1. EL CUENTO DE LOS TESELADOS
1. Orientaciones Generales
Para teselar un plano debemos tener muy en cuenta que el ángulo formado por las piezas
que concurren a un mismo vértice suma 360 grados. Por esta razón las figuras
geométricas con las cuales es más sencillo teselar un plano son: triángulos equiláteros,
cuadrados y hexágonos regulares. Además debes considerar lo siguiente:
La diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita, los matemáticos y en
particular los geómetras se han interesado especialmente por las teselaciones poligonales;
incluso las más sencillas de estas plantean problemas grandiosos.
Las propiedades de las figuras con que se pueden trabajar las teselaciones, son
primordiales para llevarlos a cabo, además permiten desarrollar la visión espacial.
Los teselados por su gran número de características, se hacen fascinantes, aparentando
ser una invención de la mente, cuando en realidad las figuras con que están construidos
en su mayoría los teselados, ya existían tiempo atrás antes de ser objetos de estudio.
2. El Mundo de los teselados
Introducción: Vamos a explorar un mundo encantador: EL
DE LOS TESELADOS. Como invitado tendremos a Maurits
Cornelis Escher, un artista como muy pocos, con su
interesantísima obra. Él se destacó por crear juegos
visuales a partir de la observación y el estudio de las
formas en la realidad, trasladándolas al papel de una
manera sorprendente. Escher nació el 17 de junio de 1898
en Leeuwarden (Países Bajos) y dejó ver su talento desde
muy joven, cuando apenas era un estudiante. El trabajo
con la simetría y la repetición lo obsesionó constantemente y
precisamente esto hizo que algunas de sus obras sean
clasificadas en algo que él nombró “partición regular del
plano”. Al parecer, sus viajes a la Alambra (en España)
lograron inspirarlo y marcaron una fuerte influencia en él, lo
que se observa en el hecho de usar patrones que rellenan el

2. espacio sin dejar ningún hueco. Esto precisamente se conoce como Teselar el Plano.
Algunas de sus pinturas más conocidas presentan motivos en las que hace encajar
perfectamente reptiles, peces, ranas, hormigas, etc. Puedes encontrar su fantástica obra
en muchos sitios de Internet. Te invitamos a que la conozcas. Puedes visitar
http://www.mcescher.com y encontrar diseños como los siguientes:
Uno de los retos es lograr reproducir algunas de sus creaciones como la que se muestra a
continuación con ayuda del software de Geometría Dinámica Cabri II plus.

3. 3. Conceptos básicos
TESELADO: Esta palabra proviene de “tessellae”. Así llamaban los romanos a las
construcciones y pavimentos de su ciudad.
Las antiguas civilizaciones utilizaban teselados para la construcción de casas y templos
cerca del año 4000 A.C. Por ese tiempo los sumerios realizaban decoraciones con
mosaicos que formaban modelos geométricos. El material usado era arcilla cocida que
coloreaban y esmaltaban. Posteriormente otros grupos demostraron maestría en este tipo
de trabajo. Ellos fueron los persas, los moros y los musulmanes.
Se denomina Isometría o transformación isométrica de una figura en el plano aquella
transformación que no cambia ni la forma ni el tamaño de la misma y que solo implica una
alteración de su posición (en la orientación o en el sentido), resultando que la figura inicial
y la final son geométricamente congruentes. “Iso” significa "igual" y “metría” significa
"medida.
Las transformaciones isométricas tienen una estrecha relación con el arte, por esta razón
las isometrías se pueden desarrollar en el aula de clase en torno a dos aspectos temáticos:
1.- Actividades en las que se plantea embaldosar superficies planas con figuras
geométricas (teselaciones).
2.- Actividades asociadas al diseño, descripción y reconocimiento de transformaciones
isométricas
Se pueden describir tres tipos de transformaciones: por traslación, por rotación y por
simetría (o reflexión).
Traslación: Isometría en que todos los puntos se desplazan una distancia fija hacia sus
imágenes a lo largo de trayectorias paralelas.
Rotación: Isometría en que todos los puntos giran un ángulo constante con respecto a un
punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina
ángulo de rotación.

