Επιμέλεια: Τηλέμαχος Αραβανής από το 2ο ΓΕΛ Λευκάδας

1. Η στήλη του μαθητή από το lisari.blogspot.com
Εισαγωγή
Κατά καιρούς έχουμε γνωρίσει ή έχουμε ακούσει για εντυπωσιακούς μαθητές, μαθητές με
ταλέντο και εξαιρετικές σκέψεις. Μαθητές να αντιλαμβάνονται έννοιες που εμείς κάναμε χρόνια
αρχικά να τις καταλάβουμε και στη συνέχεια να τις αφομοιώσουμε. Μαθητές που είναι άριστοι
λύτες και φέρουν σε αμηχανία τους καθηγητές τους με τις τρομερές εμπνεύσεις τους σε λίγα
λεπτά μόλις αντικρύζουν μια απαιτητική άσκηση!
Ένας τέτοιος μαθητής είναι ο Τηλέμαχος Αραβανής από το 2ο
ΓΕΛ Λευκάδας! Ο Τηλέμαχος
είναι ένας ταλαντούχος μαθητής που δεν πρέπει οι λύσεις του να λείπουν από τη στήλη του
μαθητή.
Η άσκηση που έλυσε ο μαθητής είναι ένα λήμμα από το Πανεπιστημιακό βιβλίο του
Μαθηματικού τμήματος που διδάσκεται στο δεύτερο εξάμηνο (Απειροστικός Λογισμός ΙΙ του
Στυλιανού Νεγρεπόντη (άσκ. 18.91, σελ. 32)).
Έστω παραγωγίσμη συνάρτηση f : R R με  x
lim f x

   να αποδείξετε ότι:
 x
lim f x

 
Λύση
Έστω κ 0 τότε:
  x
lim f x κ

   
Συνεπώς από το πρόσημο του ορίου υπάρχει α 0 έτσι ώστε για κάθε  x α, 
να ισχύει:
    f x k 0 f x kx 0     
Η συνάρτηση    h x f x kx  είναι συνεχής στο  α,  R και  h x 0  για
κάθε  x α,  άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο  α, .
Για κάθε  x α,  έχουμε:
 
 
       
h α,
x,α α,
x α h x h α f x kx h α

 
     
,<
Όμως   x
lim κx h α

   διότι κ 0 άρα από βασική πρόταση έχουμε:
 x
lim f x

  ■
Ο αγαπητός συνάδελφος Γιώργος Πολύζος (μέλος της lisari team) επί της ευκαιρίας
μας πρότεινε ένα έξυπνο μνημονικό κανόνα για αυτές τις προτάσεις. Ένας κανόνας
που δεν τον έχουμε δει σε κανένα πόνημα. Τα χειρόγραφα του Γιώργου δίνουν μια
διαφορετική αίγλη και ποιότητα που δεν πρέπει να αλλοιωθεί το ψυχρό πληκτρολόγιο
του υπολογιστή!
01.06.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 2

2. Η στήλη του μαθητή από το lisari.blogspot.com
01.06.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 2