Θεωρία Γυμνασίου 2021

Ά Γυμνασίου Μαθηματικά
Θεωρία
Αντωνάτος Γιώργος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
email: antonatos.geo@gmail.com
21.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 106

ΑΝΤΩΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 1
1.1 Φυσικοί Αριθμοί
 Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5,……………….,99, 100, 101,……………………,1254,
1255,……………….. ονομάζονται φυσικοί αριθμοί.
 Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο και έναν προηγούμενο, εκτός από το 0 που
έχει μόνο επόμενο.
 Μπορούμε να δημιουργήσουμε απεριόριστο πλήθος φυσικών αριθμών
χρησιμοποιώντας τους: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 Σε έναν φυσικό αριθμό, η αξία του κάθε ψηφίου του, καθορίζεται από την θέση που
έχει, δηλαδή την δεκαδική τάξη του. Η δεκαδική τάξη ενός ψηφίου μπορεί να είναι
μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδες, εκατοντάδες χιλιάδες,
εκατομμύρια κλπ
ΆΡΤΙΟΙ ΚΑΙ ΠΕΡΙΤΤΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Άρτιοι ή ζυγοί ονομάζονται οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 2. Οι φυσικοί αριθμοί
2, 4, 6, 8 και όσοι αριθμοί τελειώνουν με αυτούς (ή τελειώνουν σε 0), είναι άρτιοι.
Περιττοί ή μονοί ονομάζονται οι φυσικοί αριθμοί που δεν διαιρούνται με το 2. Οι φυσικοί
αριθμοί 1, 3, 5, 7, 9 και όσοι αριθμοί τελειώνουν με αυτούς, είναι περιττοί.
Πλήθος διαδοχικών φυσικών αριθμών και Διάταξη φυσικών αριθμών
 Το πλήθος των διαδοχικών φυσικών αριθμών που υπάρχουν από τον αριθμό α μέχρι
και τον αριθμό β είναι ίσος με την διαφορά τους αυξημένη κατά 1, δηλαδη β-α+1
Πχ. από το 5 μέχρι το 24 υπάρχουν 24 – 5 + 1 = 19 + 1 = 20 αριθμοί
 Το πλήθος των διαδοχικών φυσικών αριθμών που υπάρχουν ανάμεσα στους
αριθμούς α και β είναι ίσο με την διαφορά τους μειωμένη κατά 1, δηλαδή β-α-1
Πχ. ανάμεσα στο 5 και το 24 υπάρχουν 24 – 5 – 1 = 19 – 1 = 18 αριθμοί
 Για να συγκρίνουμε (διατάξουμε) δυο αριθμούς, χρησιμοποιούμε τα παρακάτω
σύμβολα:
 Το = που σημαίνει «ίσος με»
 Το < που σημαίνει «μικρότερος από»
 Το > που σημαίνει «μεγαλύτερος από»
Μπορούμε επομένως να διατάξουμε τους φυσικούς αριθμούς από τον μικρότερο στον
μεγαλύτερο, δηλαδή κατά αύξουσα σειρά.
Σημείωση: Στα σύμβολα < και >, η «μυτούλα» δείχνει τον μικρότερο αριθμό από τους δύο.

Αντιστοίχιση φυσικών αριθμών με σημεία ενός άξονα
Σε μια ευθεία (άξονα), τοποθετούμε αυθαίρετα το σημείο Ο στο οποίο αντιστοιχούμε τον
αριθμό 0. Το σημείο Ο το ονομάζουμε αρχή του άξονα.
Δεξιά του Ο, διαλέγουμε επίσης αυθαίρετα ένα σημείο Α. Το ΟΑ ονομάζεται μονάδα
μέτρησης και με την βοήθεια του μπορούμε να τοποθετήσουμε στον άξονα όλους τους
φυσικούς αριθμούς.
Στρογγυλοποίηση
Για να στρογγυλοποιήσουμε έναν αριθμό, πρώτα εντοπίζουμε την τάξη στην οποία θα γίνει
η στρογγυλοποίηση και στην συνέχεια εξετάζουμε το αμέσως επόμενο ψηφίο.
 Αν είναι μικρότερο του 5 ( δηλαδή 0, 1, 2, 3, 4) τότε αντικαθιστούμε αυτό το ψηφίο,
καθώς και όλα τα ψηφία μικρότερης τάξης, με το 0.
 Αν είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5 (δηλαδή 5, 6, 7, 8, 9) τότε αυξάνουμε κατά 1 το
ψηφίο αυτό και μηδενίζουμε όλα τα ψηφία μικρότερης τάξης.
Παράδειγμα
Να στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός 295.847 στις: α) εκατοντάδες, β) χιλιάδες, γ) δεκάδες
χιλιάδες.
α) Θέλουμε να τον στρογγυλοποιήσουμε στις εκατοντάδες, δηλαδή στο ψηφίο 8.
Παρατηρούμε ότι το ψηφίο της μικρότερης τάξης, είναι το 4. Και επειδή 4<5, τότε το 4 και
όλα τα μικρότερης τάξης ψηφία, μηδενίζονται. Δηλαδή
295.847  295.800
β) Θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε στις χιλιάδες, δηλαδή στο ψηφίο 5. Παρατηρούμε ότι
το ψηφίο μικρότερης τάξης είναι το 8. Και επειδή 8>5, τότε το 5 θα αυξηθεί κατά ένα και
όλα τα μικρότερης τάξης ψηφία, θα μηδενιστούν. Δηλαδή
295.847  296.000
γ) Θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε στις δεκάδες χιλιάδες, δηλαδή στο 9. Παρατηρούμε ότι
το ψηφίο μικρότερης τάξης είναι το 5. Και επειδή 5=5, τότε το 9 θα αυξηθεί κατά ένα το
οποίο σημαίνει ότι το 9 θα γίνει 0 και θα αυξηθεί κατά ένα και το ψηφίο 2. Όλα τα
μικρότερης τάξης ψηφία, θα μηδενιστούν. Δηλαδή
295.847  300.000

1.2 Πρόσθεση, Αφαίρεση και Πολλαπλασιασμός φυσικών
αριθμών
Πρόσθεση – Ιδιότητες πρόσθεσης
 Στην πρόσθεση α + β = γ , οι αριθμοί α και β λέγονται προσθετέοι, ενώ ο αριθμός γ
λέγεται άθροισμα.
 Το 0 λέγεται ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και όταν προστεθεί σε έναν φυσικό
αριθμό α, δεν τον μεταβάλλει. Δηλαδή α + 0 = α
 Αντιμεταθετική Ιδιότητα: α + β = β + α
 Προσεταιριστική Ιδιότητα: (α + β) + γ = α + (β + γ)
Αφαίρεση – Ιδιότητες αφαίρεσης
 Αφαίρεση είναι οι πράξη με την οποία, όταν δίνονται δυο αριθμοί Μ (μειωτέος) και
Α (αφαιρετέος), βρίσκουμε έναν αριθμό Δ (διαφορά). Δηλαδή
Μ – Α = Δ
 Στους φυσικούς αριθμούς, ο αφαιρετέος (Α) πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος με
τον μειωτέο (Μ). Διαφορετικά δεν μπορεί να γίνει η αφαίρεση στους φυσικούς
αριθμούς
 Το 0, όταν βρίσκεται στη θέση του αφαιρετέου (Α), είναι ουδέτερο στοιχείο.
Δηλαδή
α – 0 = α
 Αν αφαιρέσουμε από ένα φυσικό αριθμό τον εαυτό του, τότε έχουμε αποτέλεσμα 0
α – α = 0
Πολλαπλασιασμός – Ιδιότητες πολλαπλασιασμού
 Στον πολλαπλασιασμό α ∙ β = γ, οι αριθμοί α και β λέγονται παράγοντες και ο αριθμός
γ λέγεται γινόμενο.
 Ουδέτερο Στοιχείο: α ∙ 1 = α ή 1 ∙ α = α
 α ∙ 0 = 0 ή 0 ∙ α = 0
 Αντιμεταθετική Ιδιότητα: α ∙ β = β ∙ α
 Προσεταιριστική Ιδιότητα: α ∙ (β ∙ γ) = (α ∙ β) ∙ γ
Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν φυσικό αριθμό με το 10, 100, 1000 κ.ο.κ αρκεί να
προσθέσουμε στο τέλος του αριθμού αντίστοιχα ένα 0, δυο 0, τρία 0 κ.ο.κ δηλαδή όσα
μηδενικά έχει ο παράγοντας 10, 100, 1000 κ.ο.κ
ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ
α ∙ (β + γ) = α ∙ β + α ∙ γ
α ∙ (β - γ) = α ∙ β - α ∙ γ

1.3 Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών
Δύναμη ενός αριθμού α στην ν, ονομάζουμε το γινόμενο
α∙α∙α……∙α (ν φορές) και συμβολίζουμε αν
Το α ονομάζεται βάση της δύναμης, ενώ το ν εκθέτης.
Ουσιαστικά ο εκθέτης δείχνει πόσες φορές πολλαπλασιάζουμε τη βάση με τον εαυτό της.
 α2
: α στην δευτέρα ή α στο τετράγωνο
 α3
: α στην τρίτη ή α στον κύβο
 α1
= α
 1v
= 1
Τις δυνάμεις του 10, δηλαδή το 10v
, τις υπολογίζουμε ως εξής. Γράφουμε το 1 και
συμπληρώνουμε v μηδενικά. Για παράδειγμα 104
= 10000
Προτεραιότητα Πράξεων
Αριθμητική Παράσταση ονομάζεται κάθε σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα
σύμβολα των πράξεων (+ , - , ∙ , ÷).
Οι πράξεις γίνονται με την εξής προτεραιότητα
1) Εκτελούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις ( εφ’ όσον υπάρχουν)
2) Δυνάμεις αριθμών
3) Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις
4) Προσθέσεις και Αφαιρέσεις
1.4 Ευκλείδεια Διαίρεση – Διαιρετότητα
Τύπος: Δ = δ ∙ π + υ, όπου
Δ: Διαιρετέος (ο αριθμός τον οποίο διαιρούμε)
δ: διαιρέτης (ο αριθμός με τον οποίο διαιρούμε)
π: πηλίκο (το αποτέλεσμα της διαίρεσης/πόσες φορές χωράρει ο
διαρέτης στον Διαιρετέο)
υ: υπόλοιπο
 Ο διαιρέτης μια διαίρεσης δεν μπορεί να είναι 0
 Το υπόλοιπο είναι ΠΑΝΤΑ μικρότερο του διαιρέτη (υ<δ)
o δ ≠ 0
o α : α = 1
o α : 1 = α
o 0 : α = 0
Αν το υπόλοιπο την διαίρεσης είναι 0, τότε η διαίρεση ονομάζεται τέλεια διαίρεση. Ισχύει
δηλαδή ότι Δ = δ ∙ π

