Οι νέες σημειώσεις (σχ. έτος 2015-16) του Μίλτου Παπαγρηγοράκη για το lisari

1. Γ Λυκείου
4Ο
ΓΛΧ
2015 - 2016
M .Ι .Παπαγρηγοράκης
Χανιά
[Μαθηματικά]
Θετικών Σπουδών
Β ΜΕΡΟΣ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2. Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου
Μαθηματικά Θετικών Σπουδών
Μέρος Β: Διαφορικός Λογισμός
Έκδοση 15.07
Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου
προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση
αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της
Μίλτος Παπαγρηγοράκης
Μαθηματικός MEd
Χανιά 2015
Ιστοσελίδα: http:users.sch.gr/mipapagr

3. Γ Λυκείου –Μ
2 ΠΑ
2.01 Να
2
f(x) x -5
2.02 Να
0 η συνάρτ
2.03 Αν
βρείτε τα α
παραγωγίσι
2.04 Αν
στο 0x 3 ν
παραγωγίσι
2.05 Έστ
και ισχύει ό
Να αποδείξ
ox 0
2.06 Αν
2
f(x) x 
η f είναι πα
2.07 Έστ
παραγωγίσι
Υπολογίσετ
Α)
x α
f(x)
lim
x


Γ)
2
x α
α f(
lim

Μαθηματικά Θ
ΑΡΑΓΩΓΟΣ
αποδείξετε ό
5x 6 δεν είν
εξεταστεί αν
τηση f(x)


 

αx
f(x) x
x


  


,β R ώστε η
ιμη στο 2
x 3
f(x)
lim
x 3
 

να αποδείξετ
ιμη στο 3
τω συνάρτησ
ότι ημx f(x)
ξετε ότι η f ε
για την συνά
2
(x 1) για κ
αραγωγίσιμη
τω f,g : R 
ιμες στο α 
τε τα:
f(α)
α


Β
2
x) x f(α)
x α


Δ
Θετικών Σπουδ
Σ- ΟΡΙΣΜ
ότι η συνάρτ
ναι παραγωγ
ν είναι παραγ
1
xxe αν
1 συνx αν
β αν x
2 2
αν x
2



η f να είναι
7 και η f εί
τε ότι η f είν
ση f ορισμέν
) x x ημx 
είναι παραγω
άρτηση f : R
κάθε x R , ν
η στο ox 1
R συναρτήσ
R με  f α 
Β)
x α
(f(x))
lim
x
Δ)
x α
g(α)f
lim

δών
ΜΟΣ
ηση
γίσιμη στο 2
γωγίσιμη στο
x 0
x 0


x 2
x 2


να
ίναι συνεχής
ναι
νη στο 0. 
x , για x 0 .
ωγίσιμη στο
R ισχύει
να δείξετε ότι
σεις
 g α 3  .
2 2
(f(α))
x α


f(x) f(α)g(x)
x α


2
ο
ς

ι
)
2.
πα
απ
πα
2.
x
2.
κα
2.
πα
f
x
l

2.
πα
g
πα
2.
πα
f
ότ
2.
πα
.08 Έστω
αραγωγίσιμη
ποδείξετε ότι
αραγωγίσιμη
.09 Η συν
o με of(x ) 
.10 Έστω
αι
x 0
f(2x)
lim
x

.11 Δίνετα
αραγωγίσιμη
(1) 2 . Να α
im (x 1) f(


 

.12 Η συν
αραγωγίσιμη
 
ο
x
f (x )

 

αραγωγίσιμη
.13 Έστω
αραγωγίσιμη
   x y f x 
τι η f είναι π
.14 Δίνετα
αραγωγίσιμη
2
x 0
f
lim

η συνάρτηση
η στο 0 και σ
ι η
f
g(x)
f(


 


η στο
1
2
αν κ
νάρτηση f εί
3 , of (x ) 2 
f : R R πα
f(x)
3
x

 . Απ
αι η συνάρτη
η στο 1 για τη
αποδείξετε ότ
x
1) f
x 1
 
  
 
νάρτηση f : R
η στο ox R
ο ο
f(x)
)(x-x ) f(x
η στο ox
η συνάρτηση
η στο 0 και ι
  f y xy 
παραγωγίσιμ
αι η συνάρτη
η στο 0 . Να
2 2
(3x) f (2x)
x

η f : R R
στο 1 με f(0
f(2x) αν
(2x-1) αν
και μόνο αν
ίναι παραγω
. Bρείτε το
x
l
αραγωγίσιμη
ποδείξτε ότι
ηση f : R R
ην οποία ισχ
τι
2



R R είναι
. Δείξτε ότι η
αν x x
) αν x x


η f : R R
ισχύει
για κάθε x,y
μη στο R .
ηση f : R R
αποδείξετε ό
)
2f(0)f (0)
41
0) f(1) . Να
1
x
2
1
x
2


είναι
f (0) f (1) 
ωγίσιμη στο
ο
x ο
2f(x)-6
lim
x-x
η στο ox 0
 f 0 3 
R
χύει ότι
η
ο
ο
x
x
είναι
y R , δείξτε
R ,
ότι
1
ε

4. 42
2.15 Αν
στο 0x 1 μ
  f xy xf y
δειχθεί ότι f
2.16 ** Δ
τέτοια ώστε
Να δείξετε ό
0x 0 και ό
2.17 Έστ
παραγωγίσι
h 0
lim

2.18 Αν
 
x 0
f x 2
lim
x

A) Να
στο 2 και ό
B) Να
i)
x 2
lim

ΚΑΝΟΝΕΣ
ΒΑΣΙΚΩΝ
2.19 Βρε
Α)
e
f(x)
1


Γ) g(x) x
Ε).
η
g(x) 
Ζ)  
2
f x
1

Θ)
2x
h(x) 
η συνάρτηση
με f (1) α  κ
  y yf x γ
 0
f(
f x α+ 
Δίνεται η συν
3 4
f (x) 2x f(
ότι η f είνα
ότι f (0) 0 
τω η συνάρτη
ιμη στο x R
0
f(x 3h) f(
m
h
 
για την συνε
3 τότε:
δείξετε ότι η
ότι f (2) 3 
βρεθούν τα
2
22
f (x) f(x)
m
x 4


Σ ΠΑΡΑΓΩΓ
Ν ΣΥΝΑΡΤΗ
είτε τις παράγ
x
e
x
ln x
xημx
x 1


μx συνx
1 εφx


2 ημx
ημx


x
x 1
e

η f είναι πα
και ισχύει:
για κάθε x,y
0
0
(x )
x
για κάθ
νάρτηση f : R
(x) 8 , για κ
αι συνεχής στ
ηση f ορισμέ
R , να δείξετε
(x 2h)
5f


εχή συνάρτη
η f είναι παρ
όρια:
ii)
x
lim η




ΓΙΣΗΣ-ΠΑΡ
ΗΣΕΩΝ
γώγους των
Β) f
Δ) f
Στ)
Η) f
Ι) f(
ραγωγίσιμη
 0,  . Ν
θε 00 x 1 
R (0, ) 
κάθε x R
ο σημείο
ένη στο R κ
ε ότι
 x
ση f ισχύει
ραγωγισιμη
2x 1
μx f
x 2
 

 
ΡΑΓΩΓΟΙ
συναρτήσεω
  2
1
f x
x 4


  x
ln x
f x
e

ln x
g(x)
x 2


2
x
f(x)
ln x

1 ημx
(x)
1 συνx



Να
και



ων
x
x
2.
P
2.
πα
x
li

2.
2.
A
2.
R
f
2.
f
x
A
Γ)
ότ
Δ)
εί
f
2.
πα
απ
Α
Β)
.20 Να βρ
   P x P x   
.21 Έστω
αραγωγίσιμη
x
1
f(e ) xf(
im
x 1


.22 Να υπ
.23 Να απ
A)
x
x 0
e
lim

.24 Η συν
R , με  g e 
   2
x x g x
.25 Έστω
  x
x y e f 
,y R Να απ
A)  f 0 
) Αν είν
τι   of x f 
) Αν η
ίναι παραγω
   o ox f x
.26 Αν μι
αραγωγίσιμη
ποδείξετε ότι
Α)
x α
f(
lim

)
x α
αf
lim

htt
ρείτε όλα τα π
2
 για κάθε
συνάρτηση
η στο ox e
e)
ef (e) f 
πολογίσετε το
ποδείξετε ότι
x
1
1
x

 B)
νάρτηση g εί
1 και  g e 
2
x
ln x
 να βρ
συνάρτηση
   y
y e f x 
ποδείξετε ότι
α  B) η
ναι παραγωγ
   x
ox f 0 e
f είναι παρα
γίσιμη στο R
  ox
f 0 e x 
α συνάρτηση
η στο σημείο
ι:
(x)ln x f(α)l
x α


2
f(x) xf(α)
x αx



ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
πολυώνυμα
x R .
f : R R
. δείξτε ότι
f(e)
ο
ημ π h
h 0
e
lim
h


ι
5 5
x 2
x 2
lim
x 2


είναι παραγω
2 . Αν
ρείτε τον f e
f για την οπ
xy α  για κ
ι:
η  f 0 0
γίσιμη στο R
ox
ox , ox 
αγωγίσιμη στ
R και ισχύει
ox για κάθε
η f : R R ε
ο 0x α,α 0 
lnα f(α)
α
 
f(α)
f (α)
α
 
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
P με
h
1
80
ωγίσιμη στο
e
ποία ισχύει:
κάθε
τότε ισχύει
R .
το 0 τότε
ox R
είναι
0 , να
f (α)lnα
Σ
r

5. Γ Λυκείου –Μ
ΠΑΡΑΓΩΓ
2.27 Βρε
2
f(x) ημ x
2
f(x) εφ (4
  3
f x ln x
 f x συν
  f x ημ 2
   2
f x x 
2.28 Βρε
Α) f x
Β) f x
Γ) f x
2.29 Βρε
Α) f x
Β) f x
Γ) f x
Δ) f x
Ε) f x
2.30 Δίν
Α) Απο
βρείτε το πε
Β) Αν
να δείξετε ό
2.31 Αν
στο 0x 0 κ
κάθε x R
Μαθηματικά Θ
ΓΟΣ ΣΥΝΘΕ
είτε τις παραγ
2
συν 3x ,
3
4x 1)
2
x 3x ln 3 
 3
ln 2x 2
x x
2 3 ημt 
  
4 33
3 x 5 
είτε τις παραγ
x συν ln x
  x
x log 2 
   
42
x x 3 
είτε τις παραγ

2 1
x ημ
x x
0


 

 2
x x x 3  
 log x
x x , x 
  x
x ημx , x
 x
x 2

εται η  f x 
οδείξτε ότι η
εδίο ορισμού
η 1
f
είναι π
ότι    1
f 1 

η συνάρτηση
και ισχύει: f
να βρεθεί η
Θετικών Σπουδ
ΕΤΗΣ ΣΥΝΑ
γώγους των
3
2
t , t R
2
y , y R
γώγους των
x , x 1
x
3
 
33
2x 5
γώγους των
αν x 0
αν x 0


3 2
0
π
x 0,
2
 
 
 
x 3
e x x   ,
f είναι αντισ
ύ της 1
f
παραγωγίσιμ
1
2
 .
η f είναι πα
3 2
(x) x f(x)
 f 0 .
δών
ΑΡΤΗΣΗΣ
συναρτήσεω
R
συναρτήσεω
συναρτήσεω
x R .
στρέψιμη κα
μη στο 1
f
D  ,
ραγωγίσιμη
2
2x ημx , γ
ων:
ων:
ων:
ι
,
για
2.
c,
f
f

Β)
2.
R
Α
εί
Β)
απ
2.
R
f
2.
πα
απ
Α
Β)
2.
R
Α
Β)
2.
Α
Β)
πα
f
.32 Α) Α
,α,β,γ R κ
(x) 1
f(x) x α

 

) Να βρεθεί η
.33 Η συν
R με  f x 0 γ
Α) Να απ
ίναι παραγω
) Αν ισχ
ποδείξετε ότι
.34 Η συν
R και για κάθ
  2
2x 3 x 
.35 Αν μι
αραγωγίσιμη
ποδείξετε ότι
Α)
x α
f(
lim

)
x α
αf
lim

.36 Έστω
R . Να αποδει
Α) η f εί
) η f εί
.37 Έστω
Α) Να δε
) Αν θεω
αραγωγίσιμη
1
f (x) 
 
Αν f(x) c(x
και x α,β,γ
1 1
x β x γ

 
η f αν f(x) 
νάρτηση f είν
για κάθε x
ποδείξετε ότι
γίσιμη στο R
χύει ότι f 2
ι  f 2 4  
νάρτηση f εί
θε x R ισχύ
3x 5  να β
α συνάρτηση
η στο σημείο
ι:
(x)ln x f(α)l
x α


2
f(x) xf(α)
x αx



η συνάρτηση
ιχτεί ότι αν:
ίναι άρτια τό
ίναι περιττή τ
η συνάρτηση
είξετε ότι υπά
ωρήσουμε γν
η, να δείξετε
2
1
, x (
1 x


α)(x β)(x 
γ τότε να απ
2 3
(x 5) (1
1 x



ίναι παραγω
R .
ι η συνάρτησ
R .
2 5  και f
ίναι παραγω
ύει
βρεθεί το f
η f : R R ε
ο 0x α,α 0 
lnα f(α)
α
 
f(α)
f (α)
α
 
η f παραγω
ότε η f είναι
τότε η f είν
η f(x) συνx
άρχει η συνά
νωστό ότι f
ότι
( 1,1)
43
γ) με
ποδείξετε ότι:
4 2
2
x )
x

γίσιμη στο
ση  y f x
 2 4  να
ωγίσιμη στο
3
είναι
0 , να
f (α)lnα
γίσιμη στο
ι περιττή
ναι άρτια
x,x (0,π)
άρτηση 1
f
1
είναι
3

6. 44
2.38 Έστ
0 τέτοια ώσ
  f f(x) f x
2.39 Δίν
είναι f(x y
x,y R . Α
αποδειχτεί ό
2.40 Οι σ
στο R και γ
με  f 1 0 
2.41 Να
οποία ισχύε
2.42 Έστ
 
x x
f x
0


 

