Hydraulique-BOUDERBALA-Abdelkader.pdf

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.
Polycopié de Cours déstiné aux étudiants
M1 Géotechnique
Mr. BOUDERBALA Abdelkader
Maître de conférences classe « B »
Septembre 2017
Université de Khemis Miliana ‫مليـانـــــة‬ ‫خميــــس‬ ‫جامعـــــة‬
Faculté des Sciences de la Nature et de la Vie
et des Sciences de la Terre
‫الطبيـعـــــة‬ ‫علـــوم‬ ‫كليـــــة‬
‫األرض‬ ‫و‬ ‫الحيـــاة‬ ‫و‬
Département des Sciences de la Terre ‫قســـم‬
‫علـــوم‬
‫األرض‬

2
Avant-propos
L’hydraulique occupe une place prépondérante dans notre vie quotidienne et dans
l’environnement naturel. Ses applications couvrent plusieurs domaines d’ingénierie tel que :
le domaine des sciences de l’eau (hydraulique urbaine, hydraulique à surface libre,
hydraulique souterraine, hydraulique agricole, hydrotechnique,…), le domaine des sciences
industrieles des fluides sous pression (hydroénergitique, moteur et pompe hydraulique,
l’energie hydraulique, machine hydrailique…), il y a même certains principes de
l’hydraulique sont utilisés en biologie dans le corps humain (système cardiovasculaire).
Le présent polycopie de cours que je présente dans le cadre de mon habilitation universitaire,
est destiné essentiellement aux étudiants de géotechnique, de deuxième cycle universitaire
(Master). Il peut être aussi utile pour d’autre spécialités : de génie civil ou travaux publics. Il
est surtout focalisé sur les lois d’hydrostatique et d’hydrodynamique des liquides et établit
des modes d’application de ces lois à la résolution des problèmes pratiques. Les principes sont
expliqués d’une façon claire avec une langue et vocabilaire assez accessibles.
Ce polycopié est arrangé en six chapitres. Le premier chapitre aborde les diffirentes unités
utilisées dans le système internationales ainsi que propriétés principales physiques des fluides.
Le deuxième chapitre est conscacré à l’hydrostatique, à la branche de l’hydraulique qui
s’occupe de l’équilibre du liquide et son intéraction avec les corps solides. Il examine la
variation horizonale et verticale de la pression, ainsi que les forces de preesion qui se
manifestent sur les parois planes et courbes.
Le chapitre troisième traite la dynamique des fluides, où il s’occupe des lois du mouvement
des particules fluides soumises à un système de force. Le chapitre traite le principe de
conservation de masse, et les équations d’Euler et de Bernoulli d’un fluide parfait.
Le quatermième chapitre est consacré aux régimes d’écouelemnt des liquides réels, c’est la
partie la plus importante de l’hydraulique, il traite surtout les régimes d’écoulement des
liquides, le mouvement de l’eau dans les conduites qui conduit à la perte d’énergie, et les
méthodes de détermination des pertes de charge linéaire et sigulière.
Le cinquième chapitre a été consacré aux écoulements à surface libre. Ces écoulements ont
une importance majeure, par ce que l’évacuation des eaux superfielles s’effectue par gravité.
Nous avons présenté les lois fondamentales de l’écoulement à surface libre pour un
écoulement parmanent uniforme et non-uniforme. L’objectif principal de ce chapitre est
d’arriver à dimensionner les canaux artificiels pour différentes formes, ainsi que de
déterminer ses hauteurs minimales.
Le troisième chapitre traite les problèmes posés par l’évacuation des eaux pluviales, c’est
l’assainissement routier. Il concerne surtout la configuration du réseau d’évacuation des eaux
superficielles dans les cas des talus en déblai ou en remblai, les formes des fossés utilisés, et
les ouvrages hydrauliques de franchissement des cours d’eau.
L’auteur
Mr. Bouderbala Abdelkader

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SOMMAIRE
INTRODUCTION GENERALE.......................................................................................................... 1
CHAPITRE 1: PROPRIETES PHYSIQUES DES FLUIDES.......................................................... 2
1.1 Définition d’un fluide.................................................................................................................... 2
1.2 Système d’unité............................................................................................................................. 2
1.3 Propriétés des liquides................................................................................................................... 2
1.3.1 La masse volumique (ρ, Rou) ................................................................................................ 2
1.3.2 Le poids volumique (γ, gamma)............................................................................................. 3
1.3.3 La densité ............................................................................................................................... 3
1.3.4 La viscosité............................................................................................................................. 3
1.3.5 La tension superficielle .......................................................................................................... 5
1.3.5 La capillarité........................................................................................................................... 6
CHAPITRE 2: HYDROSTATIQUE................................................................................................... 8
2.1 Introduction................................................................................................................................... 8
2.2 Pression en un point d’un fluide.................................................................................................... 8
2.3 Lois fondamentales........................................................................................................................ 8
2.3.1. Surfaces isobares................................................................................................................... 8
2.3.2. Variation de la pression sur un plan vertical......................................................................... 9
2.4 Quelques principes d’hydrostatique .............................................................................................. 9
2.4.1 Pression d’un point en différent forme d’un réservoir ........................................................... 9
2.4.2 Additivité des pressions ....................................................................................................... 10
2.4.3 Vases communicants............................................................................................................ 10
2.5 Pression absolue (totale) et pression relative (effective)............................................................. 11
2.6 Transmission des pressions (principe de Pascal)......................................................................... 11
2.7 Dispositifs de mesure de la pression ........................................................................................... 12
2.8 Les forces de pression sur les surfaces de la paroi ...................................................................... 13
2.8.1 Force de pression sur une surface plane............................................................................... 13
2.8.2 Force de pression sur une surface verticale ou inclinée ....................................................... 13
2.8.3 Force de pression sur une surface courbe............................................................................. 14

4
CHAPITRE 3: DYNAMIQUE DES FLUIDES................................................................................ 19
3.1 Introduction................................................................................................................................. 19
3.2 Notion de base............................................................................................................................. 19
3.2.1 Fluide parfait et fluide réel................................................................................................... 19
3.2.2 Ecoulement parmanent et non-parmanent............................................................................ 19
3.2.3 Ecoulement en charge et à surface libre............................................................................... 19
3.2.4 Fluide compressible et incompressible ................................................................................ 19
3.2.5 Ecoulement uniforme et non-uniforme ................................................................................ 19
3.2 Ligne de courant, tube de courant ............................................................................................... 20
3.3 Débit volumique, débit massique ................................................................................................ 20
3.4. Principe de conservation de la masse......................................................................................... 20
3.5 Equation d’Euler.......................................................................................................................... 21
3.6 Relation de Bernoulli................................................................................................................... 21
3.7 Tube de Pitot ............................................................................................................................... 23
3.8 Tube de Venturi........................................................................................................................... 23
CHAPITRE 4: REGIME D’ECOULEMENT DES LIQUIDES REELS...................................... 27
4.1 Introduction................................................................................................................................. 27
4.2 Experience de Reynolds .............................................................................................................. 27
4.3 Répartition de profils de vitesses................................................................................................. 28
4.4 Théorème de Bernoulli appliqué à un fluide réel avec pertes de charge..................................... 29
4.5 Pertes de charges ......................................................................................................................... 29
4.5.1 Pertes de charge linéaire....................................................................................................... 29
4.5.2 Pertes de charges singulières................................................................................................ 33
4.5.3 Perte totale de charges.......................................................................................................... 34
4.6 Equation de Bernoulli généralisée............................................................................................... 34
CHAPITRE 5: ECOULEMENT A SURFACE LIBRE................................................................... 37
5.1 Introduction................................................................................................................................. 37
5.2 Classification des écoulements.................................................................................................... 37
5.2.1 Variation temporelle............................................................................................................. 37
5.2.2 Variation spatiale ................................................................................................................. 37
5.3 Paramètres essentiels................................................................................................................... 38
5.3.1 Paramètres géométriques...................................................................................................... 38
5.3.2 Paramètres hydrauliques ..................................................................................................... 40
5.4 Equation de continuité................................................................................................................. 42

5
5.4.1 Vitesse d’écoulement ........................................................................................................... 42
5.4.2 Régimes d’écoulement......................................................................................................... 44
5.5 Ecoulement en régime permanent uniforme................................................................................ 45
5.6 Forme de section la plus avantageuse ......................................................................................... 48
5.7 Ecoulement parmanent non-uniforme......................................................................................... 49
5.7.1 Ecoulement graduellement varie.......................................................................................... 49
5.7.2 Ecoulement rapidement varié............................................................................................... 51
5.8 Section de contôle ....................................................................................................................... 53
CHAPITRE 6: ASSAINISSEMENT ROUTIER.............................................................................. 57
6.1. Rappels sur l’hydrologie de surface........................................................................................ 57
6.1.1 Notion d’un bassin versant................................................................................................... 57
6.1.2 Notion sur les précipitations................................................................................................. 57
6.1.3 Notion d'une averse et d'une intensité .................................................................................. 58
6.1.4 Notion de la période de retour.............................................................................................. 59
6.1.5 Courbes IDF (intensité-durée-fréquence)............................................................................. 59
6.1.6 Evaluation régionale des précipitations................................................................................ 60
6.1.7 Ecoulements superficiels...................................................................................................... 60
6.2. Assainissement routier............................................................................................................. 66
6.2.1 Introduction.......................................................................................................................... 66
6.2.2 Etapes à suivre pour une étude d’assainissement routier ..................................................... 66
6.2.3 Réseaux de collecte longitudinaux....................................................................................... 67
6.2.4 Ouvrages transversaux et de raccordement.......................................................................... 73
6.2.5 Ouvrages de contenance et de dépollution........................................................................... 73
6.2.6 Exutoires ............................................................................................................................. 73
6.2.7 Types et formes des fossés................................................................................................... 74
6.2.8 Autres ouvrages d’assainissement........................................................................................ 76
6.2.9 Les ouvrages de concentration des eaux .............................................................................. 79
6.2.10 Ouvrages de franchissement............................................................................................... 80

1
INTRODUCTION GENERALE
L’hydraulique est la science qui traite des problèmes posés par l’eau en mouvement ou en repos.
Généralement on la trouve dans plusieurs domaines de l’ingénieur à savoir :
- L’hydraulique urbaine traite essentiellement les problèmes de conception des réseaux de
distribution d'eau potable et d'évacuation des eaux usées et pluviales en milieu urbain.
- L’hydraulique agricole traite essentiellement les problèmes liés à la conception du réseau
d’irrigation, son stockage et sa distribution, et le drainage des eaux en surplus dans le sol.
- L’hydraulique fluviale traite essentiellement l'écoulement à surface libre dans les cours d'eau
naturels ou artificiels
- L’hydraulique maritime doit envisager la protection des ports contre la houle, l’étude de la
stabilité des digues et des jetées, la lutte contre l’érosion des plages, l’ensablement des entrées
de ports, etc.
- L’hydraulique souterraine constituée par l’étude générale des fluides dans les milieux poreux :
les écoulements de nappes souterraines, les bilans hydrologiques, l’étude des puits et des
forages, l’infiltration sous les ouvrages, la stabilité des digues en terre, l’irrigation et le
drainage, la diffusion de la pollution.
- L’hydraulique routière ou encore l’assainissement routier est l’ensemble des moyens
techniques utilisés pour résoudre les problèmes de collecte et d’évacuation des eaux
superficielles provenant des précipitations atmosphériques, et l’évacuation des eaux
souterraines internes. L’accumulation de ces eaux est privilégiée par les talwegs et dépressions
du relief. L’assainissement routier sera développé dans le dernier chapitre de ce polycopie vu
son importance pour les géotechnicien.
Nous mettons l’organigramme suivant pour les branches de l’hydraulique :
Physique
Mécanique
Mécanique des fluides
Hydraulique
Statique des fluides Dynamique des fluides
Dynamique des fluides parfaits Dynamique des fluides réels
Ecouelement en charge
Ecouelement à surface libre
Cinématique des fluides

