Τι είναι σύστημα Ο περιοριστικός ρόλος της Γεωμετρίας Ορισμοί και συμβολισμοί

1. εισαγωγικά - διαδικαστικά
Μανόλης Βάβαλης
28/09/2015
Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

2. εισαγωγικά

3. Χαρακτηριστικά Γραµµικής Άλγεβρας
∙ Εύκολη
2

4. Χαρακτηριστικά Γραµµικής Άλγεβρας
∙ Εύκολη
∙ Όμορφη
2

5. Χαρακτηριστικά Γραµµικής Άλγεβρας
∙ Εύκολη
∙ Όμορφη
∙ Χρήσιμη
2

6. Χαρακτηριστικά Γραµµικής Άλγεβρας
∙ Εύκολη
∙ Όμορφη
∙ Χρήσιμη
∙ Σημαντική
2

7. γραµµικές εξισώσεις

8. Εξίσωση ευθείας γραµµής
b
m
1
} x
y
4

9. Εξίσωση ευθείας γραµµής
b
m
1
} x
y
y = mx + b
4

10. Εξίσωση ευθείας γραµµής
b
m
1
} x
y
y = mx + b
⇕
y − mx = b
4

11. Εξίσωση ευθείας γραµµής
b
m
1
} x 1
2
x
y = mx + b
⇕
y − mx = b
⇕
x2 − mx1 = b
5

12. Εξίσωση ευθείας γραµµής
b
m
1
} x 1
2
x
y = mx + b
⇕
y − mx = b
⇕
x2 − mx1 = b
⇕
−mx1 + x2 = b
5

13. Εξίσωση ευθείας γραµµής
b
m
1
} x 1
2
x
y = mx + b
⇕
y − mx = b
⇕
x2 − mx1 = b
⇕
−mx1 + x2 = b
⇓ (⇑ a2 ̸= 0)
a1x1 + a2x2 = b′
5

14. Γραμμική εξίσωση ως προς τις εξής μεταβλητές x1, ..., xn:
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b
όπου οι συντελεστές a1, ..., an και ενδεχομένως το b είναι
γνωστά εκ των προτέρω.
6

15. Γραμμική εξίσωση ως προς τις εξής μεταβλητές x1, ..., xn:
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b
όπου οι συντελεστές a1, ..., an και ενδεχομένως το b είναι
γνωστά εκ των προτέρω.
Λύση είναι μια λίστα αριθμών s1, ..., sn τέτοιων ώστε
a1s1 + a2s2 + . . . + ansn = b
6

16. Γραμμική εξίσωση ως προς τις εξής μεταβλητές x1, ..., xn:
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b
όπου οι συντελεστές a1, ..., an και ενδεχομένως το b είναι
γνωστά εκ των προτέρω.
Λύση είναι μια λίστα αριθμών s1, ..., sn τέτοιων ώστε
a1s1 + a2s2 + . . . + ansn = b
Παράδειγμα 1: Για την εξίσωση της γραμμής a1x1 + a2x2 = b:
Το ζεύγος s1, s2 είναι λύση ⇐⇒ το σημείο (s1, s2) βρίσκεται
πάνω στην γραμμή.
6

17. Παράδειγμα 2 Υπολογισμός του τελικού βαθμού στο μάθημα:
∙ x1 ο βαθμός της τελικής εξέτασης μου
∙ x2 ο μέσος όρος των βαθμών των εξετάσεων προόδου μου
∙ x3 ο μέσος όρος των βαθμών των τεστ μου
∙ x4 ο βαθμός συμμετοχής στο μάθημα
7

18. Παράδειγμα 2 Υπολογισμός του τελικού βαθμού στο μάθημα:
∙ x1 ο βαθμός της τελικής εξέτασης μου
∙ x2 ο μέσος όρος των βαθμών των εξετάσεων προόδου μου
∙ x3 ο μέσος όρος των βαθμών των τεστ μου
∙ x4 ο βαθμός συμμετοχής στο μάθημα
Γραμμική εξίσωση
0.5x1 + 0.4x2 + 0.1x3 + 0.05x4 = 7
7

