https://www.facebook.com.theodoros.pagones http://lisari.blogspot.gr/ 2015-2016
- 4. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 2 - §1. η έννοια του διανύςματοσ 1) Από ηα δηαλύζκαηα πνπ είλαη ζεκεησκέλα ζην παξαθάησ παξαιιειεπίπεδν , ην νπνίν έρεη βάζεηο ηεηξάγσλα , λα δηαθξίλεηαη εθείλα πνπ α. έρνπλ ην ίδην κήθνο κε ην δηάλπζκα β. έρνπλ ίδηα δηεύζπλζε κε ην δηάλπζκα γ. έρνπλ ίδηα θνξά κε ην δηάλπζκα δ. είλαη ίζα κε ην ε. είλαη αληίζεηα κε ην 2) Έλα θηλεηό εθηειεί θπθιηθή θίλεζε . Δίλαη γλσζηό από ηελ Φπζηθή όηη ζε θάζε ζεκείν ε δηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο είλαη εθαπηόκελε ηνπ θύθινπ . α. ε πνηα ζεκεία ηνπ ζρήκαηνο ηα δηαλύζκαηα ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θηλεηνύ είλαη αληίζεηα ; β. Λα βξείηε ην ζεκείν ζην νπνίν ην δηάλπζκα ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θηλεηνύ είλαη αληίζεην κε ην δηάλπζκα ηεο ηαρύηεηαο ζην Κ. 3) ην παξαθάησ ζρήκα λα βξείηε : α. ίζα δηαλύζκαηα β. αληίζεηα δηαλύζκαηα 4) Γίλεηαη ξόκβνο ΑΒΓΓ κε Ο ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . Λα ραξαθηεξίζεηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε ζσζηό ή ιάζνο : α. β. γ. δ. , , 5) Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε / / . Λα ραξαθηεξίζεηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε ζσζηό ή ιάζνο : α. β. γ. | | | | δ. 6) Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΑΓ ην ύςνο ηνπ. Λα βξείηε ηηο γσλίεο : α. , β. , γ. , δ. , 7) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε a θαη . Πνηα δηαλύζκαηα είλαη ηα : α. a β. a γ. a 8) Γίλεηαη ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ . Λα βξείηε δηαλύζκαηα ίζα κε : α. β. γ. δ. ε. ζη. 9) ην επίπεδν ζεσξνύκε ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Λα βξείηε ζεκείν Ο ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη .
- 5. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 3 - 10) Έζησ Κ εζσηεξηθό ζεκείν παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ . Λα δείμεηε όηη 0 . 11) Λα εθθξάζεηε ην δηάλπζκα x ζε θάζε έλα από ηα παξαθάησ ζρήκαηα σο ζπλάξηεζε ησλ άιισλ δηαλπζκάησλ πνπ δίλνληαη : 12) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Δ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη . Λα δείμεηε όηη . 13) Έζησ ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Λα δείμεηε όηη αλ ππάξρεη ζεκείν Ρ ηέηνην , ώζηε , ηόηε ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν. 14) ηηο πιεπξέο ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ , ΓΑ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ ζεσξνύκε ηα ζεκεία Θ , Ι , Κ , Λ ηέηνηα , ώζηε , . Λα δείμεηε όηη ην ΘΙΚΛ είλαη παξαιιειόγξακκν. 15) Αλ γηα ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ , Δ ηζρύεη ε ζρέζε λα δείμεηε όηη ηα Γ θαη Δ ηαπηίδνληαη. 16) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Κ ηπραίν ζεκείν ηεο πιεπξάο ΑΓ . Αλ ην ζεκείν Δ νξίδεηαη από ηελ ζρέζε λα δείμεηε όηη ην ΑΒΓΔ είλαη παξαιιειόγξακκν. 17) Αλ νη δηαγώληνη θπξηνύ ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ δηρνηνκνύληαη , λα δεηρζεί όηη ην ηεηξάπιεπξν είλαη παξαιιειόγξακκν. 18) Γπν παξαιιειόγξακκα ΑΒΓΓ θαη ΓΓΘΙ έρνπλ θνηλή πιεπξά ΓΓ . Λα δεηρζεί όηη ην ΑΒΙΘ είλαη παξαιιειόγξακκν. 19) Γπν παξαιιειόγξακκα ΑΒΓΓ θαη ΑΒ1ΓΓ1 έρνπλ θνηλή ηελ δηαγώλην ΑΓ . Λα δεηρζεί όηη ην ηεηξάπιεπξν ΒΒ1ΓΓ1 είλαη παξαιιειόγξακκν . 20) Δμσηεξηθά ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ θαηαζθεπάδνπκε ηα ηεηξάγσλα ΑΒΔΕ θαη ΓΓΘΖ . Λα δείμεηε όηη : α. . β. Σα επζύγξακκα ηκήκαηα ΑΓ θαη ΖΔ έρνπλ θνηλό κέζν . γ. Σν θέληξν Ο ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ είλαη θνηλό κέζν ησλ ΔΖ θαη ΕΘ . 21) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Θ , Ι , Κ . Λα απνδείμεηε όηη ηζρύεη ε ζρέζε . 22) Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Θ , Ι , Κ , Λ ηα κέζα ησλ ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ θαη ΓΑ αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη . 23) Αλ Ο ην κέζν ηεο δηαγσλίνπ ΑΓ , ηεηξάπιεπξνπ ΑΒΓΓ , λα δεηρζεί όηη .
- 6. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 4 - 24) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ . Λα θαηαζθεπάζεηε ηα δηαλύζκαηα θαη από ηηο ηζόηεηεο , θαη λα δείμεηε όηη . 25) Από ην θέληξν Ο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ θέξνπκε επζεία πνπ ηέκλεη ηηο ΑΒ θαη ΓΓ ζηα ζεκεία Ε θαη Δ αληίζηνηρα . Λα δεηρζεί όηη . 26) Γίλεηαη θαλνληθό εμάγσλν ΑΒΓΓΔΕ . Λα δείμεηε όηη . 27) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , ηζρύνπλ 3| | 2 | | 5| |a θαη | | | | | | 1a , λα βξείηε ηα κέηξα ησλ a , , . 28) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , ηζρύνπλ 2 | | 3| | 4 | |a θαη | | | | | | 26a α. λα βξείηε ηα κέηξα ησλ a , , θαη β. λα απνδείμεηε όηη είλαη κήθε πιεπξώλ ακβιπγσλίνπ ηξηγώλνπ . §2. πολλαπλαςιαςμόσ αριθμού με διάνυςμα 29) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , x , y γηα ηα νπνία ηζρύνπλ 2 4 3 0x y a θαη 4 2 3 0x y . Λα βξείηε ηα δηαλύζκαηα x , y ζπλαξηήζεη ησλ a , . 30) Θεσξνύκε ηξία ζεκεία Θ , Ι , Κ ηέηνηα , ώζηε 4 3 . Λα δείμεηε όηη γηα θάζε ζεκείν Ο ηζρύεη 4 3 7 7 . 31) Έζησ ηα ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Αλ Θ , Ι είλαη ηα κέζα ησλ ΑΓ , ΒΓ αληίζηνηρα λα δείμεηε όηη 2 . 32) Έζησ Θ , Ι ηα κέζα ησλ ΑΒ , ΓΓ . Λα δείμεηε όηη 2 . 33) ηελ πιεπξά ΒΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ παίξλνπκε ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε 2 3 . Λα δείμεηε όηη 5 2 3 0 . 34) Έζησ ΑΒΓ ηξίγσλν θαη ηα ζεκεία Θ , Ι ηέηνηα , ώζηε 2 θαη 2 3 . Λα απνδείμεηε όηη 4 . 35) Γίλνληαη ηα επζύγξακκα ηκήκαηα ΑΓ , ΒΔ , ΓΕ κε θνηλό κέζν ην ζεκείν Ο . Λα δεηρζεί όηη : α. 3 . β. 6 , όπνπ Κ ηπραίν ζεκείν . 36) Έζησ Θ , Ι ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΓΓ ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ αληίζηνηρα θαη G κέζν ηνπ ΘΙ . Λα απνδείμεηε όηη : α. 4 G β. 0G G G G 37) Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Κ , Λ ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ηνπ ΑΓ θαη ΒΓ αληίζηνηρα . Λα δεηρζεί όηη 2 . 38) Γίλεηαη ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Κ , Λ ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . Αλ Θ είλαη ην κέζν ηνπ ΚΛ θαη Ο ηπραίν ζεκείν αλαθνξάο , λα δεηρζεί όηη 4 . 39) Λα δείμεηε όηη ζε θάζε θαλνληθό εμάγσλν ΑΒΓΓΔΕ ηζρύεη 2 .