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CHAPITRE 1: PROPRIETES PHYSIQUES DES FLUIDES
1.1 Définition d’un fluide
Un fluide est un milieu continu, même si l'on choisit un très petit élément de volume, il sera toujours
beaucoup plus grand que la dimension des molécules qui le constitue. Une gouttelette de brouillard,
aussi petite soit-elle à notre échelle, est toujours immense à l'échelle moléculaire. Elle sera toujours
considérée comme un milieu continu. Un fluide peut s'écouler librement par suite du peu d'adhérence
entre elles des molécules qui le composent. Cette propriété que l’on appelle fluidité est due à une
grande mobilité des particules fluides. On distingue les liquides et les gaz.
Les liquides sont : considérés comme incompressible, occupent un volume déterminé et adoptent la
forme du récipient où ils sont versés, produisent une surface libre en contact avec l’air,
Les gaz sont : très compressibles, n’ont pas de forme et occupe le volume maximum qui lui est offert,
et ne produisent aucune surface libre,
1.2 Système d’unité
Les unités de mesure de base du système internationale sont :
Grandeur physique symbole dimension unité
La longueur L ou l L m : mètre
Le temps t T s: seconde
La masse m M Kg : kilogramme
La température T t °C : degré celcius
La vitesse v LT-1
m/s
L’accélération a LT-2
m/s²
La force F M LT-2
N
La masse volumique ρ M T-3
Kg/m3
Le poids volumique γ M L-2
T-2
N/ m3
La pression P M L-1
T-2
N/ m2
= Pa
La viscosité cinématique υ L² T-1
m²/s
La viscosité dynamique µ ML-1
T-1
Kg/m.s = Pa.s
1.3 Propriétés des liquides
1.3.1 La masse volumique (ρ, Rou)
La masse volumique (ou masse spécifique) d’un corps, quelque soit son état est le quotient de sa
masse par son volume.
ρ = M/V [kg/m3
]
Les liquides comme les huiles et les alcools ont une masse volumique inférieure à celle de l’eau, alors
que la masse volumique du mercure est supérieure à celle de l’eau.
ρeau à 20 °C = 998.16 kg/m3
, ρmercure à 20 °C = 13546 kg/m3
les gaz ont une masse volumique très faible : ρair = 1.225 kg/m3
à 15°C au niveau de la mer (Z = 0m).

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La masse volumique de l’air est variable, en fonction de l’altitude.
Z = 0 m ρair = 1.225 kg/m3
Z = 2000 m ρair = 1.007 kg/m3
Z = 8000 m ρair = 0.525 kg/m3
Z = 12000 m ρair = 0.320 kg/m3
La masse volumique des liquides est une fonction inverse avec la tepérature. Donc si la température
augmente, la masse volumique de fluide diminue légèrement.
On donne ici quelques valeurs de la masse volumique de l’eau en fonction de la température
Tableau 1.1 Masse volumique de l’eau en fonction de la température
Température
(°C)
Masse volumique
de l’eau (kg/m3
)
Température
(°C)
Masse volumique
de l’eau (kg/m3
)
0 999.79 50 988.04
4 999.97 60 983.13
10 999.65 70 977.70
20 998.16 80 971.81
30 995.59 90 965.34
40 992.17 100 958.40
1.3.2 Le poids volumique (γ, gamma)
Le poids volumique est notion très utile, on le définit par le rapport du poids sur le volume de la
masse, ou la masse volumique multiplié par la gravité.
γ = ρ . g = (m . g)/V [N/m3
]
1.3.3 La densité
La densité d’une substance est égale à la masse volumique de la substance par la masse volumique du
corps de référence. Pour les liquides, la densité de l’eau est utilsée comme référence
(à 4 °C ρeau ≈ 1000 kg/m3
). Pour les gaz, les mesures s’effectué par rapport à l’air. La densité est un
grandeur physique sans dimension.
à
[Sans unité]
1.3.4 La viscosité
La viscosité d’un fluide est sa propriété de resister aux efforts tangentiels qui tendent à faire déplacer
les couches liquides les unes par rapport aux autres. C’est une grandeur qui caracterise les frottements
internes des fluides, elle est due à l’interaction entre les molecules des fluides. Elle caracterise la
resistance d’un fluide à son ecoulement.
Les fluides de faible viscosité s’ecoulant facilement comme l’eau, alors d’autres liquides coulent
difficilement comme les huiles de véhicules qui sont très visqueux.

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a./ Viscosité dynamique
La définition du coefficient de viscosité découle de la formule de Newton, fondée sur le modèle de
plusieurs plans superposés de surface « S », distants d’un espace « dy » et dont le plan supérieur est
animé d’une vitesse « V ».
Les plans successifs étant retenus entre eux par les forces de frottement, il s’établit entre eux une force
de cisaillement « F » responsables de la diminution de la vitesse de déplacement des plans successifs
d’une valeur « dv ».
Fig. 1.1 : Comportement d'un fluide dans un écoulement laminaire entre deux plaques parallèles
lorsque la plaque supérieure se déplace avec une vitesse constante.
La formule de Newton définit la viscosité dynamique « µ » comme étant le rapport entre la contrainte
de cisaillement (Force sur Surface) et le gradient de vitesse (taux de déformation).
[Pa.s]
une autre unité est utilisé pour la viscosité dynamique, c’est le « poise », avec 1 Pa.s = 10 Poise
Fig. 1.2 : Contrainte de cisaillement en fonction de taux de déformation pour les fluides Newtonien

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Remarque :
- Les fluides Newtoniens, sont des fluides qu’ont une viscosité constante, comme l’air, l’eau, l’huile
Alors que les fluides non-newtoniens ont une viscosité variable, comme les boues, les pates, …
- Nous pouvons dire aussi, que les fluides parfaits ont une viscosité nulle (c’est un fluide qui n’existe
pas dans la nature).
- La viscosité existe dès qu’il y a mouvement relatif entre particules, que ce soit en régime laminaire
ou turbulent.
- La viscosité dynamique de l’eau diminue avec l’augmentation de la température.
b./ Viscosité cinématique
La viscosité cinématique υ (nu) s’obtient en divisant la viscosité dynamique par la masse volumique ρ
Soit :
[m²/s]
Elle peut être exprimée aussi en Stockes (St) , avec 1St = 10-4
m²/s
Tableau 1.1 Quelques valeurs des viscosités dynamique et cinématiques pour différents fluides.
D’après ce tableau nous constatons :
µmercure > µeau > µair et υmercure < υeau < υair
1.3.5 La tension superficielle
Les molécules de fluides sont attirées mutuellement par des forces d’attraction appelées forces
cohésives. Les forces d’attraction des molécules de deux différents liquides non-miscibles sont
appelées adhésives.
Imagénons, deux plaques de verre entre lesquelles on
met un mince film d’eau. La plaque inférieure peut
supporter une masse de plusieurs centaines de
grammes avant de tomber. Les deux plaques semblent
être collées l’une à l’autre.
Certains insects sont capables de
se déplacer sur l’eau
Une piece de monnie flotte à la
surface de l’eau
Une épingle d’acier flotte à la
surface de l’eau
Fig. 1.3 : Quelques phénomènes de la tension superficielle

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Les phénomènes observés dans ces images sont dûs à l’existance des forces à la surface libre du
liquide, c’est la tension de surface. La tension superficielle est un phénomène physico-chimique lié
aux interactions moléculaires d'un fluide. La surface libre du liquide se comporte comme une
membrane élastique tendue.
La tension superficielle est une propriété des liquides
qui permet de maintenir en équilibre leur surface libre.
Elle caractérise le contact entre deux fluides,
généralement un liquide et un gaz. Une molécule dans
un liquide immobile est soumise aux forces
d'attraction de ses proches voisines.
Si cette molécule est située au sein du liquide, la
résultante de ces forces est nulle. Mais si cette
molécule est située en surface du liquide, la résultante
est une force dirigée vers l'intérieur du liquide.
Fig. 1.4 : Schéma de la tension superficielle
1.3.5 La capillarité
Le phénomène de capillarité est un phénomène d'interaction qui regroupe l'ensemble des phénomènes
qui ont lieu à la surface d'un liquide au contact d'une paroi solide. Donc les molécules d’une surface
solide attirent les molécules du liquide avec une force plus grande que celle qui existe entre les
molécules du liquide (à l’exeption du mercure). Le liquide s’élève au-dessus du niveau de l’eau ou
descend en-dessous du niveau en fonction des caractéristiques du liquide (masse volumique), en
fonction du diamètre de tube capillaire, et en fonction de la tension superficielle de ce liquide.
La surélévation d’eau dans le tube est appelée montée capillaire, et l’abaissement de mercure est
appelée la descente capillaire.
Fig. 1.5 : Phénomène de capillarité
La hauteur de capillarité « h » est déterminé par la formule de Jurin (en mètres) :
Avec, ϴ : angle de contact entre le liquide et la surface solide en degré
σ : tension superficielle du liquide (N/m²)
d : diamètre interne de tube capillaire (m)
Adhésion > Cohésion Adhésion < Cohésion

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Exercice 1 :
Un cylindre de 12.2 cm de rayon tourne à l’intérieur d’un cylindre fixe de même axe et de 12.8 cm de
rayon. Les deux cylindres ont 30 cm de long.
- Déterminer la viscosité du liquide qui remplit l’espace entre les deux cylindres s’il est nécessaire
d’appliquer un couple de 0.881 N.m pour maintenir la vitesse angulaire à 2π rad/s.
Solution :
La vitesse tangentielle du cylindre intérieur est : V = ω . r = 2 π x 0.122 = 0.766 m/s
Vu que l’intervalle entre les deux cylindre est petit, on peut admettre que le gradient est rectiligne et
on peut utiliser le rayon moyen.
Le couple de rotation : C = F x R
La force de cisaillement : F = τ x A (A : surface de contact du liquide avec le cylindre)
τ = 29.93 Pa
, µ = 29.93/128 = 0.234 Pa.s µ = 0.234 Pa.s
Exercice 2 :
Un tube en glace de diamètre 0,6 mm est inséré dans l’eau à 20 C.
- Déterminer l’ascension capillaire de l’eau dans le tube
Si : La tension superficielle de l'eau à 20 ° C est de 0,073 N/m.
L'angle de contact de l'eau avec le verre est de 0 °
Solution :
Selon la formule du Jurin
h = (4 x 0.073 x Cos 0°)/(1000x9.81x0.6 x 10-3
)
h = 0.05 m = 5 cm
L'eau monte dans le tube de 5 cm au-dessus du niveau de la surface du liquide.
Si le diamètre du tube était de 1 cm, la remontée capillaire serait de 0,3 mm, ce qui est à peine
perceptible à l'oeil. En fait, l'effet capillaire peut être ignoré pour les tubes de grand diamètre.

