22. 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
---------------------
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005
----------------------------------------
Môn: TOÁN, Khối A
(Đáp án – thang điểm gồm 4 trang)
Câu Ý Nội dung Điểm
I 2,0
I.1 1,0
1 1 1
m y x
4 4 x
= ⇒ = + .
a) TXĐ: {0}.
b) Sự biến thiên:
2
2 2
1 1 x 4
y'
4 x 4x
−
= − = , y' 0 x 2,x 2.= ⇔ = − =
0,25
yCĐ ( ) ( )CTy 2 1,y y 2 1.= − = − = =
Đường thẳng x 0= là tiệm cận đứng.
Đường thẳng
1
y x
4
= là tiệm cận xiên.
0,25
c) Bảng biến thiên:
x − ∞ − 2 0 2 + ∞
y’ + 0 − − 0 +
y
− 1 + ∞ + ∞
− ∞ − ∞ 1
0,25
d) Đồ thị
0,25
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 22
23. 2
I.2 1,0
2
1
y' m , y' 0
x
= − = có nghiệm khi và chỉ khi m 0> .
Nếu m 0> thì 1 2
1 1
y' 0 x , x
m m
= ⇔ = − = .
0,25
Xét dấu y'
x
−∞
1
m
− 0
1
m
+∞
y' + 0 − || − 0 +
Hàm số luôn có cực trị với mọi m 0.>
0,25
Điểm cực tiểu của ( )mC là
1
M ;2 m .
m
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Tiệm cận xiên (d): y mx mx y 0.= ⇔ − =
( ) 2 2
m 2 m m
d M,d .
m 1 m 1
−
= =
+ +
0,25
( ) 2
2
1 m 1
d M;d m 2m 1 0 m 1.
2 2m 1
= ⇔ = ⇔ − + = ⇔ =
+
Kết luận: m 1= .
0,25
II. 2,0
II.1 1,0
Bất phương trình: 5x 1 x 1 2x 4− − − > − . ĐK:
5x 1 0
x 1 0 x 2.
2x 4 0
− ≥⎧
⎪
− ≥ ⇔ ≥⎨
⎪ − ≥⎩
0,25
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
5x 1 2x 4 x 1 5x 1 2x 4 x 1 2 (2x 4)(x 1)− > − + − ⇔ − > − + − + − −
0,25
2 2
x 2 (2x 4)(x 1) x 4x 4 2x 6x 4⇔ + > − − ⇔ + + > − +
2
x 10x 0 0 x 10.⇔ − < ⇔ < <
0,25
Kết hợp với điều kiện ta có : 2 x 10≤ < là nghiệm của bất phương trình đã cho. 0,25
II.2 1,0
Phương trình đã cho tương đương với
( ) ( )1 cos6x cos2x 1 cos2x 0+ − + =
cos6x cos2x 1 0⇔ − =
0,25
cos8x cos4x 2 0⇔ + − =
2
2cos 4x cos4x 3 0⇔ + − = 0,25
( )
=⎡
⎢⇔
⎢ = −
⎢⎣
cos4x 1
3
cos4x lo¹i .
2
Vậy ( )
π
= ⇔ = ∈cos4x 1 x k k .
2
0,5
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 23
24. 3
III. 3,0
III.1 1,0
Vì ( )1A d A t;t .∈ ⇒
Vì A và C đối xứng nhau qua BD và B,D Ox∈ nên ( )C t; t− . 0,25
Vì 2C d∈ nên 2t t 1 0 t 1.− − = ⇔ = Vậy ( ) ( )A 1;1 , C 1; 1− . 0,25
Trung điểm của AC là ( )I 1;0 . Vì I là tâm của hình vuông nên
IB IA 1
ID IA 1
= =⎧
⎨
= =⎩
0,25
b 1 1B Ox B(b;0) b 0,b 2
D Ox D(d;0) d 0,d 2d 1 1
⎧ − =∈ = =⎧⎧ ⎧ ⎪
⇔ ⇒ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨
∈ = =− =⎩ ⎩ ⎩⎪⎩
Suy ra, ( )B 0;0 và ( )D 2;0 hoặc ( )B 2;0 và ( )D 0;0 .
Vậy bốn đỉnh của hình vuông là
( ) ( ) ( ) ( )A 1;1 , B 0;0 , C 1; 1 , D 2;0 ,−
hoặc
( ) ( ) ( ) ( )A 1;1 , B 2;0 , C 1; 1 , D 0;0 .−
0,25
III.2a 1,0
Phương trình của tham số của
x 1 t
d : y 3 2t
z 3 t.
= −⎧
⎪
= − +⎨
⎪ = +⎩
0,25
( )I d I 1 t; 3 2t;3 t∈ ⇒ − − + + , ( )( )
2t 2
d I, P .
3
− +
= 0,25
( )( )
t 4
d I, P 2 1 t 3
t 2.
=⎡
= ⇔ − = ⇔ ⎢ = −⎣
0,25
Vậy có hai điểm ( ) ( )1 2I 3;5;7 , I 3; 7;1− − . 0,25
III.2b 1,0
Vì A d∈ nên ( )A 1 t; 3 2t;3 t− − + + .
Ta có ( )A P∈ ⇔ ( ) ( ) ( )2 1 t 3 2t 2 3 t 9 0 t 1− + − + − + + = ⇔ = .
Vậy ( )A 0; 1;4− .
0,25
Mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến ( )n 2;1; 2 .= −
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ( )u 1;2;1= − .
Vì ( )P∆ ⊂ và d∆ ⊥ nên ∆ có vectơ chỉ phương ( )u n,u 5;0;5∆
⎡ ⎤= =⎣ ⎦ .
0,5
Phương trình tham số của ∆ :
x t
y 1
z 4 t.
=⎧
⎪
= −⎨
⎪ = +⎩
0,25
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 24
25. 4
IV 2,0
IV.1 1,0
2
0
(2cosx 1)sin x
I dx
1 3cosx
π
+
=
+
∫ .
0,25
Đặt
2
t 1
cosx
3
t 1 3cosx
3sin x
dt dx.
2 1 3cosx
⎧ −
=⎪⎪
= + ⇒ ⎨
⎪ = −
⎪ +⎩
x 0 t 2, x t 1.
2
π
= ⇒ = = ⇒ =
0,25
( )
1 22
2
2 1
t 1 2 2
I 2 1 dt 2t 1 dt.
3 3 9
⎛ ⎞− ⎛ ⎞
= + − = +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ ∫ 0,25
2
3
1
2 2t 2 16 2 34
t 2 1 .
9 3 9 3 3 27
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + = + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠
0,25
IV.2 1,0
Ta có ( )
2n 1 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11 x C C x C x C x ... C x
+ + +
+ + + + ++ = + + + + + x .∀ ∈ 0,25
Đạo hàm hai vế ta có
( )( ) ( )
2n 1 2 3 2 2n 1 2n
2n 1 2n 1 2n 1 2n 12n 1 1 x C 2C x 3C x ... 2n 1 C x+
+ + + ++ + = + + + + + x .∀ ∈ 0,25
Thay x 2= − ta có:
( )1 2 2 3 3 4 2n 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2.2C 3.2 C 4.2 C ... 2n 1 .2 C 2n 1.+
+ + + + +− + − + + + = + 0,25
Theo giả thiết ta có 2n 1 2005 n 1002+ = ⇒ = . 0,25
V 1,0
Với a,b 0> ta có :
2 1 a b 1 1 1 1
4ab (a b) .
a b 4ab a b 4 a b
+ ⎛ ⎞
≤ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ +⎜ ⎟
+ + ⎝ ⎠
Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi a b= .
0,25
Áp dụng kết quả trên ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1).
2x y z 4 2x y z 4 2x 4 y z 8 x 2y 2z
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
≤ + ≤ + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
Tương tự
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(2).
x 2y z 4 2y x z 4 2y 4 x z 8 y 2z 2x
⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞
≤ + ≤ + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥+ + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(3).
x y 2z 4 2z x y 4 2z 4 x y 8 z 2x 2y
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
≤ + ≤ + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
0,5
Vậy
1 1 1 1 1 1 1
1.
2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z
⎛ ⎞
+ + ≤ + + =⎜ ⎟
+ + + + + + ⎝ ⎠
Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi
x y z.= = Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
x y z .
4
= = =
0,25
-------------------------------Hết-------------------------------
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 25
26. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2006
Môn thi: TOÁN, khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2
y 2x 9x 12x 4.= − + −
2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
3 2
2 x 9x 12 x m.− + =
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình:
( )6 6
2 cos x sin x sin x cos x
0.
2 2sin x
+ −
=
−
2. Giải hệ phương trình: ( )
x y xy 3
x, y .
x 1 y 1 4
⎧ + − =⎪
∈⎨
+ + + =⎪⎩
Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với
( ) ( ) ( ) ( )A 0; 0; 0 , B 1; 0; 0 , D 0; 1; 0 , A' 0; 0; 1 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB
và CD.
1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN.
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α
biết
1
cos .
6
α =
Câu IV (2 điểm)
1. Tính tích phân:
2
2 2
0
sin 2x
I dx.
cos x 4sin x
π
=
+
∫
2. Cho hai số thực x 0, y 0≠ ≠ thay đổi và thỏa mãn điều kiện: ( ) 2 2
x y xy x y xy+ = + − .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3
1 1
A .
x y
= +
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b
Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng:
1 2 3d : x y 3 0, d : x y 4 0, d : x 2y 0.+ + = − − = − =
Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng 3d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
1d bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng 2d .
2. Tìm hệ số của số hạng chứa 26
x trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
7
4
1
x ,
x
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
biết
rằng 1 2 n 20
2n 1 2n 1 2n 1C C ... C 2 1.+ + ++ + + = −
(n nguyên dương, k
nC là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm)
1. Giải phương trình: x x x x
3.8 4.12 18 2.27 0.+ − − =
2. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O' , bán kính đáy bằng chiều cao và
bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B
sao cho AB 2a.= Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB.
---------------------------------------Hết---------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .......................................................... số báo danh: ..................................