- 7. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 5 - 40) ε ηξαπέδην ΑΒΓΓ (ΑΒ//ΓΓ) πξνεθηείλσ ηελ δηάκεζν ΘΙ θαηά . Λα δείμεηε όηη 2 . 41) Οη δηαγώληνη θαη ηζνζθεινύο ηξαπεδηνύ ηέκλνληαη θάζεηα ζην Ο ελώ νη κεζνθάζεηνη ησλ δηαγώλησλ ζην Κ . Λα δείμεηε όηη 2 . 42) Αλ Ο είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ θαη Κ ην κέζν ηνπ , λα δεηρζεί όηη 1 2 . 43) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Ο ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . Αλ Κ ηπραίν ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ , λα δεηρζεί όηη 4 . 44) ηηο πιεπξέο ΒΓ , ΓΑ , ΑΒ ηξηγώλνπ ΑΒΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία Γ , Δ , Ε έηζη ώζηε 1 4 , 3 2 , 3 7 . Αλ ζηελ ΑΒ πάξνπκε ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε 1 3 λα δείμεηε όηη 4 10 . 45) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Ο ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε 2 0 . Λα δείμεηε όηη 2 . 46) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκεία Κ , Λ ηέηνηα ώζηε 3 0 θαη 2 2 3 0 . Λα δεηρζεί όηη ην ΑΒΚΛ είλαη παξαιιειόγξακκν. 47) Γίλνληαη ηα παξαιιειόγξακκα ΑΒΓΓ θαη Α1Β1Γ1Γ1 . Αλ Θ , Ι , Κ , Λ είλαη ηα κέζα ησλ ΑΑ1 , ΒΒ1 , ΓΓ1 θαη ΓΓ1 αληίζηνηρα , λα δεηρζεί όηη ην ΘΙΚΛ είλαη παξαιιειόγξακκν . 48) Λα δεηρζεί όηη ηα δηαλύζκαηα πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο δηακέζνπο ηπραίνπ ηξηγώλνπ , ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν . 49) Κε βάζεηο ηηο πιεπξέο ηξίγσλνπ ΑΒΓ θαηαζθεπάδνπκε εμσηεξηθά ηα παξαιιειόγξακκα ΒΓΓΔ , ΓΑΕΖ θαη ΑΒΘΗ . Λα δεηρζεί όηη ηα δηαλύζκαηα , θαη ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν . 50) Λα απνδείμεηε όηη Κ είλαη ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ αλ θαη κόλν εάλ ππάξρεη ζεκείν Ο ηέηνην , ώζηε 2 . 51) Γίλνληαη ηα δηαθεθξηκέλα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ ώζηε 1 3 . Λα βξεζεί ν ώζηε ( 1) . 52) Έζησ ηα ηξίγσλα ΑΒΓ , ΑΘΙ γηα ηα νπνία ηζρύεη . Λα απνδείμεηε όηη ηα επζύγξακκα ηκήκαηα ΒΓ , ΘΙ έρνπλ ην ίδην κέζν. 53) Γίλεηαη ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε 2 θαη ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε 2 . Λα απνδείμεηε όηη 3 . 54) Γίλεηαη θύθινο κε θέληξν Ο θαη έζησ ΑΒ θαη ΓΓ δπν θάζεηεο κεηαμύ ηνπο ρνξδέο , νη νπνίεο ηέκλνληαη ζην Ρ . α. Λα απνδείμεηε όηη : i. 2 ii. 2 β. Αλ Θ θαη Ι είλαη ηα κέζα ησλ ρνξδώλ ΑΓ θαη ΒΓ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν ΟΘΡΙ είλαη παξαιιειόγξακκν. 55) Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ Γ ην κέζν ηεο ΒΓ θαη Ρ ε πξνβνιή ηνπ πάλσ ζηελ ΑΓ. Λα απνδείμεηε όηη 3 0 . 56) Γίλεηαη ην δηάλπζκα 0 θαη ζεκείν Γ ηνπ ηέηνην , ώζηε v , * , v . α. Λα δεηρζεί όηη 0v . β. Αλ Κ ηπραίν ζεκείν , λα δεηρζεί όηη v v .
- 8. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 6 - 57) Σα ζεκεία Α , Β , Γ σο πξνο έλα ζεκείν αλαθνξάο Ο έρνπλ δηαλύζκαηα ζέζεο a , , ελώ σο πξνο άιιν ζεκείν αλαθνξάο Ο΄ έρνπλ δηαλύζκαηα ζέζεο u , v , w . Αλ , , κε 0 ώζηε a θαη u v w , λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Κ θαη Κ΄ ηαπηίδνληαη . 58) Γίλεηαη επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ ην νπνίν ηξηρνηνκείηαη από ηα ζεκεία Γ θαη Γ . Έζησ Ο ηπραίν ζεκείν ηνπ ΑΒ . Αλ u , v , λα εθθξαζηνύλ ηα θαη ζπλαξηήζεη ησλ u , v . 59) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Κ ην κέζν ηεο ΑΓ . Λα εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα θαη ζπλαξηήζεη ησλ a θαη . 60) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ Γ ην κέζν ηεο ΑΒ , Δ ζεκείν ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε 3 θαη Ρ ην κέζν ηνπ ΓΔ . Λα εθθξάζεηε ην σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ δηαλπζκάησλ θαη . 61) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη ηα ζεκεία Δ θαη Ε ηεο δηαγσλίνπ ΑΓ ηέηνηα , ώζηε 1 4 . α. Λα εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα θαη ζπλαξηήζεη ησλ a θαη . β. Λα απνδείμεηε όηη ην ΔΒΕΓ είλαη παξαιιειόγξακκν. 62) Έζησ ΑΒΓΓΔΕ θαλνληθό εμάγσλν , Θ ην κέζν ηεο ΔΓ , Ι ην κέζν ηεο ΒΓ θαη Λ ην κέζν ηεο ΑΘ. Λα εθθξάζεηε ην δηάλπζκα ζπλαξηήζεη ησλ a θαη . 63) Έζησ ΑΒΓΓΔΕ θαλνληθό εμάγσλν . Θέηνπκε a θαη . Λα εθθξάζεηε ην δηάλπζκα ζπλαξηήζεη ησλ a , . 64) Έζησ ξόκβνο ΑΒΓΓ κε δηαγώληνπο a θαη . Λα εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα θαη ζπλαξηήζεη ησλ a , . 65) Έζησ ΑΒΓΓΔΕ θαλνληθό εμάγσλν κε a , θαη . Λα δείμεηε όηη a θαη 3 a . 66) Έζησ u , v , 3u v , 3u v . Λα εθθξαζηνύλ ηα δηαλύζκαηα , , ζπλαξηήζεη ησλ u , v . Κεηά λα δείμεηε όηη / / . 67) Αλ = ι , = ι λα δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα , είλαη ζπγγξακκηθά . 68) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ . Αλ ηζρύεη 2 5 3 6 , 5 2 6 3 λα δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα , είλαη αληίξξνπα . 69) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ ηέηνηα , ώζηε 4 9 , 6 . Λα δεηρζεί όηη / / . 70) Έζησ ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ , ΑΖ ε δηρνηόκνο ηνπ θαη Δ , Ε ηα κέζα ησλ ΑΓ , ΖΓ αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη . 71) Αλ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v είλαη κε παξάιιεια , ηόηε : α. Αλ 0u v είλαη 0 . β. Αλ u v u v κε , , , .
