Este documento describe conceptos básicos de probabilidad. Explica que un experimento tiene un espacio muestral de posibles resultados y que la probabilidad de un evento se define como la proporción de resultados favorables sobre el total de resultados posibles. También introduce la clasificación de probabilidad en teórica, subjetiva y frecuencial, y conceptos como espacio muestral y eventos. Finalmente, resume definiciones básicas de la teoría de conjuntos como base para el estudio formal de la probabilidad.
1. 2.- PROBABILIDAD
• Experimento.- cualquier proceso o
procedimiento para el cual hay más de un
resultado.
• Espacio de muestreo.- conjunto de todos los
posibles resultados experimentales.
21
2. • Jacob Bernoulli (1654-1705) introdujo la
definición del concepto de probabilidad
de un evento como la proporción entre el
número de resultados favorables al
evento, y el número de resultados
posibles en el experimento.
• Bernoulli probablemente fue el primero
en hacer la distinción entre la
probabilidad de un evento y la frecuencia
de su realización.
3. 2.1 Función e Importancia de la Probabilidad
• La probabilidad nos permite
cuantificar la variabilidad en el
resultado de un experimento cuyo
resultado exacto es imposible de
predecir con seguridad.
4. • La probabilidad tiene como fin predecir,
con algun grado de certeza, la frecuencia
de ocurrencia de un evento.
• Implícita en esta idea está la noción de
que existe alguna incertidumbre asociada
con la generación del evento o que la
información con la que se determina el
resultado exacto del evento es
incompleta.
5. • Las señales que tienen esta
propiedad, comunmente se refieren
como señales estocásticas.
• Si no es este el caso, un evento o
cierta señal se dice que es
determinística.
6. • Una aplicación de la teoría de la
probabilidad es en la confiabilidad
(reliability). En el diseño de
productos, tales como automóviles y
electrónica para consumidores, se
utiliza la teoría de la confiabilidad
para establecer la probabilidad de
falla, la cual puede ser asociada con
la garantía del producto.
7. 2.2 Clasificación de la Probabilidad
• El concepto de la probabilidad de un
evento particular en un experimento está
sujeto a varios significados o
interpretaciones.
8. 2.2.1 Teórica
• Es la proporción entre el número de formas en que el
evento puede ocurrir (que se de el caso considerado)
entre el número total de posibilidades.
Número de resultados favorables
• P (evento) =
Número total de resultados posibles
9. • Ej. se lanza una moneda honesta. El número
total de posibles resultados es 2 (cara o cruz);
la probabilidad de que el resultado sea cara
es ½ y es igual a la probabilidad de que
caiga cruz.
10. • Ej. Se lanza un dado no cargado
¿Cuál es la probabilidad de que el resultado
sea un número menor o igual a 3? (1,2,3)
3/6 = ½
¿Cuél es la probabilidad de obtener un
número non? (1,3,5)
3/6 = ½
¿Cuál es la probabilidad de obtener un
número mayor de 2? (3,4,5,6)
4/6 = 2/3
11. • Ej. Se toma una baraja de 52 cartas y se
selecciona una de ellas. ¿Cuál es la
probabilidad de que la carta sea:
una carta negra? (la mitad de las cartas
son negras 52/2 = 26); la probabilidad es
26/52 = ½
un rey? (hay 4 reyes); la probabilidad es
4/52 = 0.077
un 8 de espadas: (sólo hay 1) 1/52 = 0.019
12. • Ej. En un salón de clase hay 18 niños y 12 niñas. El
profesor escoge estudiantes al azar. ¿Cuál es la
probabilidad de que el primer estudiante seleccionado
sea:
un niño? (18+12 = 30 alumnos en total);
18/30 = 0.6
una niña? 12/30 = 0.4
13. • Ej. Se escoge una letra al azar de cierta
palabra. Encontrar la probabilidad de que
la letra sea una vocal si la palabra es:
ALGEBRA (tiene 7 letras en total, 3 son
vocales); la probabilidad es 3/7 = 0.429
PROBABILIDAD (tiene 12 letras en total, 5
son vocales); la probabilidad es 5/12 =
0.417
14. 2.2.2 Subjetiva
• Si se dice que un ingeniero geólogo manifestó
que "hay una posibilidad de 60% de encontrar
petróleo en una determinada región",
probablemente todos nosotros tendremos una
idea de lo que se está diciendo.
