1. Τετράδιο Επανάληψης
Άλγεβρας
Α΄ Λυκείου
Σύμφωνα με το νέο σχολικό βιβλίο 2011 – 12
Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης
Συνοπτική Θεωρία – τυπολόγιο
Ασκήσεις
Θέματα Εξετάσεων
Θέματα ΟΕΦΕ 2006 – 2011
Αθήνα 2011 – 12

2. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e – mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 2

3. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e – mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 3
Αριθμητική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδος
ν 1 νω α α  ν 1
ν
α
λ
α


 ν 1α α ν 1 ω   ν 1
ν 1α α λ 
 
2β α γ  ή
α γ
β
2

 (αριθμητικός μέσος)
2
β αγ ή
β αγ (γεωμετρικός μέσος)
(α΄ μορφή: ορισμός) v 1 2 νS α α ... α   
 v 1 ν
ν
S α α
2
 
(β΄ μορφή: δίνεται ο τελευταίος όρος)
 v 1
ν
S 2α ν 1 ω
2
    
(γ΄ μορφή: δεν δίνεται ο τελευταίο όρος)
(α΄ μορφή: Ορισμός)
v 1 2 νS α α ... α   
(β΄ μορφή)
 ν
1
v
α λ 1
S , λ 1
λ 1

 

(γ΄ μορφή) v 1S να , λ 1 
Γενικότερα έχουμε πέντε μεγέθη,  1 ν να ,α ,ν,S ,ω ή λ , η άσκηση θα μας δίνει τα τρία από αυτά
και θα αναζητούμε τα άλλα δύο. Άρα προκύπτουν
5
10
3
 
 
 
διαφορετικές ασκήσεις

4. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e – mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 4
(A) Τυπολόγιο Πιθανοτήτων – Εκφράσεις ενδεχομένων Διαγράμματα Venn
Ονομασία Συμβολισμός Ερμηνεία Διάγραμμα Venn Πιθανότητα
Δειγματικός
χώρος
Ω
Πραγματοποιείται
πάντα
 P 1 
Ενδεχόμενο Α
Πραγματοποιείται
πάντα
 
 
 
0 1
 
    
 
Αδύνατο
ενδεχόμενο

Δεν
πραγματοποιείται
ποτέ
  0  
Αντίθετο
του Α
Α΄
Πραγματοποιείται
όταν δεν
πραγματοποιείται
το Α
   1     
Α ένωση Β A B
Πραγματοποιείται
ένα τουλάχιστον
από τα Α, Β
                
Α τομή Β A B
Πραγματοποιούνται
συγχρόνως τα Α, Β
                
διαφορά του
Β από το Α A B A B  
Πραγματοποιείται
μόνο το Α (και όχι
το Β)
              
διαφορά του
Α από το Β B A B A  
Πραγματοποιείται
μόνο το Β (και όχι
το Α)
              
Α
υποσύνολο
του Β
A B
Η πραγματοποίηση
του Α συνεπάγεται
την
πραγματοποίηση
του Β
       

5. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e – mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 5
(Α) ΜΕΡΟΣ
Ερωτήσεις Θεωρία από διάφορα θέματα εξετάσεων
Σημείωση: Προφανώς λείπουν τα θέματα των προόδων και Πιθανοτήτων, αφού είναι νέα κεφάλαια και
δεν είχαν εξεταστεί στα διάφορα σχολεία της χώρα μας, αντίθετα υπήρχαν αρκετά θέματα με γραμμικά
συστήματα που τώρα απουσιάζουν από την ύλη και το φυλλάδιό μας.
ΘΕΜΑ 1ο
i. Αν θ >0, να δείξετε ότι x< θ ⇔ -θ < x < θ
ii. α. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται άρτια;
β. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του
πεδίου ορισμού της ;
iii. Οι ευθείες ε1 : y = (λ−3)x + 5, ε2 : y = 4λx−1 είναι παράλληλες, όταν το λ
είναι:
α) 3 β) 2 γ) -1 δ) 0
ΘΕΜΑ 2ο
i. Να συμπληρώσετε τους τύπους : Δ =…….. x 1 , x2 =…….. όπου x1 ,x2
είναι ρίζες της εξίσωσης : αx2
+βx+γ = 0 ,α  0 και κατόπιν να
συμπληρώσετε τις προτάσεις :
α) Αν Δ 0 , τότε οι ρίζες ………………
β) Αν Δ = 0 , τότε οι ρίζες ……………
ii. Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ)
α) Η εξίσωση αx = β είναι αόριστη (ταυτότητα) , όταν α = 0 και β ≠ 0.
β) Αν λ1 = λ2 ,τότε οι ευθείες y = λ1x + β1 και y = λ2x + β2 είναι παράλληλες.
γ) Αν S και P το άθροισμα και το γινόμενο δυο αριθμών , τότε η εξίσωση που
έχει ρίζες αυτούς τους δυο αριθμούς είναι η : x2
+ Sx + P = 0.
δ) Εάν α < β και γ < δ , τότε αγ < βδ
ΘΕΜΑ 3ο
i. Να δοθεί ο ορισμός της απόλυτης τιμής ενός θετικού αριθμού α
ii. Αν θ > 0 τότε να αποδείξετε ότι: x <θ ⇔ - θ < x < θ
iii. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:
α) x =α ⇔ …………….
β) Έστω τα σημεία Α(x, y) και Β(x, y ). Η απόσταση του Α από το Β
δίνεται από τον τύπο : d (ΑΒ) = ………………….
γ) Έστω f(x) = αx2
+ βx + γ, με α ≠ 0. Αν x1 , x2 είναι οι ρίζες του
τριωνύμου τότε η f(x) γίνεται γινόμενο παραγόντων σύμφωνα με τον τύπο :
f(x) = ………….

6. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e – mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 6
ΘΕΜΑ 4ο
i. Να αποδείξετε ότι : αβ α β 
ii. Τι λέγεται απόσταση δύο αριθμών α και β;
iii. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ)
α) Ισχύει : ν μ νμ
α β α β  
β) Ισχύει : α β α β  
γ) Οι ευθείες ε1 : ψ = 3λx +2 και ε2 : ψ =
1
3
λx + 2 είναι παράλληλες
δ) Αν x ∈ R , τότε 2
x x για κάθε x πραγματικό αριθμό.
ΘΕΜΑ 5ο
i. Αν οι ρίζες της εξίσωσης , x2
+ βx + γ =0 με α ≠ 0 είναι οι ρ1 και ρ2
δείξετε ότι : S = 1 2
β
ρ ρ
α

  και Ρ = 1 2
γ
ρ ρ
α
  (τύποι Vieta )
ii. Να χαρακτηρίσετε με Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τις παρακάτω προτάσεις:
1) Η εξίσωση α x = β έχει μοναδική λύση όταν α ≠ 0
2) Όταν α ≥ 0, τότε η α παριστάνει τη λύση της εξίσωσης x2
= α
3) Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει: – ⎢ α ⎢ ≤ α ≤ ⎢ α ⎢
ΘEMA 6ο
Δίνεται η εξίσωση αx2
+ βx + γ = 0 , (1) όπου α ≠ 0.
α. Να γράψετε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης (1) και ποια συνθήκη πρέπει να
ικανοποιεί η Δ , ώστε να έχει πραγματικές ρίζες (χωρίς απόδειξη );
β. Αν η εξίσωση (1) έχει πραγματικές ρίζες, τότε να γράψετε τους τύπους των
ριζών της σε σχέση με τα α, β, γ (χωρίς απόδειξη)
γ. Αν η εξίσωση (1) έχει πραγματικές ρίζες ίσες τότε να γράψετε τους τύπους
των ριζών της σε σχέση με τα α, β ( χωρίς απόδειξη )
ΘΕΜΑ 7ο
i. Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς :
α) Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης
β) Πότε μια συνάρτηση λέγεται άρτια και πότε περιττή ;
γ) Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως
φθίνουσα ;
δ) Πότε η τιμή f(x0) λέγεται μέγιστο της συνάρτησης f ;

7. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e – mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 7
ii. Τι ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α;
iii. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α;
iv. Τι ονομάζουμε ν-οστή ρίζα του θετικού αριθμού α;
ΘΕΜΑ 8ο
i. Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ιδιότητες των απολύτων τιμών:
α) 2
α  ……
β) x θ  ……..
γ) x θ  ………
ii. Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) τις επόμενες προτάσεις :
α) ν ν να β α β  
β) Αν α 0 ,τότε:  
ν
ν
α α
γ) Αν α,β 0 , τότε: νν να β α β 
δ) 2
α α
ΘΕΜΑ 9ο
Α. Να δείξετε ότι α β α β   για κάθε α, β ∈R.
Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ)
α) Αν x, ψ ≥ 0 τότε x ψ x ψ  
β) Για κάθε x ∈R ισχύει :  
2
x x 
γ) Γι α κάθε x, y ∈ R ισχύει : 2 2
x y 2 x y   
δ) Αν x + y < y τότε x < 0
ε) Η εξίσωση 0·x = 0 είναι αδύνατη στους πραγματικούς αριθμούς.
ΘΕΜΑ 10ο
i. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής του πραγματικού αριθμού α.
ii. Να αποδείξετε ότι: αν θ > 0, |x| < θ ⇔ − θ < x < θ.
Να γράψετε αν είναι σωστοί (Σ) ή λάθος (Λ), οι παρακάτω ισχυρισμοί:
α. |α + β| = |α| + |β| , ∀α, β∈R.
β. |x| 2
= x 2
, ∀ x ∈R
γ. |x +1| +3 =0 είναι αδύνατη , ∀ x ∈R
δ. Αν |α| + |β| = 0 , τότε : α = 0 ή β = 0
ε. |x| > − 2 , ∀ x ∈R
ΘΕΜΑ 11ο
α) Να αποδείξετε ότι για κάθε α , β ∈ R ισχύει|x| ≤ θ ⇔ −θ ≤ x ≤ θ Μονάδες 13
β. Έστω x1 και x2 οι ρίζες της εξίσωσης αx2
+ βx + γ = 0, α ≠ 0.
Να αποδείξετε ότι:

8. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e – mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 8
i) x1 + x2 = −
β
α
ii) x1 ∙ x2 =
γ
α
Μονάδες 12
Θέμα 14ο
(ΟΕΦΕ 2007/ Θ. 1)
Α. Να δοθεί ο ορισμός της απόλυτης τιμής. Μονάδες 5
Β. Να αποδείξετε ότι: |α ∙ β| = |α| ∙ |β| Μονάδες 6
Γ. Να συμπληρωθούν στο τετράδιο σας τα κενά στους τύπους:
1. αν θ > 0 και |x| ≤ θ ⇔……………………………….
2. αν | 𝑥| = α ⇔ ή Μονάδες 4
Δ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σημειώνοντας στο τετράδιό σας το
αντίστοιχο γράμμα Σ (σωστό) ή Λ (λάθος).
1. αν α ≥ 0 και β ≥ 0 τότε √α + β = √α + √β
2. ο αριθμός –x είναι αρνητικός για κάθε 𝑥 ∈ 𝑅
3. αν d(x, 2) < 5 ⇔ −3 < x < 7
4. √α2 = α για κάθε α ∈ R
5. αν α < 1 < β τότε (1-α)(1-β)(α-β)β > 0 Μονάδες 10
Θέμα 15ο
(ΟΕΦΕ 2008/ Θ.1)
Α. Έστω x1 και x2 οι ρίζες της εξίσωσης 𝛼𝑥2
+ 𝛽𝑥 + 𝛾 = 0, 𝛼 ≠ 0. Να αποδείξετε
ότι:
i. 𝑥1 + 𝑥2 = −
𝛽
𝛼
ii. 𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝛾
𝛼
Β. Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε την σωστή απάντηση:
i. Οι 𝜀1: 𝑦 = 2𝑥 + 5 𝜅𝛼𝜄 𝜀2: 𝑦 = 𝜆𝑥 + 2008 είναι παράλληλες αν:
α. λ=5
β. λ=2008
γ. 𝜆 = −
1
2
δ. λ=2
ii. Αν η εξίσωση 𝑥2
− 5𝑥 + 𝜅 = 0 έχει ρίζα το 2 τότε:
α. κ=6
β. κ=0
γ. 𝜅 = √2
δ. κ=-6
Γ. Να σημειώσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λανθασμένες
(Λ):
i. Αν 𝑥 ≥ 0 𝜏ό𝜏𝜀 | 𝑥| = 𝑥
ii. Η εξίσωση 𝑥2
+ 𝛼𝑥 − 1 = 0 έχει πραγματικές ρίζες για κάθε 𝛼 ∈ 𝐼𝑅
iii. √𝑎2 = (√ 𝑎)2
, για κάθε 𝛼 ∈ 𝑅
iv. √ 𝑎 − √𝛽 = √𝛼 − 𝛽, 𝛾𝜄𝛼 𝜅ά𝜃𝜀 𝛼 > 𝛽 > 0
v. 𝑥𝑦 = 𝑥2
⇔ 𝑥 = 𝑦, 𝛾𝜄𝛼 𝜅ά𝜃𝜀 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 Μονάδες 10

9. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e – mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 9
Θέμα 16ο
(ΟΕΦΕ 2009/ Θ.1)
Α. Να γράψετε τον ορισμό της συνάρτησης από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β.
Μονάδες 5
Β. Αν α, β ≥ 0, να αποδείξετε ότι: √α
ν
∙ √β
ν
= √α ∙ βν
Μονάδες 10
Γ. Να σημειώσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λανθασμένες
(Λ).
α) Για κάθε α, β ∈ R ισχύει : |α + β| = |α| + |β|.
β) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f τέμνει κάθε κατακόρυφη ευθεία σε ένα
το πολύ σημείο.
γ) Αν στην εξίσωση αx2
+ βx + γ = 0, α ≠ 0, ισχύει α ∙ γ < 0 τότε η εξίσωση έχει
δύο ρίζες άνισες.
δ) Αν γ ≠ 0, τότε α > β ⇔ αγ > βγ. Μονάδες 10
Θέμα 17ο
(ΟΕΦΕ 2010/ Θ.1)
Α. Αν θ>0 να αποδείξετε ότι |x| < θ ⇔ −θ < x < θ. Μονάδες 10
Β. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων δίνονται τα σημεία Α(x1, y1) και Β(x2, y2).
Να γράψετε τον τύπο, με τον οποίο υπολογίζεται η απόσταση ΑΒ.
Μονάδες 5
Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας
δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό αν η πρόταση
είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν α, β ∈ R, τότε ισχύει: |α − β| = |β − α|.
β) Αν α ∙ γ < 0, τότε το τριώνυμο αx2
+ βx + γ παίρνει τη μορφή
αx2
+ βx + γ = α(x − x1)(x − x2), όπου x1, x2 οι ρίζες του τριωνύμου.
γ) Ισχύει πάντοτε √ανν
= α, όπου ν θετικός ακέραιος και α ∈ R.
δ) Αν α ∙ β > 0, τότε πάντοτε ισχύει: √𝛼𝛽 = √ 𝛼√𝛽.
ε) Αν x>0, τότε
√𝑥2
𝑥
= 1 Μονάδες 10
Θέμα 18ο
(3ο Γενικό Λύκειο Νέας Ιωνίας)
Α. Αν θ > 0 και x πραγματικός αριθμός να δείξετε ότι:
|x| < θ  – θ < x < θ
Β. Να δώσετε τον ορισμό της απολύτου τιμής ενός πραγματικού αριθμού α.
Γ. Να γράψετε στην κόλλα σας ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και
ποιες είναι λάθος σημειώνοντας με Σ κάθε σωστή και με Λ κάθε λανθασμένη
πρόταση.
α. Για κάθε x  R ισχύει: |x – |x|| = |x| – x
β. Για κάθε α, β < 0 ισχύει: α β α β    
γ. Για κάθε α, β  R ισχύει: | α + β | = |α| + |β|
δ. Η εξίσωση xν
= α με α < 0 και ν άρτιο έχει ακριβώς δύο λύσεις τις ν
α και ν
α
ε. Αν x1, x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx2
+ βx + γ = 0 με α ≠ 0, τότε η εξίσωση
μετασχηματίζεται στην x2
– Sx + P = 0 όπου S = x1 + x2 και Ρ = x1x2.

10. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 10
(Β) ΜΕΡΟΣ
Θέματα Επαναληπτικά
1. Συμπληρώστε τα κενά:
i. d(x,y) .......
ii. d( 3,5) ....... 
iii. | x | ....... x θ θ 0    
iv. | x | 0 x .......  
v. | x | 5  είναι ……….
vi. | x 1| 1   είναι ……….
vii. 2 | x | 3|1 6x |   είναι
…………………………
viii. | x y |....| x | | y | 
ix. | x | | y | .... .....  
x. | x | | y | 0 x y ......    
xi. | x | | y | ...... 
xii. 2
| x | .......
xiii.
α β
.... ....
2 2
  
 
xiv. 2
α β ..... .....   για κάθε πραγματικό αριθμό α, β > 0.
2. Σωστό ή Λάθος; Δικαιολογήστε την απάντησή σας:
i. d(x,y) d(y,x)
ii. | x y | | y x |  
iii. | x | | x | 
iv. | 2x | 2 | x |
v. 0x 1  αδύνατη
vi. 0x 2  αόριστη
vii. 2 2
x y 0  για κάθε χ, y∈ℛ
viii. 0x 0 αδύνατη
ix. | x | 0
x. | x | x
xi. αν α < β τότε -3α > -3β
xii. 0x > -5 είναι αδύνατη
xiii. 2
α α για κάθε πραγματικό αριθμό αℛ
3. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:
i. | 2x 1| 5 
ii. | 2x 1| 5  
iii. |1 x | | x | 
iv. 2 |1 x | | x |  
v. 2 |1 x | 3| x |  
vi. 2 |1 x | 3| x | 0  
vii.
| x | 4 | x | 4 2
3 5 3
 
 
viii.
| x 1| 4 5 |1 x |
2 3 3
  
 
ix.
| x 2 | | 2 x | 3
1
2 4
  
 

11. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 11
x.
2 | 3 x | 5 2 | x 3| 1 | x 3| 2
2 6 3 2
     
  
xi.
| x 2 | 4 3| 2 x | | x 2 | 4
2
3 15 5
    
  
4. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις:
i. | x 1| 4 
ii. | x 1| 4 
iii. | x 1| 4  
iv. | x 1| 4  
v. 1 | 2x 5| 3  
vi.
| x 1| 4 5 |1 x | 1
2 3 6
   
 
vii.
| x 2 | 1 | x 2 | 1 | x 2 |
1
2 3 3
    
  
5. Αν – 1 < x < y < 1 τότε να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:
i. A |1 x | | y 1| 3| x y |      2y 4x 5  
ii. A=| 2 x y | 
iii. A=3 3| 2 x | 
iv. A= 2 2
x 2xy y  - 1
v. 2 2
A x 2x 1 | x 1|    
6. Αν x < 3 < y να βρείτε το πρόσημο της παράστασης:
Α= -2(3 – x)(y - 3)(3x -7)(5 – 2y)
7. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις:
i.
128
A 32 4 75 192
4
   
ii.
2 2
x x 2x 1
A
x x 1
 
 

με 0 < x < 1
iii. Α= 4 3
1000 50 8
8. Δίνονται τα σημεία Α(-1,2), Β(-1,-1) και Γ(2,-1)
i. Βρείτε τις αποστάσεις των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ
ii. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές

12. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 12
iii. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο
iv. Αν (ε): y 2x 3  , βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α και είναι
παράλληλη στην ευθεία (ε)
v. Ποια από τις παρακάτω ευθείες είναι κάθετες στην ευθεία (ε).
α) x 2y 1  β) y 2x  γ)
y x
1
2 3
 
9. Δίνονται οι ευθείες 1(ε ) : y λx 5  και 2(ε ) : y (5 4λ)x 2  
i. Βρείτε το λ αν οι ευθείες είναι παράλληλες
ii. Βρείτε το λ αν οι ευθείες είναι κάθετες
iii. Για την τιμή του λ που βρήκατε από το β σκέλος με |λ| < 1, βρείτε το σημείο
τομής των δύο ευθειών
10. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 1α 3 και ω=7.
α. Να βρείτε το πλήθος των ν πρώτων όρων της προόδου που δίνουν άθροισμα ίσο με 679.
β. Ποιος θα είναι ο τελευταίος όρος να σ’ αυτή την περίπτωση;
11. Σε έναν ουρανοξύστη 17 ορόφων , τα γραφεία του ίδιου ορόφου έχουν το ίδιο ενοίκιο. Κάθε
γραφείο του πρώτου ορόφου ενοικιάζεται 5500 € το μήνα. Κάθε γραφείο ενός ορόφου ενοικιάζεται 350
€ το μήνα ακριβότερα από ένα γραφείο του προηγουμένου ορόφου.
α. Ποιο είναι το μηνιαίο ενοίκιο ενός γραφείου του πέμπτου ορόφου;
β. Πόσο ακριβότερο είναι ένα γραφείο του 15ου ορόφου από ένα του 7ου ορόφου;
γ. Σε ποιους ορόφους το ενοίκιο ξεπερνά τις 10000 € το μήνα;
δ. Αν το πλήθος των γραφείων ενός ορόφου είναι μικρότερο κατά 2 από το πλήθος των γραφείων του
αμέσως προηγουμένου ορόφου και ο 17ος όροφος έχει 12 γραφεία, πόσα γραφεία έχει ο πρώτος
όροφος;
12. α) Ποιο είναι το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου –1,2, –4, 8,…;
β) Πόσους διαδοχικούς όρους πρέπει να προσθέσουμε , για να πάρουμε άθροισμα 85;
13. Δίνεται το σημείο Α(3,1), να βρείτε το συμμετρικό του σημείο ως προς:
i. Τον άξονα x΄x
ii. Τον άξονα yy΄
iii. Την διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας χΟy

13. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 13
iv. Αν το συμμετρικό του σημείο ως προς τον άξονα x΄x είναι το Α΄(1 – κ , 2λ – 3)
βρείτε τα κ ,λ =;
14. Να βρείτε τέσσερις ακέραιους αριθμούς για τους οποίους ισχύουν τα εξής:
a. οι τρεις πρώτοι είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου
b. οι τρεις τελευταίοι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
c. το άθροισμα των άκρων όρων είναι 14 και των μέσων 12.
15. Βρείτε τον δειγματικό χώρο στα παρακάτω πειράματα τύχης
α. Ρίχνουμε ένα νόμισμα και καταγράφουμε την ένδειξη της άνω επιφάνειας
β. Ρίχνουμε ένα ζάρι και καταγράφουμε την ένδειξη της άνω έδρας
γ. Ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 διαδοχικές φορές (δεντροδιάγραμμα)
δ. Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο διαδοχικές φορές (πίνακας διπλής εισόδου)
ε. Εξετάζουμε οικογένειες με 3 παιδιά ως προς την σειρά γέννησης και το φύλλο των
παιδιών τους.
στ. Ρίχνουμε ένα νόμισμα και μετά ένα ζάρι
ζ. Στα play offs του Ελληνικού Μπάσκετ ανακηρύσσεται πρωταθλήτρια η ομάδα που
στους 3 αγώνες σημείωση 2 νίκες ανεξαρτήτου σειράς.
η. Από το σύνολο {1, 2} επιλέγουμε τυχαία τρία ψηφία και κατασκευάζουμε ένα
τριψήφιο αριθμό.
16. Από μια τράπουλα 52 φύλλων παίρνουμε ένα φύλλο στην τύχη (άρα ισοπίθανα τα
ενδεχόμενα). Βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων
α) Το χαρτί να είναι πέντε
β) Το χαρτί να μην είναι πέντε
γ) Το χαρτί να είναι πέντε μπαστούνι (5)
17. Δίνεται η εξίσωση 2
x λx 1 0   με λ 
i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει 2 διαφορετικές ρίζες ρ1, ρ2 για οποιοδήποτε
πραγματικό αριθμό λ
ii. Υπολογίστε τις παραστάσεις: 2 2
1 2A p p  και
1 2
1 1
B
p p
 
iii. Υπολογίστε το λ, αν το λ +1 είναι ο αριθμητικός μέσος των αριθμών Α και Β
(από τα προηγούμενα ερωτήματα).
18. Δίνεται η εξίσωση 2
x 5x 7 0   με λύσεις 1 2p ,p .
Α) Να βρείτε τις παραστάσεις

14. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 14
i. 2 2
1 2A p p 
ii. 1 2
2 1
p p
B
p p
 
Β) Να βρείτε την εξίσωση με λύσεις τους αριθμούς
i. 1 22p 1,2p 1 
ii.
1 2
1 1
,
p p
19. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:
i. 2
(x 1) 4 | x 1| 5 0    
ii.
1 1
x 3 x 2 0
x x
   
       
   
iii. 4 2
x 6x 40 0  
iv. 4 2
x 3x 2 0  
v.
2
2
2 2x 3 2 x
0
x x 2 x 2x
 
  
 
vi.
2
2
2
2x 1
x 1
x 1

 

20. Δίνεται η εξίσωση 2
x 2 2 x 7 0   
i. Να αποδείξετε ότι έχει δύο ρίζες x1, x2 και να τις βρείτε
ii. Να αποδείξετε ότι για τις παραπάνω ρίζες ισχύει:
2 2
1 2x x 3
1 1
2 2 2
   
      
   
21. Να κάνετε τα εξής:
i. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις  
2
3 5 και  
2
5 3
ii. Να λύσετε την εξίσωση 2
x ( 5 3)x 3 5 0   
iii. Να απλοποιήσετε την παράσταση: A 14 6 5 14 6 5   
22. Το 40% των υπαλλήλων μιας εταιρείας διαβάζει εφημερίδες , το 30% διαβάζει περιοδικά
και το 10% διαβάζει και εφημερίδες και περιοδικά. Επιλέγουμε τυχαία έναν υπάλληλο. Ποια
η πιθανότητα:
1. Να διαβάζει εφημερίδες ή περιοδικά;
2. Να διαβάζει εφημερίδες και περιοδικά;

15. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 15
3. Να διαβάζει περιοδικά και όχι εφημερίδες;
4. Να διαβάζει μόνο εφημερίδες;
5. Να μην διαβάζει ούτε εφημερίδες ούτε περιοδικά;
23. Δίνονται τα σημεία Α(3, -8) , Β( -6, 4). Να βρείτε:
i. Την απόσταση των σημείων ΑΒ
ii. Την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σημεία Α, Β.
iii. Τα σημεία τομής Γ, Δ της ευθείας (ε), με τους άξονες x΄x και y'y αντίστοιχα.
iv. Να υπολογίσετε το εμβαδόν και την περίμετρος του τριγώνου ΟΓΔ.
24. Δίνεται η συνάρτηση:
αx 2
f(x)
x β



που διέρχεται από τα σημεία Α(1, -1) και
Β(4, -3)
i. Να αποδείξετε ότι:
5x 2
f(x)
x 2
 


ii. Για ποιες τιμές του x ορίζεται η συνάρτηση f ;
iii. Να λύσετε την εξίσωση: 2 2
f(0) f( 1) 4 6
2λ 6 9 λ λ 5λ 6
  
 
   
25. Δίνεται η ευθεία (ε):
4x
y 1976
3
 
i. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε΄) που είναι κάθετη στην ευθεία (ε) και
διέρχεται από το σημείο Α(4,9)
ii. Βρείτε τα σημεία τομής Γ, Δ της ευθείας (ε΄) με τους άξονες xx' και y'y
αντίστοιχα.
iii. Σχεδιάστε την ευθεία (ε΄)
iv. Βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρος του τριγώνου ΟΓΔ.
26. Έστω η εξίσωση 2x2
– 3μx+2ν = 0 και ρ1 , ρ2 οι ρίζες της. Αν ισχύει:
3ρ1 – 2ρ1 ρ2= –3ρ2 και 1–ρ1 ρ2 – 6ρ1 =6ρ2 – 10
Α. Να βρείτε τα ρ1 + ρ2 και ρ1 ρ2 συναρτήσει των μ, ν από την δευτεροβάθμια
εξίσωση.
Β. Βρείτε τα μ, ν από την επίλυση του συστήματος.
27. Αν η εξίσωση x2
- 2|α+β-1|x - (α-β)2
=0 έχει μια διπλή ρίζα τότε:
Α. Να δείξετε ότι α = β = ½

16. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 16
Β. Αν ο Ρωμαίος και η Ιουλιέτα βρίσκονται πάνω στα πλοία Π₁ και Π₂ αντίστοιχα που
κινούνται πάνω στις ευθείες (ε1): αx+2004ψ=1 και (ε2): βx+2004ψ=2 , υπάρχει
περίπτωση να συναντηθούν και ολοκληρώσουν τον ερωτά τους...;
28.
29. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση: x2
– 2x + λ+2 = 0, λ∈R.
a. Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών, συναρτήσει του λ.
b. Αν ο λόγος των ριζών της είναι 3, να βρείτε το λ και τις ρίζες τις εξισώσεις.
30. Έστω η εξίσωση αx2
+ βx + γ = 0, α≠0.
a. Να δείξετε ότι: |α| + |γ| ≥ 2 αγ
b. Αν ισχύει ότι: |β| > |α| + |γ| τότε να δείξετε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο
ρίζες πραγματικές και άνισες.
31. Για την τιμή του α που κάνει την εξίσωση αx + 1 = α2
+ x ταυτότητα, να βρεθούν
οι ακέραιες τιμές του x που συναληθεύουν οι ανισώσεις:
(x–α)2
+(α–x)2
+2x2
> (2x–α)2
+ 2x και (1–2α) x – αx < α+3
32. Έστω η εξίσωση x2
– (λ+1 )x + λ = 0 και x1,x2 είναι οι ρίζες της.
α. Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης συναρτήσει του λ
β. Αν οι αριθμοί 2,x1,x2 είναι πλευρές τριγώνου τότε το λ∈(1,3).
γ. Για την παραπάνω τιμή του λ να λυθεί η παρακάτω εξίσωση:
|λ-1|λ –|λ–2004| = |3–λ| + 8λ – 2017
33. Ο κος Πολυξερίδης που πρόκειται να αγοράσει ένα περιφραγμένο οικόπεδο στο
Καταστάρι της Ζακύνθου σχήματος ορθογωνίου με εμβαδόν 4070 m2
θέλησε να
μάθει τις διαστάσεις των πλευρών του. Ο ιδιοκτήτης όμως δεν τις γνώριζε τις
διαστάσεις, θυμόταν όμως ότι χρησιμοποίησε 258 m συρματόπλεγμα για να το
περιφράξει.
α. Ποιες είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου.
β. Μετά θέλησε να μάθει από την πολεοδομία του Κατασταρίου ποιο είναι το μέγιστο
εμβαδόν του σπιτιού που δικαιούται να κτίσει βάση νόμου. Ο πολεοδόμος για να τον
μπερδέψει (ως γνήσιος Ζακυνθινός) του έδωσε την απάντηση ότι η περίμετρος του
σπιτιού (σχήματος ορθογώνιου) μπορεί να είναι μέχρι 40m. Ο κος Πολυξερίδης
φυσικά βρήκε την απάντηση. Ποιά ήταν;
34. Δίνεται η συνάρτηση F με τύπο: F(x) = 3x –2
a. Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες και να τα ονομάσετε Α, Β.
b. Να χαράξετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης F σε ένα σύστημα
ορθογωνίων αξόνων

17. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 17
c. Βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Ο η αρχή των
αξόνων
d. Βρείτε το λ για την ευθεία, λx– 2ψ=2002 αν γνωρίζετε ότι είναι παράλληλη της
ευθείας της γραφικής παράστασης της F.
35. Να βρεθεί ο αριθμός α∈R ώστε η εξίσωση | α2
x2
+ 3αx – 4 | + |x + α2
|= 0
να έχει λύση την x = – 1.
α. Για την τιμή του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε την δευτεροβάθμια εξίσωση
που έχει ρίζες το α και το – ½.
β. Τέλος για την τιμή του α να λύσετε την εξίσωση λ2
(x - 1) = λ3
- 2λ2
+9x + 6λα
για τις διάφορες τιμές του λ∈R.
36. Δίνεται η εξίσωση x2
- |μ – 4|x - |4 – μ |=0 , όπου μ > 4.
α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε
τιμή μ > 4.
β. Αν ρ1, ρ2 είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να δείξετε ότι: ρ1
3
+ ρ2
3
+ ρ1
3
ρ2
3
>0
37. Αν ρ1, ρ2 είναι ρίζες τις εξίσωσης x2
+ 5 (μ – 1 )x – (μ2
+ 1) = 0 , μ∈R,
για ποιες τιμές του μ ισχύει:
1 2
1 1
1
ρ ρ
  ;
38.
39. Α. Η εξίσωση x2
– κx + λ = 0 κ, λ∈R έχει ρίζες x1 ,x2. Να βρείτε μια εξίσωση
δευτέρου βαθμού η οποία να έχει ρίζες 2x1+3x2 και 3x1+2x2.
Β. Να λύσετε την εξίσωση x2
– ( 2 +1) x + 2 = 0.
40.
41. Α. Να λύσετε την εξίσωση 2x 2
+ x – 3 = 0.
Β. Να υπολογίσετε τα α, β αν ισχύει:
2( α + β ) 2
+ ( α + β ) = 3 και α – β = 1.
42. Δίνεται η συνάρτηση F(x)= x 2
+ αx + 1 , α∈R.
α. Βρείτε το α έτσι ώστε η F να είναι άρτια
β. Χαράξτε την γραφική παράσταση της συνάρτησης F
43. Δίνεται η παραμετρική εξίσωση
   λ λx 1 1 λ λ 1 λx    
α. Να την λύσετε για τις διάφορες τιμές του λ 
β. Αν x0 είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης, βρείτε τις τιμές λ, αν 0x 1 .

18. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 18
44. Δίνεται η συνάρτηση f με f ( x ) =
2
2
2x 3x 1
x 1
 

α ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β ) Να απλοποιήσετε τον τύπο της
γ ) Να λύσετε την ανίσωση f ( x )  3
45. Δίνεται η συνάρτηση: f(x) =
2
2
3x x 10
x 4x 4
 
 
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να απλοποιηθεί ο τύπος της
β ) Να βρεθούν τα σημεία που η γραφική παράσταση της f τέμνει τους
άξονες
46.
47. Δίνεται η συνάρτηση : f ( x ) = x 1 x 1 2    .
Να χαρακτηρίσετε Σ αν είναι Σωστές ή Λ αν είναι λάθος, κάθε μία από
τις παρακάτω προτάσεις .
α ) Η συνάρτηση f είναι άρτια
β ) f ( x ) < 0 για κάθε x πραγματικό αριθμό
γ ) Παρουσιάζει μέγιστο ίσο με 2 αν x = 0
δ ) Έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα των ψ
ε ) Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα  , 1 
48. Δίνεται η συνάρτηση f με f ( x ) =
x 2 x 2
x 2 x 2
  
  
α ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β ) Να δείξετε ότι είναι περιττή
γ) Λύστε την εξίσωση:  
3
f x
2

δ) Λύστε την ανίσωση:  
3
f x
2

ε ) Να απαλείψετε τα απόλυτα και να απλοποιήσετε τον τύπο της f
49. Να λυθούν οι ανισώσεις:
Α)
2 2
2
(x x 9)(x 3)
0
x 3x 4
  

 
Β)
2
2
3x 7x 8
1 2
x 1
 
 

Γ) 2
(2x 6) (x 2x 3) 0    

19. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 19
Δ) 2 2
(x x 6) (x 6x 5) 0     
Ε)
2
2
x 3x 5
0
x x 6
 

 
στ)
2 2
2
(x 5x 6)(x 1)
0
(2 4x)(x 6)
  

 
50. Να βρείτε την ή τις τιμές του κ ώστε η εξίσωση:
α. 2
3x 7x 6 κ   , να έχει ρίζα ίση με το 0.
β. 2
4x 20x κ 0   , να έχει ίσες πραγματικές ρίζες.
γ. 2
x (κ 2)x 4 0    , να έχει άνισες πραγματικές ρίζες.
δ. 2
κx 4 3x κ 1 0    , να μην έχει πραγματικές ρίζες.
51. Αν x1, x2 είναι ρίζες της εξίσωσης 2
x 2x 1 0   και ρ1, ρ2 ρίζες της
εξίσωσης 2
x 3x 2 0   , να αποδείξετε ότι
1 2 2 1
1 2 2 1
x x x x
1 2 1 2
ρ ρ ρ ρ
1 2 1 2
ρ ρ ρ ρ
4
x x x x
  