Να εξετάστε
2.43 Έστ
R . Να απο
Α) Αν
Β) Αν
Γ) Αν
και περιττή
α)
β)
γ)
Δ) Αν
2
g(x) (x 
τω η συνάρτη
στε για κάθε
x 2x .Δείξτ
εται η συνάρ
y) f(x)f(y) κ
Αν ισχύει ότι
ότι η f είναι
συναρτήσεις
για κάθε x
, να αποδειχ
βρείτε όλα τ
ει ότι  P x  
τω η συνάρτη
2 2
x ημ , x
x
0, x


ε αν η  f x
τω η συνάρτη
δείξετε ότι
η f είναι άρτ
η f είναι περ
η f είναι δύ
τότε:
Η fC διέρχ
 f x f   
 f 0 0 
η f είναι άρ
1)f(x) 3x τό
ηση f παραγ
x R να ισχ
τε ότι  f 0 
ρτηση f για
και f(x) 0 γ
x 0
f(x) 1
lim
x


ι παραγωγίσ
f,g είναι πα
R ισχύει ότι
χτεί ότι  g΄ 1
τα πολυώνυμ
 
2
P x  
ηση
0
0
είναι συνεχ
ηση f παραγ
τια τότε η f
ριττή τότε η
ύο φορές παρ
χεται από το
 f x
ρτια και
ότε g (0) 3 
γωγίσιμη στο
χύει
1 ή  f 0 
την οποία
για κάθε
R  να
σιμη στο R
αραγωγίσιμε
ι  
2
f(x
g x e
  2g(1)f΄ 1
μα  P x για τ
χής στο ox 
γωγίσιμη στο
είναι περιττή
f είναι άρτια
ραγωγίσιμη
 0,0
ο
2
ες
)
,
τα
0
ο
ή
α
2.
f
πα
να
υπ
Π
2.
στ
να
2.
πα
Α
Β)
Γ)
κά
2.
A
B)
x
2.
πα
f
2.
Α
Β)
.44 Έστω
 x xημ
αραγωγίσιμη
α δείξετε ότι
πολογίσετε τ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ
.45 Θεωρο
το R με παρά
α δείξετε ότι
.46 Έστω
αραγωγίσιμη
Α)
h 0
f (x 2
lim

 
)
h 0
f (x h
lim

 
)
h 0
4f (x 2
lim

 
άθε x R
.47 Να απ
A) Αν y ln
) Αν y ημ
2
y xy y  
.48 Αν η σ
αραγωγίσιμη
   2
x xf x
.49 Να α
Α) Αν  f x 
) Αν  f x 
htt
η συνάρτησ
x
μ x e , x
η στο  0,
ι /
f (x) ημx
ο 2x 0
f(x)
lim
x


Σ ΑΝΩΤΕΡ
ούμε συνάρτ
άγωγο συνεχή
 f 3 5  
μια συνάρτη
η στο R. Να α
2h) f (x)
2
h


h) f (x)
f
h

 
2h) 6f (x h)
h
  
ποδειχτεί ότι
 2x
e 1 x  τ
  ln x συν
0
συνάρτηση f
η στο R και
, να αποδείξε
ποδείξετε ότι
συνx , τότε f
x
xe τότε (ν
f
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
ση  f : 0, 
x 0 . Αν f
 τότε
xσυνx 2x 
1
ΡΗΣ ΤΑΞΗΣ
τηση f παρα
χή. Αν
x 1
f
lim


ηση f δύο φο
αποδείξετε ό
2f (x) , xR
f (x) , xR
10f (x)
2f


ι:
τότε y 1 
ln x τότε
f είναι δύο φ
ι για κάθε x
ξετε ότι  f 1
ι:
 (ν)
f x συν
  ν) x
x e x 
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
R ώστε
είναι
2
x
xe και να
Σ
αγωγίσιμη
(4 x)
5
x 1



ορές
ότι:
(x) για
 y 1 y  
φορές
R ισχύει
 0 .
νπ
ν x
2
 
 
 
ν
Σ
r

7. Γ Λυκείου –Μ
ΕΦΑΠΤΟΜ
2.50 Βρε
0x 0 αν f
2.51 Μια
ox 1 και ι
ότι η εφαπτ
είναι κάθετη
2.52 Δίν
τις εφαπτόμ
M( 2, 8) 
2.53 Έστ
ότι: xln x 
αποδείξετε ό
να βρείτε τη
στο σημείο
2.54 Αν
να αποδειχτ
σχηματίζου
εφαπτομένη
ανεξάρτητο
2.55 Να
όταν f(x) 
τέμνονται σ
2.56 Αν
α,β R ώσ
εφαπτόμενη
Μαθηματικά Θ
ΜΕΝΗ ΚΑΜ
είτε την εφαπ
2
3
1
x ημ
xf(x)
x


 


α συνάρτηση
ισχύει
x 1
f(
lim

ομένη της C
η στην ευθεία
εται η συνάρ
μενες της fC
τω συνάρτησ
  2
f x x x 
ότι είναι παρ
ην εξίσωση τη
 Μ 1,f(1) .
 f : 0, 
τεί ότι το εμβ
υν οι ημιάξον
η της καμπύλ
ο του α .
βρεθούν οι ε
2
x 2 και g
στον y y και
 f x αln x
στε η ευθεία ε
η της fC στο
Θετικών Σπουδ
ΜΠΥΛΗΣ
πτομένης της
1
αν x 0
x
αν x 0


η f είναι συν
2
x) x
7
x 1



. Ν
fC στο σημείο
α x 9y 5  
ρτηση f(x) 
που διέρχον
ση f για την
x για κάθε x
ραγωγίσιμη σ
ης εφαπτομέ
R με  f x 
βαδόν του τρ
νες Ox,Oy κ
λης στο ox 
εφαπτόμενες
21
g(x) x
8
  
ι είναι κάθετε
2
βx 3  , να
ε: 2x y 4  
ο σημείο της
δών
fC στο
0
0
νεχής στο
Να αποδείξε
ο   A 1,f 1
0
3
x . Να βρείτ
νται από το
ν οποία ισχύε
Δ . Να
στο ox 1 κ
ένης της fC
1
x
 και α 0
ριγώνου που
και η
α είναι
ς των f gC , C
1
2
 που
ες μεταξύ του
α βρείτε τα
0 να είναι
  A 1,f 1 .
ετε
τε
ει
και
0 ,
g
υς.
2.
ισ
απ
πα
στ
2.
βρ
στ
2
2.
Ν
2.
f
g
2.
f(
κο
2.
συ
κά
το
στ
γω
2.
f
εί
f
.57 Για τη
σχύει ότι f 2
ποδείξετε ότι
αράστασης σ
την y x .
.58 Αν f
ρεθούν τα α,
το A(2,f(2))
x y 1 0  
.59 Αν f
Να βρείτε τις
.60 Για πο
  2
x x 3x 
 
α
x
x

.61 Δείξτ
x x
e e
2
(x)



οινή εφαπτομ
.62 Θεωρο
υνεχή πρώτη
άθε x R . Α
ον άξονα x x
το σημείο τομ
ωνία o
45
.63 ** Δίν
  4 2
x x 4x 
ίναι εφαπτομ
σε δύο διαφ
ην παραγωγί
 x f 2 x  
ι η εφαπτομέ
στο σημείο 2

2
αx 2
x
x
 

 


,β,γ R ώστ
να είναι πα
 2
x 4 x  κ
κοινές εφαπτ
οια τιμή του
στο  1,f(1)
ε ότι οι γραφ
και g( )x 
μένη σε κάθε
ούμε την συν
η παράγωγο σ
Αν η gC της g
x , να αποδειχ
μής , σχηματ
εται η συνάρ
2
3x . Να β
μένη της γρα
φορετικά σημ
ίσιμη συνάρτ
x 2x  , x
ένη της γραφ
2,f(2) είναι
2αx β α x
γ
x
x 1
 

τε η εφαπτομ
αράλληλη πρ
και  g x x 
τόμένες των
α 0 η εφαπ
 είναι εφαπ
φικές παραστ
x x
e e
xμη
2


ε κοινό τους
νάρτηση f π
στο R με f (
g με g(x) 
ιχτεί ότι η εφ
τίζει με τον ά
ρτηση
ρεθεί ευθεία
αφικής παράσ
μεία της. (ma
45
τηση f
R . Να
φικής
ι κάθετη
x 2
x 2


, να
μένη της Cf
ος την
2
x 8x 20  .
fC και gC .
πτόμενη της
τόμενη της
τάσεις των
έχουν
σημείο.
που έχει
(x) 0 για
f(x)
f (x)
τέμνει
απτομένη
άξονα x x
που να
στασης της
athematica)
5

8. 46
2.64 Μία
ιδιότητα: f
x R  . Έστ
από το M



διαφορετικά
της f και να
fC στα Α κ
2.65 Δίν
x 0 , όπου
εφαπτόμενη
και αποδείξ
Ρ για κάθε α
2.66 Αν
εφαπτομένη
σημείο της μ
στη gC της
2.67 * Αν
ότι οι fC κα
2.68 Δείξ
x
g(x) e κα
2.69 Να
με x
f(x) α
2.70 Έστ
συνάρτηση
 3f x 1 2 
Α) Να
Β) Απο
άγονται απ
α συνάρτηση
  2
x 2 x  
τω μεταβλητ
1
,0
2

 

και τ
ά σημεία Α κ
α αποδείξετε
και Β τέμνοντ
εται η συνάρ
υ α R . Να
ης της fC στο
ξετε ότι διέρχ
αR.
η ευθεία y 
η του διαγρά
με ox 1  , ν
g(x) f
x

 

ν
1
f(x)
x
 κα
αι gC έχουν κ
ξτε ότι οι γρα
αι
2
f(x) 2x
βρείτε τον α
, να έχει εφα
τω f δευτερο
για την οποί
  2
2f x 2 x 
βρεθεί ο τύπ
οδείξτε ότι οι
ό το σημείο
η f : R R έχ
3x 2 f x  
τή ευθεία η οπ
τέμνει τη fC
και Β. Να βρ
ε ότι οι εφαπτ
ται κάθετα.
ρτηση  f x 
βρείτε την εξ
ο σημείο της
χεται από στα
2x 0  είναι
άμματος της
να βρεθεί η ε
2
1
x



στο σημ
αι x
g(x) e

κοινή εφαπτο
αφικές παρα
, έχουν κοιν
α R ώστε η
απτομένη την
οβάθμια πολ
ία ισχύει ότι
2
14x 5  , 
πος της f .
ι εφαπτόμενε
1
A 1,
4
 
 
 
, εί
χει την
3 2x 4   ,
ποία διέρχετ
σε δύο
είτε τον τύπο
τόμενες της
2α lnx ,
ξίσωση της
  M 1,f 1
αθερό σημείο
ι η
y f(x) , στο
εφαπτομένη
είο με 1x 1
, αποδείξετε
ομένη.
στάσεις των
νή εφαπτομέν
συνάρτηση
ν y x .
υωνυμική
:
x R 
ες της fC πο
ίναι κάθετες.
,
ται
ο
ο
ο
1
ε
νη
f
ου
.
2.
R
υπ
σχ
ση
2.
Α
C
Β)
στ
δι
2.
f
Α
τη
Β)
2.
Α
εφ
Β)
ση
2.
f(
A
πα
B)
τα
άξ
Γ)
ση
κά
.71 ** Έστ
R , και ισχύει
πολογίσετε τ
χηματίζεται
ημείο της με
.72 ** Έστ
Α) Να βρ
fC στο σημείο
) Aποδε
το σημείο x
ιέρχονται απ
.73 Έστω
: (0, ) R 
Α) Να βρ
ης γραφικής
) Υπολο
.74 Έστω
Α) Bρείτε
φαπτόµενη δ
) Να βρ
ηµείου M ότ
.75 Θεωρο
21
(x) x 2
2
 
A) Να απ
αραβολές έχο
) Να απ
α οποία οι εφ
ξονα x x , βρ
) Αν λ
ημείων του ε
άθετες εφαπτ
htt
τω συνάρτησ
ι  f ln x xl
ο εμβαδόν το
από την εφα
ox 1 και τ
τω η  
ln
f x 
ρεθεί η εξίσω
ο  ο οx ,f(x ) .
είξτε ότι οι π
ο ο,f(x ) , καθ
πό το ίδιο σημ
μία παραγω
, με 2
f(x ) f
ρείτε την εξίσ
παράστασης
ογίστε το όρι
η συνάρτησ
ε το σηµείο M
ιέρχεται από
ρείτε τον γεω
ταν το α δια
ούμε τις παρ
λx - 2λ(1- λ),
ποδείξετε ότι
ουν μία κοιν
ποδείξετε ότι
φαπτόμενες ε
ρίσκονται στη
0 , να βρείτ
πιπέδου από
τόμενες τη συ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
ση f παραγω
lnx x , x 0
ου τριγώνου
απτομένη της
τους άξονες x
n (αx)
x
με α,
ωση της εφαπ
.
παραπάνω εφ
θώς μεταβάλ
μείο.
ωγίσιμη συνά
f(x) 3 ln x  
σωση της εφα
ς της f στο 
ιο: 2x 1
x f(x
lim
x -

ση   αx
f x e
M της fC σ
ό την αρχή τω
ωµετρικό τόπ
ατρέχει το R
ραβολές
, λ R
ι οι παραπάν
νή εφαπτομέν
ι τα σημεία τ
είναι παράλλ
την ευθεία y
τε το σύνολο
ό τα οποία άγ
υνάρτηση f
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
ωγίσιμη στο
0 . Να
υ το οποίο
ς fC στο
x x και y y .
x 0
τομένης της
φαπτόμενες
λλεται το α ,
άρτηση
4
απτόμενης
 1,f(1)
)- 2
- 1
.
*
x, α R 
το οποίο η
ων αξόνων.
ο του
νω
νη.
ων fC για
ληλες στον
x .
ο των
γονται
Σ
r
.