1.5 Χαρακτήρες Διαιρετότητας – ΕΚΠ και ΜΚΔ – Ανάλυση
Αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων
Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού ονομάζουμε τους αριθμούς που προκύπτουν όταν
πολλαπλασιάσουμε αυτόν το αριθμό με όλους τους φυσικούς. Δηλαδή για έναν φυσικό
αριθμό α, τα πολλαπλάσιά του είναι 0, α, 2∙α, 3∙α, 4∙α, ……………
Πχ πολλαπλάσια του 2 είναι 0,2,4,6,8,10,12,……
Όταν λέμε ότι ένας αριθμός α διαιρεί τον β, εννοούμε ότι η διαίρεση τους είναι τέλεια δηλαδή
υ=0
Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δυο ή περισσοτέρων αριθμών (ΕΚΠ), ονομάζεται το
μικρότερο από τα κοινά τους πολλαπλάσια.
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης δυο ή περισσοτέρων αριθμών (ΜΚΔ), ονομάζεται ο
μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες τους
Ένας αριθμός που έχει διαιρέτες ΜΟΝΟ τον εαυτό του και το 1, λέγεται πρώτος
Διαφορετικά λέγεται σύνθετος
Δυο αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους, όταν ο ΜΚΔ(α,β)=1
Εύρεση ΕΚΠ και ΜΚΔ με τη βοήθεια της ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων
παραγόντων
Για να βρούμε το ΕΚΠ και ΜΚΔ δυο ή περισσοτέρων αριθμών, αναλύουμε αρχικά τους
αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Στη συνέχεια:
 Για το ΕΚΠ παίρνουμε το
γινόμενο από τους
κοινούς και μη κοινούς
παράγοντες με τον
μεγαλύτερο εκθέτη.
 Για το ΜΚΔ παίρνουμε
το γινόμενο από τους
κοινούς παράγοντες με
τον μικρότερο εκθέτη.

2.1 Η έννοια του κλάσματος
Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο από ομοειδή αντικείμενα, χωριστεί σε ν ίσα μέρη, τότε
καθένα από αυτά ονομάζεται «ένα νιοστό» και συμβολίζεται με
1
𝜈
. Κάθε αριθμός αυτής
της μορφής λέγεται κλάσμα ή κλασματική μονάδα.
Ο αριθμητής και ο παρονομαστής λέγονται όροι του κλάσματος.
Σε ΚΑΘΕ κλάσμα ο παρονομαστής ΔΕΝ πρέπει να είναι 0.
Το κλάσμα εκφράζει την διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή, δηλαδή
𝜅
𝜈
= κ : ν
Από το τελευταίο προκύπτουν τα ακόλουθα:
 Κάθε φυσικός αριθμός α γράφεται ως κλάσμα, με αριθμητή το α και παρονομαστή
τη μονάδα (1), δηλαδή
α
1
= α
 Όταν οι όροι του κλάσματος είναι ίσοι, τότε το κλάσμα ισούται με τη μονάδα:
o
α
α
= 1
 Όταν ο αριθμητής του κλάσματος είναι το μηδέν (0), τότε όλο το κλάσμα είναι ίσο
με το μηδέν:
o
0
𝛼
= 0
Σύγκριση ενός κλάσματος με την μονάδα
Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος, είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα
είναι μεγαλύτερο από το 1
Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα
είναι μικρότερο από το 1
Το
1
𝜈
ενός αριθμού
Για να βρούμε το
1
𝜈
ενός αριθμού α, πολλαπλασιάζουμε το
1
𝜈
με το α ή αλλιώς διαιρούμε το
α με το ν. Δηλαδή το
1
𝜈
του α ισούται με:
𝟏
𝝂
∙ α =
𝛂
𝛎

2.2 Ισοδύναμα Κλάσματα
Δυο κλάσματα
𝛼
𝛽
και
𝛾
𝛿
λέγονται ισοδύναμα ή ίσα, όταν εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός
μεγέθους ή ίσων μεγεθών. Γράφουμε τότε
𝛼
𝛽
=
𝛾
𝛿
Αν δυο κλάσματα
𝛼
𝛽
και
𝛾
𝛿
είναι ίσα, τότε τα «χιαστί γινόμενά» τους α∙δ και β∙γ είναι
ίσα. Δηλαδή:
Αν
𝛼
𝛽
=
𝛾
𝛿
τότε α∙δ= β∙γ
Αν σε ένα κλάσμα, πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον
ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει ισοδύναμο κλάσμα, Δηλαδή:
Απλοποίηση ενός κλάσματος ονομάζεται η μετατροπή του σε ισοδύναμο με όσο το
δυνατόν μικρότερους όρους.
Η απλοποίηση ενός κλάσματος
𝛼
𝛽
γίνεται ως εξής:
Βρίσκουμε τον ΜΚΔ (α,β)
Διαιρούμε με τον ΜΚΔ (α,β) τον αριθμητή (α) και τον παρονομαστή (β)
Ένα κλάσμα
𝛼
𝛽
λέγεται ανάγωγο, όταν δεν μπορεί να απλοποιηθεί άλλο. Σε ένα ανάγωγο
κλάσμα
𝛼
𝛽
ισχύει ότι ΜΚΔ (α,β) = 1
Ομώνυμα και Ετερώνυμα Κλάσματα
Όταν δυο ή περισσότερα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή, λέγονται ομώνυμα, ενώ
όταν έχουν διαφορετικό παρονομαστή λέγονται ετερώνυμα.
Για να μετατρέψουμε δυο ή περισσότερα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα, εργαζόμαστε
ως εξής:
Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών
Πολλαπλασιάζουμε τους όρους (αριθμητή και παρονομαστή) με τον κατάλληλο
αριθμό, ώστε όλοι οι παρονομαστές να γίνουν ίσοι με το παραπάνω ΕΚΠ

2.3 Σύγκριση Κλασμάτων
 Αν δυο κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή (ομώνυμα), μεγαλύτερο είναι εκείνο
με τον μεγαλύτερο αριθμητή
 Αν δυο κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή, μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον
μικρότερο παρονομαστή
 Αν δεν έχουν κανένα όρο τους ίσο, τότε τα κάνουμε ομώνυμα και τα συγκρίνουμε
2.4 Πρόσθεση και Αφαίρεση Κλασμάτων
 Για να προσθέσουμε δυο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα, αφήνουμε ίδιο τον
παρονομαστή και προσθέτουμε τους αριθμητές τους.
α
β
+
γ
β
=
α+γ
β
 Για να αφαιρέσουμε δυο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα, αφήνουμε ίδιο τον
παρονομαστή και αφαιρούμε τους αριθμητές τους.
α
β
-
γ
β
=
α−γ
β
Αν δεν είναι ομώνυμα, τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα και ακολουθούμε την αντίστοιχη
διαδικασία.
 Όταν έχουμε πρόσθεση ενός φυσικού αριθμού με κλάσμα
μικρότερο της μονάδας, παραλείπουμε το + και γράφουμε:
Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται μεικτοί.
2.5 Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων
Το γινόμενο δυο κλασμάτων είναι το κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο
των αριθμητών και παρανομαστή το γινόμενο των παρανομαστων.
Το γινόμενο ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, είναι το
κλάσμα με αριθμητή, το γινόμενο του αριθμητή με τον φυσικό
αριθμό και παρονομαστή τον ίδιο

Ισχύουν όλες οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού στα κλάσματα, δηλαδή
2.6 Διαίρεση Κλασμάτων
Για να διαιρέσουμε δυο φυσικούς αριθμούς, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον διαιρετέο
με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Δηλαδή:
Για να διαιρέσουμε δυο κλάσματα, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον διαιρετέο με τον
αντίστροφο του διαιρέτη. Δηλαδή:
Ένα κλάσμα του οποίου ένας όρος τουλάχιστον είναι κλάσμα, λέγεται σύνθετο.

3.1 Δεκαδικά Κλάσματα – Δεκαδικοί Αριθμοί – Διάταξη
Δεκαδικών Αριθμών - Στρογγυλοποίηση
 Οι δεκαδικοί αριθμοί αποτελούνται από το ακέραιο μέρος και το δεκαδικό μέρος,
τα οποία χωρίζονται με μια υποδιαστολή.
 Στο ακέραιο μέρος, όπως και στους φυσικούς αριθμούς, οι τάξεις των ψηφίων είναι
μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, κτλ.
 Στο δεκαδικό μέρος οι τάξεις των ψηφίων είναι δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά,
δεκάκις χιλιοστά, εκατοντάκις χιλιοστά, εκατομμυριοστά, κτλ.
 Η αξία ενός δεκαδικού αριθμού δεν αλλάζει αν προσθέσουμε ή διαγράψουμε
μηδενικά στο τέλος του δεκαδικού μέρους του.
Δεκαδικά Κλάσματα λέγονται τα κλάσματα που έχουν στον παρονομαστή τους μια
δύναμη του 10.
5
10
,
32
100
,
58
1000
Μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων σε δεκαδικούς αριθμούς
Μπορούμε να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό ως εξής:
Γράφουμε μόνο τον αριθμητή και χωρίζουμε με υποδιαστολή τόσα δεκαδικά ψηφία όσα
μηδενικά έχει ο παρονομαστής. Αν τα ψηφία του αριθμητή δεν φτάνουν, συμπληρώνουμε
όσα μηδενικά χρειαζόμαστε αριστερά του αριθμητή.
5
10
= 0,5
32
100
= 0,32
58
1000
= 0,058
Για την αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή για να μετατρέψουμε έναν δεκαδικό αριθμό σε
δεκαδικό κλάσμα, γράφουμε ένα κλάσμα που έχει αριθμητή τον αριθμό αυτό χωρίς την
υποδιαστολή και παρονομαστή το 1 ακολουθούμενο από τόσα μηδενικά όσα είναι τα
δεκαδικά ψηφία του δεκαδικού αριθμού.
0,4 =
4
10
0,03 =
3
100
0,503 =
503
1000
Σύγκριση Δεκαδικών Αριθμών
Για να συγκρίνουμε δυο δεκαδικούς αριθμούς, ξεκινάμε κοιτώντας τα ακέραια μέρη τους:
 Αν είναι διαφορετικά, τότε μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει μεγαλύτερο ακέραιο
μέρος.
 Αν είναι ίσα, τότε συγκρίνουμε τα δεκαδικά μέρη των δυο αριθμών ως εξής: τα
συμπληρώνουμε με μηδενικά, ώστε να έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων και στην
συνέχεις τα συγκρίνουμε όπως τους φυσικούς αριθμούς.

