[Robson] 5. Análise de Sensibilidade

An´lise de Sensibilidade
a

Alexandre Salles da Cunha

DCC-UFMG, Abril 2010

Alexandre Salles da Cunha An´lise de Sensibilidade
a

Par primal-dual

min c ′x
max p ′b
Ax = b
p′A ≤ c ′
x ≥0

An´lise de sensibilidade envolver´ avaliar o impacto nas solu¸˜es ´timas
a a co o
x ∗ , p ∗ do par primal-dual quando houver:

Adi¸õ, remo¸õ de uma nova vari´vel.
ca ca a
Adi¸õ de uma restri¸õ de desigualdade e igualdade.
ca ca
Modifica¸˜es nos vetores b, c.
co
Modifica¸˜es em colunas b´sicas e nõ b´sicas Aj .
co a a a

A idía da an´lise de sensibilidade consiste em tentar restaurar a
e a
otimalidade diante das perturba¸˜es acima, sem resolver o PL ”do zero”.
co

a

Adi¸õ de uma nova vari´vel
ca a

Vamos supor que uma nova vari´vel xn+1 com custo cn+1 e coluna
a
tecnol´gica An+1 seja inserida no PL.
o
Claramente dispor de uma nova vari´vel nõ altera a viabilidade da
a a
solu¸õ b´sica corrente. Em particular, (x ∗ , 0) ´ uma solu¸õ b´sica
ca a e ca a
vi´vel para o novo programa linear.
a
Assim sendo, a solu¸õ x ∗ continuar´ b´sica ´tima se a restri¸õ dual
ca a a o ca
associada ` nova vari´vel for satisfeita pela base B associada a x ∗ .
a a

Condi¸õ a verificar
ca
Diante da introdu¸õ de xn+1 x ∗ permanece ´tima se
ca o
c n+1 = cn+1 − cB B −1 An+1 ≥ 0.
Caso c n+1 < 0, continuamos o m´todo Simplex tendo como base
e
inicial avan¸ada a base ´tima do programa anterior.
c o

a

Adi¸˜o de nova vari´vel - exemplo
ca a

Problema Original cuja solu¸˜o ´tima ´ (2, 2, 0, 0) e o
ca o e
quadro ´timo ´:
o e
min −5x1 − x2 + 12x3 x1 x2 x3 x4
3x1 + 2x2 + x3 = 10 w= 12 0 0 2 7
5x1 + 3x2 + x4 = 16 x1 = 2 1 0 -3 2
x2 = 2 0 1 5 -3
x1 . . . x4 ≥ 0

Introduzindo a vari´vel x5 com custo c5 = −1 e A5 = (1 1)′ , e notando
a
−1 ´ dada pelas duas ultimas colunas no Tableau
que neste caso B e ´
anterior, temos o novo quadro:

x1 x2 x3 x4 x5
w= 12 0 0 2 7 -4
x1 = 2 1 0 -3 2 -1
x2 = 2 0 1 5 -3 2
a

Adi¸˜o de nova vari´vel - exemplo
ca a

Fazendo o pivoteamento correspondente a entrada de x5 e sa´ de x2 ,
ıda
temos:
Quadro original
x1 x2 x3 x4 x5
w= 12 0 0 2 7 -4
x1 = 2 1 0 -3 2 -1
x2 = 2 0 1 5 -3 2

Quadro ´timo resultante
o
x1 x2 x3 x4 x5
w= 16 0 2 12 1 0
x1 = 3 1 0.5 -0.5 0.5 0
x5 = 1 0 0.5 2.5 -1.5 1