9. Γ Λυκείου –Μ
Η ΠΑΡΑΓΩ
2.76 Μια
λάμπα βρίσ
προχωράει
A) να α
απόστασης
B) να β
βρίσκεται σ
2.77 Ενα
της τετμημέ
2.78 Ένα
κατευθύνον
ισούται με τ
Το αυτοκίνη
Α) Με
Β) Να
του από τον
Γ) Πόσ
απομακρυν
2.79 Σε ο
συνάρτησης
προβολές το
1 m /sec . Τ
Α) του
Γ) της
2.80 ***Τ
της ευθείας
των ευθειών
( ),( )  και δ
μεταβολής τ
γίνεται ορθο
Μαθηματικά Θ
ΩΓΟΣ ΩΣ Ρ
α κολόνα ύψ
σκεται 1m κά
προς τον τοί
αποδείξετε ό
του από την
βρείτε τον ρυ
σε απόσταση
α σημείο Μ
ένης του είνα
α αυτοκίνητο
νται προς τα
το τετράγωνο
ητο A απομ
ποια ταχύτη
βρείτε την α
ν δρόμο Oy
σο γρήγορα
νθεί 3 km πρ
ορθοκανονικ
ς   x
f x e , x
ου M στους
Τη χρονική σ
εμβαδού του
γωνίας που
Το κινητό O
(ε). Κυκλικό
ν ( ),( )  , έχε
δημιουργεί τ
του μήκους A
ογώνιο για π
Θετικών Σπουδ
ΡΥΘΜΟΣ Μ
ψους 4m φωτ
άτω από την
ίχο με ταχύτη
τι το ύψος y
ν κολόνα είνα
υθμό με τον ο
2m από τον
x,y κινείτα
αι ίσος με το
ο A απομακ
ανατολικά κ
ο της απόστα
μακρύνεται π
ητα απομακρ
απόσταση του
.
απομακρύνε
ρος τα βόρεια
κό σύστημα α
x 0 . Έστω
άξονες Ox
στιγμή ot πο
υ τριγώνου
σχηματίζει η
κινείται με σ
ό εμπόδιο έχε
ι διάμετρο 2
την «σκιά» A
AB την στιγ
πρώτη φορά
δών
ΜΕΤΑΒΟΛΗ
τίζει ένα στεν
ν κορυφή της
ητα 1m /sec
 y t της σκιά
αι  y t 3 
οποίο αυξάν
ν τοίχο.
αι στην fC , μ
ρυθμό μετα
κρύνεται από
και βόρεια αν
ασής του από
προς τα ανατ
ρύνεται το αυ
υ αυτοκινήτο
εται το A απ
α;
αναφοράς O
M η θέση το
και Oy αντί
ου το κινητό β
OAM
η εφαπτομένη
σταθερή ταχ
ει το κέντρο
2m ίση με το
AB . Να βρεθ
γμή κατά την
(Άσκηση απ
ΗΣ
νό δρομάκι,
ς κολόνας. Έν
c . Αν η κολό
άς που ρίχνει
6
x(t)
,  2 x t
νει το ύψος τη
με f(x) x
αβολής της τε
ό τη διασταύρ
ντίστοιχα. Η
ό το δρόμο O
τολικά με ρυθ
υτοκίνητο πρ
ου A από το
πό το σημείο
Oxy ένα κινη
ου κινητού σ
ίστοιχα. Η τε
βρίσκεται στ
Β)
νη της fC στο
χύτητα 2m /
του στην μεσ
ο μισό της απ
θεί ο στιγμιαί
ν οποία το τρ
πό www.mat
το οποίο κατ
νας παίχτης
να απέχει 6m
ι ο άνδρας στ
 6
ης σκιάς που
. Να βρείτε τ
εταγμένης το
ρωση δύο κά
Η απόσταση τ
Ox
θμό v 10
ρος τα Βόρεια
ο σημείο O 0
 O 0,0 τη χ
τό κινείται π
στο επίπεδο κ
ετμημένη του
το σημείο 1,
της από
ο σημείο M ,
sec κατά μή
σοπαράλληλ
πόστασης των
ίος ρυθμός
ρίγωνο OAB
thematica.gr
ταλήγει κάθε
του μπάσκετ
m από τον τ
τον τοίχο ως
υ ρίχνει ο άνδ
τη θέση όπου
ου.
άθετων δρόμω
του αυτοκινή
km/min .
α; (συναρτήσ
0,0 ως συνά
χρονική στιγ
πάνω στη γρα
κάθε στιγμή κ
υ σημείου M
e , βρείτε το
όστασης AB
, με τον άξον
κος
η
ν
)
ετα σε έναν τ
τ με ύψος 2m
τοίχο, τότε:
συνάρτηση
δρας στον το
υ ο ρυθμός μ
ων Ox και O
ήτου από το δ
σει της θέσης
άρτηση της α
γμή που έχει
αφική παράσ
και έστω A,
M μεταβάλετ
ο ρυθμό μετα
B
να x x
47
τοίχο. Η
m
της
οίχο όταν
μεταβολής
Oy , που
δρόμο Oy
ς του)
απόστασής
σταση της
B οι
αι με ρυθμό
αβολής:
7

10. 48
Θ. R
2.81 Εφα
  f x x 1 
2.82 Αν
οι α,β,γ R
Rolle στο 
 f ξ 0  .
2.83 θεω
συνεχής και
παραγωγίσι
υπάρχει 0x
2.84 Δίν
και παραγω
δείξτε ότι υπ
2.85 Δίν
 α,β και π
αποδείξετε ό
 2
3
f β f
3ξ
β α


2.86 Έστ
παραγωγίσι
 g(x)g x 
υπάρχει ξ 
Rolle
αρμόστε το θ
 1 x ημx σ
2
x
f(x)
3 (γ
 
 

R ώστε να εφ
1,1 και να
ωρούμε μια συ
ι μη μηδενικ
ιμη στο
π
,
2



π 3π
,
2 2
 
 
 
ώ
εται ότι η f σ
ωγίσιμη στο (
πάρχει ξ α
εται η συνάρ
παραγωγίσιμ
ότι υπάρχει
 
 3
α
f ξ
α

τω f,g συνεχ
ιμες στο α,β
0 για κάθε
 α,β ώστε
e –Θ
θ. Rolle για τη
στο διάστημα
αx β x 0
γ α)x x 0
 
 
φαρμόζεται τ
βρεθεί ξ  
υνάρτηση f
κή στο
π 3π
,
2 2



3π
2



. Αποδε
ώστε of (x ) 
συνεχής στο 
(α, β) με
f α
α
α,β ώστε ξf
ρτηση f συν
μη στο (α, β).
 ξ α, β ώσ
χείς συναρτή
β με
f(α)
g(α)

x (α,β) . Να
ε να ισχύει
f
g
.Μ.Τ
η συνάρτηση
α  0,1
0
0
να βρεθούν
το θεώρημα
1,1 ώστε
η οποία είνα
π
2



και
είξτε ότι
o of(x )εφx .
 α,β , α > 0
  f β
β
 . Να
   f ξ f ξ 
εχής στο
Να
στε
ήσεις στο α,
f(β)
g(β)
 και
α δείξετε ότι
f (ξ) f(ξ)
g (ξ) g(ξ)



Τ.
η
ν
αι
α
β
2.
στ
Ν
το
2.
2
f
ξ
2.
στ
ώ
2.
συ
f
ln
υπ
2.
πα
f
υπ
2.
γι
Β)
τη
2.
πα
g
βρ
.87 Έστω
το R με f(x)
Να αποδείξετε
ουλάχιστον ρ
.88 Έστω
2 2
(α) f (β) 
 α,β έτσι
.89 Αν η
το  1,1 , να
στε  2f ξ 5 
.90 Θεωρο
υνεχείς στο [
 x 0 για κ
n f(α) ln f(β
πάρχει ξ (α
.91 Έστω
αραγωγίσιμη
   1 f 0 f 
πάρχει x 0
.92 Α) Δ
ια κάθε x R
) Να δε
η συνάρτηση
.93 Να απ
αραστάσεις τ
x 3
g(x) e x
 
ρίσκεται στο
htt
f μια παραγ
) 0 για κάθ
ε ότι η εξίσωσ
ρίζα στο 1,2
η f :[α,β] 
2 2
α β  . Να
ι ώστε:  f ξ f
συνάρτηση
α αποδείξετε
4
5ξ f(1) f( 
ούμε τις συνα
[α,β] παραγ
κάθε x [α,β
) g(β) g(α 
α,β) ώστε f (
f : R R τρ
η. Υποθέτουμ
   f 0 f 0  
0,1 ώστε 3
f
Δείξτε ότι η f
R με λ R δ
είξετε ότι εφα
   f x
g x e
ποδείξετε ότι
των συναρτή
3
έχουν ένα μ
ν y y
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
γωγίσιμη συ
θε x R και
ση f (x) f(x 
2 .
R παραγωγ
α αποδείξετε ό
 ξ ξ 
f είναι παρ
ότι υπάρχει
1) .
αρτήσεις f,g
γωγίσιμες στο
β] και
α) . Να αποδε
(ξ) f(ξ) g (ξ 
ρεις φορές
με ότι
0 . Nα απο

 3
x 0 .
  3
f x x λx 
δεν είναι 1
αρμόζεται το
2
x λx 3  
ι οι γραφικές
ήσεων f(x) 
μόνο κοινό ση
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
νάρτηση
f(2)
e
f(1)
 .
x) έχει μια
γίσιμη, ώστε:
ότι υπάρχει
ραγωγίσιμη
 ξ 1,1  ,
g που είναι
ο (α,β) με
είξετε ότι
ξ) 0
δείξετε ότι
2
x 3x 1 
1.
θ. Rolle για
ς
x
e 2x και
ημείο που
Σ
r

11. Γ Λυκείου –Μ
2.94 Nα
2.95 Να
2.96 Να
2.97 Να
2.98 Να
2.99 Να
2.100 Να
2.101 Λύσ
2.102 Να
5
x 3x α  
2.103 Να
2012
2013x 
τουλάχιστον
…----------
2.110 Η α
με ευθεία σι
Μια αμαξο
απόσταση σ
κάποια χρο
ταχύτητα 85
2.111 Αν
 f x 2  , 
2.112 Έστ
   f 5 f 0 
 κ, λ 0,5
Μαθηματικά Θ
ΕΞΙΣ
λύσετε την ε
λύσετε την ε
λύσετε την ε
λύσετε την ε
λύσετε την ε
λύσετε την ε
λύσετε την ε
στε την εξίσω
αποδείξετε ό
0 έχει μον
δειχθεί ότι η
 2012 λ 1 x
ν μία ρίζα στ
-------------
απόσταση δύ
ιδηροδρομικ
οστοιχία διαν
σε 0,6 ώρες. Ν
ονική στιγμή
5 km /h .
f συνεχής σ
x (1,5)  να
τω f παραγω
1 . Να δείξε
ώστε  2f κ
Θετικών Σπουδ
ΣΩΣΕΙΣ
εξίσωση 1 2
εξίσωση ln 1
εξίσωση x
2 
εξίσωση x
5 
εξίσωση ln x
εξίσωση x
xe
εξίσωση: 2
x
ωση  96
x 3 
ότι η εξίσωση
ναδική ρίζα σ
η εξίσωση
2011
x λ 0 
έ
το  0,1 για
--------------
ο πόλεων πο
κή γραμμή εί
νύει τη μεταξ
Να αποδειχτ
η αμαξοστο
στο  1,5 με
α δείξετε ότι
ωγίσιμη στο
ετε ότι υπάρχ
  3f λ 1 
δών
x x 1
2 3 0
 
x
1 xe x 
x
5 2 5x  
x
x 4 
x x 1 0  
x x
1 e 
x ln x 2  
 96
x 1 16  
η
στο R
έχει
κάθε λ R
-------------
ου συνδέοντα
ναι 51 km .
ξύ τους
τεί ότι για
οιχία έχει
 f 1 2  κα
10 f(5) 6  
 0,5 με
χουν
2
24
6
2.
e
2.
α
μο
2.
πε
2.
εξ
e
2.
α
ώ
ρί
2.
με
κα
--------------
αι
αι
6
2.
1
κα
1ξ
2.
ότ
2.
.104 Να απ
x 2
αx βx  
.105 Να απ
3 2
αx βx γx 
οναδική ρίζα
.106 Δείξτε
ερισσότερες α
.107 Να δε
ξίσωσης x
e ημ
x
συνx 1 
.108 Nα απ
3
α ln x β ln  
στε 3 2α γ
ίζα στο  2
1,e
.109 Αν η ε
ε α,β,γ,δ R
αι άνισες μετ
-------------
.113 Η συν
1,4 και για
αι
25
f
100
 
 
 
1 2 3,ξ ,ξ 1,
.114 Δίνετα
τι υπάρχει ξ
.115 Να βρ
ποδείξετε ότι
γ έχει μέχρ
ποδείξετε ότι
x δ 0  με β
α στο R
ε ότι η εξίσωσ
από δύο διαφ
είξετε ότι μετα
μx 1 υπάρχ
ποδείξετε ότι
2
n x γ ln x  
δ 4β 0  
2
εξίσωση 4
x 
R έχει τέσσερ
ταξύ τους, να
--------------
νάρτηση f εί
κάθε x R
1 να αποδείξ
4 ώστε f ξ
αι η συνάρτη
 1,20 ώσ
ρείτε το
x 0
lim

ι η εξίσωση
ρι τρείς ρίζες
ι η εξίσωση
2
β αγ ,α 0
ση 8
x 7x 6 
φορετικές ρί
αξύ δύο ριζώ
χει ρίζα της ε
ι η εξίσωση
δ 0  , α,β,
0 έχει μια του
3 2
αx 3βx  
ρις ρίζες πρα
α αποδείξετε
---------
ίναι παραγω
ισχύει f 4x
ξετε ότι υπάρ
  1 2ξ f ξ f 
ηση  f x lo
στε
19 lo
ξ
1 lo



ημxx
2 2
x ημx


.
49
στο R
0 έχει
6 δεν έχει
ίζες στο R
ών της
εξίσωσης
,γ,δ R
υλάχιστον
γx δ 0  
αγματικές
ότι 2
α 8β
ωγίσιμη στο
  4f x
ρχουν
 3f ξ 12 
og x . Δείξτε
oge
og2
.
9