Στρογγυλοποίηση Δεκαδικών Αριθμών
Η στρογγυλοποίηση δεκαδικών αριθμών είναι ίδια με αυτή των φυσικών αριθμών.
Εντοπίζουμε δηλαδή την τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση και εξετάζουμε το
μικρότερης τάξης ψηφίο (το αμέσως επόμενο δεξιά).
 Αν αυτό είναι μικρότερο του 5, αφήνουμε τα ψηφία του αριθμού όπως είναι μέχρι
και εκείνο που θα γίνει η στρογγυλοποίηση και αντικαθιστούμε με μηδενικά όλα τα
επόμενα
 Αν αυτό είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5, αυξάνουμε κατά μία μονάδα το ψηφίο που
σημειώσαμε για στρογγυλοποίηση και αντικαθιστούμε με μηδενικά όλα τα
επόμενα ψηφία του.
Δεκαδικοί αριθμοί όπως το 0,6666………, στους οποίους τα δεκαδικά ψηφία είναι άπειρα και
επαναλαμβάνονται, ονομάζονται περιοδικοί αριθμοί και δεν μπορούν να γραφούν ως
δεκαδικά κλάσματα. Μπορούν όμως να γραφούν ως κλάσματα με κάποιον άλλο
παρονομαστή.
Για παράδειγμα
2
3
= 0,6666…..

4.1 Η έννοια της εξίσωσης – Οι εξισώσεις α + x = β, α – x
= β, αx=β, α:x=β, x:α=β
Εξίσωση με έναν άγνωστο είναι μια ισότητα που περιέχει αριθμούς και ένα γράμμα
(που είναι ο άγνωστος).
Λύση ή ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός που όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο,
επαληθεύει τη δοσμένη ισότητα.
Η διαδικασία μέσω της οποίας βρίσκουμε τη λύση μιας εξίσωσης λέγεται επίλυση της
εξίσωσης.
Μια εξίσωση λέγεται αόριστη ή ταυτότητα, όταν όλοι οι αριθμοί είναι λύσεις της.
Μια εξίσωση λέγεται αδύνατη, όταν κανένας αριθμός δεν την επαληθεύει.
Μορφή Εξίσωσης Λύση Εξίσωσης
x + α = β x = β – α
x – α = β x = β + α
α – x = β x = α – β
α ∙ x = β x = β : α
x : α = β x = α ∙ β
α : x = β x = α : β
5.1 Ποσοστά
 Το σύμβολο α% ονομάζεται ποσοστό επί τοις εκατό ή πιο απλά ποσοστό και ισχύει ότι:
α% =
α
100
 Το ποσοστό α% του β είναι
α
100
∙ β
 Τα κλάσματα μπορούν να γράφονται και ως ποσοστά
Μετατροπή ποσοστού % σε δεκαδικό αριθμό και αντίστροφα
Για να μετατρέψουμε ένα ποσοστό % σε δεκαδικό:
1. Γράφουμε το ποσοστό % ως κλάσμα με παρονομαστή το 100
2. Γράφουμε το κλάσμα ως δεκαδικό αριθμό (μεταφέρουμε στον αριθμητή την
υποδιαστολή δυο θέσεις αριστερά)
Για να μετατρέψουμε έναν δεκαδικό αριθμό σε ποσοστό % τον γράφουμε ως κλάσμα
με παρονομαστή το 100

Μετατροπή κλάσματος σε ποσοστό
Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα σε ποσοστό % χρησιμοποιούμε έναν από τους παρακάτω
τρόπους:
1ος
Τρόπος: Μετατρέπουμε το κλάσμα σε ισοδύναμο με παρονομαστή το 100,
πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλο φυσικό αριθμό τους όρους του κλάσματος.
2ος
Τρόπος: Γράφουμε το κλάσμα ως δεκαδικό αριθμό (κάνοντας διαίρεση) και στη
συνέχεια μετατρέπουμε τον δεκαδικό σε ποσοστό %
5.2 Προβλήματα με ποσοστά
Έκπτωση =
α
100
∙ (Αρχική Τιμή)
Τελική Τιμή = (Αρχική Τιμή) – (Έκπτωση)
Φόρος Προστιθέμενης Αξίας ( Φ.Π.Α.) είναι ένας γενικός φόρος που επιβάλλεται σχεδόν σε
όλα τα προϊόντα και τις παρεχόμενες υπηρεσίες.
Φ.Π.Α. =
α
100
∙ (Αρχική Τιμή)
Τόκος (Τ) λέγεται το κέρδος που έχει κάποιος όταν αποταμιεύει σε κάποια τράπεζα ή όταν
δανείζει τα χρήματά του.
Ο τόκος των 100€ για ένα έτος λέγεται επιτόκιο (Ε). Για παράδειγμα, επιτόκιο 3% σημαίνει
ότι για κάθε 100€ που καταθέτουμε στην τράπεζα, παίρνουμε στο τέλος του χρόνου 3€
επιπλέον. Συνολικά, δηλαδή, στο τέλος του χρόνου θα πάρουμε 100 + 3 = 103€
Ο τόκος δηλαδή είναι 3€
Ο τόκος Τ που μας δίνει ένα κεφάλαιο Κ, όταν αυτό τοκιστεί για ένα χρόνο με επιτόκιο Ε%,
είναι: Τ = Κ ∙
Ε
100
Ο τόκος Τ που μας δίνει ένα κεφάλαιο Κ, όταν αυτό τοκιστεί για X μήνες (X<12) με επιτόκιο
Ε%, είναι: Τ =
Χ
12
∙
Ε
100
∙ Κ

7.1 Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί (Ρητοί Αριθμοί)
Τα σύμβολα «+» (συν) και «-» (πλην) λέγονται πρόσημα και χωρίζουν τους αριθμούς σε
θετικούς και αρνητικούς αντίστοιχα.
Το 0 δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός και δεν έχει πρόσημο.
Στους θετικούς, το πρόσημο μπορούμε να το παραλείψουμε.
Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο
Ετερόσημοι λέγονται οι αριθμοί με διαφορετικό πρόσημο
Φυσικοί αριθμοί είναι οι :
0, 1, 2, 3, 4, 5, …………
Ακέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί με τους αντίστοιχους αρνητικούς τους:
………, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….....
Ρητοί αριθμοί είναι όλοι οι γνωστοί μας αριθμοί έως τώρα, δηλαδή οι φυσικοί, τα
κλάσματα και οι δεκαδικοί, μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς τους.
7.2 Απόλυτη τιμή Ρητού αριθμού – Αντίθετοι Ρητοί –
Σύγκριση ρητών
Ορισμός: Απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α είναι η απόσταση του σημείου με
τετμημένη α από την αρχή του άξονα, δηλαδή από το 0. Συμβολίζεται με |𝛼|
Πχ |+2| = 2 |-4| = 4 |0| = 0
Δυο αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι, όταν είναι ετερόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη
τιμή. Ο αντίθετος του x είναι ο –x.
 Μεγαλύτερος ρητός, είναι αυτός που βρίσκεται δεξιότερα στον άξονα.
 Όλοι οι θετικοί ρητοί είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν και τους αρνητικούς.
 Μεγαλύτερος από δυο θετικούς ρητούς, είναι αυτός με την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.
 Μεγαλύτερος από δυο αρνητικούς ρητούς, είναι αυτός με την μικρότερη απόλυτη τιμή.

7.3 Πρόσθεση Ρητών Αριθμών
Για να προσθέσουμε δυο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε
τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα τους βάζουμε το κοινό
τους πρόσημο.
Για να προσθέσουμε δυο ετερόσημους αριθμούς,
αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από την
μεγαλύτερη και στην διαφορά τους βάζουμε το πρόσημο
του ρητού που έχει τη μεγαλύτερη τιμή.
Ιδιότητες της Πρόσθεσης
 Αντιμεταθετική Ιδιότητα α + β = β + α
 Προσεταιριστική Ιδιότητα α + (β + γ) = (α + β) + γ
 Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = 0 + α = α
 Άθροισμα Αντίθετων α + (-α) = (-α) + α = 0
7.3 Αφαίρεση Ρητών Αριθμών
Για να αφαιρέσουμε από τον αριθμό α τον αριθμό β, προσθέτουμε στον α τον αντίθετο του
β. Δηλαδή:
α – β = α + (-β)
Απαλοιφή Παρενθέσεων
Σε ορισμένες αριθμητικές παραστάσεις εμφανίζονται παρενθέσεις, οι οποίες περιέχουν
έναν ή και περισσότερους αριθμούς με τα πρόσημά τους. Μπροστά από τις παρενθέσεις
αυτές μπορεί να υπάρχουν τα πρόσημα «+» ή «-». Για να τις απαλείψουμε, εργαζόμαστε
ως εξής:
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το «+» (ή δεν έχει πρόσημο), τότε βγάζουμε
την παρένθεση, μαζί με το «+» (αν έχει), και γράφουμε τους όρους που περιέχει με
τα πρόσημά τους όπως είναι.
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το «-», τότε βγάζουμε την παρένθεση και
γράφουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα.