- 9. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 7 - 72) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα κέζα Κ , Λ ησλ πιεπξώλ ΑΒ , ΑΓ αληίζηνηρα. Λα δείμεηε όηη / / . 73) Αλ γηα ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v , w γλσξίδνπκε όηη 0u v w θαη όηη | | | | | | 3 4 7 u v w , λα δεηρζεί όηη u v θαη v w . 74) Αλ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v δελ είλαη ζπγγξακκηθά , λα δεηρζεί όηη : α. ηα δηαλύζκαηα 2x u v θαη 3y u v δελ είλαη ζπγγξακκηθά β. ηα δηαλύζκαηα 9 5x u v θαη 5 3 3 y u v είλαη ζπγγξακκηθά . 75) Σα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v , w είλαη κε ζπγγξακκηθά αλά δύν . Αλ / /(2 )v u w θαη / /( )w u v , λα δεηρζεί όηη / /( 2 )u w v . 76) Αλ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u , v , w είλαη κε ζπγγξακκηθά αλά δύν θαη / /( )u v w θαη / /( )v u w , λα δεηρζεί όηη / /( )w u v . 77) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , x , y γηα ηα νπνία ηζρύνπλ 2 4x y a θαη 4 2 2x y a . Λα απνδείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα x , y είλαη νκόξξνπα. 78) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , x , y γηα ηα νπνία ηζρύνπλ 1 2 2 x y a θαη 11 3 11 2 y a x . Λα απνδείμεηε όηη x y . 79) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , x , y γηα ηα νπνία ηζρύνπλ 2 14 21x a y θαη 3 5 6 4x y a . Λα απνδείμεηε όηη x y . 80) Έζησ δπν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα u , v θαη έλα δηάλπζκα w ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη ( ) / /( )w u u v θαη ( ) / /( 2 )w u u v . Λα δεηρζεί όηη 1 ( 4 ) 3 w u v . 81) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Γ , Δ ηέηνηα , ώζηε θαη . α. Λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ζέζε ησλ ζεκείσλ Β , Γ , Γ . β. Αλ Ε ην ζπκκεηξηθό ηνπ Γ σο πξνο ην κέζν Κ ηνπ ΑΒ , λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ζέζε ησλ ζεκείσλ Ε , Α , Δ . 82) Γίλνληαη ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ θαη Γ , Δ ηέηνηα , ώζηε θαη . Λα απνδείμεηε όηη ην Γ είλαη κέζν ηνπ . 83) Έζησ ηα δηαλύζκαηα a , . α. Λα θαηαζθεπάζεηε ηα δηαλύζκαηα 2a , a , 4 5a . β. Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ , Δ , Ε είλαη ζπλεπζεηαθά. 84) ην δηπιαλό ζρήκα λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά . 85) Αλ Ο , Α , Β , Γ είλαη ζεκεία ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα , ώζηε 10u , 5 v θαη 4 3u v , λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 86) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 3u v , 2u v θαη 3 5u v . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά .
- 10. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 8 - 87) Έζησ ηα δηαλύζκαηα u v w , 5 3 4u v w θαη 13 7 10u v w . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 88) Αλ 7 4 3 0 λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 89) Αλ 5 3 2 4 , λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 90) Αλ Α , Β , Γ είλαη ζεκεία ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα , ώζηε 3 4 0 λα δείμεηε όηη είλαη ζπλεπζεηαθά . 91) Αλ Α , Β , Γ είλαη ζεκεία ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα , ώζηε 2 3 0 λα δείμεηε όηη είλαη ζπλεπζεηαθά . 92) Γίλνληαη ηα ζεκεία Ο , Α , Β , Γ ηέηνηα , ώζηε 6 13 7 0 . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 93) Έζησ (2 ) 3 . Λα δείμεηε όηη γηα θάζε ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 94) Έζησ 2 ( 1) . Λα δείμεηε όηη γηα θάζε ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 95) Έζησ ζεκεία Α , Β , Γ γηα ηα νπνία ηζρύεη ε ζρέζε 2 (1 2 ) 3 2 , . Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία : Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά , αλ Ο ηπραίν ζεκείν αλαθνξάο . Λα εμεηαζζεί γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα ζεκεία είλαη δηαθεθξηκέλα . 96) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ θαη Ο έλα ζεκείν αλαθνξάο . Λα δεηρζεί ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά εάλ θαη κόλν εάλ ηζρύεη ε ζρέζε (1 ) , . 97) Γίλνληαη ηέζζεξα ζεκεία Ο , Α , Β , Γ ηέηνηα , ώζηε ηα Ο , Α , Β δελ είλαη ζπλεπζεηαθά . Λα δεηρζεί όηη αλ ηζρύεη ε ζρέζε ( 2) 3 ( 5) , ηόηε ηα Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 98) Έζησ ζεκεία Α , Β , Γ γηα ηα νπνία ηζρύεη 3 5u v , u v , 4u v , όπνπ Ο ηπραίν ζεκείν αλαθνξάο u , v κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα θαη , κε 3 . Αλ ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά , λα βξεζνύλ ηα , . 99) Γίλνληαη ηα ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ θαη Ο έλα ζεκείν αλαθνξάο . Αλ 0 θαη 0 , λα δεηρζεί όηη . 100) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα u , v , w θαη ηα 3 4x u v w , 2 5y u v w , 5 13 14z u v w . Λα απνδείμεηε όηη αλ ηα x , y , z έρνπλ θνηλή αξρή , ηόηε ηα πέξαηά ηνπο είλαη ζεκεία ζπλεπζεηαθά. 101) Θεσξνύκε επζεία x x , δπν δηαθνξεηηθά ζεκεία ηεο Α , Β θαη έλα ζεκείν Ο πνπ δελ αλήθεη ζηελ x x ώζηε λα ηζρύεη κε 1 . α. Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Γ αλήθεη ζηελ επζεία x x . β. Λα βξείηε ηηο ηηκέο ησλ , ώζηε ην ζεκείν Γ λα είλαη κεηαμύ ησλ Α θαη Β . 102) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ . ηηο πξνεθηάζεηο ησλ ΑΒ θαη ΑΓ πξνο ην κέξνο ησλ Β θαη Γ ζεσξνύκε ηα ζεκεία Κ θαη Λ κε ΒΚ = ΒΓ , ΓΛ = ΑΒ αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Κ , Λ , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 103) Έζησ ΑΒΓΓ παξαιιειόγξακκν θαη ηα ζεκεία Δ θαη Ε ηέηνηα , ώζηε 1 5 , 1 6 . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Δ , Ε , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά.
- 11. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 9 - 104) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Κ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ . Αλ 2u v , 7 28u v , 2 3u v λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Β , Γ , Κ είλαη ζπλεπζεηαθά. 105) Έζησ ΑΒΓ ηξίγσλν θαη Κ κέζν ηεο ΑΒ . ηε ΒΓ ζεσξνύκε ζεκείν Γ κε 3 θαη ζηελ ΑΓ ζεκείν Δ κε 3 5 . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Κ , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά θαη λα βξείηε ην ώζηε λα ηζρύεη . 106) ηελ πιεπξά ΓΓ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ παίξλνπκε ζεκείν Δ ηέηνην , ώζηε 1 4 . Αλ Θ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ηέηνην , ώζηε 2 4 5 5 , λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Δ , Θ , Β είλαη ζπλεπζεηαθά . 107) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ θαη Ε ηνπ επηπέδνπ ηνπ ώζηε 3 2 3 . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Δ , Ε , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 108) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Δ ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε 2 3 . Αλ Γ είλαη ζεκείν ηεο δηακέζνπ ΑΚ ηέηνην , ώζηε 3 , λα απνδείμεηε όηη ζεκεία Β , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά. 109) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Κ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε 3 . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ , Γ , Κ είλαη ζπλεπζεηαθά. 110) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε u v , 5 9u v θαη ζεκείν Ρ ηνπ επηπέδνπ κε 2 3u v . Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Ρ είλαη ζεκείν ηεο ΒΓ. 111) ηηο πιεπξέο γσλίαο xOy έρνπκε ηα ζεκεία Α ζηελ Ox θαη Β ζηελ Oy ώζηε u θαη v . Έζησ ζεκεία Γ θαη Γ ζηηο Ox θαη Oy ώζηε 3u θαη 3v . ηηο ΑΒ θαη ΓΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία Δ θαη Ε ώζηε 1 2 θαη 1 2 . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Ο , Ε , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά . 112) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηεο ΒΓ . Λα απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ κνλαδηθνί , ηέηνηνη , ώζηε κε 1 (1) θαη αληίζηξνθα , αλ ηζρύνπλ νη ζρέζεηο (1) λα απνδείμεηε όηη ην Κ είλαη ζεκείν ηεο ΒΓ . 85. Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Ο ζεκείν ηεο πιεπξάο ΒΓ κε , . Λα δείμεηε όηη 1 . 113) Θεσξνύκε παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Κ ζεκείν ηεο ΑΒ ηέηνην , ώζηε , * θαη Λ ζεκείν ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε , * . α. Λα εθθξάζεηε ηα , ζπλαξηήζεη ησλ , . β. Λα βξείηε ηελ ζρέζε κεηαμύ ησλ , ώζηε ηα ζεκεία Γ , Κ , Λ λα είλαη ζπλεπζεηαθά . 114) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΒΓ ε δηάκεζόο ηνπ . Αλ Δ ην κέζν ηεο ΒΓ θαη Ε ην ζεκείν ηνκήο ηεο ΑΔ κε ηε ΒΓ , λα δεηρζεί όηη 1 3 . 115) ηε δηαγώλην ΒΓ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ παίξλνπκε ζεκείν Δ ηέηνην , ώζηε 1 4 . Αλ ε ΓΔ ηέκλεη ηελ ΑΓ ζην Ε , λα δεηρζεί όηη 1 5 . 116) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ , Γ ην κέζν ηεο ΒΓ θαη ζεκείν Δ ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε 1 3 . Λα δείμεηε όηη 5 3(2 ) (4 ) 2 .