4. La simetría central, es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto,
que debe cumplir las siguientes condiciones:
El punto y su imagen estén a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.
El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.
Según estas definiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura con una
rotación de 180 grados.
Simetría axial es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada
punto de una figura se asocia otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes
condiciones:
La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.
El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.
Simetría con deslizamiento. Se trata de una reflexión seguida de una traslación en la
dirección del eje de reflexión.
Estas transformaciones se combinan entre ellas dando lugar a estructuras algebraicas que
se denominan grupos de simetrías, en este caso Grupos cristalográficos planos. Pues bien,
Fedorov demostró en 1891 que no hay más de 17 estructuras básicas para las infinitas
decoraciones posibles del plano formado mosaicos periódicos. Son los 17 grupos
cristalográficos planos. Cada uno de ellos recibe una denominación que procede de la
cristalografía, y se pueden clasificar según la naturaleza de sus giros.
Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar en los cinco apartados, según el
orden máximo de los giros:
Grupos de simetría sin giros: 4 grupos de simetrías.
Grupos de simetría con giros de 180º: 5 grupos de simetrías.
Grupos de simetría con giros de 120°: 3 grupos de simetrías
Grupos de simetría con giros 90°: 3 grupos de simetrías
Grupos de simetría con giros de 60°: 2 grupos de simetrías

5. Los árabes fueron unos excelentes creadores de mosaicos geométricos. Dado que su
religión les impedía dibujar personas o animales; su creatividad se decantó hacia la
caligrafía y los dibujos geométricos, en los que alcanzaron cotas de belleza y complejidad
difícilmente superables. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra no podían conocer
el teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de
simetrías podían usarse para rellenar el plano con losetas (teselación del plano), por eso
resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes.
Efectivamente, todos ellos están representados en los variados y bellísimos mosaicos de la
Alhambra. Abundan los que tienen giros de 90º mientras que algunos grupos aparecen
escasamente, pero absolutamente todos están representados.
4. Los primeros pasos
Las actividades que realizaremos a continuación tienen como propósito que aprendas a
teselar el plano a partir de triángulos equiláteros, por tanto empezaremos con una
actividad muy sencilla. Sigue paso a paso las indicaciones dadas y da rienda suelta a tu
creatividad. Los resultados pueden superar lo que te imaginas.
1º Con la herramienta Rectas - Polígono
regular dibuja un triángulo equilátero,
enseguida con la herramienta Ver –
edición numérica (o número) escribe el
número 60, que representa los grados que
rotarás el triángulo.
Luego, con la opción Transformar –
rotación, rota el triángulo las veces que
sean necesarias hasta cubrir el plano y
obtendrás una malla de triángulos
equiláteros o teselado regular.
Puedes obtener el mismo resultado con la opción Transformar – simetría axial
encontrando triángulos simétricos al primero con respecto a uno de sus lados.
2º Usando estas mallas puedes dejar volar tu imaginación creando formas geométricas
muy interesantes que en combinación también cubren el plano. Con la opcion Dibujo –
rellenar puedes obtener diferentes diseños con figuras geometricas diversas.

6. ACTIVIDAD: Realiza y describe las características de los polígonos observados en los
siguientes dibujos. Realiza nuevos modelos y explica en cuales de ellos se aplican
traslaciones, rotaciones y simetrías.
5. Construcción de teselas usando rotación
1º Construye un triángulo equilátero utilizando la herramienta
Rectas – polígono regular.
2º Traza el punto medio de uno de los
lados del triángulo con la opción
Construir – punto medio y luego, con
la opción rectas – polígono construye un polígono como el de la
imagen en el lado donde has puesto el
punto medio.
3º Con la opción ver - edición numérica escribe el numero 300 y
con la opción transformar – rotación
procede a rotar el polígono construido
por cada vértice del triángulo y así
obtendrás la siguiente tesela. También puedes utilizar el número
60, dependiendo del sentido en que vayas a realizar la rotación.
60
4º Une todos los puntos con la opcion rectas –
poligono y oculta los tres polígonos y los puntos
con Dibujo: Ocultar / Mostrar. Solamente
debe quedar la loseta creada y un punto.
Luego, para obtener el teselado final se rota 60
grados la tesela alrededor del punto que dejaste.
Con la herramienta Dibujo: rellenar puedes utilizar colores para darle vida a tu mosaico.

