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Econometria 2a ed (2000) alfonso novales - mcgraw-hill (1)

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NOVALES

Veröffentlicht in: Wirtschaft & Finanzen
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Econometria 2a ed (2000) alfonso novales - mcgraw-hill (1)

  1. 1. fCOHOHfTIÌIfi Segunda ediciòn ALFONSO NOVALES CINCA Catedràtico del Departamento de Economia Cuantitativa F acultad de Econòmicas. Universidad Complutense Madrid McGraw-Hill MADRID o BUENOS AIRES o CARACAS o GUATEMALA o LISBOA o MEXICO ‘NUEVA YORK o PANAMA o SAN JUAN o SANTAFE DE BOGOTA o SANTIAGO o SAO PAULO AUCKLAND o HAMBURGO o LONDRES o MILAN o MONTREAL o NUEVA DELHI PARIS o SAN FRANCISCO o SIDNEY o SINGAPUR o ST. LOUIS o TOKIO o TORONTO
  2. 2. ECONOMETRIA. Segunda ediciòn No està permitida la reproducciòn total o parcial de este libro, ni su tratamiento informàtico, ni la transmisiòn de ninguna forma 0 por cualquìer medio, ya sea electrònico, mecànioo, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin ei permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS © 1993, respecto a la pijmera cdiciòn en espafiol, por McGRAW-HILL/ INTERAMERICANA DE ESPANA, S. A. U. Edificio Valrcalty, l? planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid) ISBN: 84-481-0128-6 Deposito legal: M. 49970-2000 Editora: Isabel Capella Cubierta: Félix Pifiuela. Grafismo electrònico Compuesto en: Fernàndez Ciudad, S. L. Impreso en: LAVEL, Industria Gràfica, S. A. IMPRESO EN ES-PANA” - PRINTED IN SPAIN
  3. 3. A mis hermanos Sepamos buscar como quien espera encontrar, y encontrar como quien espera seguir buscando (Adaptaciòn libre de S. Agustin. )
  4. 4. CONTENIDO Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv Introduccién . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xîx Capitulo 1. Anàlisis matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Primeras definiciones . . . . . . . . . . . . . " . . . . . . . . . _. . . . . . . . . . 1 1.l. a. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . .1 . '. . . . . . . . . . . . 2 1.2. Determinantes . . . . . . . . .7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Rango de una matriz . . . . . . . .. ‘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.5. Valores y vectores propios de una matrizz. . . . . . . . . . . . . . . . . . ’. . . . . 12 Capitulo 2. Anàlisis estadistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1. Introducciòn: variable aleatoria, distribuciones discretas . . . . . . . . . . . 17 2.2. Distribuciones continuas. Funciòn de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Momentos de una distribuciòn . . . . . . . . . . . . . _. . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.3. Momentos poblacionales con respecto al origen . . . . . . . . . . . . 23 2.3.b. Momentos poblacionales con respecto a 1a media . . . . . . . . . 24 i 2.3.0. Momentos muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Distribuciones bivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5. Momentos en una distribuciòn bivariante . . . . l . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6. Propiedades de un estimador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.7. Cambio de variable en distribuciones de probabilidad . -. . . . . . . . . . . 33 2.8. Distribuciones derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.9. El estimador de màxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.10. Teoria asintòtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.10.a. Convergencia en probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.l0.b. Convergencia en distribuciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.11. Teorema Central del Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.12. Contrastes de hipòtesis . . . . . . . . . . . . . . . . .4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.13. Distribuciones truncadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ‘Plfovblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
  5. 5. VÌÌÌ Contenido Capitulo 3. E1 modelo lineal genera] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1. Introducciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.21. Caracteristicas del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . .‘ . . . . . . . . . t. 55 3.1.b. Descripciòn de 10s capitulos posteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2. El estimador de minimos cuadrados ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3. Propiedades del estimador de minimos cuadrados ordinarios . . . . . . . . 67 3.4. Estimaciòn de a5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.5. Contraste de Normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .' . . 80 3.6. El estimador de màxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.7. Regresiòn particionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.8. El modelo lineal en desviaciones con respecto a la media . . . . . . . . . . . 86 3.9. Algunos modelos Iineales sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.10. Cambios de escala y de origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 96 3.11. Errores de especificaciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Capitulo 4. Inferencia en el modelo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.1. Introducciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.2. Contraste de hipòtesis: un tratamiento introductorio . . . . . . . . . . . . . 115 4.2.a. Interpretaciòn del estadistico F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3. z Contraste de hipòtesis: tratamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.3.a. La formulaciòn del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.3.b. E1 estadistico F para el contraste de cualquier conjunto de hipò- tesis lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.0. Un procedimiento alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.4. Aplicaciòn a algunos casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.. 4.4.a. Contraste de hipòtesis acerca de un coeficiente del modelo . . . . . il 123i i 4.4.13. Contraste de hipòtesis acerea de todos 10s coeficientes del mo- ‘ delo (excepto el término independiente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.4.6. E1 Contraste de significaciòn global del modelo econométrico . . . 124 y _ 4.4.d. Contraste acerca de un subvector de s variables (1 ssska 1). . . 125 i 4.5. Contrastes de significaciòn mediante sumas residuales . . . . . . . . . . . . . 127 4.6. Intervalos y regiones de confianza . . . . . . . .' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.6.a. Intervalo de confianza para un solo coeficiente . . . . . . . . . . . . . 130 4.6.b. Regiones de confianza para varios coeficientes . . . . . . . . . . . . . 131 4.7. Estimaciòn bajo restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.8. Contraste de hipòtesis lineales mediante sumas residuales . . . . . . . . . . 135 4.9. Contraste de hipòtesis mediante sustituciòn de las mismas . . . . . . . . . . 137 4.10. Contraste de cambio estructural. Test de Chow . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.10.a. Test de Chow . . . . . .:. ’ . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . 139 4.10.b. Contrastes de estabilidad . . . . . . . . . . . . . ’ . . . . . . , . . . . . . . 140 4.11. Variables ficticias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.12. Predicciòn en el modelo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.12.a. Càlculo de las predicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.12.b. E1 error de predicciòn y su varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.12.c. Intervalo de confianza para la predicciòn . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.12.d. Predicciòn de un vector de valores futuros de la variable endò- gena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.12.e. Evaluaciòn de 1a bondad predictiva del modelo . . . . . . . . . . . . 151 4.12.f. Predicciòn de la «media» de la variable yTH . . . . . . . . . . . . . 152 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
  6. 6. Contenido ix Capitulo 5. Matrices de covarianzas no escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.1. Introducciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.2. Propiedades del estimador de minimos cuadrados ordinarios . . . . . . . . . 162 5.2.a. El estimador MCO es insesgado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.2.b. Matriz de covarianzas del estimador MCO . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.3. E1 estimador de minimos cuadrados generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.3.a. Estimaciòn del vector de coeficientes B. El estimador de minimos cuadrados generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.3.b. Propiedades del estimador MCG . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . 166 5.3.0. Estimaciòn del parametro af . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.3.d. El coeficiente de determinaciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . —. . . . . . . 169 5.4. Introducciòn al problema de la heteroscedasticidad . . . . . . . . .1 . . . . . . . 170 5.5. Introducciòn al problema de autocorrelaciòn . . . . . . . . . . . _. . . . . . . . . 173 5.5.a. Estimaciòn mediante transformacìòn de variables . . . - . . . . . . . 176 5.5.b. Obtenciòn del estimador MCG mediante productos matriciales . . 178’ 5.6. El estimador de màxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.7. Inferencia estadistica con matrices de covarianzas no escalares . .1 . . . . . . 181 5.8. Predicciòn en un modelo con matriz de covarianzas generica . . . . . . . . . 183 5.8.a. Predicciòn bajo heteroscedasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.8.b. Predicciòn bajo autocorrelaciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.9. Ejercicios pràcticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Problemas . . . . . . . . . . . . -. ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Capitulo 6. Heteroscedasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.1. Introducciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.2. Posibles causas de heteroscedasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.3. Estimaciòn minimo-cuadràtica en presencia en heteroscedasticidad . . . . 196 6.4. Contrastes de heteroscedasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .’ . . . . . . . . 199 6.4.a. El contraste de Goldfeld y Quandt . . . . . . . . L . . . . . . . . . . . . . . 200 6.4.b. E1 contraste de Breusch y Pagan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.4.e. El contraste de Glesjer . . . . . . . . . . . . . .9 . . . . . . . . . 203 6.4.d. El contraste de Harvey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.4.e. El contraste de White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.4.f. E1 contraste de Spearman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.5. Contraste de igualdad de varianza entre submuestras . . . . . . . . . . . . . . 206 6.6. Transformaciòn de Box y Cox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6.7. Heteroscedasticidad condicional autorregresiva (ARCH) . . . ' . . . . . . . . . 208 6.8. Un caso practico: producciòn y empleo por comunidades autònomas. . . 211 6.9. Ejercicios pràcticos ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Problemas . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Capitulo 7. Autocorrelaciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '. . . . . 224 7.1. Introducciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7.2. Naturaleza y causas de la autocorrelaciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7.3. Consecuencias de la autocorrelaeiòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.4. Contrastes de autocorrelaciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.4.a. E1 contraste de Durbin-Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.4.b. El contraste de Breusch y Godfrey . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.4.c. Contrastes gràficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 7.4.d. Las funciones de autocorrelaciòn . . . . . . .4 . . . . . . . . . . . . . . . . 235