a

Adi¸õ de uma restri¸õ - desigualdade
ca ca
′
Vamos assumir que am+1 x ≥ bm+1 seja inserida no PL.
Introduzimos uma vari´vel de folga xn+1 , reescrevemos a restri¸õ
a ca
′
am+1 x − xn+1 = bm+1 para obter um problema novamente na forma
padrõ, definido pelo poliedro P = {x ∈ Rn+1 : Ax = b} onde:
a +
A 0 b
A= ′ ,b =
am+1 −1 bm+1
Se B denota a base ´tima do programa anterior, a base associada ao
o
B 0
novo programa, B ´ dada por B =
e , onde a′ ´ o vetor de
e
a′ −1
m entradas de am+1 correspondente aos ´ ındices das colunas b´sicas
a
−1 B −1 0
que definem B. Nõ ´ dif´ verificar que B =
a e ıcil
a′ B −1 −1
O novo vetor de custos reduzidos ´ dado por
e
′ 0 − c′ B −1 0 A 0
c= c B 0 =
a′ B −1 −1 ′
am+1 −1
−1
(c ′ − cB B −1 A) 0
′ ≥ 0, logo B ´ dual vi´vel.
e a
a

Introdu¸˜o de uma desigualdade - exemplo
ca
Introduzindo a restri¸˜o x1 + x2 ≥ 5 no PL do exemplo anterior:
ca

Problema Original
Quadro ´timo:
o
min −5x1 − x2 + 12x3 x1 x2 x3 x4
w= 12 0 0 2 7
3x1 + 2x2 + x3 = 10
x1 = 2 1 0 -3 2
5x1 + 3x2 + x4 = 16 x2 = 2 0 1 5 -3
x1 . . . x4 ≥ 0

Quadro dual vi´vel, de partida para o Dual Simplex
a
x1 x2 x3 x4 x5
w= 12 0 0 2 7 0
x1 = 2 1 0 -3 2 0
x2 = 2 0 1 5 -3 0
x5 = -1 0 0 2 -1 1

a

Introdu¸˜o de uma desigualdade - exemplo
ca

Quadro dual vi´vel, de partida para o Dual Simplex
a
x1 x2 x3 x4 x5
w= 12 0 0 2 7 0
x1 = 2 1 0 -3 2 0
x2 = 2 0 1 5 -3 0
x5 = -1 0 0 2 -1 1

Sai da base: x5 , entra na base: x4
Quadro ﬁnal resultante
x1 x2 x3 x4 x5
w= 5 0 0 16 0 0
x1 = 0 1 0 1 0 0
x2 = 8 0 1 -15 0 0
x4 = 1 0 0 -2 1 -1

a

Introdu¸õ de restri¸õ de igualdade
ca ca
ca ′
Adicionamos a restri¸õ am+1 x = bm+1 , violada pela solu¸õ ´tima do PL
ca o
anterior.
Novo dual

max p ′ b + pm+1 bm+1
p ′ A + pm+1 am+1 ≤ c ′

Se p ∗ denota a solu¸õ b´sica ´tima do dual anterior, (p ∗ , 0) ´ uma
ca a o e
solu¸õ vi´vel para o novo dual.
ca a
Sendo p ∗ b´sica, temos que m das restri¸˜es duais p ′ A ≤ c ′ sõ
a co a
linearmente independentes e ativas.
Entretanto, para o novo ponto dual (p ∗ , 0), nõ temos a garantia de
a
′A + p ′
que m + 1 restri¸˜es duais li dentre p
co m+1 am+1 ≤ c serõ a
justas. Assim sendo, nõ podemos garantir que (p
a ∗ , 0) ´ uma solu¸õ
e ca
b´sica para o novo poliedro dual.
a
a

Introdu¸õ de restri¸õ de igualdade
ca ca
Assumimos que am+1 x ∗ > bm+1 e M suficientemente grande e
′

introduzimos o PL auxiliar:
min c ′ + Mxn+1
Ax = b
′
am+1 x − xn+1 = bm+1
x ≥ 0, xn+1 ≥ 0

Uma base inicial vi´vel para o PL acima ´ obtida usando-se as
a e
colunas b´sicas que definiem x ∗ e a coluna associada a xn+1 . A
a
B 0
matriz b´sica resultante B =
a ´ vi´vel para o PL auxiliar.
e a
a′ −1
Por este motivo, reotimizamos com o Simplex Primal aplicado
partindo da base vi´vel B.
a
Se na solu¸õ do PL otimizado, M for suficientemente grande e o
ca
programa for vi´vel, teremos xn+1 = 0.
a
a

Modifica¸˜es no vetor de fatores b
co

Desejamos avaliar as modifica¸˜es implicadas por alterar b para b + δei :
co
Se B −1 (b + δei ) ≥ 0, a otimalidade da solu¸õ b´sica anterior ´
ca a e
garantida (nada mudou no dual).