15. • La mayoría de nosotros interpretará esto de una de
estas dos maneras, ya sea suponiendo que
1. el geólogo siente que, a la larga, en el 60% de las
regiones en las que las condiciones ambientales
sean muy semejantes a las condiciones en la
región en consideración, hay petróleo.
o suponiendo que
2. el geólogo cree que es más probable que haya
petróleo en la región, a que no haya. 0.6 es una
medida de la creencia del geólogo en la hipótesis
de que en la región haya petróleo.
16. • A las dos interpretaciones anteriores de la
probabilidad de un evento se les conoce como la
interpretación de la frecuencia y la interpretación
subjetiva (o personal) de la probabilidad.
• En la interpretación de la frecuencia, se considera
que la probabilidad de un resultado dado en un
experimento es una "propiedad" del resultado.
• Se supone que esta propiedad se puede
determinar operacionalmente mediante una
repetición continua del experimento; la probabilidad
del resultado será considerada como la proporción
de ocaciones en que se obtenga este resultado.
17. • En la interpretación subjetiva, no se considera
la probabilidad de un resultado como una
propiedad del experimento, sino más bien se
considera como la creencia que tiene la
persona que evalúa la probabilidad de que ese
resultado ocurra.
• En esta interpretación, la probabilidad se
vuelve un concepto personal, y no tiene
significado más allá de expresar el grado de
creencia de uno.
18. 2.2.3 Frecuencial
• Los problemas y paradojas de la interpretación clásica
de la probabilidad motivó el desarrollo del concepto de
frecuencia relativa de la probabilidad.
• Los frecuentistas hablan sobre probabilidades solo
cuando se tratan experimentos aleatorios bien
definidos.
• La frecuencia relativa de ocurrencia de un evento es
una medida de su probabilidad.
19. 2.2.4 Axiomática
Axioma:
Proposición tan clara y evidente que se
admite sin necesidad de demostración.
Cada uno de los principios fundamentales
e indemostrables sobre los que se
construye una teoría.
20. • Probabilidad axiomática, teoría de la
probabilidad con un fundamento formal
lógico, como ciencia matemática.
• El primero en desarrollar este punto de
vista fue Sergei Bernstein en 1917.
21. 2.3 Espacio Muestral y Eventos
• Un conjunto de todos los posibles resultados
de un experimento se llama espacio
muestral, ya que usualmente se compone de
todas las cosas que pueden ocurrir cuando
se extrae una muestra.
• Los espacios muestrales suelen denotarse
con la letra S.
22. • En estadística, los términos
“experimento” y “resultado” se usan
en un sentido muy amplio.
• Un experimento puede consistir en el
simple proceso de advertir si un
interruptor está encendido o apagado,
en la determinación del tiempo que
tarda un automóvil en alcanzar una
velocidad de 50 km por hora, etc.
23. • En consecuencia, el resultado de un
experimento puede ser una simple
elección entre 2 opciones, el producto
de una medición o conteo directos o
la respuesta obtenida luego de
dilatados cálculos y mediciones.
• Cuando estudiamos los resultados de
un experimento, usualmente
identificamos las diversas
posibilidades con números, puntos u
otro tipo de símbolos.
24. • Ej. si 4 contratistas compiten por la
construcción de una carretera y
procedemos de tal forma que a, b, c y
d denoten que el proyecto le ha sido
concedido al sr. Alvarez, la sra.
Bárcenas, el sr. Cárdenas o la srita.
Dávila, el espacio muestral de este
experimento es el conjunto
S = {a, b, c, d}
25. • De igual manera, si un organismo
gubernamental debe decidir dónde
ubicar 2 nuevos centros de investigación
en computación y si resulta de interés
indicar cuántos de ellos se ubicarán en
Monterrey y cuántos en Guadalajara,
podemos formular el espacio muestral
como
S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}
26. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}
• Donde la primera coordenada es el
número de centros de investigación que
se ubicarán en Monterrey y la segunda
los de Guadalajara.
27. • Geométricamente este espacio muestral puede
representarse gráficamente como en la figura, de
donde se deduce claramente, por ej. que en 2 de
las 6 posibilidades Monterrey y Guadalajara
obtendrán igual número de centros.