7. 6. Teselados inspirados en la Alhambra de Granada (España)
60
En este caso el propósito es recrear el teselado “La Nazarita” formada por la loseta
“Pajarita” que se obtiene a partir de un triángulo.
180
1º Construye un triángulo equilátero utilizando la herramienta Rectas –
polígono regular.
2º Traza el punto medio de uno de los lados del triángulo con la opción Construir – punto
medio y luego, con la opción Curvas - arco realiza un diseño como el que se ilustra en el
dibujo.
3º Construye un polígono ubicando muchos puntos sobre los arcos como en la imagen en
el lado donde has puesto el punto medio y luego une los puntos con la herramienta rectas
– polígono.
4º Con la opción ver - edición numérica escribe el número 300 y
con la opción transformar – rotación procede a rotar el polígono
construido por cada vértice del triángulo y así obtendrás la tesela.
5º Para obtener la loza de la tesela se deben rotar los polígonos elaborados 180 grados, y
luego trasladar la loza para así, obtener el teselado deseado.
Este mosaico fue recreado por Escher a
partir de los que observó en la Alambra
60
de Granada.

8. Concluyamos: ¿Qué es rotación?
Escribe las palabras que hacen falta para completar el concepto de Rotación.
En geometría una rotación es un movimiento de cambio en la orientación de un cuerpo;
de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia
constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:
Un punto denominado centro de rotación, un ángulo . y un sentido de rotación.
Las transformaciones por rotación pueden ser positivas o negativas dependiendo del
sentido de giro. Para el primer caso debe haber un giro en sentido contrario a las
manecillas del reloj, y será negativo, cuando el giro se haga en sentido de las manecillas.
Palabras claves: negativo, ángulo, sentido, positivo, orientación, constante.
7. Los pétalos
Vamos a construir un pentágono convexo
ABCDE en el que se verifique las restricciones
siguientes: el ángulo en A es A=60°, el ángulo
en C es C =120°, AB=AE, CB=CD. Estas
restricciones no determinan un pentágono
único sino una familia de Pentágonos
Con este pentágono irregular podemos formar una flor, rotando esta figura 600 seis veces
y luego por medio de vectores podemos trasladar cada una de las flores para así formar
un teselado y por último le damos color con la opción rellenar.

9. 8. los fantasmas:
Primero realizamos un hexágono regular como se muestra
en la figura, luego hacemos un arco en la parte superior del
hexágono que vaya hacia afuera y otros dos arcos en la
parte inferior del hexágono
los cuales deben ir en el
interior, como se muestra
en la figura.
Luego por medio de vectores trasladamos los arcos a los
lados opuestos del hexágono, así le damos forma al
fantasma.
Cuando ya tenemos la silueta del fantasma, con la opción Rectas – polígono volvemos a
darle contorno a la figura, para que al momento de reubicarla solo trasladamos un solo
polígono y ocultamos el
hexágono.
Por último con la opción
circunferencia se realizan los
ojos y con polígono la boca, ya
que estos detalles le dan más
realismo a la figura.

10. 9. Piezas de un rompecabezas
Se realiza un hexágono
regular con la opción rectas –
polígono, luego localizamos
los puntos medios de cada
uno de los lados del
hexágono, con estos puntos
como centro realizamos las seis circunferencias, teniendo
las circunferencias como base, ubicamos arcos de media circunferencia intercalados entre
sí como se muestra en la figura.
Con la opción rectas – polígono le damos el contorno a la figura, es decir unimos todos los
arcos en un solo polígono teniendo como resultado la figura que observamos, luego por
medio de vectores empezamos a trasladar la figura obteniendo el siguiente teselado:

11. 10. Teselado con impacto 3D
Partimos de un hexágono regular, luego con la opción rectas –
polígono unimos los puntos formando triángulos equiláteros
intercalados entre sí, de esta manera se forman tres triángulos
exactamente iguales como se muestran en la figura. Por medio
de vectores trasladamos estos triángulos, de tal manera que
estos vectores queden desde el centro de la base de cada uno
de los triángulos y se dirijan hasta el otro extremo de tal
manera que quede en línea recta y este vector debe tocar el
punto centro del hexágono.
Teniendo la figura formada con la opción
recta – polígono unimos todos los
triángulos de tal manera que quede la figura
que se muestra en la gráfica. Por medio de
vectores trasladamos la figura para así tener
el teselado conformado y con el color
damos la apariencia en tercera dimensión.
11. Migración de pájaros
Lo primero que hacemos es construir un rombo con la
ayuda de una recta y un segmento: con centro en los
puntos extremos del segmento construimos dos
circunferencias con radio igual a la longitud del
segmento. Luego unimos los puntos de intersección
entre las circunferencias y finalmente con la opción
recta -polígono trazamos el rombo.

12. Para darle la forma al pájaro se requiere construir dos
triángulos en la parte superior, para poder trasladar estos dos
triángulos colocamos sobre dos de los lados superiores del
rombo los vectores que nos permitirán realizar esta función.
Ya con los triángulos trasladados, que son los que nos dan la
forma del ave, utilizamos la herramienta Polígono para así
unir lo que es el contorno del pájaro.
Colocamos dos nuevos vectores los cuales a su vez pasan por los dos ejes de simetría que
posee el rombo. Con estos vectores trasladaremos nuestra ave al resto del plano.
Con nuestro contorno definido sobre la ave, nos queda darle
una apariencia a todo la que conforma el plano de la misma,
esto lo logramos con la ayuda de una circunferencia, y
segmentos.
Todo esto para ser trasladado a su vez con la estructura del ave, para obtener como
resultado una migración de aves.

13. 12. Vilma Picapiedra
Lo primero que requiere este teselado es un
cuadrado, al cual le realizaremos dos
construcciones básicas: un polígono y un triángulo. El polígono lo
rotamos 90º en el vértice inferior izquierdo y a su vez el polígono base,
lo rotamos 270º sobre el vértice inferior derecho, con estos tres
polígonos rotados conformamos la cara.
Para el cabello recortamos un triángulo sobre la parte superior del cuadrado y lo rotamos
90º sobre el vértice superior derecho.
Con la cara de Vilma constituida por los polígonos y triángulos tanto recortados y
trasladados, nuevamente usamos polígonos para unir lo que es la cara y aparte lo que es
el cabello, y todo lo que va dentro de la cabeza, lo
construimos con segmentos cónicas, y polígonos.
Para rotar los dos polígonos que forman la cara de Vilma y sus
accesorios rotamos todo 90º en sentido del vértice inferior
izquierdo del cuadrado, así sucesivamente hasta formar
cuatro caras en total sobre dicho vértice.
Las demás caras rotadas utilizan 180º en sus rotaciones para salir del primer conjunto y así
poder formar más caras basándose en el vértice inferior izquierdo con rotaciones de 90º.

14. 13. La dama elegante
Este teselado se basa en un hexágono al cual le componemos tres partes con la ayuda de
polígono, las cuales van una desde la punta del sombrero hasta la punta de la nariz, la
segunda va desde la punta de la nariz hasta el final del labio y la otra parte va conformada
lo que la parte del maxilar y parte del cabello.
Estos tres polígonos los rotamos en sentido de tres vectores (ilustrados en la imagen) lo
que es el sombrero lo construimos con ayuda de arcos, el cabello con polígono y el ojo con
cónica.
14. Delfín ballena o ballena blanca
Para que puedas obtener una familia de ballenas blancas
debes seguir las instrucciones a continuación:

15. Construimos un cuadrado y lo dividimos internamente de la siguiente forma:
Esta construcción la hacemos teniendo en cuenta mediatrices, perpendiculares y puntos
medios entre puntos.
A continuación, con la ayuda de puntos de intersección, de puntos medios, de arcos y
segmentos construimos sobre la anterior cuadrícula la siguiente figura:
Con la ayuda de puntos medios, arcos y
rotación según un ángulo de 90 grados,
rotamos tres arcos alrededor del punto m
(arcos color negro en la figura) y
obtenemos la siguiente figura

16. Se ha resaltado de color rojo algunos arcos y segmentos que forman la cola de la ballena,
ya que son estos los que se rotan 90 grados alrededor del punto a, de forman que
construyen la cola de color azul.
En la opción edición numérica o número
creamos el número 270, con este ángulo
rotamos la parte de color rojo en la figura
alrededor del punto “a” obteniendo así la
figura ilustrada.
Por otra parte también se puede
empezar a construir un polígono y
empezar a rotar y trasladar, el polígono
queda tal como se ilustra:

17. De esta forma con la ayuda de la rotación alrededor del punto “a” y del punto “m” y con
los ángulos ya propuestos, construimos unos vectores a lo largo de los lados del polígono
regular (cuadrado) y trasladamos la figura hasta obtener una imagen más o menos así:
15. La pecera
Construimos un cuadrado regular y por medio de
mediatrices, puntos medios, perpendiculares
realizamos la siguiente cuadrícula en el cuadrado,
luego aplicamos
simetría axial al punto
“a” con respecto a la
recta t y obtenemos el
punto a*:

18. A continuación con la ayuda de arcos y aplicando simetría axial
sobre la recta t al arco ya construido obtenemos al siguiente
figura
Con los puntos ya hallados y con la opción curvas y segmento, construimos la figura tal
como se ilustra:
Aplicamos simetría a la construcción anterior con respecto
a la recta t y tenemos:
Construimos un vector en la base del cuadrilátero y
trasladamos la figura resaltada de forma que se obtenga
la traslación vista; luego con la opción puntos medios
localizamos los puntos mostrados de forma que se pueda
construir el ojo del pez
Con la opción polígono, construir el pez y luego
trasladamos la circunferencia (ojo del pez) con el vector
ya hecho.

19. Construimos otros dos vectores sobre los lados del polígono, de forma que todos apunten
en diferentes direcciones tal como se ilustra
Nuevamente volvemos a trasladar el polígono del pez según el vector que apunta hacia la
cola del pez
Con la opción Polígono y los puntos de los
polígonos anteriores construimos otro pez
tal como se ilustra y luego hacemos el ojo de
este pez tal como se muestra en la figura,
esto se debe hacer con la ayuda de puntos
medios y puntos de intersección y, desde
luego, con circunferencia.

20. Por último ocultamos los puntos y las rectas de forma que solo queden los polígonos y los
vectores, luego empezamos a trasladar estas figuras con los vectores tal como se observa.
Luego de repetir este procedimiento y con los colores que desee se debe obtener un
resultado más o menos como el siguiente:

21. 16. Alhambra de comores
Para realizar la tesela debes comenzar con la opción [Polígono regular] realizas un
hexágono ABCDEF luego en la opción [Vector] trazas uno desde el punto A hasta el
centro del polígono, enseguida en la opción [Traslación] trasladas el polígono de acuerdo
al vector, quedándote una figura de la siguiente forma:
Con la opción [Círculo] trazas una circunferencia desde el
centro de cada uno de los hexágonos y otras desde el
punto F del primer hexágono y desde el punto E´ del
otro.
Después de esto deberás hacer 4 arcos hasta obtener “una figura curva” que será la base
de la tesela.
Finalmente, con la herramienta [Polígono] trazas el polígono sobre los arcos
anteriormente dibujados de tal forma que podamos colorear la figura resultante. Luego
con la opción [Ocultar-mostrar] ocultamos los hexágonos el vector los textos y los puntos
de la figura de tal manera que nos quede como la siguiente:

22. Luego trazamos un vector desde cada uno de los extremos y vamos a la opción
[TRASLACION] y trasladamos el polígono de acuerdo a la dirección del vector por último
en la opción [RELLENAR] rellenamos las figuras de la tesela del color deseado. Quedando
un teselado como este: