1. CONJUNTOS
Pertenencia extensi n comprensi n conjuntos finitos e– ó – ó –
infinitos conjunto vac o conjunto unitario conjunto universal– í – –
subconjuntos igualdad de conjuntos conjunto potencia– – – –
complemento de un conjunto

2. 2

3. Concepto intuitivo
3
 …La idea de conjunto es básica en el pensamiento humano.
La idea es algo puramente intituivo, algo no definido, pero si
entendido por cada persona como resultado de su propia
experiencia. Gracias a que la idea de un conjunto es algo
entendido podemos identificarlo como una agrupación o
colección de cualquier tipo de entidades u objetos que tienen
propiedades comunes. Estos objetos se llaman elementos a
miembros del conjunto…
 EJEMPLOS
 Los n meros 2, 3, 4, 5 forman un conjunto de cuatroú
elementos
 Los d as de la semana forman un conjunto de siete d as.í í

4. Notaci nó
4
 Usualmente los conjuntos se denotan por letras
may sculas:ú
A, B, C, …X, Y, Z
y los elementos que lo determinan se designan
por letras min sculasú
a, b, c,…..x, y, z
 Si un conjunto A est formado por losá
elementos 1, 2, a, b se escribe:
A={1, 2, a, b}
y se lee: A es el conjunto de los elementos 1, 2,“ a,
b”
Se observa que los elementos van separados por
comas y encerrada entre llaves

5. Relaci n de pertenenciaó
 …Si consideramos un conjunto, y algunos elementos
puede suceder que estos se encuentran dentro o fuera
del conjunto, tal situación se indica mediante la
siguiente simbología..
3 nopertenecealconjunto
3 indica :
3noes el elemento del conjunto
A
A
A

∉ 

5
pertenecealconjunto
indica :
es el elemento del conjunto
a A
a A
a A

∈ 

A
a
3

6. Determinaci n de un conjuntoó
6
 Existen dos maneras de especificar o determinar un conjunto
dado: extensi n y por comprensi n.ó ó
 Por extensión. Un conjunto queda determinado por extensión cuando se
conocen individualmente todos los elementos.
Ejemplos
(1) A= {a, e, i, o, u}
(2) B={1, 2, 3, 4, .}…
(3) C={a, b, {b, c}, }
 Por comprensión. Un conjunto queda determinado por comprensión,
cuando éste se define por medio de una propiedad la cual deben satisfacer
cada uno de sus elementos
Ejemplos
A = { x / x es una vocal }
Condición

7. Determinaci n de un conjuntoó
7  Si denotamos por x a un elemento cualquiera del conjunto A y
por P a
la propiedad caracter stica, se escribe:í
A={x / x cumple P} o A={x / P(x) es verdadera}
y se lee:
“A es el conjunto de los elementos x, tal que x cumple la
condici nó P”
La barra / se lee “tal que o” “tales que .”
Escribir x ∈A significa que x cumple la propiedad P y
rec procamente.í
Ejemplos
(1) A={x / x es un n mero par}ú
(2) B={x / x es un n mero natural y m ltiple de 3}ú ú

8. Conjuntos finitos e infinitos
8
 Desde el punto de vista intuitiva, un conjunto es finito si
consta de un determinado número de elementos distintos, es
decir, si consta de un primer y último elemento, o si al contar
sus diferentes elementos, el proceso de contar se termina. En
caso contrario, el conjunto infinito.
EJEMPLOS
(1) A={x / x es un día de la semana} es un conjunto finito
(2) B={1, 2, 3, 4, 5} es un conjunto finito
(3) C={x / x es un número par} es un conjunto infinito
(4) D={x / x es un habitante de la tierra} es un conjunto finito