  7. 7. X Contenido 7.5. 7.6. Estimaciòn de modelos con autocorrelaciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.a. Estimaciòn MCG (Procedimiento de Cochrane-Orcutt) . . . . . . . 7.5.b. Estimaciòn de màxima verosimilitud del modelo autorregresivo de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anàlisis de dos casos pràcticos: Las funciones de consumo e inversiòn. . . 7.6.a. Una funciòn de consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.b. Una funciòn de inversiòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7. Ejercicios de simulaciòn . ._ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capitulo 8. Ecuaciones simultàneas con variables explicativas exògenas . . . . . . . Parte I: Una secciòn cruzada de series temporales . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . 8.1. Introducciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Diversas especificaciones de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Contrastes de homogeneidad entre unidades muestrales . . . . . . . . . . . 8.4. Estimaciones de modelos en el caso de igualdad de matrices de co- varianzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Estimaciòn con matrices de covarianzas diferentes . . . . . . . . . . . . . . . 8.63. Estimaciòn Cuando 10s términos de error de las distintas ecuaciones p k estàn relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. Coeficientes variando en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parte H: Regresîones aparentemente no relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. 8.9. Descripciòn del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estimaciòn de un conjunto de regresiones aparentemente no relacio- nadas 8.10. Contraste de hipòtesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas Capitulo 9. Modelos dinàmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. Introducciòn 9.1.3. Primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.b. Cuando todos 10s retardos corresponden a variables exògenas . . . 9.1.0. Si aparecen valores retardados de 1a variable endògena . . . . . . . Justificaciòn teòrica de 10s modelos econométricos dinàmicos . . . . . . . . 9.2.a. El modelo de expectativas adaptativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.b. E1 modelo de ajuste parcial de Nerlove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelos de retardos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.a. El modelo de Koyck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.b. Estimaciòn de màxima verosimilitud del modelo de Koyck . . . . . Estimaciòn con retardos de la variable endògena . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.a. El termino de error no tiene autocorrelaciòn . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.b. Estimaciòn cuando el término de error tiene autocorrelaciòn . . . . 9.4.0. E1 estimador de variables instrumentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.d. Contraste de exogeneidad de Hausman y Wu . . . . . . — . . . . . . . . . Eficiencia relativa de 10s estimadores de variables instrumentales . . . . . . 9.5.a. Contraste de Sargan de Validez de instrumentos . . . . . . . . . . . . . Contrastaciòn de hipòtesis con el estimador MC2E . . . . . . . . . . . . . . . El estimador de màxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 235 237 i 241 241 244 2452 247 250 2509 250 252 255 257 265 267 268 273 273 274 282’ 283 296 296 297 299 299 301 301. 303 304 304 305 307 307 309 310 313 31s 321 321 322
  8. 8. Contenida Xi 9.8. Estimaciòn de modelos con expectativas racionales . . . . . . . . . . . . . . . . 3.24: 9.8.a. Expectativas racionales: primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . 326 9.8.b. Estimaciòn por variables instrumentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 9.9. El estimador generalizado de momentos . . . . . ’. . . , . . . . . . . . . . . . . . . 330 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Capitulo 10. Deficiencias muestrales: Multicolinealidad y errores de medida . . . . 344 10.1. Multicolinealidad: Concepto y consecuencias . . . .3 . . . . . . . . . . . . . . . 344 10.2. Multicolinealidad exacta y multicolinealidad aproximada . . . . . . . . . . 349 10.3. Estimaciòn de coeficientes bajo multicolinealidad exacta . . . . . . . . . . . 352 10.4. Detecciòn de la multicolinealidad aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 l0.4.a. Métodos basados en la correlaciòn entre variables explicativas . 355 l0.4.b. Métodos basados en el tamafio de la matriz X’X . . . . . . . . . . 357 10.5. Remedios contra 1a multicolineahdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 10.5.a. Mediante estimaciòn del modelo propuesto . . . . . . . . . . . . . . 358 10.5.b. Mediante exclusiòn de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 10.5.c. Estimadores restringido y no restringìdo: una opciòn delicada. 361 10.6. Errores de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362. 10.7. Estimacion por variables instrumentales . . . . . . . . .2 . . . . . . . . . . . . . 365 10.8. Un contraste de especificaciòn para errores de medida . . . . . . . . . . . . 366 10.9. Observaciones influyentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . ’ . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 Capitulo 11. Modelos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 11.1. Introduociòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . 372 l1.1.a. Especificaciones no lineales . . , . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . . 372 l1.1.b. Una aproximaciòn lineal al modelo no linea) . . . . . . . . . . . . . 374 11.2. Minimos cuadrados no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 11.3. El estimador de màxima verosimilitud . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . 380 1l.3.a. Condiciones necesarias . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 380 11.3.b. Matriz de covarianzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 11.4. Transformaciòn Box-Cox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 11.5. Contraste de restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388, l1.5.a. Restricciones lineales . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .6 . . . . . . . . . 388 ll.5.b. Restricciones no lineales . . . . . . .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 Capîtulo 12. Algoritmos numéricos de optimizaciòn . . . .2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 12.1. La estimaciòn de modelos econométricos Como soluciòn a un problema de optimizaciònv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 12.2. Algoritmo de bùsqueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 12.3. Algoritmo deldescenso màs rapido . . . . . .‘ . . . . . . . . . . .5 . . . . . . . . . . 400 12.4. Algoritmo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . 400 12.4.3. Estimaciòn por minimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 l2.4.b. Estimaciòn ‘por màxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 12.5. Algoritmo de «Scoring» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 12.6. Algoritmo de Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . .' . . . . . . . . . . . . 407 12.6.a. Estimaciòn de minimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 l2.6.b. Estimaciòn de méxima Verosimilitud mediante el algoritmo de Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
  9. 9. XÌÌ Contenido Capitulo 13. Modelos de series temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 13.1. Introducciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 13.21 Primeras definiciones’ . ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 13.2.a. Proceso estocàstico, ruido blanco, paseo aleatorio . . . . . . . . . 414 13.2.b. Estacionariedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 13.2.0. Estimaciòn de las funciones de autocorrelaciòn de un proceso . estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 13.3. Modelos autorregresivos 4.. . . . . . . . . . . . . . ’ . . . . . . . . . . . . . . _. . . 419 13.4. Modelos de medias mòviles . . . . . . . " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 13.5. Modelos ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 13.6. Variables no estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 429 13.7. Estacionariedad e invertibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 13.8. Estacionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 13.9. Predicciòn con modelos ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 . 13.9.21. Modelos autorregresivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 13.9.b. Modelos de medias mòviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 . 13.9.0. El modelo ARMA(1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 13.9.d. Error de predicciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 13.9.0. Intervalos de confianza para las predicciones . . . . . . . . . . . . . 438 13.9.f. Predicciòn de una serie en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 13.10. Estimaciòn de modelos ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 13.10.a. Estimaciòn de modelos autorregresivos . . . . . . . . . . . . . . . . 439 l3.10.b. Estimaciòn de modelos de medias mòviles . . . . . . . . . . . . . 440 13.10,0. Obtenciòn de valores iniciales para los paràmetros delmodelo . 443 13.11. Diagnostico del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . 444 13.1 1.a. Anàlisis de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 13.1l. b. Sobreparametrizaciòn y sobrediferenciaciòn. ’ . . . . . . . . . . . . 447 o 13.1l.0. Valores influyentes y anomalias. Anàlisis de intervenciòn . . . 449 13.12.‘ Modelos de funciòn de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 13.12.21. Identificaciòn del modelo de funciòn de transferencia . . . . . . 453 13.12.b. Identificaciòn con preblanqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 13.120. Identificaciòn de un modelo para el ruido . . . . . . . . . . . . . . 455 13.l2.d. Estimaciòn de un modelo de funciòn de transferencia . . . . . . 456 13.12.e. Diagnòstìco del modelo de funciòn de transferencia . . . . . . . 458 13.13'; Algunos ejemplos . . . . . . . .' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 Capitulo 14. Regresiòn con variables no estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 14.1.Intr0du00iòn. ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..477 14.1.a. Primeras definiciones . . . . . . . . . . . .- . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 14.1.b. Regresiòn entre procesos no estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . 479 14.2. Contrastes de raîz unitaria de Dickey y F uller . . . . . . . . . . ’ . . . . . . 481 14.3. Contrastaciòn en modelos autorregresivos de orden superiori . . . . . . . . 485 14.4. Contrastaciòn en modelos con estructura MA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 14.5. Contraste de k raices unitariasv. a. . '. . . . . . . . . .' . . . . . . . . . . . . . . 487 14.6. Integraciòn y estacionalidad . . . . . f . . . . . . . . . . . . . . . — . . . . . . . . . . 487 14.6.3. Raiz unitaria estacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 14.6.b. Raiz unitaria regular, junto con raîz unitaria estacional . . . . . . 489 14.7. Estacionariedad y cointegraciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 14.7.a. Cointegraciòn y el modelo de correcciòn de error (MCE) . . . . . 492 14.7.b. Estimaciòn de modelos de correcciòn de error . . . . . . . . . . . . . 494
  10. 10. C ontenida XÎ Ì-Ì 14.7.c. Contrastes de cointegraciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 14.7.d. Contrastes de cointegraciòn estacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 14.8. Aplicaciones del concepto de cointegraciòn . . . . . .' . . . . . . . . . . . . . . 499 l4.8.a. Una sintesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 14.8.b. La eficiencia de un mercado financiero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 14.8.0. La cointegraciòn del Consumo y e] PIB espafioles . . . . . . . . . . 502 Capitulo 15. Datos de panel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 15.1. Descripciòn del problema . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 15.2. E1 modelo de efectos aleatorios. . . .’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 15.3. Estimaciòn eficiente en ausencia de correlaciones entre los efectos indi- viduales no observables y las restantes variables explicativas (E1 esti- dor de Balestra-Nerlove) ‘. '-. ”'. ' -. . . ‘ . .- . . . . . .-. . . - . . . . . . . . . . . . . . 508 15.4. Estimaciòn consistente en presencia de correlaciones entre 10s efectos individuales no observables y las restantes variables explicativas . . . . . 511 15.4.a. E1 estimador intragrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 15.4.b. El estimador en primeras diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 15.4.0. E1 estimador entre grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 . 15.4.d. Relaciòn entre estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 15.5. Contrastes de especificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 15.6. Modelos dinàmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 15.6.a. Estimaciòn consistente de modelos autorregresivos . . . . . . . . . 516 15.6.b. Contrastes de especificaciòn en modelos dinàmicos . . . . . . . 518 15.6.0. Modelos dinàmicos con Variables predeterminadas . . . . . . . . . 519 15.7. Identificaciòn de efectos individuales en el estimador intragrupos . . . . 