S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}
Espacio muestral para el número de nuevos
centros de investigación en computación por
ubicar en Monterrey y Guadalajara.
28. S = {a, b, c, d} S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}
• El uso de puntos tiene la ventaja de facilitar la
visualización de las diversas posibilidades.
• Por lo general, los espacios muestrales se
clasifican de acuerdo con el número de elementos
que contienen (finitos o infinitos).
• En los 2 ejemplos anteriores, los espacios
muestrales tienen 4 y 6 elementos (contratistas y
centros), de manera que a ambos se les conoce
como finitos
29. • Los siguientes son ejemplos de espacios
muestrales no finitos.
• Si a unas personas encargadas de verificar la
emisión de óxido de nitrógeno de automóviles les
interesa saber el número de autos que deben
inspeccionar antes de observar cuál es el primero
que no satisface los reglamentos, podría ocurrir
que fuera el primero, el segundo,…, el
quincuagésimo,…, y que tuvieran que verificar
miles de autos antes de encontrar uno que no
satisfaga los reglamentos gubernamentales.
30. • Dado que ignoramos cuán lejos trendrían que
llegar, consideramos como espacio muestral la
totalidad del conjunto de números naturales, de
los que existe una cantidad infinita.
• Más aún, si les interesara la emisión de óxido de
nitrógeno de determinado auto en g/km, el
espacio muestral tendría que consistir en todos
los puntos de una escala contínua (cierto intervalo
en la línea de números reales), de los cuales
existe un continuo.
31. • En general, se dice que un espacio muestral es
discreto si posee elementos en forma finita.
• Si los elementos de un espacio muestral
constituyen un continuo –ej. todos los puntos de
una linea o de un segmento o de un plano-, se
dice que el espacio muestral es continuo.
32. • En estadística, a todo subconjunto de un espacio
muestral se le llama evento.
• Por subconjunto entendemos cualquier parte de
un conjunto, incluidos el conjunto en su totalidad
y, comúnmente, un conjunto llamado conjunto
vacío y denotado por Ø (phi), el cual no posee
ningún elemento.
• En muchos problemas de probabilidad nos
interesan eventos que puedan expresarse en
términos de la formación de uniones,
intersecciones y complementos entre 2 o más
eventos.
33. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}
• Ej. con referencia a la figura anterior,
C = {(1,0), (0,1)}
es el evento en el cual tanto Monterrey como
Guadalajara obtendrán uno de los dos centros,
D = {(0,0), (0,1), (0,2)}
es el evento en el que Monterrey no obtendrá
ninguno de los 2 centros, y
E = {(0,0), (1,1)}
es el evento en el que Monterrey y Guadalajara
obtendrán igual número de centros.
Los eventos C y E no tienen elementos en común:
son eventos mutuamente excluyentes.
34. 2.4 Teoría de Conjuntos
2.4.1 Definición de Conjuntos
• La teoría de conjuntos es una división de
las matemáticas que estudia los
conjuntos.
• El primer estudio formal sobre el tema fue
realizado por el matemático alemán Georg
Cantor en el siglo XIX y más tarde
reformulada por Zermelo.
35. • El concepto de conjunto es intuitivo y se podría
definir como una "colección de objetos"; así, se
puede hablar de un conjunto de personas,
ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de
objetos que hay en un momento dado encima
de una mesa.
• Un conjunto está bien definido si se sabe si un
determinado elemento pertenece o no al
conjunto.
36. • El conjunto de los bolígrafos azules está
bien definido, porque a la vista de un bolígrafo
se puede saber si es azul o no.
• El conjunto de las personas altas no está bien
definido, porque a la vista de una persona, no
siempre se podrá decir si es alta o no, o puede
haber distintas personas, que opinen si esa
persona es alta o no lo es.
37. • Sigue siendo célebre la definición que publicó
Cantor:
Se entiende por conjunto a la agrupación en un
todo de objetos bien diferenciados de nuestra
intuición o nuestra mente.
38. 2.4.2 Operaciones con Conjuntos
• Usualmente los conjuntos se representan con una
letra mayúscula: A, B, K,...
• Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos
que forman parte de un conjunto, estos elementos
tienen carácter individual, tienen cualidades que nos
permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es
único, no habiendo elementos duplicados o
repetidos. Los representaremos con una letra
minúscula: a, b, k,...
39. • De esta manera, si A es un conjunto, y a, b, c, d, e
todos sus elementos, es común escribir:
A = {a, b, c, d, e}
para definir a tal conjunto A. Esta notación
empleada para definir al conjunto A se llama
notación por extensión.
40. • Para representar que un elemento x pertenece a un
conjunto A, escribimos x A (léase "x en A",
"x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A").
La negación de x A se escribe x A (léase
x no pertenece a A).
41. • El conjunto universal, que siempre representaremos
con la letra U (u mayúscula), es el conjunto de
todas las cosas sobre las que estemos tratando.
Así, si hablamos de números enteros entonces U es
el conjunto de todos los números enteros, si
hablamos de ciudades, U es el conjunto de
todas las ciudades.
42. • Existe además, un único conjunto que
no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío
y que se denota por Ø. Es decir
Ø={}
• La característica importante de este conjunto es que
satisface la propiedad de que
todos los elementos posibles no están contenidos
en él, es decir
x x Ø
43. • Por otro lado, si todos los elementos x de un
conjunto A satisfacen alguna propiedad, misma que
pueda ser expresada como una proposición p(x),
con la indeterminada x, usamos la notación
por comprensión, y se puede definir:
A x U : p( x)
• Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x,
que cumplen con la propiedad p(x)". El símbolo ":"
se lee "que cumplen la propiedad" o "tales que",
este símbolo puede ser remplazado por una barra |.
44. • Por ej. el conjunto A = {1,2,3,4} puede definirse por:
A n N :1 n 4
donde el símbolo N representa al conjunto de
números naturales.
45. • Si A y B son dos conjuntos cualesquiera en un
espacio muestral S, su unión A B es el
subconjunto de S que contiene todos los
elementos que se encuentran
en A, en B y en ambos;
su intersección A B es el subconjunto de
S que contiene todos los elementos que se
encuentran tanto en A como en B, y el
complemento A' de A es el subconjunto de S
que contiene todos los elementos de S que
no se encuentran en A.
46. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}
C = {(1,0), (0,1)}
D = {(0,0), (0,1), (0,2)}
E = {(0,0), (1,1)}
• Ej. con referencia al espacio
muestral de la figura anterior
y a los eventos C, D y E que
hemos definido, liste los
resultados que comprendan cada uno de los siguientes
eventos y exprese asimismo los eventos en palabras:
a) C E Puesto que C E contiene todos los elementos que se
encuentran en C, en E o en ambos,
C E ={(1,0), (0,1), (0,0), (1,1)} es el evento en el que
ni Monterrey ni Guadalajara obtendrán los 2 centros.
47. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}
C = {(1,0), (0,1)}
D = {(0,0), (0,1), (0,2)}
E = {(0,0), (1,1)}
• Ej. con referencia al espacio
muestral de la figura anterior
y a los eventos C, D y E que
hemos definido, liste los
resultados que comprendan cada uno de los siguientes
eventos y exprese asimismo los eventos en palabras:
b) C D Puesto que C D contiene todos los elementos que
se encuentran tanto en C como en D,
C D = {0,1)}
es el evento en el que Monterrey no obtendrá ninguno de
los dos centros y Guadalajara obtendrá uno.
48. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}
C = {(1,0), (0,1)}
D = {(0,0), (0,1), (0,2)}
E = {(0,0), (1,1)}
• Ej. con referencia al espacio
muestral de la figura anterior
y a los eventos C, D y E que
hemos definido, liste los
resultados que comprendan cada uno de los siguientes
eventos y exprese asimismo los eventos en palabras:
c) D ' Puesto que D' contiene todos los elementos del espacio
muestral que no se encuentran en D,
D' = {(1,0), (1,1), (2,0)}
es el evento en el que Monterrey obtendrá al menos uno de
los centros de investigación.
49. 2.4.3 Diagramas de Venn
• Los espacios muestrales y los eventos, y
particularmente las relaciones entre eventos,
a menudo se describen por medio de
diagramas de Venn, como los que aparecen
en las siguientes figuras.