12. 50
2.116 Απο
2.117 Απο
2.118 Δείξ
2.119 Δείξ
2.120 Nα
Α) xxe
Β) 2 
2.125 Αν
στο R και υ
της fC , να α
 f ξ 0  .
2.126 Μια
 2, 2 και
f( 2)= f(2 
αποδειχθεί ό
2.127 Έστ
παραγωγίσι
   f 1 f 0 
υπάρχει x
2.128 Έστ
α,β,γ,δ R
υπάρχουν τ
που να ανή
ΑΝΙΣΟΤΗ
οδείξτε ότι
x
οδείξτε ότι l
ξτε ότι ημβ 
ξτε ότι 1 x
αποδείξετε τ
1
x 1 x 1 x   
e π
ln π
π e
 
********
η f είναι δύ
υπάρχουν τρ
αποδείξετε ό
α συνάρτηση
παραγωγίσι
)= 2 . Αν f
ότι f(x) x ,
τω f : R R
ιμη. Υποθέτο
  f 0 f 0  
 0,1 ώστε
τω 2
f(x) α x
*
R με 2
3β 5
τρία διαφορε
κουν στη γρ
ΗΤΕΣ
1 x 1
ln
x 1 x



2
2
α 1
ln α
β 1



ημα β α  
x
x e 1 xe  
τις ανισότητε
1
xxe για κάθε
************
ύο φορές παρ
ρία συνευθεια
ότι υπάρχει ξ
η f είναι συν
ιμη στο  2,
(x) 1  , x 
,  x 2, 2 
τρεις φορές
ουμε ότι
0 0 . Nα απ
 (3)
f x 0 .
6 4 2
x βx x  
2
5α . Να απο
ετικά συνευθ
αφική παράσ
1 1
x
 , x 0
α β , α,β R
α , α,β R
x
e , 0 x 1 
ες:
ε x 0 .
************
ραγωγίσιμη
ακά σημεία
ξ R με
νεχής στο
2 με
 2, 2  να
ποδείξετε ότι
γ δ  ,
οδείξετε ότι δε
ειακά σημεία
σταση της .
R
1
2.
Α
Β)
2.
2.
1
2.
η
Δε
************
ι
εν
α
2.
συ
Α
γ
α
f
2.
πα
απ
f
2.
δύ
f
Α
υπ
Β)
υπ
.121 Nα απ
Α)
x
x 1


) x
x e
.122 Δείξτε
.123 Για κά
2α εφ α

  

.124 Έστω
παράγωγος
είξτε ότι: f 1
************
.129 Θεωρο
υνάρτηση f γ
Αν ισχύει lnα
2γ β
e
α γ
  , να
1 2(ξ ) f (ξ )  
.130 Έστω
αραγωγίσιμη
ποδειχτεί ότι
   ο οx f x 
.131 Η συν
ύο φορές παρ
   α f β 0 
Α) αν υπ
πάρχει ξ α
) αν υπ
πάρχει ξ α
htt
ποδείξετε τις
ln(x 1) x  
x 1
1 (x 1
  
ε ότι
x
1
1
x
 
 
 
άθε
π
0 α
4
 
π
1
4
συ

  

f παραγωγί
είναι γνησίω
 1999 f 200
************
ούμε την παρ
για την οποί
α ln γ lnβ 
α δειχτεί ότι
0
συνάρτηση
η στο  α,β μ
ι υπάρχει ox
 οf x .
νεχής συνάρτ
ραγωγίσιμη
0 . Να αποδε
άρχει οx α
α,β ώστε f
άρχει οx α
α,β ώστε f
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
ανισότητες:
x αν x>0
1)e αν x 1
x
1
e 1
x

  

π
4
να αποδειχ
2
α
π
υν (α )
4

ίσιμη στο R
ως φθίνουσα
  02 f 2000
*
ραγωγίσιμη
ία ισχύει f(ln
β , με α,β,γ 
υπάρχουν ξ
f , δυο φορές
με   f α f β
 o α,β ώστ
τηση f : α, β
στο  α,β , μ
είξετε ότι:
α,β με  of x
 ξ 0  ,
α,β με  of x
 ξ 0  .
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
1,2
x 1
,x 0




τεί ότι
της οποίας
α στο R .
 f 2001
στο R
nα) f(lnβ) .
0 και
1 2ξ ,ξ R με
ς
β 0 . Να
τε
 R , είναι
με
o 0 , τότε
o 0 , τότε
Σ
r
ι

13. Γ Λυκείου –Μ
2.132 Να
3
4x 2 x  
 0,1 για κά
2.133 Έστ
R με f( 1)
Α) 11   
Β) 11   
2.134 Η σ
 0,α με α
2
f(x ) 2f(x
1 2ξ ,ξ 0,α
2.135 Αν
 2,20 ικαν
θεωρήματος
Α) υπά
1 2ξ ξ και
Β) υπά
13f (κ )+ 2f ( 
Γ) ότι
τουλάχιστον
Δ) υπά
ώστε  2f κ
2.136 Έστ
f : R R με
, ώστε η εφα
της f στο Μ
 P 2ξ,0
Μαθηματικά Θ
αποδείξετε ό
1 0   έχει
άθε R  .
τω η συνάρτη
1  , f(1) 
2 1   ώστε
2 1   ώστε
συνάρτηση f
> 1 και ισχύε
x), x [0,α] 
α ώστε 1f (ξ
για τη συνάρ
νοποιούνται
ς του Rolle, τ
άρχουν αριθμ
  1 2f ξ f ξ 
άρχουν 1κ ,κ
2(κ ) = 0
η εξίσωση f
ν ρίζα στο δι
άρχουν κ, λ,
  3f λ 4f 
τω η παραγω
ε  f 2 0 . Να
απτομένη της
 Μ ξ,f(ξ) , να
Θετικών Σπουδ
ότι η εξίσωση
ι μια τουλάχ
ηση f , παρα
1 . Δείξτε ότι
ε   1f f   
ε
1
1 1
f'( ) f'(κ


είναι παραγ
ει f(0) = 0 κα
]. Να δείξετε
1 2) f (ξ )
2
 
ρτηση f στο
ι οι προϋποθ
τότε να αποδ
μοί 1 2ξ ,ξ 
 0 .
2κ (2,20) με
(x) f(x)- f(α
ιάστημα 2,2
μ με 2 κ 
 f μ 0 
ωγίσιμη συνά
α δείξετε ότι
ς γραφικής π
α τέμνει τον ά
δών
η
χιστον ρίζα σ
γωγίσιμη στ
ι υπάρχουν
2 2 
2
2
)

γωγίσιμη στο
αι
ε ότι υπάρχου
 
f(α)
α - 1
.
διάστημα
έσεις του
δείξετε ότι:
2,20 με
ε 1 2κ κ ώστ
α) έχει μία
20 .
λ μ 20  
άρτηση
υπάρχει ξ 
παράστασης
άξονα x x σ
στο
ο
ο
υν
στε
R
στο
2.
φο
f
τη
2.
πα
Α
έχ
Β)
1ξ
2.
συ
σε
2.
α
ώ
ρί
2.
Ν
Α
τη
Β)
έχ
2.
f
το
f
.137 Η συν
ορές παραγω
 4 8 . Να α
ης fC που δι
.138 Έστω
αραγωγίσιμη
Α) Να απ
χει μια τουλά
) Να απ
 1 2,ξ α,β
.139 Αν
4

υνάρτηση f
ε ένα τουλάχ
.140 Nα απ
3
α ln x β ln  
στε 3 2α γ
ίζα στο  2
1,e
.141 Δίνετα
Να αποδείξετε
Α) Υπάρχ
ης fC στο ξ
) Να απ
χει ρίζα στο



.142 Έστω
 
 f 0 f
x
2


ουλάχιστον έ
 ox 0 
νάρτηση f : 1
ωγίσιμη και ι
αποδείξετε ότ
ιέρχεται από
συνάρτηση
η στο  α,β ,
ποδείξετε ότι
άχιστον ρίζα
ποδείξετε ότι
τέτοια ώστε
3 2
 
    
 3
x x x  
χιστον σημείο
ποδείξετε ότι
2
n x γ ln x  
δ 4β 0  
2
.
αι η συνάρτη
ε ότι:
χει
1
ξ ,1
2
 

 
,f(ξ) να είν
ποδείξετε ότι
1
,1
2
 

 
f παραγωγ
 10
. Να δεί
ένα ox 0,1
1,4 R είν
ισχύουν  f 1
τι υπάρχει εφ
την αρχή τω
 f : α,β R
με  f α 2β
ι η εξίσωση f
στο  α,β .
ι υπάρχουν
   1 2f ξ f ξ 
0 , να δείξετ
2
x x    μη
ο του διαστή
ι η εξίσωση
δ 0  , α,β,
0 έχει μια του
ηση   f x x



ώστε η εφα
ναι παράλλη
ι η εξίσωση 
γίσιμη στο R
είξετε ότι υπά
10 τέτοιο ώσ
51
ναι δύο
 2 και
φαπτομένη
ων αξόνων.
β ,  f β 2α
 f x = 2x
4 .
τε ότι η
ηδενίζεται
ματος  0,1
,γ,δ R
υλάχιστον
  x 1 ln 2x .
απτομένη
λη στον x x
x 2 2x
2x e 

. Αν
άρχει
στε
1
.

14. 52
ΣΤΑΘΕΡΗ
2.143 Δίν
  f x 2f 
   f 0 f 0
Α) Οι συναρ
  g x f x 
σταθερές συ
Β) Να
2.144 Θεω
οποία ισχύε
κάθε x,y R
2.145 Να
x R και f
2.146 Να
και  f 1 
2.147 Να
Α) αν
f(0) f (0) 
Β) αν
δ(0) 1 κα
2.148 Έστ
παραγωγίσι
όλες οι εφαπ
αξόνων. Να
οποίας η γρ
σημεία 2,1
2.149 Έστ
Να δείξετε ό
αν και μόνο
Η ΣΥΝΑΡΤΗ
εται συνάρτη
   x f x 2 
 f 0 1  .
ρτήσεις  h x
  
2
x f x 
υναρτήσεις
βρεθεί ο τύπ
ωρούμε συνά
ει ότι:  f x 
R . Να δειχτε
βρείτε την f
 f 1 2
βρείτε την f
 f 1 2
αποδειχτεί
f (x) f(x)  γ
1 τότε f(x)
δ (x) δ(x)  
αι δ (0) 4  
τω συνάρτησ
ιμη στο *
R μ
πτόμενες διέ
α βρείτε εκείν
ραφική παρά
 και  2,1
τω f παραγω
ότι ισχύει f
ο αν υπάρχει
ΗΣΗ
ηση f : R R
 2f x , για κά
Να αποδείξε
   x
f x e
 κ
  2 f x f x 
πος της f .
άρτηση f : R 
  f y συν x
εί ότι η f είν
f αν f 1 2 
f αν  f x  
ότι:
για κάθε x 
x
e , x R
5x για κάθ
, τότε δ(x) 
ση f ορισμέν
με  f 0 0 , τ
ρχονται από
νη τη συνάρτ
άσταση διέρχ
ωγίσιμη συνά
   x 2x 1 
ι c R ώστε
R , ώστε:
άθε x R κα
ετε ότι :
και

2
x  είναι
R για την
x y 1  για
ναι σταθερή
2x 7 12x  ,
2
1
x
 , x R *
R και
R ,
θε x R ,
x
e 5x , x 
νη στο R
της οποίας
ό την αρχή τω
τηση f της
χεται από τα
άρτηση στο R
 f x , x R 
 
2
x x
f x ce 

αι
ν
α
,
*
R
ων
R .
R
x
2.
f
2.
πα
κά
α
2.
ισ
f
2.
f
f
2.
εί
ισ
2.
αν
2.
δι
με
2.
f
f
2.
στ
γι
.150 Να βρ
(x) f(x) η 
.151 Αν η
αραγωγίσιμη
άθε  x 0,π
α R .
.152 Να βρ
σχύει:  x 2
 3 7
.153 Να βρ
  : 0, 0 
(x) f(x) ln  
.154 Nα βρ
ίναι παραγω
σχύει f(x) x
.155 Να βρ
ν ισχύει f(x
.156 Βρείτε
ιέρχεται από
ε τετμημένη
.157 Να βρ
  : 0, 0 
(x) f(x) ln  
.158 Δίνετα
το R ώστε ν
ια κάθε x R
htt
ρείτε την f , α
μx συνx κα
 f : 0,π R
η με
π
f
2
   
 
 να αποδείξ
ρεθεί η συνά
  2
f x 2x  
ρεθεί η παρα
0, αν ισ
 f(x) για κά
ρεθεί, αν υπά
γίσιμη στο R
xf (x) , f(1) 
ρείτε τη συνά
x
) e f (x) 
ε την εξίσωση
το M(0, 3)
α έχει εφαπ
ρεθεί παραγω
0, , αν ισ
 f(x) για κά
αι η συνάρτη
να ισχύει[f (x
R και  f 0 
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
αν για κάθε
αι f(0) 1 .
R είναι δύο φ
0 και  f x
ίξετε ότι  f x
άρτηση f : R 
5x 2  , x 
αγωγίσιμη συ
σχύει ότι
άθε x 0 κα
άρχει, συνάρ
R * και για κ
1 και f( 1) 
άρτησης f μ
x
e 0  ,  x
η της καμπύλ
και σε κάθε
πτομένη με λ
ωγίσιμη συν
σχύει ότι f (1)
άθε x 0
ηση f , παρα
2x
x) f(x)]e 
1 .Bρείτε τον
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
x R ισχύει
φορές
  f x  για
 αημx ,
R αν
R και
υνάρτηση
ι f (1) 0 
τηση f που
κάθε x R *
2 .
με  f 0 2 ,
xR
λης που
ε σημείο της
εφ 2
4α
λ
4α 1


νάρτηση
) 0 και
γωγίσιμη
f(x) f (x) 
ν τύπο της f
Σ
r
ι
α

15. Γ Λυκείου –Μ
2.159 Αν
παραγωγίσι
κάθε x 0,
2.160 Να
στο R με f
η γραφική π
έχει εφαπτο
2.161 Να
είναι δύο φο
διέρχεται απ
στο σημείο
-2x y 3  
 2
x 1 f ( 
2.162 Έστ
παραγωγισι
Αν δέχοντα
τους και ισχ
x R , να δ
2.163 Α)
οποία ισχύε
   f 0 f 0
μηδενική συ
Β) Έστ
  g x g x 
 g 0 1  . Ν
2.164 * Δί
R με  f 0 
  f(x)
f x e 
βρεθεί ο τύπ
Μαθηματικά Θ
η  f : 0,π 
ιμη με
π
f
2
 