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CHAPITRE 2: HYDROSTATIQUE
2.1 Introduction
L’hydrostatique ou la statique de fluide est la branche de l’hydraulique qui s’occupe des fluides au
repos (équilibre absolu) ou accélérés en bloc (équilibre relatif) et son interaction avec les surfaces et
les corps solides immergés.
2.2 Pression en un point d’un fluide
Dans un fluide au repos, la pression désigne la force par unité de surface qui s’exerce
perpendiculairement à un élément de surface dS. La pression est indépendante de l'orientation de la
surface sur laquelle elle agit.
P = F/A
La pression hydrostatique en un point est égale dans toutes les directions
2.3 Lois fondamentales
Il existe deux lois fondamentales en hydrostatiques, et la connaissance de ces lois est absolument
nécessaire.
2.3.1. Surfaces isobares
Comment s’exerce la pression en différents points d’un plan horizontal dans un fluide d’une façon
générale ?
Imaginons, à l’intérieur d’un fluide un parallélépipède de faible hauteur allongé sur un plan horizontal
dont chacun des petits côtés est un élément de surface dS.
Pour une profondeur constante h1 = h2
La poussée vers la droite est : dF1 = P1 . dS
La poussée vers la gauche est : dF2 = P2 . dS
Et puisque le volume est à équilibre : ∑F = 0
Ce qui donne P1 = P2
Cette première loi fondamentale s’énonce ainsi :
La pression est identique en tous les points d’un plan horizontal dans un fluide en équilibre.
Fig. 2.2 : Variation de la pression sur un plan
horizontal
Fig. 2.1 : Direction d’une force sur un plan

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2.3.2. Variation de la pression sur un plan vertical
Comment s’exerce la pression en différents points d’un plan vertical dans un fluide ?
Imaginons, à l’intérieur d’un fluide un cube dont chacune des dimensions est un élément de longueur
dx, dy, et dz
Les forces sur les surfaces (forces de pression)
dF1= - P dx.dy = - P. dS
dF2 = + (P + dP) dx.dy = + (P + dP). dS
Les forces de volume (poids)
dw = - ρ.g. dx.dy.dz = - ρ.g. dS. dz
Puisque le volume est à l’équilibre ∑F = 0
– dF1 + dF2 - dw = 0 , avec dz = –Z2 – (–Z1)
ce qui donne + dP = – ρ.g. dZ
Cette équation peut s’écrire sous la forme : [m]
Cette équation peut s’écrire sous la forme c’est la loi de la statique de fluide.
Cette deuxième loi fondamentale s’énonce de la façon suivante :
Dans un plan vertical, la variation de pression entre deux points est égale au poids volumique du
fluide multiplie par la variation de la profondeur et la pression s’accroit avec la profondeur.
2.4 Quelques principes d’hydrostatique
A partir des lois fondamentales précédemment démontrées, on peut déduire trois principes de base
applicables au cas des liquides.
2.4.1 Pression d’un point en différent forme d’un réservoir
Démontrer que pour la même hauteur en différents volumes d’un réservoir, la pression est la même ?
Pour établir une équation qui permet de calculer directement la pression à une profondeur précise on
différents volumes d’un même liquide.
Fig. 2.3 : Variation de la pression sur un plan
vertical

10
On a , avec h2-h1 = h
Si on considère que la pression en surface est P1 = 0, ce qui donne
On voit que peu importe la forme du volume, s’il s’agisse du même liquide, on arrive à la même
pression.
Le premier principe de l’hydrostatique s’énonce :
La pression exercée par un liquide à une profondeur donnée est totalement indépendante de la forme
et du volume de liquide au-dessus de ce niveau.
2.4.2 Additivité des pressions
Quand des liquides non miscibles de masse volumique différente se superposent,
le calcul de la pression présente un cas particulier.
Ce deuxième principe de l’hydrostatique se formule de la manière suivante :
La pression en un point donné, dans les liquides hétérogènes, est égale à la somme des pressions
exercées par chacun des liquides au-dessus de ce point.
2.4.3 Vases communicants
Prenons le cas d’un réservoir avec différents
embranchement. Toutes les surfaces libres du
même liquide, supportant la même pression
sont dans le même plan horizontal.
Fig. 2.6 : Vases communicants
Fig. 2.5 : Additivité des pressions
Fig. 2.4 : Differentes formes de réservoirs

11
Le troisième principe de l’hydrostatique s’énonce comme suit :
Dans le cas d’un liquide à l’équilibre, la surface du liquide est en tout point à niveau égal quelle que
soit la forme du contenant.
2.5 Pression absolue (totale) et pression relative (effective)
La pression relative est référée à la pression atmosphérique. Dans de nombreux cas les effets de la
pression atmosphérique se compensent quand elle agit sur toutes les parois : seuls sont alors
intéressants les effets de la pression due au liquide (pression uniquement due au fluide). cette pression
peut donc prendre une valeur positive si la pression est supérieure à la pression atmosphérique ou une
valeur négative si la pression est inférieure à la pression atmosphérique.
La pression absolue est la pression mesurée par rapport au vide absolu (c'est-à-dire l'absence totale de
matière). Elle est toujours positive.
Les deux types de pressions correspondent physiquement à la même pression, elles sont simplement
exprimées sur des échelles ayant des "zéros" différents. La relation suivante permet de passer de l'une
à l'autre:
Pabsolue = Prelative + Patmosphérique
On parle parfois de pression différentielle: il s'agit de la différence de pression mesurée entre deux
points. Cette différence a évidemment la même valeur pour des pressions exprimées en pression
absolue ou en pression relative.
On parle de dépression quand la pression absolue est inférieure à la pression atmosphérique:
la pression relative est négative dans le cas d'une dépression.
2.6 Transmission des pressions (principe de Pascal)
un liquide en équilibre transmet intégralement et en tous ses
points toutes variations de pression produites en un point
quelconque de ce liquide.
Ce principe est connu sous le nom de principe de pascal.
Ce phenomene de transmission de pression permet le
developpement du fonctionnement de la presse hydraulique, le
cric, piston hydraulique.
Fig. 2.8: Transmission de pression
Fig. 2.7 : Le référence zéro des
pressions absolue et relative

12
La transmission de pression conduit au rapport suivant dans
une presse hydraulique :
P1 = P2 , donc F1/S1 = F2/S2
Donc on appliquant une faible force F1 dans la S1, on obtient
une très grande force F2 qui depent directement de la surface S2
dans un cric hydraulique par exemple, les pressions en A
et B sont égales , ce qui donne :
FB = FA x SB /SA , donc la force FB est multiplie
Si on applique une force Fo sur le levier du cric, soit à
une distance « a » par raport au point de rotation, et à une
distance « b » du centre de piston au point de rotation, et
appliquant le pricipe des moments on obtient :
Fo x a = FA x b , cela donne FA = Fo . a / b
Et donne finalement FB = Fo . (a / b) . (SB /SA)
On tenant compte des pertes d’energie dans les parties frottantes, nous introduisons un facteur de
randement qui varie généralement entre η = 0.8 à 0.9
Ce qui donne FB = η . Fo . (a / b) . (SB /SA)
2.7 Dispositifs de mesure de la pression
La mesure de la pression se fait par divers types de manometres pour les pressions relatives
(manometriques) positives, et par le vacuometre pour les pressions relatives negatives (pressions
vacuometriques). Il y’a entre autre divers types d’instrument de mesures de la pression, dont :
 Les tubes manometriques : utilises pour la mesure de pressions relativement faibles, comme les
tubes piézometriques, tubes à liquide manométriques, manomètres différentiels, les anciens
baromètres,…
 Les manometres mecaniques : utilises pour la mesure de pressions relativement plus elevées,
comme les manometres mecaniques à aiguille ou numérique, nouveaux baromètres,
vacuomètres,…
Fig. 2.10 : Cric hydraulique
Fig. 2.9: Principe de Pascal

13
2.8 Les forces de pression sur les surfaces de la paroi
2.8.1 Force de pression sur une surface plane
Sur un plan horizontal dans un liquide au repos la pression
est la même.
F = ρ . g . h . S (S : est la surface)
Fig. 2.11: force de pression sur une surface plane.
La force de pression du liquide correspond au poids de la colonne du liquide à une hauteur « h »
au-dessus de lui. Donc la force dépend de la hauteur « h » et de la surface du fond, et ne dépend ni du
volume, ni du fond du réservoir (pour différentes formes de réservoir, la force de pression est la
même).
2.8.2 Force de pression sur une surface verticale ou inclinée
Chaque point d’une surface inclinée en contact avec le liquide est soumis à une pression différente en
fonction de la profondeur d’immersion.
avec, hc.g : hauteur du centre de gravité de la surface « S »
Donc pour calculer la valeur de la force de pression « F » sur un paroi, on doit connaitre la position de
son centre de gravité.
Fig. 2.12: Force de pression et centre de poussée d’un liquide sur un plan incliné (Ghernaout 2010).
Pour déterminer le point d’application de la force « F », on doit déterminer la hauteur du centre de
poussée « hc.p ». pour cela on utilise un principe de la mécanique, soit :
Avec, S : surface de la paroi ;
yc.g : la distance entre le bord de l’eau et le centre de gravité ;
Ix : le moment d’inertie de la surface de la paroi par rapport au bord de l’eau.

14
Pour le calcul de « Ix », on remplace le moment d’intertie par rapport au bord de l’eau par le moment
d’interie « Ic.g » par rapport à l’axe parallèle à celui-ci qui passe par le centre de gravité.
Ix = Ic.g + yc.g² . S , donc on obtient
Fig. 1. 13 : Moment d’inertie, surface et centre de gravité de quelques formes géométriques
(Yunus et al. 2006).
2.8.3 Force de pression sur une surface courbe
La force de pression ou la force hydrostatique « FR » appliquée sur une surface courbe est égale la
résultante entre la forces de poussée horizontale « FH » et verticale « Fv ».
Fig. 2. 13 : Détermination de la force hydrostatique agissant sur une surface incurvée immergée
(Yunus et al. 2006).

15
La composante horizontale de poussée est égale au produit de cette pression « P » et de la projection
verticale de cette surface.
FH = Fx = ρ . g . hc.g . Sv avec Sv : surface sur la projection verticale
Fv = Fy + W = Fy + ρ . g . V avec V: volume du liquide de la surface ABC.
β = Arctg (Fv / FH)
Fig. 2. 14 : Exemples de détermination du poids « W » dans le cas d’une surface courbe

16
Exercice 1 :
La figure ci-dessous représente un réservoir ouvert, équipé de deux tubes piézométriques et rempli
avec deux liquides non miscibles :
L'huile a masse volumique ρ1=720 kg/m3
, avec une hauteur h1 = 1.7 m,
L’eau salée a masse volumique ρ2=1025 kg/m3
, une hauteur h2 =0.3 m.
- Déterminer la hauteur de l’huile au point E ;
- Déterminer la pression relative au point B ;
- Déterminer la pression relative au point C ;
- Déduire le niveau piézométrique au point D.
Solution :
- Le point E s’élèvera dans le piézomètre à la même
hauteur que le liquide A dans le réservoir, par ce
le piézomètre et le réservoir sont soumis les deux
à la pression atmosphérique
- La pression relative au point B :
PB = ρhuile x g x h1 = 720 x 9.81 x 1.7 = 12007 Pa
- La pression relative au point C :
PC = ρhuile x g x h1 + ρeau x g x h2 = 12007 + 1025 x 9.81 x 0.3 = 15024 Pa
- Le niveau piézométrique au point D
Exercice 2 :
De l’huile de densité 0.75 coule à travers la conduite
représentée dans la figure ci-dessous, et fait monter le
mercure dans le manomètre en U.
Calculer la valeur de h si la pression en A est de 1.38
bar.
Solution :
Pression en B = Pression en C
PB = PA + ρhuile.g. (0.8 + h)
Pc = PD + ρmercure.g. (h)
PA + ρhuile.g. (0.8 + h) = PD + ρmercure.g. (h)
1.38 105
+ 750 x 9.81 x (0.8+h) = 0 + 13570 x 9.81 x h ce qui donne h = 1.14 m

17
Exercice 3 :
Calculer la grandeur de la force due à l’action de l’eau sur une surface rectangulaire de 6m x 3 m pour
une paroi verticale (A-B) et une paroi inclinée de forme triangulaire (C-D) de 6m x 4m avec un
sommet au point C, comme représentée dans la figure ci-dessous.
Déterminer la position du centre de poussée de l’eau
Solution :
1) grandeur de la force et position de la force de
poussée de la surface verticale AB:
FpAB : force s’exerçant sur la paroi verticale
AB = ρghc.g SAB
FpAB = 1000 x 9.81 x (4+3) x (6 x 3) = 1236.06 KN
La force résultante s’applique au centre de pression qui est situé à une profondeur par rapport à la
surface de :
2) La grandeur de la force et position de la force de poussée de la surface inclinée CD:
FpCD : force s’exerçant sur la paroi inclinée CD = ρghc.g SCD
FpAB = 1000 x 9.81 x (4+ x Sin 45°) x ( ) = 1071.72 KN
La force résultante s’applique au centre de pression qui est situé à une profondeur par rapport à la
surface de :
Exercice 4 :
Déterminer les composantes de la force due à l’action de l’eau par
mètre de longueur sur la surface courbe AB.
Solution :
Fx : force s’exerçant sur la projection verticale CB = ρghc.g SCB
Fx = 1000 x 9.81 x (1) x (2x1) = 19620 N
Qui agit à (2/3) x (2) = 1.33 m de C
Fy : poids de l’eau au-dessus de la surface AB = 9810 (π 2²/4 x 1) = 30820 N

