Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος αποκλειστικά για το lisari

1. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Ημερομηνία εξέτασης: …….
2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Διάρκεια: 15 λεπτά
Ομάδα Α΄
Ονοματεπώνυμο: ……………………………………………………………………
Θέμα 1ο
Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις με ένα από τα σύμβολα , , , ,     στα κενά
έτσι ώστε να ισχύουν οι ιδιότητες της διάταξης των πραγματικών αριθμών.
i. Αν    τότε .......0 
ii. Αν    τότε .....0  
iii. Αν 0  και 0  τότε ....0
 

iv. Αν    και    τότε ....    
v. Αν    και    τότε δ....   
vi. Αν 0  τότε 3
......0 .
vii. Αν 0     τότε
1 1
........
 
viii. Αν γ >0 τότε ....     
ix. Αν γ <0 τότε ......    
x. Αν ,  θετικοί αριθμοί και ν θετικός ακέραιος αριθμός τότε: ..... 
     
xi. Για κάθε α,βR ισχύει: 2 2
α 0 α .... 0 και β ..... 0  
xii. Αν    τότε ισχύει ένα από τα εξής: ....  ή .... 
xiii. Για δύο οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς ,  ισχύει (ιδιότητα τριχοτομίας)
..... ή ..... ή .....     
xiv. Για κάθε R και ν θετικό ακέραιο ισχύει 2
.........0

xv. Αν α, β θετικοί αριθμοί και ν θετικός ακέραιος αριθμός τότε ισχύει η εξής ισοδυναμία:
.....  
     
xvi. Αν  x ,   τότε .... x .... β
xvii. Αν  x ,   τότε .... x .... β
xviii. Αν  x ,β  τότε .... x .... β
xix. Αν  x ,   τότε x .....α
xx. Αν x y και y z τότε x .... z
Μονάδες 20 * 5 = 100
lisari.blogspot.gr

2. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Ημερομηνία εξέτασης: …….
2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Διάρκεια: 15 λεπτά
Ομάδα Β΄
Ονοματεπώνυμο: ……………………………………………………………………
Θέμα 1ο
Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις με ένα από τα σύμβολα , , , ,     στα κενά
έτσι ώστε να ισχύουν οι ιδιότητες της διάταξης των πραγματικών αριθμών.
i. Αν    τότε .......0 
ii. Αν    τότε .....0  
iii. Αν x y και y z τότε x .... z
iv. Αν 0  τότε 3
......0 .
v. Αν    και    τότε ....    
vi. Αν    και    τότε δ....   
vii. Αν 0     τότε
1 1
........
 
viii. Αν γ >0 τότε ....     
ix. Αν γ <0 τότε ......    
x. Αν ,  θετικοί αριθμοί και ν θετικός ακέραιος αριθμός τότε: ..... 
     
xi. Για κάθε α,βR ισχύει: 2 2
α 0 α .... 0 β ..... 0   
xii. Αν    τότε ισχύει ένα από τα εξής: ....  ή .... 
xiii. Για δύο οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς ,  ισχύει (ιδιότητα τριχοτομίας)
..... ή ..... ή .....     
xiv. Για κάθε R και ν θετικό ακέραιο ισχύει 2
.........0

xv. Αν α, β θετικοί αριθμοί και ν θετικός ακέραιος αριθμός τότε ισχύει η εξής ισοδυναμία:
.....  
     
xvi. Αν  x ,   τότε .... x .... β
xvii. Αν  x ,   τότε x .....α
xviii. Αν  x ,   τότε .... x .... β
xix. Αν  x ,β  τότε .... x .... β
xx. Αν 0  και 0  τότε ....0

  
Μονάδες 20 * 5 = 100
lisari.blogspot.gr

3. Γεωμετρία Α΄ Λυκείου – Ισότητα Τριγώνων (Παράγραφος 3.1 – 3.4) Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Ονοματεπώνυμο: ……………………………………………………….. Ημερομηνία: 1/11/17 Τμήμα:
Άσκηση 1η
Θεωρούμε δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ. Η διάμεσος ΑΜ και η διχοτόμος ΒΔ του ΑΒΓ
τέμνονται στο Θ, ενώ η αντίστοιχη διάμεσος ΑʹΜʹ και η αντίστοιχη διχοτόμος ΒʹΔʹ του ΑʹΒʹΓʹ
τέμνονται στο Θʹ. Να αποδείξετε ότι:
i) ΒΔ = ΒʹΔʹ,
ii) ΒΑΜ Β'Α'Μ'
iii) Τα τρίγωνα ΑΒΘ και ΑʹΒʹΘʹ είναι ίσα,
iv) ΘΔ = ΘʹΔʹ.
Μονάδες 12
Άσκηση 2η
Τετάρτη ημέρα ποδοσφαίρου! Ένας φίλαθλος του
ποδοσφαίρου παρήγγειλε μια πίτσα και με 4 ευθείες
χαρακιές που διέρχονταν όλες από το κέντρο Ο της πίτσας
την έκοψε σε 8 κομμάτια (όχι κατ’ ανάγκη ίσα) όπως
φαίνεται στο σχήμα.
Να αποδείξετε, χωρίς καμία σύγκριση τριγώνων, ότι η
περίμετρος των τριγώνων ΚΛΜ και ΗΖΕ είναι ίσες.
Μονάδες 6
Άσκηση 3η
Έστω Α ένα σημείο εκτός της σελίδας (απρόσιτο
σημείο) και τα σημεία Β και Γ βρίσκονται εντός
της γκρι σελίδας (μπορούμε να το δούμε και ως
εξής: το σημείο Α είναι η θέση του πλοίου στη
θάλασσα και τα σημεία Β και Γ είναι σταθερά
σημεία στην ξηρά).
Πώς θα μεταφέρουμε το απρόσιτο σημείο Α
μέσα στη σελίδα (πλαίσιο) χρησιμοποιώντας
κανόνα, διαβήτη, μοιρογνωμόνιο και την ισότητα
τριγώνων;
Μονάδες 2
lisari.blogspot.gr