 
,π , δείξτε ότ
βρεθεί συνά
 x 0 , x R
παράσταση σ
ομένη με κλίσ
βρεθεί ο τύπ
ορές παραγω
πό το O 0,0
 O 0,0 είνα
0 και ισχύε
x) 4x f (x)  
τω οι συναρτ
ιμες στο R μ
αι κοινή εφαπ
χύει   f x g
είξετε ότι f x
Έστω συνά
ει   f x f x 
0 . Να απο
υνάρτηση.
τω συνάρτησ
x 0 για κάθ
Να αποδείξετ
ίνεται συνάρ
0 για την ο
 2
2
1 2x
x
  
πος της f .
Θετικών Σπουδ
R είναι δύο
0



και f
τι  f x αημ
άρτηση f παρ
R ,  f 1 9
σε κάθε σημε
ση 4x f(x) ,
πος της συνά
ωγίσιμη στο
0 η εφαπτόμ
αι παράλληλη
ει
2f(x) 0, x 
τήσεις f και
με  f x 0 γι
πτόμενη σε κ
   x f x g
  x g x
άρτηση f : R 
x 0 , x R
οδείξετε ότι η
ση g : R R
θε x R και
τε ότι η  g x
ρτηση f παρα
οποία ισχύει
2x
1
για κάθε
δών
ο φορές
   x f x  γ
μx , α R .
ραγωγίσιμη
και της οποί
είο M x,f(x)
x R
ρτησης f αν
R , η fC
μενη της fC
η στην ευθεία
x R
g δυο φορέ
ια κάθε x R
κοινό σημείο
x για κάθε
R για την
και
η f είναι η
με
ι  g 0 0 ,
ημx .
αγωγίσιμη σ
ότι
ε x R . Να
για
ίας
)
ν
α
ές
R
ν
στο
2.
ν
τό
2.
στ
πα
2
γρ
2.
f
f
Δε
κα
2.
ισ
x
πα
2.
f
κά
Α
Β)
Γ)
2.
πα
ισ
Α
πα
Β)
.165 Έστω
ν 2 και ισχύ
ότε ναδείξετε
.166 Να βρ
το R , αν η εφ
αράσταση σε
 x
xe f x
 κ
ραφική παρά
.167 * Δίνε
   xy f x 
 e e . Η f
είξτε ότι η f
αι ότι  f x 
.168 Έστωι
σχύει ότι και
,y R ,  f 1
αραγωγίσιμη
.169 Η συν
 0 2  και ι
άθε x,y R .
Α)  f x 
) η f είν
) ο τύπο
.170 Έστω
αραγωγίσιμη
σχύει  f xy 
Α) Να απ
αραγωγίσιμη
) Δείξτε
συνάρτηση
ύει   f x f y
ε ότι η f είνα
ρείτε συνάρτη
φαπτομένη σ
ε κάθε σημείο
και το A 1,



άσταση της f
ται η συνάρτ
 f y για κά
είναι παραγ
είναι παραγ
eln x , για κ
ι η συνάρτησ
 f x y x 
1  ,  f 2 
η στο R και
νάρτηση f εί
ισχύει f y x
Να αποδείξ
0 για κάθε
ναι παραγωγ
ος της f είνα
συνάρτηση
η στο 1 με f
 2 2
x f y y f 
ποδείξετε ότι
η για κάθε x
ε ότι  f x x
f : R R κα
 ν
y x y 
αι σταθερή.
τηση f , παρα
στη γραφική
ο  x,f(x) να
2
e



να ανήκ
f
τηση f : 0, +
άθε x, y 0,
γωγίσιμη στο
γωγίσιμη στο
κάθε x 0, +
ση f : R R ,
 2
xy y f x 
2 . Δείξτε ότ
να βρεθεί ο
ίναι ορισμέν
   x f y f x
ξετε ότι:
x R και f
γίσιμη στο R
αι  
2
x
f x e 

 f : 0, 
 f 1 1  για τ
 f x . για κά
ι η f είναι
x 0
2
x ln(x) για κ
53
αι ν N . Αν
, x,y R 
αγωγίσιμη
της
α έχει κλίση
ει στη
+ R  με
+ και
ο ox 1 .
ο  0, +
+ .
, ώστε να
 για κάθε
τι η f είναι
τύπος της
νη στο R με
 2xy
e , για
 f 0 1
2x
R ,
την οποία
άθε x,y 0 .
κάθε x 0
3

16. 54
ΜΟΝ
2.171 Μελ
συναρτήσεω
2.172 Nα
συναρτήσεω
2.173 Να
συνάρτησης
2.174 Να
συνάρτηση
είναι γνησίω
2.175 Αν
παραγωγίσι
φθίνουσα, ν
 
f(x)
g x
x

2.176 Oι σ
παραγωγίσι
x R να ισ
g(x) 0 . Να
x [0, )  κ
2.177 * Έσ
στο [0,+ )
 x 1 ln(x 
μελετηθεί η
ΝΟΤΟ
λετήστε τη μο
ων Α)  f x
Β)  f x
μελετήσετε τ
ων Α)
Β)
μελετήσετε τ
ς   2
f x x
βρεθεί για π
f με  f x 
ως αύξουσα
η συνάρτηση
ιμη με  f 0 
να αποδείξετ
, x 0 , είνα
συναρτήσεις
ιμες στο R μ
σχύουν f (x)g
α αποδείξετε
και f(x) g(x
στω μία παρα
ώστε  5
f(x)
4 x
x 1)- x -
5 2

f ως προς τ
ΟΝΙΑ-
ονοτονία των

x
ln x

 x συνx, 
τη μονοτονία
 
x
2
e
f x
x

 

f(x) ln(1
τη μονοτονία
2
x 1 στο



ποιες τιμές το
 3
x α 1 x 
στο R .
η f : R R ε
0 και η f ε
τε ότι η συνά
ι γνησίως φθ
f και g είνα
με f(0) g(0)
g(x) f(x)g (x
ε ότι: f(x) g
x) για κάθε x
αγωγίσιμη σ
 5 3
2 f(x) 
2 3
x
2015
2 6
 
την μονοτονί
ΑΚΡΟ
ν
x [0,2π)
α των
ex 1 x 0
ln x x 0
  

2 x
x ) e
  
α της
2
0,
3
 

 
ου α R , η
2
2x 10 
είναι
είναι γνησίω
ρτηση
θίνουσα.
αι
και για κάθ
x) και
g(x) για κάθ
x ( ,0]  .
υνάρτηση f
3f(x) 
5 . Να
ία της.
ΟΤΑΤ
0
0
1
ως
θε
θε
2
Α
Β)
2
εξ
2
2
2
x
2
2
ισ
ισ
εξ
2
f
3
f
x
2
να
ΤΑ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
.178 Έστω
Α) να μελ
) να απ
α)  π
ln e
β) ln x 
.179 Να βρ
ξίσωσης ln(x
.180 Λύστε
.181 Να λύ
.182 Για κά

π
x 1 συν
x


.183 Δείξτε
.184 Έστω
σχύει ότι f 1
σχύει ότι f x
ξίσωση  f x 
.185 Δίνετα
: R R για
  3
x ln f(x
R . Να λύσ
.186 Αν xg
α αποδείξετε
htt
Σ – ΑΝΙΣΩΣΕ
η συνάρτηση
λετήσετε τη μ
ποδείξετε ότι:
  π
1 ln e 
  1 ln x 1  
ρείτε το πλήθ
2
x 1) x x  
ε την εξίσωση
ύσετε την εξίσ
άθε x 2  
π
xσυν
1 x
 
ε ότι 2ln(ημ
συνάρτηση
 x f 1   
x 0 , x R 
0
αι η παραγω
α την οποία ,
  f x 3
) e x 
σετε την εξίσ
 g x συνx  
ε ότι
η
g(x) 
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
ΕΙΣ -ΑΝΙΣΟ
η  
ln(x
f x
ln

μονοτονία τη
:
 2
1 π .
 2
ln x , x 
θος των ριζών
x 6 0 
η ln(x 1)
x
 
σωση x 1
e 

 να αποδεί
1
2
μx) ημ x ,
f : R R για
x για κάθε
R , να λύσετε
ωγίσιμη συνά
ισχύουν f x
3 2
x 2x 1  
σωση  f ln x 
 g x για κ
ημx
x
για κάθε
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
ΤΗΤΕΣ
x 1)
n x

, x 2
ης f
2
ν της
2x
x 0
x 2
 

2x e 0 
ίξετε ότι
 x 0,π
α την οποία
ε x R . Αν
ε την
άρτηση
x 0 και
1 για κάθε
 2
f 1 x 
κάθε x R ,
ε x 0 .
Σ
r

17. Γ Λυκείου –Μ
ΑΚΡΟΤΑΤ
2.187 Να
την μονοτον
Α)  f x 
Γ)  
n
f x
x


2.188 Να
την μονοτον
Α)  f x


 


2.189 Δείξ
έχει ακριβώ
2.190 Να
συνάρτηση
οx 1 τοπι
2.191 Έστ
f : R R μ
Δείξτε ότι η
2.192 Έστ
βρείτε το ση
μικρότερη κ
2.193 Να
συνάρτηση
έχει ακρότα
2.194 Έστ
είναι παραγ
κάθε x 0,
1 2x x τέτο
αποδείξετε ό
Μαθηματικά Θ
ΤΑ ΣΥΝΑΡΤ
μελετήσετε τ
νία και τα ακ
2
x lnx Β)
2
nx
x
Δ)  f x
μελετήσετε τ
νία και τα ακ
x, x 0
1
, x 0
x
 

ξτε ότι η συν
ώς τρία τοπικ
βρεθούν οι τ
 f x αln 2
ικό ακρότατο
τω η παραγω
με 2 2
(f(x)) x
f δεν έχει τ
τω η συνάρτη
ημείο της fC
κλίση.
βρείτε τις τιμ
  3
f x x 
ατα.
τω η συνάρτη
γωγίσιμη τρε
,1 . Αν υπάρ
οια, ώστε f x
ότι υπάρχει
Θετικών Σπουδ
ΤΗΣΕΩΝ
τις συναρτήσ
κρότατα:
  συνx
f x 2 ,
x
e
2x
 E) f
τις συναρτήσ
κρότατα:
B)  
1
f x
ln

 

νάρτηση  f x
κά ακρότατα.
τιμές των α,
β
2x α
x
  να
ο με τιμή 2 
ωγίσιμη συνά
2
1 2xf(x) 
οπικά ακρότ
ηση  f x x
όπου η f έχ
μές του λ R
  2
λ 1 x λ 
ηση  f : 0,1 
εις φορές με
ρχουν 1 2x ,x
  1 2x f x 
 ξ 0,1 με
δών
σεις ως προς
, 0 x 2π 
 x x 4 x 
σεις ως προς
x 1
e , x 1
n(1-x), x 1

 

  2 x
x e e 
.
β R ώστε η
έχει στη θέσ
ln 2 .
άρτηση
) , x R  .
τατα.
2
ln x . Να
χει τη
R αν η
λ 5 x 2  δε
R , η οποία
 f x 0 για
 0,1 με
0 να
 
 3
f ξ 0 .
2
x
2
η
ση
εν
α
2
φ
ισ
απ
A
B
Γ
Δ
ρί
2
τη
2
συ
x
απ
2
γι
e
τη
2
οπ
f
Α
απ
x
2
βρ
.195 Μια σ
ορές παραγω
σχύει: 2
f (3x 
ποδείξετε ότι
A Υπάρχ
Η συν
f (1) 
Η εξίσ
ίζα στο R
.196 Να βρ
ης συνάρτηση
.197 Δίνετα
υνάρτηση f
1 2,x (α,β)
ποδείξετε ότι
.198 Έστω
ια την οποία
 2x
f x 1 0 
ης εφαπτομέν
.199 Έστω
ποίες είναι π
 x x 1  κα
Αν η fC διέρχ
ποδείξετε ότι
o 0 τέμνον
.200 Αν ισχ
ρείτε το α
συνάρτηση f
ωγίσιμη στο
1) 4 4·f(2  
ι:
χει ξ (1,4) τ
νάρτηση f δε
f (4)
σωση f (x) 
ρεθεί ο κ R
ης   2
f x xe
αι η δυο φορ
στο [α,β]. Α
τέτοιοι ώστε
ι υπάρχει ξ 
συνάρτηση
α ισχύουν: f
0 , για κάθε x
νης της fC σ
οι συναρτήσ
παραγωγίσιμ
αι   g(x)
f x e 
χεται από το
ι οι εφαπτόμ
νται κάθετα
χύει ότι ln x
είναι ορισμ
R και για κ
2
2x x 1)  .
τέτοιο ώστε:
εν αντιστρέφ
0 έχει μια το
R ώστε η μέγι
2κ x
να είναι
ρές παραγωγ
Αν υπάρχουν
ε f(α),f(β)
1 2(ξ ,ξ ) ώστ
f παραγωγί
0 1 και
x R .Βρείτε
στο σημείο A
σεις f,g : R 
μες και ισχύο
x
e x  για
ο σημείο A 0
μενες των fC
α
x α
x
  , x
55
μένη και δύο
άθε x R
Να
f (ξ) 0 
φεται
ουλάχιστον
ιστη τιμή
ι το e .
γίσιμη
ν
 1 2f(x ),f(x ) ,
τε f (ξ) 0  .
ίσιμη στο R ,
την εξίσωση
A(0,1)
R οι
υν:
κάθε x R .
0,1 , να
και gC στο
x 0 ,να
5
,
,

18. 56
2.201 Αν
κάθε x 0 ,
2.202 ¨Εστ
λ>0 με f x
και ότι η f
2.203 Έστ
Α) Να βρεί
οποία ισχύε
Β) Αν λ 1
  g x 1 λ 
2.204 Έστ
παραγωγίσι
παρουσιάζε
 f 0 0 . Να
2.205 Να
σημείων 0(x
ακροτάτου
διατρέχει το
2.206 Έστ
Α) Να
την οποία ισ
Β) Να
το ελάχιστο
2.207 Εστ
 0,3 με f (
2
f(x
g(x)
1 f