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 26
27. 1/5
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2006
Môn: TOÁN, khối A
(Đáp án - Thang điểm gồm 05 trang)
Câu Ý Nội dung Điểm
I 2,00
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm)
y = 3 2
2x 9x 12x 4.− + −
• TXĐ: .
• Sự biến thiên: ( )2
y' 6 x 3x 2= − + , y' 0 x 1, x 2.= ⇔ = =
0,25
Bảng biến thiên:
+_
+
+∞
-∞
0
1
0
0
21 +∞-∞
y
y'
x
yCĐ = ( ) ( )CTy 1 1, y y 2 0.= = = 0,50
• Đồ thị:
O
−4
1
1
2 x
y
0,25
2 Tìm m để phương trình có 6 nghiệm phân biệt (1,00 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với:
3 2
2 x 9 x 12 x 4 m 4− + − = − .
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
3 2
y 2 x 9 x 12 x 4= − + − với đường thẳng y m 4.= − 0,25
Hàm số
3 2
y 2 x 9 x 12 x 4= − + − là hàm chẵn, nên đồ thị nhận Oy làm trục
đối xứng.
0,25
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 27
28. 2/5
Từ đồ thị của hàm số đã cho suy ra đồ thị hàm số:
3 2
y 2 x 9x 12 x 4= − + −
0,25
Từ đồ thị suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
0 m 4 1 4 m 5.< − < ⇔ < <
0,25
II 2,00
1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)
Điều kiện: ( )
2
sin x 1 .
2
≠
Phương trình đã cho tương đương với:
( )6 6 23 1
2 sin x cos x sin x cos x 0 2 1 sin 2x sin 2x 0
4 2
⎛ ⎞
+ − = ⇔ − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
3sin 2x sin 2x 4 0⇔ + − = 0,50
sin 2x 1⇔ =
( )x k k .
4
π
⇔ = + π ∈ 0,25
Do điều kiện (1) nên: ( )
5
x 2m m .
4
π
= + π ∈ 0,25
2 Giải hệ phương trình (1,00 điểm)
Điều kiện: x 1, y 1,xy 0.≥ − ≥ − ≥ Đặt ( )t xy t 0 .= ≥ Từ phương trình thứ
nhất của hệ suy ra: x y 3 t.+ = +
0,25
Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta được:
( )x y 2 2 xy x y 1 16 2+ + + + + + = .
Thay 2
xy t , x y 3 t= + = + vào (2) ta được:
2 2
3 t 2 2 t 3 t 1 16 2 t t 4 11 t+ + + + + + = ⇔ + + = −
0,25
( ) ( )
22 2
0 t 11 0 t 11
t 3
4 t t 4 11 t 3t 26t 105 0
≤ ≤⎧ ≤ ≤⎧⎪
⇔ ⇔ ⇔ =⎨ ⎨
+ + = − + − =⎩⎪⎩
0,25
Với t 3= ta có x y 6, xy 9.+ = = Suy ra, nghiệm của hệ là (x;y) (3;3).= 0,25
O
−4
1
1
2 x−1−2
y = m − 4
y
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 28
29. 3/5
III 2,00
1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN (1,00 điểm)
Gọi ( )P là mặt phẳng chứa A'C và song song với MN . Khi đó:
( ) ( )( )d A'C,MN d M, P .=
0,25
Ta có: ( )
1 1
C 1;1;0 ,M ;0;0 , N ;1;0
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )A'C 1;1; 1 ,MN 0; 1; 0= − =
( )
1 1 1 1 1 1
A'C,MN ; ; 1;0;1 .
1 0 0 0 0 1
⎛ − − ⎞
⎡ ⎤ = =⎜ ⎟⎣ ⎦
⎝ ⎠ 0,25
Mặt phẳng ( )P đi qua điểm ( )A' 0;0;1 , có vectơ pháp tuyến ( )n 1;0;1 ,= có
phương trình là: ( ) ( ) ( )1. x 0 0. y 0 1. z 1 0 x z 1 0.− + − + − = ⇔ + − = 0,25
Vậy ( ) ( )( ) 2 2 2
1
0 1
12
d A'C,MN d M, P .
2 21 0 1
+ −
= = =
+ +
0,25
2 Viết phương trình mặt phẳng (1,00 điểm)
Gọi mặt phẳng cần tìm là ( ) ( )2 2 2
Q :ax by cz d 0 a b c 0 .+ + + = + + >
Vì ( )Q đi qua ( )A' 0;0;1 và ( )C 1;1;0 nên:
c d 0
c d a b.
a b d 0
+ =⎧
⇔ = − = +⎨
+ + =⎩
Do đó, phương trình của ( )Q có dạng: ( ) ( )ax by a b z a b 0.+ + + − + = . 0,25
Mặt phẳng ( )Q có vectơ pháp tuyến ( )n a;b;a b= + , mặt phẳng Oxy có
vectơ pháp tuyến ( )k 0;0;1= .
Vì góc giữa ( )Q và Oxy là α mà
1
cos
6
α = nên ( ) 1
cos n,k
6
= 0,25
( )
22 2
a b 1
6a b a b
+
⇔ =
+ + +
( ) ( )2 2 2
6 a b 2 a b ab⇔ + = + +
a 2b⇔ = − hoặc b 2a.= − 0,25
Với a 2b= − , chọn b 1,= − được mặt phẳng ( )1Q : 2x y z 1 0.− + − =
Với b 2a= − , chọn a 1,= được mặt phẳng ( )2Q : x 2y z 1 0.− − + =
0,25
IV 2,00
1 Tính tích phân (1,00 điểm)
Ta có:
2 2
2 2 2
0 0
sin 2x sin 2x
I dx dx.
cos x 4sin x 1 3sin x
π π
= =
+ +
∫ ∫
Đặt 2
t 1 3sin x dt 3sin 2xdx.= + ⇒ =
0,25
Với x 0= thì t 1= , với x
2
π
= thì t 4.= 0,25
Suy ra:
4
1
1 dt
I
3 t
= ∫ 0,25
4
1
2 2
t .
3 3
= =
0,25
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 29
30. 4/5
2 Tìm giá trị lớn nhất của A (1,00 điểm)
Từ giả thiết suy ra: 2 2
1 1 1 1 1
.
x y x y xy
+ = + −
Đặt
1 1
a, b
x y
= = ta có: ( )2 2
a b a b ab 1+ = + −
( )( ) ( )23 3 2 2
A a b a b a b ab a b .= + = + + − = + 0,25
Từ (1) suy ra: ( )2
a b a b 3ab.+ = + −
Vì
2
a b
ab
2
+⎛ ⎞
≤ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
nên ( ) ( )2 23
a b a b a b
4
+ ≥ + − +
( ) ( )2
a b 4 a b 0 0 a b 4⇒ + − + ≤ ⇒ ≤ + ≤
Suy ra: ( )2
A a b 16.= + ≤
0,50
Với
1
x y
2
= = thì A 16.= Vậy giá trị lớn nhất của A là 16. 0,25
V.a 2,00
1 Tìm điểm 3M d∈ sao cho ( ) ( )1 2d M,d 2d M,d= (1,00 điểm)
Vì 3M d∈ nên ( )M 2y;y . 0,25
Ta có:
( ) ( )
( )
1 2
2 2 22
2y y 3 3y 3 2y y 4 y 4
d M,d , d M,d .
2 21 1 1 1
+ + + − − −
= = = =
+ + −
0,25
( ) ( )1 2d M,d 2d M,d= ⇔
3y 3 y 4
2 y 11, y 1.
2 2
+ −
= ⇔ = − = 0,25
Với y 11= − được điểm ( )1M 22; 11 .− −
Với y 1= được điểm ( )2M 2; 1 . 0,25
2 Tìm hệ số của 26
x trong khai triển nhị thức Niutơn (1,00 điểm)
• Từ giả thiết suy ra: ( )0 1 n 20
2n 1 2n 1 2n 1C C C 2 1 .+ + ++ +⋅⋅⋅+ =
Vì k 2n 1 k
2n 1 2n 1C C , k,0 k 2n 1+ −
+ += ∀ ≤ ≤ + nên:
( ) ( )0 1 n 0 1 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
1
C C C C C C 2 .
2
+
+ + + + + ++ +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅+
0,25
Từ khai triển nhị thức Niutơn của ( )2n 1
1 1
+
+ suy ra:
( ) ( )2n 10 1 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1C C C 1 1 2 3 .
++ +
+ + ++ +⋅⋅⋅+ = + =
Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2n 20
2 2= hay n 10.=
0,25
• Ta có: ( ) ( )
10 10 10
10 k k7 k 4 7 k 11k 40
10 104
k 0 k 0
1
x C x x C x .
x
−− −
= =
⎛ ⎞
+ = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ 0,25
Hệ số của 26
x là k
10C với k thỏa mãn: 11k 40 26 k 6.− = ⇔ =
Vậy hệ số của 26
x là: 6
10C 210.=
0,25
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 30
31. 5/5
V.b 2,00
1 Giải phương trình mũ (1,00 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với: ( )
3x 2x x
2 2 2
3 4 2 0 1 .
3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0,25
Đặt ( )
x
2
t t 0
3
⎛ ⎞
= >⎜ ⎟
⎝ ⎠
, phương trình (1) trở thành: 3 2
3t 4t t 2 0+ − − = 0,25
( ) ( )2 2
t 1 3t 2 0 t
3
⇔ + − = ⇔ = (vì t 0> ). 0,25
Với
2
t
3
= thì
x
2 2
3 3
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
hay x 1.=
0,25
2 Tính thể tích của khối tứ diện (1,00 điểm)
Kẻ đường sinh AA'. Gọi D là điểm đối xứng với A' qua O' và H là hình
chiếu của B trên đường thẳng A'D.
A
A'
O
O' H D
B
Do BH A'D⊥ và BH AA'⊥ nên ( )BH AOO'A' .⊥ 0,25
Suy ra: OO'AB AOO'
1
V .BH.S .
3
= 0,25
Ta có: 2 2 2 2
A'B AB A'A 3a BD A'D A'B a= − = ⇒ = − =
BO'D⇒ Δ đều
a 3
BH .