Avaliando condi¸˜es para B −1 (b + δei ) ≥ 0
co
Seja g = (β1i , β2i , . . . , βmi ) a i -´sima coluna de B −1 .
e
Entõ B −1 (b + δei ) ≥ 0 implica que:
a

xB + δg ≥ 0 ou
xB(j) + δβji ≥ 0 j = 1, . . . , m.

Equivalentemente:
xB(j )
◮ δ≥− βji , se βji > 0
xB(j
◮ δ≤ − βji ) , se βji < 0

a

Modifica¸˜es no vetor de fatores b - exemplo
co

´
Vamos considerar modificar b1 para b1 + δ no Tableau Otimo dado por:

x1 x2 x3 x4
w= 12 0 0 2 7
x1 = 2 1 0 -3 2
x2 = 2 0 1 5 -3

Observe que g = (−3 5) e entõ temos:
a
x1 = 2 − 3δ ≥ 0 → δ ≤ 2 .
3
x2 = 2 + 5δ ≥ 0 → δ ≥ − 2
5

a

Modifica¸˜es no vetor de custos c
co

Vamos considerar as implica¸˜es decorrentes de modificar cj para cj + δ, o
co
custo de uma vari´vel nõ b´sica j:
a a a

A modifica¸õ nõ afeta a viabilidade primal, apenas a viabilidade
ca a
dual (otimalidade dual).
Se cj + δ − cB B −1 Aj ≥ 0 ou seja se δ ≥ −c j a base anterior continua
o
´tima. Caso esta condi¸õ nõ se verifique, aplicamos o primal
ca a
simplex, introduzindo a vari´vel xj na base.
a

a

Modifica¸˜es no custo de uma vari´vel b´sica
co a a

Vamos considerar as implica¸˜es decorrentes de modificar cj para
co
cj + δ, o custo de uma vari´vel b´sica j.
a a
Vamos assumir que j seja a vari´vel b´sica associada ` l −´sima linha
a a a e
do Tableau, isto ´ j = B(l ) e entõ cB = cB + δel .
e a
Temos que assegurar que (cB + δel )B −1 Ai ≤ ci , ∀i = j, uma vez que
todos os custos reduzidos, exceto c j sõ afetados pela modifica¸õ.
a ca
Definindo qli como a l -´sima entrada do vetor B −1 Ai temos que
e
δqli ≤ c i , ∀i = j.

a

Exemplo - modifica¸˜es nos custos
co
Para o exemplo anterior:

x1 x2 x3 x4
w= 12 0 0 2 7
x1 = 2 1 0 -3 2
x2 = 2 0 1 5 -3

Modifica¸˜es admiss´
co ıveis (que ainda preservam a otimalidade da base
atual) nas vari´veis:
a
Nõ b´sicas:
a a
◮ δ3 ≥ −c 3 = −2
◮ δ4 ≥ −c 4 = −7
B´sicas: adicionando δ1 a c1 , temos para j = 1, B(1) = 1,
a
q12 = 0, q13 = −3, q14 = 2.
◮ δ1 q12 ≤ c2 , triv. satisfeita.
2
◮ δ1 q13 ≤ c3 → δ1 ≥ − 3
7
◮ δ1 q14 ≤ c4 → δ1 ≥ 2
a

Mudan¸as no vetor tecnol´gico Aj
c o

Caso 1: j ´ uma vari´vel nõ b´sica:
e a a a

A viabilidade da base ´tima (em rela¸õ ao primal) nõ ´ afetada.
o ca a e
´
E necess´rio verificar se a otimalidade (viab. dual) ´ afetada, atrav´s
a e e
da nõ negatividade do custo reduzido c j .
a