520 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 Capitulo 16. Variables dependientes cualitativas y limitadas . . . . . . . . . . . . . . 529 Parte I: Modelos de elecciòn discreta . . . . . ._ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 16.1. Introducciòn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 16.25 Modelos de elecciòn binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 16.3. E1 modelo lineal de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 16.3.a. Observaciones repetidas . . . . . . . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . 532 b 16.3.b. Estimaciòn por minimos cuadrados generalizados . . . . . . . '534 16.4. Las decisiones de los individuos por medio de indicadores . . . . . . . 536 16.4.a. E1 modelo probit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r 537 . 16.4.b. E1 modelo logìt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 16.5. Inferencia en modelos de elecciòn discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 16.5.a. Interpretacìòn de los coeficientes estimados . . . . . . . . . . . . . . 545 16.5.b. La bondad de ajuste del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 16.5.c. Contrastacìòn de hipòtesis . . . . . :- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 16.6. Modelos de alternativas mùltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 Parte II: Variables dependientes limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 16.7.. Variables dependientes truncadas . . . . . . . . . . . . . Î . . . . . . . . . . . . . 550 ’ 16.7.3. Estimaciòn de màxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 551 16.8. Variables dependientes censuradas . . . . . . . . . . . . . . . . . g . . . . . 552 l6.8.a. Estimaciòn de minimos cuadrados . L . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . 554 16.8.b. Estimaciòn de màxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . .,W_. ,555 16.8.0. Procedimiento de Fair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 “S563
  11. 11. xiv Contenido‘ 16.9. Modelosecon selecciòn muestràl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 558 Problemas . . . . . E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Î . . . . . . . . . . . . . z . . . . . . 560 Capitulo 17. Modelos de ecuaciones simultàneas. I. Especificaciòn e identificaciòn. 565 17.1. Especificaciòn del modelo de ecuaciones simultàneas . . . . . . . . . . . . . 565 17.2. Formas estructural y reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 17.3. Estimaciòn de la forma reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 17.4. El problema de identificaciòn . . . . . .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 17.5. Identificaciòn mediante restricciones de exclusiòn . . . . . . . . . . . . . . . 576 17.6. Identificaciòn con restricciones lineales homogéneas . . . . . . . . . . . . . 586 17.7. Identificaciòn con restricciones lineales no homogéneas . . . . . . . . . . . 590 17.8. Restricciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * . . . . . . — 591 17.9. Identificaciòn bajo restricciones entre coeficientes de distintas ecua- ciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 17.10. Identificaciòn con restricciones sobre 1a matriz de covarianzas . . . . . 593 Problemas . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 Capitulo 18. Modelos de ecuaciones simultàneas. II. Estimaciòn’ . . . . . . . . . . . . 599 18.1. Dificultades en 1a estimaciòn por minimos cuadrados ordinarios . . . . . 599 18.2. Estimaciòn por minimos cuadrados indirectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 18.3. Estimaciòn por variables instrumentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608 18.4. E1 estimador de minimos cuadrados en dos etapas . . . . . . . . . . . . . . . 615 18.5. E1 estimador de màxima Verosimilitud con informaciòn limitada . . . . . 624 18.6. Estimaciòn por minimos cuadrados en tres etapas . . . . . . . . . . . . . 625 18.7. E1 método de màxima verosimilitud con informaciòn completa . . . . . . 630 18.8. Sistemas recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 18.9. Comparaciòn entre 10s distintos estimadores . Î . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 Problemas . . . . . . . . . . . .1‘. . . . . .6 . . . . . . . . . .‘ . . . . . . . . . . . . . 634 Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663 Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
  12. 12. PREFACIO La presente segunda ediciòn incorpora cambios importantes a lo largo de todo su contenido con respecto a las versiones previas de este libro. Està concebido como un manual global de Econometria, que pueda utilizarse parcialmente como texto para las asignaturas de esta materia, pero que pueda ser utilizado asimismo por los alumnos como referencia acerca de temas que, incluso no habiendo sido estudiados en la licenciatura, puedan ser de su interés en el futuro. Por e110 es que en esta ediciòn se han incorporado algunas cuestiones que, por ser de desarrollo reciente, ho estabvan recogìdas en ediciones ante- riores. i = ' Asi, el Capitulo 14 («Regresiòn con variables no estacionarias») recoge la teoria de contrastaciòn de existencia de raices unitarias en series temporales, asi como acerca de las posibles relaciones de cointegraciòn entre variables. Se ha hecho un esfuerzo por sintetizar los desarrollos acerca de la contrastaciòn de raices unitarias estacionales, asi como el anàlisis de cointegraciòn estacional, a pesar de estar aùn en plena evoluciòn. El Capitulo 15 («Datos de panel») analiza la especificaciòn, estimaciòn y diagnostico de modelos para este tipo de bases de datos desde el punto de vista de las cuestiones que hoy se consi- deran màs relevantes para el analista, como son la estimaciòn consistente y eficiente de modelos dinamjcos con paneles de datos. El Capitulo 16 («Variables dependientes cualitativas y limitadas») esta ahora estructurado en dos partes: en la primera se analizan los modelos de elecciòn discreta, y se corresponde con el capitulo analogo de la ediciòn anterior; en la segunda parte del Capitulo se estudian los modelos con va- riables dependientes limitadas, es decir, truncadas o censuradas, lo que repre- senta una adicion neta a esta ediciòn. E1 Capitulo 8 («Ecuaciones simultàneas con variables explicativas exògenas») esta asimismo dividido en dos partes, que tratan de dar un tratamiento similar a dos clases de problemas que revisten la peculiaridad enunciada en el titulo del Capitulo: en unos casos, el analista dispone de un conjunto de series temporales, por ejemplo, proceden- tes de varios paises, con cada una de las cuales podria analizar una determi- XV
  13. 13. xvi Prefa cia nada cuestiòn economica; el otro tipo de casos lo constituye el modelo conocido como de «Regresiones aparentemente no relacionadas». La diferen- cia que en este texto se establece reside en que, en el primer caso, el interés fundamental del investigador esta en la contrastaciòn de la homogeneidad de las diversas muestras de que se dispone, mientras que en el segundo caso se trata de obtener estimaciones eficientes de un modelo de las caracteristicas mencionadas. i Este Capitulo 8 se ha adelantado en e] disefio del texto con respecto a la primera ediciòn, puesto que siendo su interés 1a contrataciòn de hipotesis y la estimaciòn eficiente del modelo, debe introducirse al alumno una vez que éste conoce los procedimientos de llevar a cabo tales cuestiones. E1 Capitulo 9 («Modelos dinàmicos») se ha adelantado asimismo con respecto a la ediciòn anterior, con la intenciòn de introducir lo antes posible al alumno la clase de estimadores de variables instrumentales, que podrà utilizar tanto en este tipo de modelos como en los capitulos posteriores. Otras cuestiones, no menos importantes, incorporadas a esta ediciòn son: i a) Modelos ARCH de heteroscedasticidad (Secciòn 6.7). b) Modelos de funciòn de transferencia (Secciòn 13.12). c) Estimaciòn de modelos con expectativas racionales. El estimador gene- ralizado de momentos (Secciones 9.8 y 9.9). d) Errores de medida (Secciones 10.6, 10.7 y 10.8). e) Observaciones influyentes (Secciones 10.9 y 13.11). f) Contrastes de restricciones no lineales (Secciòn 11.5). g) Transformaciòn Box-Cox (Secciones 6.6 y 11.4). Una de las mejoras introducidas en esta ediciòn consiste en la presentaciòn de una serie de ejercicios que, a modo de ejemplo, se desarrollan a lo largo del texto. La mayoria se basan en el anàlisis de datos espafioles que se in- cluyen oportunamente. Estos ejemplos se van tomando en distintos capitulos para ir discutiendo sobre ellos gradualmente los distintos conceptos y méto- dos que se Van introduciendo. Asi, por ejemplo, se especifica una sencilla funciòn de consumo para Espafia en el Capitulo 7, donde se discuten los posi- bles problemas de autocorrelaciòn presentes en su estimaciòn; posteriormente, se utiliza como ejemplo sobre el que discutir la multicolinealidad (Capitulo 10); se estima una versiòn generalizada, no lineal, de la misma (Capitulo 12); sirve de ejemplo en el anàlisis de modelos univariantes y de funciòn de transferencia (Capitulo 13), y se utiliza en el anàlisis de cointegraciòn (Capitulo 14). Por otra parte, la colecciòn de problemas que aparece al final de cada Capitulo se ha ampliado considerablemente con respecto a la primera ediciòn, hallandose en estos momentos en preparaciòn la presentaciòn detallada de las soluciones a los mismos. Por tratar de ser un manual relativamente completo de Econometria, es claro que no puede utilizarse en su totalidad para un curso, para lo que es preciso seleccionar 10s temas que se consideren màs adecuados para cada grupo de alumnos. A partir de los siete primeros capitulos, que contienen la teoria basica del modelo lineal genera], los restantes capitulos estàn disefiados
  14. 14. Prefacio xvii de manera que puedan utilizarse independientemente como material para un curso. Por ello es que caben diversas posibilidades, entre las que sugiero las siguientes: 1. CURSO BASICO DE ECONOMETRIA: Capîtulos l a 7, Capitulo 8 (Parte I), Secciones 9.1 a 9.6, Secciones 10.1 a 10.6, Capitulo 17 y Secciones 18.1 a 18.5. Seria aconsejable incorporar una discusiòn resu- mida de algunas secciones de los Capîtulos 13 y 14. 2. CURSO SUPERIOR DE ECONOMETRIA: Capitulos 1 a 8, Seccio- nes 9.1 a 9.6, Capîtulos 10, 13, 14, 16, 17 y Secciones 18.1 a 18.5. 3. DOS NIVELES DE METODOS ECONOMETRICOS: Primer nivel: Capîtulos 1 a 10, Secciones 13.1 a 13.9, y 13.11. Segundo nivel: Capîtu- los 11, 12, Secciones 13.10 y 13.12; Capitulos 14 a 18 (inclusive). Aunque nadie està mejor capacitado que el responsable de cada asigna- tura para decidir acerca del tiempo que debe dedicar a cada tema, asi como del momento idoneo para impartirlo, espero que las anteriores sean unas pautas ùtiles. No puedo sino recomendar, en todo caso, que la ensefianza de esta materia se complete con la discusiòn de ejercicios, de tres tipos: a) ana- liticos, como son la mayor parte de los incluidos en este texto, si bien debo advertir que solo algunos de ellos deben proponerse en un curso basico de la materia, b) aplicados, como los que se recogen ven Aznar y Garcia Ferrer (1980) (actualmente en reelaboraciòn), que también cuente con ejercicios analiticos relativamente sencillos, y Pérez Amara], Amoròs y Relloso (1993), o los que puedan complementar los ejemplos que, con datos reales, se pre- sentan en este texto, y c) ejercicios de simulaciòn que, como los presentados en las Secciones 5.9, 6.9 y 7.7, traten de ilustrar numericamente las propieda- des de los distintos estimadores que, a un nivel teorico, ya se han caracteri- zado al alumno. Aunque las referencias precisas, tanto en términos de càlculo matricial como de anàlisis estadistico, se presentan en los dos primeros capitulos, recomiendo como material complementario, tanto en estos aspectos como en los puramente econométricos, los textos de Pefia (1990) y Azna. r y Trivez (1993). . . _ . .. Para 1a preparaciòn de las innovaciones que se han incorporado al con- tenido de esta segunda edicion, he contado con las valiosas opiniones y comentarios criticos de M. Arellano, A. Aznar, J. J. Dolado, R. F lores, J. de Hevia y A. B. Treadway. P. Pardo y E. Dominguez prestaron una inestimable colaboraciòn preparando algunos de 10s gràficos. No menos importante ha sido el apoyo recibido en todo momento de todos mis compafieros del Departamento de Economia Cuantitativa y, especialmente, de los que dedican su actividad docente a esta materia. Mi agradecimiento asimismo a I. Capella, J. C. Cavin y M. Norte, de McGraw-Hill, por su estimulo a lo largo de la generaciòn de este volumen, en ésta y en sus versiones anteriores. Siempre debe estar presente mi mayor reconocimiento a C. Sims, a quien debo una gran parte de mi formaciòn como profesor y como investigador, y a C. Ma- garzo, por su continua y enorme generosidad.