Παράδειγμα:
𝛢 = +(−5) – (−3) + (+6) – (−14)
= −5 + 3 + 6 + 14
= −2 + 20
= 18
7.5 Πολλαπλασιασμός Ρητών Αριθμών
Το γινόμενο δυο ομόσημων (2 θετικοί ή 2 αρνητικοί) ρητών αριθμών, είναι πάντα θετικός
αριθμός.
+ ∙ + = + και - ∙ - = +
Το γινόμενο δυο ετερόσημων ρητών αριθμών, είναι πάντα αρνητικός αριθμός.
+ ∙ - = - ή - ∙ + = -
Ιδιότητες του Πολλαπλασιασμού
 Αντιμεταθετική Ιδιότητα: α ∙ β = β ∙ α
 Προσεταιριστική Ιδιότητα: α ∙ (β ∙γ) = (α ∙ β) ∙ γ
 Ουδέτερο Στοιχείο: 1 ∙ α = α ∙ 1 = α
 Γινόμενο με το 0: 0 ∙ α = α ∙ 0 = 0
 Επιμεριστική Ιδιότητα:
α ∙ (β + γ) = α ∙ β + α ∙ γ
α ∙ (β - γ) = α ∙ β - α ∙ γ
Αντίστροφοι Αριθμοί
Δυο ρητοί αριθμοί α και β, διάφοροι του μηδενός, λέγονται αντίστροφοι όταν το γινόμενό
τους είναι ίσο με την μονάδα, δηλαδή όταν ισχύει:
α ∙ β = 1
 Ο καθένας από τους α και β είναι αντίστροφος του άλλου
 Ο αντίστροφος του κ είναι ο
1
κ
 Ο αντίστροφος του
κ
λ
είναι ο
𝜆
κ
 Δύο αντίστροφοι αριθμοί έχουν το ίδιο πρόσημο

Γινόμενο πολλών παραγόντων
Για να υπολογίσουμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων (που είναι διάφοροι του μηδενός),
πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε:
 Το πρόσημο «+» αν το πλήθος αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο.
 Το πρόσημο «-» αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό.
 Αν τουλάχιστον ένας παράγοντας είναι μηδέν (0), τότε και το γινόμενο είναι ίσο με
μηδέν
7.6 Διαίρεση Ρητών Αριθμών
 Για να διαιρέσουμε δυο ομόσημους ρητούς αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές
τους και στο πηλίκο βάζουμε το πρόσημο «+»
+ : + = + και - : - = +
 Για να διαιρέσουμε δυο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες
τιμές τους και στο πηλίκο βάζουμε το πρόσημο «-»
+ : - = - και - : + = -
Θυμάμαι:
Αριθμητική Παράσταση ονομάζεται μια παράσταση η οποία περιέχει πράξεις με αριθμούς.
7.7 Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών
Όταν σε έναν δεκαδικό αριθμό, ένα μέρος των δεκαδικών του ψηφίων επαναλαμβάνεται, ο
αριθμός αυτός ονομάζεται περιοδικός δεκαδικός αριθμός και το τμήμα των
επαναλαμβανόμενων ψηφίων ονομάζεται περίοδος.
Κάθε ρητός αριθμός, λοιπόν, μπορεί να γραφεί με την μορφή δεκαδικού ή περιοδικού
δεκαδικού
Πχ.

1.1Σημείο – Ευθύγραμμο Τμήμα
Ευθεία – Ημιευθεία
Επίπεδο – Ημιεπίπεδο
Η Γεωμετρία στηρίζεται σε τρεις βασικές έννοιες. Την έννοια του σημείου, της ευθείας και
του επιπέδου. Για αυτές τις έννοιες δεν μπορούμε να δώσουμε ορισμό. Η κατανόηση τους
προκύπτει από την εμπειρία.
Σημείο
Το σημείο δεν έχει διαστάσεις (μήκος, πλάτος, εμβαδό).
Ένα σημείο μπορούμε να το παραστήσουμε με μια τελεία και το
συμβολίζουμε με ένα κεφαλαίο γράμμα πχ Α, Β, Γ, Μ, κτλ.
Ευθύγραμμο τμήμα
Για να κατασκευάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα, αρκεί να
ενώσουμε με μια γραμμή δυο σημεία.
Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει άκρα τα σημεία Α και Β, τα οποία
λέμε ότι το ορίζουν.
Ευθεία
Αν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα
ευθύγραμμο τμήμα προς και τα δυο του
άκρα, το σχήμα που προκύπτει ονομάζεται
ευθεία.
Η ευθεία δεν έχει ούτε αρχή, ούτε τέλος.
Μια ευθεία τη συμβολίζουμε με ένα μικρό γράμμα (πχ ε, ζ, …), είτε με δύο μικρά γράμματα
(πχ χ’χ, ψ’ψ, …) είτε με τα γράμματα δυο σημείων της ευθείας.
 Από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες
 Από δυο σημεία διέρχεται μόνο μια ευθεία
Ημιευθεία
Αν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα προς το ένα
άκρο του μόνο, τότε το σχήμα που προκύπτει ονομάζεται
ημιευθεία.
Η ημιευθεία έχει αρχή αλλά δεν έχει τέλος.
Δύο ημιευθείες που έχουν κοινή αρχή και βρίσκονται πάνω στην ίδια
ευθεία, ονομάζονται αντικείμενες ημιευθείες.

Επίπεδο
Η επιφάνεια του καθρέφτη, το πάτωμα του δωματίου μας δίνουν
την έννοια του επιπέδου.
Συμβολίζουμε το επίπεδο με ένα κεφαλαίο γράμμα πχ Π, Ρ, Σ, κτλ.
Ένα επίπεδο επεκτείνεται απεριόριστα.
Από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται μόνο
ένα επίπεδο.
Ημιεπίπεδο
Κάθε ευθεία ενός επιπέδου, το χωρίζει σε δύο ημιεπίπεδα
Π1 και Π2.
Πλευρές ενός πολυγώνου είναι τα
ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν
δύο διαδοχικές κορυφές.
Διαγώνιες ενός πολυγώνου είναι τα
ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν
δυο μη διαδοχικές κορυφές.
Πλευρά ΓΔ
Διαγώνιος ΒΔ

1.2 Γωνία – Γραμμή – Επίπεδα Σχήματα – Ευθύγραμμα
Σχήματα – Ίσα Σχήματα
Σχεδιάζουμε δυο ημιευθείες Ox και Οy, με κοινή αρχή Ο.
Το μέρος του επιπέδου Π1 ονομάζεται κυρτή γωνία, ενώ
το Π2 μη κυρτή γωνία.
Το σημείο Ο ονομάζεται κορυφή της γωνίας, ενώ οι
ημιευθείες Ox και Oy ονομάζονται πλευρές της γωνίας.
Μια γωνία μπορούμε να την ονομάζουμε:
Α) με ένα μικρό γράμμα (πχ φ, ω, ψ, ….)
Β) με το γράμμα της κορυφής (πχ Α, Β, Μ, ….)
Γ) με τρία γράμματα, όπως στο παράδειγμα της φωτογραφίας xOy ή
yOx (!!!Το γράμμα της κορυφής να βρίσκεται στην μέση!!!)
Τεθλασμένη γραμμή – Ευθύγραμμο σχήμα
 Τεθλασμένη γραμμή είναι μια γραμμή που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα
τμήματα, τα οποία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
 Ευθύγραμμο σχήμα ονομάζεται κάθε τεθλασμένη γραμμή της οποίας τα άκρα
συμπίπτουν.
Μια τεθλασμένη γραμμή ονομάζεται κυρτή όταν η προέκταση κάθε πλευράς αφήνει όλες
τις άλλες πλευρές στο ίδιο επίπεδο.

Αν η προέκταση μιας τουλάχιστον πλευράς της τεθλασμένης γραμμής αφήνει ορισμένες
πλευρές στο ένα ημιεπίπεδο και ορισμένες στο άλλο, τότε η τεθλασμένη γραμμή λέγεται μη
κυρτή.
1.3 Μονάδες μέτρησης μήκους – Απόσταση Σημείων –
Μέσο ευθύγραμμου τμήματος
Χιλιόμετρο
Km
Μέτρο
m
Δεκατόμετρο (δέκατο)
dm
Εκατοστόμετρο
(εκατοστό)
cm
Χιλιοστόμετρο (χιλιοστό)
mm
Απόσταση δυο σημείων ονομάζουμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα
σημεία αυτά.
Μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, ονομάζουμε το σημείο Μ που απέχει το ίδιο από τα
άκρα του τμήματος (δηλαδή βρίσκεται στη μέση του.)
X1000
X10
X10
X10
:1000
:10
:10
:10

1.4 Πρόσθεση και Αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων
 Για να προσθέσουμε δύο ή περισσότερα ευθύγραμμα τμήματα, τα τοποθετούμε
διαδοχικά πάνω σε μία ευθεία. Το τμήμα που ορίζεται από την αρχή του πρώτου και
το τέλος του τελευταίου, είναι το άθροισμά τους.
 Για να αφαιρέσουμε δύο ή περισσότερα ευθύγραμμα τμήματα, τα τοποθετούμε με
κοινή αρχή πάνω σε μια ημιευθεία. Το τμήμα που ορίζεται από το τέλος του
μικρότερου και το τέλος του μεγαλύτερου, είναι η διαφορά τους.
Μήκος τεθλασμένης γραμμής
Μια τεθλασμένη γραμμή, έχει μήκος ίσο με το άθροισμα των μηκών των
ευθυγράμμων τμημάτων από τα οποία αποτελείται.
Περίμετρος ενός σχήματος είναι το άθροισμα των μηκών των πλευρών του
σχήματος.
1.5 Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών – Διχοτόμος
γωνίας
Μονάδα μέτρησης γωνιών
Η μονάδα μέτρησης της γωνίας είναι η μοίρα η οποία συμβολίζεται 1ο
.
Η μία μοίρα (1ο
) έχει 60 πρώτα λεπτά (60’) και το 1 πρώτο λεπτό έχει 60 δεύτερα λεπτά
(60’’)
1ο
= 60’ και 1’ = 60’’
 Κάθε γωνία έχει μοναδικό μέτρο.
 Αν δυο γωνίες έχουν ίδιο μέτρο, είναι ίσες.
 Με xOy συμβολίζουμε εκτός από την γωνία και το μέτρο της.
Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι προσκείμενες στη βάση γωνίες, είναι ίσες.
Διχοτόμος μιας γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την
κορυφή της γωνίας και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.