Vamos considerar que a entrada aij de A foi alterada para aij + δ.
Entõ precisamos garantir que cj − p ′ (Aj + δei ) ≥ 0 ou
a
equivalentemente c j − δpi ≥ 0, onde p ′ = cB B −1 .
′

Caso a condi¸õ acima seja violada, j deve entrar na base (Primal
ca
Simplex).

a

Mudan¸as no vetor tecnol´gico Aj
c o
Caso 2: j ´ uma vari´vel b´sica:
e a a

A viabilidade da base ´tima pode ser afetada, tanto no primal quanto
o
no dual.
Assumindo que aij seja alterado para aij + δ, o conjunto de valores
admiss´ıveis para a varia¸õ resultar ainda em uma base ´tima ´ um
ca o e
intervalo (assim como nos casos anteriores).
Assumindo solu¸õ primal e dual ´timas nõ dengeradas dadas por
ca o a
x ∗ , p, se a coluna Aj for modificada para Aj + δei temos que:
c ′ x(δ) = c ′ x ∗ − δxj∗ pi + O(δ2 )

Interpreta¸õ em termos do problema da dieta: se aij aumenta em δ,
ca
ganhamos de gra¸a, δ unidades do nutriente i por unidade do
c
alimento j. Uma vez que pi denota o custo marginal do nutriente i ,
δpi xj∗ denota a redu¸õ de custo esperada.
ca
a

Dependˆncia da otimalidade em fun¸õ de b
e ca

Reescrevendo a regiõ de viabilidade primal para deixar expl´
a ıcita a
dependˆncia do vetor b, temos que
e

P(b) = {x : Ax = b, x ≥ 0}

Vamos definir S = {b : P(b) = ∅}.

Observe entõ que S pode ser reescrito como S = {Ax : x ≥ 0} que ´
a e
um conjunto convexo.

Para qualquer vetor b ∈ S, vamos redefinir o custo ´timo do
o
Problema primal como:

F (b) = minx∈P(b) c ′ x

a

e ca

Vamos assumir que o espa¸o dual p ′ A ≤ c ′ seja nõ vazio.
c a

Por dualidade, temos que F (b) > ∞, ∀b ∈ S, isto ´, o problema
e
primal admite ´timo finito para todo b.
o

Vamos tentar compreender a estrutura da fun¸õ F (b), b ∈ S. Para
ca
tanto, vamos nos fixar em um determinado b ∗ ∈ S.

Vamos supor que o objetivo ´timo F (b ∗ ) ´ dada por uma base ´tima
o e o
B associada a uma solu¸õ b´sica xB = B −1 b ∗ nõ degenerada e que
ca a a
o correspondente vetor de custos reduzidos seja nõ negativo.
a

a

e ca

Sendo nõ denenerada, podemos modificar b ∗ para b e desde que
a
b ∗ − b seja suficientemente pequena B −1 b ≥ 0 ser´ uma solu¸õ
a ca
b´sica vi´vel ´tima para o problema perturbado.
a a o

Logo, para b suficientemente pr´ximo de b ∗ , F (b) = cB B −1 b = p ′ b.
o ′

Isto ´, nas vizinhan¸as de b ∗ , F (b) ´ uma fun¸õ linear de b e seu
e c e ca
gradiente ´ dado por p.
e

Teorema
O custo ´timo F (b) ´ uma fun¸õ convexa de b no conjunto S.
o e ca

a

Estrutura de F (b)

Teorema
O custo ´timo F (b) ´ uma fun¸˜o convexa de b no conjunto S.
o e ca

Prova
Tomemos b 1 , b 2 ∈ S e seja x i : i = 1, 2 as correspondentes solu¸˜es
co
que minimizam F (b 1 ), F (b 2 ), respectivamente.

Tome um escalar λ ∈ [0, 1] e deﬁna y = λx 1 + (1 − λ)x 2 :
◮ y ∈ P(λb 1 + (1 − λ)b 2 ) → y ´ vi´vel.
e a
Observe que:

F (λb 1 + (1 − λ)b 2 ) ≤ c ′y
= λc ′ x 1 + (1 − λ)c ′ x 2

= λF (b 1 ) + (1 − λ)F (b 2 )

a

Elaborando melhor o Teorema anterior

Vamos elaborar o Teorema, avaliando agora o dual abaixo, que assumimos
ser vi´vel:
a

max p′b
p′A ≤ c ′

Por dualidade, para todo b ∈ S, F (b) = ′b para algum p.