9. Conjunto especiales
9
 Conjunto vacío o nulo.
Es aquel que no tiene elementos. Se le denota
simb licamente por la letra griegaó φ (phi) y se
define como:
φ = {x / x x≠ }
y se lee: “para cualquier x tal que: x es diferente de x, no es
satisfecho por algún elemento .”
Para indicar que un conjunto A no tiene elementos
se escribe A=φ, en caso contrario se escribe A ≠φ.
EJEMPLOS
(1) A = {x∈ R / x2
+4 = 0}
(2) B = {x∈ N / 5 < x < 6}
(3) C = {x∈ Z / 15x2
-11x+2=0}

10. 10
 Conjunto Unitario.
Es el conjunto que contiene uno y s loó
elemento
EJEMPLOS.
(1) A={a} es un conjunto unitario
(2) B={x∈N / x2
- 4=0} es un conjunto unitario
 Conjunto Universal.
El conjunto universal, tambi n llamadoé
universo del discurso y denotado por U,
contiene a todos los conjuntos que podemos
mencionar en una materia.
EJEMPLO.
El conjunto universal U={x∈Z / -2 ≤ x <
7} es el universo de los conjuntos A, B y
C tales que:

11. 11
 Subconjuntos.
Sean A≠φ y B≠φ. Diremos que A es un
subconjunto de B, si todo elemento de A es
tambi n elemento deé B, formalmente:
Α ⊆ B ↔ ∀ a∈A →
a∈B
Observación:
(1) Α ⊆ A
(2) Α ⊆ B ∧ B ⊆ C → A ⊆ C
(3) φ ⊆ A
(4) A es un subconjunto de B equivale a decir, que A
es una parte de B o bien que A est incluido ená
B.

12. 12
 Igualdad de Conjuntos
Dos conjuntos son iguales si
ambos tienen los mismos elementos o si ambos
son vac os.í
Formalmente: A ≡ B ↔ (A ⊆ B ) ∧ (B ⊆
A)
EJEMPLOS
Dados los conjuntos
(1) A = {0, 3}
(2) B = {x / x(x 3) = 0}–
(3) C = {x / x(x 3)(– x 1) = 0}–
Es cierto que A¿ ≡ B ? O bien A ≡ C ?

13. 13
 Conjunto Potencia.
Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia
o conjunto de partes de A, al conjunto de todos los
subconjuntos del conjunto A. Se denota:
P(A)={X / X ⊂A}
Los elementos de este conjunto son a su vez
conjuntos, y en consecuencia, P(A) es un conjunto
de conjunto.
EJEMPLO.
Si A={a, b, c}, el conjunto potencia es:
P(A)={ {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c},
{a, c}, {a, b, c}, φ}
Observe: El n mero de elementos deú P(A) es 2k,
donde
k es el n mero de elementos deú A

14.  Complemento de un Conjunto
Si A y U son conjuntos tales que
A⊂U, el complemento de A con
respecto de U, se define
como el conjunto de elementos que no
pertenecen al conjunto A.
Notación: Ac
o A .’
El diagrama de Venn correspondiente
es:
14
Formalmente se define como:
Ac
= {x∈U / x∉A }
Ejemplo. Sea U= {1,2,3,4,5,6}, A={2,4,6}
Entonces Ac
={…………}
Complemento de A

15. Ejercicio
15  Describa por extensi n los siguientesó
conjuntos:
1. P = {x / x es pa s de Francia}í
2. A = { x / x ∈ Z+
, x<15)
3. S = {x / x ∈N es un n mero impar }ú
4. T = {x / x son asignaturas que cursa este
semestre)
5. H ={x / x∈Z, x >10 y x <=25}
6. D = {x ∈R / x2
- 9x + 14 = 0)
7. L = {x / x es letra de la palabra Am rica)é
8. F ={x / x∈ N y x sea par}
9. B = {x / x sea d gito del n mero 35.200}í ú
10. Z = {x / x es planeta de nuestro sistema solar}

