Empirical introduction to limit theory Introducción empírica a la teoría de límites

1. Actividad 1.2
Límites y Continuidad de Funciones
G. Edgar Mata Ortiz

2. El proceso de desarrollo del cálculo pasó por diferentes etapas, en
algunas de ellas, especialmente al principio, la fundamentación teórica
no era suficientemente sólida. Se realizaban procesos que, al ser
revisados con el rigor moderno, podrían considerarse incorrectos o
inadecuados. Fue necesario que se desarrollara la teoría de límites y
continuidad de funciones para contar con un planteamiento bien
fundamentado de esta rama de la matemática.
En el presente material se desarrolla el concepto intuitivo de límite para pasar luego a una comprensión y
fundamentación matemática de este.
Contenido
Introducción. ............................................................................................................................................................1
Concepto intuitivo de límite.................................................................................................................................1
Ejemplo 1 . Deformación de un resorte ...........................................................................................................1
Ejemplo 2. Dificultades con la aritmética.........................................................................................................3
La división cero entre cero. ..........................................................................................................................3
La gráfica de la función y el límite calculado................................................................................................4
Ejemplo 3. Repasando el método aritmético...................................................................................................6
La división cero entre cero. ..........................................................................................................................6
La gráfica de la función, el límite calculado y la división entre cero. ...........................................................7
Funciones discontinuas. ...............................................................................................................................8
Ejercicios...................................................................................................................................................................8
Bibliografía................................................................................................................................................................9
The improvement of understanding is for two ends: first, our
own increase of knowledge; secondly, to enable us to deliver
that knowledge to others.
John Locke

3. http://licmata-math.blogspot.mx/ 1
Límites y Continuidad de Funciones
Introducción.
La historia del desarrollo de la matemática en general, y del cálculo en
particular, muestra un constante ir y venir entre periodos de desarrollo
altamente productivos, aunque sin la formalidad adecuada, y periodos de
consolidación y cristalización del conocimiento con elevados niveles de
rigor científico.
En el caso del cálculo, el concepto de límite y continuidad de funciones,
resolvió el problema de la falta de rigor científico. Elabora una línea de
tiempo acerca del proceso de elaboración de estos dos conceptos. En las
siguientes líneas explica la razón por la que es necesario formalizar el
conocimiento matemático.
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Concepto intuitivo de límite.
El concepto de límite es el resultado del trabajo de grandes matemáticos
de diferentes épocas y ubicaciones geográficas, y pudiera pensarse que es
difícil de comprender. Sin embargo, es posible abordar el tema desde un
punto de vista menos formal para entenderlo con mayor facilidad.
Ejemplo 1 . Deformación de un resorte
Un resorte tiene una capacidad de
carga de 15 Kg. Se desea
determinar la longitud máxima
que puede alcanzar, por lo que se
realiza un experimento
consistente en ir aumentando la
carga, sin sobrepasar su
capacidad, para evitar que se
deforme permanentemente, o se
rompa.
Los resultados del experimento pueden observarse en la tabla siguiente.
Historia de la
teoría de límites.
Actualmente se considera
resuelta la disputa acerca de la
invención del cálculo; existe
cierto acuerdo en que Newton
y Leibnitz lo desarrollaron en
forma independiente y casi
simultánea. Las fluxiones de
Newton fueron cocientes de
diferenciales para Leibnitz.
Puesto que no disponían del
concepto de límite, está claro
que los fundamentos, en
ambos casos, son poco
rigurosos. El cálculo de
fluxiones de Newton se basa en
demostraciones algebraicas
muy poco convincentes y las
diferenciales de Leibnitz son
entidades que, a pesar de
haber sido definidas como
incrementos, no se comportan
como tales.
Durante todo el siglo XVIII, se
aplicaron los métodos del
cálculo de Newton y/o Leibnitz
en la resolución de problemas
de física o, incluso, se
propusieron nuevas ramas de la
matemática, lo cual
constantemente ponía de
relieve la falta de rigor del
cálculo.
No es sino hasta 1821 cuando
Cauchy consiguió elaborar un
enfoque lógico y adecuado al
cálculo, definiendo el concepto
de límite y el de función
continua.

4. http://licmata-math.blogspot.mx/ 2
Límites y Continuidad de Funciones
Tabla que relaciona la Fuerza aplicada al resorte, con su deformación.
Traza la gráfica de estos resultados tomando la fuerza como equis, y la deformación como ye, de acuerdo con
la gráfica, contesta las preguntas.
¿La gráfica indica que se trata de una función lineal? ¿Es sólo aproximadamente lineal? ¿O definitivamente no
es lineal? Explica tu respuesta
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Fuerza (Kg) 0 6 9.5 14 14.5 14.8 14.9 14.99 14.999 14.9999
Deformación
(cm)
0 1.19 1.87 2.85 2.89 2.95 2.98 2.99 2.999 2.9999

5. http://licmata-math.blogspot.mx/ 3
Límites y Continuidad de Funciones
Podemos observar que la magnitud de la fuerza, aunque no es exactamente 15 Kg debido a que esto podría
dañar el resorte, sí se aproxima a dicho valor. Conforme la Fuerza es cada vez más cercana a 15 Kg, la
deformación se aproxima a: ______________________________.
Esta expresión verbal tan extensa, se expresa matemáticamente con la terminología de la teoría de límites:
El límite de la deformación del resorte, cuando la fuerza aplicada tiende a 15 Kg, es igual a _______ cm.
Simbólicamente se escribe: lim
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎→15
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =
Si representamos la Fuerza con F, y la deformación con d: lim
𝐹→15
𝑑 =
O, como es más usual, representando con y la deformación y con x la fuerza: lim
𝑥→15
𝑦 =
En este caso en particular, la razón por la que no podemos tomar el valor de 15 Kg como carga para el resorte
es que esto podría dañarlo, en otros casos, habrá diversas razones por las que un cierto valor de la variable
independiente no podrá ser utilizado.
Ejemplo 2. Dificultades con la aritmética.
Por ahora vamos a olvidarnos de las aplicaciones, y revisaremos el concepto de límite. Determina el límite
siguiente:
lim
𝑥→1
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
=
En primer lugar, es conveniente revisar si no podemos, sencillamente, tomar el valor x = 1, y sustituirlo para
calcular el valor de la función.
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
=
12
− 1
1 − 1
=
0
0
La división cero entre cero.
Esta división conduce a resultados incorrectos, aunque interesantes, cuando sin darnos cuenta, asumimos que
el resultado es uno. Revisa el ejemplo que se encuentra en el enlace:
http://licmata-math.blogspot.mx/2014/09/mathematical-fallacy-report.html
En dicho enlace aparece una imagen en la que se “demuestra” que uno es igual a cero. Anota en las siguientes
líneas, dónde se encuentra el error de dicha demostración, y en qué consiste:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________

6. http://licmata-math.blogspot.mx/ 4
Límites y Continuidad de Funciones
Una vez que entendemos las complicaciones que implica la división cero entre cero, vamos a determinar el
valor del límite buscado utilizando una estrategia similar a la que empleamos con el resorte; iremos dando a la
equis valores cada vez más cercanos a uno, ya que se busca el límite cuando equis tiende a uno, pero sin tomar
nunca x = 1. Se dejan espacios para que anotes primero el resultado obtenido en el numerador, luego en el
denominador, y al final la división.
Con base en los resultados obtenidos en
la tabla anota el valor del límite.
Esta es una buena estrategia, si encontramos dificultades al resolver un problema, siempre podemos
recurrir a la aritmética y geometría elementales.
La gráfica de la función y el límite calculado.
Con la finalidad de observar lo que
sucede con esta función, vamos a trazar
su gráfica poniendo
especial atención en el punto en el que
se calculó el límite; x = 1.
Podemos tabular cualquier valor,
excepto equis igual a uno, por lo tanto,
se realizarán dos tabulaciones; una con
valores menores a uno, y otra con
valores mayores a uno, como se indica
en las tablas.
Traza la gráfica en el plano cartesiano de la página siguiente.
Tabulación para obtener el límite
x x2 – 1 x – 1 (x2 – 1) / (x – 1)
Valores de equis menores
a uno
Valores de equis mayores
a uno
x y x Y
-3 1.1
-2 1.2
-1 1.5
0 2
0.5 3
0.8 4
0.9 5
lim
𝑥→1
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
=

7. http://licmata-math.blogspot.mx/ 5
Límites y Continuidad de Funciones
Explica, en las siguientes líneas lo que sucede con la gráfica en el punto x = 1. Consulta el nombre
que recibe una función que tiene este comportamiento.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________

8. http://licmata-math.blogspot.mx/ 6
Límites y Continuidad de Funciones
Ejemplo 3. Repasando el método aritmético.
Utilizando la misma estrategia que ya conocemos, determina el siguiente límite, traza su gráfica, y explica el
comportamiento de la función alrededor de x = 1. Determina el límite siguiente:
lim
𝑥→1
𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
=
Siempre es conveniente revisar si no podemos, sencillamente, tomar el valor x = 1, y sustituirlo para calcular el
valor de la función.
𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
=
1 − 1
12 + 1 − 2
=
0
0
La división cero entre cero.
Nuevamente encontramos este resultado, por lo tanto, no podemos tomar el valor x = 1.
Vamos a efectuar la tabulación; se dejan espacios para que anotes primero el resultado obtenido en el
numerador, luego en el denominador, y al final la división.
Con base en los resultados obtenidos en
la tabla anota el valor del límite.
Pudimos obtener el límite utilizando solamente aritmética y geometría. Ahora vamos a trazar la
gráfica, tomando en cuenta que, además de la discontinuidad en x = 1, existe otra, que se presenta
cuando x = - 2, debido a que, en este punto, el denominador se hace cero.
𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
=
−2 − 1
(−2)2 + (−2) − 2
=
−3
4 − 2 − 2
=
−3
0
= −∞
Debemos recordar que el resultado “menos infinito” no se refiere a ningún número, sino al hecho de
que se está dividiendo una cantidad entre cero.
Ahora debemos efectuar tres tabulaciones: una para valores de equis menores que menos dos; otra
para valores de equis entre menos dos y uno; y finalmente para valores mayores que uno. Estos
valores pueden ser seleccionados aleatoriamente, sin embargo, es conveniente siempre considerar
cantidades cercanas a los valores en los que la función no está definida.
Las tablas siguientes ya contienen la equis para que se comprenda mejor esta idea.
Tabulación para obtener el límite
x x – 1 x2 + x – 2 (x – 1) / (x2 + x – 2)lim
𝑥→1
𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
=

9. http://licmata-math.blogspot.mx/ 7
Límites y Continuidad de Funciones
La gráfica de la función, el límite calculado y la división entre cero.
Utiliza los valores de equis que se proponen para trazar la gráfica.
Con los resultados de esta tabulación, traza la gráfica.
Valores de equis menores
a menos dos (x<-2)
Valores de equis entre menos
dos y uno (-2<x<1)
Valores de equis mayores a
uno (x>1)
x y x Y x Y
-5 -1.9 1.1
-4 -1.7 1.2
-3 -1.5 1.5
-2.7 -1 1.8
-2.5 0 2
-2.3 0.5 3
-2.2 0.7 4
-2.1 0.9 5

10. http://licmata-math.blogspot.mx/ 8
Límites y Continuidad de Funciones
Funciones discontinuas.
Cuando existen estos “saltos” o “huecos” en la gráfica de una función, decimos que es discontinua en
dichos puntos, para la función que estamos analizando decimos:
La función estudiada es discontinua en x = -2, y también en x = 1.
𝑓(𝑥) =
𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
Ejercicios.
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando esta estrategia aritmética y traza las gráficas correspondientes
señalando claramente dónde se encuentran las discontinuidades de las funciones.
1) lim
𝑥→3
𝑥2−9
𝑥−3
=
2) lim
𝑥→−2
𝑥+2
𝑥3+8
=
3) lim
𝑥→2
𝑥2−4
4𝑥2+5𝑥−6
=
4) lim
𝑥→4
𝑥−4
2−√ 𝑥
=
5) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
=
6) lim
𝑥→0
𝑥
𝑥2 =
7) lim
𝑥→3
1
𝑥
−
1
3
𝑥−3
=
8) lim
𝑥→0
𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
=
En caso necesario, efectúa las operaciones en hojas adicionales y anota solamente las soluciones de cada uno
de los límites calculados.

11. http://licmata-math.blogspot.mx/ 9
Límites y Continuidad de Funciones
Bibliografía.