  15. 15. INTRODUCCION La Econometria se ocupa del estudio de estructuras que permitan analizar caracteristicas o propiedades de una variable economica utilizando como causas explicativas otras variables econòmicas. Por ejemplo, podria construir- se una relaciòn para explicar el comportamiento de la infiaciòn, utilizando como variables explicativas el ritmo de crecimiento de la oferta monetaria y algùn indicador de la demanda agregada en la economia. Distintos aspectos_ del anàlisis econométrico son: a) la especificaciòn de la estructura a utilizar, llamada modelo econométrico; b) el anàlisis de las propiedades estadisticas de dicho modelo; c) su estimaciòn; d) la utilizaciòn de dicho modelo con fines predictivos, y e) la capacidad de dicho modelo para el anàlisis de determinadas cuestio- nes de politica economica. Las cuestiones de politica economica a analizàr'(que en genera] dictan cuàl debe ser el alcance del modelo econométrico) pueden ser de indole macro- economica, como ocurre con cuestiones de economia monetaria o economia laboral, o bien de caràcter microeconòmico, como ocurre con cuestiones como la medida del grado de monopolio existente en una industria, .. o el anàlisis de los determinantes de la estructura de capital de las empresas. La clase de modelos habitualmente utilizados en Econometria va, sin embargo, màs alla de lo que acabamos de mencionar. En muchas ocasiones no se pretende explicar el comportamiento de una variable, sino el de Varias variables simultaneamente. En tales casos la variable a explicar en una de las ecuaciones puede aparecer como variable explicativa en alguna otra ecuaciòn del modelo. Modelo economico y Bases de Datos Tomemos como un primér ejemplo una funciòn de consumo keynesiana: c, =a‘+ ma, = 1, 2, 3, T
  16. 16. XX Introduce/ on Este es un sencillo modelo con el que se pretende explicar la evoluciòn temporal de los gastos de consumo por medio de una variable que indique el nivel de renta. El modelo predice que, a través del tiempo, los gastos de consumo C, debieran haber evolucionado paralelamente a la renta Y, , De acuerdo con esta especificaciòn, en cada periodo se deberia haber gastado en bienes de consumo una proporciòn de la renta, medida por el producto BY, La diferencia entre ambas cifras se supone constante en el tiempo (e igual al valor del parametro a). Este modelo de consumo se puede utilizar a dos niveles distintos: l_. Al nivel agregado de la economia, en cuyo caso la variable C, e Y, serian indicadores de los gastos de consumo y del nivel de renta agregados. Para este anàlisis del modelo de consumo se requeririan observaciones numé- ricas acerca de las variables C, e Y, , durante un numero de periodos de tiempo que denotaremos por T. La relaciòn de las observaciones correspondientes a cada una de las variables es una serie temporal. Salvo en casos especiales, el investigador querria en este caso que la serie tempora] de datos de la variable consumo contuviese informaciòn acerca del consumo privado, asi como del pùblico. 2. A un nivel desagregado, por ejemplo relacionando los gastos en bienes de consumo y los ingresos de un conjunto de familias. En tal caso, escribiria- mos el modelo: C, ’=az+/3Y, -, i= l, 3., .. '., N donde los subindices hacen ahora referencia al hecho de que cada observaciòn corresponde a una familia distinta y no a un periodo de tiempo diferente. El tipo ide informaciòn estadistica que se precisa en este caso, es decir, la colecciòn de pares de valores referentes a los gastos de consumo y nivel de renta de cada una de las familias en la muestra, se conoce como datos de secciòn cruzada. Periodo C, p _ p C, Y, 1960, I 130 1400 Familia 1 i 210 1550 1960, II 133 1420 Familia 2 133 1420 1960, I-II 137 1460 Familia 3 367 2010 1987, IV , 4,21 2175 Familia 104 p 421 2175 Datos (trimestrales) de series temporales Datos de secciòn cruzada Finalmente, otro tipo de datos lo constituye una muestra en que se ha recogido informaciòn acerca de un conjunto de individuos (o familias o paises). a través del tiempo. En tal caso, podriamos aspirar no solo a obtener valores numéricos de los coeficientes para cada uno de los individuos en la
  17. 17. ‘Introduccidn xxi muestra, sino también para cada uno de los instantes en quc sc dispone de informaciònm. Este tipo de muestras se conoce Como Panel de Datos. El nivel 1 de utilizaciòn de este modelo lleva ‘asociado una agregaciòn del consumo de las distintas unidades decisoras en la economia en cada instante de tiempo. Eso no quiere decir que no haya ademàs una agregaciòn temporal. De hecho, siempre la hay: El consumo es un flujo, no un stock, y si se recogen datos anuales sobre el consumo y la renta, cada una de las observaciones ucumula los flujos de consumo y renta a lo largo del afio. Esta agregaciòn temporal puede producir un problema, el de que se enmascara una relaciòn que realmente existe entre C, e Y, a intervalos de tiempos pequefios con respecto al intervalo con el que se han recogido los datos. Lamentablemente, la Teoria Economica no dice nada, en general, acerca del intervalo de tiempo con el que se producen las relaciones entre las Variables, de modo que la elecciòn de la frecuencia de datos con los que se trabaja (mensuales, trimestra- les. anuales) queda a elecciòn del investigador, dentro de las limitaciones existentes en cuanto a la disponibilidad de bases de datos. Una base de datos de secciòn cruzada resuelve parcialmente este problema. Pudiera ser que los datos sobre gastos de consumo y renta proviniesen de una encuesta en que se ha preguntado a un grupo de familias acerca de los valores de estas Variables a lo largo del ùltimo afio. En tal caso, el problema de agregaciòn tempora] estarà presente. Pero generalmente las preguntas habràn sido acerca de esas cifras durante la ùltima semana, con lo cual las respuestas reflejaràn màs acertadamente la relacion en el muy corto plazo entre la renta y los gastos de consumo. Debe quedar claro de esta discusiòn que una ecuaciòn matematica que describe una relaciòn entre Variables econòmicas no constituye por si sola un modelo econométrico. Un modelo viene dado por dicha relaciòn o relaciones, junto con el tipo de datos a utilizar en el trabajo empirico (si datos de series temporales o de secciòn cruzada), las Variables concretas que Van a utilizarse, es decir, si se va a analizar el gasto ‘de consumo en todo tipo de bienes o solo el de bienes no duraderos, la frecuencia de los datos en el caso de series temporales (si mensual, trimestral, anual u otra); si va a utilizarse el PIB u otra medida de renta agregada, etc. Sin otra limitaciòn que la disponibilidad de datos, el economista debe tener un criterio claro acerca no solo del modelo con el que trabajar, sino también del tipo de datos y las Variables que debe utilizar Ade acuerdo con e] tipo de cuestiones que pretende analizar. Relaciones dinàmicas La ventaja de una base de datos de secciòn cruzada con respecto a una de series temporales a nivel agregado es que, en general, la teoria economica de determinacion del consumo òptimo que el investigador tiene en mente al hacer el trabajo empirico (por ejemplo, la renta permanente o la teoria de la renta m Aunque no podria estimarse un coeficiente para cada" observàeiòn pn/ itlîeîstrapl, lo que se haoe es permitirque los coeficientes varien en él tiempoy con" 16s îndividuos. ’
  18. 18. xxii Introduce/ rin relativa) tiene implicaciones acerca del comportamiento de los gastos de consumo de las unidades decisoras (generalmente, una familia), pero escasa- mente tiene algo preciso que decir acerca del comportamiento de 10s gastos de consumo para el agregado de la economia con respecto a la renta agregada. Por otra parte, las encuestas de las que suelen surgir los datos de secciòn cruzada son 10 suficientemente ricas como para contener informaciòn acerca del numero de hijos en la unidad familiar, el numero de receptores de ingresos en dicha unidad, tamafio del municipio en que la familia vive, si vive en un medio rural o urbano, etc. , Variables estas que tendrian interés incluir en un modelo que pretende explicar el comportamiento de los gastos de consumo de la unidad familiar. Los datos de secciòn cruzada tienen, sin embargo, un inconveniente, y es que no permiten analizar las relaciones que puedan existir entre las variables renta y consumo a lo largo del tiempo, salvo a muy corto plazo, si se dispone de un panel de datos. Estas relaciones dinàmicas no solo son en general importantes para cualquier conjunto de variables, sino que ademàs tienen sumo interés en el anàlisis de cuestiones de politica economica. Asi, podria ser posible descubrir, mediante inspecciòn de las seriestempo- rales de datos, variaciones grandes en la relaciòn ln C, /ln Y, a lo largo del periodo muestral, como por ejemplo una disminuciòn en su valor de un 90 a un 75 por lO0. Este parametro es la propensiòn marginal al consumo, y debe esperarse una disminuciòn en su valor numerico en el caso de una economia en desarrollo. Asi, toda informaciòn acerca de la evoluciòn de su valor numerico a través del tiempo es relevante para evaluar el grado de desarrollo de una economia. También seria muy importante para conocer el efecto de realimentaciòn que pueda tener un determinado ritmo de expansiòn del PIB (que seria la variable indicadora de la renta agregada, Y, ). Sin embargo, el anàlisis de cuestiones de naturaleza intrinsecamente dina- mica como la citada requiere de una especificacion correcta del modelo. Por ejemplo, supongamos que se està estimando con datos de series temporales elv valor de la propensiòn marginal al consumo en la economia, es decir, el grado en que la demanda de consumo agregada aumentata cuando se produzca una expansion, caracterizada por un incremento en la renta agregada. Si utilizando datos mensuales llegamos a obtener (siguiendo los métodos que desarrollaremos en capitulos sucesivos) un valor estimado de [3 de 0,50, ello podria interpretarse como que solo la mitad de un incremento en renta se traduce en consumo, lo que seria una propensiòn marginal al consumo baja y, por tanto, una propensiòn al ahorro alta. Si de ello se infiere, por una parte, que a pesar de la expansiòn en el PIB hay que afiadir mas impulso a la economia con medidas fiscales o monetarias, y se disefian medidas de politica economica basadas en estas observaciones, se podrian estar cometien- do errores importantes. Lo que podria estar ocurriendo es que la relaciòn entre la renta 0 el nivel agregado de ingresos y los gastos de consumo no es exclusivamente o esencialmente contemporanea. Esto es todavia màs verosimil si se utilizan datos observados frecuentemente (mensuales) que datos de menor frecuencia (anuales). En tal caso, deberiamos estar trabajando con un modelo que in-
