Este documento apresenta um programa sobre mecânica dos sólidos que inclui: (1) revisão da notação indicial e propriedades de tensores; (2) revisão de cálculo e álgebra linear relevantes para mecânica dos sólidos, incluindo tensores, transformações lineares, propriedades de tensores simétricos e antissimétricos.
Grupo Tribalhista - Música Velha Infância (cruzadinha e caça palavras)
Mecânica dos Sólidos - Unidade 01
1. Mecˆanica dos S´olidos I – MAC-005
Unidade 01
Luis Paulo S. Barra
Leonardo Goliatt
Departamento de Mecˆanica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora
v. 14.09
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 1 / 46
2. Livro Texto
Livro texto:
I Introduction to Continuum Mechanics
I W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl
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3. Programa
1 Notac¸ ˜ao Indicial
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
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4. Programa
1 Notac¸ ˜ao Indicial
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5. Notac¸ ˜ao indicial
Eixos Coordenados
Os eixos coordenados x; y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e tem
como unit´arios e1,e2 e e3
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6. Notac¸ ˜ao indicial
Eixos Coordenados
Os eixos coordenados x; y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e tem
como unit´arios e1,e2 e e3
Regra da Soma, ´Indices Mudos
A soma
s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn =
Xn
i=1
aixi
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7. Notac¸ ˜ao indicial
Eixos Coordenados
Os eixos coordenados x; y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e tem
como unit´arios e1,e2 e e3
Regra da Soma, ´Indices Mudos
A soma
s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn =
Xn
i=1
aixi
´e representada por
s = aixi = amxm
onde i ´e conhecido como ´ındice mudo.
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8. Notac¸ ˜ao indicial
Eixos Coordenados
Os eixos coordenados x; y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e tem
como unit´arios e1,e2 e e3
Regra da Soma, ´Indices Mudos
A soma
s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn =
Xn
i=1
aixi
´e representada por
s = aixi = amxm
onde i ´e conhecido como ´ındice mudo.
Em problemas tridimensionais ´e assumido n = 3.
Um vetor n pode ser representado como:
n = niei
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9. Notac¸ ˜ao indicial
´Indices Mudos (cont.)
Somat´orios duplos:
aijxixj =
X3
i=1
X3
j=1
aijxixj
= a11x1x1 + a12x1x2 + a13x1x3
a21x2x1 + a22x2x2 + a23x2x3
a31x3x1 + a32x3x2 + a33x3x3
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10. Notac¸ ˜ao indicial
´Indices Mudos (cont.)
Somat´orios duplos:
aijxixj =
X3
i=1
X3
j=1
aijxixj
= a11x1x1 + a12x1x2 + a13x1x3
a21x2x1 + a22x2x2 + a23x2x3
a31x3x1 + a32x3x2 + a33x3x3
O somat´orio:
X3
i=1
aibixi
deve manter o s´ımbolo de somat´orio, uma vez que:
o produto aibixi n˜ao ´e definido nesta notac¸ ˜ao.
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11. Notac¸ ˜ao indicial
´Indices Livres
Considere o sistema de equac¸ ˜oes:
b1 = a11x1 + a12x2 + a13x3
b2 = a21x1 + a22x2 + a23x3
b3 = a31x1 + a32x2 + a33x3
Usando a regra da soma, podem ser escritas como:
b1 = a1mxm
b2 = a2mxm
b3 = a3mxm
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12. Notac¸ ˜ao indicial
´Indices Livres
Podem ser ainda mais compactadas:
bi = aimxm; i = 1; 2; 3
Na notac¸ ˜ao indicial s˜ao escritas simplesmente como:
bi = aimxm
Um ´ındice livre aparece uma vez em cada termo de uma express˜ao.
As express˜oes abaixo n˜ao s˜ao definidas:
ai = bj
Tij = Tik
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13. Notac¸ ˜ao indicial
Delta de Kronecker
O delta de Kronecker, denotado por ij, ´e definido por
ij =
(
1 se i = j
0 se i , j
ou seja
11 = 22 = 33 = 1
12 = 13 = 21 = 23 = 31 = 31 = 0
Ainda observamos que:
ii = 1 + 1 + 1 = 3
1mam = 11a1 + 12a2 + 13a3
imTmj = Tij
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14. Notac¸ ˜ao indicial
S´ımbolo de Permutac¸ ˜ao
O s´ımbolo de permutac¸ ˜ao, denotado por ijk, ´e definido por ijk =
8:
+1
1
0
9=;
se i; j; k
8:
formam um permutac¸ ˜ao par
formam um permutac¸ ˜ao ´ımpar
n˜ao formam permutac¸ ˜ao
9=;
de 1, 2, 3, ou seja
123 = 231 = 312 = 1
132 = 321 = 213 = 1
111 = 112 = = 333 = 0
Observe que
ei ej = ijkek
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15. Notac¸ ˜ao indicial
123 = 231 = 312 = 1
132 = 321 = 213 = 1
111 = 112 = = 333 = 0
ei ej = ijkek
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16. Programa
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transposta de um Tensor
Produto Di´adico e Trac¸o de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direc¸ ˜oes Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Func¸ ˜ao Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Tensorial
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17. Programa
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transposta de um Tensor
Produto Di´adico e Trac¸o de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direc¸ ˜oes Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Func¸ ˜ao Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Tensorial
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18. Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transformac¸ ˜ao Linear
Seja T uma transformac¸ ˜ao que transfoma um vetor em outro vetor. Se T transforma
a em b e c em d
Ta = b
Tc = d
Se T tem as seguintes propriedades de linearidade
T(a+b) = Ta + Tb
T(a) = (Ta)
onde a e b s˜ao vetores arbitr´arios e ´e um escalar, ent˜ao T ´e chamado de
transformac¸ ˜ao linear ou tensor de segunda ordem ou simplesmente tensora b.
Em particular:
T(a +
20. Tb
aUm tensor de ordem n em um espac¸o com trˆes dimens˜oes possui 3n componentes. Um
tensor de ordem 2 possui nove componentes. Um vetor e um escalar s˜ao casos particulares de
tensores, respectivamente de ordem um e zero.
bMais sobre tensores: http://goo.gl/EW0KwM e tamb´em http://goo.gl/XQ3lwa
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21. Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
As componente sde um vetor dependem da base usada para descrever seus
componentes. o mesmo vale para tensores.
Te1 = T11e1 + T21e2 + T31e3
Te2 = T12e1 + T22e2 + T32e3
Te3 = T13e1 + T23e2 + T33e3
ou
Tei = Tjiej
As componentes podem ser arranjadas em uma matriz da forma
[T] =
2666666664
T11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33
3777777775
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22. Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Tamb´em, considerando que e1 e2 = e1 e3 = e2 e3 = 0, pode ser verificado que
T11 = e1 Te1 T21 = e2 Te1 T31 = e3 Te1
T21 = e2 Te1 T22 = e2 Te2 T23 = e2 Te3
T31 = e3 Te1 T32 = e3 Te2 T33 = e3 Te3
ou
Tij = ei Tej
Basta verificar que
e1 Te1 = e1 (T11e1 + T21e2 + T31e3)
e1 Te2 = e1 (T12e1 + T22e2 + T32e3)
:::
:::
:::
e3 Te3 = e3 (T13e1 + T23e2 + T33e3)
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23. Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Se houver uma mudanc¸a para a base fe0i
g
T0
ij = e0i
Te0j
Dependˆencia entre componentes e a base
Os tensores e vetores s˜ao independentes do sistema de coordenadas, mas suas
componentes s˜ao dependentes do sistema usado.
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24. Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Em termos matriciais, consideranndo
a = aiei
a transformac¸ ˜ao Ta = b fica
2666666664
b1
b2
b3
3777777775
=
2666666664
T11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33
3777777775
2666666664
a1
a2
a3
3777777775
ou
[b] = [T][a ]
o que indicialmente fica
bm = aiTmi = Tmiai
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25. Programa
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transposta de um Tensor
Produto Di´adico e Trac¸o de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direc¸ ˜oes Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Func¸ ˜ao Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Tensorial
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26. Transposta de um Tensor
Transposta de um Tensor
A transposta de um tensor T, denotada por TT , ´e definido como o tensor que satisfaz a
seguinte identidade para quaisquer a e b
a Tb = b TTa
Da definic¸ ˜ao anterior, com a = ei e b = ej, e tamb´em Tij = ei Tej
ei Tej = ej TTei
lembrando que
[T] =
2666666664
T11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33
3777777775
e TT =
2666666664
T11 T21 T31
T12 T22 T32
T13 T23 T33
3777777775
temos portanto
Tji = TT
ij ou [T]T = [TT ]
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27. Programa
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transposta de um Tensor
Produto Di´adico e Trac¸o de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direc¸ ˜oes Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Func¸ ˜ao Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Tensorial
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 17 / 46
28. Produto Di´adico de dois Vetores
Produto Di´adico de dois Vetores
O produto di´adico ab de dois vetores a e b, denotado por ab, ´e definido pela
tranformac¸ ˜ao que tranforma c segundo a regra
(ab)c = a(b c)
O produto di´adico ab ´e uma transformac¸ ˜ao linear.
SejaW = ab, ent˜ao em termos de componentes
Wij = ei Wej = ei (ab)ej = ei a(b ej) = aibj
ou seja
Wij = aibj
ou
[W] =
2666666664
a1b1 a1b2 a1b3
a2b1 a2b2 a2b3
a3b1 a3b2 a3b3
3777777775
=
2666666664
a1
a2
a3
3777777775
h
b1 b2 b3
i
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29. Trac¸o de um Tensor
Definic¸ ˜ao:
trab = a b
E satisfaz a condic¸ ˜ao de linearidade:
tr(ab +
31. trcd
Al´em disso:
trT = tr(Tijeiej) = Tijtr(eiej) = Tijei ej = Tijij = Tii
Isto ´e:
trT = T11 + T22 + T33 (soma dos termos da diagonal)
Logo:
trT = trTT
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32. Programa
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transposta de um Tensor
Produto Di´adico e Trac¸o de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direc¸ ˜oes Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Func¸ ˜ao Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Tensorial
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33. Tensor Identidade
Definic¸ ˜ao:
Ia = a
Em particular:
Ie1 = e1
Ie2 = e2
Ie3 = e3
Componentes:
Iij = ei Iej = ei ej = ij
Isto ´e:
[I] =
2666666664
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3777777775
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34. Tensor Inverso
Se existe S tal que
ST = I
ent˜ao S ´e o inverso de T, representado por S = T1.
Potˆencia de ordem zero ´e o tensor identidade:
T1T = T1+1 = T0 = I
Componentes da inversa determinados pela invers˜ao da matriz [T] de T.
Logo:
T1T = TT1 = I
Com isso,
9 T1 , det [T] , 0
e pode-se provar que:
TT
1
=
T1
T
(ST)1 =
T1S1
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35. Tensor Inverso
Se n˜ao existe T1 :
Exemplo: T = ab
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36. Programa
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transposta de um Tensor
Produto Di´adico e Trac¸o de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direc¸ ˜oes Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Func¸ ˜ao Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Tensorial
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37. Tensor Ortogonal
Tensor Ortogonal
Um tensor ortogonal, Q ´e uma transformac¸ ˜ao que preserva os comprimentos e os
ˆangulos dos vetores, isto ´e, preserva o produto escalar:
Qa Qb = a b
Logo, da definic¸ ˜ao de transposta, onde a Tb = b TTa, temos:
Qa Qb = b QT (Qa) = b
QTQ
a
Da definic¸ ˜ao:
b
QTQ
a = a b = b a = b Ia
Portanto QTQ = I, o que significa que:
QT = Q1 =) QTQ = QQT = I
Em notac¸ ˜ao indicial:
QimQjm = QmiQmj = ij
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38. Programa
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transposta de um Tensor
Produto Di´adico e Trac¸o de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direc¸ ˜oes Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Func¸ ˜ao Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Tensorial
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 23 / 46
39. Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Um tensor ´e dito sim´etrico se T = TT . Logo
Tij = Tji ) T12 = T21; T23 = T32; T13 = T31
Um tensor ´e dito antissim´etrico se T = TT . Ent˜ao
Tij = Tji
Com isso, temos
T11 = T22 = T33 = 0; T12 = T21; T23 = T32; T13 = T31
Qualquer tensor T pode ser decomposto unicamente na soma de um tensor sim´etrico
TS e um tensor antissim´etrico TA
T = TS + TA
onde
TS =
T + TT
2
; TA =
T TT
2
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40. Programa
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transposta de um Tensor
Produto Di´adico e Trac¸o de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direc¸ ˜oes Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Func¸ ˜ao Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Tensorial
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41. Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Os elementos de um tensor antissim´etrico Ws˜ao sempre nulos, e dos seis elementos
fora da diagonal somente trˆes s˜ao independentes, pois
W12 = W21; W23 = W32; W13 = W31
Logo,Wpode ser representado por somente trˆes componentes. Al´em disso, ele se
comporta como um vetor.
Especificamente,
Vetor dual
Para cada tensor antissim´etricoWexiste um vetor correspodente tA, tal que para cada
vetor a, a aplicac¸ ˜ao de Wem a, Wa, pode ser obtid a pelo produto vetorial
Wa = tA a
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42. Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Podemos verificar que
W12 = e1 We2 = e1 tA e2 = tA e2 e1 = tA e3 = tA
3
W31 = e3 We1 = e3 tA e1 = tA e1 e3 = tA e2 = tA
2
W23 = e2 We3 = e2 tA e3 = tA e3 e2 = tA e1 = tA
1
o que resulta em
W21 = tA
3 ; W23 = tA
1 ; W13 = tA
2 ; W11 = W22 = W33 = 0
Usando a representac¸ ˜ao matricial do tensor
[W] =
2666666664
0 W12 W13
W21 0 W23
W31 W32 0
3777777775
=
2666666664
0 W21 W31
W21 0 W32
W31 W32 0
3777777775
=
2666666664
0 tA
3 tA
2
tA
3 0 tA
1
tA
2 tA
1 0
3777777775
7!
2666666664
tA
1
tA
2
tA
3
3777777775
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43. Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Assim
[W] =
2666666664
0 W12 W13
W21 0 W23
W31 W32 0
3777777775
=
2666666664
0 W21 W31
W21 0 W32
W31 W32 0
3777777775
=
2666666664
3 tA
2
0 tA
tA
3 0 tA
1
tA
2 tA
1 0
3777777775
7!
2666666664
tA
1
tA
2
tA
3
3777777775
que pode ser escrito como
tA = (W23e1 + W31e2 + W12e3) = W32e1 + W13e2 + W21e3
ou em notac¸ ˜ao indicial
2tA = ijkWjkei
O vetor dual possui v´arios usos:
Permite determinar facilmente o eixo de rotac¸ ˜ao de um tensor de rotac¸ ˜ao finita.
Em realidade, o eixo de rotac¸ ˜ao ´e paralelo ao vetor dual da parte antissim´etrica
do tensor de rotac¸ ˜ao.
Permite determinar os ˆangulos infinitesimais de rotac¸ ˜ao de elementos materiais
que sogrem uma deformac¸ ˜ao infinitesimal.
Permite obter a velocidade angular de elementos materiais em um movimento.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 26 / 46
44. Programa
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transposta de um Tensor
Produto Di´adico e Trac¸o de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direc¸ ˜oes Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Func¸ ˜ao Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Tensorial
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 27 / 46
45. Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Considere um tensor T. Se a ´e um vetor que ´e transformado por T em um vetor
paralelo a ele mesmo, ou seja
Ta = a
ent˜ao ´e autovalor e a ´e autovetor de T.
Indeterminac¸ ˜ao do m´odulo:
T(a) = Ta
= a
= (a)
Seja n ´e um autovetor unit´ario:
Tn = n = In
Logo:
(T I) n = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 27 / 46
62. = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 28 / 46
63. Autovalores de Tensores Sim´etricos
Seja o autovalor complexo de um tensor real sim´etrico T . Logo: [T] fng = fng
E tomando os complexos cojugados de ambos os membros:
[T] f ¯ng = ¯
f ¯ng
Pode-se ent˜ao escrever:
f ¯
n¯gT [T] fng = f n¯gT fng
fngT [T] f n¯g = fngT f n¯g
Uma vez que T ´e sim´etrico: fngT [T] f ¯ng = f ¯ngT [T] fng
Logo:
( ¯) f ¯ngT fng = 0
Uma vez que n ´e n˜ao nulo, = ¯
. Portanto:
Os autovalores de um tensor sim´etrico s˜ao reais.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 29 / 46
64. Programa
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transposta de um Tensor
Produto Di´adico e Trac¸o de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direc¸ ˜oes Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Func¸ ˜ao Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Tensorial
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 30 / 46
65. Valores e Direc¸ ˜oes Principais
Sejam n1 e n2 dois autovetores correspondendo a dois autovalores distintos 1 e 2 de
um tensor sim´etrico T:
Tn1 = 1n1
Tn2 = 2n2
Logo:
1n1 n2 = n2 Tn1
2n2 n1 = n1 Tn2
= n2 TTn1
= n2 Tn1 (pela simetria.)
Subtraindo membro a membro:
(1 2) (n1 n2) = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 30 / 46
66. Valores e Direc¸ ˜oes Principais
1 , 2 , 3
Se 1 , 2 ent˜ao: (n1 n2) = 0 ! n1?n2 .
1 = 2 = , 3
Se n1 , n2 com 1 = 2 = , ent˜ao:
T(n1 +
72. n2 (um vetor qualquer
do plano) tamb´em ´e autovetor de
T. Logo pode-se escolher n1?n2.
1 = 2 = 3 =
Se 1 = 2 = 3 = qualquer vetor vetor ´e autovetor.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 32 / 46
74. n2 (um vetor qualquer
do plano) tamb´em ´e autovetor de
T. Logo pode-se escolher n1?n2.
1 = 2 = 3 =
Se 1 = 2 = 3 = qualquer vetor vetor ´e autovetor.
Conclus˜ao
Para um tensor real e sim´etrico ´e sempre poss´ıvel determinar trˆes direc¸ ˜oes principais
mutuamente ortogonais.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 32 / 46
75. [T] em relac¸ ˜ao `as Direc¸ ˜oes Principais
Usando os autovetores n1, n2 e n3 como base do sistema de coordenadas:
T11 = n1 Tn1 = n1 (1n1) = 1
T22 = n2 Tn2 = n2 (2n2) = 2
T33 = n3 Tn3 = n3 (3n3) = 3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 33 / 46
76. [T] em relac¸ ˜ao `as Direc¸ ˜oes Principais
Usando os autovetores n1, n2 e n3 como base do sistema de coordenadas:
T11 = n1 Tn1 = n1 (1n1) = 1
T22 = n2 Tn2 = n2 (2n2) = 2
T33 = n3 Tn3 = n3 (3n3) = 3
T12 = n1 Tn2 = n1 (2n2) = 0
T13 = n1 Tn3 = n1 (3n3) = 0
T23 = n2 Tn3 = n2 (3n3) = 0
Logo:
[T]n1;n2;n3 =
2666666664
1 0 0
0 2 0
0 0 3
3777777775
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 33 / 46
77. [T] em relac¸ ˜ao `as Direc¸ ˜oes Principais
Valores Extremos dos Coeficientes da Diagonal
Seja um vetor unit´ario e0
1 = n1 +
137. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 35 / 46
138. Invariantes Escalares
Em relac¸ ˜ao aos autovalores
I1 = 1 + 2 + 3
I2 = 12 + 23 + 13
I3 = 123
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 36 / 46
139. Programa
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transposta de um Tensor
Produto Di´adico e Trac¸o de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direc¸ ˜oes Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Func¸ ˜ao Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Tensorial
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 37 / 46
140. Func¸ ˜oes Tensoriais de um Escalar
Definic¸ ˜ao de Derivada
dT
dt = lim
t!0
T(t + t) T(t)
t
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 37 / 46
141. Func¸ ˜oes Tensoriais de um Escalar
Definic¸ ˜ao de Derivada
dT
dt = lim
t!0
T(t + t) T(t)
t
Propriedades
d
dt
(T + S) =
dT
dt +
dS
dt
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 37 / 46
142. Func¸ ˜oes Tensoriais de um Escalar
Definic¸ ˜ao de Derivada
dT
dt = lim
t!0
T(t + t) T(t)
t
Propriedades
d
dt
(T + S) =
dT
dt +
dS
dt
d
dt
((t)T) =
d
dt
T +
dT
dt
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 37 / 46
143. Func¸ ˜oes Tensoriais de um Escalar
Definic¸ ˜ao de Derivada
dT
dt = lim
t!0
T(t + t) T(t)
t
Propriedades
d
dt
(T + S) =
dT
dt +
dS
dt
d
dt
((t)T) =
d
dt
T +
dT
dt
d
dt
(TS) =
dT
dt
S + T
dS
dt
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 37 / 46
144. Func¸ ˜oes Tensoriais de um Escalar
Definic¸ ˜ao de Derivada
dT
dt = lim
t!0
T(t + t) T(t)
t
Propriedades
d
dt
(T + S) =
dT
dt +
dS
dt
d
dt
((t)T) =
d
dt
T +
dT
dt
d
dt
(TS) =
dT
dt
S + T
dS
dt
d
dt
(Ta) =
dT
dt
a + T
da
dt
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 37 / 46
145. Func¸ ˜oes Tensoriais de um Escalar
Definic¸ ˜ao de Derivada
dT
dt = lim
t!0
T(t + t) T(t)
t
Propriedades
d
dt
(T + S) =
dT
dt +
dS
dt
d
dt
((t)T) =
d
dt
T +
dT
dt
d
dt
(TS) =
dT
dt
S + T
dS
dt
d
dt
(Ta) =
dT
dt
a + T
da
dt
d
dt
TT
=
dT
dt
!T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 37 / 46
146. Derivada
Derivada de Ta
d
dt
(Ta) = lim
t!0
T(t + t)a(t + t) T(t)a(t)
t
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 38 / 46
147. Derivada
Derivada de Ta
d
dt
(Ta) = lim
t!0
T(t + t)a(t + t) T(t)a(t)
t
= lim
t!0
T(t + t)a(t + t) T(t)a(t + t)
t
+ lim
t!0
T(t)a(t + t) T(t)a(t)
t
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 38 / 46
148. Derivada
Derivada de Ta
d
dt
(Ta) = lim
t!0
T(t + t)a(t + t) T(t)a(t)
t
= lim
t!0
T(t + t)a(t + t) T(t)a(t + t)
t
+ lim
t!0
T(t)a(t + t) T(t)a(t)
t
= lim
t!0
T(t + t) T(t)
t
a(t + t)
+T(t) lim
t!0
a(t + t) a(t)
t
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 38 / 46
149. Derivada
Derivada de Ta
d
dt
(Ta) = lim
t!0
T(t + t)a(t + t) T(t)a(t)
t
= lim
t!0
T(t + t)a(t + t) T(t)a(t + t)
t
+ lim
t!0
T(t)a(t + t) T(t)a(t)
t
= lim
t!0
T(t + t) T(t)
t
a(t + t)
+T(t) lim
t!0
a(t + t) a(t)
t
=
dT
dt
a + T
da
dt
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 38 / 46
150. Componentes da Derivada
Partindo de:
Tij = ei Tej
Como os vetores base s˜ao fixos:
dei
dt
.
Logo:
dTij
dt = ei
d
dt
Tej
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 39 / 46
151. Componentes da Derivada
Partindo de:
Tij = ei Tej
Como os vetores base s˜ao fixos:
dei
dt
.
Logo:
dTij
dt = ei
d
dt
Tej
= ei
dT
dt
ej
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 39 / 46
152. Componentes da Derivada
Partindo de:
Tij = ei Tej
Como os vetores base s˜ao fixos:
dei
dt
.
Logo:
dTij
dt = ei
d
dt
Tej
= ei
dT
dt
ej
=
dT
dt
!
ij
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 39 / 46
153. Programa
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transposta de um Tensor
Produto Di´adico e Trac¸o de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direc¸ ˜oes Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Func¸ ˜ao Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Tensorial
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 40 / 46
154. Gradiente de Campo Escalar
Definic¸ ˜ao
Seja o campo escalr (r), isto ´e, uma func¸ ˜ao escalar do vetor posic¸ ˜ao, r.
Define-se o gradiente de , representado por r pela relac¸ ˜ao:
d = (r + dr) (r) r dr
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 40 / 46
155. Gradiente de Campo Escalar
Definic¸ ˜ao
Seja o campo escalr (r), isto ´e, uma func¸ ˜ao escalar do vetor posic¸ ˜ao, r.
Define-se o gradiente de , representado por r pela relac¸ ˜ao:
d = (r + dr) (r) r dr
Componentes
Seja e o unit´ario na direc¸ ˜ao de dr, isto ´e: dr = edr, logo pode-se escrever a derivada
na direc¸ ˜ao de dr como:
d
dr = r e
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 40 / 46
156. Gradiente de Campo Escalar
Definic¸ ˜ao
Seja o campo escalr (r), isto ´e, uma func¸ ˜ao escalar do vetor posic¸ ˜ao, r.
Define-se o gradiente de , representado por r pela relac¸ ˜ao:
d = (r + dr) (r) r dr
Componentes
Seja e o unit´ario na direc¸ ˜ao de dr, isto ´e: dr = edr, logo pode-se escrever a derivada
na direc¸ ˜ao de dr como:
d
dr = r e
Desta forma:
d
dr
!
na direc¸ ˜ao i
=
@
@xi
= r ei = (r)i
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 40 / 46
157. Gradiente de Campo Escalar
Componentes
E portanto:
r =
@
@x1
e1 +
@
@x2
e2 +
@
@x3
e3 =
@
@xi
ei = ;iei
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Sejam r e r + dr vetores posic¸ ˜ao em uma superf´ıcie com constante, logo:
d = r dr = 0
Logo r ´e perpendicular `a superf´ıcie de constante.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 41 / 46
158. Gradiente de Campo Escalar
Componentes
E portanto:
r =
@
@x1
e1 +
@
@x2
e2 +
@
@x3
e3 =
@
@xi
ei = ;iei
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Sejam r e r + dr vetores posic¸ ˜ao em uma superf´ıcie com constante, logo:
d = r dr = 0
Logo r ´e perpendicular `a superf´ıcie de constante.
Por outro lado r dr ´e m´aximo quando dr tem a mesma direc¸ ˜ao de r, logo:
A m´axima derivada direcional em um ponto ´e o gradiente do campo
escalar, sendo perpendicular a superf´ıcie de constante.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 41 / 46
159. Programa
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transposta de um Tensor
Produto Di´adico e Trac¸o de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direc¸ ˜oes Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Func¸ ˜ao Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Tensorial
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 42 / 46
160. Gradiente de Campo Vetorial
Definic¸ ˜ao
´E
o tensor de segunda ordem definido pela express˜ao:
dv = v(r + dr) v(r) (rv)dr
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 42 / 46
161. Gradiente de Campo Vetorial
Definic¸ ˜ao
´E
o tensor de segunda ordem definido pela express˜ao:
dv = v(r + dr) v(r) (rv)dr
Novamente, seja dr = edr, logo:
dv
dr
!
