SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 8
Downloaden Sie, um offline zu lesen
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΗ ΝΕΑ ΥΛΗ 2018 – 19
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Ι.
Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο
ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής
δικαιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας.
1. Ισχύει   






dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( Α Ψ
Αιτιολογία
Βασική ιδιότητα του ολοκληρώματος
2. Ισχύει   
β
α
β
α
β
α
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( Α Ψ
Αιτιολογία
Έστω οι συναρτήσεις    f x g x 1  και α 0, β 2  τότε
 
2
0
1 1dx 1 2 0 2    ενώ    
2 2
0 0
1dx 1dx 1 2 0 1 2 0 4      
3. Αν   , τότε  


0)( dxxf . Α Ψ
Αιτιολογία
Βασική ιδιότητα του ολοκληρώματος
4. Αν  


0)( dxxf , τότε κατ’ ανάγκη θα είναι 0)( xf για κάθε ],[ x . Α Ψ
Αιτιολογία
Ένα αντιπαράδειγμα:  
2π 2π
00
ημxdx συνx 0   = [  συνx] 2π
0 =  συν2π + συν0 = 0
όμως η συνάρτηση  f x ημx δεν είναι παντού μηδέν για κάθε x[α, β].
5. Αν 0)( xf για κάθε ],[ x , τότε  


0)( dxxf . Α Ψ
Αιτιολογία
Γεωμετρική ερμηνεία του ολοκληρώματος
6. Αν
 


0)( dxxf , τότε κατ’ ανάγκη θα είναι 0)( xf για κάθε ],[ x . Α Ψ
Αιτιολογία
Ένα αντιπαράδειγμα:  
3π/2 3π/2
00
ημxdx συνx 1 0    όμως η συνάρτηση  f x ημx
είναι αρνητική για κάθε
3π
x π,
2
 
 
 
.
7.
  





dxxxdxx )1()1( 244
, για κάθε 0 . Α Ψ
Αιτιολογία
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 8
α α α
4 2 4 4 2 4
α α α
α
4 2 4
α
α
2
α
3
(x x 1)dx (x 1)dx [(x x 1) (x 1)]dx
(x x 1 x 1)]dx
x dx
2α
0
3
  


        
    

 
  


8.  
4/
0
4/
0
2
συνln2)ημ1ln(
 
xdxdxx . Α Ψ
Αιτιολογία
   
 
π π π
22 24 4 4
0 0 0
π
συνx 0, x 0,π π4
4 4
0 0
ln 1 ημ x dx ln συν x dx ln συνx dx
2 ln συνx dx 2 ln συνx dx
 
  
 
  
 
  
 
9.        
β β
α α
f x dx αf α βf β xf x dx    Α Ψ
Αιτιολογία
               
   
β β ββ
αα α α
β
α
f x dx αf α x f x dx αf α xf x xf x dx αf α
βf β xf x dx
         
 
  

10.  
e
xdx
1
ln

1
1
ln
e
dt
t
. Α Ψ
Αιτιολογία
1 1 1 e e
1
e e e 1 1
1
ln dt ln t dt ln tdt ln tdt ln xdx
t

        
11. Aν   
1
0
f x 1 dx 0  τότε  
1
0
f x dx 1 . Α Ψ
Αιτιολογία
        
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
f x 1 dx 0 f x dx 1dx 0 f x dx 1dx f x dx 1             
12. Αν  


0)( dxxf , τότε 0)( f για κάποιο ),(   . Α Ψ
Αιτιολογία
Έστω η αρχική συνάρτηση F της f στο διάστημα  α,β άρα    F x f x  για κάθε
 x α,β . Έχουμε,          
β
α
f x dx 0 F β F α 0 F β F α     
 Η F είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα  α,β
 παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα  α,β
 και    F β F α
άρα η συνάρτηση F ικανοποιεί το θεώρημα Rolle στο κλειστό διάστημα  α,β επομένως
υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ α,β τέτοιο ώστε:    F ξ 0 f ξ 0    .
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 8
13. Αν  


0)( dxxf και η f δεν είναι παντού μηδέν στο ],[  , τότε η f παίρνει δυο,
τουλάχιστον, ετερόσημες τιμές. Α Ψ
Αιτιολογία
Έστω ότι η συνάρτηση f δεν παίρνει ετερόσημες τιμές τότε:
 αν  f x 0 για κάθε  x α,β και επειδή η f δεν είναι παντού μηδέν στο  α,β από
θεωρία έχουμε
β
α
f (x)dx 0 0 0   άτοπο.
 αν  f x 0 για κάθε  x α,β και επειδή η f δεν είναι παντού μηδέν στο  α,β
έχουμε
β
α
f(x)dx 0 0 0   άτοπο.
Οπότε υπάρχουν  1 2x ,x α,β τέτοια ώστε    1 2f x f x 0 .
14. Το ολοκλήρωμα  
1
3
1
x x dx

 παριστάνει το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης xxxf  3
)( και τον
άξονα των x. Α Ψ
Αιτιολογία
Για να παριστάνει το εμβαδόν πρέπει να υπολογίσουμε:  
1
3
1
E Ω x x dx

 
Το πρόσημο του 3
x x φαίνεται στο παρακάτω πίνακα προσήμων.
x  1 0 1 
x   + +
2
x 1 +   +
3
x x  +  +
Άρα για κάθε  x 0,1 έχουμε: 3
x x 0  οπότε το ολοκλήρωμα  
1
3
1
x x dx

 δεν
εκφράζει εμβαδόν. Το σωστό θα ήταν:    
0 1
3 3
1 0
x x dx x x dx ...

    
ΙΙ.
Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση
1. Αν xπxf ημ)(  και 0)0( f , τότε το )1(f ισούται με
Α)
π
1
 Β)
π
1
Γ)
π
2
Δ)
π
2
Απάντηση
Είναι  
1
f x συνπx c
π
   όμως  
1 1
f 0 0 c 0 c
π π
       άρα
 
1 1
f x συνπx
π π
   οπότε  
1 1 1 1 2
f 1 συνπ
π π π π π
     
2. Το ολοκλήρωμα
β
α
1
dx
4 x όπου 4 α β  είναι ίσο με
Α)  
β
α
ln 4 x   Β)  
β
α
ln 4 x   
Γ)  
β
α
ln x 4   Δ)  
β
α
ln x 4   
Απάντηση
Είναι  
x 4 x 4 0β β
αα
ln 4 x ln x 4
   
        
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 8
3. Το ολοκλήρωμα
2
β
α
1
x dx
x
 
 
 
 με 0 α β  είναι ίσο με
Α)
β3
α
1
x
x
3
  
  
  
 
 
 
Β)
β
2
α
1 1
2 x 1
x x
   
    
   
Γ)
 
β3
α
1 ln x
3
 
 
  
Δ)
β3
α
x 1
2x
3 x
 
  
 
Ε)
β3
2
α
1
x
1x
1
3 x
  
  
      
 
 
Απάντηση
Είναι
β2 3
β β
2
2α α
α
1 1 x 1
x dx x 2 dx 2x
x 3 xx
    
          
     
 
4. Το ολοκλήρωμα dxx |1| 2
1
1


είναι ίσο με
Α)
3
4
Β) 0 Γ)
3
4
 Δ)
3
2
Ε)
3
5
Απάντηση
Είναι  
13
1 1
2 2
1 1
1
x 1 1 4
x 1 dx 1 x dx x 1 1
3 3 3 3 

     
               
    
 
Σημείωση: Η συνάρτηση   2
f x x 1  είναι άρτια οπότε το ισούται
13
1 1
2 2
1 0
0
x 1 4
x 1 dx 2 x 1 dx 2 x 2 1
3 3 3
   
          
  
 
(προφανώς θέλει απόδειξη).
5. Το ολοκλήρωμα
β
α
ln xdx είναι ίσο με
Α)
β
α
1
x
 
 
 
Β)
β2
α
ln x
2
 
 
 
Γ)  
β
α
x ln x 1   Δ)  
β
α
xln x
Απάντηση
Είναι,          
β β β ββ β β
α α α αα α α
ln xdx x ln xdx xln x 1dx xln x x x ln x 1           
6. Έστω f ,g συνεχείς συναρτήσεις στο ],[ βα . Αν )()( xgxf  για κάθε ],[ βαx τότε
κατ’ ανάγκη θα ισχύει:
Α) )()( xgxf  , ],[ βαx , Β)  
β
α
β
α
dxxgdxxf )()(
Γ)    
β β
α α
f x dx g x dx  , ],[ βαx , Δ)  
α
β
α
β
dxxgdxxf )()( .
Απάντηση
Από τις οδηγίες – πρόταση χωρίς απόδειξη. Υπενθυμίζουμε πώς προκύπτει:
       f x g x g x f x 0    για κάθε  x α,β άρα από θεωρία έχουμε:
    
β β β
α α α
g x f x 0 f(x)dx g(x)dx     
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 8
7. Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου
χωρίου του διπλανού σχήματος είναι ίσο
με
Α) 
5
3
)( dxxf ,
Β) 
3
5
)( dxxf .
Γ)  

0
3
5
0
)()( dxxfdxxf ,
Δ)  


3
0
5
0
)()( dxxfdxxf .
Απάντηση
Είναι,          
0 5 3 5
3 0 0 0
E Ω f x dx f x dx f x dx f x dx


       
8. Aν )()( xgxf  για κάθε ]1,1[x και 2)0()0(  gf , τότε για κάθε ]1,1[x ισχύει:
Α) 2)()(  xgxf , Β) 

1
1
4))()(( dxxgxf .
Γ) )()( xgxf  , ]1,1[x Δ) οι fC , gC έχουν κοινό σημείο στο ]1,1[ .
Απάντηση
Οι f, g συνεχείς για κάθε  1,1 άρα υπάρχει σταθερά cR τέτοια ώστε:
       f x g x f x g x c     όμως    f 0 g 0 2  άρα c 2 οπότε
   f x g x 2  (αποκλείεται η επιλογή Α, Γ και Δ).
Επομένως,       
1 1
1 1
f x g x dx 2dx 2 1 1 4
 
     
9. Έστω η συνάρτηση f με γραφική παράσταση
όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αν F μια
αρχική της f τότε η )1(F είναι ίση με
Α) 0, Β) 1, Γ) 2, Δ)
2
1
.
Απάντηση
Είναι,    F 1 f 1 2  
10. Έστω η συνάρτηση f του διπλανού
σχήματος. Aν, 2)( 1 ΩE , 1)( 2 ΩΕ και
3)( 3 ΩΕ τότε το 
β
α
dxxf )( είναι ίσο με:
Α) 6 Β) 4 Γ) 4
Δ) 0 Ε) 2
Απάντηση
Είναι,
       
      
     
     
β γ δ β
α α γ δ
γ δ β
α γ δ
γ δ β
α γ δ
1 2 3
f x dx f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx
E Ω Ε Ω Ε Ω
2 1 3
4
  
   
  
  
  

   
  
  
x
5-3 O
y
O 3
Cf
2
1 x
y
O
y
x
α
γ δ
β
Ω3
Ω1
Ω2
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 8
11. Έστω η συνάρτηση f με γραφική παράσταση όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αν
F μια αρχική της f τότε:
Α) 2
)( xxF  ,
Β)






x
xx
xF
1,2
10,2
)( ,
Γ)






xx
xx
xF
1,2
10,
)(
2
,
Δ)






xx
xx
xF
1,12
10,
)(
2
Απάντηση
Είναι,  
2x ,0 x 1
f x
2 ,x 1
 
 

άρα όλες οι αρχικές συναρτήσεις της f είναι
 
2
1
2
x c ,0 x 1
F x
2x c ,x 1
   
 
 
Όμως, η F είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής, οπότε
   x 1 x 1
1 2 1 2F x F x 1 c 2 c c c 1lim lim 
 
       
άρα αν θέσουμε πχ. 1c 0 τότε 2c 1  άρα  
2
x ,0 x 1
F x
2x 1 ,x 1
  
 
 
ΙΙΙ.
1. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα αντιπροσωπεύει τη γραφική παράσταση της f, αν
   xf x f x  για κάθε x 0 .
(Α) (Β) (Γ)
O x
y
(Δ) (Ε)
Απάντηση
Για κάθε x 0 έχουμε:
       
     
 2
xf x f x f x
xf x f x xf x f x 0 0 0 f x cx
xx
   
           
 
2. Ποια από τα παρακάτω ολοκληρώματα είναι καλώς ορισμένα;
Α)  
1
0 1
1
dx
x
Β) 
2/
0
ημ
π
xdx Γ) 
π
xdx
0
εφ
2
1O
y
x
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 8
Δ) 
1
0
ln xdx Ε)  
2
0
2
1 dxx Ζ)  
1
0 1
1
dx
x
.
Απάντηση
Το ολοκλήρωμα Α δεν ορίζεται διότι το άκρο 1 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της
συνάρτησης      
1
f x , x ,1 1,
x 1
    

.
Το ολοκλήρωμα Β είναι καλώς ορισμένο διότι η συνάρτηση  f x ημx ορίζεται για
κάθε x R .
Το ολοκλήρωμα Γ δεν ορίζεται διότι
π
2
δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης
 f x εφx (διότι
π
συν 0
2
 ).
Το ολοκλήρωμα Δ δεν ορίζεται διότι το άκρο 0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της
συνάρτησης  f x lnx, x 0  .
Το ολοκλήρωμα Ε δεν ορίζεται διότι το άκρο 2 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της
συνάρτησης    2
f x 1 x , x 1,1    .
Το ολοκλήρωμα Ζ είναι καλώς ορισμένο διότι η συνάρτηση  
1
f x
x 1


ορίζεται για
κάθε    x , 1 1,     
3. Να εντοπίσετε το λάθος στις παρακάτω πράξεις:
 
 
α 1
α 1 α 1 α 1
α α α
α
α 1α 1
α α
α 1
α
α 1
α
1 1 1 1
dx x dx x x dx
x x x x
1
1 x dx
x
1
α 1 α dx
x
1
1 dx
x

  



         
   
 
   
 
   
 
  



Άρα,
α 1 α 1
α α
1 1
dx 1 dx
x x
 
   οπότε 1 0 .
Απάντηση
Το λάθος εντοπίζεται στο σημείο
α 1
α
1
x
x

 
 
 
που γράφεται ως εξής
 
α 1
α 1
α
α
1
x 1 α 1 α 1
x

 
      
 
.
Το σωστό είναι:
α 1
α
1 1 1
x α 1 α 1 1 0
x α 1 α

     
                  
4. Να εντοπίσετε το λάθος στις παρακάτω πράξεις
du
u
u
dx
x
I
  











1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1




1
1
2
1
1
Idu
u
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 8
(Θέσαμε
u
x
1
 οπότε )
1
2
du
u
dx  . Άρα II  οπότε 0I . Αυτό, όμως, είναι
άτοπο, αφού




1
1
2
0
1
1
dx
x
I , επειδή 0
1
1
2

 x
για κάθε ]1,1[x .
Απάντηση
Η αντικατάσταση
1
x
u
 δεν είναι σωστή διότι όταν το x λάβει την τιμή μηδέν δεν υπάρχει
αντίστοιχο u, τέτοιο ώστε x =
1
u
.
5. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f είναι του διπλανού σχήματος τότε να
συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά:
i.  
0
0
f x dx 0
ii.  
2
0
f x dx 2
iii.  
3
0
f x dx 4
iv.  
4
0
f x dx 6
v.  
6
0
f x dx 12
Απάντηση
Είναι,
i. Από θεωρία
ii.  
2
0
1
2 2 2
2
f x dx    (εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου)
iii.        
3 2 3
0 0 2
f x dx f x dx f 2 3x dx 2 2 4       
(από 2 έως 3 είναι εμβαδόν ορθογωνίου παρ/μου).
iv.        
4 2 4
0 0 2
f x dx f x dx f 2 4x dx 2 2 6       
(από 2 έως 4 είναι εμβαδόν ορθογωνίου παρ/μου).
v.      
 6 4 6
0 0 4
2 4 2
f x dx f x dx f x dx 126
2
 
      
(από 4 έως 6 είναι εμβαδόν τραπεζίου)
6432
4
2
O
y
x
Cf
22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 8

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Μονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγων
Μονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγωνΜονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγων
Μονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγωνdimandres
 
συνολο τιμων συναρτησησ
συνολο τιμων συναρτησησσυνολο τιμων συναρτησησ
συνολο τιμων συναρτησησChristos Loizos
 
πληρης θεωρια αεππ ερωτησεις απαντησεις
πληρης θεωρια αεππ ερωτησεις απαντησειςπληρης θεωρια αεππ ερωτησεις απαντησεις
πληρης θεωρια αεππ ερωτησεις απαντησειςAnastasios Timotheidis
 
Διαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ Λυκείου
Διαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ ΛυκείουΔιαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ Λυκείου
Διαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 
2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου
2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου
2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείουKonstantinos Georgiou
 
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια Μάκης Χατζόπουλος
 
φυλλάδιο ορια συναρτησεων χωρίς άπειρο
φυλλάδιο ορια συναρτησεων χωρίς άπειροφυλλάδιο ορια συναρτησεων χωρίς άπειρο
φυλλάδιο ορια συναρτησεων χωρίς άπειροΜάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείουΘεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείουΘανάσης Δρούγας
 
βασική βοηθητική πρόταση συνχ=0 και ημχ=0
βασική βοηθητική πρόταση συνχ=0 και ημχ=0βασική βοηθητική πρόταση συνχ=0 και ημχ=0
βασική βοηθητική πρόταση συνχ=0 και ημχ=0Μάκης Χατζόπουλος
 
Στάδια αντιμετώπισης προβλήματος
Στάδια αντιμετώπισης προβλήματοςΣτάδια αντιμετώπισης προβλήματος
Στάδια αντιμετώπισης προβλήματοςKaterina Drimili
 
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!! Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!! Μάκης Χατζόπουλος
 
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ ΛυκείουΤελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειου
Διαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειουΔιαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειου
Διαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειουΘανάσης Δρούγας
 
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdfΔιαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdfelmit2
 
Βασικές ανισότητες και ερμηνεία από τις γραφικές παραστάσεις
Βασικές ανισότητες και ερμηνεία από τις γραφικές παραστάσειςΒασικές ανισότητες και ερμηνεία από τις γραφικές παραστάσεις
Βασικές ανισότητες και ερμηνεία από τις γραφικές παραστάσειςΜάκης Χατζόπουλος
 

Was ist angesagt? (20)

Μονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγων
Μονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγωνΜονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγων
Μονοτονία συνάρτησης με χρήση παραγώγων
 
Κατηγορίες ασκήσεων στα όρια
Κατηγορίες ασκήσεων στα όριαΚατηγορίες ασκήσεων στα όρια
Κατηγορίες ασκήσεων στα όρια
 
συνολο τιμων συναρτησησ
συνολο τιμων συναρτησησσυνολο τιμων συναρτησησ
συνολο τιμων συναρτησησ
 
πληρης θεωρια αεππ ερωτησεις απαντησεις
πληρης θεωρια αεππ ερωτησεις απαντησειςπληρης θεωρια αεππ ερωτησεις απαντησεις
πληρης θεωρια αεππ ερωτησεις απαντησεις
 
Διαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ Λυκείου
Διαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ ΛυκείουΔιαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ Λυκείου
Διαγώνισμα 10- 2ο κεφάλαιο ΕΠΑ.Λ Γ Λυκείου
 
2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου
2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου
2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου
 
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
 
φυλλάδιο ορια συναρτησεων χωρίς άπειρο
φυλλάδιο ορια συναρτησεων χωρίς άπειροφυλλάδιο ορια συναρτησεων χωρίς άπειρο
φυλλάδιο ορια συναρτησεων χωρίς άπειρο
 
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείουΘεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
 
Θεματα πανελλαδικων 2000-2016
Θεματα πανελλαδικων 2000-2016Θεματα πανελλαδικων 2000-2016
Θεματα πανελλαδικων 2000-2016
 
βασική βοηθητική πρόταση συνχ=0 και ημχ=0
βασική βοηθητική πρόταση συνχ=0 και ημχ=0βασική βοηθητική πρόταση συνχ=0 και ημχ=0
βασική βοηθητική πρόταση συνχ=0 και ημχ=0
 
Στάδια αντιμετώπισης προβλήματος
Στάδια αντιμετώπισης προβλήματοςΣτάδια αντιμετώπισης προβλήματος
Στάδια αντιμετώπισης προβλήματος
 
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!! Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
 
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ ΛυκείουΤελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
 
Διαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειου
Διαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειουΔιαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειου
Διαγωνισμα πολυωνυμα β λυκειου
 
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdfΔιαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
 
κυκλος
κυκλοςκυκλος
κυκλος
 
Βασικές ανισότητες και ερμηνεία από τις γραφικές παραστάσεις
Βασικές ανισότητες και ερμηνεία από τις γραφικές παραστάσειςΒασικές ανισότητες και ερμηνεία από τις γραφικές παραστάσεις
Βασικές ανισότητες και ερμηνεία από τις γραφικές παραστάσεις
 
όρια γ λυκείου
όρια γ λυκείουόρια γ λυκείου
όρια γ λυκείου
 
ΑΕΠΠ - Μάθημα 8
ΑΕΠΠ - Μάθημα 8ΑΕΠΠ - Μάθημα 8
ΑΕΠΠ - Μάθημα 8
 

Ähnlich wie Απαντήσεις στις Ερωτήσεις Κατανόησης Σχολικού βιβλίου

Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]
Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]
Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]Μάκης Χατζόπουλος
 
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5Christos Loizos
 
1 2743συναρτήσεις κακ μιχ
1 2743συναρτήσεις κακ μιχ1 2743συναρτήσεις κακ μιχ
1 2743συναρτήσεις κακ μιχChristos Loizos
 
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύληςΕρωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύληςΜάκης Χατζόπουλος
 
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016+απαντήσεις
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016+απαντήσεις1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016+απαντήσεις
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016+απαντήσειςChristos Loizos
 
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 20161ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016Christos Loizos
 
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ ΛυκείουΗ εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ ΛυκείουΦυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 
Endeiktikes apantiseis sta_themata
Endeiktikes apantiseis sta_themataEndeiktikes apantiseis sta_themata
Endeiktikes apantiseis sta_themataChristos Loizos
 
Mathimatika pros plus_lyseis_oroshmo
Mathimatika pros plus_lyseis_oroshmoMathimatika pros plus_lyseis_oroshmo
Mathimatika pros plus_lyseis_oroshmoChristos Loizos
 
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσησ Neo σχ. έτος 2015-16
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσησ Neo σχ. έτος 2015-16θεωρια μαθηματικων κατευθυνσησ Neo σχ. έτος 2015-16
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσησ Neo σχ. έτος 2015-16Christos Loizos
 
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020General Lyceum "Menelaos Lountemis"
 
Λύσεις προσομοιωτικό διαγώνισμα [2019]
Λύσεις προσομοιωτικό διαγώνισμα [2019]Λύσεις προσομοιωτικό διαγώνισμα [2019]
Λύσεις προσομοιωτικό διαγώνισμα [2019]Μάκης Χατζόπουλος
 
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakisDiagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakisChristos Loizos
 
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλοδιαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλοΜάκης Χατζόπουλος
 
Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakis
Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakisCgen sxol 2015-2016_papagrigorakis
Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakisChristos Loizos
 

Ähnlich wie Απαντήσεις στις Ερωτήσεις Κατανόησης Σχολικού βιβλίου (20)

Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]
Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]
Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]
 
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
Prosomiosi prosanatolismou thetikis_plus_lyseis_5
 
1 2743συναρτήσεις κακ μιχ
1 2743συναρτήσεις κακ μιχ1 2743συναρτήσεις κακ μιχ
1 2743συναρτήσεις κακ μιχ
 
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύληςΕρωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
 
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016+απαντήσεις
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016+απαντήσεις1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016+απαντήσεις
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016+απαντήσεις
 
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 20161ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016
 
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ ΛυκείουΗ εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
 
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ ΛυκείουΦυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
Φυλλάδιο θεωρίας 2020 για τη Γ Λυκείου
 
Endeiktikes apantiseis sta_themata
Endeiktikes apantiseis sta_themataEndeiktikes apantiseis sta_themata
Endeiktikes apantiseis sta_themata
 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
 
Mathimatika pros plus_lyseis_oroshmo
Mathimatika pros plus_lyseis_oroshmoMathimatika pros plus_lyseis_oroshmo
Mathimatika pros plus_lyseis_oroshmo
 
Eπαναληψη 2018
Eπαναληψη 2018Eπαναληψη 2018
Eπαναληψη 2018
 
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσησ Neo σχ. έτος 2015-16
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσησ Neo σχ. έτος 2015-16θεωρια μαθηματικων κατευθυνσησ Neo σχ. έτος 2015-16
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσησ Neo σχ. έτος 2015-16
 
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020
 
Λύσεις προσομοιωτικό διαγώνισμα [2019]
Λύσεις προσομοιωτικό διαγώνισμα [2019]Λύσεις προσομοιωτικό διαγώνισμα [2019]
Λύσεις προσομοιωτικό διαγώνισμα [2019]
 
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakisDiagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
 
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλοδιαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
 
Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakis
Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakisCgen sxol 2015-2016_papagrigorakis
Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakis
 
Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakis
Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakisCgen sxol 2015-2016_papagrigorakis
Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakis
 
Προσομοίωση Γ Λυκείου 2019
Προσομοίωση Γ Λυκείου 2019Προσομοίωση Γ Λυκείου 2019
Προσομοίωση Γ Λυκείου 2019
 

Mehr von Μάκης Χατζόπουλος

Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΜάκης Χατζόπουλος
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Μάκης Χατζόπουλος
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΜάκης Χατζόπουλος
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Μάκης Χατζόπουλος
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη ΜαργαρώνηΜάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΜάκης Χατζόπουλος
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...Μάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΜάκης Χατζόπουλος
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΜάκης Χατζόπουλος
 

Mehr von Μάκης Χατζόπουλος (20)

Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
 
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
 

Kürzlich hochgeladen

Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptxΝόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptxPantelis Bouboulis
 
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptxΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptxssuser6a63b0
 
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - ΠένναΗ ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - ΠένναΣάσα Καραγιαννίδου - Πέννα
 
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocxειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocxSimos Skouloudis
 
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΓιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx7gymnasiokavalas
 
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη
 
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptxMARIAPSARROU4
 
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptxtheoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptxssuser78b997
 
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣChrisa Kokorikou
 
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΤο πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx7gymnasiokavalas
 
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΔήμητρα Τζίνου
 
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptxΣυμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptxlabriniderbederi
 
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptxΔιαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx7gymnasiokavalas
 
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxDokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxActforclimate
 
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36dimperist
 

Kürzlich hochgeladen (16)

Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptxΝόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
 
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptxΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
 
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - ΠένναΗ ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
 
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocxειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
 
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΓιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
 
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
 
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
 
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptxtheoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
 
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
 
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΤο πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
 
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
 
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptxΣυμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
 
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptxΔιαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
 
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxDokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
 
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
 
Συνέντευξη
Συνέντευξη                                            Συνέντευξη
Συνέντευξη
 

Απαντήσεις στις Ερωτήσεις Κατανόησης Σχολικού βιβλίου

  • 1. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΗ ΝΕΑ ΥΛΗ 2018 – 19 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ι. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής δικαιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας. 1. Ισχύει          dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( Α Ψ Αιτιολογία Βασική ιδιότητα του ολοκληρώματος 2. Ισχύει    β α β α β α dxxgdxxfdxxgxf )()()()( Α Ψ Αιτιολογία Έστω οι συναρτήσεις    f x g x 1  και α 0, β 2  τότε   2 0 1 1dx 1 2 0 2    ενώ     2 2 0 0 1dx 1dx 1 2 0 1 2 0 4       3. Αν   , τότε     0)( dxxf . Α Ψ Αιτιολογία Βασική ιδιότητα του ολοκληρώματος 4. Αν     0)( dxxf , τότε κατ’ ανάγκη θα είναι 0)( xf για κάθε ],[ x . Α Ψ Αιτιολογία Ένα αντιπαράδειγμα:   2π 2π 00 ημxdx συνx 0   = [  συνx] 2π 0 =  συν2π + συν0 = 0 όμως η συνάρτηση  f x ημx δεν είναι παντού μηδέν για κάθε x[α, β]. 5. Αν 0)( xf για κάθε ],[ x , τότε     0)( dxxf . Α Ψ Αιτιολογία Γεωμετρική ερμηνεία του ολοκληρώματος 6. Αν     0)( dxxf , τότε κατ’ ανάγκη θα είναι 0)( xf για κάθε ],[ x . Α Ψ Αιτιολογία Ένα αντιπαράδειγμα:   3π/2 3π/2 00 ημxdx συνx 1 0    όμως η συνάρτηση  f x ημx είναι αρνητική για κάθε 3π x π, 2       . 7.         dxxxdxx )1()1( 244 , για κάθε 0 . Α Ψ Αιτιολογία 22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 8
  • 2. α α α 4 2 4 4 2 4 α α α α 4 2 4 α α 2 α 3 (x x 1)dx (x 1)dx [(x x 1) (x 1)]dx (x x 1 x 1)]dx x dx 2α 0 3                            8.   4/ 0 4/ 0 2 συνln2)ημ1ln(   xdxdxx . Α Ψ Αιτιολογία       π π π 22 24 4 4 0 0 0 π συνx 0, x 0,π π4 4 4 0 0 ln 1 ημ x dx ln συν x dx ln συνx dx 2 ln συνx dx 2 ln συνx dx                  9.         β β α α f x dx αf α βf β xf x dx    Α Ψ Αιτιολογία                     β β ββ αα α α β α f x dx αf α x f x dx αf α xf x xf x dx αf α βf β xf x dx                 10.   e xdx 1 ln  1 1 ln e dt t . Α Ψ Αιτιολογία 1 1 1 e e 1 e e e 1 1 1 ln dt ln t dt ln tdt ln tdt ln xdx t           11. Aν    1 0 f x 1 dx 0  τότε   1 0 f x dx 1 . Α Ψ Αιτιολογία          1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 f x 1 dx 0 f x dx 1dx 0 f x dx 1dx f x dx 1              12. Αν     0)( dxxf , τότε 0)( f για κάποιο ),(   . Α Ψ Αιτιολογία Έστω η αρχική συνάρτηση F της f στο διάστημα  α,β άρα    F x f x  για κάθε  x α,β . Έχουμε,           β α f x dx 0 F β F α 0 F β F α       Η F είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα  α,β  παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα  α,β  και    F β F α άρα η συνάρτηση F ικανοποιεί το θεώρημα Rolle στο κλειστό διάστημα  α,β επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ α,β τέτοιο ώστε:    F ξ 0 f ξ 0    . 22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 8
  • 3. 13. Αν     0)( dxxf και η f δεν είναι παντού μηδέν στο ],[  , τότε η f παίρνει δυο, τουλάχιστον, ετερόσημες τιμές. Α Ψ Αιτιολογία Έστω ότι η συνάρτηση f δεν παίρνει ετερόσημες τιμές τότε:  αν  f x 0 για κάθε  x α,β και επειδή η f δεν είναι παντού μηδέν στο  α,β από θεωρία έχουμε β α f (x)dx 0 0 0   άτοπο.  αν  f x 0 για κάθε  x α,β και επειδή η f δεν είναι παντού μηδέν στο  α,β έχουμε β α f(x)dx 0 0 0   άτοπο. Οπότε υπάρχουν  1 2x ,x α,β τέτοια ώστε    1 2f x f x 0 . 14. Το ολοκλήρωμα   1 3 1 x x dx   παριστάνει το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης xxxf  3 )( και τον άξονα των x. Α Ψ Αιτιολογία Για να παριστάνει το εμβαδόν πρέπει να υπολογίσουμε:   1 3 1 E Ω x x dx    Το πρόσημο του 3 x x φαίνεται στο παρακάτω πίνακα προσήμων. x  1 0 1  x   + + 2 x 1 +   + 3 x x  +  + Άρα για κάθε  x 0,1 έχουμε: 3 x x 0  οπότε το ολοκλήρωμα   1 3 1 x x dx   δεν εκφράζει εμβαδόν. Το σωστό θα ήταν:     0 1 3 3 1 0 x x dx x x dx ...       ΙΙ. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση 1. Αν xπxf ημ)(  και 0)0( f , τότε το )1(f ισούται με Α) π 1  Β) π 1 Γ) π 2 Δ) π 2 Απάντηση Είναι   1 f x συνπx c π    όμως   1 1 f 0 0 c 0 c π π        άρα   1 1 f x συνπx π π    οπότε   1 1 1 1 2 f 1 συνπ π π π π π       2. Το ολοκλήρωμα β α 1 dx 4 x όπου 4 α β  είναι ίσο με Α)   β α ln 4 x   Β)   β α ln 4 x    Γ)   β α ln x 4   Δ)   β α ln x 4    Απάντηση Είναι   x 4 x 4 0β β αα ln 4 x ln x 4              22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 8
  • 4. 3. Το ολοκλήρωμα 2 β α 1 x dx x        με 0 α β  είναι ίσο με Α) β3 α 1 x x 3                Β) β 2 α 1 1 2 x 1 x x              Γ)   β3 α 1 ln x 3        Δ) β3 α x 1 2x 3 x        Ε) β3 2 α 1 x 1x 1 3 x                  Απάντηση Είναι β2 3 β β 2 2α α α 1 1 x 1 x dx x 2 dx 2x x 3 xx                         4. Το ολοκλήρωμα dxx |1| 2 1 1   είναι ίσο με Α) 3 4 Β) 0 Γ) 3 4  Δ) 3 2 Ε) 3 5 Απάντηση Είναι   13 1 1 2 2 1 1 1 x 1 1 4 x 1 dx 1 x dx x 1 1 3 3 3 3                                Σημείωση: Η συνάρτηση   2 f x x 1  είναι άρτια οπότε το ισούται 13 1 1 2 2 1 0 0 x 1 4 x 1 dx 2 x 1 dx 2 x 2 1 3 3 3                     (προφανώς θέλει απόδειξη). 5. Το ολοκλήρωμα β α ln xdx είναι ίσο με Α) β α 1 x       Β) β2 α ln x 2       Γ)   β α x ln x 1   Δ)   β α xln x Απάντηση Είναι,           β β β ββ β β α α α αα α α ln xdx x ln xdx xln x 1dx xln x x x ln x 1            6. Έστω f ,g συνεχείς συναρτήσεις στο ],[ βα . Αν )()( xgxf  για κάθε ],[ βαx τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει: Α) )()( xgxf  , ],[ βαx , Β)   β α β α dxxgdxxf )()( Γ)     β β α α f x dx g x dx  , ],[ βαx , Δ)   α β α β dxxgdxxf )()( . Απάντηση Από τις οδηγίες – πρόταση χωρίς απόδειξη. Υπενθυμίζουμε πώς προκύπτει:        f x g x g x f x 0    για κάθε  x α,β άρα από θεωρία έχουμε:      β β β α α α g x f x 0 f(x)dx g(x)dx      22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 8