1.6 Είδη γωνιών – Κάθετες ευθείες
Ορθή γωνία λέγεται η γωνία που έχει μέτρο 90ο
Οι πλευρές μια ορθής γωνίας είναι κάθετες ημιευθείες.
Μια ορθή γωνία τη σημειώνουμε με το σύμβολο L .
Οξεία γωνία λέγεται η γωνία ω που είναι μικρότερη από την ορθή, έχει δηλαδή μέτρο
μικρότερη από 90ο
0ο < ω < 90ο
Αμβλεία γωνία λέγεται η γωνία ω που έχει μέτρο μεγαλύτερο από 90ο
και μικρότερο από
180ο
.
90ο < ω < 180ο
Ευθεία γωνία λέγεται η γωνία που έχει μέτρο 180ο
. Οι πλευρές της ευθείας γωνίας είναι
αντικείμενες ημιευθείες.
Μη κυρτή γωνία λέγεται κάθε γωνία ω που έχει μέτρο μεγαλύτερο των 180ο
και μικρότερο των 360ο
.
180ο < ω < 360ο
Μηδενική γωνία λέγεται η γωνία που έχει μέτρο 0ο
. Οι πλευρές της μηδενικής γωνίας
ταυτίζονται (συμπίπτουν).

Πλήρης γωνία λέγεται η γωνία που έχει μέτρο 360ο
. Οι πλευρές της πλήρους γωνίας
ταυτίζονται, όμως η μια πλευρά της ουσιαστικά έχει κάνει μια πλήρης περιστροφή γύρω
από την κορυφή της.
Δυο ευθείες ε1 και ε2 είναι κάθετες, όταν οι γωνίες που σχηματίζουν είναι ορθές
(90ο) και συμβολίζουμε ε1 ε2.
1.7 Εφεξής και Διαδοχικές γωνίες – Άθροισμα γωνιών
Εφεξής γωνίες
Δυο γωνίες λέγονται εφεξής, όταν:
 Έχουν την ίδια κορυφή
 Έχουν μια κοινή πλευρά
 Δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο
Διαδοχικές γωνίες
Τρεις ή περισσότερες γωνίες λέγονται διαδοχικές, όταν
βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και καθεμία από αυτές, είναι εφεξής
με την επόμενη ή την προηγούμενη.
Άθροισμα και Διαφορά γωνιών
Άθροισμα γωνιών
Για να προσθέσουμε δυο γωνίες φ και ω, πρέπει να τις κάνουμε πρώτα εφεξής. Η γωνία
που σχηματίζεται από τις μη κοινές πλευρές, είναι το άθροισμα τους.
Διαφορά γωνιών
Για να αφαιρέσουμε δυο γωνίες φ και ω, τις τοποθετούμε έτσι ώστε να έχουν κοινή
κορυφή, μια κοινή πλευρά έτσι ώστε να είναι η μία γωνία «μέσα» στην άλλη. Η γωνία που
σχηματίζεται από τις μη κοινές πλευρές τους, είναι η διαφορά τους.

1.8 Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες
Δυο γωνίες φ και ω λέγονται παραπληρωματικές, όταν έχουν
άθροισμα 180ο
.
φ + ω = 180ο
Σε δυο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες, οι μη κοινές πλευρές
τους είναι αντικείμενες ημιευθείες.
Δυο γωνίες φ και ω λέγονται συμπληρωματικές,
όταν έχουν άθροισμα 90ο
.
φ + ω = 90ο
Σε δυο εφεξής και συμπληρωματικές γωνίες, οι μη κοινές
πλευρές τους είναι κάθετες ημιευθείες.
Δυο γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν, όταν
 Έχουν κοινή κορυφή.
 Οι πλευρές τους είναι αντικείμενες
ημιευθείες.
Δυο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.
1.9 Θέσεις ευθειών στο επίπεδο
Παράλληλες ευθείες
Δυο ευθείες του ίδιου επιπέδου θα λέγονται παράλληλες
όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, όσο κι αν
προεκταθούν.
Δυο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 συμβολίζονται ε1//ε2 .
Τεμνόμενες ευθείες
Δυο ευθείες του ίδιου επιπέδου θα λέγονται τεμνόμενες όταν
έχουν μόνο ένα κοινό σημείο
Το κοινό τους αυτό σημείο ονομάζεται σημείο τομής των
ευθειών.
Σύμφωνα με τα παραπάνω, δυο ευθείες του ίδιου επιπέδου, θα είναι τεμνόμενες
ή παράλληλες. Θα έχουν δηλαδή ένα μόνο ή κανένα κοινό σημείο.

Ορισμός 1
Δυο ευθείες ενός επιπέδου, που είναι κάθετες σε μια άλλη ευθεία του ίδιου επιπέδου,
είναι μεταξύ τους παράλληλες.
Ορισμός 2 (Ευκλείδειο Αίτημα)
Από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από μια ευθεία ε, μπορούμε να φέρουμε μία μόνο
ευθεία που να είναι παράλληλη στην ε.
1.10 Απόσταση σημείου από ευθεία – Απόσταση
Παραλλήλων
Απόσταση σημείου από ευθεία
Απόσταση σημείου από ευθεία, ονομάζουμε το μήκος του κάθετου ευθυγράμμου
τμήματος που ενώνει το σημείο με την ευθεία.
 Το σημείο Α0 ονομάζεται ίχνος της κάθετης από το σημείο Α.
 Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΑ0 , που έχει δηλαδή άκρα το σημείο Α και το ίχνος του,
είναι το μικρότερο τμήμα που ενώνει την ευθεία με το σημείο Α.
Απόσταση δυο παραλλήλων ευθειών
Απόσταση δυο παραλλήλων ευθειών, ονομάζουμε το μήκος οποιουδήποτε κάθετου
ευθυγράμμου τμήματος ενώνει τις ευθείες και έχει τα άκρα του σε αυτές.
Απόσταση σημείου από ευθεία Απόσταση παραλλήλων
ευθειών

1.11 Κύκλος και στοιχεία του κύκλου
Κύκλος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια
απόσταση από ένα σταθερό σημείο Ο.
 Η απόσταση αυτή λέγεται ακτίνα του κύκλου και συμβολίζεται με ρ.
 Το σημείο Ο λέγεται κέντρο του κύκλου.
 Ο κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ, συμβολίζεται (Ο,ρ).
 Δυο κύκλοι με ίσες ακτίνες, είναι ίσοι.
Χορδή κύκλου
Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δυο σημεία ενός κύκλου, λέγεται χορδή του
κύκλου.
Διάμετρος κύκλου
Μια χορδή ενός κύκλου που περνάει από το κέντρο του, ονομάζεται διάμετρος του κύκλου.
Σε κάθε κύκλο ισχύουν τα εξής:
Η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή του κύκλου.
Η διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας του κύκλου (δ=2ρ).
Ένας κύκλος έχει άπειρες διαμέτρους.
Τα άκρα μιας διαμέτρου, ονομάζονται αντιδιαμετρικά
σημεία.
Το μέσο μιας διαμέτρου, είναι το κέντρο του κύκλου.
Ημικύκλιο – Τόξο
 Μια διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δυο ίσα μέρη. Καθένα από αυτά
ονομάζεται ημικύκλιο.
 Δυο σημεία Α και Β ενός κύκλου τον χωρίζουν σε δυο μέρη. Καθένα
από αυτά ονομάζεται τόξο με άκρα τα Α και Β, δηλαδή τόξο ΑΒ.
Για να ξεχωρίζουμε τα δυο αυτά τόξα ενός κύκλου, χρησιμοποιούμε ένα
ενδιάμεσο σημείο πχ τόξο ΑΓΒ.
Ομόκεντροι κύκλοι
Δυο ή περισσότεροι κύκλοι με ίδιο κέντρο και διαφορετικές ακτίνες,
λέγονται ομόκεντροι.

Κυκλικός δίσκος
Κυκλικός δίσκος (Ο,ρ) είναι ο κύκλος
(Ο,ρ) μαζί με το μέρος του επιπέδου
που περικλείει.
Όλα τα σημεία του κυκλικού δίσκου,
απέχουν από το κέντρο του Ο,
απόσταση ίση ή μικρότερη της
ακτίνας.
1.13 Θέσεις ευθείας και κύκλου
Μια ευθεία και ένας κύκλος μπορεί να έχουν:
Κανένα κοινό σημείο
Στην περίπτωση αυτή, η απόσταση της ευθείας από το
κέντρο του κύκλου θα είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα,
δηλαδή:
d > ρ
Η ευθεία αυτή, που δεν τέμνει τον κύκλο, λέγεται
εξωτερική του κύκλου.
(Με d θα συμβολίζουμε την απόσταση της ευθείας από το
κέντρο του κύκλου)
Ένα κοινό σημείο
Στην περίπτωση αυτή η ευθεία θα λέγεται εφαπτομένη του
κύκλου και το κοινό τους σημείο θα λέγεται σημείο
επαφής.
Η απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου θα
είναι ίση με την ακτίνα, δηλαδή:
d = ρ
Δυο κοινά σημεία
Στην περίπτωση αυτή η ευθεία λέγεται τέμνουσα του
κύκλου.
Η απόσταση της ευθείας από το κέντρο του κύκλου είναι μικρότερη της ακτίνας, δηλαδή:
d < ρ

