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1. Tarea 3 – Sistema de ecuaciones lineales, rectas y planos.
Lorraine Elizabet Castro Mendoza
Luz Angela Flórez
Algebra Lineal
Grupo 208046_152
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería ECBTI
Ingeniería Industrial
CEAD Cúcuta
2021

2. Ejercicio 1: conceptualización de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos.
Después de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, presentar de
forma individual en el foro un Mapa conceptual que ilustre los siguientes
conceptos:
B. Solución de un sistema de ecuaciones lineales por medio de la regla de Cramer.
https://www.goconqr.com/es-ES/mindmap/34235199/SISTEMA-DE-ECUACIONES-
LINEALES

3. Ejercicio 2. Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución
de problemas básicos.
Resuelva los sistemas de ecuaciones lineales, según el literal (A, B, D, D, E)
seleccionado, empleando el método de reducción de Gauss-Jordan. Valide graficando
en Geogebra* el punto de intersección de los planos. Debe relacionar la comprobación
y todo el procedimiento de reducción explicándolo paso a paso.
B.
𝟐𝒙
𝟐𝒙
−𝟑𝒚
+𝟐𝒚
−𝟐𝒙
+𝒛 =
+𝟑𝒛 =
+𝟑𝒚 =
𝟓
𝟕
−𝟐
}
𝑬𝟏
/𝟐
→
𝑥
2𝑥
−2𝑥
−1.5𝑦
+2𝑦
+3𝑦
+0.5𝑧 = 2.5
+3𝑧 = 7
= −2
}
𝟐𝑬₁−𝑬₂
𝟐𝑬𝟏
+𝑬₃
→
𝑥 −1.5𝑦
𝑦
+0.5𝑧 = 2.5
+2𝑧 = 2
𝑧 = 3
}
𝟏.𝟓𝑬𝟐 +𝑬₁
→
𝑥
𝑦
+3.5𝑧 = 5.5
+2𝑧 = 2
𝑧 = 3
}
𝟑.𝟓𝑬₃−𝑬₁
𝟐𝑬₃+𝑬₂
→
𝒙 = −𝟓
𝒚 = −𝟒
𝒛 = 𝟑
}
Verificación:
2(−5)
2(−5)
2(−5)
−3(−4)
+2(−4)
+3(−4)
+1(3) =
+3(3) =
=
−10
−10
+12
+8
10
+3 = 5
+9 = 7
−12 = −2
}

4. Ejercicio 3. Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución
de problemas básicos.
Defina el sistema de ecuaciones lineales que describe la problemática y resuélvalo por
medio de la reducción de Gauss-Jordán. Concluya según los resultados y compruebe
con ayuda de GeoGebra u otras herramientas.
B. Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de tres modelos
diferentes. Los mayores transportan una media diaria de 15000 kg. y recorren
diariamente una media de 400 kilómetros. Los medianos transportan diariamente una
media de 10000 kilogramos y recorren 300 kilómetros. Los pequeños transportan
diariamente 5000 kilogramos y recorren 100 km. de media. Diariamente los camiones
de la empresa transportan un total de 475 toneladas y recorren 12500 km. entre
todos. ¿Cuántos camiones gestiona la empresa de cada modelo?
TIPO DE CAMION NUMERO DE
CAMIONES
KILOGRAMOS
DIARIOS
KILOMETROS
DIARIOS
GRANDES x 15000 400
MEDIANOS y 10000 300
PEQUEÑOS z 5000 100
TOTAL 60 475000 12500
𝒙 +
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝒙 +
𝟒𝟎𝟎𝒙
𝒚 +
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝒚 +
𝟑𝟎𝟎𝒚
𝒛 = 𝟔𝟎
𝟓𝟎𝟎𝟎𝒛 = 𝟒𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝒛 = 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎
}
𝑬₂−𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝑬₁
𝑬₃−𝟒𝟎𝟎𝑬₁
→
𝑥 +
−
−
𝑦 +
5000𝑦 −
100𝑦 −
𝑧 = 60
10000𝑧 = −425000
300𝑧 = −11500
}
𝑬₂ /−𝟓𝟎𝟎𝟎
→
𝑥 +
−
𝑦 +
𝑦 +
100𝑦 −
𝑧 = 60
2𝑧 = 85
300𝑧 = −11500
}
𝑬₁−𝟏𝑬₂
𝑬₃+𝟏𝟎𝟎𝑬₂
→
𝑥
𝑥 +
−
𝑦 +
−
𝑧 = −25
2𝑧 = 85
100𝑧 = −3000
}
𝑬₃ /−𝟏𝟎𝟎
→
𝑥 −
𝑦 +
𝑧 = −25
2𝑧 = 85
𝑧 = 30
}
𝑬₁−𝟏𝑬₃
𝑬₂−𝟐𝑬₃
→
𝒙 = 𝟓
𝒚 = 𝟐𝟓
𝒛 = 𝟑𝟎
}
Verificación:
5 +
15000(5) +
400(5) +
25 +
10000(25)+
300(25)+
30 = 60
5000(30) = 47500
100(30) = 12500
}