2
⇒ = 0,25
Vì AOO' là tam giác vuông cân cạnh bên bằng a nên: 2
AOO'
1
S a .
2
=
Vậy thể tích khối tứ diện OO'AB là:
2 3
1 3a a 3a
V . . .
3 2 2 12
= = 0,25
NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng
phÇn nh− ®¸p ¸n quy ®Þnh.
----------------Hết----------------
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 31
32. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007
Môn thi: TOÁN, khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
2 2
x 2(m 1)x m 4m
y (1),
x 2
+ + + +
=
+
m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1= − .
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa
độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình: ( ) ( )2 2
1 sin x cos x 1 cos x sin x 1 sin 2x.+ + + = +
2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 4 2
3 x 1 m x 1 2 x 1.− + + = −
Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
x y 1 z 2
d :
2 1 1
− +
= =
−
và 2
x 1 2t
d : y 1 t
z 3.
= − +⎧
⎪
= +⎨
⎪ =⎩
1. Chứng minh rằng 1d và 2d chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )P : 7x y 4z 0+ − = và cắt hai đường
thẳng 1d , 2d .
Câu IV (2 điểm)
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( )y e 1 x,= + ( )x
y 1 e x.= +
2. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz 1.= Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2 2
x (y z) y (z x) z (x y)
P
y y 2z z z z 2x x x x 2y y
+ + +
= + + ⋅
+ + +
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ được chọn làm câu V.a hoặc câu V.b
Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(−2; −2) và C(4; −2). Gọi H là
chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình
đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
2. Chứng minh rằng:
2n
1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2n
1 1 1 1 2 1
C C C ... C
2 4 6 2n 2n 1
− −
+ + + + =
+
(n là số nguyên dương, k
nC là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm)
1. Giải bất phương trình: 3 1
3
2log (4x 3) log (2x 3) 2.− + + ≤
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng
minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
---------------------------Hết---------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………..……………………………số báo danh: ……………………………….
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 32
33. 1/4
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007
Môn: TOÁN, khối A
(Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang)
Câu Nội dung Điểm
I 2,00
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm)
Khi m 1= − ta có
2
x 3 1
y x 2
x 2 x 2
−
= = − +
+ +
.
• Tập xác định: D = { 2}− .
• Sự biến thiên:
2
2 2
1 x 4x 3
y' 1
(x 2) (x 2)
+ +
= − =
+ +
,
x 3
y' 0
x 1.
= −⎡
= ⇔ ⎢ = −⎣
0,25
Bảng biến thiên:
yCĐ = ( ) ( )CTy 3 6, y y 1 2.− = − = − = −
0,25
• Tiệm cận: Tiệm cận đứng x = − 2, tiệm cận xiên y = x − 2. 0,25
• Đồ thị:
0,25
2 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và … (1,00 điểm)
( )
2 2
2
x 4x 4 m
y'
x 2
+ + −
=
+
.
Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu ⇔ ( ) 2 2
g x x 4x 4 m= + + − có 2 nghiệm
phân biệt x ≠ −2
( )
2
2
' 4 4 m 0
g 2 4 8 4 m 0
⎧∆ = − + >⎪
⇔ ⎨
− = − + − ≠⎪⎩
⇔ m ≠ 0.
0,50
x − ∞ −3 −2 −1 + ∞
y' + 0 − − 0 +
y −6 + ∞ + ∞
−∞ − ∞ −2
x
y
− 3
− 6
−2
O
−1−2
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 33
34. 2/4
Gọi A, B là các điểm cực trị ⇒ ( )A 2 m; 2− − − , ( )B 2 m;4m 2− + − .
Do ( )OA m 2; 2 0= − − − ≠ , ( )OB m 2;4m 2 0= − − ≠ nên ba điểm O, A, B
tạo thành tam giác vuông tại O ⇔ 2
OA.OB 0 m 8m 8 0= ⇔ − − + =
⇔ m 4 2 6= − ± (thỏa mãn m ≠ 0).
Vậy giá trị m cần tìm là: m 4 2 6= − ± .
0,50
II 2,00
1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)
Phương trình đã cho ⇔ (sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)2
⇔ (sinx + cosx)(1−sinx)(1−cosx) = 0. 0,50
⇔
π π
x kπ,x k2π,x k2π
4 2
= − + = + = (k ∈Z ). 0,50
2 Tìm m để phương trình có nghiệm (1,00 điểm)
Điều kiện: x 1≥ . Phương trình đã cho ⇔ 4
x 1 x 1
3 2 m (1).
x 1 x 1
− −
− + =
+ +
Đặt 4
x 1
t
x 1
−
=
+
, khi đó (1) trở thành 2
3t 2t m (2).− + =
0,50
Vì 4 4
x 1 2
t 1
x 1 x 1
−
= = −
+ +
và x 1≥ nên 0 t 1.≤ <
Hàm số 2
f (t) 3t 2t, 0 t 1= − + ≤ < có bảng biến thiên:
Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [0; 1) ⇔
1
1 m
3
− < ≤ .
0,50
III 2,00
1 Chứng minh d1 và d2 chéo nhau (1,00 điểm)
+) d1 qua M(0; 1; −2), có véctơ chỉ phương 1u = (2; −1; 1),
d2 qua N(−1; 1; 3), có véctơ chỉ phương 2u = (2; 1; 0).
0,25
+) 1 2[u ,u ]= (−1; 2; 4) và MN = (−1; 0; 5). 0,50
+) 1 2[u ,u ].MN = 21 ≠ 0 ⇒ d1 và d2 chéo nhau. 0,25
2 Viết phương trình đường thẳng d (1,00 điểm)
Giả sử d cắt d1 và d2 lần lượt tại A, B. Vì A ∈ d1, B ∈ d2 nên
A(2s;1 s; 2 s), B( 1 2t;1 t;3).− − + − + +
⇒ AB= (2t − 2s − 1; t + s; − s + 5).
0,25
(P) có véctơ pháp tuyến n = (7; 1; − 4).
AB ⊥ (P) ⇔ AB cùng phương với n
0,25
⇔
2t 2s 1 t s s 5
7 1 4
− − + − +
= =
−
⇔
5t 9s 1 0
4t 3s 5 0
+ + =⎧
⎨
+ + =⎩
⇔
s 1
t 2
=⎧
⎨
= −⎩
⇒ ( ) ( )A 2;0; 1 ,B 5; 1;3 .− − −
0,25
Phương trình của d là:
x 2 y z 1
7 1 4
− +
= =
−
. 0,25
11/30
f(t)
t
0
1/3
-1
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 34
35. 3/4
IV 2,00
1 Tính diện tích hình phẳng (1,00 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là:
(e + 1)x = (1 + ex
)x ⇔ (ex
− e)x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.
0,25
Diện tích của hình phẳng cần tìm là: S =
1
x
0
xe exdx−∫ =
1 1
x
0 0
e xdx xe dx.−∫ ∫ 0,25
Ta có:
1
0
e xdx∫ =
2
1ex
02
=
e
2
,
1 1
x x x
0 0
1
xe dx xe e dx
0
= −∫ ∫ = x 1
e e 1
0
− = .
Vậy
e
S 1
2
= − (đvdt).
0,50
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của P (1,00 điểm)
Ta có: 2
x (y z)+ 2x x≥ . Tương tự, 2
y (z x)+ ≥ 2y y , 2
z (x y)+ ≥ 2z z . 0,25
⇒
2y y2x x 2z z
P
y y 2z z z z 2x x x x 2y y
≥ + +
+ + +
.
Đặt a = x x 2y y+ , b = y y 2z z+ , c = z z 2x x+ .
Suy ra:
4c a 2b
x x
9
+ −
= ,
4a b 2c
y y
9
+ −
= ,
4b c 2a
z z
9
+ −
= .
0,25
Do đó
2 4c a 2b 4a b 2c 4b c 2a
P
9 b c a
+ − + − + −⎛ ⎞
≥ + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 c a b a b c
4 6
9 b c a b c a
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
≥ ( )
2
4.3 3 6 2.
9
+ − =
(Do
c a b
b c a
+ + =
c a
b c
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
b
1
a
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
− 1 ≥ 2
a
b
+ 2
b
a
− 1 ≥ 4 − 1 = 3,
hoặc
c a b
b c a
+ + ≥ 3
c a b
3
b c a
⋅ ⋅ = 3. Tương tự,
a b c
b c a
+ + ≥ 3).
0,25
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2. 0,25
V.a 2,00
1 Viết phương trình đường tròn (1,00 điểm)
Ta có M(−1; 0), N(1; −2),AC= (4; − 4). Giả sử H(x, y). Ta có:
BH AC
H AC
⎧ ⊥⎪
⎨
∈⎪⎩
⇔
4(x 2) 4(y 2) 0
4x 4(y 2) 0
+ − + =⎧
⎨
+ − =⎩
⇔
x 1
y 1
=⎧
⎨
=⎩
⇒ H(1; 1).
0,25
Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là: 2 2
x y 2ax 2by c 0+ + + + = (1). 0,25
Thay tọa độ của M, N, H vào (1) ta có hệ điều kiện:
2a c 1
2a 4b c 5
2a 2b c 2.
− =⎧
⎪
− + = −⎨
⎪ + + = −⎩
0,25
1
a
2
1
b
2
c 2.
⎧
= −⎪
⎪
⎪
⇔ =⎨
⎪
= −⎪
⎪
⎩
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: 2 2
x y x y 2 0.+ − + − =
0,25
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 35
36. 4/4
2 Chứng minh công thức tổ hợp (1,00 điểm)
Ta có: ( )
2n 0 1 2n 2n
2n 2n 2n1 x C C x ... C x ,+ = + + + ( )
2n 0 1 2n 2n
2n 2n 2n1 x C C x ... C x− = − + +
( ) ( ) ( )2n 2n 1 3 3 5 5 2n 1 2n 1
2n 2n 2n 2n1 x 1 x 2 C x C x C x ... C x .− −
⇒ + − − = + + + +
( ) ( )
( )
1 12n 2n
1 3 3 5 5 2n 1 2n 1
2n 2n 2n 2n
0 0
1 x 1 x
dx C x C x C x ... C x dx
2
− −+ − −
⇒ = + + + +
∫ ∫
0,50
•
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2n 2n 2n 1 2n 1
0
11 x 1 x 1 x 1 x
dx
02 2 2n 1
+ +
+ − − + + −
=
+∫ =
2n
2 1
2n 1
−
+
(1)
• ( )
1
1 3 3 5 5 2n 1 2n 1
2n 2n 2n 2n
0
C x C x C x ... C x dx− −
+ + + +
∫
1
2 4 6 2n
1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2n
0
x x x x
C . C . C . ... C .