1.12 Επίκεντρη γωνία
Κατασκευάζουμε έναν κύκλο (𝛰, 𝜌).
Μια γωνία 𝒙𝑶̂ 𝒚 λέγεται επίκεντρη, αν η κορυφή της
συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου
Αν οι πλευρές της τέμνουν το κύκλο στα σημεία Α και Β,
τότε το τόξο 𝛢𝛤̂ 𝛣 που βρίσκεται στο εσωτερικό της κυρτής
γωνίας λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης
γωνίας 𝑥𝑂̂ 𝑦.
Ως μέτρο ενός τόξο ορίζουμε το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας.
Σε έναν κύκλο ή σε ίσους κύκλους, δύο ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν ίσα τόξα και το
αντίστροφο.
2.1 Συμμετρία ως προς άξονα
Συμμετρικό σημείο ως προς ευθεία
Συμμετρικό σημείου Α προς ευθεία ε είναι το σημείο Α’ με το
οποίο συμπίπτει το Α, αν διπλώσουμε το φύλλο κατά μήκος της
ευθείας ε.
Κάθε σημείο μιας ευθείας ε είναι συμμετρικό του εαυτού
του ως προς την ευθεία ε.
Συμμετρικά σχήματα ως προς ευθεία
Δυο σχήματα (Σ1) και (Σ2) λέγονται συμμετρικά ως προς μια
ευθεία ε, όταν καθένα αποτελείται από τα συμμετρικά σημεία
του άλλου ως προς την ευθεία ε.
Τα συμμετρικά ως προς ευθεία σχήματα, είναι ίσα.,
2.2 Άξονας συμμετρίας
Άξονας συμμετρίας ενός σχήματος ονομάζεται μια
ευθεία που χωρίζει το σχήμα σε δυο μέρη, τα οποία
συμπίπτουν όταν το σχήμα διπλωθεί κατά μήκος της
ευθείας ε.
Όταν ένα σχήμα έχει άξονα συμμετρίας, το
συμμετρικό του ως προς άξονα συμμετρίας είναι το ίδιο
το σχήμα.

2.3 Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος
Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος λέγεται η ευθεία που είναι κάθετη στο ευθύγραμμο
τμήμα και διέρχεται από το μέσο του.
Ιδιότητες μεσοκαθέτου
1. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει
από τα άκρα του.
2. Κάθε σημείο του επιπέδου που ισαπέχει από τα άκρα ενός
ευθυγράμμου τμήματος, βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο του τμήματος
αυτού.
3. Η μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι ο άξονας συμμετρίας
του.
2.4 Συμμετρία ως προς σημείο
Συμμετρικό σημείου Κ ως προς το κέντρο Ο, είναι
το σημείο Κ’, με το οποίο συμπίπτει το Κ αν
περιστραφεί γύρω από το Ο κατά 180ο
.
 Δυο σημεία Κ και Κ’ είναι συμμετρικά ως
προς σημείο Ο, όταν το Ο είναι μέσο του
ευθυγράμμου τμήματος ΚΚ’.
 Το συμμετρικό του σημείου Ο ως προς το
σημείο Ο, είναι το ίδιο το σημείο Ο.
2.5 Κέντρο συμμετρίας
Κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος ονομάζεται ένα σημείο Ο, γύρω από το
οποίο αν το σχήμα περιστραφεί κατά 180ο
, τότε συμπίπτει με το αρχικό.
Αν ένα σχήμα έχει κέντρο συμμετρίας, τότε το συμμετρικό του
σχήματος ως προς το κέντρο συμμετρίας είναι το ίδιο σχήμα.

2.6 Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη
ευθεία
Έστω ε1 και ε2 δυο παράλληλες ευθείες, οι οποίες τέμνονται από την ευθεία δ. Για τις
γωνίες που σχηματίζουν αυτές οι ευθείες, έχουμε τους εξής χαρακτηρισμούς:
 Οι γωνίες που βρίσκονται εντός των
παραλλήλων, χαρακτηρίζονται «εντός».
 Οι γωνίες που βρίσκονται εκτός των
παραλλήλων, χαρακτηρίζονται «εκτός».
 Αν οι γωνίες βρίσκονται από την ίδια μεριά της
τέμνουσας χαρακτηρίζονται ως «επί τα αυτά».
 Αν οι γωνίες βρίσκονται από διαφορετικές
μεριές της τέμνουσας, χαρακτηρίζονται ως
«εναλλάξ».
Παραδείγματα:
a. Οι γωνίες Α3 και Β2 είναι εντός των παραλλήλων και επί τα αυτά της τέμνουσας.
b. Οι γωνίες Β3 και Α1 είναι εκτός των παραλλήλων και εναλλάξ της τέμνουσας.
c. Οι γωνίες Α2 και Β1 είναι εντός-εκτός των παραλλήλων και εναλλάξ της τέμνουσας.
Σχέσεις μεταξύ των γωνιών
 Όλες οι οξείες γωνίες, είναι μεταξύ τους ίσες.
 Όλες οι αμβλείες γωνίες, είναι μεταξύ τους ίσες.
 Μια οξεία και μια αμβλεία γωνία, είναι μεταξύ τους παραπληρωματικές (έχουν
άθροισμα 180ο
).
Ίσες γωνίες
Εντός εναλλάξ
Εκτός εναλλάξ
Εντός-εκτός και επί τα αυτά
Παραπληρωματικές γωνίες
Εντός και επί τα αυτά
Εκτός και επί τα αυτά
Εντός-εκτός εναλλάξ

3.1 Στοιχεία Τριγώνου – Είδη Τριγώνου
1) Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και
οι γωνίες του.
Τα τρίγωνα χωρίζονται σε χωρίζονται σε δύο κατηγορίες:
Α) Με κριτήριο τις γωνίες τους
Β) Με κριτήριο της πλευρές τους
Α) Με κριτήριο τις γωνίες τους, τα τρίγωνα χωρίζονται σε:
Β) Με κριτήριο τις πλευρές τους, τα τρίγωνα χωρίζονται σε:

2) Τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου είναι η
διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος.
Διάμεσος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το
μέσο της απέναντι πλευράς.
Ύψος είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια
κορυφή με την ευθεία της απέναντι πλευράς.
Διχοτόμος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που φέρουμε από μια
κορυφή, διχοτομεί την αντίστοιχη γωνία και καταλήγει στην απέναντι
πλευρά.
Οι τρείς διάμεσοι του τριγώνου περνάνε όλες από το ίδιο σημείο Θ, που ονομάζεται
κέντρο βάρους του τριγώνου.
Τα τρία ύψη διέρχονται από το ίδιο σημείο Η, το οποίο ονομάζεται ορθόκεντρο του
τριγώνου.
Οι τρεις διχοτόμοι περνάνε από το ίδιο σημείο Ι, το οποίο ονομάζεται έκκεντρο του
τριγώνου.

3.2 Άθροισμα γωνιών τριγώνου – Ιδιότητες ισοσκελούς
τριγώνου
Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180ο
. Δηλαδή σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι:
𝐴̂ + 𝛣̂ + 𝛤̂ = 180ο
Εξωτερική γωνία τριγώνου
Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ σχεδιάζουμε την προέκταση Γx της πλευράς ΒΓ
προς το μέρος του Γ. Η γωνία 𝛢𝛤𝑥̂ = 𝜑̂ ονομάζεται εξωτερική γωνία
της 𝛤̂. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με την
εξωτερική της τρίτης γωνίας. Δηλαδή στο διπλανό σχήμα ισχύει:
𝐴̂ + 𝛣̂ = 𝜑̂
Γωνίες ορθογωνίου τριγώνου
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες του είναι
συμπληρωματικές. Δηλαδή αν ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τρίγωνο,
με =90ο
, τότε ισχύει: 𝛣̂ + 𝛤̂ = 90ο
Ιδιότητες ισοσκελούς και ισόπλευρου
τριγώνου
Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου
Ένα τρίγωνο λέγεται ισοσκελές, όταν έχει δυο πλευρές ίσες μεταξύ τους. Σε κάθε
ισοσκελές τρίγωνο ισχύει ότι:
 Η ευθεία της διαμέσου που αντιστοιχεί στη βάση του ισοσκελούς είναι
άξονας συμμετρίας του.
 Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ύψος και
διχοτόμος.
 Οι γωνίες που είναι προσκείμενες στη βάση του ισοσκελούς είναι ίσες
μεταξύ τους.
Ιδιότητες ισόπλευρου τριγώνου
Ένα τρίγωνο λέγεται ισόπλευρο, όταν και οι τρεις πλευρές του
είναι ίσες μεταξύ τους. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει ότι:
 Οι ευθείες των διαμέσων είναι άξονες συμμετρίας του
ισόπλευρου τριγώνου.
 Κάθε διάμεσος του ισόπλευρου τριγώνου είναι επίσης
ύψος και διχοτόμος.
 Όλες οι γωνίες του ισοπλεύρου είναι ίσες μεταξύ τους και
ίσες με 60ο
.