  19. 19. lntroducciòh XX-Ì ÌÌ duyera como variables explicativas, ademàs de Y, , otras variables como Y, _1, X4, etc. Con ello, considerando globalmente 10s coeficientes en cada una de las diferentes variables renta incluidas, se tendria una idea màs acertada acerca de la magnitud de la relaciòn entre consumo y renta, asi como de la distribuciòn de esa relaciòn a lo largo de distintos periodos. Especificar correttamente la componente dinamica de 1a relaciòn entre variables es una (area delicada, y sin duda una de las màs importantes en Econometria. Estimaciòn del modelo econométrico Hasta ahora hemos respondido a dos aspectos importanteslacerca del anàlisis de una determinada cuestìòn economica: gQué modelo especificamos‘? gQué tipo de datos necesitamos utilizar? Los métodos economètricos que discutimos en los capitulos siguientes ayudan a responder a una tercera pregunta: gQué valores asignamos a los paràmetros del modelo? Predicciòn Modem _ Descripciòn seleccionado de la economia Una vez que mediante métodos econométricos hemos asignado valores numéricos a los diferentes paràmetros, el modelo puede utilizarse con dos objetivos fundamentales: Predicciòn y/ o descripciòn del entorno economico del que procede la informaciòn muestral. Este podria ser la economia de un determinado pais, una ciudad (a cuyas familias se ha encuestado) o incluso la economia mundial. .— Los valores paramétricos son necesarios para realizar ejercicios de predic- ciòn, asi como para tener un iconocimiento descriptivo de la economia. Los ejercicios de predicciòn pueden ser del tipo: gSi la renta crece en términos nominales un 5 por 100 anual, cuàl sera el gasto agregado de consumo dentro de un afio? Si nos encontramos en el tercer trimestre de 1988 (1988, III), y si la renta hoy es de 100 unidades (posiblemente 109 pesetas), la renta prevista para (1989, III) es de 105, y los valores estimados de los paràmetros son “ = 13,75 y È = 0,78, entonces dicha predicciòn serà: Valores numèricos para los paràmetros del modelo ESTIMACION METODOS i ECONOMETRICOS 1 C1959)", = 13,75 + (0,78) (105) = 95,65 Otro tipo de preguntas podria consistir en suponer un crecimiento del 1,25 por 100 trimestral para generar el nivel de renta primero y el consumo después para los pròximos cinco afios a partir de (1988, III). Es cierto que la fiabilidad de la predicciòn dependerà de:
  20. 20. xxiv Introduccidn l. E1 horizonte de predicciòn. .2. La constancia de los valores paramétricos estimados a lo largo del horizonte de predicciòn. 3. La calidad de nuestras estimaciones de los paràmetros del modelo. 4. Que el modelo utilizado sea apropiado y en particular que esté espe- cificado correctamente. i Un anàlisis de predicciòn es fundamental para hacer cualquier estudio de politica economica. Supongamos que el banco central de un pais quiere analizar el posible efecto inflacionista de una politica monetaria expansiva. Normalmente, los tipos de interés apareceràn en la funciòn que explica los gastos de consumo (especialmente si los gastos de consumo incluyen los de bienes duraderos), del mismo modo que el crecimiento de la oferta monetaria aparecerà en la ecuaciòn de determinaciòn de los tipos de interés. El signo y magnitud de losrcoeficientes correspondientes seràn necesarios para responder a la cuestiòn propuesta, para lo que se generarian predicciones de los tipos de interés y del consumo del modo antes descrito, utilizando un determinado supuesto acerca del crecimiento de la oferta monetaria. Los valores paramètricos son también importantes para tener un conoci- miento descriptivo de la economia. Por ejemplo, gcuàl es la propensiòn marginal al consumo de la economia espafiola? LCuàl es la sensibilidad del empleo frente a variaciones en los salarios reales? gCuànto empleo se crea o destruye si los salarios reales se mantienen constantes durante los pròximos tres afios. Linealidad del modelo Para responder a la ultima cuestiòn formulada, se podria pensar en analizar unmodelo del tipo: In U: = ‘x (wr/ Pt) donde U, denota la tasa de paro y w, /p, es el salario real. Esta especificaciòn tiene la ventaja de que el valor del coeficiente fi proporciona la elasticidad desempleo-salario real, puesto que: B __, ln __U, _ _ w, /_p, _ _ dU, _, _ Variaciòn porcentual en U, u’, 6 In _w, /p, — U, d(w, /p, . — Variaciòn porcentual en w, /p, Este modelo es claramente no lineal, pero puede transformarse en otro lineal mediante un sencillo cambio de variables (lo que equivale a una simple manipulaciòn de datos). Asi, si llamamos y, = ln U, y x, = ln (w, /p, ), entonces el modelo es lineal en 3g, e y, . Casos similares son el modelo: C, = a + bY, + dY} y la funciòn de producciòn Cobb-Douglas: Y, = AKfLfuv que se transforma en: lnY, =:lnA+oclnK, +filnL, +u,
  21. 21. lntroducciòn XXV En este ùltimo caso, los paràmetros oc y b’ son los mismos del modelo original, pero el termino constante ya no es A, sino su logaritmo. Un mode- lo no lineal que no puede transformarse en otro lineal es: BY: p. - m’ En otros casos, un modelo no lineal puede transformarse en un modelo lineal en las tasas de crecimiento de las variables. Por ejemplo, el tradicional modelo estàtico de la teoria cuantitativa de la demanda de dinero: MÎV, = Y, p, , se transforma, tomando logaritmos, en: log M, ’ = log p, + log Y, —— log V, . Si escribimos el mismo modelo para el instante t — 1 y restamos del modelo en el instante t, se tiene: log (Mf/ Mf- , ) = log (p, /p, _ 1) + log(Y, /Y, _ 1), suponien- do que la velocidad de circulaciòn permanece aproximadamente constante. Pero la tasa de crecimiento de una Variable puede aproximarse por un cociente como 10s anterioresm, por lo que finalmente se tiene: C, =ot4 mi= nr + y: donde y, denota la tasa de crecimiento del producto en términos reales, m3’ es la tasa de crecimiento de la demanda de dinero y n, la tasa de inflaciòn. Ello sugiere especificar un modelo de determinacion de la demanda de dinero como: B175: + 192)’: + u: donde el termino u, seria unalvarîable aleatoria, llaniada término de error del modelo econométrico, y que recoge el efecto de la posible no linealidad de la Verdadera relaciòn entre dinero, precios y tenta, en cuyo caso el modelo anterior seria una mera aproximaciòn; la posible existencia de otras variables que fuesen relevantes para explicar la evoluciòn de la demanda de dinero, y el hecho de que una componente de la demanda de dinero tenga naturaleza puramente estocàstica, imposible de prever mediante variables econòmicas. Los capitulos siguientes se dedican a la discusiòn de los procedimientos de especificacion, estimaciòn y analisis de un modelo econometrico, conside- rando modelos de diversos tipos, ya sean lineales (Capitulo 3) o no lineales (Capitulo 11), estàticos o dinàmicos (Capitulo 9), de una 0 varias ecuaciones (Capitulos 8, 17 y 18), con datos de series temporales (Capitulos 13 y 14), secciòn cruzada o de panel (Capitulo 15), e incluso el caso en que la Variable a explicar no es de naturaleza cuantitativa (Capitulo 16). Se describen detalla- damente los procedimientos de estimaciòn dependiendo de las propiedades estadisticas del modelo (Capitulos 5, 6, 7 y 10), asi como 10s procedimientos de contrastaciòn de hipòtesis sobre los valores de los coeficientes que contribu- yan a aumentar nuestro conocimiento descriptivo de la economia (Capitulo 4). ‘l’ La aproximaciòn lineal mediante un desarrollo en serie de Taylor de la funciòn ln(l + x) es: ln(l + x) = x; ahora bien, si x, es la tasa de crecimiento de la Variable X, , se tiene por definiciòn: x, = (X, — X, _,)/ X,_, , por lo que: X, /X, _, = 1 + x, y por consiguiente: ln(l + x) = =1n(X1/Xt—1)-
  22. 22. CAP| TULO1 ANALISIS MATRICIAL 1.1. PRIMERAS DEFINICIONES Una matriz m Sé n es una colecciòn de m - n elementos (constantes 0 variables), ordenados en m filas y n columnas. Denotamos dichos elementos por a(i, j) 1o por a” coni: 1, 2, m, j = 1, 2, . .., n. El primer indice denota la fila y el segundo la columna de la matriz A a la que el elemento a” pertenece. Las dimensiones de una matriz son el par (m, n) que denotan el nùmero de filas y de columnas de la matriz. Una matriz A es cuadrada si m = n. En tal caso, diremos que A es una matriz cuadrada de orden n. Un vector fila es una matriz con mj= .;l. Un vector columna es una matriz con n = 1. Si utilizamos la letra x para denotar a un vector, escribiremos simplemente x si dicho vector es un vector columna, y escribiremos x’ si es un vector fila. La dimensiòn de un vector es una ùnica cifra, que indica el nùmero de componentes del vector. A partir de una matriz A, una submatriz se obtiene eliminando algunas filas y columnas de A. .. " La diagonal principal de una matriz cuadrada es la diagonal formada por 10s elementos aii, i = l, 2, n. Una matriz es diagonal si todos 10s elementos fuera de la diagonal principal son cero. Una matriz es diagonal a bloques si los ùnicos elementos no nulos estàn ordenados Como bloques de submatrices cuadradas a 10 largo de la diagonal principal. Una matriz es triangular supe— rior (triangular inferior) si todos 10s elementos por debajo (encima) de la diagonalprincipal son cero. Una matriz escalar es una matriz diagonal que tiene todos los elementos en la diagonal prineipal iguales entre si. Una matriz identidad es una matriz escalar con elementos iguales a 1. La traspuesta de una matriz A m >< n es una matriz B n x m que tiene por filas y columnas las columnas y filas de A. Esto se indica por A’ = B. Si aù- y b” denotan 10s elementos en la fila i, columna j de las matrices A y B, se tiene que a” = b ii. Una matriz es simétrica si es igual a su traspuesta. Nòtese que para que una matriz sea simétrica, es necesario que sea cuadrada. i
  23. 23. 2 Econometr/ a 1.1.3. Operaciones con matrices Sean A y B dos matrices, ambas de dimensiòn m x n. La suma de ambas es otra matriz C, también de dimensiòn m x n, y tal que ci]. = a” + bù. La diferencia de ambas matrices es otra matriz D, de dimensiòn m x n, _ tal que _d, -j = aîj — b“. El producto de una matriz A m x n por una constante À es otra matriz B, tal que b” = Àaij. Es decir, para multiplicar una matriz por una constante, se multiplica cada elemento de la matriz por dicha constante. E1 producto AB de dos matrices A(m x n) y B(p x q) puede obtenerse solo cuando n = p. En tal caso, el resultado es una matriz C(m x q). E1 elemento (i, j) de/ la matriz C se obtiene multiplicando elemento a elemento la fila i-ésima de A por la columna j-ésima de B. Esta fila y columna mencio- nadas tienen n (o lo que es lo mismo, p) elementos cada una. Asi, se tiene Cij = 2:=1aisbsj' Nòtese que una matriz cuadrada es la ùnica que puede multiplicarse por ella misma. Una matriz cuadrada A es idempotente si se tiene que AA = A. Cuando ello ocurre, entonces A, multiplicada por ella misma un nùmero cual- quiera de veces, es también igual a A. No es preciso que una matriz sea simétrica para ser idempotente, pero las matrices idempotentes que Veremos en sucesivos capitulos resultan ser ademàs simétricas. El producto de un vector fila l x n por un vector columna n x 1 es un escalar. En particular, dado un vector columna a(n x l), entonces el producto a’a es un nùmero, igual a la suma de los cuadrados de los n componentes del vector a: a’a = 21a}. El producto de un vector columna n x 1 por un vector fila l X n también es factible, pero el resultado es ahora una matriz cuadrada de orden n: aa’ = B, con b” = al-aj. Nòtese que este producto es una matriz simétrica. Es importante recordar que el producto de matrices, asi Como su suma, son ambas Operaciones con propiedad asociativa. La suma tiene ademàs la propiei dad conmutativa. El producto tiene la propiedad distributiva con respecto a lasuma, esdecirzA+B+C= A+(B+C)= (A+B)+C; A+B= B+A; A(BC) = ABC = (AB)C; A(B + C) = AB + AC. La traspuesta de una suma de matrices es igual a la suma de las traspuestas de las dos matrices A y B: (A + B)’ = A’ + B’. La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto de las traspuestas, pero en orden inverso: (AB)’ = B’A’. Nòtese que si A es m x n y B es n x p, éste es el ùnico modo en que las dos traspuestas pueden multiplicarse. Dada una matriz X m x n cualquiera, entonces e] producto X'X es una matriz n x n simétrica. La siguiente interpretaciòn del producto de dos matrices tiene interés: Consideremos las matrices M = (mù), p x n y la matriz X = (xv), n x k. Entonces su producto es otra matriz R p x _k: m11x11+m12X21 + +_m1nxn19 ---» mìi1x1k+m12x2k+ +m1nxrxk 17712113511 +m22x21 '1' +m2nxn17 "-7 m21X1k+m22x2h+ +m2nxnk MX: . . . . . . . — . . — — . — - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. =R mpixii ‘l. ’ mp2x21 ‘l’ + mpnxni» m, mp1xlk+ mpzxzk T1‘ ‘l’ mpnxnk
  24. 24. Anà/ Is/ s matric/ al 3 que permite interpretar las columnas de R Como combinaciones lineales (k combinaciones) de las n columnas de la matriz M. Asi, 1a primera columna de R es una combinaciòn lineal de las columnas de la matriz M, con coeficien- tes x11, x21, . .., x, ,1. La ùltima columna de R es una combinaciòn lineal de las columnas de la matriz M con coeficientes x1,” x21, . .., xnk. Por otra parte, las filas de la matriz R son p combinaciones lineales de las n filas de la matriz X. La traza de una matriz cuadrada es la suma de 10s elementos de su diago- nal principal. Es inmediato ver que la traza de una suma de matrices se puede obtener Como suma de las trazas de las matrices tr(A + B) = tr(A) + tr(B). Cuando se multiplican tres 0 màs matrices, entonces la traza del producto no se altera Cuando se permutan circularmente 10s factorés de dicho producto. Es decir, supongamos que A, B y C son tres matrices m x n, n x p y p x m, respectivamente. Entonces se tiene: tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA) Otra propiedad que utilizaremos en lo sucesivo es la siguiente: Supongamos que los elementos (algunos o todos) de una matriz A n x n son variables aleatorias. Entonces es fàcil ver que es equivalente calcular la esperanza mate- matica de cada elemento de la matriz y luego sumar 10s elementos que resultan en la diagonal principal, o sumar dichos elementos en la matriz original y luego calcular su esperanza matematica, es decir: E [tr(A)] = tr[E(A)]. E110 se debe a que la traza seria en este caso una suma de variables aleatorias. Introducimos a continuaciòn la notaciòn con la que designaremos unas matrices que apareceràn habitualmente en el desarrollo de 10s temas que siguen: Denotamos por I, , la matriz identidad de orden n. Dada una matriz A, de dimensiòn m >< n, se tiene IMA = A1,, = A. Denotaremos por 0m, " una matriz m x n que tiene todos sus elementos iguales a cero. La notaciòn 1,, denota un Vector columna de dimensiòn n, con todos sus componentes iguales a l, mientras que 0,, denota un Vector columna de dimensìòn n, con todos sus componentes iguales a cero. Algunas propiedades de fàcil comprobaciòn son: . ., . 1 _ _ a) Dado un Vector y de dimension n se tiene E lgy = y, donde y es la media aritmetica de 10s componentes del Vector y. 1 b) Dada una matriz X de dimensiòn m x n‘, se tiene — lfin-X = îdydonde. m * _ i’ es el Vector fila de dimensiòn n formado por las medias aritméticas de 10s elementos que integran cada columna de la matriz X. Denotaremos por Q una matriz de dimensiòn n x n, que nos sera de especlal utilidad en la discusiòn de algunas cuestiones, y en particular en la Secciòn 3.8. Esta matriz viene definida por: Q= y—Ìnn 71
  25. 25. 4 Econometria Es fàcil ver (lo dejamos Como ejercicio) que esta matriz es simétrica e idem- potente. Otras propiedades suyas que el lector puede comprobar sin dificul- tad son: N1‘? a) Qy= YîÌÎ. ;i 01,20,. yn-J? es decir, que la matriz Q transforma un vector en el vector de diferencias con respecto a la media aritmetica de sus componentes. Como consecuencia, si el vector y tiene sus componentes iguales entre si, entonces el producto Qy es igual al vector cero. Otra consecuencia es que si la media aritmetica de las componentes del vector y es cero, entonces Qy = y. b) Dada una matriz A n x p se tiene: an- àis 412 ‘[72, "-9 alp —àp 4121‘ 51s 922 +5» m, 112,; — “p QA 031 — àls 4132 " 52,1%” 43,4 p es decir, que la matriz Q transforma una matriz A en la matriz de diferencias con respecto a las medias aritméticas de cada columna de A. Una forma intuitiva de ver este resultado es considerando la matriz A como una colecciòn de p Vectores columna, cada uno con n componentes, y utilizar la propiedad a) aplicada a cada vector columna. Otra propiedad que utilizaremos con frecuencia y que el lector puede pro- bar sin dificultad es: » v_ e - e Dada una matriz X, de dimensiòn m x n, la matriz M = I", — X(X’X)“‘X’ esì simétriea, idempotente y cumple MX = 0m“. 1.2. DETERMINANTES El determinante es una funciòn real de una matriz cuadrada, es decir, una funciòn que asocia un nùmero real definido de modo univoco a toda matriz cuadrada. Las matrices cuadradas màs sencillas son 1 x 1, y su determinante es numericamente igual al ùnico elemento en dicha matriz. Dada una ma- triz 2 >< 2: 411 all "21 “22
  26. 26. Ana’/ isis matricia/ 5 su determinanteies igual a una” eauau. Dada una matriz 3a x 3: ‘111 €112. 1113 C21 V yazi “23 0311‘ 432 “s3 su determinante es igual a 41114122033 + azlqnala . -I— umana” —aa13a22a31 — — 4123032011 " a21a12a33- Dada una matriz cuadrada n x n, se llama cofactor del elemento (i, j) de dicha matriz al determinante de la matriz (n — l) >< (n — 1) que resulta al su- primir de la matriz original la fila i-ésima y la columna j-ésima, multiplicado por (—l)‘ +1‘. Puede comprobarse que si en la matriz 3 >< 3 anterior se elige una fila o columna, se multiplica cada elemento de dicha linea por su corres- pondiente cofactor y se suman los tres resultados asi obtenidos, se obtiene precisamente el determinante de la matriz 3 >< 3. Este resultado no es casual, sino que es valido para toda matriz cuadrada, y asi se tiene: El determinante de una matriz cuadrada puede obtenerse desarrollando por 10s elementos de una linea cualquiera (fila o columna), sin màs que multiplicar cada uno de los elementos de dicha linea por su cofactor correspondiente, y sumando los productos obtenidos. Utilizando este resultado puede obtenerse el determinan- te de una matriz 4 x 4, utilizando la expresiòn que antes vimos para el determinante de una matriz 3 x 3. Una vez que sabemos calcular éste, se puede obtener el determinante de matrices 5 >< 5, y asi sucesivamente. Las siguientes son propiedades fundamentales del determinante de una matriz: o Una matriz cuadrada y su traspuesta tienen el mismo determinante. o Si se intercambian de orden dos lineas cualesquiera de una matriz (dos filas 0 dos columnas entre si), entonces el determinante de la matriz cambia de signo. o Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales entre si, su determinante es cero. o Una matriz con una linea de ceros tiene determinante igual a cero. o Si se multiplican los elementos de una linea por los cofactores de una linea paralela, el resultado es siempre cero. o Si se suma o resta a una linea una combinaciòn lineal de lineas paralelas, el determinante no Varia. a _ , _ y ’ o Una matriz tiene una linea que es combinaciòn lineal de otras si y solo si su determinante es cero. i ' o El determinante del producto de dos matrices cuadradas de igual orden es igual al producto de sus respectivos determinantes. o Si se multiplica una linea de una matriz n x n por una constante, el determinante queda multiplicado por esa constante. Si se multiplica una matriz cuadrada por una constante. su determinante queda multi- plicado por dicha constante elevada a la potencia n-ésima. o El determinante de una matriz diagonal o de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal. Una matriz con determinante igual a cero se dice singular.