- 12. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 10 - 117) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Δ , Ε ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΒΓ θαη ΓΓ αληίζηνηρα . Λα απνδείμεηε όηη 3 2 . 118) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Δ , Ε ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΒΓ θαη ΓΓ αληίζηνηρα . Αλ Ρ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΑΔ θαη ΒΕ , λα απνδείμεηε όηη 4 5 θαη 2 5 . 119) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Δ ην κέζν ηεο ΑΒ θαη ζεκείν Ε ηέηνην , ώζηε 2 . Αλ Ο είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΑΓ θαη ΔΕ , λα απνδείμεηε όηη 2 . 120) ην παξαθάησ ζρήκα Δ είλαη ην κέζν ηεο δηακέζνπ ΒΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη Ε ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε 1 3 . Λα απνδείμεηε όηη 2 3 . 121) Σα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ είλαη ζηαζεξά θαη ην ζεκείν Κ κεηαβιεηό . Αλ ( ) 2 4f λα δεηρζεί όηη ( )f ζηαζεξό . 122) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ην ηπραίν ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ώζηε ( ) 2 3 5f . Λα δεηρζεί όηη ην δηάλπζκα ( )f λα είλαη ζηαζεξό . 123) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β θαη Γ . Λα απνδείμεηε όηη γηα νπνηνδήπνηε ζεκείν Κ ην δηάλπζκα 4 3 είλαη ζηαζεξό . 124) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β θαη Γ . Λα απνδείμεηε όηη γηα νπνηνδήπνηε ζεκείν Κ ην δηάλπζκα 2 είλαη ζηαζεξό . 125) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ θαη νη αξηζκνί , , . Αλ ( )f , λα βξεζεί ε ζρέζε κεηαμύ ησλ , , ώζηε ην δηάλπζκα ( )f λα είλαη ζηαζεξό . 126) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Λα βξείηε ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 0 . 127) Έζησ Α , Β , Γ , Γ ζεκεία ηνπ επηπέδνπ . Λα βξείηε ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ Ο ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη | | | | . 128) Έζησ ΑΒΓΓ ηεηξάγσλν . Λα βξείηε ζην επίπεδν ηνπ ηεηξαγώλνπ ζεκείν Ο ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 2 . 129) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 3 3 2 0 . 130) α. Λα βξείηε ζην επίπεδν ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ ζεκεία Κ θαη Ρ ηέηνηα , ώζηε λα ηζρύνπλ 3 0 θαη 2 2 3 0 . β. Λα απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΚΡ είλαη παξαιιειόγξακκν. 131) Λα βξείηε ζεκείν Ρ ηνπ επηπέδνπ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 2 3 0 . 132) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ θαη Ρ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνηα , ώζηε λα ηζρύεη 1 2 , 1 3 , 2 . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Ρ , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά . β. Λα πξνζδηνξίζεηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ώζηε λα ηζρύεη 2 3 0 .
- 13. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 11 - 133) Λα βξείηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 2 . 134) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ Ο ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη ( 1) , 0 . 135) Γίλνληαη νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί , κε 2 θαη ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία ηνπ επηπέδνπ Α , Β , Γ . Λα βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , ώζηε λα ηζρύεη ε ηζόηεηα 2 . 136) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην ώζηε (1 ) , 0 , 1 . Λα απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Κ είλαη επζεία πνπ πεξλά από ην Α θαη είλαη παξάιιειε ζην . 137) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ην δηάλπζκα 2u είλαη παξάιιειν πξνο ην . 138) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε 0 κε 2 . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ Κ . 139) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ κε πιεπξά 2a . α. Λα βξείηε ην ζεκείν Ο γηα ην νπνίν ηζρύεη 2 0 . β. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ γηα ηα νπνία ηζρύεη | 2 | 2a . 140) Έζησ Α , Β , Γ ζηαζεξά ζεκεία ηνπ επηπέδνπ. α. Λα πξνζδηνξίζεηε ζεκείν Ο ηέηνην ,ώζηε 2 3 0 . β. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ πνπ είλαη ηέηνηα , ώζηε | 2 3 | 4 | | . 141) Γίλεηαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ κε a . α. Λα βξείηε ην ζεκείν Ο γηα ην νπνίν ηζρύεη 4 . β. Λα απνδείμεηε όηη ην δηάλπζκα 2u είλαη ζηαζεξό . γ. Λα βξείηε ζεκείν Α΄ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη u . δ. Έπεηηα λα ππνινγίζεηε ηα κέηξα | | θαη | | ζπλαξηήζεη ηνπ a . ε. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ γηα ηα νπνία ηζρύεη | 2 | | 2 | . 142) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2a . α. Λα βξείηε ην ζεκείν Ρ γηα ην νπνίν ηζρύεη 2 2 γηα θάπνην ζεκείν Ο . β. Λα απνδείμεηε όηη γηα θάζε ζεκείν Κ ηζρύεη 2 2 . γ. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ γηα ηα νπνία ηζρύεη | 2 | | 2 | . 143) α. Γίλνληαη ηα ζεκεία Ο , Α , Β , Γ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 5 3 0 . Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά θαη όηη ην Β είλαη κεηαμύ ησλ Α θαη Γ . β. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα πξνζδηνξίζεηε ζεκείν Ρ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ώζηε λα ηζρύεη 2 4 . γ. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ πνπ είλαη ηέηνηα , ώζηε | 2 | | 2 | .
- 14. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 12 - §3. ςυντεταγμένεσ ςτο επίπεδο 144) Λα πξνζδηνξηζηνύλ νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί , ώζηε ην δηάλπζκα 2 2 , 3 3u λα είλαη ην κεδεληθό . 145) Λα πξνζδηνξηζηνύλ νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί x , y ώζηε ηα δηαλύζκαηα , 2a x x y θαη 2 , 4y λα είλαη ίζα . 3. Λα βξεζεί ην ώζηε : α. ην δηάλπζκα 2 81, 9u λα είλαη ην κεδεληθό. β. ηα δηαλύζκαηα 2 8 22 , 6 7u θαη 7 , 5 2v λα είλαη ίζα . 146) Λα βξεζεί ην ώζηε ην δηάλπζκα 2 5 6 , 2a λα είλαη ην κεδεληθό. 147) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 2 , 4a θαη 1, 3 . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ δηαλύζκαηνο 2 3a . 148) Γίλνληαη ηα ζεκεία 2 , 3 , 1, 1 , 1,1 . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ δηαλύζκαηνο u γηα ην νπνίν ηζρύεη ε ζρέζε 2 2 0u . 149) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1,1 , 2 , 1 , 3 , 4 . Λα βξεζνύλ ηα ζεκεία Θ , Ι ώζηε λα ηζρύεη 2 , 3 . 150) Γίλνληαη ηα ζεκεία 6 , 4 , 2 2 5 , 2 2 , 2 2 3 4 , 2 4 7 1 . Λα βξεζνύλ ηα , ώζηε . 151) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 2 θαη 3 , 8 . α. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Γ ώζηε λα είλαη 2 . β. Ση ζπκπεξαίλεηε γηα ηα ζεκεία Α θαη Γ . 152) Έζησ ην δηάλπζκα ( 1) 2 , (2 1) 1u x x x x , x . Λα βξεζεί ην x ώζηε λα είλαη 0u . 153) Γίλεηαη ην δηάλπζκα 2 4 , 2a , . Λα βξείηε ην ώζηε λα είλαη : α. 0a β. 0a θαη / /a x x γ. 0a θαη / /a y y . 154) Έζησ ηα ζεκεία 4 , 3 , 9 , 4 1 . Λα βξεζεί ν ώζηε ην δηάλπζκα λα είλαη παξάιιειν ζηνλ x x . 155) Έζησ ηα ζεκεία , 6 , 3 , 7 . Λα βξεζεί ν ώζηε ην δηάλπζκα λα είλαη παξάιιειν ζηνλ y y . 156) Έζησ ηα ζεκεία 3 4 , 6 1 , 2 5 , 5 8 . Λα βξεζνύλ ηα , ώζηε ην δηάλπζκα λα κελ είλαη παξάιιειν ζε θαλέλα από ηνπο άμνλεο . 157) Γίλνληαη νη θνξπθέο 2 , 3 , 4 , 1 , 0 , 5 ελόο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ θέληξνπ Ο θαη ηεο θνξπθήο Γ .
- 15. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 13 - 158) Έζησ ν θύθινο ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο κε θέληξν 3 , 2 θαη δηάκεηξν ΑΒ κε 1, 3 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ Β. 159) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε 1,1 , 2 , 0 θαη 2 , 3 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηεο δηακέζνπ θαζώο θαη ηνπ ζεκείνπ Γ γηα ην νπνίν ηζρύεη . 160) Σα κέζα ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη ηα ζεκεία 1, 2 , 3 , 5 θαη 2 , 4 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ . 161) Σα κέζα ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη ηα ζεκεία 1, 4 , 5 , 4 θαη 2 , 1 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ . 162) ε έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ νη ηεηκεκέλεο δπν ζεκείσλ Α θαη Β είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 2 ( 5 14) 7 0x x , ελώ νη ηεηαγκέλεο είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 2 ( 3 2) 5 0y y . Λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ , ώζηε ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ λα έρεη ζπληεηαγκέλεο 4 , 6 . 163) ε έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ νη ηεηκεκέλεο δπν ζεκείσλ Α θαη Β είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 2 ( 3 5) 10 0x x . Λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ , ώζηε ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ λα έρεη ηεηκεκέλε ίζε κε 1 2 . 164) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 1, 3u θαη 2 2 ,v . Λα βξεζεί ν ώζηε ηα u , v λα είλαη παξάιιεια . 165) Αλ 1, 4a , 5 , 2 , , 5u x y y , 4 3 , 5 6v x y y , λα βξεζνύλ ηα ,x y ώζηε / /a u θαη / / v . 166) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 2 , 1a , 2 , 3 2 , 2 , 4u , 1, 5v . Λα βξεζνύλ ηα , ώζηε ( ) / /a u θαη ( ) / /a v . 167) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 2 , 1u , 1, 3v θαη 2 1, 2w . Λα βξεζνύλ νη ζρέζεηο κεηαμύ ησλ , ώζηε : α. (2 3 ) / /12u v v β. ( 2 3 ) / / 5u v w v 168) Έζησ ηα ζεκεία 3 , 2 , 2 , , 5 , 3 θαη 4 , . Λα βξεζεί ν ώζηε / / . 169) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα ,u , 2 3 1, 2v θαη ,w . α. Λα βξεζνύλ ηα , ώζηε 0u v w . β. Λα δείμεηε όηη / / 0u w u w . 170) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 5 6 ,1u x y θαη 3( 3 ) , 2v x y z κε x y . Λα δείμεηε όηη 3 3 3 / / 3u v x y z xyz . 171) Έζησ δηαλύζκαηα 1, 2u θαη 3 , 4v . Λα βξεζνύλ ηα ζπγγξακκηθά πξνο ηα u , v δηαλύζκαηα πνπ λα έρνπλ άζξνηζκα 0 , 3w . 172) Λα αλαιπζεί ην 9 , 4u θαηά ηηο δηεπζύλζεηο ησλ 2 , 3v θαη 1, 2w .
- 16. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 14 - 173) Λα βξεζνύλ νη , ,x y z ώζηε 0xu y v z w όπνπ 1, 2u , 1, 2v θαη 3 , 4w . 174) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 2u i j , 3v i j . Λα δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα u , v δελ είλαη ζπγγξακκηθά . 175) Έζησ δηαλύζκαηα 1, 2u θαη 0 , 3v . Λα νξηζζνύλ ηα ζπγγξακκηθά πξνο ηα u , v δηαλύζκαηα πνπ έρνπλ δηαθνξά ίζε κε i . 176) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 1, 2u , 3 , 5v θαη 8 ,10w . Λα αλαιπζεί ην δηάλπζκα w ζε δπν ζπληζηώζεο παξάιιειεο ησλ u , v αληίζηνηρα . 177) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 3 , 2u , 2 ,1v θαη 7 , 4w . Λα απνδείμεηε όηη ην w εθθξάδεηαη θαηά κνλαδηθό ηξόπν σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ u θαη v . 178) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 1, 3u θαη 2 ,1v . Λα γξαθεί ην δηάλπζκα 4 ,16w ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ u , v . 179) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 1, 3u , 1, 2v θαη 1,1w . Λα εθθξάζεηε ην δηάλπζκα w σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ u θαη v . 180) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 3 , 4u , 2 ,1v θαη 3 , 2w . Λα αλαιύζεηε ην δηάλπζκα w ζε δπν ζπληζηώζεο παξάιιειεο πξνο ηα u θαη v . 181) Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία 1, 2 , 1,1 θαη 3 , 3 είλαη ζπλεπζεηαθά . 182) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 2 , 3u , 1, 2v θαη 1, 2w . Λα βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ ώζηε ην δηάλπζκα w λα εθθξάδεηαη σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ u θαη v . ε απηή ηελ πεξίπησζε λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ σο πξνο ηα u θαη v . 183) Γίλνληαη ηα ζεκεία 0 , 4 , , 2 θαη 2 , 2 . Λα βξεζεί ν ώζηε ηα ζεκεία Α , Β , Γ λα είλαη ζπλεπζεηαθά . 184) Γίλνληαη ηα ζεκεία 8 , 6 , 2 , 2 θαη 7 , 0 . α. Λα δείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . β. Λα βξεζνύλ ηα , ώζηε θαη . 185) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 1 , 3 , 3 θαη 2 , 2 . Λα βξεζεί ν ώζηε ηα ζεκεία Α , Β , Γ λα είλαη ζπλεπζεηαθά . 186) Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία ,a , , a θαη , a είλαη ζπλεπζεηαθά . 187) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 2 , , 3a , 2 , 3a θαη 4 , 7 . Λα βξείηε ην a ώζηε ηα κέζα ησλ δηαλπζκάησλ , θαη λα είλαη ζπλεπζεηαθά ζεκεία . 188) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ θαη Ο έλα ζεκείν αλαθνξάο . Λα δεηρζεί όηη αλ (1 ) , * , ηόηε ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 189) Έζησ ηα ζεκεία 0 , 1 , 2 , 3 , 1,1 , 2 , 7 , 3 ,11 . Λα δείμεηε όηη / / θαζώο θαη όηη ην Δ είλαη ζεκείν ηεο ΑΓ .
- 17. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 15 - 190) Έζησ ηα ζεκεία 2 , 5 , 6 , 1 , 3 ,1 θαη 5 , 1 . Λα δείμεηε όηη ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ αλήθεη ζηελ επζεία ΓΓ . 191) Έζησ ηα ζεκεία 0 , 2 , 3 , 1 , 5 , 3 . Λα βξεζεί ην Γ ώζηε ην ΑΒΓΓ λα είλαη παξαιιειόγξακκν . 192) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 5 , 2 ,1 , 1, 5 , 2 , 1 . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ είλαη θνξπθέο παξαιιειόγξακκνπ . β. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ παξαιιειόγξακκνπ . 193) Λα εμεηαζηεί αλ ην ηεηξάπιεπξν ΘΙΚΛ κε θνξπθέο ηα ζεκεία 2 , 3 , 4 , 1 , 0 , 5 θαη 2 , 9 είλαη παξαιιειόγξακκν . 194) Αλ 1, 6 , 2 ,1 , 4 , 4 είλαη ηξεηο από ηηο θνξπθέο ελόο παξαιιειόγξακκνπ ΑΒΓΓ λα βξεζνύλ ηα κήθε ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . 195) ην δηπιαλό ηεηξάπιεπξν έρσ 11, 2 , 6 , 10 , 6 , 5 θαη 1, 7 . Λα δεηρζεί όηη ην ΑΒΓΓ είλαη ηεηξάγσλν . 196) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ κε 1,1 , 1, 2 , 3 ,1 θαη , 1 είλαη ηξαπέδην . 197) Γίλεηαη ην ηζνζθειέο ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε βάζεηο ΑΒ θαη ΓΓ . Αλ 1, 2 , 2 , 3 θαη 5 , 0 , λα βξεζεί ε θνξπθή Γ . 198) Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία 4 , 6 , 5 , 3 , 4 , 1 , 0 , 3 είλαη θνξπθέο ηζνζθεινύο ηξαπεδίνπ . 199) Λα βξεζεί ην είδνο ηνπ ηεηξαπιεύξνπ πνπ έρεη θνξπθέο 0 , 7 , 6 , 9 , 4 , 3 θαη 2 ,1 . 200) Λα βξεζεί ην είδνο ηνπ ηεηξαπιεύξνπ πνπ έρεη θνξπθέο 1, 5 , 7 , 7 , 8 , 4 θαη 2 , 2 . 201) Λα ππνινγηζζεί ε απόζηαζε ησλ ζεκείσλ ,a a θαη ,a a , a . 202) Αλ 4 , 0 , 0 , 6 λα βξεζνύλ ηα ζεκεία ,x y ώζηε ην ΑΒΓ λα είλαη ηζόπιεπξν . 203) ην δηπιαλό ηξίγσλν ΑΒΓ έρσ 2 , 2 , 1, 5 θαη 1, 1 . Λα απνδείμεηε όηη ην ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο . 204) Λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν πνπ έρεη θνξπθέο ηα ζεκεία 3 ,1 , 0 , 2 θαη 1, 0 είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο . 205) Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία 2 , 3 , 6 , 7 θαη 7 , 5 είλαη θνξπθέο νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ.