4. ΕΡΓΑΣΙΑ 1
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
31 Οκτωβρίου 2017
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ
Δίνεται η γραφική παράσταση (ιστόγραμμα) μιας τεθλασμένης γραμμής (μπλε γραμμή). Αν
 Μ x,y είναι ένα σημείο της τότε:
1) Με την βοήθεια του Θεωρήματος Θαλή να βρείτε τις τετμημένες x των σημείων της
τεθλασμένης γραμμής αν:
α) y 25 β) y 50 γ) y 75
2) Με την βοήθεια του Θεωρήματος Θαλή να βρείτε τις τεταγμένες y των σημείων της
τεθλασμένης γραμμής αν:
α) x 6 β) x 15 γ) x 25
Σημείωση: Τα ερωτήματα 1 (α) και 2 (α) να λυθούν από τον διδάσκοντα. Το 1 (β) και 2 (β) να
λυθούν από την ομάδα Α και το 1 (γ) και 2 (γ) να λυθούν από την ομάδα Β.

5. Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού
Επιμέλεια θεμάτων: Μάκης Χατζόπουλος
Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Τμήμα: Γ2 ΘΕΤ. – 1ο
ΓΕΛ Πετρούπολης
Ημερομηνία: 2/11/2017
Ονοματεπώνυμο:________________________________________
Διάρκεια: 20 λεπτά - ΟΜΑΔΑ Α΄ (Μαθηματικοί)
Θέμα Α
Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε   2
6x f x x 9   για κάθε xR . Να υπολογίσετε, αν
υπάρχουν, τα εξής:
α)  3f
β)  x 3
f xlim

γ)
 
x 3
f x 18
x 3
lim



δ)
 
 x 3
2
f x 2x
f x 18
lim



Μονάδες: 3 + 8 + 9 + 10 = 30
ΘΕΜΑ Β
Αν
 
x 0
f x
2
x
lim

 να υπολογίσετε, αν υπάρχουν, τα εξής όρια:
α)
 
x 1
f x 1
x 1
lim



β)
 
x 0
f 2x
x
lim


γ)
 
 x 0
f x ημx
lim
f x 1 συνx

 
Μονάδες: 10 + 8 + 12 = 30
ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται οι συναρτήσεις
2
2
(λ 1)x x 2
f(x)
x 1
  


και
2
x 2x μ
g(x)
x
 
 , λ,μ R .
Αν
x 1 x 0
limf (x) α και limg(x) β
 
   R R τότε να βρείτε τις τιμές:
α) λ και μ
β) α και β
Μονάδες 20 + 20 = 40
lisari.blogspot.gr

6. lisari.blogspot.gr
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού
Επιμέλεια θεμάτων: Μάκης Χατζόπουλος
Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Τμήμα: Γ2 ΘΕΤ. – 1ο
ΓΕΛ Πετρούπολης
Ημερομηνία: 2/11/2017
Ονοματεπώνυμο:________________________________________
Διάρκεια: 20 λεπτά - ΟΜΑΔΑ Β΄ (Βιολόγοι)
Να υπολογίσετε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:
1)
x 0
x
x
lim

2)
2
x 1
x 2 3 x 3
2x 3 1
lim

    
 
  
 
3)
3 2
2
x 1
x 5x 3x 1
x x 2
lim

  
 
4)
x 0
συνx 1
ημx
lim


5)
x 1
x 3 2
x 1
lim

 

6)    
4
3
x 2
x 16
,x 2
x 8
f x , αν f x
x 7 3
,x 2
x 2
lim

 
 
 
  
 
7)
 
x 0
f x 1
;
x
lim


 και  x 0
f xlim

αν ισχύει
 3 3f x 1
x 2 x 2
x

     για κάθε *
x R
Μονάδες: 10 + 10 + 10 +10 + 10 + 20 + 30= 100