5. Ejercicio 4. Aplicación de conceptos de rectas en 𝑹 𝟑 en la solución de problemas.
Según su literal seleccionado, defina la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de
la recta, y grafíquela o compruebe con ayuda de GeoGebra u otras herramientas.
B. De la recta que pasa por los puntos 𝑷(𝟏, −𝟖, 𝟑) 𝑦 𝑸(𝟒, 𝟎, 𝟖).
𝑷(𝟏, −𝟖, 𝟑)
𝒗
⃗
⃗ = 𝑷𝑸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑶𝑷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (4,0,8) − (1,−8,3) = (3,8,5)
𝒓
⃗ = 𝑷
⃗⃗ + 𝒕𝒗
⃗
⃗
𝒓
⃗ = (1, −8,3) + 𝑡(3,8,5)
(𝒙, 𝒚,𝒛) = (1, −8,3) + 𝑡(3,8,5)
(𝒙, 𝒚,𝒛) = (1, −8,3) + (3𝑡, 8𝑡, 5𝑡)
(𝒙, 𝒚,𝒛) = (1 + 3𝑡, −8 + 8𝑡, 3 + 5𝑡)
𝒙 = 1 + 3𝑡
𝒚 = −8 + 8𝑡 Ecuación Paramétrica de la recta.
𝒛 = 3 + 5𝑡
𝑥 − 1 = 3𝑡 𝒕 =
𝑥−1
3
𝒕 =
𝑦+8
8
𝒕 =
𝑧−3
5
𝑥−1
3
= 𝑡

6. 𝒙−𝟏
𝟑
=
𝒚+𝟖
𝟖
=
𝒛−𝟑
𝟓
Ecuación simétrica de la recta.
Ejercicio 5: Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos.
Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con
ayuda de GeoGebra u otras herramientas.
B. ¿Cuál es la ecuación normal del plano que contiene los puntos 𝑻(−𝟑, 𝟐, 𝟖),𝑷(−𝟑, −𝟏,
𝟐) 𝑦 𝑸(−𝟐, 𝟐, 𝟓)? Desarrolle el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y
grafique el plano correspondiente.
Solución:
1.Para encontrar la ecuación vectorial del plano se necesitan dos vectores directores
(linealmente independientes)

7. 𝑻𝑷
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑷 − 𝑻
𝑻𝑷
⃗⃗⃗⃗⃗ = (−3,−1,2) − (−3,2,8)
𝑻𝑷
⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,−3, −6) = 𝒖
⃗⃗
𝑻𝑸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑸 − 𝑻
𝑻𝑸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2,2,5)− (−3,2,8)
𝑻𝑸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,0,−3) = 𝑣
Por tanto, la ecuación vectorial del plano es:
(𝒙, 𝒚,𝒛) = 𝑇 + 𝛼𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝑣
⃗⃗⃗⃗
(𝒙,𝒚, 𝒛) = (−3,2,8)+∝ (0,−3, −6) + 𝛽(1,0,−3)
(𝒙, 𝒚,𝒛) = (−3,2,8) + (0𝛼,−3𝛼, −6𝛼) + (1𝛽, 0𝛽, −3𝛽)
𝒙 = −3 + 0𝛼 + 1𝛽
𝒚 = 2 − 3𝛼 + 0𝛽
𝒛 = 8 − 6𝛼 − 3𝛽
2. Para encontrar la ecuación normal del plano se necesita un vector normal al plano
𝒏
⃗⃗ = 𝑻𝑷
⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑻𝑸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒏
⃗⃗ = (0, −3,−6) × (1,0, −3)
|
𝒊 𝒋 𝒌
⃗
⃗
0 −3 −6
1 0 −3
| = [ (−3)(−3) − (0)(−6)]𝑖 − [ (0)(−3)− (1)(−6)]𝑗 +
[ (0)(0)− (1)(−3)]𝑘
⃗
|
𝒊 𝒋 𝒌
⃗
⃗
0 −3 −6
1 0 −3
| = [ 9− 0]𝑖 − [ 0 + 6]𝑗+ [ 0+ 3]𝑘
⃗ = 9𝑖 − 6𝑗 + 3𝑘
⃗
𝒏
⃗⃗ = (9, −6,3)
Y utilizando cualquiera de los tres puntos dados (por ejemplo, T) se tendría como
ecuación normal del plano:
con 𝑻 = [
−3
2
8
] , 𝒏
⃗⃗ = [
9
−6
3
] y 𝑺 = [
𝑥
𝑦
𝑧
]
𝑺. 𝒏
⃗⃗ = 𝑻. 𝒏
⃗⃗