  
52.
53. (ΟΕΦΕ 2007 /Θ. 4) Δίνονται οι ευθείες
   1ε : y 2 α 1 x 3   και    2
1
ε : y x 1
3
  
Α. Να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες οι ευθείες    1 2ε , ε είναι
κάθετες.
Β. Για α=2,
I. Να βρεθεί το σημείο τομής Α των ευθειών    1 2ε , ε
II. Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Α από την αρχή των αξόνων
Γ. Για ποια τιμή του λ  το σημείο Α ανήκει στη γραφική παράσταση της
συνάρτησης με τύπο:   2
f x x λx 1, x   
Δ. Για λ=0 να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f
βρίσκεται πάνω από τον άξονα x’x.
54. (ΟΕΦΕ 2009/Θ. 3) Δίνεται η εξίσωση:  2
x 1 λ x 1 0    με λ η
οποία έχει δύο ρίζες τις 1 2x ,x
α) Να δείξετε ότι: 1 λ 2 
β) Να υπολογίσετε τις τιμές του λ
γ) Να εκφράσετε σαν συνάρτηση του λ τις τιμές των παραστάσεων:
1 2Κ x x  , 1 2Λ x x  ,
1 2
1 1
Μ
x x
 

20. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 20
δ) Να βρείτε το λ ώστε να ισχύει: 2 2
1 2 1 2 1 2λx x λx x 3x 3x 5     
55. (ΟΕΦΕ 2009/ Θ.4) Δίνεται η συνάρτηση  
2αx 5 , 5 x 2
f x
x β ,2 x 5
   
 
  
με
α,β  . Για την οποία ισχύουν:        f 2 f 4 και f 2 f 1   
α. Να δείξετε ότι: α 1 και β 5   
β. Να βρείτε το λ  ώστε οι ευθείες      4
1ε : y λ 2 x f 1   και
     2
2ε : y f 3 13λ 34 x    να είναι παράλληλες
γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση
 f x 1
56.
57. Δίνεται η συνάρτηση  f x x 1 x 3 2 x     με πεδίο ορισμού  A 1,3
α. Να αποδείξετε ότι:  f x 2x 2  
β. Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι Β= (- 4, 0]
(Υπόδειξη: Να αποδείξετε ότι:  4 f x 0   )
γ. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτηση f.
δ. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι συμμετρικής της συνάρτησης του (α)
ερωτήματος, ως προς τον άξονα x’x.
58. Δίνονται οι παραστάσεις 2
A 2λ 8  και 2
Β 3λ 2λ 16   , όπου λ πραγματικός
αριθμός.
Α) Να λύσετε τις εξισώσεις Α=0 και Β=0 και στη συνέχεια να παραγοντοποιήσετε τις
παραστάσεις Α, Β
Β) Δίνεται η παραμετρική εξίσωση ΑΧ Β (1), όπου Α, Β οι παραστάσεις του
ερωτήματος (Α)
Βρείτε:
i. Για ποιες τιμές του λ, η εξίσωση (1) έχει μοναδική λύση; Βρείτε την λύση
αυτή.
ii. Το λ, αν η εξίσωση (1) είναι αόριστη
iii. Το λ, αν η εξίσωση (1) είναι αδύνατη

21. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 21
59. Δίνεται η συνάρτηση   2
x 3
f x
x 9



α. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να αποδείξετε ότι η γραφική
παράσταση της συνάρτησης είναι άρτια.
β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης
γ. Να λύσετε την ανίσωση:  
2
f x
7

δ. Βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, αν
   
   
f 0 α f 1 β 3
f 3 α f 1 β 0
 

   
60. Δίνεται η συνάρτηση  
2
x
f x
x 3


α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
β. Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση, είναι συμμετρική ως προς τον άξονα
y’y και ανήκει στον άξονα x’x και πάνω.
γ. Να λύσετε την εξίσωση:  
3
f x
2

δ. Να λύσετε την ανίσωση:  
3
f x
2

61. (Βασική άσκηση - πρόταση)
Α. Έστω η εξίσωση 2
αx βx γ 0, α 0    , τότε:
i. Αν α, γ είναι ετερόσημοι αριθμοί, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και
άνισες λύσεις, δηλαδή ισχύει η πρόταση:
αν αγ <0
τότε
 Δ > 0
ii. Αν η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις, τότε τα α, γ είναι ομόσημοι
αριθμοί , δηλαδή ισχύει η πρόταση:
αν Δ < 0
τότε
 αγ > 0
Β. Αν το τριώνυμο   2
f x x βx γ   με β, γ πραγματικούς αριθμούς, δεν έχει
πραγματικές ρίζες, τότε να αποδείξετε:
i. γ > 0 ii. β + γ > – 1
Γ. Δίνεται το τριώνυμο   2
f x αx βx γ   , με α 0 . Να δείξετε ότι αν υπάρχει
ξ  ώστε  α f ξ 0  ,τότε το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
Δ. Δίνεται το τριώνυμο   2
f x αx βx 2010, α 0    με  f x 0 για κάθε x  .
Συμπληρώστε τα κενά με τα σύμβολα « < , > , = » και δικαιολογήστε την απάντησή
σας:
i. Δ …… 0 γιατί …………………………………………………………………
ii. α …… 0 γιατί …………………………………………………………………
iii. f(2011) …… 0 γιατί …………………………………………………………

22. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 22
Ε) Δίνεται η συνάρτηση   2
f x αx βx γ, α 0    με δύο πραγματικές ρίζες 1 2ρ ,ρ
( 1 2ρ ρ ). Να δείξετε ότι υπάρχουν κ,λ  όπου  1 2κ ρ ,ρ και  2λ ρ , 
τέτοια ώστε:    f κ f λ 0 
στ) Δίνεται η συνάρτηση   2
f x x βx γ   με 2
β 3γ .
i. Βρείτε το πρόσημο του γ
ii. Βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης  f x 0
iii. Να αποδείξετε ότι:  f x 0 για κάθε x 
Ζ) Δίνεται η συνάρτηση   2
f x αx βx γ, α 0    η οποία δεν έχει ρίζες
πραγματικές, να αποδείξετε ότι:    f κ f λ 0  για κάθε κ,λ 
62. Α) Δίνεται η παράσταση   Α 8 μ 1 μ 4    . Βρείτε το πρόσημο της
παράστασης Α για τις διάφορες τιμές του μ 
Β) Δίνεται η συνάρτηση        2
f x μ 1 x 2 μ 1 x 3 μ 1 , μ 1       
i. Να δείξετε ότι: Δ = Α, όπου Α η παράσταση του ερωτήματος (Α)
ii. Αν  f x 0 για κάθε x  , υπολογίστε τις τιμές του μ.
63. Έστω η εξίσωση   2
λ 2 x 2λx 1 0, λ 2    
α) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.
β) Αν 1 2x ,x οι ρίζες της εξίσωσης, τότε:
i. Να αποδείξετε ότι: 2 2
1 2 1 2x x x x 1  
ii. Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε: 1 2x x 0 
64.
65. (3ο
Λύκειο Νέας Ιωνίας)
Δίνεται το τριώνυμο f(x) = 2x2
– 2(λ – 5)x – (λ – 5), όπου λ πραγματικός αριθμός.
α. Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου ισούται με:
Δ = 4(λ – 5)(λ – 3).
β. Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ το τριώνυμο έχει δύο ρίζες
πραγματικές και άνισες.
γ. Αν x1, x2 είναι οι άνισες ρίζες του τριωνύμου να δείξετε ότι ισχύει:
2 2
1 2x x = (λ – 5)(λ – 4)
δ. Να βρείτε τις τιμές του λ  R ώστε το τριώνυμο f(x) να είναι θετικό για κάθε τιμή
του x  R.

23. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 23
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΟΕΦΕ
2006 – 2011
Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης

24. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 24
Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 2006
Θέμα 1ο
α. Να αποδείξετε ότι: |x| ≤ θ ⇔ −θ ≤ x ≤ θ Μονάδες 13
β. Έστω x1 και x2 οι ρίζες της εξίσωσης 𝛼𝑥2
+ 𝛽𝑥 + 𝛾 = 0, 𝛼 ≠ 0. Να
αποδείξετε ότι:
i) x1 + x2 = −
β
α
ii) x1 ∙ x2 =
γ
α
Μονάδες 12
Θέμα 2ο
Δίνονται οι ευθείες
( 𝜀1): 𝑦 = | 𝛼 + 2| 𝑥 + 4 ( 𝜀2): 𝑦 = |2𝛼 − 1| 𝑥 + 15
α. Αν οι (ε1) και (ε2) είναι παράλληλες να βρείτε το α Μονάδες 12
β. Για α = 3 να βρείτε:
i) τις συντεταγμένες του σημείου Α που η (ε1) τέμνει τον άξονα y΄y καθώς και του
σημείου Β που η (ε2) τέμνει τον άξονα x΄x. Μονάδες 8
ii) την απόσταση ΑΒ Μονάδες 5
Θέμα 3ο
Δίνεται η συνάρτηση 𝑓( 𝑥) =
𝑥2−1
𝑥2−3𝑥+2
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Μονάδες 7
β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της Μονάδες 9
γ. Να αποδείξετε ότι:
20052−1
20052−3∙2005+2
=
2006
2003
Μονάδες 9
Θέμα 4ο
Δίνεται η εξίσωση ( 𝜆 + 2) 𝑥2
− 2𝜆𝑥 − 1 = 0 με 𝜆 ≠ −2 𝜅𝛼𝜄 𝜆 ∈ 𝑅 (1)
α. Να αποδείξετε ότι έχει ρίζες άνισες για κάθε 𝜆 ≠ −2. Μονάδες 8
β. Έστω x1, x2 οι ρίζες της (1) Να βρείτε:
i) Τα x1+x2 και x1 x2 Μονάδες 4
ii) Τις τιμές του λ για τις οποίες η (1) έχει ρίζες ετερόσημες Μονάδες 6
iii) Τις τιμές του λ ώστε να ισχύει x1 +x2<x1 x2 Μονάδες 7

25. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 25
Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 2007
Θέμα 1ο
Α. Να δοθεί ο ορισμός της απόλυτης τιμής. Μονάδες 5
Β. Να αποδείξετε ότι: |α ∙ β| = |α| ∙ |β| Μονάδες 6
Γ. Να συμπληρωθούν στο τετράδιο σας τα κενά στους τύπους:
1. αν θ>0 και |χ| ≤ θ ⇔ ⋯ … … … … … … … …
2. αν | 𝑥| = 𝛼 ⇔ ⋯ … … … … … … … … ή … … … … … … … … … Μονάδες 4
Δ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σημειώνοντας στο τετράδιό σας το
αντίστοιχο γράμμα Σ (σωστό) ή Λ (λάθος).
1. αν α ≥ 0 και β ≥ 0 τότε √α + β = √α + √β
2. ο αριθμός –x είναι αρνητικός για κάθε 𝑥 ∈ 𝑅
3. αν 𝑑(x, 2) < 5 ⇔ −3 < 𝑥 < 7
4. √α2 = α για κάθε α ∈ R
5. αν α<1<β τότε (1-α)(1-β)(α-β)β > 0 Μονάδες 10
Θέμα 3ο
Α. Να λυθεί η ανίσωση 3|x − 1| − 2 ≤ 2|1 − x| Μονάδες 8
Β. Να λυθεί η εξίσωση (x − 1)4
− 3(x − 1)2
− 4 = 0 Μονάδες 9
Γ. Να αποδείξετε ότι:
√3
√3−√2
−
√2
√3+√2
= 5 Μονάδες 8
Θέμα 4ο
Δίνονται οι ευθείες (ε1): ψ = (2|α| − 1)x + 3 και (ε2): ψ = −
1
3
x −
1
3
Α. Να βρεθούν οι τιμές του α ∈ R για τις οποίες οι ευθείες (ε1) και (ε2) είναι κάθετες.
Μονάδες 10
Β. Για α=2
1. Να βρεθεί το σημείο τομής Α των ευθειών (ε1), (ε2). Μονάδες 4
2. Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Α από την αρχή των αξόνων. Μονάδες 3
Γ. Για ποια τιμή του λ ∈ R το σημείο Α ανήκει στη γραφική παράσταση της
συνάρτησης με τύπο: f(x) = x2
+ λx − 1, x ∈ R. Μονάδες 4
Δ. Για λ=0 να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f
βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x. Μονάδες 4

26. ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΘΕΩΡΙΑ – ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 26
Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 2008
Θέμα 1ο
Α. Έστω x1 και x2 οι ρίζες της εξίσωσης αx2
+ βx + γ = 0, α ≠ 0. Να αποδείξετε
ότι:
i. x1 + x2 = −
β
α
ii. x1 ∙ x2 =
γ
α
Μονάδες 9
Β. Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε την σωστή απάντηση:
i. Οι ε1: y = 2x + 5 και ε2: y = λx + 2008 είναι παράλληλες αν:
α. λ=5
β. λ=2008
γ. 𝜆 = −
1
2
δ. λ=2
ii. Αν η εξίσωση x2
− 5x + κ = 0 έχει ρίζα το 2 τότε:
α. κ=6
β. κ=0
γ. 𝜅 = √2
δ. κ=-6
Μονάδες 6
Γ. Να σημειώσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λανθασμένες
(Λ):
i. Αν x ≥ 0 τότε |x| = x
ii. Η εξίσωση x2
+ αx − 1 = 0 έχει πραγματικές ρίζες για κάθε α ∈ IR
iii. √α2 = (√α)2
, για κάθε α ∈ R
iv. √α − √β = √α − β, για κάθε α > β > 0
v. xy = x2
⇔ x = y, για κάθε x, y ∈ R Μονάδες 10
Θέμα 2ο
Δίνεται η συνάρτηση:  
3
2
x 4x
f x
x 2x



Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να απλοποιηθεί ο τύπος της.
|f(4) ∙ x − 1| = |2 − f(3) ∙ x| Μονάδες 7
Θέμα 3ο
Δίνεται η εξίσωση x2
− (λ + 1)x + λ = 0
i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του λ.
Μονάδες 8
ii. Αν x1, x2 οι ρίζες της εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε (x1 + x2)2
− 2x1x2 = 10
Μονάδες 8
iii. Για λ=3, να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου
βαθμού με ρίζες 2x1 και 2x2. Μονάδες 9