  • 5. 7. Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του διπλανού σχήματος είναι ίσο με Α)  5 3 )( dxxf , Β)  3 5 )( dxxf . Γ)    0 3 5 0 )()( dxxfdxxf , Δ)     3 0 5 0 )()( dxxfdxxf . Απάντηση Είναι,           0 5 3 5 3 0 0 0 E Ω f x dx f x dx f x dx f x dx           8. Aν )()( xgxf  για κάθε ]1,1[x και 2)0()0(  gf , τότε για κάθε ]1,1[x ισχύει: Α) 2)()(  xgxf , Β)   1 1 4))()(( dxxgxf . Γ) )()( xgxf  , ]1,1[x Δ) οι fC , gC έχουν κοινό σημείο στο ]1,1[ . Απάντηση Οι f, g συνεχείς για κάθε  1,1 άρα υπάρχει σταθερά cR τέτοια ώστε:        f x g x f x g x c     όμως    f 0 g 0 2  άρα c 2 οπότε    f x g x 2  (αποκλείεται η επιλογή Α, Γ και Δ). Επομένως,        1 1 1 1 f x g x dx 2dx 2 1 1 4         9. Έστω η συνάρτηση f με γραφική παράσταση όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αν F μια αρχική της f τότε η )1(F είναι ίση με Α) 0, Β) 1, Γ) 2, Δ) 2 1 . Απάντηση Είναι,    F 1 f 1 2   10. Έστω η συνάρτηση f του διπλανού σχήματος. Aν, 2)( 1 ΩE , 1)( 2 ΩΕ και 3)( 3 ΩΕ τότε το  β α dxxf )( είναι ίσο με: Α) 6 Β) 4 Γ) 4 Δ) 0 Ε) 2 Απάντηση Είναι,                            β γ δ β α α γ δ γ δ β α γ δ γ δ β α γ δ 1 2 3 f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx E Ω Ε Ω Ε Ω 2 1 3 4                            x 5-3 O y O 3 Cf 2 1 x y O y x α γ δ β Ω3 Ω1 Ω2 22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 8
  • 6. 11. Έστω η συνάρτηση f με γραφική παράσταση όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αν F μια αρχική της f τότε: Α) 2 )( xxF  , Β)       x xx xF 1,2 10,2 )( , Γ)       xx xx xF 1,2 10, )( 2 , Δ)       xx xx xF 1,12 10, )( 2 Απάντηση Είναι,   2x ,0 x 1 f x 2 ,x 1      άρα όλες οι αρχικές συναρτήσεις της f είναι   2 1 2 x c ,0 x 1 F x 2x c ,x 1         Όμως, η F είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής, οπότε    x 1 x 1 1 2 1 2F x F x 1 c 2 c c c 1lim lim            άρα αν θέσουμε πχ. 1c 0 τότε 2c 1  άρα   2 x ,0 x 1 F x 2x 1 ,x 1        ΙΙΙ. 1. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα αντιπροσωπεύει τη γραφική παράσταση της f, αν    xf x f x  για κάθε x 0 . (Α) (Β) (Γ) O x y (Δ) (Ε) Απάντηση Για κάθε x 0 έχουμε:                2 xf x f x f x xf x f x xf x f x 0 0 0 f x cx xx                   2. Ποια από τα παρακάτω ολοκληρώματα είναι καλώς ορισμένα; Α)   1 0 1 1 dx x Β)  2/ 0 ημ π xdx Γ)  π xdx 0 εφ 2 1O y x 22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 8
  • 7. Δ)  1 0 ln xdx Ε)   2 0 2 1 dxx Ζ)   1 0 1 1 dx x . Απάντηση Το ολοκλήρωμα Α δεν ορίζεται διότι το άκρο 1 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης       1 f x , x ,1 1, x 1       . Το ολοκλήρωμα Β είναι καλώς ορισμένο διότι η συνάρτηση  f x ημx ορίζεται για κάθε x R . Το ολοκλήρωμα Γ δεν ορίζεται διότι π 2 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης  f x εφx (διότι π συν 0 2  ). Το ολοκλήρωμα Δ δεν ορίζεται διότι το άκρο 0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης  f x lnx, x 0  . Το ολοκλήρωμα Ε δεν ορίζεται διότι το άκρο 2 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης    2 f x 1 x , x 1,1    . Το ολοκλήρωμα Ζ είναι καλώς ορισμένο διότι η συνάρτηση   1 f x x 1   ορίζεται για κάθε    x , 1 1,      3. Να εντοπίσετε το λάθος στις παρακάτω πράξεις:     α 1 α 1 α 1 α 1 α α α α α 1α 1 α α α 1 α α 1 α 1 1 1 1 dx x dx x x dx x x x x 1 1 x dx x 1 α 1 α dx x 1 1 dx x                                          Άρα, α 1 α 1 α α 1 1 dx 1 dx x x      οπότε 1 0 . Απάντηση Το λάθος εντοπίζεται στο σημείο α 1 α 1 x x        που γράφεται ως εξής   α 1 α 1 α α 1 x 1 α 1 α 1 x             . Το σωστό είναι: α 1 α 1 1 1 x α 1 α 1 1 0 x α 1 α                           4. Να εντοπίσετε το λάθος στις παρακάτω πράξεις du u u dx x I               1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1     1 1 2 1 1 Idu u 22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 8
  • 8. (Θέσαμε u x 1  οπότε ) 1 2 du u dx  . Άρα II  οπότε 0I . Αυτό, όμως, είναι άτοπο, αφού     1 1 2 0 1 1 dx x I , επειδή 0 1 1 2   x για κάθε ]1,1[x . Απάντηση Η αντικατάσταση 1 x u  δεν είναι σωστή διότι όταν το x λάβει την τιμή μηδέν δεν υπάρχει αντίστοιχο u, τέτοιο ώστε x = 1 u . 5. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι του διπλανού σχήματος τότε να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: i.   0 0 f x dx 0 ii.   2 0 f x dx 2 iii.   3 0 f x dx 4 iv.   4 0 f x dx 6 v.   6 0 f x dx 12 Απάντηση Είναι, i. Από θεωρία ii.   2 0 1 2 2 2 2 f x dx    (εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου) iii.         3 2 3 0 0 2 f x dx f x dx f 2 3x dx 2 2 4        (από 2 έως 3 είναι εμβαδόν ορθογωνίου παρ/μου). iv.         4 2 4 0 0 2 f x dx f x dx f 2 4x dx 2 2 6        (από 2 έως 4 είναι εμβαδόν ορθογωνίου παρ/μου). v.        6 4 6 0 0 4 2 4 2 f x dx f x dx f x dx 126 2          (από 4 έως 6 είναι εμβαδόν τραπεζίου) 6432 4 2 O y x Cf 22.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 8