18
Exercice 5 :
AB est un arc circulaire de 2m de rayon et de 1m de largeur.
- Calculez la magnitude et la direction de la force hydrostatique exercée sur la surface AB
Solution :
Fx = FAC = 1000 x 9.81 x (4+1) x (2 x 1) = 98.1 KN
Fy = W + FCB ;
W = 1000 x 9.81 x 3.14 = 30.8 KN
FCB = 1000 x 9.81 x 4 x (2 x 1) = 78.5 KN
Fy = 109.3 KN
Les coordonnées du centre de la pression
yc.p : est la composante horizontale
xc.p : est la composante verticale (∑MC = 0)
xc.p x Fy = FBC x 1m + W x , avec
ce qui donne xc.p = 0.957 m
avec une direction ϴ = Arctag (Fy/Fx) = 48.1°

19
CHAPITRE 3: DYNAMIQUE DES FLUIDES
3.1 Introduction
L’hydrodynamique c’est la partie de l’hydraulique qui s’intéresse surtout aux mouvements des fluides.
L’étude des principes de conservation de la masse, l’écoulement tubulaire (laminaire/turbulent), les
mesures du débit,…
L’hydrodynamique étudie un grand nombre de problème d’ordre pratique lié au mouvement du liquide
tel que : le mouvement de l’eau dans les conduites et dans les canaux, les turbomachines,…
3.2 Notion de base
3.2.1 Fluide parfait et fluide réel
Un fluide parfait est un fluide dépourvu de la viscosité. Ses particules glissent les unes sur les autres
sans frottement, sans tourner sur elles-même et sans tourbilloner, donc sans perte de charge.
En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans
prendre en compte les effets de frottement.
Contrairement à un fluide parfait, qui n’est qu’un modèle pour simplifier les calculs, pratiquement
inexistant dans la nature, un fluide réel se caractérise par sa viscosité ce qui conduit à une perte
d’energie à cause des frottement le long du mouvement du fluide.
3.2.2 Ecoulement parmanent et non-parmanent
Un régime est dit parmanent quand en un point ou dans une section, la vitesse moyenne, le débit, la
pression, et tous autre paramètres restent constante dans le temps. Alors qu’on régime non-parmanent
(variable) se caractérise par la variation de ces paramètres dans le temps du même point ou de la même
section.
3.2.3 Ecoulement en charge et à surface libre
L’écoulement en charge c’est un écoulement sous-pression qu’on le trouve dans les conduites à
section pleine. Alors que l’écouelemnt à surface libre qui a lieu dans les cours d’eau et les canaux
artificiels, son plan d’eau supérieur étant libre et il est en contact direct avec l’atmosphère, et
l’écoulement se fait par gravité.
3.2.4 Fluide compressible et incompressible
On sait que la compressibilité des gaz est très élevée et influe beaucoup sur leur comportement.
Par contre les liquides sont très peu compressibles. En pratique on les considèrent comme
incompressibles. Un fluide est dit incompressible lorsque le volume occupé par une masse donnée ne
varie pas on appliquant une pression extérieure.
3.2.5 Ecoulement uniforme et non-uniforme
L’écouelement uniforme est subdivisé en un écoulement uniforme et un autre non-uniforme (varie).
D’une section à une autre section, si rien ne varie (vitesse moyenne, débit) le long d’une distance,
l’écoulement est dit uniforme. C’est le cas de l’écoulement dans les tuyaux rectilignes, loin des
singularités.
L’écoulement non-uniforme diffère par la variabilité des paramètres. On le rencontre dans les cas où la
vitesse moyenne change avec la présence d’un changement de section, même si le débit reste le même.

20
3.2 Ligne de courant, tube de courant
On appelle lignes de courant, des lignes tangentes en chacun de
leur point à la direction des vecteurs de vitesses d'écoulement à
l'instant « t ». Cette ligne est tracée par une série de points dans le
liquide en mouvement. On peut dire que la ligne de courant
représente le parcours d’une masse élémentaire de fluide.
L’ensemble des filets d’écoulement traversant une section
quelconque perpendiculaire aux flux général détermine un tube
d’écoulement de courant.
3.3 Débit volumique, débit massique
En hydraulique, en utilise souvent la notion de débit et la vitesse moyenne d’écoulement.
Le débit du liquide est la quantité du liquide passant par unité de temps par une section d’écoulement
donnée du courant, on distingue :
- Le débit volumique « Q » mésuré en m3
/s ou en l/s : étant le volume de liquide qui traverse une
section par unité de temps
Q = volume /temps = vitesse x section (Q = volume/temps = V x S)
- Le débit massique « » mesuré en Kg/s : étant la masse de liquide qui traverse une section par unité
de temps
= masse volumique / temps ( = m/t = ρ x volume/temps = ρ x Q)
avec
V : vitesse moyenne en m/s ;
S : section transversale de la conduite en m² ;
ρ : masse volumique du liquide en m3
/s
3.4. Principe de conservation de la masse
Soient S1 et S2 deux sections normales d’un petit tube de courant, ρ1 et ρ2 les masses spécifiques, V1
et V2 les vitesses scalaires moyennes du fluide qui traverse ces sections. Selon le principe de
conservation de la masse, les débits de masse à travers S1 et S2 sont égaux en régime stationnaire:
ρ1 S1 V1 = ρ2 S2 V2
Dans le cas d’un liquide incompressible : ρ1 = ρ2 ,
Ce qui donne S1 V1 = S2 V2 c’est le débit volumique
Ce résultat s’applique notamment à l’écoulement d’un liquide
dans un tuyau de section variable. C’est l’équation de continuité
d’un filet liquide incompressible.
Fig. 3.1 : Ligne et tube de
courant pour un écoulement
Fig. 3.2 : Principe de
conservation de masse

21
3.5 Equation d’Euler
Prenons un tube de courant ayant à l’intérieur un volume infinitésimal de fluide dont l’aire de section
est « S », la longueur « ds » et de masse « m ». à cet endroit le tube de courant fait un angle « α » avec
l’horizontale. A la section 1, la pression est « P » et à la section 2, la pression est « P+ dP ». de la
section 1 à la section 2, il y a un changement de vitesse « dv » et une hausse de niveau « dx ».
A la section (1) la force F1 = P.S
A la section (2) la force F2 = -(P + dP).S (sens inverse de l’écoulement)
La projection de la masse dans le sens d’écoulement : - m.g.Sin(α)
Selon la deuxième loi de Newton, la poussée nette est égale à Qm.dv, donc :
-dP.S – m.g. Sin(α) = Qm.dv = (ρ. V. S ). dv
On a : m = ρ. S.dx et Sin(α) = dz / dx
-dP.S – (S.dx . ρ.g). dz / dx = ρ.V.S. dv
En simplifiant, on obtient une relation très importante en mécanique des fluides, l’équation d’Euler.
3.6 Relation de Bernoulli
Appliquons l’équation d’Euler à l’écoulement du liquide parfait ; la masse volumique étant invariable,
il devient facile d’intégrer chaque terme de cette équation entre deux sections quelconques, 1 et 2 :
Ce qui donne :
Cette relation peut s’écrit sous la forme :
C’est l’équation de Bernoulli (1700-1782)
Fig. 3.3 : Principe de
conservation de masse

22
Expression dans laquelle
P : désigne la pression,
z : la hauteur par raport à un niveau de repère,
v : la vitesse du courant.
L’unité pour les trois termes est le joule par newton, c'est-à-dire d’énergie par unité de poids :
a. L’équation de Bernoulli peut s’interpréter en terme de hauteur
z : hauteur géométrique / altitude
: hauteur due à la pression / hauteur manométrique , : hauteur piézométrique
: hauteur due à la vitesse / hauteur capable
Les trois hauteurs donnent la hauteur de la charge totale
b. L’équation de Bernoulli peut s’interpréter en terme de pression
P : pression statique
: pression hydrostatique
: pression cinétique ou pression dynamique (elle résulte du mouvement)
Les trois termes donnent la pression totale (ou la charge)
c. L’équation de Bernoulli peut s’interpréter en terme d’énergie
multiplions tous les termes de l’équation par un volume « V »
Epr = P.V : Energie de pression ;
Ep = z.ρ.g.V = m.g.z : Energie potentielle ;
Ec = = : Energie cinétique
Em = Cte
.V : Energie totale / energie mécanique
d. Représentation graphique de l’équation de Bernoulli
Nous pouvons représenter les trois hauteurs de l’équation de Bernoulli pour différentes sections d’une
conduite. Il devient facile, et parfois très utile, d’en faire une représentation graphique.
Vu qu’il s’agit d’un fluide parfait, l’energie totale par unité de poids demeure constante ;
elle détermine une droite parallèle au plan de référence, la ligne de charge énergitique ou plus
simplement ligne de charge. La somme des deux premiers termes (z + P/ρg) détermine une ligne qu’on
appelle la ligne piézométrique.

23
Fig. 3.4 : Représentation de l’équation de Bernoulli d’un d’un fluide parfait
(Beaudy et Rolland 1995)
3.7 Tube de Pitot
Le tube de pitot est largement utilisé comme une sonde portative pour mesurer la vitesse d’un
écoulement. Il s’agit d’un tube de faible diamètre ≈ 5 mm.
La formule utilisée pour le cas d’un tube de Pitot, qui donne la vitesse en fonction de la différence de
hauteur.
Avec :
Cv : coefficient de vitesse dont la valeur est fournie par le fabricant de l’instrument ou obtenue
par étalonnage. Dans le cas des appareils bien conçus Cv = 0.98
3.8 Tube de Venturi
Considérons l’écoulement d’un fluide incompressible dans un Venturi dont l’entrée est « S1 », la
section de la gorge « S2» et la section de sortie « S3». Les tubes piézométriques placés au niveau des
sections 1, 2 et 3 indiquent des hauteurs h1, h2 et h3.
En supposant qu’il n’y a aucune perte de charge dans ce tronçon de conduite, et l’écoulement est
permanent, l’équation de Bernoulli s’écrit :
Fig. 3.5 : Tube de Pitot

24
V1, V2 et V3 sont les vitesses moyennes dans les sections 1, 2 et 3
en appliquant l’équation de continuité, on a :
V1 S1 = V2 S2 = V3 S3 = Q………………….(2)
Q : étant le débit volumique passant dans le Venturi
On va chercher la valeur de la vitesse « V2 » en fonction de « V1 ». En remplaçant dans la formule (1)
la valeur V1 , on trouve finalement la relation suivante :
En réalité le débit déterminé par cette relation est inférieur à la valeur réelle mesurée
exprimentalement. Cette différence est décrite par le coefficient de débit « Cq », ce coefficient peut
être déterminé exprimentalement, il est généralement compris entre 0.9 à 0.99
Fig. 3.6 : Tube de Vernturi (Gaaloul 2013)

25
Exercice 1 :
L’eau s’écoule de point A vers B à un débit de 0,37 m3
/s et une hauteur de pression en A de 6,6 m.
Considérant qu’il n’y a aucune perte d’énergie entre A et B.
Calculer la pression en B et tracer la ligne de charge.
On donne : diamètres en A = 30 cm et en B = 60 cm
Côtes en A=3,0 m et en B=7,5 m
Solution :
On applique l’équation de Bernoulli en les points A et B
VA = Q / SA = 5.24 m/s et VB = 1.31 m/s
Exercice 2 :
On considère le siphon schématisé dans la
figure, de diamètre 10 mm.
- Calculer la vitesse au point 4 et le débit
volumique;
- Calculer la pression au point 3 ;