  27. 27. 6 Econometria 1.3. MATRIZ INVERSA Dada una matriz cuadrada A n x n, si existe otra matriz B n >< n, tal que AB = BA = In, entonces se dice que la matriz B es la inversa de la matriz A, y se denota A” = B. Una matriz cuya inversa es igual a su traspuesta (A-l = A’) se llama ortogonal. Una matriz cuadrada A tiene inversa siempre que no es singular. Dicha matriz inversa puede calcularse numericamente de la siguiente forma: ' o Dada la matriz A, no singular, se sustituye cada elemento de A por su cofactor, teniendo cuidado de no olvidar el signo en el càlculo de 10s cofactores. o Se traspone la matriz asi obtenida. o Se divide cada elemento en esta nueva matriz por el determinante de la matriz original A. Debe quedar claro que el càlculo de la inversa de una matriz de orden 4 o superior es una tarea laboriosa si se hace a mano, cuya dificultad se incrementa màs que proporcionalmente con el orden de la matriz a invertir. Por suerte, hoy en dia todos 10s paquetes de ordenador tienen instrucciones o subrutinas que permiten el càlculo de dichas matrices inversas sin que necesitemos hacerlo manualmente. El aspecto interesante que surge es que teoricamente toda matriz cuyo determinante es numericamente distinto de cero es invertible, pero, sin embargo, hay muchos casos en que el determinante de una matriz es lo suficientemente pròximo a cero (aunque distinto de cero), como para que la subrutina que el ordenador utiliza no sea capaz de obtener su matriz inversa. Otras veces la subrutina funciona, pero como al obtener la matriz inversa dividimos por el determinante de la matriz original, se obtienen matrices inversas con elementos gigantescos. (En este sentido la inversa de una matriz es algo analogo al inverso de un numero real. ) En estos casos, pequefias diferencias numéricas en la matriz original pueden produoir enormes diferencias en la matriz inversa. Las siguientes son propiedades fundamentales de la inversa de una matriz: o Sii invertimos dos veces una matriz, se obtiene la matriz original. o Invertir y trasponer matrices son dos operaciones cuyo orden de aplica- ciòn puede permutarse sin que se altere el resultado obtenido, es decir: (A’1)’= (A’)’1. o La inversa del producto de dos matrices cuadradas es el producto de las inversas de los factores, pero con el orden invertido: (AB)" 1 = B'1A' 1, siempre y cuando las inversas, tanto de A como de B, existan. o Las inversas de matrices triangulares superiores o inferiores son matrices del mismo tipo. o M e i o La inversa de una matriz diagonal es ‘también diagonal. Sus elementos son los inversos de los elementos de la matriz original. La inversa de una matriz diagonal a bloques es una matriz del mismo tipo. Cada uno de sus bloques es el inverso de los bloques de la matriz original.
  28. 28. Anélisis matricial 7 o Los determinantes deguna matriz y de su inversa son inversos el uno 1 1 : "1 = ——. de otro | A 2| ‘A! o Un ùtil resultado se refiere a la inversa de una expresiòn matricial del tipo A + gh’, donde A es una matriz n x n y g, h son vectores g x 1. ‘Setiene: c. _ _ gh' _ h’ 1= I —A ‘îà A 1 (n l+hzA-lg> o Dada una matriz A, n x n, supongamos que se particiona: A = A11 A12 A21 A22 e donde A11, A12, A21 y A22 son respectivamente p x p, p x q, q x p y q x q, con p + q = n. Sea B, n x n, la matriz inversa de A, y particione- mos B de modo anàlogo a como hicimos con A: B = B11 B12 B21 B22 donde cada bloque B17 tiene las mismas dimensiones que la subrnatriz A”. Las matrices cuadradas B11 y B22 no son las inversas de los bloques A11 y A22, pero hay una relaciòn entre ellas que resulta ser de gran utilidad para el desarrollo de 10s capitulos que siguen: B11 = (A11 " A12A2—21A21)’1 B12 = —A1‘11A12B22 B22 = (A22 " A21A1—11A12)—1 B21 = ’A2—21A21B11 Aunque estas fòrmulas son algo aparatosas, no es dificil recordarlas, pues los productos que en ellas aparecen solo podrian efectuarse de dicho modo si se quiere que ambos miembros de las igualdades tengan las mismas dimensiones. A e o Este es sòlo un ejemplo de lo sencillo que resulta trabajar con matrices particionadas en bloques cuando las dimensiones de dichos bloques permiten efectuar las operaciones deseadas. En realidad, se maneja cada bloque Como si de un elemento se tratase. Por ejemplo, supongamos que se quiere efectuar el producto de A, una matriz m x n, por la matriz B n x p, que m1 + m2 = m, n1 + n2 = n y p1 + p2 = p, y que descomponemos ambas matrices: A: A11 A12 _ B: B11 B12 A21 A22 , B21 B22
  29. 29. 3 Econometria donde A11 C5 m1 X "1; A12, m1 x "23 A21: m2 X "13 A22, m; X "2; B113 "1 X P1; B12, n1 >< p2; B21, n2 x p1, y B22, n2 x p2. Entonces se tiene: AB = <A11B11 ‘l’ A12B21 A11B12 ‘l’ AizBzz) A21B11+ A22B21 A21B1z ‘l’ A2232: El producto de Kronecker de una matriz A de dimensiòn m >< n y una matriz B de dimensiòn p x q es otra matriz C de dimensiòn mp >< nq, defi- nida por: ‘a11B a12B a13B a1,, B amlB amZB am3B amnB donde a1], i= 1, ». .., m, j = 1, . .., n son 10s elementos de la matriz A. La inversa de la matriz C es ìgual a A” ® B". Nòtese que, a diferencia de la inversa del producto habitual de dos matrices, en este caso no se altera e] orden de los factores. De modo similar, se tiene C’ = A’ ® B’. » En varias ocasiones a lo largo del texto es preciso obtener la derivada de un producto de matrices con respecto a uno o varios paràmetros, para 10 que serà conveniente recordar las siguientes reglas: a) La derivada de una funciòn f(91, 92, 91,) con respecto al vector (91, 92, 9,1) es igual a un vector columna, llamado el gradiente de la funciòn. El vector tiene k componentes, cada uno de ellos igual a una de las derivadas parciales: 917691. e» e b) La matriz hessiana de la funciòn f(91, 92, . .., 9,1) es una matriz cuadra- da, de dimensiòn k >< k, cada uno de cuyos componentes es igual a 9 f 2/99,- 991-. En particular, los elementos de la diagonal de dicha matriz son las derivadas segundas con respecto a cada uno de los paràmetros 91.. i c) El gradiente de la funciòn lineal A0, donde A es k x k y Bk x 1, con respecto al vector 0, es la matriz A. i d) La derivada de la forma cuadràtica B’AB con respecto al vector 0 es igual a 2A0. La derivada de 6’A0 respecto de A es igual a 60’. 1 e) La derivada del determinante lA| con respecto a la matriz À es igual a la matriz lA| (A’)’1. j) La derivada de lnlAj con respecto a A es igual a (A')’ 1, y en particular la derivada de ln| A| con respecto a a11- es a“. 1.4. RANGO DE UNA MATRIZ Una matriz A, de dimensìòn m x n, puede interpretarse Como una colecciòn de m vectores fila de dimensiòn n, 0 Como una colecciòn de n vectores co- lumna de d1mensi6n m. Ello permite aplicar la teoria algebraica de los
  30. 30. Anà/ isis matI/ cia/ 9 espacios vectoriales a las filas o columnas de una matriz. En particular, puede hablarse de filas linealmente independientes 0 dependientes, en el sentido en que vectores de dimensiòn n lo son, y 1o mismo con las columnas de la matriz. Como vamos a ver, el màximo numero de filas linealmente independientes en una matriz es igual al màximo numero de columnas linealmente inde- pendientes. Dicho numero se llama rango de la matriz. De ello se deduce inmediatamente que una matriz y su traspuesta tienen el mismo rango. También se deduce que, dada una matriz A m x n, su rango es g min {m, n}. Lema 1.1. El màximo numero de filas linealmente ‘independientes de una matriz cualquiera es igual al màximo numero de columnas linealmente inde- pendientes. Demostraciòn. Sea A una matriz ma xvn y sea p el màximo numero de filas linealmente independientes. Tomemos p filas linealmente independientes y formemos con ellas una submatriz A*, p x n. Sea q el màximo numero de columnas linealmente independientes de la matriz A. Como no puede haber màs columnas linealmente independientes en A* que en A, se tiene que q es también el màximo numero de columnas linealmente independientes de A*. Cada columna de la matriz A* tiene p elementos, lo que implica que q s p, puesto que el màximo numero de vectores de dimensiòn p linealmente inde- pendientes entre si es, precisamente, igual a p. Por otra parte, construyamos ahora A**, la matrizfim x q que se obtiene con q columnas linealmente independientes de la matriz A. Como p es el màximo numero de filas linealmente independientes de A, también es el maxi- m0 numero de filas linealmente independientes de A**, y como cada una de ellas tiene q elementos, entonces p < q, por lo que, finalmente, p = q. Si una linea (fila o columna) de una matriz es combinaciòn lineal de las demàs, su determinante es cero, y la matriz es singular. Por tanto, si una matriz cuadrada de orden n es no singular, su rango es igual a n. Reciprocamente, si una matriz cuadrada es singular, entonces una cualquiera de sus filas puede escribirse como combinaciòn lineal de las restantes filas, y lo mismo ocurre con cada una de sus columnas. i " ’ e ' Una propiedad importante del rango de una matriz es que no cambia si se premultiplica o postmultiplica dicha matriz por una matriz cuadrada no singular. Es importante recordar la interpretaciòn del producto de dos ma- trices AB (donde B es una matriz cuadrada no singular), como otra matriz C cuyas columnas son combinaciòn lineal de las columnas de A. Siempre que a partir de un conjunto de n vectores se genera otro conjunto tomando combinaciones lineales de los primeros, el numero de vectores que son linealmente independientes en el segundo conjunto puede ser como mucho igual al numero de vectores linealmente independientes en el primer conjunto, pero nunca superior. Puesto que la matriz producto C es un conjunto de n, vectores columna que son combinaciòn lineal de los n vectores columna de A, entonces el numero de columnas de C linealmente independientes no puede ser superior al de A, aunque si que podria ser inferior. Este resultado admite