50. • En cada caso el espacio muestral está
representado por un rectángulo, mientras
que los eventos están representados por
regiones (o áreas) dentro del rectángulo,
usualmente por círculos o partes de
círculos.
51. • Las regiones sombreadas de los cuatro
diagramas de Venn representan
respectivamente el evento A, el complemento
del evento A, la unión de los eventos A y B y la
intersección de los eventos A y B.
52. • Los diagramas de Venn se usan a menudo
para verificar relaciones entre conjuntos, lo
que vuelve innecesario aplicar
pruebas formales basadas en el álgebra de
conjuntos.
53. • Cuando tratamos con 3 eventos, trazamos los
círculos como en la siguiente figura. En este
diagrama, los círculos dividen el espacio
muestral en 8 regiones, numeradas del 1 al 8,
y es fácil determinar si los eventos
correspondientes son partes de
A o A’, B o B’ y C o C’.
54. • Ej. A un fabricante de motores le preocupan 3 tipos
principales de defectos.
Si A es el evento en el que el eje es demasiado grande,
B es el evento en el que las bobinas son inadecuadas, y
C el evento en el que las conexiones eléctricas son
insatisfactorias, exprese verbalmente qué eventos están
representados por las siguientes regiones del diagrama
de Venn de la figura.
a) región 2
Dado que esta región está
contenida en A y B pero no en C,
representa el evento en el que el eje
es demasiado grande y las bobinas
inadecuadas, pero las
conexiones eléctricas satisfactorias.
55. • Ej. A un fabricante de motores le preocupan 3 tipos
principales de defectos.
Si A es el evento en el que el eje es demasiado grande,
B es el evento en el que las bobinas son inadecuadas, y
C el evento en el que las conexiones eléctricas son
insatisfactorias, exprese verbalmente qué eventos están
representados por las siguientes regiones del diagrama
de Venn de la figura.
b) regiones 1 y 3 juntas
En vista de que esta región es
común a B y C, representa el
evento en el que las bobinas son
inadecuadas y las
conexiones eléctricas
insatisfactorias.
56. • Ej. A un fabricante de motores le preocupan 3 tipos
principales de defectos.
Si A es el evento en el que el eje es demasiado grande,
B es el evento en el que las bobinas son inadecuadas, y
C el evento en el que las conexiones eléctricas son
insatisfactorias, exprese verbalmente qué eventos están
representados por las siguientes regiones del diagrama
de Venn de la figura.
c) regiones 3,5,6 y 8 juntas
Como ésta es toda la región
fuera de A, representa el
evento en el que el
eje no es demasiado largo
57. 57
¿de cuántas maneras diferentes?
2.5 Técnicas de Conteo
2.5.1 Principio Multiplicativo y
2.5.2 Diagramas de Arbol
• A veces puede resultar sumamente difícil, o al menos
tedioso, determinar el número de elementos en un
espacio muestral finito mediante la
enumeración directa.
• Para ilustrarlo, supongamos que un consumidor realiza
pruebas de servicio y clasifica máquinas industriales
según sean fáciles, promedio o difíciles de operar; de
alto o bajo costo, y de alto, promedio o
bajo costo de reparación. Slide 111
58. • ¿De cuántas maneras diferentes podría
clasificarse una máquina con esta prueba de
clasificar
servicio?
• Existen muchas posibilidades: una máquina
podría clasificarse como
fácil de operar, de bajo costo, pero de alto costo
de reparación;
difícil de operar, de alto costo y bajo costo de
reparación;
ni fácil ni difícil de operar, de bajo costo y con
un costo promedio de reparación,
etc.
59. • Si prosiguieramos de esta manera,
podríamos listar todas las posibilidades,
aunque quizá omitiéramos
al menos una o dos.
• Para el manejo sistemático de este tipo de
problema, es útil trazar un
diagrama de árbol, como el que se
muestra en la siguiente figura,
60. donde las 3
alternativas de
facilidad de
operación están
denotadas por
E1, E2 y E3
el precio es P1 o P2,
y las 3 alternativas
de
costo de reparación
están denotadas por
C1, C2 y C3.
Diagrama de árbol para la clasificación de máquinas industriales.