na direc¸ ˜ao de e
= (rv)e
Logo o tensor de segunda ordem (rv) transforma o vetor e na taxa de variac¸ ˜ao de v
naquela direc¸ ˜ao.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 42 / 46
162. Gradiente de Campo Vetorial
Componentes
Da express˜ao acima:
dv
dr
!
na direc¸ ˜ao de e1
@v
@x1
= (rv)e1
Logo:
(rv)11 = e1 (rv)e1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 43 / 46
163. Gradiente de Campo Vetorial
Componentes
Da express˜ao acima:
dv
dr
!
na direc¸ ˜ao de e1
@v
@x1
= (rv)e1
Logo:
(rv)11 = e1 (rv)e1
= e1
@v
@x1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 43 / 46
164. Gradiente de Campo Vetorial
Componentes
Da express˜ao acima:
dv
dr
!
na direc¸ ˜ao de e1
@v
@x1
= (rv)e1
Logo:
(rv)11 = e1 (rv)e1
= e1
@v
@x1
=
@
@x1
(e1 v)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 43 / 46
165. Gradiente de Campo Vetorial
Componentes
Da express˜ao acima:
dv
dr
!
na direc¸ ˜ao de e1
@v
@x1
= (rv)e1
Logo:
(rv)11 = e1 (rv)e1
= e1
@v
@x1
=
@
@x1
(e1 v)
=
@v1
@x1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 43 / 46
166. Gradiente de Campo Vetorial
Componentes
De maneira geral:
(rv)ij =
@vi
@xj
= vi;j
E desta forma:
[rv] =
266666666666666666666666666666664
@v1
@x1
@v1
@x2
@v1
@x3
@v2
@x1
@v2
@x2
@v2
@x3
@v3
@x1
@v3
@x2
@v3
@x3
377777777777777777777777777777775
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 44 / 46
167. Programa
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transposta de um Tensor
Produto Di´adico e Trac¸o de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direc¸ ˜oes Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Func¸ ˜ao Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Tensorial
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 45 / 46
168. Divergˆencia de um Campo Vetorial
Definic¸ ˜ao
A divergˆencia de um campo vetorial ´e definida como:
divv trrv
Em um sistema de coordenadas Cartesianas:
divv =
@v1
@x1
+
@v2
@x2
+
@v3
@x3
=
@vi
@xi
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 45 / 46
169. Programa
2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos
Tensor: uma Transformac¸ ˜ao Linear
Transposta de um Tensor
Produto Di´adico e Trac¸o de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Sim´etricos e Antissim´etricos
Vetor Dual de um Tensor Antissim´etrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direc¸ ˜oes Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Func¸ ˜ao Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Vetorial
Divergˆencia de um Campo Tensorial
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 46 / 46
170. Divergˆencia de um Campo Tensorial
Definic¸ ˜ao
divT a div
TTa
tr
TT (ra)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 46 / 46
171. Divergˆencia de um Campo Tensorial
Definic¸ ˜ao
divT a div
TTa
tr
TT (ra)
Componentes
(divT)i = divT ei
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 46 / 46
172. Divergˆencia de um Campo Tensorial
Definic¸ ˜ao
divT a div
TTa
tr
TT (ra)
Componentes
(divT)i = divT ei
= div
TTei
tr
TT (rei)
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173. Divergˆencia de um Campo Tensorial
Definic¸ ˜ao
divT a div
TTa
tr
TT (ra)
Componentes
(divT)i = divT ei
= div
TTei
tr
TT (rei)
= div (Timem) 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 46 / 46
174. Divergˆencia de um Campo Tensorial
Definic¸ ˜ao
divT a div
TTa
tr
TT (ra)
Componentes
(divT)i = divT ei
= div
TTei
tr
TT (rei)
= div (Timem) 0
=
@Tim
@xm
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 46 / 46
175. Divergˆencia de um Campo Tensorial
Definic¸ ˜ao
divT a div
TTa
tr
TT (ra)
Componentes
(divT)i = divT ei
= div
TTei
tr
TT (rei)
= div (Timem) 0
=
@Tim
@xm
De outra forma:
divT =
@Tim
@xm
ei
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