  31. 31. 170 Econometr/ a un nivel de generalizaciòn adicional: Dadas dos matrices A m x n y B n x p, se tiene que Rango (AB) s min{Rang0 (A), Rango (B)}, proposiciòn que pasa- mos a probar tras unos resultados preliminares. .1 . 2 1 i 1 Sea A una matriz m x n con Rango(A) = r s mîn {m, n} yîsea x un vector de dimensiòn n. Particionemos A y x del siguiente modo: e v A = (A11 A12) = (X1) A21 A22 X2 donde A11 es r x r; A12, r x (n — r); A21, (m — r) x r, y A22, (m — r) x (n— r). Por otra parte, x1 es de dimensiòn r, mientras que x2 es de dimensiòn n — r. Las filas y columnas de A se han ordenado de forma que A11 es no singular. . Ello es posible ya que Rang0(A) = r. Consideremos ahora el sistema Ax = 0, cuyo conjunto de soluciones cons- tituye el subespacio nulo de la matriz A, que denotamos por SN(A). Abando- nando las ùltimas m — r filas de A se tiene el sistema de r ecuaciones en n( 2 r) incògnitas: A11x1 + A12x2 = 0,. La informaciòn contenida en las m — r ecuaciones desechadas està incorporada en el subsistema de r ecuacio- nes seleccionado, pues 10s m — r filas de A que se abandonaron son combina- ciòn lineal de las r filas que se han conservado. Si el determinante de A11 no es cero, entonces puede resolverse x1 = —A1‘1‘A12x2, es decir, que dado x2, x1 queda determinado. Por tanto, n — r vectores determinan todas las soluciones al sistema A11x1 + A12x2 = 0,, y se tiene: ‘ a * a (X1) (‘AÎÎAUD = = x2 X2 In—-r . que da las soluciones al sistema de ecuaciònes anterior como combinaciones — 1 " A1 1 A1 2 I"—r u . coordenadas del vector x2). Estas columnas constituyen un conjunto de n — r vectores de dimensiòn n, y son linealmente independientes debido a la presencia de la submatriz I, ,_, . Como consecuencia, la dimensiòn del subespa- cio nulo es igual a n — r. Por tanto, el numero de columnas de la matriz A (n) es igual a su rango (r) màs la dimensiòn del subespacio nulo (n — r)‘”. lineales de las columnas de la matriz ( ) (con coeficientes igual a -las Ejemplo 1.1. La matriz 4 3, ll om— A010 ‘1’ El subespacio nulo de una matriz podria tamhién definiise’ Corno el cònjiinto de yectores en R’, que son soluciòn del sistema y’A = 0,, . En tal caso, cl nùmero de filas de A es igual al rango de A màs la dimensiòn del subespacio nulo.
  32. 32. Anà/ isis matricial 11 tiene rango igual a 2. Si eliminamose una fila (la segunda), se tiene, Como sistema Anxl + Auxl = 0: x1. = 2X3 ‘l’ 4x4 x2 Z por lo que la dimensiòn del subespacio nulo es 2: x1 4 2 _‘ x2 _' . —11 ——4 x4 X— ax3 _ i 0 1 (x3) x41 1 0 mientras que el nùmero de columnas de la matriz de partida es 4. Excluyendo la tercera ecuaciòn se llegaria a: x1 e 1 0 _ x2 __ -2 —3 x1 x— x3 -0 1 _2 (x4) x4 j 2 0 1 pero estas dos columnas son combinaciòn lineal de las dos columnas de la matriz anterior, y representan por tanto el mismo subespacio nulo. Teorema 1.1. Dada una matriz X, T x k, con Rang0(X) = p s min{ T, k}, se tiene: RangoOCX) = Rango (XX') = Rango(X) Demostraciòn. 1. Demostramos, en primer lugar, que el rango de una ma- triz no cambia al premultiplicarla por su traspuesta. El subespacio nulo de la matriz X tiene dimension k — p, que es mayor o igual que cero. Sea m un vector perteneciente a dicho subespacio. Entonces se tiene Xm = 0T y por consiguiente X’Xm = 0,‘. Por tanto, Subespacio Nul0(X) c: Subespacio Nulo(X’X). Sea ahora un Vector s del Subespacio nulo de 1a matriz X’X. Entonces se tiene (X’X)s = 0,‘, y por tanto s’(X’X)s = (Xs)’(Xs) = 0, lo que solamente puede ocurrir si Xs = 0T, es decir, si seSN(X). En consecuencia, ambas matrices tienen el mismo subespacio nulo, por lo que la dimensiòn del SN(X’X) es también igual a k — p y por tanto Rang0(X’X) = p. Nuestro resultado 1 puede escribirse Como Rango(XX’)= Rang0(X’), pero una matriz y su traspuesta tienen igual rango, por lo que, finalmente, Rango (XX’) = Rango(X) = Rango (X’X). A Como aplicaciòn de este resultado, supongamos que T> k y que las k columnas de X son linealmente independientes, En tal caso, Rango(X) = k = =Rango(X’X) = Rango(XX'). Como X’X es una matriz k x k, este resultado
  33. 33. 1 2 Econometria implica que dicha matriz es no singular y por tanto invertible. En cambio, XX’ es una matriz T >< T, y el resultado implica que es singular. Teorema 1.2. El rango de una matriz A no cambia al premultiplicar o postmultiplicar dicha matriz por una matriz cuadrada no singular. Es decir, si A es una matriz m x n y P, Q son matrices m >< m y n >< n no singulares, se tiene: Rango(A) = Rango(PA) = Rango (AQ) = Rango (PAQ). Demostraciòn. l. Si xeSN(A), entonces Ax = 0 y por tanto PAX =0, por 1o que xeSN(PA). Por otra parte, si xeSN(PA), entonces PAx =0, lo que implica que P"(PAX)= Ax = 0 y xeSN(A). En consecuencia, Como A y PA tienen igual nùmero de columnas, tambièn tienen el mismo rango. 2. Puesto que el rango de una matriz es igual al rango de. su traspues- ta, ,se tiene: Rango(AQ) = Rango(Q’A’). De acuerdo con 1 se tiene: Ran- go (Q’A’) = Rango (A’), y es igual a Rango (A). 3. Rango(PAQ) = Rango(A) es ahora obvio, sin màs que utilizar 1 y 2 sucesivamente. Teorema 1.3. Rango(AB) s min{Rango(A), Rango(B)}. Demostraciòn. 1. Sea x un vector del SN(B). Entonces Bx = 0 y por tanto ABx = 0, por lo que xeSN(AB). Por tanto, SN(B) c SN(AB). Como B y AB tienen el mismo nùmero de columnas, entonces Rango (B) 2 Rango (AB). 2. Rango(AB) = Rango(B’A’) S Rang0(A’) = Rango(A), donde la des- igualdad proviene del resultado 1. e 1.5. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ Dada una matriz cuadrada A n x n, entonces una constante x1 y un vector x, n >< 1 no nulo que satisfagan el sistema de ecuaciones Ax = lx se llaman, res- pectivamente, valor propio y vector propio de la matriz A. Si la matriz A — 111,, no es singular, entonces la ùnica soluciòn a la ecuaciòn anterior es la trivial: x = 0,, Para que haya una soluciòn no nula, debe ocurrir que IA — Àlnl = 0. Esta es la ecuaciòn caracterîstica de la matriz A. Dicha ecuaciòn tiene n solu- ciones, aunque no necesariamente diferentes entre si. Por ser las raices de un polinomio de grado n, los valores propios pueden, en principio, ser nùineros complejos. i e Para cada soluciòn (valor propio) existe un Vector propio asociado, que se obtiene sustituyendo el valor de À, en la ecuaciòn Ax = Àx. Cuando un valor propio es una solucion mùltiple de la ecuaciòn caracteristica, entonces el nùmero de vectores propios linealmente independientes asociados con dicho valor propio es igual a su orden de multiplicidad. Es importante observar que cada Vector propio correspondiente a un valor propio no nulo es la soluciòn a un sistema lineal homogéneo y, por tanto, no està ùnicamente determinado, sino que es, en realidad, un subespacio de
  34. 34. Anélisis matricia/ 13 dimension uno. Para detenninar univocamente el vector propid se utilizan distintos criterios, Como normalizar 10s vectores propios para que tengan modulo igual a 1, 1o que haremos de ahora en adelante. Como ejem lo puede comprobarse que los valores propios de la matriz 5 3/2 11 il e i . . A = 3/2 1 son Î y i, y que sus vectores. propios, normalizados para que tengan modulo unidad, son y — Ademàs, ,/10 . /10 , /l0 . /l0 puede comprobarse que estos dos vectores propios son ortogonales entre si. Aunque puede hablarse de vectores y valores propios de cualquier matriz cuadrada, en este texto solo calcularemos valores y vectores propios de matrices simétricas. » Las siguientes son propiedades fundamentales de los valores propios de una matriz: Proposiciòn 1.1. Los valores propios de una matriz simétrica son reales: En el caso de una matriz A = (a11), 2_ >9: 2, los valores propios vienen dados por 1 . . À = i [-(a1_1 71- a22) i_/ ((a11 + a22)21—_4(a1.1a22 — a12.a21))]. S1 la matriz es nsimetnca, entonces A = E [(a11 + 4122) i . /((a11 -. — n22)’ + 4aî2)] y por tanto son" ifeales, " ya qtie e! radicandoes positivo. ‘ Proposiciòn 1.2. Los vectores propios correspondientes a distintos valores propios de una matriz simétrica son ortogonales entre, si, decir, su producto CS CCIO. Demostraciòn. Sean X11 y x2vect0res propios de 1a matriz A correspondientes a los valores propios 7111 yyt2, respectivamente. Entonces se tiene Ax1 = 11 x1 y Ax2 = /12X2. Por tanto, x’2Ax1 =