19. συστήµατα γραµµικών εξισώσεων

20. Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών
εξισώσεων:
9

21. Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών
εξισώσεων:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
9

22. Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών
εξισώσεων:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Λύση του συστήματος είναι μια λίστα
s1, ..., sn ∈ R
η οποία αποτελεί λύση όλων των m εξισώσεων ταυτόχρονα.
9

23. Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών
εξισώσεων:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Λύση του συστήματος είναι μια λίστα
s1, ..., sn ∈ R
η οποία αποτελεί λύση όλων των m εξισώσεων ταυτόχρονα.
Δηλαδή, όλες οι m εξισώσεις αληθεύουν όταν
x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn.
9

24. Παράδειγµα
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
10

25. Παράδειγµα
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
Λύση ⇔ η τομή των δύο γραμμών:
1x
2
x
10

26. Παράδειγµα
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
Λύση ⇔ η τομή των δύο γραμμών:
1x
2
x Παράδειγμα:
1x1 + 2x2 = 3
2x1 + 1x2 = 3
⇔ (x1, x2) = (1, 1)
10

27. Άλλες πιθανότητες:
1
x
2
x
1
x
2
x
11

28. Άλλες πιθανότητες:
1
x
2
x
1
x
2
x
1x1 + 2x2 = 3
1x1 + 2x2 = 4
ασυνέπεια
11

29. Άλλες πιθανότητες:
1
x
2
x
1
x
2
x
1x1 + 2x2 = 3
1x1 + 2x2 = 4
ασυνέπεια
1x1 + 2x2 = 3
2x1 + 4x2 = 6
αοριστία
11

30. Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα
12

31. Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα
∙ Δεν υπάρχει καμμία λύση
12

32. Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα
∙ Δεν υπάρχει καμμία λύση
∙ Υπάρχει μια μοναδική λύση
12

33. Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα
∙ Δεν υπάρχει καμμία λύση
∙ Υπάρχει μια μοναδική λύση
∙ Υπάρχει απειρία λύσεων
12

34. Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα
∙ Δεν υπάρχει καμμία λύση
∙ Υπάρχει μια μοναδική λύση
∙ Υπάρχει απειρία λύσεων
Στόχοι:
∙ Μελέτησε το ποιό ενδεχόμενο ισχύει.
12

35. Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα
∙ Δεν υπάρχει καμμία λύση
∙ Υπάρχει μια μοναδική λύση
∙ Υπάρχει απειρία λύσεων
Στόχοι:
∙ Μελέτησε το ποιό ενδεχόμενο ισχύει.
∙ Δώσε την λύση αν είναι μοναδική.
12

36. Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα
∙ Δεν υπάρχει καμμία λύση
∙ Υπάρχει μια μοναδική λύση
∙ Υπάρχει απειρία λύσεων
Στόχοι:
∙ Μελέτησε το ποιό ενδεχόμενο ισχύει.
∙ Δώσε την λύση αν είναι μοναδική.
∙ Βρές έναν τρόπο να περιγράψεις όλες τις λύσεις όταν αυτές
είναι πολλές.
12

37. Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα aij, bi.
13

38. Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα aij, bi.
Άρα τοποθέτησε όλους αυτούς τους αριθμούς σε έναν πίνακα
a11x1 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + . . . + amnxn = bm
13

39. Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα aij, bi.
Άρα τοποθέτησε όλους αυτούς τους αριθμούς σε έναν πίνακα
a11x1 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + . . . + amnxn = bm






a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn






m × n πίνακας συντελεστών
13

40. Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα aij, bi.
Άρα τοποθέτησε όλους αυτούς τους αριθμούς σε έναν πίνακα
a11x1 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + . . . + amnxn = bm






a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn






m × n πίνακας συντελεστών






a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn bm






m × (n + 1) επαυξημένος 13

41. Μελετήστε το σύστηµα
3x1 + 2x2 + 4x3 = 0
x1 − x2 + 2x3 = 1
2x1 + 2x2 + 3x3 = 2
x1 + x3 = 3
14