16. Ejercicio
16
 Si A = { 1, 2, {3} }. Cu les de las siguientes¿ á
afirmaciones son verdaderas ? Indique
argumentos
a) 3 ∈ A
b) {2, {3}} ⊄ A
c) {1} ∈ A
d) ∅ ⊆ A
e) {3} ⊆ A
f) {1, 2} ⊆ A
g) {1, 2, {3}} ⊆ A
h) {{3}} ⊆ A
a) F
b) F
c) F
d) V
e) F
f) V
g) V
h) V
a) F
b) F
c) F
d) V
e) F
f) V
g) V
h) V

17. OPERACIONES DE
CONJUNTOS

18. Representaci n gr fica deó á
conjuntos18
 Con el objeto de mostrar los elementos de
los conjuntos o para visualizar relaciones
entre stos, existen losé Diagramas de Venn
Euler, que son regiones del plano limitados
por l neas geom tricas. El conjuntoí é
universal U suele representarse por un
rect ngulo, y los subconjuntos deá U por
circunferencias, elipses, tri ngulos, etc,á
como se indica en el siguiente diagrama.
U
A
B

19. Operaciones entre conjuntos
 Unión de Conjuntos
Sean A y B no vac os. La uni n de conjuntosí ó
se define como el conjunto de todos los
elementos que pertenecen a A o a B o
ambos. Se denota por A ∪ B y se lee “ A
uni nó B .”
El diagrama de Venn correspondiente es:
19
U
A
B
Formalmente se define como:
A∪B = {x∈U / x∈A o x∈B}
Ejemplos….
Propiedades
A∪A= A, A∪B= B∪A, A∪U=U, A∪∅=A, A∪Ac
=U,
A∪(B∪C)= (A∪B)∪C

20. Operaciones
20  Considere el conjunto universal U =
{ x∈N / x ≤ 15 } y los subconjuntos
A = { 2, 3, 4, 5, 12 }
B = { 1, 3, 5, 6 , 10, 11 }
C = { 3, 4, 7, 10, 11 }
a) Distribuya los elementos de U en un
diagrama de Venn.
b) Obtenga los conjuntos: A∪B,
A∪B∪C, B ∪ U, C ∪∅

21. Operaciones entre conjuntos
 Intersección de Conjuntos
La intersecci n de conjuntos de dosó
conjuntos A y B se define como el conjunto
de todos los elementos que pertenecen a A y
B. Se denota por A∩ B y se lee “ A
intersecci n conó B .”
El diagrama de Venn correspondiente es:
21
U Formalmente se define como:
A∩B = {x∈U / x∈A y x∈B}
Ejemplos…..
A
B
Intersección
Propiedades
A∩A=A, A∩B= B∩A, A∩U=A, A ∩ ∅= ∅, A ∩ Ac
=∅,
A ∩(B ∩ C)= (A ∩ B) ∩ C

22. Operaciones entre conjuntos
 Diferencia de Conjuntos
La diferencia de dos conjuntos A y B se
define como el conjunto de todos los
elementos del conjunto A que no
pertenecen al conjunto B Se denota por A -
B y se lee “ A diferencia de B o”
simplemente A menos B .“ ”
El diagrama de Venn correspondiente es:
22
U
A
B
Formalmente se define como:
A-B = {x∈U / x∈A y x ∉B}
Ejemplos…..
Propiedades
A - B= A∩Bc
, A - ∅ =A, A ∅ - A= ∅,

23. Adicional de complemento de un
conjunto
 Complemento de un Conjunto23
Ac
= {x∈U / x∉A }
Propiedades
(A∩B)c
= Ac
∪Bc
,
(A∪B)c
= Ac
∩Bc
,
U c
= ∅
∅ c
=U
(Ac
)c
=A
A ∩(B ∩ A)= A
A∩(B ∪ C)= (A∩B) ∪ (A ∩ C)
A ∪(B ∩ C)= (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

24. Ejercicio
24  Dados los conjuntos
A = {1, 2, 3} , B = {1, 2, 4, 5} y C = { 2, 3,
4}
Calcular
a) A ∩ B =
b) A ∪ B =
c) A – B =
d) B A =–
e) A ∩ B ∩ C =
f) A (– B – C) =