2 4 6 2n
−⎛ ⎞
= + + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2n
1 1 1 1
C C C ... C
2 4 6 2n
−
= + + + (2).
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
0,50
V.b 2,00
1 Giải bất phương trình logarit (1,00 điểm)
Điều kiện: x >
3
4
. Bất phương trình đã cho ⇔
2
3
(4x 3)
log
2x 3
−
+
≤ 2 0,25
⇔ (4x − 3)2
≤ 9(2x + 3) 0,25
⇔ 16x2
− 42x −18 ≤ 0 ⇔ −
3
8
≤ x ≤ 3. 0,25
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là:
3
4
< x ≤ 3. 0,25
2 Chứng minh AM ⊥ BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP (1,00 điểm)
Gọi H là trung điểm của AD.
Do SAD∆ đều nên SH AD.⊥
Do( ) ( )SAD ABCD⊥ nên
( )SH ABCD⊥
( )SH BP 1 .⇒ ⊥
Xét hình vuông ABCD ta có
CDH BCP∆ = ∆ ⇒
( )CH BP 2 .⊥ Từ (1) và (2)
suy ra ( )BP SHC .⊥
Vì MN //SC và AN // CH
nên ( ) ( )AMN // SHC . Suy ra
( )BP AMN⊥ ⇒ BP AM.⊥
0,50
Kẻ ( ) ( )MK ABCD ,K ABCD .⊥ ∈ Ta có: CMNP CNP
1
V MK.S .
3
=
Vì
2
CNP
1 a 3 1 a
MK SH , S CN.CP
2 4 2 8
= = = = nên
3
CMNP
3a
V
96
= (đvtt).
0,50
NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh−
®¸p ¸n quy ®Þnh.
----------------Hết----------------
A
S
D C
B
H
M
N
P
K
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 36
37. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008
Môn thi: TOÁN, khối A
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
2 2
mx (3m 2)x 2
y (1),
x 3m
+ − −
=
+
với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1= .
2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng o
45 .
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình
1 1 7π
4sin x .
3πsinx 4
sin x
2
⎛ ⎞
+ = −⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎝ ⎠−⎜ ⎟
⎝ ⎠
2. Giải hệ phương trình ( )
2 3 2
4 2
5
x y x y xy xy
4 x, y .
5
x y xy(1 2x)
4
⎧
+ + + + = −⎪⎪
∈⎨
⎪ + + + = −
⎪⎩
Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( )A 2;5;3 và đường thẳng
x 1 y z 2
d : .
2 1 2
− −
= =
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
2. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất.
Câu IV (2 điểm)
1. Tính tích phân
π
46
0
tg x
I dx.
cos2x
= ∫
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt :
4 42x 2x 2 6 x 2 6 x m+ + − + − = (m ).∈
PHẦN RIÊNG __________
Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b __________
Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elíp (E) biết rằng
(E) có tâm sai bằng
5
3
và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.
2. Cho khai triển ( )
n n
0 1 n1 2x a a x ... a x ,+ = + + + trong đó *
n∈ và các hệ số 0 1 na ,a ,...,a
thỏa mãn hệ thức 1 n
0 n
a a
a ... 4096.
2 2
+ + + = Tìm số lớn nhất trong các số 0 1 na ,a ,...,a .
Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm)
1. Giải phương trình 2 2
2x 1 x 1log (2x x 1) log (2x 1) 4.− ++ − + − =
2. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung
điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai
đường thẳng AA', B'C'.
...........................Hết...........................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:........................................................ Số báo danh:...............................................
ĐỀ CHÍNH THỨC
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 37
38. Trang 1/5
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008
Môn thi: TOÁN, khối A
(Đáp án - thang điểm gồm 05 trang)
Câu Nội dung Điểm
I 2,00
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm)
Khi m = 1 hàm số trở thành:
2
x x 2 4
y x 2 .
x 3 x 3
+ −
= = − +
+ +
• TXĐ: { }D 3 .= −
• Sự biến thiên:
2
2 2
4 x 6x 5
y' 1 ,
(x 3) (x 3)
+ +
= − =
+ +
x 1
y' 0
x 5
= −⎡
= ⇔ ⎢ = −⎣
• yCĐ ( )y 5 9= − = − , yCT ( )y 1 1.= − = −
0,25
• TCĐ: x 3= − , TCX: y x 2.= − 0,25
• Bảng biến thiên:
0,25
• Đồ thị:
0,25
2 Tìm các giá trị của tham số m ... (1,00 điểm)
2 2
mx (3m 2)x 2 6m 2
y mx 2 .
x 3m x 3m
+ − − −
= = − +
+ +
• Khi
1
m
3
= đồ thị hàm số không tồn tại hai tiệm cận.
0,25
• Khi
1
m
3
≠ đồ thị hàm số có hai tiệm cận :
d1: x 3m x 3m 0,= − ⇔ + = d2: y mx 2 mx y 2 0.= − ⇔ − − =
0,25
Vectơ pháp tuyến của d1, d2 lần lượt là 1n (1;0)= , 2n (m; 1).= −
Góc giữa d1 và d2 bằng o
45 khi và chỉ khi
1 20
2 2
1 2
n .n m m 2
cos45 m 1.
2n . n m 1 m 1
= = ⇔ = ⇔ = ±
+ +
0,50
x −∞ 5− 3− 1− +∞
y’ + 0 − − 0 +
y
−∞ −∞
+∞ +∞
1−
9−
-3
-1
O-1
-9
-5
y
x2
-2
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 38
39. Trang 2/5
II 2,00
1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)
Điều kiện sin x 0≠ và
3π
sin(x ) 0.
2
− ≠
Phương trình đã cho tương đương với:
1 1
2 2(sinx + cosx)
sinx cosx
+ = −
⇔
1
(sinx + cosx) 2 2 0.
sinxcosx
⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,50
• sinx +cosx 0 x k .
4
π
= ⇔ = − + π
•
1
2 2
sinxcosx
+ = 0
2
sin 2x x k
2 8
π
⇔ = − ⇔ = − + π hoặc
5
x k .
8
π
= + π
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là :
x k ;
4
π
= − + π
5
x k ; x k (k ).
8 8
π π
= − + π = + π ∈
0,50
2 Giải hệ... (1,00 điểm)
2 3 2
4 2
5
x y x y xy xy
4
5
x y xy(1 2x)
4
⎧
+ + + + = −⎪⎪
⎨
⎪ + + + = −
⎪⎩
( )2 2
2 2
5
x y xy xy x y
4
5
(x y) xy
4
⎧
+ + + + = −⎪⎪
⇔ ⎨
⎪ + + = −
⎪⎩
( )∗
Đặt
2
u x y
v xy
⎧ = +
⎨
=⎩
. Hệ phương trình ( )∗ trở thành
2
5
u v uv
4
5
u v
4
⎧
+ + = −⎪⎪
⎨
⎪ + = −
⎪⎩
2
3 2
5 5
v u u 0, v
4 4
u 1 3
u u 0 u , v .
4 2 2
⎧ ⎡
= − − = = −⎪ ⎢⎪
⇔ ⇔ ⎢⎨
⎢⎪ + + = = − = −
⎢⎪⎩ ⎣
0,50
• Với u = 0,
5
v
4
= − ta có hệ pt
2
x y 0
5
xy
4
⎧ + =
⎪
⎨
= −⎪
⎩
⇔ 3
5
x
4
= và 3
25
y
16
= − .
• Với
1 3
u , v
2 2
= − = − ta có hệ phương trình
2 33 1
x 0 2x x 3 0
2x 2
3
3 y
y 2x
2x
⎧
⎧− + = + − =⎪⎪ ⎪
⇔⎨ ⎨
= −⎪ ⎪= − ⎩⎪⎩
⇔ x 1= và
3
y .
2
= −
Hệ phương trình có 2 nghiệm : 3 3
5 25
;
4 16
⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
và
3
1; .
2
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,50
III 2,00
1 Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên d (1,00 điểm)
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ( )u 2;1;2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A trên d, suy ra H(1 + 2t ; t ; 2 + 2t) và AH (2t 1;t 5;2t 1).= − − −
0,50
Vì AH ⊥ d nên AH. u 0= ⇔ 2(2t – 1 ) + t – 5 + 2(2t – 1) = 0 ⇔ t = 1.
Suy ra ( )H 3;1;4 .
0,50
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 39
40. Trang 3/5
2 Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa d sao cho... (1,00 điểm)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ).α
Ta có d(A, (α) ) = AK ≤ AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên). Do đó
khoảng cách từ A đến ( )α lớn nhất khi và chỉ khi AK = AH, hay K≡ H.
0,50
Suy ra ( )α qua H và nhận vectơ AH = (1 ; – 4 ; 1) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình của ( )α là
1(x 3) 4(y 1) 1(z 4) 0− − − + − = ⇔ x 4y z 3 0.− + − =
0,50
IV 2,00
1 Tính tích phân... (1,00 điểm)
I =
( )
π π
4 46 6
2 2
0 0
tg x tg x
dx dx.
cos2x 1 tg x cos x
=
−∫ ∫
Đặt 2
dx
t tgx dt .
cos x
= ⇒ = Với x 0= thì t 0= ; với x
6
π
= thì
1
t .
3
=
0,25
Suy ra
1
3 4
2
0
t
I dt
1 t
=
−∫ ( )
1 1
3 3
2
0 0
1 1 1
t 1 dt dt
2 t 1 t 1
⎛ ⎞
= − + + −⎜ ⎟
+ −⎝ ⎠
∫ ∫
3
1
t 1 t 1
t ln 3
3 2 t 1
0
⎛ ⎞+
= − − +⎜ ⎟
−⎝ ⎠
0,50
( )1 10
ln 2 3 .
2 9 3
= + − 0,25
2 Tìm các giá trị của m... (1,00 điểm)
Điều kiện: 0 x 6≤ ≤ .
Đặt vế trái của phương trình là f (x) , [ ]x 0; 6 .∈
Ta có
3 34 4
1 1 1 1
f '(x)
2x 6 x2 (2x) 2 (6 x)
= + − −
−−
3 34 4
1 1 1 1 1
2 2x 6 x(2x) (6 x)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠−⎝ ⎠
, x (0;6).∈
Đặt
3 34 4
1 1 1 1
u(x) , v(x) .
2x 6 x(2x) (6 x)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠−⎝ ⎠
Ta thấy ( ) ( )u 2 v 2 0= = ⇒ f '(2) 0.= Hơn nữa u(x),v(x)cùng dương trên
khoảng ( )0;2 và cùng âm trên khoảng ( )2;6 .
0,50
Ta có bảng biến thiên:
Suy ra các giá trị cần tìm của m là: 4
2 6 2 6 m 3 2 6.+ ≤ < +
0,50
f’(x) + 0 −
x 0 2 6
f(x)
3 2 6+
4
2 6 2 6+ 4
12 2 3+
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 40
41. Trang 4/5
V.a 2,00
1 Viết phương trình chính tắc của elíp... (1,00 điểm)
Gọi phương trình chính tắc của elíp (E) là:
2 2
2 2
x y
1
a b
+ = , a b 0.> >
Từ giả thiết ta có hệ phương trình: ( )
2 2 2
c 5
a 3
2 2a 2b 20
c a b .
⎧
=⎪
⎪⎪
+ =⎨
⎪
= −⎪
⎪⎩
0,50
Giải hệ phương trình trên tìm được a = 3 và b = 2.
Phương trình chính tắc của (E) là
2 2
x y
1.
9 4
+ =
0,50
2 Tìm số lớn nhất trong các số 0 1 na ,a ,...,a ... (1,00 điểm)
Đặt ( ) ( )
n n
0 1 nf x 1 2x a a x ... a x= + = + + + n1 n
0 n
a a 1
a ... f 2 .
2 2 2
⎛ ⎞
⇒ + + + = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Từ giả thiết suy ra n 12
2 4096 2= = n 12.⇔ =
0,50
Với mọi { }k 0,1,2,...,11∈ ta có k k
k 12a 2 C= , k 1 k 1
k 1 12a 2 C+ +
+ =
k k
k 12
k 1 k 1
k 1 12
a 2 C
1 1
a 2 C+ +
+
< ⇔ <
( )
k 1
1
2 12 k
+
⇔ <
−
23
k .
3
⇔ <
Mà k ∈ k 7.⇒ ≤ Do đó 0 1 8a a ... a .< < <
Tương tự, k
k 1
a
1 k 7.
a +
> ⇔ > Do đó 8 9 12a a ... a .> > >
Số lớn nhất trong các số 0 1 12a ,a ,...,a là 8 8
8 12a 2 C 126720.= =
0,50
V.b 2,00
1 Giải phương trình logarit... (1,00 điểm))
Điều kiện:
1
x
2
> và x 1.≠
Phương trình đã cho tương đương với
2
2x 1 x 1log (2x 1)(x 1) log (2x 1) 4− +− + + − =
2x 1 x 11 log (x 1) 2log (2x 1) 4.− +⇔ + + + − =
Đặt 2x 1t log (x 1),−= + ta có 2 t 12
t 3 t 3t 2 0
t 2.t
=⎡
+ = ⇔ − + = ⇔ ⎢ =⎣
0,50
• Với 2x 1t 1 log (x 1) 1 2x 1 x 1 x 2.−= ⇔ + = ⇔ − = + ⇔ =
• Với −
=⎡
⎢= ⇔ + = ⇔ − = + ⇔
⎢ =
⎣
2
2x 1
x 0 (lo¹i)
t 2 log (x 1) 2 (2x 1) x 1 5
x (tháa m·n)
4
Nghiệm của phương trình là: x 2= và
5
x .
4
=
0,50
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 41
42. Trang 5/5
2 Tính thể tích và tính góc... (1,00 điểm)
Gọi H là trung điểm của BC.
Suy ra A'H ⊥ (ABC) và AH =
1
2
BC = 2 21
a 3a a.
2
+ =
Do đó 2 2 2
A'H A'A AH= − 2
3a= A'H a 3.⇒ =
Vậy
3
A'.ABC ABC
1 a
V A'H.S
3 2
Δ= = (đvtt).
0,50
Trong tam giác vuông A'B'H có: 2 2
HB' A'B' A'H 2a= + = nên tam giác
B'BH cân tại B'.
Đặt ϕ là góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C' thì B'BHϕ =
Vậy
a 1
cos
2.2a 4
ϕ = = .
0,50
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần
như đáp án quy định.
-------------Hết-------------
C
A
B
B'
A'
H
C'
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 42
43. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2008
Môn thi: TOÁN, khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
x
y .
x 1
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho.
2. Tìm m để đường thẳng d : y x m= − + cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình sin3x 3 cos3x 2sin 2x.− =
2. Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình
x my 1
mx y 3
− =⎧
⎨
+ =⎩
có nghiệm ( )x; y thỏa mãn
xy 0.<
Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( )A 1; 1; 3 và đường thẳng d có phương trình
x y z 1
.
1 1 2
−
= =
−
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O.
Câu IV (2 điểm)
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) 2
P : y x 4x= − + và đường thẳng d : y x.=
2. Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 2 2
x y 2.+ = Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức ( )3 3
P 2 x y 3xy.= + −
PHẦN RIÊNG __________
Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b __________
Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục
tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x 2y 3 0.− + =
2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của ( )
18
5
1
2x x 0 .
x
⎛ ⎞
+ >⎜ ⎟
⎝ ⎠
Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm)
1. Giải phương trình ( )2
2 2log x 1 6log x 1 2 0.+ − + + =
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, o
BAD ABC 90 ,= = AB BC a,= =
AD 2a,= SA vuông góc với đáy và SA 2a.= Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.
Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a.
---------------------------Hết---------------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: …………...………………………….......... Số báo danh: …………………………
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 43
44. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2008
Môn: TOÁN, khối A
(Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang)
Câu Nội dung Điểm
I 2,00
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm)
Ta có
1
y 1 .
x 1
= +
−
• Tập xác định: D = {1}.
• Sự biến thiên: 2
1
y' 0, x D.
(x 1)
= − < ∀ ∈
−
0,25
Bảng biến thiên:
Hàm số không có cực đại và cực tiểu.
0,25
• Tiệm cận: Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 1. 0,25
• Đồ thị:
0,25
2 Tìm m để cắt (C) tại hai điểm phân biệt (1,00 điểm)d : y x m= − +
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là
( )2x
x m x mx m 0 1
x 1
= − + ⇔ − + =
−
(do không là nghiệm).x 1=
Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương
trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
0,50
x − ∞ 1 + ∞
y' − −
1 + ∞
y
−∞ 1
O 1
1
y
x
Điều kiện là : hoặc m 02
m 4m 0 m 4Δ = − > ⇔ > .
.
<
Vậy m hoặc4> m 0<
0,50
II 2,00
1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)
Phương trình đã cho
1 3
sin 3x cos3x sin 2x
2 2
⇔ − =
sin 3x sin 2x
3
π⎛ ⎞
⇔ − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,50
1/4
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 44
45. 3x 2x k2
3
3x 2x k2
3
π⎡
− = + π⎢
⇔ ⎢
π⎢ − = π − + π
⎢⎣
⇔
π 4π 2π
x k2π, x k
3 15
= + = +
5
(k ∈Z ).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
π 4π 2π
x k2π, x k
3 15
= + = +
5
(k ∈ ).Z
0,50
2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn (1,00 điểm)xy 0<
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có Thay vào phương
trình thứ hai ta có:
( )x my 1 1 .= +
( ) ( )2
3 m
m my 1 y 3 y 2 .
m 1
−
+ + = ⇔ =
+
Thay (2) vào (1) ta có 2
3m 1
x .
m 1
+
=
+
0,50
Xét điều kiện xy 0 :<
( )( )
( )
>⎡
+ − ⎢< ⇔ < ⇔
⎢ < −+
⎣
2
2
m 3
3m 1 3 m
xy 0 0 1
m .m 1
3
Vậy m hoặc3>
1
m .
3
< −
0,50
III 2,00
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) ... (1,00 điểm)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ( )u 1; 1; 2= − .
Do (P) vuông góc với d nên (P) có vectơ pháp tuyến là ( )Pn 1; 1; 2= − .
0,50
Phương trình mặt phẳng (P) là:
( ) ( ) ( )1. x 1 1. y 1 2. z 3 0− − − + − = x y 2z 6 0.⇔ − + − =
0,50
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho cân tại đỉnh O (1,00 điểm)MOAΔ
+) ⇒M d∈ ( )M t; t; 1 2t .− +
+) cân tại đỉnh O và M, O, A không thẳng hàng.MOAΔ OM OA⇔ =
0,25
OM hoặcOA= ( )
22 2
t t 2t 1 11⇔ + + + = t 1⇔ =
5
t
3
= − . 0,25
+) Với ta có Vớit 1= ( )M 1; 1; 3 .−
5
t
3
= − ta có
5 5 7
M ; ;
3 3 3
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 0,25
+) Thử lại: cả hai điểm M tìm được đều thỏa mãn điều kiện M, O, A không
thẳng hàng.
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là và( )1M 1; 1; 3−
2
5 5 7
M ; ;
3 3 3
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
0,25
IV 2,00
1 Tính diện tích hình phẳng (1,00 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là:
2
x 4x x x 0− + = ⇔ = hoặc x 3.=
0,25
Diện tích của hình phẳng cần tìm là:
S =
3 3
2 2
0 0
x 4x xdx x 3xdx.− + − = − +∫ ∫
0,25
2/4
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 45
46. Do nên . Suy ra0 x 3≤ ≤ 2
x 3x 0− + ≥
( )
3
3 3 2
2
0 0
x x
S x 3x dx 3
3 2
⎛ ⎞
= − + = − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
9
2
.
Vậy
9
S (đvdt).
2
=
0,50
2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của (1,00 điểm)( )3 3
P 2 x y 3xy= + −
Ta có: ( )( ) ( )( )2 2
P 2 x y x y xy 3xy 2 x y 2 xy 3xy.= + + − − = + − −
Đặt Do nênx y t.+ = 2 2
x y+ = 2
2
t 2
xy
2
−
= . Suy ra
2 2
3 2t 2 t 2 3
P 2t 2 3 t t 6t 3.
2 2 2
⎛ ⎞− −
= − − = − − + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,25
Do nên( )
2
x y 4xy+ ≥ ( )2 2
t 2 t 2 2 t 2≥ − ⇔ − ≤ ≤ . 0,25
Xét ( ) 3 23
f t t t 6t 3
2
= − − + + với [ ]t 2;2∈ − .
Ta có : ( ) 2
f ' t 3t 3t 6= − − +
( )
[ ]
[ ]
t 2 2;2
f ' t 0
t 1 2;2 .
⎡ = − ∈ −
= ⇔ ⎢
= ∈ −⎢⎣
Bảng biến thiên:
Vậy
13
max P , min P 7.
2
= = −
0,50
V.a 2,00
1 Tìm A (1,00 điểm)Ox,B Oy....∈ ∈
+) ( ) ( ) (A Ox, B Oy A a; 0 , B 0; b , AB a; b∈ ∈ ⇒ = − ). 0,25
+) Vectơ chỉ phương của d là ( )u 2; 1= .
Tọa độ trung điểm I của AB là
a b
; .
2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,25
+) A, B đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi
2a b 0
a 2AB.u 0
a
b 4.b 3 0I d
2
− + =⎧⎧ =⎧=⎪ ⎪
⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨
=− + =∈⎪ ⎩⎩ ⎪⎩
Vậy A 2( ) ( ); 0 , B 0; 4 .
0,50
13
2f(t)
t -2 1 2
+ 0 -f’(t)
-7 1
3/4
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 46
47. 2 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ... (1,00 điểm)
Số hạng tổng quát trong khai triển Niutơn của
18
5
1
2x
x
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
là
( )
k 6k
1818 kk k 5
k 1 18 185
1
T C . 2x . C .2 .x
x
−− −
+
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
18 k
.
0,50
Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn:
6k
18 0 k 15.
5
− = ⇔ =
Vậy số hạng cần tìm là 15 3
16 18T C .2 6528.= =
0,50
V.b 2,00
1 Giải phương trình logarit (1,00 điểm)
Điều kiện Phương trình đã cho tương đương vớix 1> − .
( ) ( )2
2 2log x 1 3log x 1 2 0.+ − + + = 0,25
Đặt ta được hoặc(2t log x 1= )+ 1 .2
t 3t 2 0 t− + = ⇔ = t 2= 0,25
Với ta có (thỏa mãn điều kiện).t 1= ( )2log x 1 1 x 1 2 x 1+ = ⇔ + = ⇔ =
Với ta có (thỏa mãn điều kiện).t 2= ( )2log x 1 2 x 1 4 x 3+ = ⇔ + = ⇔ =
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x 1, x 3.= =
0,50
2 Chứng minh BCNM là hình chữ nhật và tính ... (1,00 điểm)
+) MN là đường trung bình của Δ MN // AD vàSAD ⇒
1
MN AD
2
=
⇒ MN // BC và BCNM là hình bình hành (1).MN BC= ⇒
0,25
S
A
B
C
NM
D
+) ( ) (BC AB,BC SA BC SAB BC BM 2 .⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ )
0,25
Từ (1) và (2) suy ra BCNM là hình chữ nhật.
+) Ta có: S 2BCNM BCM S.BCNM S.BCMS V 2V .Δ= ⇒ =
3
S.BCM C.SBM SBM SAB
1 1 1 1 a
V CB.S CB.S CB. .SA.AB .
3 6 6 2 6
Δ Δ= = = = =V
0,50
3
S.BCNM
a
Vậy V (đvtt).
3
=
NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh−
®¸p ¸n quy ®Þnh.
----------------Hết----------------
4/4
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 47
48. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn thi: TOÁN; Khối: A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số
2
2 3
x
y
x
+
=
+
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại
hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ .O
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
( )
( )( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −
.
2. Giải phương trình ( )3
2 3 2 3 6 5 8 0 .x x x− + − − = ∈
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân ( )
2
3 2
0
cos 1 cosI x
π
= −∫ xdx .
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp có đáy.S ABCD ABCD là hình thang vuông tại A và ;D 2AB AD a= = , ;CD a= góc giữa
hai mặt phẳng và( )SBC ( )ABCD bằng Gọi là trung điểm của cạnh60 . I AD . Biết hai mặt phẳng ( )SBI
và ( cùng vuông góc với mặt phẳng)SCI ( )ABCD , tính thể tích khối chóp theo.S ABCD .a
Câu V (1,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương , ,x y z thoả mãn ( ) 3 ,x x y z yz+ + = ta có:
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
3 3
3 5
3
.x y x z x y x z y z y z+ + + + + + + ≤ +
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho hình chữ nhật,Oxy ABCD có điểm là giao điểm của hai đường
chéo
(6;2)I
AC và BD . Điểm ( )1;5M thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh thuộc đường
thẳng . Viết phương trình đường thẳng
CD
: 5 0x yΔ + − = AB .
2. Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng,Oxyz ( ): 2 2 4 0P x y z− − − = và mặt cầu
( ) 2 2 2
: 2 4 6 11 0.S x y z x y z+ + − − − − = Chứng minh rằng mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo một
đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình1z 2z 2
2 10z z 0+ + = . Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2 .A z z= +
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho đường tròn,Oxy ( ) 2 2
: 4 4 6C x y x y 0+ + + + = và đường thẳng
với m là tham số thực. Gọi là tâm của đường tròn ( Tìm để: 2 3x my mΔ + − + = 0, I ).C m Δ cắt ( )C
tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác lớn nhất.IAB
2. Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng,Oxyz ( ): 2 2 1P x y z 0− + − = và hai đường thẳng
1
1 9
:
1 1 6
x y z+ +
Δ = = , 2
1 3
:
2 1
1
2
x y z− − +
Δ = =
−
. Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 1Δ sao cho
khoảng cách từ M đến đường thẳng 2Δ và khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( )P bằng nhau.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình
( ) ( )
( )2 2
2 2
2 2log 1 log
, .
3 81x xy y
x y xy
x y
− +
⎧ + = +⎪
∈⎨
=⎪⎩
---------- Hết ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh................................
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 48
49. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn: TOÁN; Khối A
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) Khảo sát…
• Tập xác định:
3
.
2
D
⎧ ⎫
= −⎨ ⎬
⎩ ⎭
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
( )
2
1
' 0,
2 3
y x
x
−
= < ∀
+
.D∈
Hàm số nghịch biến trên:
3
;
2
⎛ ⎞
−∞ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
và
3
;
2
⎛ ⎞
− +∞
⎝ ⎠
⎜ ⎟ .
- Cực trị: không có.
0,25
- Giới hạn và tiệm cận:
1
lim lim
2x x
y y
→−∞ →+∞
= = ; tiệm cận ngang:
1
2
y = .
3 3
2 2
lim , lim
x x
y y− +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
→ − → −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= −∞ = +∞ ; tiệm cận đứng:
3
2
x = − .
0,25
- Bảng biến thiên:
Trang 1/4
0,25
• Đồ thị:
0,25
2. (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến…
Tam giác OAB vuông cân tại suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng,O 1± . 0,25
Gọi toạ độ tiếp điểm là 0 0( ; )x y , ta có: 2
0
1
1
(2 3)x
−
= ±
+
⇔ 0 2x = − hoặc 0 1.x = − 0,25
• , ; phương trình tiếp tuyến0 1x = − 0 1y = y x= − (loại). 0,25
I
(2,0 điểm)
• , ; phương trình tiếp tuyến0 2x = − 0 0y = 2y x= − − (thoả mãn).
Vậy, tiếp tuyến cần tìm: 2.y x= − −
x −∞
3
2
− +∞
y' − −
y
1
2
−∞
+∞
1
2
y
xO
1
2
y =
3
2
x = −
0,25
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 49
50. Trang 2/4
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) Giải phương trình…
Điều kiện: sin 1x ≠ và
1
sin
2
x ≠ − (*). 0,25
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: (1 2sin )cos 3(1 2sin )(1 sin )x x x− = + − x
⇔ cos 3sin sin 2 3cos2x x x− = + x ⇔ cos cos 2
3 6
x x
π π⎛ ⎞ ⎛
+ = −⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
0,25
⇔ 2
2
x k
π
π= + hoặc
2
.
18 3
x k
π π
= − + 0,25
Kết hợp (*), ta được nghiệm: ( )
2
18 3
x k k
π π
= − + ∈ . 0,25
2. (1,0 điểm) Giải phương trình…
Đặt 3
3 2u x= − và 6 5 , 0v x v= − ≥ (*). Ta có hệ: 3 2
2 3 8
5 3
u v
u v
+ =⎧
⎨
8+ =⎩
0,25
⇔
3 2
8 2
3
15 4 32 40 0
u
v
u u u
−⎧
=⎪
⎨
⎪ + − + =⎩
⇔
2
8 2
3
( 2)(15 26 20) 0
u
v
u u u
−⎧
=⎪
⎨
⎪ + − + =⎩
0,25
⇔ u và v (thoả mãn).2= − = 4 0,25
II
(2,0 điểm)
Thế vào (*), ta được nghiệm: 2.x = − 0,25
Tính tích phân…
2 2
5 2
0 0
cos cos .I xdx x
π π
= −∫ ∫
III
dx 0,25
Đặt t xsin , cos ;
(1,0 điểm)
dt x= = dx 0, 0; , 1.
2
x t x t
π
= = = =
( ) ( )
112 2
2 25 2 2 3 5
1
0 0 0 0
2 1 8
cos 1 sin cos 1 .
3 5 15
I xdx x xdx t dt t t t
π π
⎛ ⎞
= = − = − = − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
0,50
( )
2 2 2
2
2
0 0 0
1 1 1
cos 1 cos2 sin 2 .
2 2 2 4
I xdx x dx x x
π π π
π⎛ ⎞
= = + = + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ Vậy 1 2
8
.
15 4
I I I
π 0,25= − = −
Tính thể tích khối chóp...
( ) (SIB ABCD)⊥ và ( ) ( )SIC ABCD ;⊥ suy ra ( )SI ABCD⊥ .
Kẻ IK BC⊥ ( )K BC∈ ⇒ ( )BC SIK⊥ ⇒ SKI = 60 .
0,50
Diện tích hình thang :ABCD 2
3 .ABCDS a=
Tổng diện tích các tam giác ABI và bằngCDI
2
3
;
2
a
suy ra
2
3
.
2
IBC
a
SΔ =
0,25
IV
(1,0 điểm)
( )
2 2
5BC AB CD AD a= − + = ⇒
2 3 5
5
IBCS a
IK
BC
Δ
= = ⇒
3 15
.tan .
S
A B
5
a
SI IK SKI= =
Thể tích khối chóp . :S ABCD
3
1 3 1
. .
3 5
ABCD
a5
SI= =V S
0,25
I
CD K
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 50
51. Trang 3/4
Câu Đáp án Điểm
Chứng minh bất đẳng thức…
Đặt và,a x y b x z= + = + .c y z= +
Điều kiện ( ) 3x x y z yz+ + = trở thành: c2 2 2
.a b ab= + −
a b abc c+ + ≤ , ,a b c
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
3 3 3
3 5 ; dương thoả mãn điều kiện trên.
0,25
2 2 2
c a b ab= + − 2
( ) 3a b ab= + − 2 23
( ) ( )
4
a b a b≥ + − + = 21
( )
4
a b+ ⇒ (1).2a b c+ ≤ 0,25
3 3 3
3 5a b abc c+ + ≤ 3
( ) 3 5a b a b ab abc c+ + − + ≤
.
⇔ ( ) 2 2
⇔ 2 3
( ) 3 5a b c abc c+ + ≤
⇔ 2
( ) 3 5a b c ab c+ + ≤
0,25
V
(1,0 điểm)
(1) cho ta: ( ) và2
2a b c c+ ≤ 23 2
) 3 ;
4
ab a b c≤ + ≤3 ( từ đây suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi: .a b c= = ⇔ x y z= =
0,25
1. (1,0 điểm) Viết phương trình ...AB
Gọi N đối xứng với M qua suy ra,I ( )11; 1N − và N thuộc đường thẳng .CD 0,25
VI.a
(2,0 điểm)
E ∈Δ ⇒ ( );5 ;E x x− ( )6;3IE x x= − − và ( 11;6 )NE x x= − − .
E là trung điểm ⇒CD .IE EN⊥
. 0IE EN = ⇔ ( 6)( 11) (3 )(6 ) 0x x x x− − + − − = ⇔ 6x = hoặc
7.x =
0,25
• 6x = ⇒ ( )0; 3 ;IE = − phương trình : 5 0AB y .− = 0,25
• 7x = ⇒ ( )1; 4 ;IE = − phương trình : 4 19 0.AB x y− + = 0,25
2. (1,0 điểm) Chứng minh cắt xác định toạ độ tâm và tính bán kính…( )P ( ),S
( )S có tâm bán kính(1;2;3),I 5.R =
Khoảng cách từ đếnI ( ):P ( ),( )d I P =
2 4 3 4
3
3
;R
− − −
= < suy ra đpcm.
0,25
Gọi và lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến,H r
H là hình chiếu vuông góc của trênI ( ):P ( ),( ) 3,IH d I P= = 2 2
4.r R IH= − =
0,25
Toạ độ thoả mãn:( ; ; )H x y z=
1 2
2 2
3
2 2 4 0
x t
y t
z t
x y z
= +⎧
⎪ = −⎪
⎨
= −⎪
⎪ .− − − =⎩
0,25
Giải hệ, ta được (3; 0; 2).H 0,25
Tính giá trị của biểu thức…
2
36 36 ,iΔ = − = 1 1 3z i= − + và 2 1 3 .z i= − − 0,25
VII.a
(1,0 điểm)
2 2
1| | ( 1) 3 10z = − + = và 2 2
2| | ( 1) ( 3) 10.z = − + − = 0,50
M BA
I
C
D E N
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 51
52. Trang 4/4
Câu Đáp án Điểm
2 2
1 2| | | | 20.A z z= + = 0,25
1. (1,0 điểm) Tìm ...m
( )C có tâm bán kính( 2; 2),I − − 2.R = 0,25
Diện tích tam giác :IAB
1
. .sin
2
S IA IB AIB= ≤ 21
1;
2
R = lớn nhất khi và chỉ khiS .IA IB⊥ 0,25
Khi đó, khoảng cách từ đếnI :Δ ( , ) 1
2
R
d I Δ = = ⇔
2
2 2 2 3
1
1
m m
m
− − − +
=
+
0,25
⇔ ( ) hoặc
2 2
1 4 1m m− = + ⇔ 0m =
8
15
m = . 0,25
2. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm ...M
2Δ qua và có vectơ chỉ phương(1;3; 1)A − (2;1; 2).u = −
1M ∈Δ ⇒ ( 1 ; ; 9 6 ).M t t t− + − +
(2 ;3 ;8 6 ),MA t t t , (8 14;20 14 ; 4)MA u t t t⎡ ⎤= − − − = − − −⎣ ⎦ ⇒ ,MA u⎡ ⎤
⎣ ⎦
2
3 29 88 68.t t= − +
0,25
Khoảng cách từ M đến 2 :Δ 2
2
,
( , ) 29 88 68.
MA u
d M t t
u
⎡ ⎤
⎣ ⎦
Δ = = − +
Khoảng cách từ M đến ( ):P ( )
( )
22 2
1 2 12 18 1 11 20
,( ) .
31 2 2
t t t t
d M P
− + − + − − −
= =
+ − +
0,25
2 11 20
29 88 68
3
t
t t
−
− + = ⇔ 2
35 88 53 0t t− + = ⇔ 1t = hoặc
53
.
35
t = 0,25
VI.b
(2,0 điểm)
1t = ⇒ (0;1; 3);M −
53
35
t = ⇒
18 53 3
; ;
35 35 35
M
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 0,25
Giải hệ phương trình…VII.b
Với điều kiện (*), hệ đã cho tương đương:0xy >
2 2
2 2
2
4
x y xy
x xy y
⎧ + =⎪
⎨
− + =⎪⎩
0,25
(1,0 điểm)
2
4
x y
y
=⎧
⎨
=⎩ 2.
x y
y
=⎧
⎨
= ±⎩
⇔ ⇔ 0,50
( ; ) (2;2)x y = ( ; ) ( 2; 2).x y = − −Kết hợp (*), hệ có nghiệm: và 0,25
-------------Hết-------------
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 52
53. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009
Môn: TOÁN; Khối: A
Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số với là tham số thực.3 2
(2 1) (2 ) 2 (1),y x m x m x= − − + − + m
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi(1) 2.m =
2. Tìm các giá trị của để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số
có hoành độ dương.
m (1) (1)
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình 2
(1 2sin ) cos 1 sin cos .x x x+ = + + x
2. Giải bất phương trình 1 2 2 5 1 ( ).x x x x+ + − ≤ + ∈
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân
1
2
0
( )x x
.I e x e d−
= +∫ x
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều có.S ABCD , 2AB a SA a= = . Gọi ,M N và lần lượt là trung điểm
của các cạnh và CD Chứng minh rằng đường thẳng
P
,SA SB . MN vuông góc với đường thẳng
Tính theo thể tích của khối tứ diện
.SP
a .AMNP
Câu V (1,0 điểm)
Cho và b là hai số thực thỏa mãna 0 a b 1.< < < Chứng minh rằng a b2 2
ln ln ln ln .b a a b− > −
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác,Oxy ABC có C( 1; 2),− − đường trung tuyến
kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5 9x y 0+ − = và 3 5 0x y .+ − =
Tìm tọa độ các đỉnh A và .B
2. Trong không gian với hệ tọa độ cho các mặt phẳng và
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm vuông góc với hai
mặt phẳng
,Oxyz 1( ): 2 3 4 0P x y z+ + + =
2( ): 3 2 1 0.P x y z+ − + = ( )P (1; 1; 1),A
1( )P và ( )2 .P
Câu VII.a (1,0 điểm)
Cho số phức thỏa mãn Tìm phần thực và phần ảo củaz 2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 ) .i i z i i+ − = + + + z .z
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho các đường thẳng,Oxy 1 : 2 3x y 0Δ − − = và
Tìm tọa độ điểm
2 : 1x yΔ + + = 0.
M thuộc đường thẳng 1Δ sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 2Δ
bằng
1
2
⋅
2. Trong không gian với hệ tọa độ cho tam giác có và trọng tâm
Viết phương trình đường thẳng
,Oxyz ABC (1; 1; 0), (0; 2; 1)A B
(0; 2; 1).G − Δ đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳngC ( ).ABC
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức:
4 3 7
2 .
z i
z i
z i
− −
= −
−
---------- Hết ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 53
54. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009
Môn: TOÁN; Khối: A
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị …
Khi hàm số trở thành2,m = (1) 3 2
3 2y x x= − + .
• Tập xác định: .
• Chiều biến thiên:
- Ta có hoặc2
' 3 6 ;y x x= − ' 0 0y x= ⇔ = 2.x =
- Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; và0)−∞ (2; ).+∞
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
0,25
• Cực trị:
- Hàm số đạt cực đại tại y0,x = CĐ = y(0) = 2.
