Trigonometriarako sarrera: angeluak, triangeluak, arrazoi trigonometrikoak, triangelu zuzenen ebazpena.

1. TRIGONOMETRIA
SARRERA

2. TRIGONOMETRIA
Triangeluen kalkuluaz
diharduen matematikaren
atala da.

3. ANGELUA
Elkar ebakitzen duten bi zuzenek
mugatzen duten lau plano zatietako
bakoitza.

4. ANGELUEN SAILKAPENA
ZORROTZA α < 90º
ZUZENA α = 90º
KAMUTSA α > 90º
LAUA α = 180º
OSOA α = 360º

5. ANGELUAK NEURTZEKO UNITATEAK
• Radianak• Graduak
RADIANEN ETA GRADUEN ARTEKO ERLAZIOA:
360º = 2π rad
edo
180º = π rad

6. ANGELUAK: ARIKETAK
GRADUAK RADIANAK
π
45º
120º
π/5
3 π/8
75º
5 π/4
320º

7. ANGELUAK: ARIKETAK
GRADUAK RADIANAK
180º π
45º π/4
120º 2 π/3
36º π/5
67,5º 3 π/8
75º 5 π/12
225º 5 π/4
320º 16 π/9

8. TRIANGELUA
• Definizioa:
Hiru alde dituen poligonoa.

9. TRIANGELUA
Angeluen arabera Aldeen arabera
ZORROTZA
Hiru angeluak zorrotzak
ZUZENA
Angelu zuzen bat
KAMUTSA
Angelu kamuts bat
ALDEKIDEA
Hiru alde berdin
ISOSZELEA
Bi alde berdin
ESKALENOA
Hiru aldeak desberdinak
TRIANGELUEN SAILKAPENA

10. TRIANGELUAREN PROPIETATEA
Triangelu baten hiru angeluen
arteko batura 180º-koa da.

11. PITAGORASEN TEOREMA
h
a
b
Triangelu zuzenetan,
katetoen karratuen batura
hipotenusaren karratuaren
berdina da.
Hau da,
a2
+ b2
= h2
a eta b katetoak
h hipotenusa

12. ANGELU ZORROTZEN
ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

13. ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
α a aurkako katetoa
b alboko katetoa
c hipotenusa
β a alboko katetoa
b aurkako katetoa
c hipotenusa

14. ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
sinua = sin α = a/c sin β = b/c
kosinua = cos α = b/c cos β = a/c
tangentea = tan α = a/b tan β = b/a
hipotenusa
katetoaaurkako
katetoaalboko
katetoaaurkako
hipotenusa
katetoaalboko

15. ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK: ADIBIDEAK
α β
sinua
kosinua
tangentea
sinua
kosinua
tangentea

16. ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK: ADIBIDEAK
α β
Sinua 8/10 6/10
Kosinua 6/10 8/10
Tangentea 8/6 6/8
Sinua 10/10,77 4/10,77
Kosinua 4/10,77 10/10,77
Tangentea 10/4 4/10

17. ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
KALKULAGAILUAN
• sin, cos eta tan teklak erabiltzen dira.
• Angelua jakinda arrazoi trigonometrikoren bat kalkulatu
nahi dugunean, dagokion tekla zuzenean erabiltzen da.
Adibidea: sin 30º kalkulatzeko,
sin 30 = edo 30 sin. Emaitza: 0,5.
• Arrazoi trigonometrikoa jakinda angelua kalkulatu nahi
dugunean, dagokion teklari eman baino lehen SHIFT tekla
sakatu beharko dugu.
Adibidea: cos α = 0,5 jakinda α kalkulatzeko,
SHIFT cos 0,5 = edo 0,5 SHIFT cos . Emaitza: 60º.

18. KALKULAGAILUA: ARIKETAK
sin 30º 0,5
tan 45º 1
cos 67º 0,390731
tan 58º 1,600334
sin 15º 0,258819
cos 89º 0,017452

19. KALKULAGAILUA: ARIKETAK
sin α = 0,6 α = 36,8698º
tan α = 0,435 α = 23,50904º
cos α = 0,78 α = 38,7394º
tan α = 2,5 α = 68,1985º
sin α = 0,91 α = 65,5053º
cos α = 0,03 α = 88,2808º

20. TRIANGELU ZUZENEN
EBAZPENA

21. TRIANGELU ZUZENEN EBAZPENA
Triangelu zuzenak ebaztea, falta diren neurri
guztiak aurkitzea da (aldeak eta angeluak).
Triangeluak ebazteko honako propietate eta
kontzeptu hauek erabiliko ditugu:
 Arrazoi trigonometrikoak: sinua, kosinua,
tangentea.
 Pitagorasen teorema.
 Triangeluen angeluen batura 180º-koa da.

22. TRIANGELU ZUZENEN EBAZPENA
Datuak: bi alde.
Falta diren datuak identifikatu:
Hipotenusa eta angeluak.

23. TRIANGELU ZUZENEN EBAZPENA
Datuak: bi alde.
Pitagorasen teorema erabiliz hipotenusa
lortuko dugu:
42
+ 102
= h2
h = 10,7703
10,7703

24. TRIANGELU ZUZENEN EBAZPENA
Datuak: bi alde.
10,7703
68,2º

25. TRIANGELU ZUZENEN EBAZPENA
Datuak: bi alde.
Angeluen arteko batura 180º-koa denez, eta
horietako bat angelu zuzena:
α + β = 90º, beraz, β = 90 – 68,2 = 21,8º
10,7703
68,2º
21,8º

26. TRIANGELU ZUZENEN EBAZPENA
Datuak: bi alde.
• ARIKETA: Ebatzi ondoko triangelu zuzena.

27. TRIANGELU ZUZENEN EBAZPENA
Datuak: bi alde.
• Emaitzak
5.9986
33,6959º33,6959º
56,3040º

28. TRIANGELU ZUZENEN EBAZPENA
Datuak: alde bat eta angelu bat.
Falta diren datuak identifikatu behar ditugu
hasteko. Kasu honetan, β angelua, kateto
bat eta hipotenusa falta dira.

29. TRIANGELU ZUZENEN EBAZPENA
Datuak: alde bat eta angelu bat.
Angeluen arteko batura 180º-koa denez, eta
horietako bat angelu zuzena:
45º + β = 90º, beraz, β = 90 – 45 = 45º
45º

30. TRIANGELU ZUZENEN EBAZPENA
Datuak: alde bat eta angelu bat.
45º
5,65

31. TRIANGELU ZUZENEN EBAZPENA
Datuak: alde bat eta angelu bat.
Pitagorasen teorema erabiliz beste katetoa
lortuko dugu:
42
+ x2
= 5,652
x = 4
45º
5,65
4

32. TRIANGELU ZUZENEN EBAZPENA
Datuak: alde bat eta angelu bat.
• ARIKETA: Ebatzi ondoko triangelu zuzena.

33. TRIANGELU ZUZENEN EBAZPENA
Datuak: alde bat eta angelu bat.
52º
6,2503
10,1521