- 18. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 16 - 206) Έζησ ηα ζεκεία 8 , 2 , 0 , 6 θαη 2 , 0 . Λα δεηρζεί όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ηζνζθειέο θαη λα βξεζεί ην κήθνο ηεο δηακέζνπ ΑΓ . 207) Έζησ ηα ζεκεία 2 , 3 , 1, 5 . Λα βξείηε ζεκείν Γ ηνπ άμνλα y y ώζηε ην ΑΒΓ ηξίγσλν λα είλαη ηζνζθειέο . 208) Έζησ ηα ζεκεία 1, 3 , 3 , 5 . Λα βξεζνύλ ζεκεία Γ , Γ ησλ αμόλσλ x x θαη y y αληίζηνηρα ώζηε ηα ηξίγσλα ΑΒΓ , ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειή κε θαη αληίζηνηρα . 209) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 ,1 θαη 1, 5 . Λα βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα x x ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειέο . 210) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 ,1 θαη 1, 5 . Λα βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα y y ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειέο . 211) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 2 θαη 1, 5 . Λα βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα x x ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη νξζνγώλην ζην Β . 212) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 2 θαη 1, 5 . Λα βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα y y ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη νξζνγώλην ζην Β . 213) Γίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 2 θαη 1, 0 . Λα βξεζεί ζεκείν Α ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη νξζνγώλην ( 0 90 ) θαη ηζνζθειέο . 214) Λα βξεζνύλ ηα , ώζηε ηα κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα 1, 3u , 2 , 3 4v θαη 4 1, 2 3w λα ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν . 215) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 1,x x , 2 1, 1x x θαη 1, 3 . Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ x . 216) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 0 , 2 , 7 , 3 θαη 8 , 2 , λα βξεζεί ην πεξίθεληξό ηνπ . 217) Ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη θνξπθέο 1, 3 θαη 1, 3 . Λα βξεζεί ε θνξπθή Α . 218) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1,1 , 3 , 3 θαη 3 ,1 . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ . β. Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ηνπ Κ από ην Β όπνπ ΑΚ δηάκεζνο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ . 219) Γίλνληαη ηα ζεκεία 8 , 2 , 0 , 5 θαη 2 , 6 . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ . β. Αλ Θ είλαη ην κέζν ηεο πιεπξάο ΑΓ , λα ππνινγίζεηε ην | | . 220) Γίλνληαη ηα ζεκεία 1, 2 θαη 3 , 0 . Λα βξείηε : α. ζεκείν Γ ηνπ άμνλα x x ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειέο κε βάζε ηελ πιεπξά ΑΒ , β. ηα κήθε ησλ δηακέζσλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ θέξνληαη πξνο ηηο ίζεο πιεπξέο . 221) Έζησ ηα ζεκεία 2 , 1 , 3 , 2 , 1, 4 θαη ,x y . Αλ ν ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο ηνπ δηαλύζκαηνο είλαη 2 3 , λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ Γ ώζηε ην ΑΒΓΓ λα είλαη ηξαπέδην . 222) Έζησ έλαο ξόκβνο ΑΒΓΓ κε πιεπξά 5 2 θαη θνξπθέο 3 ,1 , 11, 7 . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ . 223) Έζησ , 1x x , 2 ,1x x , 0x . Λα βξεζεί ην x ώζηε | | (1 5) 1x . 224) Γίλεηαη δηάλπζκα 1 2,a a a κε 1 2 1a a θαη 2 2 1 2 14a a . Λα βξεζεί ην | |a .
- 19. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 17 - 225) Λα βξεζεί δηάλπζκα u αλ έρεη ίδην κήθνο κε 4 , 3v θαη ηελ δηεύζπλζε ηνπ 1, 3w . 226) Λα δεηρζεί όηη ηα δηαλύζκαηα ,u , ,v έρνπλ ην ίδην κέηξν θαη είλαη θάζεηα. 227) ε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 0 90 ) είλαη 5 , 3 θαη 2 , 1 θαη 0 60 . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηεο πξνβνιήο ηεο θνξπθήο Α πάλσ ζηε ΒΓ . 228) Λα βξεζεί ζεκείν ηνπ επηπέδνπ πνπ ηζαπέρεη από ηα ζεκεία 0 , 4 , 2 , 2 θαζώο θαη από ηα ζεκεία , 1, 6 , 4 , 5 . 229) Λα βξεζεί ην ζεκείν Θ ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο ην νπνίν ηζαπέρεη από ηα ζεκεία 2 , 2 , 0 , 4 θαζώο θαη από ηα ζεκεία 1, 4 , 2 , 3 . 230) Οη θνξπθέο ελόο ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ είλαη ηα ζεκεία 2 , 3 , 1, 7 , 8 , 5 θαη 6 , 1 . Λα δεηρζεί όηη ηα ηκήκαηα πνπ ελώλνπλ ηα κέζα ησλ απέλαληη πιεπξώλ δηρνηνκνύληαη. 231) Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Θ , Ι , Κ , Λ ηα κέζα ησλ ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ θαη ΓΑ αληίζηνηρα . Λα δεηρζεί όηη ηα ηκήκαηα ΘΚ θαη ΙΛ δηρνηνκνύληαη. 232) Έζησ 2 ,1 , 3 , 2 , 0 , 7 . α. Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. β. Λα βξείηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ώζηε | | | | θαη | | 5 . 233) Σξίγσλν ΑΒΓ έρεη θνξπθέο ηα ζεκεία 1, 4 , 2 , 4 θαη 5 ,1 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ πξνβνιήο ηεο θνξπθήο Α , ζηελ απέλαληη πιεπξά . 234) Γίλεηαη νξζνγώλην ΑΒΓΓ θαη δεηείηαη ζεκείν Κ γηα ην νπνίν λα ηζρύεη . 235) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ. Λα δεηρζεί όηη ππάξρεη κνλαδηθό ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 2 3 0 . 236) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ην δηάλπζκα 2u είλαη παξάιιειν ζην δηάλπζκα . 237) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2 , 3 , 2 , 1 θαη 4 ,1 . Αλ Δ ζεκείν ηεο δηακέζνπ ΒΓ ηέηνην , ώζηε 1 2 , λα βξεζεί ζεκείν Ε ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε / / . 238) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε 2 , 2 , 1, 3 θαη 4 , 3 . Αλ Θ , Ι ζπκκεηξηθά ηνπ Α σο πξνο ην Β θαη Γ αληίζηνηρα , λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Θ , Γ , Ι είλαη ζπλεπζεηαθά . 239) Γίλεηαη ηα ζεκεία 2 , 5 θαη 1, 2 . Λα βξεζεί ην ζπκκεηξηθό Α΄ ηνπ Α σο πξνο θέληξν ζπκκεηξίαο ην Β θαη θαηόπηλ ην ζπκκεηξηθό Α΄΄ ηνπ Α΄ σο πξνο θέληξν ζπκκεηξίαο ην Α . 240) Αλ Δ ην κέζν ηεο δηακέζνπ ΒΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη Ε ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε 1 3 λα απνδείμεηε όηη 2 3 .
- 20. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 18 - 241) ην παξαθάησ ζρήκα δίλνληαη ηα ζεκεία 3 , 2 , 1, 0 θαη 0 , 4 . Έζησ Γ ζεκείν ηνκήο ηεο ΑΓ κε ηνλ άμνλα x x θαη Δ ην ζεκείν ηνκήο ηεο ΑΒ κε ηνλ άμνλα y y . α. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ Γ θαη Δ . β. Αλ Θ , Ι , Κ είλαη ηα κέζα ησλ ΟΑ , ΓΔ θαη ΒΓ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Θ , Ι , Κ είλαη ζπλεπζεηαθά. 242) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο ηα ζεκεία 1, 2 θαη 2 , 4 . Θεσξνύκε ηα ζεκεία Γ θαη 2 , 3 ηέηνηα , ώζηε λα ηζρύνπλ 2 θαη 3 . Λα βξείηε ηελ θνξπθή Α . 243) Έζησ ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) θαη ην ύςνο ηνπ ΑΓ . Αλ Κ είλαη ην κέζν ηνπ ΑΓ θαη Ρ ζεκείν ηεο ΑΒ ηέηνην , ώζηε 1 3 , λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ , Κ , Ρ είλαη ζπλεπζεηαθά . 244) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηεο ΒΓ ώζηε λα είλαη 2 . α. Λα απνδείμεηε όηη 1 2 3 3 . β. Αλ 1, 2 , 2 , 4 θαη 7 ,11 , λα βξείηε ην Κ θαζώο θαη ην κήθνο ηνπ ΑΚ . 245) Κε βάζε ηελ πιεπξά ΑΒ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ θαηαζθεπάδνπκε ζην εζσηεξηθό ηνπ ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΔ . Κε βάζε ηελ πιεπξά ηνπ ΒΓ θαηαζθεπάδνπκε εμσηεξηθά ην ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΒΓΕ. Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Γ , Δ , Ε είλαη ζπλεπζεηαθά . 246) Γίλεηαη νξζνγώλην ΑΒΓΓ θαη ζεκείν Ρ ηεο δηαγσλίνπ ηνπ ΒΓ . Αλ Δ είλαη ην ζπκκεηξηθό ηνπ Γ σο πξνο θέληξν ζπκκεηξίαο ην Ρ θαη Ε , Ζ νη πξνβνιέο ηνπ Δ ζηηο ΑΓ θαη ΑΒ αληίζηνηρα , λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Ρ , Ε , Ζ είλαη ζπλεπζεηαθά. 247) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , 4 θαη 6 , 2 . Αλ Κ είλαη ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε , 3 , όπνπ 0 λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Κ βξίζθεηαη κεηαμύ ησλ Β θαη Γ . §4. εςωτερικό γινόμενο διανυςμάτων 248) Λα βξεζεί ην εζσηεξηθό γηλόκελν a αλ | | 2a , | | 3 , ( , ) 6 a . 249) Λα βξείηε ην εζσηεξηθό γηλόκελν ησλ δηαλπζκάησλ a θαη όηαλ : α. | | 2a , | | 3 θαη 3 ( , ) 4 a β. 3 | | 3 a , | | 2 θαη 5 ( , ) 6 a 250) Λα βξεζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο 2 ( ) 3a a a a , αλ | | | | 2a θαη ( , ) 4 a . 251) Λα βξεζεί ην εζσηεξηθό γηλόκελν ( )a αλ | | 2a , | | 3 , ( , ) 6 a . 252) Αλ | | | |a λα δείμεηε όηη ( )( ) 0a a .
- 21. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 19 - 253) Αλ | | | | | |a a λα δείμεηε όηη | | | | 3a a . 254) Λα δείμεηε όηη 2 ( )( ) ( ) 2 ( )a a a a a . 255) Αλ a , , είλαη κνλαδηαία δηαλύζκαηα λα δείμεηε όηη | | | | | | | | | | | |a a a . 256) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη | | | |a a , λα δείμεηε όηη | | | |a a . 257) Αλ a λα δείμεηε όηη | | | | 1 | | | | a a a . 258) Λα βξείηε ηελ ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηα , ώζηε ηα δηαλύζκαηα ,u θαη ,v λα είλαη θάζεηα. 259) Λα βξεζεί ν ώζηε ηα δηαλύζκαηα 3 , 4 1a , 3 9 , 3 λα είλαη θάζεηα. 260) Λα βξεζεί ν ώζηε ηα δηαλύζκαηα 3 ,1a , , 2 λα είλαη θάζεηα. 261) Λα βξείηε ηα , ώζηε ηα δηαλύζκαηα 1 2 ,1a θαη 2 2 2 , 4 λα είλαη θάζεηα. 262) Αλ 1, 2a , 3 , 4 λα βξείηε ηνλ ώζηε ην a λα είλαη θάζεην ζην . 263) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 1, 3a , 1, 2 . Λα βξείηε ηνλ ώζηε ηα δηαλύζκαηα a θαη a λα είλαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο . 264) ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αλαθνξάο ( , , )i j ζεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα ( 1) 2a i j , 3 (3 1)i j . Λα βξείηε ηνλ ώζηε λα είλαη a . 265) Έζησ 2a i j , 2 3i j . Λα βξείηε ηνλ ώζηε λα είλαη ( )a a . 266) Αλ | | 1a , | | 2 , ( , )a = 3 λα βξείηε ηνλ ώζηε ( ) ( 4 )a a . 267) Αλ | | 2a , | | 3 , ( , )a = 3 , λα βξεζεί ην κέηξν ηνπ 3a . 268) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα : a , , είλαη | | | | | | 1a , ( , ) 6 a , 2 ( , ) 3 , θαη ( , ) 6 a , λα βξεζνύλ ηα κέηξα | 2 4 |a , | 2 |a . 269) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα , ώζηε | | 2a , | | 5 θαη 2 ( , ) 3 a . Λα βξείηε ην | 5 4 |a . 270) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , ηζρύνπλ | | 1a , | | 2 θαη ( , ) 3 a λα βξείηε ην κέηξν ηνπ 2a . 271) Αλ | | 1a , | | 2 , | | 3 θαη 0a λα βξεζεί ην a a . 272) Αλ | | 3a , | | 4 , | | 5 θαη 0a λα βξεζεί ην a a .
- 22. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 20 - 273) Αλ | | | | | | 2a θαη 8a , λα δείμεηε όηη a . 274) Αλ | | 1a , | | 2 , | | 5 , θαη 0a , λα δεηρζεί όηη 4a a . 275) Έζησ ηα δηαλύζκαηα a , , ηέηνηα , ώζηε | | | | | | 1a . α. Αλ 2a ηόηε a β. Λα εμεηάζεηε ηη ζπκβαίλεη αλ 2a . 276) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , ηζρύνπλ νη ζρέζεηο 2 ( , ) ( , ) ( , ) 3 a a θαη | | | | | | 1a , λα βξεζνύλ ηα | |a θαη a a . 277) Αλ | | 1a , | | 3 , | | 1 θαη 2 0a , λα απνδείμεηε όηη : α. 1a a β. 3a θαη a . 278) Αλ | | 2a , | | 3 , ( , ) 3 a , λα βξεζεί ην 3 ( )a a . 279) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , ηζρύεη 2 2 | | | | 2 ( )a a , λα απνδείμεηε όηη a . 280) Αλ | | 1a , ( , ) 3 a θαη | 3 2 | 13a , λα βξεζεί ην κέηξν ηνπ . 281) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη | | 1a , ( , ) 3 a θαη | 2 3 | 3a , λα βξεζεί ην | | 282) Έζησ a , δηαλύζκαηα πνπ ζρεκαηίδνπλ γσλία 3 θαη | | 3a . Αλ (3 )( 3 ) 15a a θαη | | | |a , λα βξεζεί ην| | . 283) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a θαη γηα ηα νπνία ηζρύεη a , ( ) ( 4 )a a θαη | | 2 5a . Λα απνδείμεηε όηη | | 4a , | | 2 . 284) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a θαη γηα ηα νπνία ηζρύεη a , (2 ) ( 2 )a a θαη | | 2a . Λα απνδείμεηε όηη | | | | 2a . 285) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a θαη γηα ηα νπνία ηζρύεη | 2 | 5a θαη | 2 | 1a κε ( 2 , 2 ) 3 a a . Λα ππνινγηζζνύλ ηα κέηξα | |a θαη | | . 286) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a θαη ώζηε | | 2a θαη | | 4a κε ( , ) 3 a a . Λα ππνινγηζζνύλ ηα κέηξα | |a θαη | | . 287) Λα βξεζεί ην δηάλπζκα a κε | | 6a αλ γλσξίδνπκε όηη ζρεκαηίδεη γσλία 3 κε ηνλ νξηδόληην άμνλα x x ζε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ( , , )i j . 288) Λα βξεζεί ην δηάλπζκα a κε | | 1a αλ γλσξίδνπκε όηη ζρεκαηίδεη κε ηα κνλαδηαία δηαλύζκαηα i θαη j ησλ αμόλσλ γσλίεο 30ν θαη 60ν αληίζηνηρα . 289) Αλ | | | | | |a a ( 0a ) θαη 2 2a a λα δείμεηε όηη ηα a , , είλαη ζπγγξακκηθά.