- Hàm số đạt cực tiểu tại y2,x = CT = y(2) = −2.
• Các giới hạn tại vô cực: vàlim
x
y
→−∞
= −∞ lim .
x
y
→+∞
= +∞
0,25
• Bảng biến thiên:
Trang 1/4
0,25
• Đồ thị
0,25
2. (1,0 điểm) Tìm các giá trị của m …
Ta có ( )2
' 3 2 2 1 2y x m x= − − + − .m
m thỏa mãn yêu cầu của bài toán khi và chỉ khi phương trình có hai
nghiệm dương phân biệt
' 0y = 0,25
2
' (2 1) 3(2 ) 0
2(2 1)
0
3
2
0
3
m m
m
S
m
P
⎧
⎪Δ = − − − >
⎪
−⎪
⇔ = >⎨
⎪
−⎪
= >⎪⎩
0,25
I
(2,0 điểm)
5
2.
4
m⇔ < < 0,50
x
y
O
2
2
−2
x −∞ 0 2 +∞
y' + 0 − 0 +
y 2 +∞
−∞ −2
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 54
55. Trang 2/4
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) Giải phương trình…
Phương trình đã cho tương đương với (sin 1)(2sin 2 1) 0x x+ −
II
= 0,50
• sin 1x = −
π
2π ( )
2
x k k⇔ = − + ∈
(2,0 điểm)
. 0,25
•
1
sin 2
2
x =
π
π
12
x k⇔ = hoặc+
5π
π ( )
12
x k k= + ∈ . 0,25
2. (1,0 điểm) Giải bất phương trình …
Điều kiện: 2.x ≥ 0,25
Bất phương trình đã cho tương đương với ( 1)( 2) 2x x+ − ≤ 0,25
2 3x⇔ − ≤ ≤ . 0,25
Kết hợp điều kiện ta được tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là [ ]2; 3 . 0,25
1 1 1 11
0
0 0 0 0
1
1 .x x x x x
I e dx xe dx e xe dx xe dx
e
− −
= + = − + = − +∫ ∫ ∫ ∫ 0,25
Đặt và ta có và .u x= ,x
dv e dx= du dx= x
v e= 0,25
11 1
0 0
0
1 1
1 1x x x
I xe e dx e e
e e
= − + − = − + −∫ 0,25
III
(1,0 điểm)
1
2
e
= − ⋅ 0,25
Ta có //MN CD và suy ra,SP CD⊥ .MN SP⊥ 0,50
IV
(1,0 điểm)
Gọi là tâm của đáyO .ABCD
Ta có 2 2 6
2
a
SO SA OA= − = ⋅
.
1 1
4 8
AMNP ABSP S ABCDV V V= =
3
21 1 6
. .
8 3 48
a
SO AB= = ⋅
0,50
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2
ln ln
1 1
a b
a b
< ⋅
+ +
0,25
Xét hàm số 2
ln
( ) , (0; 1).
1
t
f t t
t
= ∈
+
Ta có
2
2 2
1
( 1) 2 ln
'( ) 0, (0; 1).
( 1)
t t t
tf t t
t
+ −
= > ∀
+
∈
Do đó ( )f t đồng biến trên khoảng (0; 1).
0,50
V
(1,0 điểm)
Mà nên0 1a b< < < , ( ) ( ).f a f b< Vậy 2 2
ln ln
1 1
a b
a b
< ⋅
+ +
0,25
S
M
N
A
B C
D
PO
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 55
56. Trang 3/4
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) Tìm tọa độ các đỉnh A và B …
Đường thẳng AC qua và vuông góc với đường thẳngC 3 5 0x y+ − = .
Do đó : 3 1 0.AC x y− + =
0,25
Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ
5 9 0
(1; 4).
3 1 0
x y
A
x y
+ − =⎧
⇒⎨
− + =⎩
0,25
Điểm B thuộc đường thẳng và trung điểm của3 5 0x y+ − = BC thuộc đường
thẳng 5 Tọa độ điểm9x y+ − = 0. B thỏa mãn hệ
3 5 0
1 2
5 9
2 2
x y
x y
+ − =⎧
⎪
− −⎨ ⎛ ⎞
+ − =⎜ ⎟⎪
⎝ ⎠⎩
0
0,25
(5; 0).B⇒ 0,25
2. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng (P) …
• (P1) có vectơ pháp tuyến 1 (1; 2; 3).n =
• (P2) có vectơ pháp tuyến 2 (3; 2; 1).n = −
0,25
• (P) có vectơ pháp tuyến (4; 5; 2).n = − 0,25
VI.a
(2,0 điểm)
(P) qua A(1; 1; 1) nên ( ) : 4 5 2 1 0.P x y z− + − = 0,50
Hệ thức đã cho tương đương với (1 2 ) 8i z i+ = + 0,25
2 3 .z i⇔ = − 0,50
VII.a
(1,0 điểm)
Do đó z có phần thực là 2 và phần ảo là 3.− 0,25
1. (1,0 điểm) Tìm tọa độ điểm M …
1 (2 3; ).M M t t∈Δ ⇒ + 0,25
Khoảng cách từ M đến là2Δ 2
| 2 3 1|
( , )
2
t t
d M
+ + +
Δ = ⋅ 0,25
2
1
( , )
2
d M Δ =
1
5
3
t
t
= −⎡
⎢⇔
⎢ = − ⋅
⎣
0,25
Vậy hoặc(1; 1)M −
1 5
; .
3 3
M
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,25
2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng Δ …
Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ
1
0
3
3
2
3
1
1
3
x
y
z
+⎧
=⎪
⎪
+⎪
=⎨
⎪
+⎪
= −⎪
⎩
( 1; 3; 4).C⇒ − − 0,25
Ta có ( 1; 1; 1), ( 1; 1; 1).AB AG= − = − − 0,25
Mặt phẳng ( )ABC có vectơ pháp tuyến (1; 1; 0).n = 0,25
VI.b
(2,0 điểm)
Phương trình tham số của đường thẳng Δ là
1
3
4.
x t
y t
z
= − +⎧
⎪
= +⎨
⎪ = −⎩
0,25
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 56
57. Trang 4/4
Câu Đáp án Điểm
Điều kiện: .z i≠
Phương trình đã cho tương đương với 2
(4 3 ) 1 7 0.z i z i− + + + =
0,25
VII.b
2
3 4 (2 ) .i iΔ = − = − 0,50
(1,0 điểm)
Nghiệm của phương trình đã cho là và1 2z i= + 3 .z i= + 0,25
-------------Hết-------------
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 57
![bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao §¼nG n¨m 2002
------------------------------ M«n thi : to¸n
§Ò chÝnh thøc (Thêi gian lµm bµi: 180 phót)
_____________________________________________
C©u I (§H : 2,5 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm)
Cho hµm sè : (1) ( lµ tham sè).23223
)1(33 mmxmmxxy −+−++−= m
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (1) khi .1=m
2. T×m k ®Ó ph−¬ng tr×nh: − cã ba nghiÖm ph©n biÖt.033 2323
=−++ kkxx
3. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè (1).
C©u II.(§H : 1,5 ®iÓm; C§: 2,0 ®iÓm)
Cho ph−¬ng tr×nh : 0121loglog 2
3
2
3 =−−++ mxx (2) ( lµ tham sè).m
1 Gi¶i ph−¬ng tr×nh (2) khi .2=m
2. T×m ®Ó ph−¬ng tr×nh (2) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n [m 3
3;1 ].
C©u III. (§H : 2,0 ®iÓm; C§ : 2,0 ®iÓm )
1. T×m nghiÖm thuéc kho¶ng )2;0( π cña ph−¬ng tr×nh: .32cos
2sin21
3sin3cos
sin +=
+
+
+ x
x
xx
x5
2. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: .3,|34| 2
+=+−= xyxxy
C©u IV.( §H : 2,0 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm)
1. Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu ®Ønh cã ®é dµi c¹nh ®¸y b»ng a. GäiABCS. ,S M vµ lÇn l−îtN
lµ c¸c trung ®iÓm cña c¸c c¹nh vµ TÝnh theo diÖn tÝch tam gi¸c , biÕt r»ngSB .SC a AMN
mÆt ph¼ng ( vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng .)AMN )(SBC
2. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz cho hai ®−êng th¼ng:
∆ vµ ∆ .
=+−+
=−+−
0422
042
:1
zyx
zyx
+=
+=
+=
tz
ty
tx
21
2
1
:2
a) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®−êng th¼ng)(P 1∆ vµ song song víi ®−êng th¼ng .2∆
b) Cho ®iÓm . T×m to¹ ®é ®iÓm)4;1;2(M H thuéc ®−êng th¼ng 2∆ sao cho ®o¹n th¼ng MH
cã ®é dµi nhá nhÊt.
C©u V.( §H : 2,0 ®iÓm)
1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy , xÐt tam gi¸c vu«ng t¹i ,ABC A
ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng lµBC ,033 =−− yx c¸c ®Ønh vµA B thuéc trôc hoµnh vµ
b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp b»ng 2. T×m täa ®é träng t©m cña tam gi¸c .G ABC
2. Cho khai triÓn nhÞ thøc:
nx
n
n
nxx
n
n
xnx
n
nx
n
nxx
CCCC
+
++
+
=
+
−−−−
−
−−−−−−
3
1
32
1
13
1
2
1
12
1
032
1
22222222 L
( n lµ sè nguyªn d−¬ng). BiÕt r»ng trong khai triÓn ®ã C vµ sè h¹ng thø t−13
5 nn C=
b»ng , t×m vµn20 n x .
----------------------------------------HÕt---------------------------------------------
Ghi chó: 1) ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm C©u V.
2) C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.
Hä vµ tªn thÝ sinh:.................................................... Sè b¸o danh:.....................
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 1](https://image.slidesharecdn.com/www-150614131912-lva1-app6891/85/Cac-d-thi-d-i-h-c-t-nam-2002-den-nam-2012-LuyenjthiBMT-1-320.jpg)