25. Ejercicio
25  Sean los conjuntos :
U = { x∈N / x < 10},A = { x ∈N / 2 < x < 8}
B = { x∈N / x < 5}, C = { x ∈N / x + 2 = 6}
Determine :
a) A ∪ (B ∩ C)
b) Cc
− (A ∩ B)
c) (A − B) ∪ (Cc
− A)
d) (A ∩ Cc
) − B

26. Ejemplo
26
 Usando las propiedades anteriores
demuestre
[ ] [ ]− ∪ ∩ ∩ ∪ =(A B) A (U A) B ADem.:
[ ]
[ ]
φ
− ∪ ∩ ∩ ∪  
 = ∩ ∪ ∩ ∪ 
 = ∪ ∩ ∩ ∪   
 = ∪ ∩ ∩ 
 = ∪ ∩ ∩ 
= ∪ ∩  
c
c
c
c
(A B) A (U A) B
(A B ) A A B Definici n(-) y ley de absorbó encia
A (A B ) A B Conmutatividad
A (A B ) B Distributividad
A A (B B) Asociatividad
A A L
φ= ∪
=
ey de absorbencia
A
A

27. Ejercicio
27
 Usando lgebra de conjuntos, simplifique :á
a) Ac
−(Ac
− Bc
)
b) [ A ∩ ( Bc
− A ) ] ∪ [(B − Ac
) ∪ A]c
c) [ (Ac
− B) ∪ (Ac
∩ B]
d) [ A ∪ (C − A)] ∩ [(C − Ac
) ∪ C]
e) [ (Bc
∩ ( A − B) ] ∪ (A ∩ B)
Res. a) (A∪ B)c
, b) Ac
c) Ac
d) C e) A

28. Ejercicio
28
 Construya un diagrama de Venn que respete
exactamente las restricciones exigidas en cada uno
de los siguientes casos. Indique los casos que
resulten con exigencias incompatibles.
a)C ⊆ (A ∪ B) ; A∩B∩C ≠ ∅ ; C − B ≠ ∅ ; C −
A ≠ ∅.
b)A ⊆ B ; C ⊆ D ; A ∩ D = ∅ ; C ∩B = ∅.
c)A ∩ B ∩ C = ∅ ; A∩ B ≠ ∅ ; B∩C ≠ ∅ ; A ∩ C ≠
∅.
d)A ⊆ B ; A ∩ B∩C ≠ ∅ ; C − B ≠ ∅

29. Resumen propiedades de
Conjuntos
5. Asociativa: ( ) ( )
( ) ( )
A B C A B C
A B C A B C
∪ ∪ = ∪ ∪
∩ ∩ = ∩ ∩
1. Idempotencia: ;A A A A A A∪ = ∩ =
2. ;A A Aφ φ φ∪ = ∩ =
3. ;A U U A U A∪ = ∩ =
29
4. Conmutativa: ;A B B A A B B A∪ = ∪ ∩ = ∩

30. Resumen propiedades de
Conjuntos
∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
6. Distributividad: ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A B C A B A C
A B C A B A C
⊆ ∩ ∩ ⊆ ∪ =7. ; ; ( )c c
A A B A B A B A A
∪ ∩ =
∩ ∪ =
8. Absorci n: ( )ó
( )
A A B A
A A B A
30
φ φ φ= = ∪ = ∩ =9. ; ; ;c c c c
U U A A UA A
∪ = ∩
∩ = ∪
10. LeyesdeDeMorgan: ( )
( )
c c c
c c c
A B A B
A B A B

31. CARDINALIDAD DE
CONJUNTOS

32. Cardinalidad
32
 Dado un conjunto A, la familia de elementos de este
conjunto se llama n mero cardinal deú A y se denota
por n(A), y se lee cardinal de“ A o n mero de” “ ú
elementos de A”
(1) Si A y B son dos conjuntos disjuntos; esto es :
A ∩ B = φ → n(A∪B) = n(A)+n(B)
(2) Si A y B son dos conjuntos tales que:
A ∩ B ≠ φ → n(A∪B) = n(A)+n(B)
- n(A∩B)

