Este documento discute os métodos para resolver problemas de engenharia que envolvem fluidos em movimento, incluindo métodos analíticos, experimentais e numéricos. Apresenta as vantagens e desvantagens de cada método e descreve os principais conceitos da dinâmica dos fluidos computacional, como a definição do problema, discretização do domínio, discretização do modelo matemático e obtenção da solução numérica.

1. 11
DINÂMICA DOSDINÂMICA DOS
FLUIDOSFLUIDOS
COMPUTACIONALCOMPUTACIONAL

2. 2
Problemas de engenhariaProblemas de engenharia
 Métodos analíticosMétodos analíticos
 Métodos experimentaisMétodos experimentais
 Métodos numéricosMétodos numéricos

3. 3
Problemas de engenhariaProblemas de engenharia
E r r o d e m o d e la g e m
S o l u ç ã o A n a l í t i c a
E r r o s n u m é r i c o s
S o l u ç ã o N u m é r i c a
M é t o d o s N u m é r i c o s
M o d e l o M a t e m á t i c o
( e q u a ç ã o q u e r e p r e s e n t a o fe n ô m e n o r e a l)
M É T O D O S T E Ó R I C O S
E r r o s e x p e r i m e n t a is
R e s u l t a d o e x p e r i m e n t a l
E x p e r i m e n t o
( e m c a m p o o u la b o r a t ó r i o )
M É T O D O S E X P E R I M E N T A IS
F E N Ô M E N O R E A L
( O b s e r v a d o n a n a t u r e z a )

4. 4
Métodos analíticosMétodos analíticos
 Soluções contínuas sobre o domínio.Soluções contínuas sobre o domínio.
 Soluções fechadas.Soluções fechadas.
 Baixos custos de implementação.Baixos custos de implementação.
 Geometrias e condições de contornoGeometrias e condições de contorno
simples.simples.
 Geralmente restrito a problemas lineares.Geralmente restrito a problemas lineares.
 Possuem erros de modelagem.Possuem erros de modelagem.

5. 5
Métodos analíticosMétodos analíticos
 Equação de Laplace bidimensional:Equação de Laplace bidimensional:
( ) ( )
∑
∞
=
+

















 π





 π





 π+−
π
=θ
1
1
112
,
n
n
L
Wn
senh
L
yn
senh
L
xn
sen
n
yx
Fonte: Incropera et
al. (2008)

6. 6
Métodos experimentaisMétodos experimentais
 Trabalham com a configuração real.Trabalham com a configuração real.
 Possibilidade de ser executado naPossibilidade de ser executado na
ausência de modelos matemáticosausência de modelos matemáticos
adequados.adequados.
 Custo elevado.Custo elevado.
 Dificuldades de realização (questões deDificuldades de realização (questões de
segurança, reprodução de condiçõessegurança, reprodução de condições
reais).reais).
 Dificuldades de medição.Dificuldades de medição.
 Possuem erros experimentais.Possuem erros experimentais.

7. 7
Métodos experimentaisMétodos experimentais
Fonte:
http://est.ualg.pt/est/index.p
hp?
option=com_content&task=vi
ew&id=107&Itemid=106
Fonte: http://iar-ira.nrc-
cnrc.gc.ca/press/news_1_16a_e.html

8. 8
Métodos experimentaisMétodos experimentais
Fonte:
http://stoa.usp.br/fep0114/weblog/5703
.html

9. 9
Métodos numéricosMétodos numéricos
 Geometrias e condições de contornoGeometrias e condições de contorno
complexas.complexas.
 Menor custo e redução significativa noMenor custo e redução significativa no
tempo de obtenção dos resultados.tempo de obtenção dos resultados.
 Simulações de risco (explosões, radiação,Simulações de risco (explosões, radiação,
poluição)poluição)
 Erros de modelagem e numéricos.Erros de modelagem e numéricos.
 Condições de contorno.Condições de contorno.

10. 10
Métodos numéricosMétodos numéricos
Fonte: http://www.onera.fr/photos-
en/simulations/ariane5.php
Fonte: http://www.ansys.com/solutions/fluid-
dynamics.asp
Fonte:
http://www.cpge.utexas.edu/new_generation/

11. 11
Métodos numéricosMétodos numéricos
Fonte:
http://www.health.gov.mt/impaedc
ard/issue/issue2/1125/1125.htm Fonte: http://www.symscape.com/node/261

12. 12
Métodos numéricosMétodos numéricos
Fonte:
http://www.sinmec.ufsc.br/sinmec/atividad
es/resultados/escoamento.html
Fonte:
http://www.flomerics.com/casestudies/detail
s_casestudies_efd.php?id=1153

13. 13
Métodos numéricosMétodos numéricos
Fonte:
http://www.cham.co.uk/phoenics/d_polis/d
_applic/appcom.htm
Fonte:
http://www.cham.co.uk/phoenics/d_polis/d_
applic/d_power/tact.htm

14. 14
Definição de CFDDefinição de CFD
 “Área da computação científica que estuda
métodos computacionais para simulação
de fenômenos que envolvem fluidos em
movimento com ou sem trocas de calor”
(Fortuna, 2000).
 Pode-se, também, estudar fenômenos
associados ao escoamento de fluidos e
transferência de calor, como reações
químicas (Versteeg e Malalasekera, 1995).

15. 15
Alguns assuntosAlguns assuntos
estudados em CFDestudados em CFD
 Aerodinâmica.
 Hidrodinâmica.
 Turbomáquinas.
 Engenharia elétrica e eletrônica.
 Engenharia de processos químicos.
 Reservatórios de petróleo.
 Climatologia.
 Engenharia biomédica.

16. 16
Códigos em CFDCódigos em CFD
 Estruturados ao redor de algoritmosEstruturados ao redor de algoritmos
numéricos.numéricos.
 Elementos principais:Elementos principais:
 Pré-processamento.Pré-processamento.
 SolverSolver (método de solução).(método de solução).
 Pós-processamento.Pós-processamento.

17. 17
Obtenção da solução numéricaObtenção da solução numérica
 Definição do problema.Definição do problema.
 Definição do modelo numérico.Definição do modelo numérico.
 Discretização do domínio de cálculo.Discretização do domínio de cálculo.
 Discretização do modelo matemático.Discretização do modelo matemático.
 Obtenção da solução numérica.Obtenção da solução numérica.
 Visualização e análise de resultados.Visualização e análise de resultados.

18. 18
Definição do problemaDefinição do problema
 Modelo matemático: equações, condiçõesModelo matemático: equações, condições
de contorno e iniciais.de contorno e iniciais.
 Geometria do domínio de cálculo.Geometria do domínio de cálculo.
 Propriedades dos meios sólido(s) ePropriedades dos meios sólido(s) e
fluido(s) envolvidos no problema.fluido(s) envolvidos no problema.

19. 19
Definição do modelo numéricoDefinição do modelo numérico
 Tipo de malha.Tipo de malha.
 Método numérico.Método numérico.
 Tipos de aproximações numéricas.Tipos de aproximações numéricas.
 Variáveis de interesse.Variáveis de interesse.
 Método de solução do sistema deMétodo de solução do sistema de
equações (equações (solversolver).).
 Critérios de convergência do processoCritérios de convergência do processo
iterativo.iterativo.
 Estimadores de erros numéricos.Estimadores de erros numéricos.

20. 20
Discretização do domínioDiscretização do domínio
 Geração da malha na qual a soluçãoGeração da malha na qual a solução
numérica é obtida.numérica é obtida.
Fonte: www.nasa.gov Fonte: Wang (2006)

21. 21
Discretização do modeloDiscretização do modelo
matemáticomatemático
 Os termos das equações do modeloOs termos das equações do modelo
matemático (bem como condições dematemático (bem como condições de
contorno e iniciais) são aproximadoscontorno e iniciais) são aproximados
através de um método numérico, gerandoatravés de um método numérico, gerando
um sistema de equações algébricasum sistema de equações algébricas
(discretizadas).(discretizadas).

22. 22
Obtenção da soluçãoObtenção da solução
numéricanumérica
 Utilização de um método (Utilização de um método (solversolver) direto) direto
ou iterativo para solução de um sistemaou iterativo para solução de um sistema
de equações.de equações.
[ ][ ] [ ]bxA =
[ ] [ ] [ ]bAx
1−
=

23. 23
Análise e visualizaçãoAnálise e visualização
 Gráficos bi e tridimensionais.Gráficos bi e tridimensionais.
 Isolinhas, isorregiões e isossuperfícies.Isolinhas, isorregiões e isossuperfícies.
 Vetores.Vetores.
 Estimativas de erros de modelagem eEstimativas de erros de modelagem e
numéricos.numéricos.

24. 24
Métodos numéricosMétodos numéricos
 Diferenças Finitas.Diferenças Finitas.
 Volumes Finitos.Volumes Finitos.
 Elementos Finitos.Elementos Finitos.

25. 25
Diferenças FinitasDiferenças Finitas
 Método mais antigo para solução numéricaMétodo mais antigo para solução numérica
de EDP’s.de EDP’s.
 Equação de conservação na formaEquação de conservação na forma
diferencial.diferencial.
 Em cada ponto da malha as derivadasEm cada ponto da malha as derivadas
(parciais) da equação original é substituída(parciais) da equação original é substituída
por aproximações baseadas na expansãopor aproximações baseadas na expansão
de Taylor e/ou interpolação polinomial.de Taylor e/ou interpolação polinomial.

26. 26
Volumes FinitosVolumes Finitos
 Baseado na forma integral das equaçõesBaseado na forma integral das equações
de conservação.de conservação.
 Divisão do domínio em volumes deDivisão do domínio em volumes de
controle.controle.
 Método conservativo.Método conservativo.
 Todos os termos que necessitam deTodos os termos que necessitam de
aproximações possuem significado físico.aproximações possuem significado físico.

27. 27
Elementos FinitosElementos Finitos
 Domínio dividido em um conjunto deDomínio dividido em um conjunto de
volumes ou elementos finitos.volumes ou elementos finitos.
 Equações multiplicadas por uma funçãoEquações multiplicadas por uma função
peso antes de serem integradas; trabalha-peso antes de serem integradas; trabalha-
se com a forma variacional das equações.se com a forma variacional das equações.

28. 28
Sistema de coordenadasSistema de coordenadas
 Coordenadas cartesianas.Coordenadas cartesianas.
 Coordenadas cilíndricas.Coordenadas cilíndricas.
 Coordenadas esféricas.Coordenadas esféricas.
 Coordenadas generalizadas.Coordenadas generalizadas.

29. 29
Discretização do domínioDiscretização do domínio
(malhas)(malhas)
 Malhas estruturadas.Malhas estruturadas.
 Malhas uniformes.Malhas uniformes.
 Malhas uniformes por direção.Malhas uniformes por direção.
 Malhas não-uniformes.Malhas não-uniformes.
 Malhas não-estruturadas.Malhas não-estruturadas.

30. 30
Discretização do domínioDiscretização do domínio
(malhas)(malhas)
Malha uniforme Malha uniforme por direção Malha não-uniforme
Malha não-ortogonal Malha não-estruturada

31. 31
Métodos de solução (Métodos de solução (solversolver))
 Sistema de equações não-lineares:Sistema de equações não-lineares:
 Newton-Raphson; Newton modificado.Newton-Raphson; Newton modificado.
 Sistema de equações lineares:Sistema de equações lineares:
 Métodos diretos: Eliminação de Gauss, TDMA.Métodos diretos: Eliminação de Gauss, TDMA.
 Métodos iterativos: Gauss-Seidel, Jacobi.Métodos iterativos: Gauss-Seidel, Jacobi.

32. 32
Propriedades dos métodosPropriedades dos métodos
de solução numéricade solução numérica
 Três conceitos matemáticos sãoTrês conceitos matemáticos são
empregados para determinar o sucessoempregados para determinar o sucesso
dos códigos em CFD:dos códigos em CFD:
 Consistência.Consistência.
 Estabilidade.Estabilidade.
 Convergência.Convergência.

33. 33
Propriedades dos métodosPropriedades dos métodos
de solução numéricade solução numérica
 ConsistênciaConsistência
 A discretização deve ser exata quando oA discretização deve ser exata quando o
tamanho dos elementos da malha sãotamanho dos elementos da malha são
reduzidosreduzidos..
 EstabilidadeEstabilidade
 Um método de solução numérica é dito serUm método de solução numérica é dito ser
estável se ele não amplificar erros queestável se ele não amplificar erros que
aparecem durante o processo de soluçãoaparecem durante o processo de solução
numérica.numérica.

34. 34
Propriedades dos métodosPropriedades dos métodos
de solução numéricade solução numérica
 ConvergênciaConvergência
 A solução das equações discretizadas deveA solução das equações discretizadas deve
tender à solução exata das equaçõestender à solução exata das equações
diferenciais, quando o tamanho da malhadiferenciais, quando o tamanho da malha
tende a zerotende a zero..
 Teorema de equivalência de Lax:Teorema de equivalência de Lax:
 Dados umDados um problema linearproblema linear de valor inicial ede valor inicial e
uma aproximação por diferenças finitas queuma aproximação por diferenças finitas que
satisfaça à condição de consistência, asatisfaça à condição de consistência, a
estabilidade é uma condição necessária eestabilidade é uma condição necessária e
suficiente para a convergênciasuficiente para a convergência..

35. 35
Propriedades dos métodosPropriedades dos métodos
de solução numéricade solução numérica
 Teorema de equivalência de Lax:Teorema de equivalência de Lax:
 Consistência + Estabilidade = Convergência.Consistência + Estabilidade = Convergência.
 ConservaçãoConservação
 Como as equações a serem resolvidas sãoComo as equações a serem resolvidas são
baseadas em leis de conservação, o esquemabaseadas em leis de conservação, o esquema
numérico deve respeitar (local e globalmente)numérico deve respeitar (local e globalmente)
essas leisessas leis..

36. 36
Propriedades dos métodosPropriedades dos métodos
de solução numéricade solução numérica
 AcuráciaAcurácia
 Soluções numéricas: soluções aproximadas.Soluções numéricas: soluções aproximadas.
 Erros de modelagem.Erros de modelagem.
 Erros numéricos:Erros numéricos:
 Erros de truncamento.Erros de truncamento.
 Erros de iteração.Erros de iteração.
 Erros de arredondamento.Erros de arredondamento.
 Erros de programação.Erros de programação.
 Validação e verificação.Validação e verificação.

37. 37
ValidaçãoValidação
 Grau de fidelidade que um determinadoGrau de fidelidade que um determinado
modelo apresenta ao representar ummodelo apresenta ao representar um
fenômeno físico.fenômeno físico.
 Comparação de valores obtidos comComparação de valores obtidos com
resultados experimentais (Metha, 1996;resultados experimentais (Metha, 1996;
AIAA, 1998; Roache, 1998).AIAA, 1998; Roache, 1998).

38. 38
VerificaçãoVerificação
 Relacionado ao grau de correção de umRelacionado ao grau de correção de um
modelo implementado, isto é, deve-semodelo implementado, isto é, deve-se
confirmar que a implementação de umconfirmar que a implementação de um
modelo representa sua descriçãomodelo representa sua descrição
conceitual (Metha, 1996; AIAA, 1998;conceitual (Metha, 1996; AIAA, 1998;
Roache, 1998).Roache, 1998).
 Verificação do código.Verificação do código.
 Verificação da solução (estimadores deVerificação da solução (estimadores de
erros).erros).

39. 39
Cuidados em CFDCuidados em CFD
 Conhecimento dos fenômenos físicos.Conhecimento dos fenômenos físicos.
 Adequação dos modelos matemáticos.Adequação dos modelos matemáticos.
 Conhecimento dos métodos numéricosConhecimento dos métodos numéricos
envolvidos.envolvidos.
 Análise de erros (de modelagem eAnálise de erros (de modelagem e
numéricos).numéricos).

40. 40
Alguns desafios em CFDAlguns desafios em CFD
 Transição entre regimes laminar eTransição entre regimes laminar e
turbulento.turbulento.
 Turbulência.Turbulência.
 Reações químicas em escoamentosReações químicas em escoamentos
turbulentos.turbulentos.
 Escoamentos multifásicos.Escoamentos multifásicos.
 Interação fluido-estrutura.Interação fluido-estrutura.
 Atomização.Atomização.

41. 41
Material de referênciaMaterial de referência
 Livros:Livros:
 Fortuna, A. O.Fortuna, A. O. Técnicas Computacionais para Dinâmica dosTécnicas Computacionais para Dinâmica dos
FluidosFluidos, São Paulo: Edusp, 2000., São Paulo: Edusp, 2000.
 Maliska, C. R.Maliska, C. R. Transferência de Calor e Mecânica dos FluidosTransferência de Calor e Mecânica dos Fluidos
ComputacionalComputacional, 2ed, Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004., 2ed, Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004.
 Ferziger, J. H., Peric, M.Ferziger, J. H., Peric, M. Computational Methods for FluidComputational Methods for Fluid
DynamicsDynamics, 2ed,Berlin: Springer, 2002., 2ed,Berlin: Springer, 2002.
 Tannehill, J. C., Anderson, D. A., Pletcher, R. H.,Tannehill, J. C., Anderson, D. A., Pletcher, R. H.,
Computational Fluid Mechanics and Heat TransferComputational Fluid Mechanics and Heat Transfer, 2 ed, New, 2 ed, New
York: Taylor & Francis, 1997.York: Taylor & Francis, 1997.
 SitesSites
 www.cfd-online.comwww.cfd-online.com
 www.cfd-brasil.comwww.cfd-brasil.com
 ftp://ftp.demec.ufpr.br/Disciplinas/TM797ftp://ftp.demec.ufpr.br/Disciplinas/TM797