26
Solution :
On applique l’équation de Bernoulli en les points 2 et 4
On a P1 = P2 = P4 = Patm , V2 ≈ 0 m/s , Z2 = 0.5 m et Z4 = 0 m
= 3.13 m/s
Le debit volumique Q = V4. S → Q = 0.246 l/s
La pression au point 3 : (On applique l’équation de Bernoulli en les points 3 et 4)
On a P4 = Patm , Z3 = 1.0 m et Z4 = 0 m
Pression relative P3rel = -1 m CE (P3rel = -10 KPa) et pression absolue P3abs ≈ + 9 mCE (P3 abs ≈ 90 KPa)
Exercice 3 :
Un tube Venturi, avec un diamètre d’entré de 30 cm et la gorge à un
diamètre de 15 cm, utilisé pour la mesure de débit. La dénivellation du
mercure du manomètre différentiel est de 35.8 cm.
Déterminer le débit traversant le Venturi, si le coefficient de débit
Cq=0.99 (on néglige les pertes de charge)
Solution :
On applique l’équation de Bernoulli en les points A et B
QA = QB → VA . SA = VB . SB ce qui donne VA = 0.25 VB
On a la pression au point L = à la pression au point R
PA + ρeau g (z + 0.358) = PB + ρeau g (0.75 + z) + ρmercure g (0.358 )
PA – PB = 3845.52 + 47657.57 = 51503.1 Pa
Donc 51503.1 = 7357.5 + 468.75 VB² , soit VB = 9.7 m/s
et
Le débit réel qui traverse le Venturi = Q x Cq = 0.172 x 0.99 = 0.17 m3
/s

27
CHAPITRE 4: REGIME D’ECOULEMENT DES LIQUIDES REELS
4.1 Introduction
Lorsque on considère le fluide comme étant parfait, c’est comme s’il se comportait de façon idéale
dans son écoulement, sans perte de charge causée par les frottements entre les molécules du fluide et
les parois, alors que ce n’est pas la réalité, par ce que il y a effectivement des pertes d’energie le long
d’un écoulement dans les conduites. Donc il faut une méthode pour calculer ces pertes de charge.
Plusieurs scientifique s’intéressent à la perte d’energie dans les conduites, mais c’est à l’ingénieur
anglais Reynolds (1842-1912) que revient le mérite d’avoir défini clairement ce qu’est un liquide réel.
4.2 Experience de Reynolds
Un liquide est dit réel lorsqu’on tient compte de sa viscosité qui est le paramètre représentant sa
résistance à l’écoulement.
On dit qu’un liquide est visqueux
lorsqu’il s’écoule avec difficulté.
C’est donc la viscosité qui
engendre les forces de frottements
ou de cisaillement entre le liquide
et les parois de la conduite.
Reynolds a réalisé une étude systématique du régime d’écouelement en fonction de différents
paramètres intervenant dans le régime d’écoulement : vitesse d’écoulement, viscosité, diamètre.
Il a mis en évidence deux catégories d’écoulemnt pour un liquide réel : un régime laminaire et un autre
turbulent, avec un régime de transition entre les deux régimes.
Reynolds a constaté à partir de ses travaux sur le liquide réel, qu’il existe deux forces :
- La force d’inertie, qui dépend de la vitesse moyenne du liquide, du diamètre de la conduite et
de la masse volumique du liquide.
- La force de viscosité, qui est la viscosité dynamique du liquide.
Reynolds a donné son nom a ce nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds « Re » donné par
la relation :
V : vitesse moyenne d’écoulement (m/s) ;
µ : viscosité dynamique du liquide (Pa.s) ;
D : diamètre intérieur de la conduite (m) ;
υ : viscosité cinématique du liquide (m²/s).
ρ : masse volumique du liquide (Kg/m3
)
Fig. 4.1 : Montage de l’experience Reynolds

28
l’experience montre que :
Si Re < 2000 le régime est Laminaire : la force viscosité domine le mouvement du liquide
Fig. 4.2 : Ecoulement laminaire, en minces filets parallèles
Si 2000 < Re < 3000 le régime est intermédiaire (transition)
Fig. 4.3 : Ecoulement de transition,avec des filets de courant sinueux
Si Re > 3000 le régime est Turbulent : la force viscosité ne contrôle plus le mouvement des
molécules de liquide.
Fig. 4.4 : Ecoulement turbulent,apparition de turbulence
4.3 Répartition de profils de vitesses
En régime Laminaire: en écoulement laminaire la vitesse des particules est faible et que les lignes de
courant sont régulières, parallèles aux parois du contenant. Le profil de vitesse se répartit de manière
hyperbolique dans la section du conduit. Dans cette configuration, les forces visqueuses de
cisaillement sont supérieures aux forces de frottement.
En régime Turbulent : dans un écoulement turbulent les directions des particules se déplacent en
tourbillons, dont la taille, la localisation et l'orientation varient constamment, de manière désordonnée.
Ils apparaissent lorsque la vitesse est importante par rapport aux forces de viscosité. La dissipation des
énergies génère finalement un profil des vitesses plutôt régulier. Dans cette configuration, la vitesse
décroit de manière brutale au plus près des parois.
Fig. 4.5 : Profil de vitesse en régime laminaire
Fig. 4.6 : Profil de vitesse en régime turbulent

29
4.4 Théorème de Bernoulli appliqué à un fluide réel avec pertes de charge
Lors d'un écoulement d'un fluide réel, il peut y avoir des pertes de charge entre deux sections (1) et
(2): dans le cas d’une installation ne comportant pas de machine hydraulique (pompe ou turbine) on
écrira la relation de Bernoulli sous la forme :
ΔH1-2 : les pertes de charge totale (en m)
4.5 Pertes de charges
Nous avons vu qu'il existe des freins au bon écoulement d’un liquide, à l'origine de chutes de pression
autrement appelées pertes de charge. Ces dernières dépendent :
 Des frictions intermoléculaires en relation avec la viscosité du liquide ;
 des frottements superficiels contre les parois de la canalisation ;
 des obstacles qui créent des variations géométriques.
 de la forme, des dimensions et de la rugosité de la canalisation
 de la vitesse d'écoulement
Ces pertes de charges totales « ΔHt = ΔHL + ΔHS » sont divisées en deux catégories :
- Pertes de charge primaires / linéaires «ΔHL » : elles sont dues aux frottements du liquide sur
la paroi interne de la tuyauterie. Les frictions visqueuses et les frottements sont liés à la
longueur de la canalisation. On les appelle aussi pertes de charge régulières ou systématiques.
- Pertes de charge secondaires / singulières «ΔHS »: elles sont provoquées par les accidents de
parcours (coudes, élargissements ou rétrécissement de la section, organes de réglage, etc.). On les
appelle aussi pertes de charge accidentelles ou locales.
4.5.1 Pertes de charge linéaire
Ce genre de perte est causé par le frottement intérieur qui se produit dans les liquides ; il se rencontre
dans les tuyaux lisses aussi bien que dans les tuyaux rugueux. Entre deux points séparés par une
longueur L, dans un tuyau de diamètre D apparaît une perte de charge ΔH1-2.
Fig. 4.7 : Perte de charge linéaire ΔH1-2 entre les sections 1 et 2

30
Les pertes de charges linéaires, sont des pertes de charge réparties régulièrement le long des conduites.
En chaque point d’un écoulement permanent, les caractéristiques de l’écoulement sont bien définies et
ne dépendent pas du temps. La vitesse étant constante, la ligne piézométrique et la ligne de charge sont
parallèles.
Les chercheurs Weisbach et Darcy qui poursuivaient des recherches sur les écoulements, ont démonté
que pour un écoulement donnée les pertes de charge linéaires :
 Sont proportionnelles à la longueur L de la conduite, inversement proportionnelles à son
diamètre D, proportionnelle au carré de la vitesse débitante V du fluide.
 Dépendent de la rugosité de la paroi ε, de la viscosité µ et de la masse volumique ρ du
liquide.
Ils donnent la relation suivante :
ΔHL : perte de charge linéaire (m)
λ : représente le coefficient de frottement (coefficient de perte de charge)
L : longueur de la conduite (m)
D : diamètre hydraulique (m) (diamètre hydraulique = 4 x Section / Périmètre)
V : vitesse moyenne d’écoulement (m/s)
Les nombreuses formules de calcul mettent en jeu l'effet de la viscosité (au travers du nombre de
Reynolds Re) et celui de la rugosité (au travers de l'indice de rugosité absolue ε) et ce, plus ou moins
selon le régime d'écoulement. Les formules sont adaptées selon le régime d'écoulement : laminaire
Re ≤ 2000, transitoire, ou bien turbulent lisse ou rugueux avec Re > 2000. Face à la difficulté des
calculs, une représentation graphique par le diagramme de Moody, permet d'approximer le coefficient
de frottement λ.
a./ Formule de calcul du coefficent de frottement
 Pour un écoulement laminaire dans un tube circulaire Re < 2000, on utilise la corrélation de
Hagen-Poiseuille.
 Pour un écoulement turbulent dans un tube circulaire Re > 3000, il existe un grand nombre de
corrélations, certaines simples mais imprécises, d’autres plus lourdes mais plus proches de la
réalité.
 Formule de Blasius 1911-1913, pour 3000 < Re < 100 000
 Formule de Van Karman et Prandtl 1930, Re jusqu’à 3000 000

31
 Formule de Colebrook-White 1939, pour des rugosités 0.1 mm < ε < 10 mm
 Formule de Stuart W. Chrchill, utilisée pour les deux régimes (laminaire et turbulent)
Tableau 4.1 : Rugosité moyenne de conduites commerciales
b./ Diagramme de Moody
En 1944, Moody a établi un diagramme à partir de l’équation de Colebrook-White. Cet abaque permet
de déterminer graphiquement la valeur de « λ » en fonction du nombre de Reynolds « Re » et la
rugosité relative « ε/D », ce qui simplifie beaucoup la détermination du coefficient de frottement « λ ».
Le diagramme montre bien qu’il existe :
- Une zone à écoulement laminaire (Re < 2000), le coefficient de frottement « λ » ne dépend
que de « Re » ;
- Une zone à écoulement transitoire (2000 < Re < 4000) le coefficient de frottement « λ »
dépend à la fois de « ε/D » et « Re »,
- Une zone de turbulence lisse (Re > 4000), le coefficient de frottement « λ » ne dépend que de
« Re », et toutes les iso ε/D sont confondues, cette zone correspond aux cas où l’épaisseur de
la couche visqueuse est nettement supérieure à la taille moyenne des rugosité de paroi. ;
- Une zone de turbulence transitoire, le coefficient de frottement « λ » dépend à la fois de
« ε/D » et « Re »,

32
- Une plage de variation des paramètres dans laquelle le coefficient de perte de charge linéaire
ne dépend pas du nombre de Reynolds , c’est la partie droite de l’abaque, dans laquelle des
courbes iso ε/D sont presque horizontales.
c./ Formule empirique
Plusieurs formules empiriques ont été developpées pour l’estimation des pertes de charge linéaire,
nous citons à titre d’exemple la formule de Hazen-Williams (1902) :
Avec :
Chw : coefficeint de Hazen-Williams donnée sous forme de table
Coefficient de rugosité Valeur de Chw
Acier 120
Béton, brique 100
Bois 120
Cuivre 150
Étain 130
Fonte 100
Matière plastique, PVC 150
Plomb 130
Verre 140
Fig. 4.8 : Diagramme de Moody

33
4.5.2 Pertes de charges singulières
Les pertes de charge singulières (ou locales) se produisent en présence d'obstacles, lorsque au moins
une partie des lignes de courant s’écartent de la direction principale de l’écoulement. Il y a alors
décollement de la paroi ou formation de zones de recirculation, par exemple au niveau des changement
de direction (coudes, raccords en Y ou en T, grilles...), ou de sections (jonctions, clapets, vannes, à
l'entrée ou en sortie de conduite...). Ces accessoires produisent une chute d'énergie rapide ; vitesse et
pression diminuent sur une distance plus ou moins importante.
Chaque accessoire est affecté d'un coefficient de perte de charge singulière «K » , déterminé
éxpriméntalement; sa valeur peut varier selon le constructeur. Le coefficient « K » est destiné à
soustraire une partie de l'énergie cinétique, il est donc toujours compris entre 0 et 1.
La perte de charge singulière est le produit du coefficient de perte de charge « K » de l'obstacle par la
représentation de l'énergie cinétique.
Avec :
ΔHs : perte de charge singulière ;
K : coefficient de perte de charge singulière de l’accessoire (de la singularité)
V : vitesse moyenne dans la section (m/s)
g : accélération de pesanteur = 9.81 m/s²
Fig. 4.9 : Valeurs de coefficient de perte de charge singuliètre de quelques singularités