8. [
𝑥
𝑦
𝑧
] . [
9
−6
3
] = [
−3
2
8
] . [
9
−6
3
]
La cual se convierte en la ecuación general del plano, quedando:
9𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = −27 − 12 + 24
9𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = −15
9𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 + 15 = 0
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 5 = 0
Ejercicio 6: retroalimentación de los ejercicios de un compañero de grupo.
Seleccione un literal desarrollado por uno de sus compañeros y manifiéstelo en el foro.
Luego, realice la respectiva retroalimentación de todos los ejercicios, dejando de
forma explícita las sugerencias y/o ajustes que usted identifique que se deban hacer
para mejorar el desarrollo de los ejercicios.
A. ¿Cuál es la ecuación normal del plano que contiene los puntos 𝑻(𝟎, 𝟏, 𝟑),𝑷(𝟎, 𝟕,
−𝟏)𝑦 𝑸(−𝟒, 𝟏, 𝟑)? . Desarrolle el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y
grafique el plano correspondiente.
Solución:
1.Para encontrar la ecuación vectorial del plano se necesitan dos vectores directores
(linealmente independientes)
𝑻𝑷
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑷 − 𝑻
𝑻𝑷
⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,7,−1) − (0,1,3)
𝑻𝑷
⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,6,−4) = 𝒖
⃗⃗

9. 𝑻𝑸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑸 − 𝑻
𝑻𝑸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−4,1,3)− (0,1,3)
𝑻𝑸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−4,0,0) = 𝒗
⃗
⃗
Por tanto, la ecuación vectorial del plano es:
(𝒙, 𝒚,𝒛) = 𝑻 + 𝜶𝒖
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝜷𝒗
⃗⃗⃗⃗⃗
(𝒙,𝒚, 𝒛) = (0,1,3)+∝ (0,6,−4) + 𝛽(−4,0,0)
(𝒙, 𝒚,𝒛) = (0,1,3) + (0𝛼,6𝛼, −4𝛼) + (−4𝛽,0𝛽, 0𝛽)
𝒙 = 0 + 0𝛼 − 4𝛽
𝒚 = 1 + 6𝛼 + 0𝛽
𝒛 = 3 − 4𝛼 + 0𝛽
2. Para encontrar la ecuación normal del plano se necesita un vector normal al plano
𝒏
⃗⃗ = 𝑻𝑷
⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑻𝑸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒏
⃗⃗ = (0,6, −4) × (−4,0,0)
|
𝒊 𝒋 𝒌
⃗
⃗
0 6 −4
−4 0 0
| = [ (6)(0)− (0)(−4)]𝑖 − [ (0)(0)− (−4)(−4)]𝑗+
[ (0)(0)− (−4)(6)]𝑘
⃗
|
𝒊 𝒋 𝒌
⃗
⃗
0 −3 −6
1 0 −3
| = [ 0− 0]𝑖 − [ 0 + 16]𝑗+ [ 0+ 24]𝑘
⃗ = 0𝑖 + 16𝑗 + 24𝑘
⃗
𝒏
⃗⃗ = (0,16,24)
Y utilizando cualquiera de los tres puntos dados (por ejemplo, T) se tendría como
ecuación normal del plano:
con 𝑇 = [
0
1
3
] , 𝑛
⃗ = [
0
16
24
] y 𝑆 = [
𝑥
𝑦
𝑧
]
𝑺. 𝒏
⃗⃗ = 𝑻. 𝒏
⃗⃗
[
𝑥
𝑦
𝑧
] . [
0
16
24
] = [
0
1
3
] . [
0
16
24
]
La cual se convierte en la ecuación general del plano, quedando:

10. 16𝑦 + 24𝑧 = 0 + 16 + 72
16𝑦 + 24𝑧 = 88
16𝑦 + 24𝑧 − 88 = 0
2𝑦 + 3𝑧 − 11 = 0

11. Bibliografía
Stanley, G. S., & Flores Godoy, J. J. (2012). Algebra lineal (8a. ed.). McGrawHill.
Sistemas de ecuaciones lineales. Pp (1-41). Recuperado de http://www.ebooks7-
24.com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=26
Stanley, G. S., & Flores Godoy, J. J. (2012). Algebra lineal (8a. ed.). McGrawHill. Rectas
en R3 . Pp (268-271). Recuperado de http://www.ebooks7-
24.com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=293
Stanley, G. S., & Flores Godoy, J. J. (2012). Algebra lineal (8a. ed.). McGrawHill. Planos.
Pp (271-275). Recuperado de http://www.ebooks7-
24.com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=296
Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Sistemas de Ecuaciones
Lineales. Pp (164-182). Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7081
Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Rectas en R3 . Pp (208-217).
Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7081
Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Planos. Pp (222-226).
Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7081