μονοτονίας
α,β 0 και
να αποδείξε
τω η συνάρτ
x 0 , x 
είναι γνησίω
τω η συνάρτη
ίτε τη μικρότ
ει  f x 0 γι
1
1
e
 να απο
 x
x 1
λ x
e

 εί
τω η συνάρτη
ιμη με  f x
ει για ox 0
α δείξετε ότι:
βρείτε τον γ
0 0,f(x )) , όπο
της f(x) xl
ο R
τω συνάρτησ
βρείτε την μ
σχύει ότι λ
x
βρείτε την τ
ο της f παίρν
τω f συνάρτη
x) 0 και f(
2
x)
(x)
, 0 x 
ς και το σύνο
ισχύει
lnx
xα 
ετε ότι α β 
τηση  f x α
0 . Να δείξε
ως αύξουσα
ηση   x
x
f x
e

τερη τιμή του
ια κάθε x R
δείξετε ότι η
ίναι γνησίως
ηση f : R R
 f x , x 
τοπικό ακρό
:   x f x f
γεωμετρικό τό
ου ox η θέση
ln x λx , λ 
ση λ
f(x) x 
μικρότερη τιμ
 ln x για
ιμή του λ γι
νει τη μέγιστ
ηση παραγω
(1) 1  , f(2)
3 , βρείτε τα
ολο τιμών της
x 1
xβ 2

  γι
1.
x α
α x , x>0
ετε ότι α e
στο  e, .
x
x
1 λ  , λ 
υ λ για την
R .
συνάρτηση
ς φθίνουσα.
R , δύο φορέ
R που
ότατο το
x 0
όπο των
του τοπικού
R όταν το
 ln x , λ 0
μή του λ για
κάθε x 0
ια την οποία
η τιμή του.
ωγίσιμη στο
) 1 . Αν
διαστήματα
ς g
ια
,
R
ές
ύ
λ
0
α
α
α
2
πα
f(
τό
f
2
να
2
με
Δ
2
άγ
γρ
2
έχ
2
R
δε
στ
2
εξ
2
ρι
α
2
εξ
.208 Μία σ
αραγωγίσιμη
(α) f (α) f 
ότε να αποδε
(x) 0  και f
.209 **Αν 
α αποδείξετε
.210 Έστω
ε    f 0 f 0
είξτε ότι f 1
.211 Να απ
γονται ακριβ
ραφική παρά
ΕΞΙΣΩΣΕ
.212 Να απ
χει στο  0,π
.213 Η συν
R και ισχύει
είξετε ότι η εξ
το  0,π
.214 Να β
ξίσωσης 2ln
.215 Να βρ
ιζών της εξίσ
α R
.216 Να απ
ξίσωση 3
x α
htt
συνάρτηση f
η στο R . Αν
f (α) 0  και
είξετε ότι οι ε
f(x) 0 έχουν
  2
x 4x f x
ε ότι  f x 0
f δυο φορές
 0 και f

1
1
3

ποδείξετε ότι
βώς δύο εφαπ
άσταση της σ
ΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣ
ποδειχτεί ότι
ακριβώς μι
νάρτηση f εί
   3
f x f x 
ξίσωση  f x
ρείτε το πλήθ
2
x λx 1, 
ρείτε το πλήθ
σωσης 2
8x x
ποδείξετε ότι
2
αx 4x α  
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
είναι τρεις
ν υπάρχει α 
f (x) 0  γι
εξισώσεις f (
ν μοναδική ρ
  x f x 0  ,
0 για κάθε x
ς παραγωγίσ
 x 2x για
ι από το σημε
πτόμενες πρ
συνάρτησης
ΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟ
ι η εξίσωση σ
ια λύση
ίναι παραγω
συνx , x 
0 έχει μον
θος των ριζώ
λ 0
θος των πραγ
x α x 1  
ι για κάθε α
0 έχει τρεις
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
φορές
R ώστε
ια κάθε x ,
x) 0 ,
ρίζα.
 x 0,4 
 0,4 .
σιμη στο R
κάθε x R .
είο A(1,1)
ος τη
x
f(x) e
ΟΤΗΤΕΣ
συνx 2 x 
ωγίσιμη στο
 0,π . Να
ναδική ρίζα
ών της
γματικών
0 όταν το
R η
ς ρίζες
Σ
r
.

19. Γ Λυκείου –Μ
2.217 Απο
x
2αe 2 2 
2.218 ** Α
εξισώσεις:
2.219 Να
 x 1 ln x 
οποίες είναι
2.220 Να
  f x ln 1 
2.221 A) Μ
τα ακρότατα
B) Να δείξε
2.222 Έστ
Α) Να απο
εφαπτομένη
Β) Να λύσε
Γ) Να αποδ
2.223 *Να
θετικών ριζ
2.224 Έστ
παραγωγίσι
 f x x 0  
 f x 2 1

 

Μαθηματικά Θ
οδείξτε ότι γι
2
2x x έχει μ
Αν   2
f x x 
Α) f ln
Β)  f x
αποδείξετε ό
x 1  έχει δύ
ι αντίστροφο
αποδειχθεί ό
2 x
x e
  ε
Μελετήστε ω
α τη συνάρτη
ετε ότι x
e

 

τω η συνάρτη
δείξετε ότι η
η σε ένα μόνο
ετε την εξίσω
δείξετε ότι x
e
α βρείτε, για
ζών της εξίσω
τω συνάρτησ
ιμη στο R μ
0 για κάθε x
3
x
12

 

για κά
Θετικών Σπουδ
ια κάθε α 0
μοναδική ρίζ
1 ln(x)  , ν
 (x 1) f 6 
   17
f x f 
ότι η εξίσωση
ύο ακριβώς ρ
οι αριθμοί.
ότι η συνάρτ
ίναι γνησίως
ως προς την μ
ηση
e
f(x)
x

v
ex
v
 

 
, x ( 
ηση   x
f x e
fC δέχεται
ο σημείο της
ση x 2
e x 
x
1 x 1 x  
κάθε α 0 ,
ωσης 2
x α 
ση f δυο φορ
με  f 0 2 , f
x R , δείξτε
άθε x R
δών
0 η εξίσωση
ζα στο R
α λύσετε τις
2
x x 0  
  3 2008
x f x
η
ρίζες, οι
τηση f με
ς αυξουσα
μονοτονία κα
x
v
e
,ν N *
x

(0, )
2
x x 1  
οριζόντια
.
x 1 .
x , x R 
το πλήθος τω
3
α x
ρές
 f 0 0  , και
ότι

αι
ων
ι
2
Β)
2
να
2
συ
Β)
απ
2
2
f
πλ
2
f(
R
2
οπ
απ
2
πα
κά
x
Ν
συ
ότ
.225 Α) να
) Να δε
.226 Αν ισχ
α βρείτε τη μ
.227 Α) Ν
υνάρτηση f
) Αν α,
ποδείξτε ότι
 3 3 3
α β γ 
.228 Έστω
: R R με f
λήθος των ρι
.229 ** Να
2
(x) ln(1 x 
R και να λύσ
.230 Έστω
ποία ισχύει ό
ποδείξετε ότι
.231 Αν η σ
αραγωγίσιμη
άθε x R , να
0 .
Να βρεθεί ο τύπ
υνεχής στο 0
τι   f x f 1 
α αποδείξετε
ειχθεί ότι: 1
π
χύει x 2
e κx
μεγαλύτερη τ
Να μελετηθεί
  3
x 2x 2x 
 ,β,γ 0, 
  2
3 2 α  
η παραγωγίσ
 f x 0  για
ιζών της εξίσ
αποδείξετε ό
2 x
) e 1
 
εί
ετε την εξίσω
μια συνάρτη
ότι  f x 2f 
ι   2x
f x e γ
συνάρτηση f
η με  f 0 0
α αποδείξετε
πος της συνάρ
,1 , παραγωγ
  f 0 για κ
ότι π e
e π
1821 18
1
π

 

2
για κάθε x
τιμή του κ 
ί ως προς τα
2
x x lnx  ,
 με α β γ  
2 2
β γ α  
ίσιμη συνάρτ
α κάθε x R .
σωσης  x
f e
ότι η συνάρτ
ίναι γνήσια α
ωση
 f ln x 
ηση f : R R
 f x και  f 0
για κάθε x 
f : R R είν
0 και  f x 
ε  xf x 0 γ
ρτησης f , που
γίσιμη στο 0,
κάθε  x 0,1
57
π
821
π



x 0 , κ R
R
ακρότατα η
x 0
1 ,
α β γ 
τηση
. Βρείτε το
  f x α 
τηση
αύξουσα στο
 2
f 1 x 
R για την
 1 . Να
0 .
ναι
 f x 0 για
για κάθε
υ είναι
,1 και ισχύει

7
ι

20. 58
ΚΥΡΤΕΣ-Κ
2.232 Να
κοίλα και τα
Α) h(x) x
Γ). g(x) ln
2.233 Να
της  x lf
σημεία καμπ
2.234 Nα
  2
g x ln x
2.235 Αν
  5
f x x 5 
τρία σημεία
2.236 Δίν
την οποία ισ
για κάθε x 
κυρτή στο 
2.237 Δίν
συνάρτησης
έχει σημείο
Α) Να
Β) Βρε
καμπής της
4 x ln x 
2.238 Έστ
ιδιότητα (x
Να αποδειχ
καμπής.
ΚΟΙΛΕΣ Σ
μελετήσετε τ
α σημεία κα
2 8
x
x

 2
n x x 1 
αποδείξετε ό
 x
ln e x , x 
πής
αποδείξετε ό
x 2xln x x 
είναι γνωστό
4 3
5αx 10βx
α καμπής, να
εται η συνάρ
σχύουν  f x
0 . Nα απο
 0, .
εται ότι η γρ
ς  f x α x
καμπής το A
αποδείξετε ό
είτε την εφαπ
και να αποδ
x 3  , x 
τω η συνάρτη
2
x 1)f (x 
χθεί ότι η fC
ΣΥΝΑΡΤΗΣ
τις συναρτήσ
αμπής.
Β) g(x
 Δ) f(x)
ότι η γραφικ
IR έχει ακρ
ότι η συνάρτ
2
3 είναι κυ
ό ότι η συνάρ
2
x , x R ,
α αποδείξετε ό
ρτηση f : 0,
x και f x
οδείξετε ότι η
ραφική παρά
x βln x βx 
 A 1,3
ότι α 4 και
πτομένη της
δείξετε ότι
1 .
ηση f : R  R
f(x)
) xe 0  γ
έχει ακριβώ
ΣΕΙΣ - Σ
σεις ως προς τ
5 3
x) 3x 5x 
x
) xe

ή παράσταση
ριβώς δύο
ηση
υρτή
ρτηση
, α,β R έχει
ότι 2
α β .
 R  για

x
x
x f(x)


η f είναι
άσταση της
x με α,β R ,
ι β 1  :
fC στο σημε
R με την
για κάθε x 
ώς ένα σημείο
ΣΗΜΕΙΑ Κ
τα
η
ι
α
,
είο
R
ο
2.
πα
εί
ακ
2.
πα
f
x
2.
εί
2
f
απ
2.
πα
δε
ση
2.
πα

g
Α
Β)
κυ
2.
εί
g
ΚΑΜΠΗΣ
.239 Η συν
αραγωγίσιμη
ίναι δυνατόν
κρότατο και
.240 Nα δε
αράσταση τη
  4
x 2x 4α 
R , δεν έχε
.241 Έστω
ίναι δύο φορ
   2
x x 4 
ποδείξετε ότι
.242 Η συν
αράγωγο κα
είξετε ότι το
ημείο καμπή
.243 Έστω
αραγωγίσιμη
x R  ,  f 1
   g x f x f 
Α) Βρείτε
) Να βρ
υρτή ή κοίλη
.244 Έστω
ίναι κυρτή με
f(x)
(x)
x
 είν
htt
νάρτηση f εί
η στο R . Να
ν η f να έχει
σημείο καμπ
είξετε ότι για
ης συνάρτηση
3 2
αx 3 2α 
ει σημεία καμ
συνάρτηση
ές παραγωγί
 f x x 0  γ
ι η fC δεν έχ
νάρτηση f έχε
ι xf (x) ημ 
A(0,f(0)) δεν
ς της fC
συνάρτηση
η στο R με f
0 και η συ
 f 2 x , x 
ε τις ρίζες κα
ρείτε τα διασ
η και τα σημε
συνάρτηση
ε f(0) 0 . Δε
ναι γνήσια α
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
ίναι δύο φορ
α αποδείξετε
ι στο ox τοπ
πής.
α κάθε α IR
ης
 2
4α 5 x  
αμπής.
 f : 0,1 R
ίσιμη και ισχ
για κάθε x
χει σημεία κα
ει συνεχή δεύ
μ2x 0 , x
εν μπορεί να
f δύο φορές
  στο R f
υνάρτηση
R .
αι το πρόσημο
στήματα που
εία καμπής τ
f :[0, )  R
είξτε ότι η συ
αύξουσα στο
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
ρές
ότι δεν
ικό
η γραφική
αx 1  με
η οποία
χύει ότι
 0,1 . Να
αμπής
ύτερη
R . Να
είναι
ς
 x 0  ,
ο της g .
η g είναι
ης gC
R η οποία
υνάρτηση
(0, ) .
Σ
r

21. Γ Λυκείου –Μ
2.245 Αν
τον γεωμετρ
γραφικής π
2.246 Δίν
παραγωγίσμ
f(x)
f(x) e 
δείξετε ότι η
Α) δεν
Β) έχει
ΕΞΙΣΩΣ
2.247 Α) Η
παραγωγίσι
δείξετε ότι γ
1 2x x
f
2
 
 
 
B) Να απο
α β R  
Γ) Δείξτε ό
2.248 Αν
αποδείξετε ό
2.249 Η σ
παραγωγίσι
και  f 0 f
κυρτή στο R
2.250 Η σ
παραγωγίσι
παράσταση
αξόνων, να
ότι  3f x 4
Μαθηματικά Θ
λx
f(x) 2e 
ρικό τόπο τω
αράστασης τ
εται η συνάρ
μη στο R κα
2
1 x x e   
η γραφική τη
έχει σημεία
ι ένα ακριβώ
ΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩ
Η συνάρτηση
ιμη και κυρτ
για κάθε 1x ,x
  1f x f x
2