Sendo A uma matriz de posto m (completo), o poliedro dual possui
pelo menos um ponto extremo.

Sejam p 1 , . . . , p N os pontos extremos do poliedro dual.

Ent˜o temos que F (b) = maxi =1,...,N (p i )′ b, b ∈ S
a

a

Interpretando F (b) = maxi=1,...,N (p i )′b, b ∈ S
F ´ dado pelo m´ximo de uma cole¸õ finita de fun¸˜es lineares.
e a ca co
F ´ entõ dado pelo envelope superior de um conjunto finito de
e a
fun¸˜es lineares, sendo entõ linear por partes e convexa (prova
co a
alternativa do teorema anterior).

a

Sobre a diferenciabilidade de F (b) em rela¸õ a b
ca

Para alguns valores de b (nos pontos onde duas fun¸˜es lineares
co
(p i )′ b e (p j )′ b se encontram), F (b) nõ ´ diferenci´vel.
a e a

Nestes pontos, o programa dual admite mais de uma solu¸õ otima.
ca ´
Para tais valores de b, qualquer combina¸õ linear convexa de p i e p j
ca
fornecem um vetor dual ´timo (subgradiente de F (b) em b !).
o

Consequentemente, para estes valores de b a solu¸õ primal ´
ca e
degenerada. Vimos que para uma solu¸õ primal nõ degenerada,
ca a
F (b) ´ localmente linear com b, nõ podendo ser associada a um
e a
ponto nõ diferenci´vel de F (b).
a a

a

Comportamento de F (b)
Vamos avaliar o comportamento de F (b) quando um determinado
tipo de modifica cõ ocorre em b ∗ .
a
Vamos verificar o que ocorre com F (b) quando, para b ∗ e d fixos,
b = b ∗ + θd, para θ um escalar.
Pela defini¸õ de F (b) temos que:
ca
F (b(θ)) = F (θ) = maxi =1,...,N (p i )′ (b ∗ + θd), b ∗ + θd ∈ S

a

O conjunto de solu¸˜es duais ´timas
co o

Defini¸õ - subgradiente
ca
Seja F uma fun¸õ convexa definida em um conjunto convexo S. Seja b ∗
ca
um elemento de S. Dizemos que um vetor p ´ um subgradiente de F em
e
b ∗ se:
F (b ∗ ) + p ′ (b − b ∗ ) ≤ F (b), ∀b ∈ S

Para a defini¸õ do subgradiente, nõ ´ feita nenhuma hip´tese de
ca a e o
diferenciabilidade de F .
Observe que o subgradiente generaliza o conceito de gradiente para
uma fun¸õ convexa diferenci´vel definida em um conjunto convexo.
ca a

a

Subgradientes de F (b)
Quando b ∗ ´ um ponto para o qual (p i )′ b ∗ = (p j )′ b ∗ , isto ´ b ∗ deﬁne
e e
uma quina de F (b), existem v´rios subgradientes.
a
Quando F (b) ´ linear nas vizinhan¸as de b ∗ h´ apenas um
e c a
subgradiente.

a

co o

Teorema
Assuma que o problema min c ′ x, x ∈ P(b ∗ ) assuma custo ´timo finito.
o
Entõ o vetor p ´ uma solu¸õ ´tima para o problema dual associado se e
a e ca o
somente se p for um subgradiente de F (b) em b ∗ .