34
4.5.3 Perte totale de charges
Dans un circuit en ligne, la perte de charge totale « ΔHt » du circuit est, la somme des pertes de
charges linéaires et singulières.
ΔHt = ΔHL + ∑ ΔHS (m)
ΔHL : perte de charge linéaire (m) ;
∑ΔHS : la somme des pertes de charges singulières (m) ;
Dans la pratique, la perte de charge linéaire est majorée de 10 à 15 % pour compenser les
approximations liées à la détermination des coefficients de pertes de charges singulières « K ».
4.6 Equation de Bernoulli généralisée
D'autre part, la canalisation dispose parfois de moyen d'élévation de la charge (pompes), comme elle
peut disposer des appareils de consommation d’energie (Turbines). Tout ceci s'équilibre dans ce que
l'on nomme l'équation de Bernouilli généralisée dont l’expression utilisée en hydraulique est :
Avec :
HP : charge délivrée par la pompe
HT : charge délivrée à la turbine
ΔH1-2 : perte de charge totale entre les sections (1) et (2)
Fig. 4.10 : Théorème de Bernoulli généralisé
aux machines hydrauliques

35
Exercice 1 :
On pompe du l’huile vers le réservoir C, par 1829 m de tuyau d’acier neuf de 406 mm de diamètre
intérieur. La pression en A est de 13.8 KPa, quand le débit est de 198 l/s, et la viscosité cinématique du
liquide est 5.16 10-6
m²/s, la densité du liquide d= 0.861, et la rugosité absolue de la conduite est
1.83 mm
a) Quelle est la puissance fournie par la pompe ?
b) Quelle doit être la pression en B ?
c) Tacer la ligne piézométrique
Solution :
a) détermination de la puissance fournie par la pompe :
On a rugosité relative
A partir du diagramme de Moody → f =0.03
Appliquons l’équation de Bernoulli entre A et C, avec plan de référence A, ce qui donne :
Ce qui donne Hp = 38.9 m,
donc la puissance fournie par la pompe = ρ.g.Q.Hp = 861 x 9.81 x 0.198 x 38.9 = 65040 w
b) détermination de la pression au point « B »
On applique l’équation de Bernoulli entre les points A et B
PB = 40.5 m et PB = 342333 Pa
c) La ligne piézométrique
La ligne piézométrique est représenté dans la figure ci-dessus, avec :
PA = 100+1.63 =101.6 m, PB = 100 + 40.5 = 140.5 m, et PC ≈ 124.4 m

36
Exercice 2 :
La pompe BC fournit de l’eau au réservoir F. On a représenté la ligne piézométrique dans la figure ci-
dessous. Calculer :
a) La puissance fournie à l’eau par la pompe BC ;
b) La puissance consommée par la turbine DE ;
c) Le niveau d’eau du réservoir F.
Solution :
a) La puissance fournie à l’eau par la pompe :
on applique l’équation de Bernoulli entre le point B et C
On a VB = VC (même diamètre de la conduite, et même débit)
On néglige les pertes de charge au niveau de la pompe
Donc
on applique l’équation de Bernoulli entre le point C et D (même diamètre de la conduite VC = VD)
ce qui donne V= 2.97 m/s , soit Q = 0.84 m3
/s
La puissance fournie par la pompe = ρ . g . HP . Q = 1000 x 9.81 x 85 x 0.84 = 700.4 KW
b) La puissance consommée par la turbine = ρ . g . HT . Q = 1000 x 9.81 x (105-99)x0.84 = 49.4 KW
c) le niveau du réservoir F
on applique l’équation de Bernoulli entre le point E et F
Ce qui donne ZF = 99 – 9 = 90 m

37
CHAPITRE 5: ECOULEMENT A SURFACE LIBRE
5.1 Introduction
L’écoulement est dit à surface libre, si la surface du liquide est partout soumise à la pression
atmosphirique, donc la surface est en contact direct avec l’atmosphère (l’air libre). C’est un
écoulement gravitaire.
Il est rencontré généralement dans les canaux naturels (cours d’eau, rivières) ou dans les canaux
artificiels découverts ou couverts réalisés par l’homme.
Fig 5.1. Types de canaux (Graf et Altinakar 1993).
5.2 Classification des écoulements
Un écoulement en surface libre peut être classé et décrit de diverses manières en fonction de la
variation de la profondeur d'eau par rapport au temps et à l'espace.
5.2.1 Variation temporelle
- Ecoulement permanent – les paramètres caractérisant l’écoulement ne changent pas au cours du
temps ou sont constants pendant l'intervalle de temps considéré.
- Ecoulement instationnaire (ou non permanent) - La profondeur de l'écoulement varie avec le
temps.
5.2.2 Variation spatiale
- L’écoulement est dit uniforme si les paramètres caractérisant l’écoulement restent invariables
dans les diverses sections du canal. La ligne de la pente du fond est donc parallèle à la ligne de la
surface libre dans chaque section du canal.
-L’écoulement non uniforme (ou varié) - les paramètres caractérisant l’écoulement varient le
long du canal. Un écoulement non uniforme peut être soit permanent soit instationnaire.

38
Fig 5.2. Schéma des écoulements parmanents, uniformes et variés (Graf et Altinakar 1993).
5.3 Paramètres essentiels
5.3.1 Paramètres géométriques
Les paramètres géométriques sont relatifs à une section du canal dans un plan perpendiculaire à son
axe. Les paramètres essentiels sont :
b: Largeur du canal ;
y : Le tirant d’eau
B : La largeur au miroir ou largeur de la section mouillée : est la largeur du canal au niveau de la
surface libre.
m : Fruit des berges
Fig 5.3. Eléments géométriques de la section (Yonaba 2015).

39
On peut définir certains paramètres hydrauliques :
- La section transversale d’un canal est la section plane normale à la direction de l’écoulement.
- La section mouillée (Sm) : est la portion de la section occupée par le liquide dans la section du canal.
- Le périmètre mouillé (Pm) : est formé par la longueur de la ligne de contact entre la surface mouillée
et les parois de la section du canal (la largeur de la surface libre n’entre pas en compte).
- Le rayon hydraulique est donné par le quotient Rh = Sm/Pm
- La profondeur moyenne ou la profondeur hydraulique est donnée par hm = Dh = Sm/B
Un canal dont la section, la pente et la rugosité restent constantes est appelé : canal prismatique.
Type de cours d'eau : il existe plusieurs classications. Une distinction des cours d'eau peut se faire en
fonction de la pente « I »:
I < 3 % on parle de rivière,
3 < I < 6 % on parle de rivière torrentielle,
I > 6 % on parle de torrent,
La pente du canal, notée « I » est la pente de son fond (radier), mesurée tout le long de son axe, et
comptée positivement si le chenal est descendant.
I = - dz/dx = sin α
Tous les paramètres B, y, Sm, Pm, Rh dépendent du débit et ne sont donc pas des constantes
géométriques. Seule la pente (i) qui est indépendante du débit, mais certes, mais elle peut varier dans
l’espace.
Tableau 5.1 : Eléments géométriques pour différentses sections de canaux
(Graf et Altinakar 1993).

40
5.3.2 Paramètres hydrauliques
- La masse volumique de l'eau est notée ρw et vaut 1000 kg/m3
dans le cas de l’eau sans matières en
suspension.
- Le poids volumique de l'eau est noté γw= g. ρw = et vaut 9,81 kN/m3
pour de l’eau sans matières en
suspension. « g » désigne l'accélération de la pesanteur et vaut 9,81 m/s2
.
- Le débit « Q » est le volume d’eau qui traverse une section perpendiculaire à l’axe du canal par
unité de temps.
- La vitesse moyenne d’écoulement est V= Q/S
a./ Pression hydrostatique en un point
Dans un liquide au repos, ZA + P/ρw est constant au point « A » de masse liquide. ZA désigne la côte
du point. Dans ce suit, P désignera la pression relative, donc à une profondeur « h » sous la surface
libre P = γw . h
b./ Charge hydraulique en un point d’un liquide en mouvement
La charge hydraulique en un point « p » d’une ligne de courant est la valeur
HA = ZA + PA/ρw + VA
2
/2g
Où :
ZA : est la côte du point A
PA : est la pression en ce point A
VA : est la vitesse au point « A »
Si ΔZ désigne la différence d’altitude entre le point « A » et la surface libre,
La pression relative en point « A » est γw . ΔZ, avec ΔZ = yA . Cos (α) (puisque la pente est faible de
quelques ‰ à quelques %, donc Cos (α) ≈ 1)
Donc, en hydraulique à surface libre et pour une pente faible, la charge hydraulique en un point est :
HA = ZA + yA + VA
2
/2g
Fig 5.4. Charge hydraulique en un point (Degoutte 2006).

41
c./ Ligne piézométrique
Dans un écoulement à surface libre, la hauteur piézométrique coïncide avec la surface libre pour les
faibles pentes du radier.
Fig 5.5. Ligne piézométrique (Degoutte 2006).
d./ Ligne de charge moyenne
La ligne de charge moyenne (ou ligne d’energie) est obtenue en reportant graphiquement Vp
2
/2g
au-dessus de la ligne piézométrique.
Fig 5.6. Ligne de charge moyenne (Degoutte 2006).
e./ Charge spécifique
La charge spécifique est la charge moyenne mesurée par rapport au fond du canal.
Hs = Hp – Zf = y + V2
/2g
Dans un écoulement à surface libre en régime uniforme, la perte de charge unitaire (ΔH1-2/L) ou pente
hydraulique de l’écoulement ou pente de la ligne d’énergie « j » est donc égale à la pente géométrique
« I » du fond du canal

42
Fig 5.7. Diagramme d’energie pour un écoulement parment uniforme.
5.4 Equation de continuité
L’équation de continuité c’est l’équation fondamentale de la mécanique des fluides.
« La variation de la masse fluide contenue dans un volume donné pendant un certain temps est égale à
la somme des masses fluides qui y entrent, diminuée de celles qui en sortent » c’est le principe de
conservation de masse.
en faisant l’hypothèse d’un régime permanent Q = V.S
5.4.1 Vitesse d’écoulement
Dans les canaux en générale, les vitesses ponctuelles/locales sont nulles contre les parois (juste au
niveau des parois), et s’accroît très vite quand on s’éloigne. Sa valeur maximale est atteinte
approximativement entre 10 à 15 % en dessous de la surface libre.
Fig 5.8. Répartition de la vitesse ponctuelle dans quelque formes de canaux
(Graf et Altinakar 1993.)
Z1
Z2
h1 = P1/ρg
V1/2g
V2/2g
ΔH1-2
L
h2 = P2/ρg

43
La vitesse moyenne en canal est V= Q/S
Quelques relations empiriques existent :
Vmoy = 0.82 Vmax (Prony 1839)
Vmoy = 0.5 (V0.2 + V0.8) (USGS)
Vmoy ≈ V0.4 (Grag 1996)
La vitesse moyenne d’écoulement Vmoy ne doit être ni trop faible, ni trop élevée. Cette vitesse doit être
supérieure à la vitesse d’auto-curage (0.4 m/s) et inférieure à la vitesse de cisaillement du matériau
afin d’éviter sa dégradation (érosion, abrasion…), cette dernière dépend de la résistance du matériau,
elle est de 4 m/s pour le béton et atteint 6 m/s pour les matériaux polyéthylènes.
Tableau 5.2 : quelques valeurs de la vitesse maximale en fonction de la nature de paroi du canal
(Degoutte 2006).
Nature de paroi du canal Vitesse maximum en m/s
Sables fins argileux ou limons argileux 0.75
Limons ou argiles sableux, bois 0.9
Argiles compactes 1.1
Mélanges de graviers, sables et limons, pierre cassées 1.2 - 1.5
Graviers, cailloux moyens, briques, blocs en béton 1.5 - 1.8
Paroi en métal, béton coulé sur place, béton préfabrique 2.0 - 2.5
Zone rocheuses ou béton 3.5 – 4.0
Béton armé dosé à 450 kg/m3
ou amiante de ciment 4.5
Matériau en polyéthylène 6.0
Si le matériau en place qui forme le canal a une granulométrie connue (diamètre du granulat est
connu), les Vmin et Vmax peuvent être choisies sur la base du diagramme de Hjulström.
Diagramme définissant l’état d’un grain, en fonction de sa taille et de la vitesse de d’écoulement.
Fig 5.9. Vitesses d’érosion et de sédimentation selon diagramme de Hjulström
(Graf et Altinakar 1993).