οδείξετε ότι: e

τι
α β
ln
2


x 0 , y 0
ότι ισχύει



συνάρτηση f
ιμη στο R κ
 0 0  . Να
R
συνάρτηση f
ιμη και κυρτ
της f περνά
αποδείξετε ό
3x
4f
4
 
 
 
Θετικών Σπουδ
2
2
2
x , λ
λ
  
ων σημείων κ
της f , για κά
ρτηση f δύο
αι ισχύει
x
e για κάθε
ης παράστασ
α καμπής
ώς κρίσιμο ση
ΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣ
η f είναι δύ
τή σε διάστημ
2x Δ ισχύε
2x
(Jensen)

α β
2e 1

 
lnα lnβ , 
0 , α 1 και
α
1
x y
x
 
  
  
είναι δύο φ
αι ισχύει ότι
α αποδείξετε ό
είναι δύο φ
τή στο R κα
ά από την αρ
ότι για κάθε
δών
0. Να βρείτε
αμπής της
άθε λ (0, 
φορές
x R . Να
η
ημείο.
ΣΟΤΗΤΕΣ
ο φορές
μα Δ . Να
ει
 βα
e 1 e 1 
fα,β Α 
x y 1  , να
α α
α 1
1 5
y 2 

 

φορές
   f x f x 
ότι η f είναι
φορές
αι η γραφική
ρχή των
x R ισχύει
ε
)
1
α
1

ι
ή
ι
2.
1
f
f
2.
1
ότ
2.
f
x
2.
f(
Α
μο
Β)
f(
2.
1
f
κά
2.
δι
β
2.
1
f
f
.251 Η συν
1, με παρ
 1 1 Να α
  x x 1 f 
.252 Η συν
1, με f γ
τι  f x x 1 
.253 Δείξτε
: R R ώστ
R
.254 Έστω
x 1
x 1
e
(x)
e 1




Α) Να με
ονοτονία, τα
) Να δε
(ln x) f (x 1 
.255 Η συν
1, με παρ
 1 0 Να α
άθε x 1, 
.256 Αν οι
ιαδοχικοί όρ
γβ α
α γ
.257 Η συν
1, με παρ
 1 1 Να α
  x x 1 f 
νάρτηση f εί
ράγωγο γνήσ
αποδείξετε ότ
 f x 1 0  γι
νάρτηση f εί
γνήσια αύξου
  f x για
ε ότι δεν υπά
τε  f x 0 κα
η συνάρτηση
για x R .
ελετηθεί η συ
α κοίλα και τα
ειχθεί ότι για
1) f(x 1)  
νάρτηση f εί
ράγωγο γνήσ
αποδείξετε ότ
 .
α,β,γ R
ροι αριθμητικ
νάρτηση f εί
ράγωγο γνήσ
αποδείξετε ότ
 f x 1 0  γι
ίναι παραγω
σια αύξουσα
τι
ια κάθε x
ίναι παραγω
υσα και  f 1
κάθε x 1,
άρχει συνάρτ
αι  f x 0 
η f : R R μ
υνάρτηση ως
α σημεία καμ
α κάθε x 1 ι
f (ln x)
ίναι παραγω
σια αύξουσα
τι  f x x 1 
με α β γ 
κής προόδου
ίναι παραγω
σια αύξουσα
τι
ια κάθε x
59
ωγίσιμη στο
α και
1, .
ωγίσιμη στο
0 Δείξτε
 .
τηση
για κάθε
με
προς τη
μπής.
ισχύει
ωγίσιμη στο
α και
  f x για
, είναι
υ δείξτε ότι
ωγίσιμη στο
α και
1, .
9

22. 60
ΚΑΝΟΝΕΣ
2.258 Να β
Α)
x
lim

Γ)
x
lim

2.259 Να υ
Α)
 xx 0
ημx
lim
x e
Γ)
x
x
lim
x


2.260 Απο
 
xln x
f x 1 x
-1


 

2.261 Nα υ
2.262 Nα υ
2.263 Να υ
2.264 Να β
2.265 Υπολ
2.266 Nα β
2.267 Να υ
Σ DE L΄ HO
βρεθούν τα π
m (x ln x)


1
xm x e 1

  
  
 
  
υπολογίσετε
x
xσυνx
1 ημx


3
2


οδείξτε ότι είν
x
, 0 x 1
x
, x=1

υπολογιστεί
υπολογίσετε
υπολογίσετε
βρεθεί το x
li

λογίστε το
x
βρείτε τo
x
lim

υπολογίσετε
OSPITAL
παρακάτω όρ
Β) x 1
lim lnx





Δ)
1
x
x
lim x

τα παρακάτ
Β)
x
lim xln

Δ)
x
x
e
lim
4e


ναι συνεχής
και ότι  f 1
τo
x 0
1
lim
ημx
τα
1
x
x 0
e
lim
x

 
το
x 0
1 σ
lim


x
x
e 2x
im
4e x


 
 

x
3x ln
lim
x ln x


ln x
m
2ln x
 
 
το
x 0
2x
lim
1



ρια
ln(lnx)
τω όρια:
x 1
n
x 1
 
 
 
x
x
2x 1
x 3
 
 
η συνάρτηση
 0,5  .
2 1
x ημ
x
και 1x 0
x
x
lim
e


 
 
3 2
6 4
συν x ln x
x ln x
1
3


 
 
x x
x x
x e e
x e e




 
 
ln x
ln x
ημx
συνx


η
2.
2.
το
2.
γι
γι
2.
τη
κά
έχ
f
2.
πα
h
li

εφ
εξ
2.
τα
2.
α
.268 Αποδε
.269 Αν f
ο
 
 
f x
f xx 0
e
lim
e


.270 Έστω
ια την οποία
ια κάθε x R
.271 Έστω
ην οποία ισχύ
άθε x 1  . Ν
χει συνεχή 2η
   0 f 0 0 
.272 Δίνετα
αραγωγίσιμη
0
f(x 4h)
im

 
φαπτομένη τη
ξίσωση
y 5
.273 Αν f
α α,β R ώσ
.274 Να βρ
α,β,γ ώστε
x
li

htt
είξτε ότι
x 0
lim


x
2e 2x
x
x


μια συνεχής
ισχύει  xf x
R . Να βρείτε
f : R R , συ
ύει 1 συνx
Να βρείτε το
η παράγωγο
0 . Να δείξετε
αι η συνάρτη
η στο R . Αν
2
2f(x 2h)
h
  
ης fC στο ση
x 8
, να βρε

1
x
xln x
x 1
e ln(

 

 

 
στε η f να είν
ρεθούν οι πρ
x x
20
αe βe
m
x



ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch

 
4 x
20
x e x
m
sinx x
 

2
2
x 2 x
x
 
να
ς συνάρτηση
 ημx
e f x 
ε το  f 0 .
υνεχής συνά
   x f x ln 1
 f 0 .Η συνά
ο στο R με f
ε ότι:
x 0
f(x
lim
1
ηση f : R R
ν για κάθε x
f(x)
24x 8 
ημείο
M 1,f
είτε τον τύπο
αx β, x
, x=0
x) α , x
 
 


ίναι συνεχής
ραγματικοί α
x
γ
1


ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr

2
1
18
υπολογίσετε
f : R R
 x
ημx e
άρτηση, για
x x  για
άρτηση f
 
3
0
2
  και
x) f( x)
3
συνx
 


R δύο φορές
R ισχύει
8
και η
f(1)
έχει
ο της f
0
0


να βρείτε
στο ox 0
αριθμοί
Σ
r
ε
ε

23. Γ Λυκείου –Μ
ΑΣΥΜΠΤΩ
2.275 Nα β
παραστάσεω
x
3
e
h(x)
x
 ,
 λ x x ln 
2.276 Έστω
   g x f x 
η ευθεία y 
 , να βρεί
2.277 Nα α
ασύμπτωτη τ
  f x 2ln e
2.278 Έστω
  g x xf e

της fC στο 0
στο  .
2.279 Έστω
 x
lim f x ημ

Αποδείξτε ότ
της γραφική
ΜΕΛΕΤΗ Σ
2.285 Να
Γ)
x
f(x)
x



2.286 Να
παράσταση
Μαθηματικά Θ
ΩΤΕΣ
βρείτε τις ασ
ων των συναρ
f(x) 
 x
n e 1
ω οι συναρτή
x ln x 1  
x 3  είναι
ίτε την ασύμ
αποδείξετε ό
της γραφική
x
e 1 2ln 2 
ω η συνάρτη
x
. Αν η ευθ
0 , να βρείτε
ω συνάρτηση
1
μ 1
x
 
 
 
και
τι η y x 2 
ής παράσταση
ΣΥΝΑΡΤΗΣ
μελετήσετε τ
1
1


κάνετε μελέτ
(για λόγους
Θετικών Σπουδ
σύμπτωτες τω
ρτήσεων
ln x
x 1


,
ήσεις f,g : 0
 ln x για κ
ασύμπτωτη
πτωτη της C
ότι η y 2x 
ς παράσταση
2
ση f : R R
θεία y 2x 
την ασύμπτω
η f : R R ,
 
x
xf x
lim
ln x


2 είναι πλάγ
ης της f στο
ΣΗΣ
τις συναρτήσ
Δ)  f x 
τη της συνάρ
ς απλότητας
δών
ων γραφικών
  xk x xe
, R  με
κάθε x 0 . Α
της fC στο
gC στο  .
2ln 2 είναι
ης της
και η g με
1 εφάπτετα
ωτη της gC
τέτοια ώστε
2
x
2
x



.
για ασύμπτω
ο 
σεις Α)
ln x
x
ρτησης  f x 
θεωρείστε σ
ν
2
1
x
ε
Αν
αι
ωτη
2.
πα
έχ
2.
f(
τι
A
B)
ορ
2.
οπ
απ
C
2.
τη
ασ
2.
f
Bρ
3
f(x) x 
Ε) f x
1
21
e
σ 2π

 

σ 1 και μ 
.280 Να βρ
αράσταση τη
χει ως ασύμπ
.281 Δίνετα
2
1
(x)
x αx


ις ευθείες x 
A) Να βρ
) Να απ
ριζόντια ασύ
.282 Έστω
ποία ισχύει e
ποδείξετε ότι
fC .
.283 Να απ
ης συνάρτηση
σύμπτωτες.
.284 Αν η γ
έχει ασύμπτ
ρείτε το
x
lim

12x

ln x, x
x
1 x, x

 

2
x μ
σ
 

 και να
0 )
ρείτε τα α,β,
ης f με f(x)
πτωτες τις ευθ
αι ότι η συνά
β
έχει κατ
3 και x=5
ρεθούν οι αρ
ποδειχτεί ότι
ύμπτωτη της
συνάρτηση
x
e xf(x)
 
ι ο άξονας x
ποδείξετε ότι
ης f(x) ημx
γραφική παρ
τωτη στο 
2
f(x) ημ
xf(x) 2x


 
Β) f(x) ημ
1
1


σχεδιάσετε τ
,γ R ώστε η
2
(α 1)x
3x γ
 


θείες x 2 
άρτηση f με τ
τακόρυφες ασ
ριθμοί α και
ι η ευθεία y
fC στο +.
 f : 0, 
1 για κάθε x
x είναι ασύ
ι η γραφική π
xln x, x 0 δ
ράσταση της
 την ευθεία
2 x
2
μx x e
ln x x ημ


 
μx x , x [ 
τη γραφική τ
61
η γραφική
βx 5
γ
 
να
και y 3 .
τύπο
σύμπτωτες
β .
0 είναι
R για την
x 0 . Να
ύμπτωτη της
παράσταση
δεν έχει
συνάρτησης
α y 2x 3  .
1
x
.
π,π]
της
1
ς

24. 62
ΠΡΟΒΛΗΜ
2.287 Αν
ελάχιστο, να
2.288 Σε ο
οποίο ισχύο
άξονα x΄x κ
B το εμβαδ
2.289 Μια
πώληση του
500 € το έν
μείωσης της
μικρότερη α
2.290 Ένα
Ορίζεται οτ
30 € για κά
επιπλέον τω
Α) Ποι
Β) Ποι
2.291 Ενα
0,8 € το λίτ
Α) να ε
Β) να β
Γ) πόσ
2.292 Η σ
A) την
B) το μ
2.293 Δίν
 A 9,4 τη μ
2.294 Το ά
τους.
ΜΑΤΑ
Μ το σημείο
α βρεθεί η απ
ορθοκανονικ
ουν τα εξής. Η
και η κορυφ
δό του τριγών
α εταιρεία αυ
υ κάθε αυτοκ
α, οι πωλήσε
ς τιμής είναι
από 2000 € .
α τουριστικό
τι για να γίνε
θε άτομο. Για
ων 30 , θα με
ιο το πλήθος
ια το μέγιστα
α φορτηγό δι
τρο και κατα
εκφράσετε το
βρείτε την τα
σα είναι τα ελ
συνάρτηση π
ν χρονική στι
μέγιστο κέρδ
εται η ευθεία
μικρότερη δυ
άθροισμα δύ
ο του διαγράμ
πόσταση OM
κό σύστημα σ
Η κορυφή Γ
ή B είναι ση
νου ABΓ γίν
υτοκινήτων ε
κινήτου είναι
εις αυξάνοντ
ι ανάλογη τη
Πόσα αυτοκ
γραφείο οργ
ει η εκδρομή
α να αυξήσει
ιώνει κατά 3
των επιπλέο
α έσοδα του γ
ιανύει καθημ
αναλώνονται
ο κόστος της
αχύτητα που
λάχιστα αυτά
ου μας δίνει
ιγμή, κατά τη
ος της επιχεί
α y 2x 3   .
υνατή απόστα
ύο αριθμών ε
μματος της f
M όταν ο ρυθ
συντεταγμένω
έχει συντετα
ημείο της παρ
νεται μέγιστο
εκτιμά ότι μπ
ι 5000 € . 'Εχ
ται κατά 1000
ης μείωσης αυ
κίνητα πρέπε
γανώνει εκδρ
χρειάζονται
ι τις συμμετο
30 λεπτά την
ον επιβατών
γραφείου απ
μερινά 100 km
ι με ρυθμό 2
διαδρομής α
πρέπει να έχ
ά έξοδα;
το κέρδος μι
ην οποία η επ
ίρησης.
Να βρείτε το
αση.
είναι 82 . Να
f με  f x x
θμός μεταβολ
ων θεωρούμ
αγμένες  4,
ραβολής y 
ο ;
πορεί να που
χει επίσης υπ
0 αυτοκίνητ
υτής. Αν η τι
ει να πουλήσ
ρομές με λεω
ι τουλάχιστο
οχές το γραφ
ν χρέωση κάθ
κάθε λεωφορ
πο κάθε λεωφ
km με σταθερ
2
x
400
 lt/h. Τ
αυτής ως συν
χει το φορτη
ιας επιχείρησ
πιχείρηση θα
ο σημείο της
βρείτε τη μέ
xln x λx 3 
λής του OM
ε ορθογώνιο
,0 , η κορυφ
2
4x x  . Για
υλήσει 2000
πολογίσει ότι
τα τον μήνα.
ιμή ενός αυτο
σει η εταιρεία
ωφορεία. Κάθ
ον 30 συμμετ
είο κάνει της
θε επιβάτη».
ρείου που με
φορείο;
ρή ταχύτητα
Τα υπόλοιπα
νάρτηση της
γό , ώστε τα
σης είναι: P(
α παρουσιάσ
ς ευθείας αυτή
έγιστη τιμή π
htt
3 που αντιστο
ως προς λ
τρίγωνο ΑΒ
φή A είναι στ
ποια τιμή τω
αυτοκίνητα
για κάθε μεί
Η αύξηση τω
οκινήτου δεν
α, ώστε να έχ
θε λεωφορείο
τοχές και τότ
ς εξής προσφ
γιστοποιεί τα
x km/h . Τα
α έξοδα του φ
ταχύτητας x
έξοδά του να
2
(t 1)
(t)
(t 1)



