Fun¸c˜oes Afins e Lineares
Professor Luiz Fernando
4 de fevereiro de 2013
Resultados importantes
FUNC¸ ˜AO AFIM: Uma fun¸c˜ao f : → chama-se afim quando existem constantes a, b ∈ tais que f(x) = ax+b
para todo x ∈ .
TEOREMA FUNDAMENTAL DA PROPORCIONALIDADE: Seja f : → uma fun¸c˜ao crescente. As seguintes
informa¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(1) f(nx) = nf(x) para todo n inteiro e x real.
(2) Pondo a = f(1), tem-se f(x) = ax para todo x real.
(3) f(x + y) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y ∈ .
TEOREMA(Caracteriza¸c˜ao da Fun¸c˜ao Afim): Seja f : → uma fun¸c˜ao mon´otona injetiva. Se o acr´escimo
f(x + h) − f(x) = ϕ(h) depender apenas de h, mas n˜ao de x, ent˜ao f ´e uma fun¸c˜ao afim.
Atividades
1. Uma caixa d´agua de 1000 litros tem um furo no fundo por onde escoa ´agua a uma vaz˜ao constante. Ao meio
dia de certo dia ela foi cheia e, `as 6 da tarde desse dia, s´o tinha 850 litros. Quando ficar´a pela metade?
2. Pessoas apreessadas podem diminuir o tempo gasto em uma escada rolante subindo alguns degraus da escada
no percurso. Para certa escada, observa-se que uma pessoa gasta 30 segundos na escada quando sobe 5 degraus e 20
segundos quando sobe 10 degraus. Quantos s˜ao os degraus da escada e qual o tempo normalmente gasto no percurso?
3. Augusto, certo dia, fez compras em 5 lojas. Em cada loja, gastou metade do que possuia e pagou, na saida,
2 reais de estacionamento. Se ap´os toda essa atividade ainda ficou com 20 reais, que quantia ele tinha inicialmente?
4. Arnaldo d´a a Beatriz tantos reais quanto Beatriz possui e d´a a Carlos tantos reais quanto Carlos possui. Em
seguida, Beatriz d´a a Arnaldo e a Carlos tantos reais quanto cada um possui. Finalmente, Carlos faz o mesmo.
1

Terminam todos com 16 reais cada. Quanto cada um possuia no in´ıcio?
5. Resolva a inequa¸c˜ao
1
2x+1 < 1
1−x .
6. (AV 1 - MA 11 - 2011) Um pequeno barco a vela, com 7 tripulantes, deve atravessar o aceano em 42 dias. Seu
suprimento de ´agua pot´avel permite a cada pessoa dispor de 3,5 litros de ´agua por dia (e ´e isso que os tripulantes
fazem). Ap´os 12 dias de viagem, o barco encontra 3 n´aufragos numa jangada e os acolhe. Pergunta-se:
(a)Qauntos litros de ´agua por dia caber˜ao agora a cada pessoa se a viagem prosseguir como antes?
(b)se os dez ocupantes de agora continuarem consumindo 3,5 litros de ´agua cada um, em quantos dias, no m´aximo,
ser´a necess´ario encontrar uma ilha onde haja agua?
7.(AV 3 - MA 11 - 2011) Considere a fun¸c˜ao f : [1, +∞] → , definida por f(x) = x3
− x2
.
(a)Defina fun¸c˜ao crescente e prove que f ´e crescente.
(b)Defina fun¸c˜ao ilimitada e prove que f ´e ilimitada.
8. (AV 1 - MA 11 - 2012) Considere as seguintes possibilidades a respeito das fun¸c˜oes afins f, g : → ,
em que f(x) = ax + b e g(x) = cx + d.
A) f(x) = g(x) para todo x real.
B) f(x) = g(x), seja qual for x ∈ .
C) Existe um ´unico x real, tal que f(x) = g(x).
Com essas informa¸c˜oes:
i) Exprima cada uma das possibilidades acima por meio de rela¸c˜oes entre os coeficientes a,b,c e d.
ii) Interprete geometricamente cada umas das trˆes possibilidades usando os gr´aficos de f e g.
9. Dadas as progress˜oes aritm´eticas
(a1, a2, ..., an, ...) e (b1, b2, ..., bn, ...)
mostre que existe uma, e somente uma, fun¸c˜ao afim f : → tal que f(a1) = b1, f(a2) = b2, ..., f(an) = bn, ...
10. A e B s˜ao locadoras de autom´ovel. A cobra 1 real por quilˆometro rodado mais uma taxa de 100 reais fixa.
B cobra 80 centavos por quilˆometro mais uma taxa fixa de 200 reais. Discuta a vantagem de A sobre B ou de B
sobre A em fun¸c˜ao do n´umero de quilˆometro a serem rodados.
11. Um carro sai de A para B e outro sai de B para A, simultaneamente, em linha reta, com velocidades
constantes e se cruzam em um ponto situado a 720 metros do ponto de partida mais pr´oximo. Completada a
viagem, cada um deles p´ara por 10 minutos e regressa, com a mesma velocidade da ida. Na volta, cruzam-se em
um ponto situado a 400 metros do outro ponto de partida. Qual a distˆancia de A at´e B?
2