44
5.4.2 Régimes d’écoulement
Les régimes d’écoulements sont caractérisés par le nombre de Reynolds et/ou nombre de froude.
Nombre de Reynolds
Il est déterminer en utilisant comme longueur caractéristique, le diamètre hydraulique Dh
é
Avec :
V : vitesse d’écoulement moyenne en m/s
Dh : diamètre hydraulique m
ν : viscosité cinématique en m²/s
Le nombre de Reynolds, c’est un rapport entre la force d’inertie par rapport à la force de viscosité
(résistance visqueuse). Ce nombre permet de classifier l’écoulement en trois régimes d’écoulements :
 L'écoulement laminaire (Re < 500): écoulement laminaire (rectiligne), le fluide s'écoule en
filets parallèles à l'axe de la conduite, sans mélange.
 L'écoulement intermédiaire/transitoire (500 < Re <2000): l'écoulement est plus ou moins
rectiligne, avec un peu de mélange (petits tourbillons).
 L'écoulement turbulent (Re > 2000): l'écoulement se fait avec de grands tourbillons, avec un
mélange important.
N.B : cette classification a peu d’importance en hydraulique à surface libre, les écoulements sont
rarement laminaires.
Nombre de Froude
Ce nombre apparaît essentiellement dans les écoulements à surface libre. Il s’exprime par le rapport
entre la vitesse moyenne (force d’inertie) et la force de pesenteur qui s’exerce sur celle-ci (vitesse de
propagation des petites ondes gravitaires).
é
Avec :
V : vitesse moyenne d’écoulement en m/s ;
g : accélération de la pesanteur (9,81 m/s2
) ;
hm : hauteur d’eau moyenne dans le canal en m
La détermination du régime d’écoulement permet de distinguer trois régimes d’écoulement :
F r > 1 : régime torrentiel, avec une faible hauteur d'eau et une forte vitesse.
F r < 1 : régime fluvial, avec une forte hauteur d'eau et une faible vitesse.
Fr = 1 : régime critique, c’est le cas limite de passage d’un régime à un autre.

45
5.5 Ecoulement en régime permanent uniforme
Par définition, le régime d’écoulement est dit permenent uniforme, si le débit Q, la vitesse moyenne V,
la hauteur d’eau h restent constants tout le long du tronçon considéré. On paut dire aussi que les
pentes : du radier du canal, de la ligne d’eau et de la ligne piézometrque sont parallèles.
Fig 5.10. Ecoulement uniforme et non-uniforme dans un canal (Graf et Altinakar 1993).
Si on considère un élément de fluide de forme rectangulaire, et on applique la deuxième loi de Newton
en état d’équilibre.
 La force de frottement sur les parois est :
 La force de gravité :
Pour un état d’équilibre, la somme des forces = 0
= , après simplification
Vu que la pente est faible,
Donc la force tractrice au fond devient égale ……..(1)
Fig 5.11. Equilibre des forces appliquées sur une portion d'écoulement permanent uniforme
(Yonaba 2015).

46
Le coefficient de frottement est donné par la formule Darcy-Weisbach.
La force tractrice égale aussi :
………….(2)
Nous faisons l’égalité entre les équations (1) = (2)
Donc la vitesse moyenne égale :
c’set l’équation de Chezy (1768)
C : coefficient de Chézy (en m1/2
/s) qui dépend de la forme de la section du canal, de la rugosité des
parois et des conditions d’écoulements.
Plusieurs formules sont utilisées pour déterminer le coefficient de Chézy « C »
a. Formule de Kutter (Allemagne 1869)
Avec :
Rh : rayon hydraulique, γK : coefficient de rugosité de Kutter en m1/2
b. Formule de Manning (Irlandais 1889) et Strickler (Américain 1891)
Avec :
Rh : rayon hydraulique ;
n : coefficient de rugosité de Manning en m-1/3
. s ;
Ks : coefficient de rugosité de Strickler en m1/3
/ s ;
c. Formule de Bazin (France 1897)
Avec :
Rh : rayon hydraulique, γB : coefficient de rugosité de Bazin en m1/2
d. Formule de Pavlovski (Russé 1940)
Pour Rh ≤ 1 m et pour Rh > 1 m
Avec :
n : coefficient de rugosité de Pavlovski

47
e. Formule de Powell (Américain 1950)
Avec :
ε : rugosité absolue des parois du canal
Re : Nombre de Reynolds
f. Formule d’Agroskine (Russé)
Avec :
n : coefficient de rugosité d’Agroskine
N.B :
1) la formule de Manning-Strickler est la plus utilisée grâce à sa simplicité, comme il a indiqué Chow
dans son livre (Chow 1959) ;
2) Les coefficients de rugosité (de Bazin, de Manning,…) sont donnés se forme des tableaux ;
3) Pour une section à périmètre mouillé non-homogène (lit du fond et les berges du canal ont des
rugosités différentes), il faut alors calculer un coefficient de rugosité équivalente.
Ou
Formule d’Agroskine
Tableau 5.3 : valeurs de coefficient de rugosité de Strickler appropriés à la nature des parois du canal
(Degoutte 2006)
Nature de paroi du canal Coefficient de Strickler « Ks »
Rivière à berges étroites, végétation très dense 10 - 15
Rivière de plaine, large, végétation peu dense 30
Rivière de plaine, sans végétation arbustive 35 – 40
Canal en pierres, roches 30 - 40
Canal en terre, enherbé 50
Canal en terre, non enherbé 60
Canal en béton/béton lisse 70 – 75
Canal en matériau polyéthylène 80 - 100
Dans le cas d’un chenal dont le fond et les berges sont en graviers, des formules empiriques ont pu être
établies :
Formule de Strickler : Ks = 21 / d50
1/6
Formule de Meyer-Peter et Müller : Ks = 26 / d90
1/6
d: désigne le diamètre (en mètres) des grains du lit

48
5.6 Forme de section la plus avantageuse
La section d’un canal la plus avantageuse, pour une pente donnée, est celle qui évacue le débit
maximal dans un périmètre mouillé minimal, donc maximisé le rayon hydraulique. Cette section
avantageuse coûtera d’autant moins cher, et c’est la section la plus économique.
 C’est la section semi-circulaire est la forme idéale pour faire passer le plus grand débit dans la
section ayant le plus petit périmètre. Cependant cette forme n'est réalisable que pour des canaux
artificiels en béton préfabriqués (petits canaux d'irrigation par exemple). Les grands canaux seront
eux de forme trapézoïdale ou rectangulaire.
Sm = π r²/2 , Pm = π r
Rh = r/2 = h/2
 Dans le cas d’une forme trapézoïdale, la section la plus avantageuse est celle qui vérifie les dérivés
de section et de périmètre mouillés égales à zéro.
dSm = 0 et dPm = 0
ona :
et
ce qui se traduit par les deux équations :
On tire de chaque équation dl/dh, ensuite nous faisons l’égalité entre les deux équations
Ce qui donne
…………(3)
On remplace la valeur de l de l’équation (3) dans les équations de Sm et Pm, ce qui donne :
Nous remarquons que la valeur de R est indépendante de la pente de talus « m ». De plus, notons que
l'on retrouve le même rayon hydraulique que pour la section semi-circulaire inscrite dans le trapèze.
 La détermination de la section la plus avantageuse de la forme rectangulaire, nous déterminons dS
= 0 et dP = 0, ensuite nous faisons l’égalité entre les équations.
et
Donc
et
Ce qui donne
donc
Donc nous retrouvons le même rayon hydraulique que pour la section semi-circulaire et pour la
section trapézoïdale.

49
Remarque importante
La surélévation de la hauteur « H » de la section transversale du canal ouvert par rapport à la
profondeur d’eau est fonction du débit selon certains auteurs ou en fonction de la hauteur « h » pour
certains d’autre chercheurs.
Tableau 5.4 : valeurs de la revanche en fonction de débit
Q (m3
/s) <1 1-5 5-10 10-20 20-30 30-40 40-50 > 50
Revanche (m) 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Pour le cas des ouvrages de franchissements (ouvrages sous-chaussés), la revanche est couramment
appelée le tirant d’air (Ta), elle est prise égale Ta ≥ h (soit 25 % de h).
Certains auteurs recommandent un tirant d’air dans une conduite circulaire, plus de 20 %.
5.7 Ecoulement parmanent non-uniforme
Dans un écoulement non-uniforme ou varié, les paramètres caractérisant l’écoulement changent d’une
section à l’autre, et la pente de la surface libre diffère de celle du fond. Cet écoulement peut être
accéléré ou décéléré suivant que la vitesse croît ou décroît dans le sens du mouvement.
Lorsque le mouvement est graduellement varié, la profondeur ainsi que les autres paramètres varient
lentement d’une section à l’autre. Alors quand le mouvement est rapidement varié, les paramètres
caractérisant l’écoulement changent brusquement.
5.7.1 Ecoulement graduellement varie
C’est en présence d’une singularité (rétrécissement, élargissement, seuil, chute,…) le régime n’est plus
uniforme mais varié. Si les variations sont lentes donc l’écoulement est graduellement varie :
I ≠ J ≠ i , h1 ≠ h2 et V1 ≠ V2.
Avec :
I : pente du radier ;
J : pente de la ligne d’eau ;
i : pente de la ligne de charge.
Fig 5.13. Schéma d’un écoulement parment non-uniforme sur une pente fixe.
Z1
Z2
h1 = P1/ρg
h2 = P2/ρg
V1/2g
V2/2g
ΔH1-2

50
L’énergie spécifique dans les sections (1) et (2) :
Es1 = h1 + V1
2
/2g
Es2 = h2 + V2
2
/2g
Si ΔH1-2 > ΔZ1-2 donc (Es1 - Es2) > 0 → la ligne d’eau décroit
Si ΔH1-2 < ΔZ1-2 donc (Es1 - Es2) < 0 → la ligne d’eau croit
Examinons la fonction Es = h + V2
/2g → Es = h + Q2
/2gS²
On a pour h → 0 l’énergie spécifique Es →
On a pour h → l’énergie spécifique Es →
On voit que, pour le même débit d’écoulement, la charge spécifique Es peut s’écouler sous deux
profondeurs différentes : l’une « h’ » correspondant au régime rapide ou torrentiel, et l’autre « h’’ »
correspondant au régime lent ou fluvial. Elles sont appelées : profondeurs conjuguées.
Le passage d’un écoulement à un autre est fait à la profondeur critique « hc », sous une charge/énergie
critique « Ec », et tous les paramètres hydrauliques prennent l’indice « c ou cr : critique » au niveau de
cette profondeur critique (hc, Smc, Pmc, Rhc, Vc, Esc, Ic…).
Conformément aux règles mathématiques, la détermination d’une valeur minimale d’une fonction est
s’effectuée après l’annulation de la première dérivée de la fonction.
Donc on va mettre , soit , avec
Ce qui donne : → →
L : largeur au miroir
On a → → →
Le nombre de Froude est posé égal à :
Fig 5.14. Variation de l’energie spécifique « Es » suivant « h » pour un débit « Q » donné
(Bniaiche 2013 modifié).
yn
yc
FLUVIAL
TORRENTIEL
yn
1
y

51
Nous avons trois cas :
 h > hc → Fr < 1 : le régime est fluvial
 h = hc → Fr = 1 : le régime est critique
 h < hc → Fr > 1 le régime est torrentiel
Les expressions des profondeurs critiques hc et des charges critiques Ec pour différentes formes sont :
Ec = hc + Q2
/2gSc² et
Avec
b: largeur du canal, L : largeur au miroir, m : fruits des berges, D : diamètre de la conduite (m)
a) cas de la forme rectangulaire
b) cas de la forme triangulaire
c) cas de la forme circulaire
pour 0.1 < < 0.9
d) cas de la forme trapézoïdale
on peut utiliser une solution approximative proposée par Agroskine
Avec et
Remarque :
On peut définir le régime d’écoulement en comparant la valeur de la pente du radier « I » avec la pente
critique « Ic ». L’augmentation de la pente entraîne une diminution de « h ».
I < Ic : écoulement fluvial ;
I = Ic : écoulement critique
I > Ic : écouelemnt torrentiel
5.7.2 Ecoulement rapidement varié
Lors de présence d’une singularité hydraulique (seuil, changement de pente…) ou un changement de
section du canal, les caractéristiques hydrauliques changent, et on observe un écoulement rapidement
varie, en forme d’un ressaut hydraulique.
Le ressaut hydraulique est défini comme étant une surélévation brusque de la surface libre d’un
écoulement permanent qui se produit lors du passage du régime torrentiel au régime fluvial.
Il est accompagné d’une agitation marquée et de grandes pertes d’énergie.