3.3 Παραλληλόγραμμο – Ορθογώνιο – Ρόμβος –
Τετράγωνο – Τραπέζιο – Ισοσκελές τραπέζιο
Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις
απέναντι πλευρές του παράλληλες.
 Κάθε πλευρά του παραλληλογράμμου μπορεί να
θεωρηθεί ως βάση του.
 Ύψος ενός παραλληλογράμμου λέγεται η
απόσταση μιας βάσης του από την απέναντι
πλευρά.
Στο διπλανό σχήμα ισχύουν:
1. ΑΔ//ΒΓ και ΑΒ//ΔΓ
2. ΕΖ και ΗΘ είναι ύψη
Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμων
Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή απλά ορθογώνιο λέγεται ένα
παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις γωνίες ορθές.
Οι πλευρές ενός ορθογωνίου είναι και ύψη του ορθογωνίου.
Ρόμβος λέγεται ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις
πλευρές ίσες μεταξύ τους.
Τετράγωνο λέγεται ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες ορθές και
όλες τις πλευρές του ίσες.
Το τετράγωνο είναι ορθογώνιο (αφού έχει όλες τις γωνίες ορθές) και ρόμβος
(αφού έχει όλες τις πλευρές του ίσες).
Τραπέζιο λέγεται ένα τετράπλευρο
με μόνο δυο παράλληλες πλευρές.
 Οι δυο παράλληλες
πλευρές ενός τραπεζίου
ονομάζονται βάσεις του τραπεζίου.
 Η απόσταση των βάσεων
λέγεται ύψος του τραπεζίου.
Στο διπλανό σχήμα ισχύει ότι ΑΒ//ΔΓ , όπου ΑΒ και ΔΓ οι βάσεις
του τραπεζίου
Αν ένα τραπέζιο έχει τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες, τότε
λέγεται ισοσκελές τραπέζιο.
Στο διπλανό σχήμα ισχύει ότι ΑΔ = ΒΓ

B’ Γυμνασίου Μαθηματικά
Θεωρία
Αντωνάτος Γιώργος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
email: antonatos.geo@gmail.com

7.1 Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί (Ρητοί Αριθμοί)
Τα σύμβολα «+» (συν) και «-» (πλην) λέγονται πρόσημα και χωρίζουν τους αριθμούς σε
θετικούς και αρνητικούς αντίστοιχα.
Το 0 δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός και δεν έχει πρόσημο.
Στους θετικούς, το πρόσημο μπορούμε να το παραλείψουμε.
Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο
Ετερόσημοι λέγονται οι αριθμοί με διαφορετικό πρόσημο
Φυσικοί αριθμοί είναι οι :
0, 1, 2, 3, 4, 5, …………
Ακέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί με τους αντίστοιχους αρνητικούς τους:
………, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….....
Ρητοί αριθμοί είναι όλοι οι γνωστοί μας αριθμοί έως τώρα, δηλαδή οι φυσικοί, τα κλάσματα και
οι δεκαδικοί, μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς τους.
7.2 Απόλυτη τιμή Ρητού αριθμού – Αντίθετοι Ρητοί –
Σύγκριση ρητών
Ορισμός: Απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α είναι η απόσταση του σημείου με
τετμημένη α από την αρχή του άξονα, δηλαδή από το 0. Συμβολίζεται με |𝛼|
Πχ |+2| = 2 |-4| = 4 |0| = 0
Δυο αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι, όταν είναι ετερόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή. Ο
αντίθετος του x είναι ο –x.
Μεγαλύτερος ρητός, είναι αυτός που βρίσκεται δεξιότερα στον άξονα.
Όλοι οι θετικοί ρητοί είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν και τους αρνητικούς.
Μεγαλύτερος από δυο θετικούς ρητούς, είναι αυτός με την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.
Μεγαλύτερος από δυο αρνητικούς ρητούς, είναι αυτός με την μικρότερη απόλυτη τιμή.

Αν ο αριθμός x είναι θετικός, τότε είναι μεγαλύτερος του 0 και γράφουμε:
X > 0 ή 0 < X
Αν ο αριθμός x είναι αρνητικός, τότε είναι μικρότερος του 0 και γράφουμε:
X < 0 ή 0 > X
7.3 Πρόσθεση Ρητών Αριθμών
Για να προσθέσουμε δυο ομόσημους αριθμούς,
προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο
άθροισμα τους βάζουμε το κοινό τους πρόσημο.
Για να προσθέσουμε δυο ετερόσημους αριθμούς,
αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από την μεγαλύτερη
και στην διαφορά τους βάζουμε το πρόσημου του ρητού που
έχει τη μεγαλύτερη τιμή.
Ιδιότητες της Πρόσθεσης
 Αντιμεταθετική Ιδιότητα α + β = β + α
 Προσεταιριστική Ιδιότητα α + (β + γ) = (α + β) + γ
 Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = 0 + α = α
 Άθροισμα Αντίθετων α + (-α) = (-α) + α = 0
7.3 Αφαίρεση Ρητών Αριθμών
Για να αφαιρέσουμε από τον αριθμό α τον αριθμό β, προσθέτουμε στον α τον αντίθετο του β.
Δηλαδή:
α – β = α + (-β)

Απαλοιφή Παρενθέσεων
Σε ορισμένες αριθμητικές παραστάσεις εμφανίζονται παρενθέσεις, οι οποίες περιέχουν έναν ή
και περισσότερους αριθμούς με τα πρόσημά τους. Μπροστά από τις παρενθέσεις αυτές μπορεί
να υπάρχουν τα πρόσημα «+» ή «-». Για να τις απαλείψουμε, εργαζόμαστε ως εξής:
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το «+» (ή δεν έχει πρόσημο), τότε βγάζουμε την
παρένθεση, μαζί με το «+» (αν έχει), και γράφουμε τους όρους που περιέχει με τα
πρόσημά τους όπως είναι.
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το «-», τότε βγάζουμε την παρένθεση και
γράφουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα.
Παράδειγμα:
𝛢 = +(−5) – (−3) + (+6) – (−14)
= −5 + 3 + 6 + 14
= −2 + 20
= 18
7.5 Πολλαπλασιασμός Ρητών Αριθμών
Το γινόμενο δυο ομόσημων (2 θετικοί ή 2 αρνητικοί) ρητών αριθμών, είναι πάντα θετικός
αριθμός.
+ ∙ + = + και - ∙ - = +
Το γινόμενο δυο ετερόσημων ρητών αριθμών, είναι πάντα αρνητικός αριθμός.
+ ∙ - = - ή - ∙ + = -
Ιδιότητες του Πολλαπλασιασμού
 Αντιμεταθετική Ιδιότητα: α ∙ β = β ∙ α
 Προσεταιριστική Ιδιότητα: α ∙ (β ∙γ) = (α ∙ β) ∙ γ
 Ουδέτερο Στοιχείο: 1 ∙ α = α ∙ 1 = α
 Γινόμενο με το 0: 0 ∙ α = α ∙ 0 = 0
 Επιμεριστική Ιδιότητα:
α ∙ (β + γ) = α ∙ β + α ∙ γ
α ∙ (β - γ) = α ∙ β - α ∙ γ

Αντίστροφοι Αριθμοί
Δυο ρητοί αριθμοί α και β, διάφοροι του μηδενός, λέγονται αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους
είναι ίσο με την μονάδα, δηλαδή όταν ισχύει:
α ∙ β = 1
 Ο καθένας από τους α και β είναι αντίστροφος του άλλου
 Ο αντίστροφος του κ είναι ο
1
κ
 Ο αντίστροφος του
κ
λ
είναι ο
𝜆
κ
 Δύο αντίστροφοι αριθμοί έχουν το ίδιο πρόσημο
Γινόμενο πολλών παραγόντων
Για να υπολογίσουμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων (που είναι διάφοροι του μηδενός),
πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε:
 Το πρόσημο «+» αν το πλήθος αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο.
 Το πρόσημο «-» αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό.
 Αν τουλάχιστον ένας παράγοντας είναι μηδέν (0), τότε και το γινόμενο είναι ίσο με
μηδέν
7.6 Διαίρεση Ρητών Αριθμών
 Για να διαιρέσουμε δυο ομόσημους ρητούς αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές
τους και στο πηλίκο βάζουμε το πρόσημο «+»
+ : + = + και - : - = +
 Για να διαιρέσουμε δυο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές
τους και στο πηλίκο βάζουμε το πρόσημο «-»
+ : - = - και - : + = -
Θυμάμαι:
Αριθμητική Παράσταση ονομάζεται μια παράσταση η οποία περιέχει πράξεις με αριθμούς.

7.7 Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών
Όταν σε έναν δεκαδικό αριθμό, ένα μέρος των δεκαδικών του ψηφίων επαναλαμβάνεται, ο
αριθμός αυτός ονομάζεται περιοδικός δεκαδικός αριθμός και το τμήμα των
επαναλαμβανόμενων ψηφίων ονομάζεται περίοδος.
Κάθε ρητός αριθμός, λοιπόν, μπορεί να γραφεί με την μορφή δεκαδικού ή περιοδικού
δεκαδικού
Πχ.
7.8-7.9 Δυνάμεις αριθμών
Θυμάμαι:
Δύναμη ενός αριθμού α στην ν, ονομάζουμε το γινόμενο α∙α∙α……∙α
(ν φορές) και συμβολίζουμε αν
Το α ονομάζεται βάση της δύναμης, ενώ το ν εκθέτης. Ουσιαστικά ο
εκθέτης δείχνει πόσες φορές πολλαπλασιάζουμε τη βάση με τον
εαυτό της.
 α2
: α στην δευτέρα ή α στο τετράγωνο
 α3
: α στην τρίτη ή α στον κύβο
 α1
= α
 1v
= 1
Τις δυνάμεις του 10, δηλαδή το 10v
, τις υπολογίζουμε ως εξής. Γράφουμε το 1 και συμπληρώνουμε
v μηδενικά. Για παράδειγμα 104
= 10000
 Με εκθέτη φυσικό
Αν
1. α>0 τότε αν
>0
2. α<0 και ν άρτιος, τότε αν
>0 πχ (−2)2
= +4 (γιατί το «2» είναι άρτιος)
3. α<0 και ν περιττός, τότε αν
<0 πχ (−2)3
= −8 (γιατί το «3» είναι περιττός)
 Με εκθέτη ακέραιο
1. α-ν
= (
1
𝜶 𝝂
) = (
1
𝛼
)
𝜈
2. (
𝛼
𝛽
)
−𝜈
= (
𝛽
𝛼
)
𝜈

Ιδιότητες Δυνάμεων
7.10 Τυποποιημένη μορφή μικρών και μεγάλων δεκαδικών
αριθμών
Όπως οι μεγάλοι αριθμοί, έτσι και οι πολύ μικροί μπορούν να γραφούν σε τυποποιημένη μορφή
α ∙ 10ν
, όπου α είναι ένας δεκαδικός αριθμός με ακέραιο μέρος μεγαλύτερο ή ίσο του 1 και
μικρότερο του 10 και ω φυσικό αριθμό.
Δηλαδή:

1.1 Η έννοια της μεταβλητής – Αλγεβρικές Παραστάσεις
Αλγεβρική παράσταση λέγεται μια παράσταση η οποία περιέχει πράξεις με αριθμούς και
μεταβλητές, δηλαδή γράμματα που παριστάνουν έναν οποιοδήποτε αριθμό.
Θυμίζουμε την Επιμεριστική Ιδιότητα:
α ∙ (β + γ) = α ∙ β + α ∙ γ
α ∙ (β - γ) = α ∙ β - α ∙ γ
Παραδείγματα:
3∙ (5+x) = 3 ∙ 5 + 3 ∙ x = 15 + 3x
-2∙(x – y – 6) = - 2x + 2y + 12
 Ισχύουν οι κανόνες απαλοιφής των παρενθέσεων που αναφέραμε στο προηγούμενο
κεφάλαιο!!
Όροι αλγεβρικής παράστασης – Αναγωγή όμοιων όρων
 Οι προσθετέοι μιας αλγεβρικής παράστασης, λέγονται όροι της παράστασης.
 Όσοι όροι περιέχουν την ίδια μεταβλητή, λέγονται όμοιοι
 Μπορούμε να γράψουμε σε απλούστερη μορφή μια αλγεβρική παράσταση,
συγκεντρώνοντας τους όμοιους όρους, κάνοντας δηλαδή αναγωγή ομοίων όρων. Στην
διαδικασία αυτή χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα, η οποία μπορεί να γραφεί
και στην μορφή:
β ∙ α + γ ∙ α = (β + γ) ∙ α
Πολλαπλασιασμοί της μορφής (α + β) ∙ (γ + δ)
Με την βοήθεια της επιμεριστικής μπορούμε να κάνουμε τον παραπάνω υπολογισμό.
Πιο σύντομα μπορούμε να θυμόμαστε ότι πολλαπλασιάζουμε κάθε αριθμό της πρώτης
παρένθεσης με κάθε αριθμό της δεύτερης παρένθεσης, δηλαδή:

1.2 Εξισώσεις α’ βαθμού
Μια ισότητα δυο παραστάσεων που περιέχουν αριθμούς και μια μεταβλητή (για παράδειγμα x)
ονομάζεται εξίσωση με έναν άγνωστο τον αριθμό x.
Έτσι λοιπόν η ισότητα
3x – 7 = x + 5
είναι μια εξίσωση. Η παράσταση 3x – 7 λέγεται πρώτο μέλος και η παράσταση x + 5 λέγεται
δεύτερο μέλος.
Η διαδικασία κατά την οποία βρίσκουμε τον άγνωστο αριθμό x λέγεται επίλυση της εξίσωσης.
Ιδιότητες Πράξεων
Αν και στα δυο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει πάλι
μια ισότητα
Αν α=β τότε α + γ = β + γ
Αν και στα δυο μέλη μιας ισότητας αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει πάλι
μια ισότητα
Αν α=β τότε α – γ = β – γ
Αν και τα δυο μέλη μιας ισότητας τα πολλαπλασιάσουμε με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει
πάλι μια ισότητα
Αν α=β τότε α ∙ γ = β ∙ γ
Αν και τα δυο μέλη μιας ισότητας τα διαιρέσουμε με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει
πάλι μια ισότητα
Αν α=β τότε
𝛼
𝛾
=
𝛽
𝛾
 Σε μια εξίσωση μπορούμε να «μεταφέρουμε» όρους από το ένα μέλος στο άλλο
αλλάζοντας το πρόσημό τους.
 Αδύνατη εξίσωση είναι κάθε εξίσωση της μορφής 0 ∙ x = α , όπου α≠0
 Ταυτότητα ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής 0 ∙ x = 0

1.3 Επίλυση Τύπων
Πολλές φορές όταν έχουμε έναν τύπο με πολλές μεταβλητές, είναι χρήσιμο να απομονώσουμε
στο ένα μέρος μια μεταβλητή. Η διαδικασία αυτή λέγεται επίλυση τύπου ως προς τη μεταβλητή
αυτή.
1.4 Επίλυση Προβλημάτων με χρήση εξισώσεων
1. Διαβάζουμε προσεκτικά το πρόβλημα για να καταλάβουμε ποια είναι τα δεδομένα
και ποια τα ζητούμενα.
2. Επιλέγουμε ποιο από τα ζητούμενα θα συμβολίσουμε με τον άγνωστο x.
3. Εκφράζουμε με την βοήθεια του x τα υπόλοιπα ζητούμενα που πιθανόν να
υπάρχουν.
4. Μετατρέπουμε τις εκφράσεις του προβλήματος σε μαθηματικές σχέσεις.
5. Σχηματίζουμε μια εξίσωση την οποία κα λύνουμε.
6. Ελέγχουμε αν η λύση που βρήκαμε ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος. Αν δεν
τις ικανοποιεί, την απορρίπτουμε.

2.1Τετραγωνική Ρίζα Θετικού Αριθμού
 Τετραγωνική Ρίζα ή ρίζα ενός θετικού αριθμού α λέγεται ο θετικός αριθμός ο οποίος,
όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική
ρίζα του α συμβολίζεται με √α
 Επειδή 02 = 0, ορίζουμε √0 = 0
 Προκύπτει επομένως ότι αν √α = x , όπου α ≥ 0 ,τότε x ≥ 0 και x2
= α
 Αν α ≥ 0 ,τότε (√α)2
= α
Επίσης ισχύει ότι (-5)2 = 25. Ωστόσο είναι λάθος να γράψουμε √25 = -5 , διότι -5 < 0.
Η √25 ισούται με τον θετικό αριθμό που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, το αποτέλεσμα
είναι 25.
Μερικές χρήσιμες τετραγωνικές ρίζες:
 √121 = 11
 √144 = 12
 √169 = 13
 √196 = 14
 √225 = 15
 √256 = 16
 √289 = 17
 √324 = 18
 √361 =19
 √400 = 20

Ιδιότητα για τις (√α )2 και √α2
 Αν α ≥ 0 , τότε (√α )2 = α και √α2 = α
 Αν α < 0 , τότε √α2 = -α
Γενικά √α2 = |α|
και
√ 𝛼
2
= 𝛼
Γενικές Ιδιότητες
 Αν α ≥ 0 και β ≥ 0 , τότε ισχύει
√α ∙ β = √α ∙ √β
 Αν α ≥ 0 και β ≥ 0 , τότε ισχύει
√
α
β
=
√α
√β
ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν α ,β > 0 τότε √𝛂 + 𝛃 ≠ √ 𝛂 + √𝛃
Οι λύσεις της εξίσωσης x2
= α
Αν α > 0 , τότε η εξίσωση
x2
= α
έχει λύσεις τις:
x = √α ή x = - √α
 Αν α > 0 , τότε η √α είναι η θετική λύση της εξίσωσης x2
= α
 Η εξίσωση x2
= 0 έχει λύση την x = 0
 Αν α < 0 , τότε η εξίσωση x2
= α είναι αδύνατη
 Σε μια ρίζα, το υπόριζο πρέπει να είναι ΠΑΝΤΑ θετικός αριθμός.

2.2Άρρητοι Αριθμοί – Πραγματικοί Αριθμοί
Άρρητοι Αριθμοί
Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, δηλαδή δεν μπορεί να γραφεί με την μορφή κλάσματος
κ
ν
με κ,ν ακέραιους και ν≠0, ονομάζεται άρρητος αριθμός.
Έτσι λοιπόν τους άρρητους αριθμούς, όπως πχ x = √2, τους οποίους δεν μπορούμε να τους
υπολογίσουμε με ακρίβεια, θα τους υπολογίσουμε προσεγγιστικά με κάποιον αριθμό που
είναι περίπου ίσος ( συμβολικά ≈ )
Αποδεικνύεται έτσι ότι και οι αριθμοί √3 , √5 , √7 , √8 , √10 , √11 , …….. είναι άρρητοι.
Αργότερα θα μάθουμε ότι υπάρχουν και άλλοι άρρητοι αριθμοί που δεν είναι ρίζες ρητών
αριθμών, όπως για παράδειγμα ο γνωστός μας από τον κύκλο αριθμός π.
Πραγματικοί Αριθμοί

Ρητοποίηση Παρονομαστή
Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα της μορφής
β
√α
σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή,
πολλαπλασιάζουμε με √ 𝛼 αριθμητή και παρονομαστή. Δηλαδή:
Έστω
3
√2
=
3 ∙ √2
√2 ∙ √2
=
3√2
(√2)2 =
3√2
2
3.1Η έννοια της Συνάρτησης
Ορισμός της Συνάρτησης
Έστω δυο μεταβλητές x και y οι οποίες παίρνουν πραγματικές τιμές.
Μια ισότητα που συνδέει τις μεταβλητές x και y έτσι, ώστε κάθε τιμή της μεταβλητής x να
αντιστοιχίζεται σε μία μόνο τιμή της μεταβλητής y ονομάζεται συνάρτηση.
Μπορούμε επίσης να λέμε ότι: «η μεταβλητή y εκφράζεται ως συνάρτηση της μεταβλητής
x».
Τιμές συνάρτησης – Πίνακας τιμών
 Όταν γνωρίζουμε τη συνάρτηση που συνδέει δυο μεταβλητές x και y, τότε για μια
τιμή του x μπορούμε να βρούμε ποια τιμή παίρνει η μεταβλητή y.
 Η αντιστοιχία μεταξύ των τιμών των μεταβλητών x και y σε μια συνάρτηση
παρουσιάζεται καλύτερα με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών.
Ο πίνακας τιμών παρουσιάζει συγκεντρωμένα τα ζεύγη των αντίστοιχων τιμών των
μεταβλητών x και y.
Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση y = 7 – 2x
a) Ποια η τιμή του y για x=2;
b) Για ποια τιμή του x είναι y=9;
a) Για x = 2 η τιμή της y είναι:
y = 7 – 2 ∙ 2 = 7 – 4 = 3
b) Αν η συνάρτησηy = 7 – 2x βάλουμε στη θέση του y τον αριθμό 9 έχουμε:
9 = 7 – 2x ή 2x = 7 – 9 ή 2x = -2 ή
2x
2
=
−2
2
ή x = -1

Θεωρία Γυμνασίου 2021

Θεωρία Γυμνασίου 2021

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Θεωρία Γυμνασίου 2021

Similar to Θεωρία Γυμνασίου 2021 (20)

More from Μάκης Χατζόπουλος

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (9)

Θεωρία Γυμνασίου 2021