Prova: →
Por dualidade forte temos p ′ b ∗ = F (b ∗ ).
Tome b ∈ S e x ∈ P(b). Por dualidade fraca temos p ′ b ≤ c ′ x.
ınimo em x temos que p ′ b ≤ F (b).
Tomando o m´
Entõ p ′ b − p ′ b ∗ ≤ F (b) − F (b ∗ ) que implica que
a
F (b ∗ ) + p ′ (b − b ∗ ) ≤ F (b) e logo p ´ um subgradiente de F em b ∗ .
e

a

co o
Prova: ←
Hip´tese: F (b ∗ ) + p ′ (b − b ∗ ) ≤ F (b) (p ´ subgradiente).
o e
Tome x ≥ 0, seja b = Ax e observe que x ∈ P(b).
Por dualidade fraca F (b) ≤ c ′ x.
Ent˜o temos:
a
p ′ Ax = p ′b
≤ F (b) − F (b ∗ ) + p ′ b ∗
≤ c ′ x − F (b ∗ ) + p ′ b ∗

Uma vez que p ′ Ax ≤ c ′ x − F (b ∗ ) + p ′ b ∗ deve valer para qualquer x e
que −F (b ∗ )p ′ b ∗ ´ um valor que independe de x, p ′ A ≤ c ′ . Logo p ′ ´
e e
dual vi´vel.
a
Em particular para x = 0 temos F (b ∗ ) ≤ p ′ b ∗ . Por dualidade fraca
temos que toda solu¸˜o dual vi´vel q satisfaz q ′ b ≤ F (b ∗ ) ≤ p ′ b ∗ .
ca a
∗ ´ ´tima para o dual.
Logo p e o
a

Avalia¸õ da otimalidade em fun¸õ de c
ca ca

Vamos desenvolver racioc´ an´logo para a dependˆncia da
ınio a e
otimalidade em fun¸õ de modifica¸˜es no vetor de custos c.
ca co
Manteremos A e b fixos e perturbaremos c.
Para tanto, vamos considerar o espa¸o de viabiliade dual p ′ A ≤ c ′ .
c
Vamos definir Q(c) = {p : p ′ A ≤ c ′ } e T = {c : Q(c) = ∅}.
Dados c 1 , c 2 ∈ T , existem p 1 , p 2 (respectivamente) tais que
(p i )′ A ≤ c ′ . Para qualquer escalar λ ∈ [0, 1], temos
(λ(p 1 )′ + (1 − λ)(p 2 )′ )A ≤ λ(c 1 )′ + (1 − λ)(c 2 )′ e portanto
λ(p 1 )′ + (1 − λ)(p 2 )′ ∈ T .
Consequentemente T ´ convexo.
e

a

ca ca

Tomando c ∈ T (dual invi´vel), o problema primal ´ ilimitado. Por
a e
outro lado, se c ∈ T o custo primal ´ finito.
e
Entõ vamos assumir que c ∈ T e vamos denotar o custo primal
a
o
´timo por G (c).
Vamos denotar por x 1 , . . . , x N as solu¸˜es b´sicas do poliedro
co a
n : Ax = b}. Assim sendo, temos que
{x ∈ R+

G (c) = mini =1,...,N c ′ x i

e G (c) corresponde ao envelope inferior de uma cole¸õ de fun¸˜es ´
ca co e
lineares, sendo uma fun¸õ linear por partes concava.
ca

a

ca ca

Se para um valor c ∗ o programa primal admite uma unica solu¸õ
´ ca
´tima x i , entõ temos que (c ∗ )′ x i < (c ∗ )′ x j : ∀j = i .
o a
Para todo c suficientemente pr´ximo a c ∗ , (c ∗ )′ x i < (c ∗ )′ x j : ∀j = i
o
deve continuar valendo. Desta forma, para solu¸˜es primais unicas
co ´
G (c) = c ∗ x i .
Para o caso de solu¸õ primal m´ltipla, o correspondente valor de c
ca u
deve ser induzir uma quina de G (c).
a

Em s´
ıntese

Teorema
1 O conjunto T de todos os valores de c para os quais o custo ´timo ´
o e
finito ´ convexo.
e
2 A fun¸õ custo ´timo G (c) ´ uma fun¸õ concava de c em T .
ca o e ca
3 Se para um determinado valor c, a solu¸õ primal ´tima ´ unica,
ca o e´
entõ G ´ linear nas vizinhan¸as de c e seu gradiente ´ dado por x ∗ .
a e c e

a

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