52
Les hauteurs y1 et y2 sont appelées « profondeurs conjuguées du ressaut ». La hauteur du ressaut est
représentée par Δh. L est longueur du ressaut.
Fig 2.15. Profondeurs conjuguées du ressaut hydraulique (Bniaiche 2013).
a./ Détermination des hauteurs conjuguées
On ne peut pas appliquer le théorème de Bernoulli entre les sections 1 et 2. La perte de charge n’est
pas connue et les formules du régime uniforme ne sont pas applicables. C’est le théorème d’Euler qui
permet de résoudre le problème. En raisonnant, suivant un tube de courant en régime permanent, les
forces qui agissent sur cet élément sont :
En écrivant le théorème de la quantité de moment sur l’axe des x:
En négligeant la force de pesanteur et la force de frottement, il reste :
Avec : yG1 et yG2 sont les hauteurs des centres de gravité dans les sections 1 et 2
Après la résolution de l’équation on trouve les hauteurs conjuguées comme suit pour un canal
rectangulaire:
et
Fig 5.16. Pertes de charge dans un ressaut hydraulique (Bniaiche 2013).
)
( 1
2 V
V
Q
F 

 
)
( 1
2
2
1 V
V
Q
F
F
F fr
p
p 


 
)
( 1
2
2
2
1
1 V
V
Q
y
gS
y
gS G
G 

 


 
2
1
1
2 8
1
1
2
y r
F
y



 








 2
2
2
1 8
1
1
2
y r
F
y

53
b./ Détermination des pertes de charge
Les pertes de charge dans un ressaut sont déterminées par la formule :
Fig 5.17. Longueur d’un ressaut hydraulique (Bniaiche 2013).
Lors que la longueur du ressaut est déterminée par les formules empiriques, dont les plus utilisées
sont :
- La formule de Miami district : Lr ≈ 5 (y2 – y1) ;
- La formule Safranez : Lr ≈ 4.5 y2 ;
- La formule Smetana : Lr ≈ 6 (y2 – y1) ;
5.8 Section de contôle
Il s’agit de toute singularité permettant le passage d’un régime fluvial au régime torrentiel.
Cela suppose l’existance d’un régime critique localisé au droit de la section de contrôle, où la relation
débit-hauteur est visible.
La section de contrôle peut être utilisée pour la mesure de débit. Et au niveau de cette section on peut
tracer la courbe Q = f (h) qui appelée « courbe de tarage ». Cette courbe de tarage propre a cette
section de contrôle, est réalisé après une série de mesure du couple (h et Q), ce qui permet de tracer
une courbe de tendance la plus représentative possible pour cette section, qui permet la détermination
de débit par une simple projection de « h » sur la courbe Q = f (h).
Le contrôle d’un écoulement fluvial se fait à l’aval de cet écoulement, et le contrôle de l’écoulement
torrentiel se fait à l’amont de cet écoulement.
 
2
1
3
1
2
y
4
y
h
y
y




54
Exercice 1 :
Déterminer le diamètre d’une conduite qui évacue les eaux pluviales, de débit Q = 10 m3
/s, une pente
de 1 %, le coefficient de Strickler Ks = 75 m1/3
/s.
Solution :
Nous avons l’équation de Manning-Strickler
Donc
Pour une conduite en pleine section , ,
= 4.28 → D = 1.725 m, on normalise ce diamètre, on prend D = 2 m
Pour D = 2 m, on a Sm = 3.14 m² , Pm = 6.28 m , et Rh = 0.5 m
Ce qui donne Vps = 4.725 m/s et Qps = 14.836 m3
/s
Ce qui correspond à ≈ 0.6 et correspond à ≈ 1.072 ce qui donne une vitesse d’écoulement dans la
conduite de V = 5.07 m/s
Exercice 2 :
Un canal rectangulaire de largeur b=12 m, débite 14 m3
/s sous une profondeur de 1,22 m.
- Quel est le régime d’écoulement dans ces conditions si le coefficient de Manning est pris égal
à 0,017 m-1/3
.s ?
- Calculer la pente critique de ce canal.
- Quelle pente faut-il donner à ce canal pour produire un écoulement uniforme sous une profondeur
de 1,22 m?
Solution :
- Le régime d’écoulement est déterminé par le nombre de Froude
, on a b=12 m , h = 1.22, donc S = 12 x 1.22 = 14.64 m²
Dans un canal rectangulaire, largeur au miroir B = b
Donc = 0.28 < 1, donc le régime est fluvial
- La pente critique du canal
Afin d’avoir une pente critique dans un canal, lorsque Fr = 1. Donc L et Q sont invariables dans ce
canal rectangulaire, on doit calculer hc
Cela donne Smc = 6.21 m² et Pmc = 13.04 m, donc Rhc = 0.48 m
On a l’équation de Manning-Strickler , ce qui donne Ic = 3.95 ‰

55
- Pente uniforme
C’est la pente dans les conditions normales, donc on applique l’équation de Manning
Avec Ks = 1/n = 58.82 m1/3
/s, Sm = 12 x 1.22 = 14.64 m², Pm = 12 + 2x1.22 = 14.44 m
Rh = 14.64/14.44 = 1.01 m
Donc I = 2.6 10-4
Exercice 3 :
Un canal rectangulaire 10 m de large se compose de 3 tronçons. Le premier a une pente I1 ,
le deuxième a une pente I2 = 0,02 et le fond du troisième est horizontal. Le canal est en béton avec un
coefficient de rugosité de Manning de 0,0133 m-1/3
.s, et le débit est 100 m3
/s.
a. Calculer la profondeur et la pente critique de ce canal.
b. Si la profondeur uniforme dans le 1er
tronçon est 5 m, Quel est le régime d’écoulement dans
ce tronçon?
c. Quel est le régime d’écoulement dans le 2ème tronçon ? Calculer son nombre de Froude.
d. Calculer la profondeur à l’aval immédiat du ressaut qui se forme dans le tronçon horizontal.
e. Schématiser la ligne d’eau dans tout le canal.
Solution
a) La hauteur et la pente critiques du canal
Afin d’avoir une pente critique dans un canal, lorsque Fr = 1. Donc B et Q sont invariables dans ce
canal rectangulaire, on doit calculer hc
=
Nous pouvons dire ici que la pente critique et la hauteur critique sont indépendant des pentes du canal.
b) Le régime d’écoulement dans le tronçon 1
Nous avons déjà calculé hc = 2.17 m < hn1 =5m donc l’écoulement est fluvial
Nous pouvons vérifier le régime d’écoulement, on détermine le nombre de Froude
< 1 (le régime est fluvial)

56
c) Le régime d’écoulement dans le tronçon 2
Ic = 2.17 10-3
et I2 = 0.02 donc I2 > Ic le régime est torrentiel
Nous pouvons vérifier le régime d’écoulement, on détermine le nombre de Froude
On doit déterminer la hauteur normale dans le tronçon 2, cela s’effectué par la formule de Manning-
Strickler
La résolution de l’équation par itération donne une hauteur normale hn2 = 1.04 m
Donc
> 1 (le régime est torrentiel)
d) La profondeur à l’aval immédiat du ressaut
On a = = 3.94 m
Si on calcule le nombre de Froude on trouve
< 1 (le régime est fluvial)
Et si on vérifié la valeur de y2 pour la formule de ressaut on trouve 1.04 m
e) Schéma de la ligne d’eau

57
CHAPITRE 6: ASSAINISSEMENT ROUTIER
6.1. Rappels sur l’hydrologie de surface
6.1.1 Notion d’un bassin versant
Le bassin versant en une section droite d'un cours d'eau, est défini comme la totalité de la surface
topographique drainée par ce cours d'eau et ses affluents à l'amont de cette section. Il est entièrement
caractérisé par son exutoire, à partir duquel nous pouvons tracer le point de départ et d'arrivée de la
ligne de partage des eaux qui le délimite.
La ligne de partage des eaux correspond à la ligne de crête. On parle alors de bassin versant
topographique.
Un bassin versant est caractérisé par : une surface, un périmètre, une forme, un relief, des altitudes
maximale et minimale, une altitude moyenne et médiane, une pente moyenne, un réseau
hydrographique,…
Fig 6.1.1. Exemple d’un bassin versant, avec les limites des partages des eaux de surface.
6.1.2 Notion sur les précipitations
Les précipitations désignent tous les eaux météoriques qui tombent sur la surface de la terre, sous
forme liquide (bruine, pluie, averse) ou solide (grésil, grêle, neige). Elles sont provoquées par un
changement de température ou de pression.
Quelle que soit la forme de la précipitation, liquide ou solide, on mesure la quantité d'eau tombée
durant un certain laps de temps. On l'exprime généralement en hauteur de précipitation ou lame d'eau
précipitée par unité de surface horizontale (mm).
On définit aussi son intensité (mm/h) comme la hauteur d'eau précipitée par unité de temps.
Les différents instruments permettant la mesure des précipitations directement sont :

58
 Le pluviomètre : instrument de base de la mesure des précipitations liquides ou solides.
Il indique la quantité d'eau totale précipitée et recueillie à l'intérieur d'une surface calibrée
dans un intervalle de temps séparant deux relevés.
 Le pluviographe : instrument captant la précipitation de la même manière que le pluviomètre
mais avec un dispositif permettant de connaître, outre la hauteur d'eau totale, leur répartition
dans le temps, autrement dit les intensités.
6.1.3 Notion d'une averse et d'une intensité
Une averse désigne un ensemble de pluies associé à une perturbation météorologique bien définie.
La durée d'une averse peut donc varier de quelques minutes à une centaine d'heures et intéresser une
superficie allant de quelques kilomètres carrés (orages) à quelques milliers (pluies cycloniques).
On définit finalement une averse comme un épisode pluvieux continu, pouvant avoir plusieurs pointes
d'intensité.
L'intensité moyenne d'une averse s'exprime par le rapport entre la quantité d’eau tombée (Δh) durant
une unité de temps « Δt » de l'averse :
Δ
Δ
Où :
im : intensité moyenne de la pluie [mm/h, mm/min] ou ramenée à la surface [l/s.ha],
Δh : hauteur de pluie de l'averse observée [mm],
Δt : durée de l'averse [h ou min].
L'intensité des précipitations varie à chaque instant au cours d'une même averse suivant les
caractéristiques météorologiques de celle-ci. Plutôt que de considérer l'averse entière et son intensité
moyenne, on peut s'intéresser aux intensités observées sur des intervalles de temps au cours desquels
on aura enregistré la plus grande hauteur de pluie. On parle alors d'intensité maximale.
Deux types de courbes déduites des enregistrements d'un pluviographe permettent d'analyser les
averses d'une station : La courbe des hauteurs de pluie cumulée, et le hyétogramme.
- La courbe des hauteurs de pluie cumulées représente en ordonnée, pour chaque instant t, l'intégrale
de la hauteur de pluie tombée depuis le début de l'averse.
Fig 6.1.2. Courbe des hauteurs des pluies cumulées.

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