61. • Siguiendo un curso
dado de izquierda a
derecha por las
ramas del árbol,
obtenemos una
clasificación en
particular, a saber,
un elemento
particular del
espacio muestral,
además de lo cual
salta a la vista que
en total existen
18 posibilidades.
62. • También habríamos
podido obtener este
resultado mediante la
observación de que
hay 3 ramas E, de que
cada rama E se
bifurca en 2 ramas P y
de que cada rama P
se bifurca a su vez en
3 ramas C.
• Así, existen
3 · 2 · 3 =18
combinaciones de
ramas, o rutas.
63. 63
• Este resultado es un caso especial del
Principio multiplicativo
siguiente teorema:
Teorema: Si los conjuntos A1, A2, ... , Ak
contienen, respectivamente,
n1, n2, ..., nk elementos, existen
n1 · n2 ··· nk maneras de elegir
primero un elemento de A1,
después un elemento de A2,..., y
finalmente un elemento de Ak.
• En nuestro ejemplo teníamos n1 = 3,
n2 = 2 y n3 = 3, y por lo tanto
3 · 2 · 3 = 18 posibilidades.
Slide 70 Slide 88
64. • Ej. ¿De cuántas maneras diferentes una
sección sindical con 25 miembros puede
elegir un presidente y un vicepresidente?
elegir
Puesto que el vicepresidente puede ser
elegido de 25 maneras y,
subsecuentemente, el presidente de 24,
existen en total 25 · 24 = 600 maneras en
las que puede tomarse la decisión
completa.
65. • Ej. Si una prueba se compone de 12
preguntas de verdadero-falso, ¿de
cuántas maneras diferentes puede
contestar un estudiante con una
respuesta para cada pregunta?
Dado que cada pregunta puede
contestarse de 2 maneras, existen en
total
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 212 =
4,096 posibilidades.
66. 2.5.3 Permutaciones
seleccionar
• La regla para la multiplicación de
probabilidades se usa a menudo cuando se
realizan varias selecciones de un conjunto y
nos interesa el orden en que se les hizo.
• En general, si r objetos son seleccionados
ordenar
de un conjunto de n objetos distintos,
cualquier disposición, u orden particular de
estos objetos se llama permutación.
67. • Permutación es cada una de las
posibles ordenaciones de los
elementos de un conjunto.
• Ej. en el conjunto {1, 2, 3}, cada ordenación
posible de sus elementos, sin repetirlos, es
una permutación.
68. • Existe un total de 6 permutaciones para
estos elementos:
1) "1,2,3"
2) "1,3,2"
3) "2,1,3"
4) "2,3,1"
5) "3,1,2"
6) "3,2,1"
69. • A fin de determinar una fórmula para el número total
de permutaciones de r objetos seleccionados de un
conjunto de n objetos distintos, observamos que:
1-1=0
1 la primera selección se realiza a partir del conjunto
entero de n objetos,
2 la segunda selección a partir de los n-1 objetos 2-1=1
restantes despues de realizada la primera selección
r ..., y la résima selección a partir de los
n-(r-1) = n – r + 1 objetos restantes tras realizadas las
r-1 primeras selecciones. r-1=r-1
70. • En consecuencia, por efecto de la regla de la
multiplicación de las probabilidades (slide 63),
el número total de permutaciones de r objetos
seleccionados de un conjunto de n objetos distintos
es
n
Pr n(n 1)( n 2 )...( n r 1)
para r = 1,2,...,n
• Puesto que los productos de números enteros
consecutivos aumentan en muchos problemas
relativos a permutaciones u otro tipo de selecciones
especiales, será conveniente introducir aquí la
notación factorial
71. • donde 1! = 1
2! = 2 · 1 = 2
3! = 3 · 2 · 1 = 6
4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
..., y en general n! = n(n-1)(n-2)··· 2 · 1
• Para todo número natural n, se llama n factorial o
factorial de n al producto de todos los naturales
desde n hasta 1.
• Se define 0! = 1
72. • Para expresar la fórmula de nPr en
términos factoriales, multiplicamos por y dividimos
entre (n-r)!, con lo que obtenemos
n(n 1)( n 2 )...( n r 1)( n r )!
n
Pr
(n r )!
n!
n
pr
(n r )!
73. • Ej. ¿De cuántas maneras diferentes se puede realizar
una primera, segunda, tercera y cuarta selección
entre 12 empresas arrendadoras de equipo para
construcción?