- 23. διανύσματα κεφάλαιο 1 290) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , ηζρύνπλ 0a θαη | | | | | | 2 3 5 a λα απνδείμεηε όηη a θαη . 291) Έζησ ηα δηαλύζκαηα a , γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 0a θαη 2 | | 4 | | | |a . Να δεηρζεί όηη : α. a β. 2 0a . 292) Αλ ηα a , , είλαη κνλαδηαία κε 6( , ) 3( , ) 4( , ) 2a a λα δείμεηε όηη 2 2 2 0 0a . 293) Γηα ηα δηαλύζκαηα a , λα δεηρζεί όηη | | | |a a a . 294) Αλ a θαη a , λα δείμεηε όηη a . 295) Αλ | | | |a a λα δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα 2u a θαη v είλαη θάζεηα. 296) Αλ γηα θάζε ηα δηαλύζκαηα u a θαη v a είλαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο θαη | | 1a , λα απνδείμεηε όηη : α. a β. | | 1 γ. | 3 4 | 5a 297) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a θαη είλαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο θαη έρνπλ ίζα κέηξα , λα απνδείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα 2u a θαη 2v a είλαη θάζεηα θαη έρνπλ ίζα κέηξα . 298) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a θαη είλαη | | | | 1 3 4 a θαη | | 5a , λα δεηρζεί όηη a . 299) Έζησ ηα δηαλύζκαηα ( 1, 2)a , (4 , 3) . Να βξείηε δηάλπζκα u ηέηνην , ώζηε 3a u θαη 1u . 300) Αλ (2 , 3)a θαη (8 ,1) λα βξεζνύλ δπν δηαλύζκαηα u , v ώζηε u v , u v θαη / /u a . 301) Αλ ( 2 , 1)a θαη (1, 3) , λα βξεζνύλ δπν δηαλύζκαηα u θαη v ηέηνηα , ώζηε a u v , / /v θαη a u . 302) Αλ ( 1, 2)a θαη (4 , 3) , λα βξεζεί δηάλπζκα u ηέηνην , ώζηε 3a u θαη / /u . 303) Αλ (3 , 3)a θαη ( 1, 4) , λα βξεζνύλ δπν δηαλύζκαηα u θαη v ηέηνηα , ώζηε a u v , / /u θαη a v . 304) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a θαη είλαη | | 1a , | | 4 θαη ( , ) 3 a , λα βξεζεί δηάλπζκα u ζπλαξηήζεη ησλ a , ώζηε / /u a θαη a u . 305) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a θαη είλαη | | 2a , | | 1 θαη 2 ( , ) 3 a , λα βξεζεί δηάλπζκα u ζπλαξηήζεη ησλ a , ώζηε / /u a θαη a u . 306) Γίλεηαη ηα δηάλπζκα (1,1)a . Να βξεζεί δηάλπζκα u ώζηε α. a u θαη | | | |a u . β. / /u a θαη 2 | | | |a u .
- 24. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 22 - 307) Αλ a u v , / /u θαη v , 0 λα γξαθνύλ ηα δηαλύζκαηα u , v ζπλαξηήζεη ησλ a , . 308) Γίλεηαη όηη ην δηάλπζκα a έρεη ζπληεηαγκέλεο (17 , 7) θαη ην δηάλπζκα a έρεη ζπληεηαγκέλεο ( 13 ,13) . Να απνδείμεηε όηη a . 309) Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα a , , ηέηνηα , ώζηε ( ) / /a , ( )a θαη ( , ) 4 . Να απνδείμεηε όηη a . 310) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , ηέηνηα , ώζηε | | | | 1a , ( , ) 3 a θαη ηα δηαλύζκαηα u a , v a , όπνπ , . Να βξείηε ηα , ώζηε λα είλαη u v θαη | | 2u v . 311) Αλ | | 1a θαη 1a a λα δεηρζεί όηη a ή a ή ( ) ( )a a . 312) Έζησ 2 2 2 2 1 , 1 1 a , 2 2 2 1 2 , 1 1 κε , , 1 . Να δείμεηε όηη | | | | 1a θαη a . 313) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , u , v κε 0v ώζηε λα ηζρύνπλ 2 | | u v a v v θαη 2 | | u v v u v . Να απνδείμεηε όηη : α. a β. Αλ u v ηόηε 0 . 314) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a , , θαη έζησ ( ) ( )u a a θαη 2 | | a v a a . Να απνδείμεηε όηη u a θαη v a . 315) Γίλνληαη ηα παξάιιεια δηαλύζκαηα a θαη . Να απνδείμεηε όηη : α. 2 2 2 ( )a a β. 2 2 2 2 ( ) ( )a a a a 316) Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά θαη κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα a θαη . Να απνδείμεηε όηη αλ γηα ηα δηαλύζκαηα u , v ηα νπνία είλαη ζπλεπίπεδα κε ηα a , ηζρύνπλ νη ηζόηεηεο a u a v θαη u v ηόηε u v . 317) Αλ ηα δηαλύζκαηα a , , , u ηνπ επηπέδνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ ζρέζε ( )a u u : α. Να δεηρζεί όηη ( 1)( )a a u a . β. Αλ 1a , λα εθθξαζηεί ην u ζπλαξηήζεη ησλ a , , . 318) Αλ 1 0a λα βξεζεί ην δηάλπζκα u , ζπλαξηήζεη ησλ a , , από ηελ ηζόηεηα ( )u u a . 319) Έζησ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα a θαη . Να απνδείμεηε όηη 2 2 2 4 ( ) 4 0a a γηα θάζε . Πόηε ηζρύεη ε ηζόηεηα ; 320) α. Γηα νπνηαδήπνηε δηαλύζκαηα a θαη , λα απνδείμεηε όηη | | | | | |a a . Πόηε ηζρύεη ε ηζόηεηα ; β. Γίλεηαη ε παξάζηαζε 6 8x y κε 2 2 25x y . Να βξείηε ηελ ειάρηζηε θαη ηελ κέγηζηε ηηκή ηεο παξάζηαζεο Α . γ. Γίλεηαη ε παξάζηαζε 3 4x y κε 2 2 16x y . Να βξείηε ηελ ειάρηζηε θαη ηελ κέγηζηε ηηκή ηεο παξάζηαζεο Β .
- 25. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 23 - 321) Να βξείηε ηελ κέγηζηε ηηκή ηεο ( )f x x x , 0 ,x . 322) Αλ | | | | | | 1a θαη a , λα βξεζεί ε ηηκή ηνπ ώζηε ην | | λα γίλεη ειάρηζην . Γηα ηελ ηηκή απηή λα δεηρζεί όηη απνδείμεηε όηη a . 323) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , , u , v ηζρύνπλ νη ζρέζεηο | | 2a , | | | |u u v a , | | | |v u v , λα δεηρζεί όηη 4 a v u a . 324) Να ιπζεί σο πξνο u θαη v ην ζύζηεκα : 2 ( 1) ( 2) u v a u v . 325) Αλ είλαη ε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ a , θαη ηζρύεη | | | |a a λα απνδείμεηε όηη 0 2 . 326) Έζησ ηα δηαλύζκαηα ( 3 1, 3 1)a θαη (1, 1) . Να βξείηε ηελ γσλία ( , )a . 327) Να βξείηε ην εζσηεξηθό γηλόκελν ησλ δηαλπζκάησλ a θαη , θαζώο θαη ηελ γσλία ηνπο , όηαλ : α. ( 5 , 3)a θαη (6 ,10) . β. (2 , 3)a θαη 5 3 ( , ) 2 2 . 328) ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ( , , )i j δίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 3 1 ( , ) 2 2 a θαη (3 , 4) . Να βξείηε : α. Γηάλπζκα κε | | 1 πνπ λα είλαη ζπγγξακκηθό ηνπ . β. Σελ γσλία ( , )j a . 329) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , ηζρύεη | | | | 1a θαη ( ) ( 2 )a a λα βξεζεί ε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ a , . 330) Έζησ ηα a , κε | | | | 1a θαη 3 2u a , 7 8v a . Να βξεζεί ε γσλία ( , )a , αλ u v . 331) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη | | 2a , | | 1 θαη (3 5 ) (2 )a a λα ππνινγίζεηε ηελ γσλία ( , )a . 332) Έζησ ηα a , κε | | | | 1a . Να βξείηε ηελ γσλία ( , )a εάλ ( 2 ) (5 4 )a a . 333) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη | | 5a , | | 3 , θαη ( , ) 3 a , λα ππνινγίζεηε ηελ γσλία ( , )a a . 334) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη | | | | 1a θαη ( , ) 4 a a , λα δεηρζεί όηη ( , ) 2 a . 335) Έζησ ηα a , κε | | | | 1a θαη ( , ) 3 a a . Να βξείηε ηελ γσλία ( , )a . 336) Έζησ ηα a , ( a ) κε | | | |a θαη ( , ) 3 a a . Να βξείηε ηελ γσλία ( , )a . 337) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a , είλαη | | 2a , | | 1 , θαη 2 ( , ) 3 a , λα ππνινγηζζνύλ νη γσλίεο ( , 2 )a a , ( 2 , )a a .