27. Επαναληπτικά Θέματα ΟΕΦΕ 2011
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 27
27
Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 2009
Θέμα 1ο
Α. Να γράψετε τον ορισμό της συνάρτησης από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β.
Μονάδες 5
Β. Αν α, β ≥ 0, να αποδείξετε ότι: √α
ν
∙ √β
ν
= √α ∙ βν
Μονάδες 10
Γ. Να σημειώσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λανθασμένες
(Λ).
α) Για κάθε α, β ∈ R ισχύει : |α + β| = |α| + |β|.
β) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f τέμνει κάθε κατακόρυφη ευθεία σε ένα
το πολύ σημείο.
γ) Αν στην εξίσωση αx2
+ βx + γ = 0, 𝛼 ≠ 0, ισχύει α ∙ γ < 0 τότε η εξίσωση έχει
δύο ρίζες άνισες.
δ) Αν γ ≠ 0, τότε α > β ⇔ αγ > βγ. Μονάδες 10
Θέμα 3ο
Δίνεται η εξίσωση: x2
+ (1 − λ)x + 1 = 0, με λ ∈ R η οποία έχει δύο ρίζες άνισες
τις x1 και x2.
Α) Να δείξετε ότι |1 − λ| > 2 Μονάδες 7
Β) Να υπολογίσετε τις τιμές του λ. Μονάδες 6
Γ) Να εκφράσετε σαν συνάρτηση του λ τις τιμές των πιο κάτω παραστάσεων Κ =
x1 + x2, Λ = x1 ∙ x2, M =
1
x1
+
1
x2
Μονάδες 6
Δ) Να βρείτε το λ ώστε να ισχύει: λx1x2
2
+ λx1
2
x2 + 3x1 + 3x2 = 5 Μονάδες 6
Θέμα 4ο
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = {
2ax − 5, −5 ≤ x < 2
x + β, 2 ≤ x < 5
} a, β ∈ R
Για την οποία ισχύουν : f(−2) = f(4) και f(2) = f(−1)
Α) Να δείξετε ότι α=-1 και β=-5. Μονάδες 7
Β) Να βρείτε το λ ∈ R ώστε οι ευθείες
(ε1): y = (λ4
+ 2)x + f(1) και
(ε2): y = f(−3) + (13λ2
+ 34)x, να είναι παράλληλες Μονάδες 8
Γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και στη συνέχει να λύσετε την εξίσωση f(x) = 1.
Μονάδες 10

28. Επαναληπτικά Θέματα ΟΕΦΕ 2011
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 28
28
Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 2010
Θέμα 1ο
Α. Αν θ>0 να αποδείξετε ότι |x| < θ ⇔ −θ < x < θ. Μονάδες 10
Β. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων δίνονται τα σημεία Α(x1, y1) και Β(x2, y2).
Να γράψετε τον τύπο, με τον οποίο υπολογίζεται η απόσταση ΑΒ.
Μονάδες 5
Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας
δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό αν η πρόταση
είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν α, β ∈ R, τότε ισχύει: |α − β| = |β − α|.
β) Αν 𝛼 ∙ 𝛾 < 0, τότε το τριώνυμο 𝛼𝑥2
+ 𝛽𝑥 + 𝛾 παίρνει τη μορφή
𝛼𝑥2
+ 𝛽𝑥 + 𝛾 = 𝛼( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥2), όπου x1, x2 οι ρίζες του τριωνύμου.
γ) Ισχύει πάντοτε √ 𝛼 𝜈𝜈
= 𝛼, όπου ν θετικός ακέραιος και 𝛼 ∈ 𝑅.
δ) Αν α ∙ β > 0, τότε πάντοτε ισχύει: √αβ = √α√β.
ε) Αν x > 0, τότε
√x2
x
= 1 Μονάδες 10
Θέμα 2ο
Δίνονται οι ευθείες ε1 και ε2 με εξισώσεις
ε1: y = (λ − 2)x + 1, ε2: y =
2 − λ
4
x − 1
α) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε οι ευθείες ε1 και ε2 να είναι
παράλληλες. Μονάδες 10
β) Να βρείτε την τιμή τιμές των πραγματικών αριθμών λ ώστε οι ευθείες ε1 και ε2 να
είναι κάθετες μεταξύ τους. Μονάδες 15
Θέμα 3ο
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = x4
− αx2
+ 2, x ∈ R, όπου
α =
√2 + 1
√2 − 1
+
√2 − 1
√2 + 1
α) Να αποδείξετε ότι α=6 Μονάδες 8
β) Να υπολογίσετε την τιμή f(1). Μονάδες 2
γ) Να λύσετε την εξίσωση : f(x) = f(1). Μονάδες 8

29. Επαναληπτικά Θέματα ΟΕΦΕ 2011
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 29
29
δ) Να λύσετε την ανίσωση : f(x) − f(1) ≤ 0. Μονάδες 7

30. Επαναληπτικά Θέματα ΟΕΦΕ 2011
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 30
30
Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 2011
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Αν η εξίσωση
2
ax βx γ 0   , a,β,γ , a 0 έχει ρίζες τους
πραγματικούς αριθμούς 1 2x ,x , να αποδείξετε ότι :
1 2
γ
α
x x 
Μονάδες 10
Β. Πότε μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέγεται άρτια;
Μονάδες 5
Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο
σας δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν
η πρόταση είναι σωστή, ή ΛΑΘΟΣ, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
i) Για κάθε ρ > 0 ισχύει
x ρ ρ x ρ    
.
ii) Αν α β 0  , τότε πάντοτε ισχύει α β α β   .
iii) Αν β < α, τότε  
2
β α α β  
.
iv) Αν a,β,γ και ισχύει α· γ = β · γ, τότε (α = β ή γ=0).
V) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με
   f x φ x c 
, όπου
c > 0, προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής
παράστασης της συνάρτησης φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ 2ο
α) Να λύσατε την εξίσωση
2
x 4x 3 0   .
Μονάδες 5
β) Να λύσετε την ανίσωση
2
x 6x 8 0  
Μονάδες 8
γ) Να λύσετε την ανίσωση: (
10
1x  )(
2
x 6x 8  )(
2
x 4x 3  ) > 0.
Μονάδες 12
ΘΕΜΑ 3ο
Η εξίσωση
2
x λx 3λ 0   , όπου λ , έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες
1 2x ,x .
α) Να αποδείξετε ότι λ < 0 ή λ > 12. Μονάδες 8
β) Για λ = -4 :
i) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες 1 2x ,x της εξίσωσης είναι ετερόσημες.
Μονάδες 4

31. Επαναληπτικά Θέματα ΟΕΦΕ 2011
Χατζόπουλος Μάκης e-mail: mac190604@gmail.com Σελίδα 31
31
ii) Αν 2x είναι η αρνητική ρίζα της εξίσωσης, να λύσετε την ανίσωση
2x 2011 x  .
Μονάδες 6
iii) Αν 1x είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης να δείξετε ότι
3
1 1x x 2
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ 4ο
Δίνεται η συνάρτηση
  1
f x λ x 3
2
 
 
 
   
όπου λ,x , της οποίας
η γραφική παράσταση είναι η ευθεία με εξίσωση
1
ψ λ x 3
2
 
 
 
   
.
α)Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού λ έτσι ώστε η ευθεία με εξίσωση
1
ψ λ x 3
2
 
 
 
   
να σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία 45 .
Μονάδες 8
β) Για λ = 2:
i) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους x'x,ψ΄ψ
και να τη σχεδιάσετε.
Μονάδες 8
ii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
Μονάδες 5
iii) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει,
   2
f α f 1 
.
Μονάδες 4