33. Ejemplo
 Entre 75 personas que toman
caf , se hace una encuesta. 27é
dicen que les gusta el café
sin crema ni az car. A 26 lesú
gusta con crema y 36 dicen que
les gusta con az car.ú
 Cu ntos de los encuestados¿ á
tomar an un caf con crema yí é
az car ?ú
 Cu ntos toman s lo con¿ á ó
crema?
 Cu ntos toman s lo con¿ á ó
az car?ú
33
Café
crema
azúcar
26
27
36

34. Ejemplo
34
 Al encuestar a 70 consumidores seg n las siguientesú
caracter sticas de los productosí A, B C se obtuvo
que:
 33 prefieren A,
 5 prefieren A y B,
 30 prefieren B,
 8 prefieren A y C, pero no B,
 23 prefieren C,
 2 prefieren A, B y C,
 5 prefieren B y C.
a) Confeccione el diagrama de Venn de los datos
b) Cu ntas no prefieren estos productos?¿ á
c) Cu ntas prefieren s lo C?¿ á ó
d) Cu ntas prefieren s lo B.?¿ á ó

35. Ejercicio
35
 Determine la cardinalidad de los conjuntos A, B, C
⊆ U, considerando la siguiente informaci n :ó
n (U) = 30
n (A ∪ B ∪ C )c
= 5
n (A ∪ B) = 23
n (A ∩ C) = 4
n (B ∩ C) = 8
n (A ∩ B ∩ C) = 3
n (A ∩ B) = 11
n (A − C ) = 12
Respuestas: n(A)= 16, n(B)=18, n(C)=11

36. Ejercicio
36
 Se realiz una encuesta en nuestro pa s a 700 personasó í
para determinar las preferencias de stas por 3é
peri dicos de la capital y los datos obtenidosó
fueron los siguientes:
260 prefieren La Hora - 419 prefieren La Tercera - 379
prefieren el Publimetro - 102 prefieren La Hora, pero
no el Publimetro ni La Tercera - 92 prefieren La
Tercera, pero no el Publimetro ni La Hora - 110
prefieren El Publimetro, pero no La Hora ni La Tercera
- 80 prefieren El Publimetro y la Hora - 60 prefieren
los 3 peri dicos.ó
Determine mediante un diagrama de Venn
a) Cu ntas personas leen exactamente un soloá

37. Ejemplo
37
 En una encuesta realizada a 550 personas, para
determinar el tipo de medio que utilizaban para
enterarse de las noticias se determin que:ó
130 Ve an TV - 215 Escuchaban radio- 345 Le aní í
peri dico - 100 Le an el peri dico y escuchabanó í ó
radio - 35 Personas ve an TV y escuchaban radio - 65í
Ve an TV y le an peri dico - 20 Se enteraban por losí í ó
tres medios.
Determine:
a) El Diagrama de Venn adecuado que represente la
situaci n.ó
b) El n mero de personas que no usa estos tres tiposú
de medios
Respuestas: a) b)40 personas

38. Ejercicio
38
 En una encuesta a los egresados de un colegio, sobre
sus preferencias para estudios superiores, se obtuvo
los siguientes resultados:
29 prefieren Ingenier a Comercial - 26 prefierení
Psicolog a - 8 prefieren Ing. Comercial y Psicolog aí í
pero no Derecho - 5 estudiar an s lo Ing. Comercial - 7í ó
estudiar an Ing. Comercial y Derecho pero no Psicolog aí í
- El doble de los que prefieren s lo Psicolog a,ó í
prefieren s lo Derecho - 4 prefieren s lo Psicolog a yó ó í
Derecho - 50 no estudiar an Ing. Comercial.í
Determine:
a) El n mero total de encuestados;ú
b) Cu ntos de ellos elegir an carreras distintas de lasá í
mencionadas;
c) Cu ntos elegir an cualquiera de las tres carrerasá í