n
σει μέγιστο κέ
ής το οποίο α
που μπορεί να
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
τοιχεί στο τοπ
γίνει μηδέν.
ΒΓ με ο
Α 90
στο διάστημα
ων συντεταγ
τον μήνα, αν
ίωση της τιμή
ων πωλήσεω
ν μπορεί να ε
χει τα μέγιστα
ο έχει 70 θέσ
τε η τιμή ορίζ
φορά. «Για κά
α έσοδα;
α καύσιμα κο
φορτηγού είν
x ,
α είναι τα ελ
, t 0 . Να β
έρδος.
απέχει από τ
α πάρει το γ
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
πικό της
ο
, για το
α [0,4] του
γμένων του
ν η τιμή
ής κατά
ν λόγω
είναι
α έσοδα;
σεις.
ζεται στα
άθε επιβάτη
οστίζουν
ναι 9 €/ώρα
άχιστα,
βρείτε:
το σημείο
ινόμενό
Σ
r
α

25. Γ Λυκείου –Μ
ΓΕΝ
2.295 Δίν
στο ox 2 κ
A) Να
Β) Να
Γ) Να
Δ) Να
2.296 Δίν
γραφική πα
Α) Να
Β) Να
Γ) Να
2.297 Έστ
Α) Να
Β) Να
Γ) Αν
2.298 Έστ
Α) να α
Γ) να λ
2.299 Θεω
 f 0 0 . Να
Α) Η f
Β) Το θ
Γ) Ο τύ
Δ) Η f
Ε) Η ευ
Μαθηματικά Θ
ΝΙΚΕ
εται η συνάρ
και η εφαπτό
βρείτε τις τιμ
βρείτε το πλ
δείξετε ότι η
βρεθούν τα
εται η παραγ
αράσταση αυ
βρεθεί ο τύπ
βρεθεί το σύ
αποδείξετε ό
τω η συνάρτη
δείξετε ότι η
βρείτε την μ
Rμ και ισ
τω η συνάρτ
αποδείξετε ό
λύσετε την α
ωρούμε τη συ
α αποδείξετε
f δεν παρουσ
θεώρημα του
ύπος της συν
f δεν έχει ορ
υθεία (ε) : y
Θετικών Σπουδ
ΕΣ ΑΣ
ρτηση  f x 
όμενη της στ
μές των α,β
λήθος των ριζ
η εξίσωση f x
κx
f(x)
lim
x
,
x
γωγίσιμη συν
υτής διέρχετα
πος της f .
ύνολο τιμών
ότι η εξίσωση
ηση f : R R
η εξίσωση f x
μονοτονία τη
σχύει 4
g(x μ
ηση f(x) ln
τι α= 1 ,
ανίσωση ln 2
υνάρτηση f
ε ότι:
σιάζει ακρότ
υ Rolle δεν εφ
νάρτησης f ε
ιζόντιες ασύ
3e 1
x
3e 3

  

δών
ΣΚΗ
3 2
αx βx 1 
ο σημείο A
R και το σ
ζών της εξίσω
x 2004 έχε
κx
f(x)
lim , κ
x

νάρτηση στο
αι από το σημ
της.
η: x
e 3x e 
R , δύο φορέ
x 0 έχει το
ης συνάρτηση
μ) g(4x) , x
α
n x α
x
  με
2
2
1
2x 2
x
 

για την οποί
τατο σε κανέν
φαρμόζεται
είναι  f x l
μπτωτες.
1 είναι κάθε
ΗΣΕΙ
12x , όπου α,
 1,f(1) διέρχ
σύνολο τιμών
ωσης  f x 0
ει μόνο μία λ
Z
ο R για την ο
μείο  Μ 1,3
έχει μόνο μί
ές παραγωγίσ
ο πολύ μία ρί
ης g(x) f (x
x R να βρεί
ε x 0 . Αν γ
Β) να
 21
ln x
3
 

ία ισχύει f x
να σημείο το
σε κανένα δ
x 3
3e x
ln
3

γ
ετη στην εφα
ΙΣ
,β R , η οπο
χεται από το
ν της f .
0 .
λύση.
οποία για κά
, τότε:
ία ρίζα στο (
σιμη ώστε να
ίζα στο R .
x) , x R .
ίτε την μικρό
για κάθε x 
λύσετε την ε
 2
1
3
2x 2
 

 x f(x)
x e 
 
ου διαστήματ
ιάστημα της
για κάθε x
απτομένη της
οία παρουσι
 3,5 .
άθε x 0 ισχ
(0, ) .
α ισχύει f (x
ότερη τιμή πο
0 είναι f(x)
ξίσωση x
x 
2lnx f(x)
e 
για
τος  0, .
μορφής 0,x
 0,
ς fC στο ox
ιάζει τοπικό
χύει f (ln x) 
x) f (x) 0, x 
ου μπορεί να
0 τότε
x 1
e 
, x 0
α κάθε x 0
ox .
1
63
ελάχιστο
x 3  . Αν η
x R .
α πάρει ο μ .
0, και
3

26. 64
2.300 Δίν
Α) Να
Γ) Να
Δ) Να
2.301 Δίν
Α) Να
Γ) Αν
2.302 *Έσ
και  f 0 0
Α. Να
Β. Να
Γ. Να
2.303 * Έσ
 g x λx 4 
Α) Να
Β) Να
2.304 Έστ
 
f x
e 3f' x
Α) Να
αποδείξετε ό
Β) Να
Γ) Να
Δ) Να
Ε) Να
Στ) Να
Ζ) Να
εται η συνάρ
βρείτε τα ακ
αποδείξετε ό
βρείτε για τι
εται η συνάρ
βρείτε το πρ
ισχύει ότι ln
στω συνάρτησ
0
εκφράσετε τ
αποδείξετε ό
βρείτε την π
στω συνάρτη
2
4
x
 και g
βρείτε τον α
βρείτε την π
τω συνάρτησ
  x f x για κ
δείξετε ότι η
ότι η fC τέμ
δείξετε ότι 3
αποδείξετε ό
βρείτε τον τύ
αποδείξετε ό
βρείτε την κ
σχεδιάσετε τ
ρτηση f(x) 
κρότατα της
ότι
x 0
lim f(x)


ις διάφορες τ
ρτηση f(x) 
ρόσημο της f
βxx
n β
α α
 
  
 
ση f , παραγ
την f συναρ
ότι
x
f(x)
2
 
πλάγια ασύμπ
ηση g : 0,
 x 4 6x   
αριθμό λ
πλάγια ασύμπ
ση f ορισμέν
κάθε x 4 , f
η f είναι γνη
νει τον x'x
  3f'' x f' x
ότι υπάρχει μ
ύπο της f γι
ότι η εξίσωση
κατακόρυφη
τη γραφική π
x λ ln x  ,
f
  και
x
lim

τιμές του λ 
x x
ln
α α
 
  
 
.
β για κάθε x
γωγίσιμη στο
ρτήσει της f κ
xf΄(x) x  , γ
πτωτη της γρ
 R  παρα
1
4x
 για κάθ
πτωτη της C
νη και δύο φο
 f' x 0 για κ
ησίως αύξουσ
σε ένα μόνο

2
x και ότι η
μοναδικός x
ια x 4
η  f x κ έχ
ασύμπτωτη τ
παράσταση τ
λ R
Β) Να
m f(x)

 
R το πλήθο
1 με α>0
Β) Να
x 0 , να απο
ο R , που ικα
και να δείξετ
για κάθε x 
ραφικής παρ
αγωγίσιμη στ
θε x 0
gC στο  κα
ορές παραγω
κάθε x 4 κ
σα στο  ,4
σημείο.
η fC στρέφε
 ox 0,1 ώσ
χει μοναδική
της f .
της f .
α αποδείξετε ό
ος των ριζών
α λύσετε την ε
οδείξετε ότι β
ανοποιεί τις σ
τε ότι η f είν
0 .
ράστασης της
το  0, με
αι να υπολογ
ωγίσιμη στο 
και  f 1 0 ,
4 , να βρείτε
ει τα κοίλα ά
στε  0f x x 
λύση στο 
htt
ότι
x
ln x
e
 γ
της εξίσωση
εξίσωση
x
e
α

β=1 .
σχέσεις  f x
αι δύο φορές
ς f στο  .
,  g 1 2  
γίσετε το
x
lim

 ,4 για τ
 f 1 1 
ε το πρόσημο
νω στο  ,
 0 0x f' x (3)
,4 για κά
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
για κάθε x 
ης λ x
xe e
x
αe για κάθ
 f x
e x

  
ς παραγωγίσ
λ ,  g 1  
 
 
g x ημ
m
xg x 6x


την οποία ισχ
ο της f και ν
4
άθε κ R
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
0
θε α>0
1 , x R
σιμη στο R
8 ,
2
μx 4
x ln x


χύουν:
να
Σ
r

27. Γ Λυκείου –Μ
2.305 Η σ
Α) Να
Β) Αν
α) Να
Β) να β
στο σημείο τ
2.306 Έστ
Αν ισχύει ό
Α) f (x
Β) η ευ
Γ) f x
2.307 ** Δ
κάθε x R .
Α. Να
Β) Να
Γ) Να
Δ) Να
2.308 **H
κάθε x 0 .
Α) η f
2.309 Έστ
Α) Να
Β) Να
Γ) Να
Δ) Αν
1
1 2
f'(x ) f'(x

Μαθηματικά Θ
συνάρτηση f
βρείτε την π
επιπλέον είν
βρείτε την π
βρείτε την εξ
της με τετμημ
τω η συνάρτη
ότι
h 0
2f(x
lim


3
4
x)
x

υθεία y 2x

2
x 2x 2
x
  
Δίνεται συνάρ
.
αποδείξετε ό
αποδείξετε ό
βρείτε την εφ
αποδείξετε ό
H συνάρτηση
Να αποδείξ
είναι 1 1
τω f συνεχής
δείξετε ότι υ
δείξετε ότι υ
δείξετε ότι υ
 f x 0  για
2
2
3
x )

Θετικών Σπουδ
είναι παραγ
παράγωγο τη
ναι  0 f x 
παράγωγο τη
ξίσωση της εφ
μένη 0x 1
ηση f : R R
2
3h) 5f(x)
h
  
2004 είναι
2004 για κάθ
ρτηση f : R 
ότι η συνάρτ
ότι η f είναι
φαπτομένη τ
ότι 3x
f(x)
lim
x
f είναι ορισ
ξετε ότι:
Β) f f
ς στο , παρ
υπάρχει τέτ
υπάρχουν 1ξ
υπάρχει ox 
α κάθε x α
δών
γωγίσιμη στο
ης συνάρτηση
1 για κάθε
ης συνάρτηση
φαπτομένης τ
R η οποία είν
3f(x 2h) 

ι πλάγια ασύ
θε  x 0, 
R για την
ηση h(x) f
ι κοίλη στο 0
της γραφικής
0
σμένη και πα
(x) x  για
ραγωγίσιμη σ
τοιο ώστε f
 2,ξ α,β μ
 α,β τέτοιο
α,β τότε υπά
ο R με  f x
ης   g x f
x R και f
ης  g x ln
της γραφική
ναι έχει συν
3
60
x
 και
x
lim

ύμπτωτη της

οποία γνωρ
3
(x) f(x) x 
0,
ς παράσταση
αραγωγίσιμη
α κάθε x 0
στο  α,β ) με
 ξ 1
με 1 2ξ ξ τέ
ο ώστε  of x
άρχουν 1x ,x
0 για κάθε
x
 f 1 e , f 1
 f(x)
ής παράσταση
νεχή δεύτερη
 m f x 4


fC στο 
ίζουμε ότι: f
x , x IR είν
ης της f στο
η στο  0,
Γ)
ε  f α α , f
έτοια ώστε 2f

2α β
3

 .
 2x α,β μ
ε x R .
1 1 τότε:
ης της συνάρ
παράγωγο σ
2
4x 9 200 
(0) 0 και f
ναι σταθερή.
ox 0
 και ισχύει ό
αν  f 1 1
 f β β
  1 2f ξ f ξ 
ε 1 2x x τέτο
ρτησης  g x
στο IR .
04 , να δείξετ
2
1
f (x)
3f (x)
 
ότι  f f (x) 
τότε  f x 
 3
οια ώστε
65
 ln f(x)
τε ότι
1
για
 f x 0 για
ln x .
5
α