Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. [
]
1
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ /
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Εξεταζόµενη ύλη: Εφ’ όλης της ύλης
Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Ερωτήµατα ή και ολόκληρα
θέµατα αντλήθηκαν από:
Τράπεζα Θεµάτων ΕΜΕ
Μεθοδική Επανάληψη Στεργίου
Σχολικό Βιβλίο
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω µια συνεχής συνάρτηση f σε ένα διάστηµα [α,β]. Αν G είναι µια
παράγουσα της f στο [α,β], τότε να αποδείξετε ότι f x( )dx = G β( )− G α( )α
β
∫
Μονάδες: 7
Α2. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισµό:
΄΄ Οι πληροφορίες που µας δίνει το πρόσηµο της πρώτης παραγώγου µιας
συνάρτησης είναι ικανές για τη σχεδίαση της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f’’
α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισµό γράφοντας πάνω στην
κόλλα σας το γράµµα Α, αν είναι αληθής, ή το γράµµα Ψ, αν είναι ψευδής
β. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας στο ερώτηµα α
Μονάδες: 1+3
Α3. Ποιες είναι οι πιθανές σηµείων καµπής µιας συνάρτησης f σε ένα
διάστηµα Δ;
Μονάδες: 3
07.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 4
η ήτρης Μονέζης

2. [
]
2
Α4. Ποια από τα παρακάτω ολοκληρώµατα είναι καλώς ορισµένα;
(Αιτιολογήστε την απάντηση σας)
1.
1
x −10
1
∫ dx 2. ηµx
0
π
2
∫ dx 3. εϕx
0
π
∫ dx 4. lnx
0
1
∫ dx
5. 1 − x2
0
2
∫ dx 6.
1
x +10
1
∫ dx
Μονάδες: 6
A5. Να εντοπίσετε το λάθος στις παρακάτω πράξεις
Θεωρούµε το ολοκλήρωµα Ι =
1
1 + x2
dx
−1
1
∫
Θέτουµε x =
1
u
οπότε dx = −
1
u2
du και για x=-1 προκύπτει ότι u=-1 ενώ
για x=1 προκύπτει u=1
Άρα Ι =
1
1 + x2
dx
−1
1
∫ =
1
1 +
1
u2
−1
1
∫ −
1
u2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ du = −
1
1 + u2
du = −I
−1
1
∫ δηλαδή Ι=-Ι οπότε
Ι=0 το οποίο όµως είναι άτοπο αφού Ι =
1
1 + x2
dx
−1
1
∫ > 0 επειδή
1
1 + x2
> 0 για
κάθε x ∈ −1,1⎡
⎣
⎤
⎦
Μονάδες: 5
ΘΕΜΑ B
Δίνεται η συνάρτηση f x( )=
1 − x2
x
, x ∈ −1,0⎡
⎣ )∪ 0,1( ⎤
⎦
Β1. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα τοπικά
ακρότατα της
Μονάδες: 3
Β2. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα κοίλα και τα σηµεία καµπής
της
Μονάδες: 6
07.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 4

3. [
]
3
Β3. Να βρείτε τις ασύµπτωτες της Cf
, το σύνολο τιµών της συνάρτησης f
και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση
Μονάδες: 7
Β4. Δύο σηµεία Α και Β που είναι συµµετρικά ως προς την αρχή των
αξόνων, κινούνται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Να βρείτε
την ελάχιστη απόσταση των σηµείων Α και Β και τις θέσεις των Α,Β στις
οποίες συµβαίνει αυτό
Μονάδες: 9
ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται οι συναρτήσεις f x( )=
ex
xx
, x>0
1 , x=0
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
και g x( )= ln2
x −
1
x
,x>0
Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0
= 0
Μονάδες: 5
Γ2. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και να
χαρακτηρίσετε τα ακρότατα της
Μονάδες: 6
Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g x( )= 0 έχει µοναδική ρίζα στο 0,+∞( )
Μονάδες: 6
Γ4. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη κυρτότητα και να
αποδείξετε ότι η Cf
έχει ένα ακριβώς σηµείο καµπής
Μονάδες: 8
07.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 4

4. [
]
4
ΘΕΜΑ Δ
Στο διπλανό σχήµα φαίνεται η
γραφική παράσταση της
συνάρτησης f : 0,+∞( )→ R για την
οποία ισχύουν:
• Είναι δύο φορές
παραγωγίσιµη στο 0,+∞( )
• Παρουσιαζει µέγιστο στη
θέση x0
µε τιµή f x0( )= 2x0
• f//
x( )< 0 για κάθε x ∈ 0,x0( ⎤
⎦
• Έχει οριζόντια ασύµπτωτη στο +∞ την ευθεία y=0
Δ1. Να υπολογίσετε (αν υπάρχουν) τα όρια
α. lim
x→1
1
f x( )
β. lim
x→+∞
x + f x( )
x2
+1 −1
γ. lim
x→x0
f x( )− 2x
x − x0( )⋅ f x( )
Μονάδες: 2+2+3
Δ2. Να αποδείξετε ότι ισχύει 0 <
2x0
x0
−1
< f/
1( )
Μονάδες: 5
Δ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικό x1
∈ 1,x0( ) τέτοιο ώστε η
εφπατοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο
x1
,f x1( )( ) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων
Μονάδες: 6
Δ4. Αν Ε(Ω) το εµβαδό του επίπεδου χωρίου που περικλείεται από τη
γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x/
x και την ευθεία
x = x0
, να αποδείξετε ότι Ε Ω( )< 2x0
⋅ x0
−1( )
Μονάδες: 7
Σας
εύχομαι
επιτυχία
07.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 4