Para n = 12 y r = 4,
la primera fórmula n Pr n ( n 1)( n 2 )...( n r 1)
da como resultado
12P4 = 12 · 11 · 10 · 9 = 11,880
n!
y la segunda fórmula n Pr
(n r )!
da como resultado
12 ! 12 ! 12 ·11·10·9·8 !
12
P4 11 ,880
(12 4 )! 8! 8!
74. • Ej. Un mecanismo electrónico requiere de 5 chips de
memoria idénticos. ¿De cuántas maneras puede
ensamblarse este mecanismo colocando los 5 chips
en las 5 posiciones dentro del controlador?
Para n = 5 y r = 5,
la primera fórmula n Pr n ( n 1)( n 2 )...( n r 1)
da como resultado
5P5 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
n!
y la segunda fórmula n Pr
(n r )!
da como resultado
5! 5!
P
5 5
5! 120
(5 5 )! 0!
75. 2.5.4 Combinaciones
• Hay muchos problemas en los que debemos
determinar el número de maneras en las
cuales pueden seleccionarse r objetos de un
conjunto de n objetos, pero
sin tomar en cuenta el orden en que se
realiza la selección.
• Ej. ¿de cuántas maneras pueden elegirse 3
de 20 asistentes de laboratorio para
colaborar en un experimento?
76. • Se tiene un conjunto con 6 objetos
escoger
diferentes {A,B,C,D,E,F}, de los cuales se
desea escoger 2 (sin importar el orden de
elección). Existen 15 formas de efectuar tal
elección:
A,B A,C A,D A,E A,F
B,C B,D B,E B,F
C,D C,E C,F
D,E D,F
E,F
77. • El número de formas de escoger r
elementos a partir de un conjunto de n,
puede denotarse de varias formas:
n
n
C(n,r), nCr, C ,o
r r
Así, en el ejemplo anterior se tiene entonces
que C(6,2)=15, A,B A,C A,D A,E A,F
{A,B,C,D,E,F}
puesto que hay B,C B,D B,E B,F
15 formas de escoger C,D C,E C,F
2 objetos a partir de un conjunto con
D,E D,F
6 elementos.
E,F
78. • Los números C(n,r) se conocen como
"coeficientes binomiales", pero es frecuente
referirse a ellos como
"combinaciones de n en r", o
"combinaciones de n en grupos de r"
simplemente "n en r".
n
• Por tanto, el coeficiente binomialr
es el número de subconjuntos
de r elementos
escogidos de un conjunto con n elementos.
79. (selección ordenada: Permutación)
A
• Supongamos que un conjunto
B
original tiene 5 elementos, de los
C
cuales se deben escoger 3. Al D
momento de escoger el primero, E
se tiene 5 opciones disponibles,
pero una vez fijo el primero, sólo
hay 4 opciones para el segundo, y
por tanto sólo 3 opciones para el Hay 5 4 3 formas de
último (pues no se puede repetir escoger
ordenadamente 3
los escogidos en los primeros 2 objetos de un conjunto
pasos). De este modo, la con 5.
selección puede hacerse de
5 4 3=60 formas.
80. • Sin embargo, en tal conteo, el orden en que
se escogen los elementos hace diferencia.
Por ejemplo, tomar C, luego B, luego E, es
una selección diferente de tomar B, luego C y
cuáles se escogen
luego E.
• Pero en la definición de coeficiente binomial,
no importa el orden en que se eligen los
objetos, únicamente cuáles se escogen.
• Por tanto, las elecciones BCE, BEC, CEB,
CBE, ECB,EBC son todas equivalentes.
• Del mismo modo, las elecciones ABC,ACB,
BCA,BAC, CAB, CBA son equivalentes, y así
para cualquier terna de letras.
81. • De esta forma, el resultado obtenido (60) no
dividir
es la cantidad de subconjuntos de 3
elementos de {A,B,C,D,E}, sino que
cada subconjunto está contado 6 veces, por
lo que la cantidad de subconjuntos es
realmente 60/6 = 10.
82. (selección ordenada: Permutación)
• El argumento presentado para el ejemplo
puede generalizarse de la siguiente forma.
Si se tiene un conjunto con n elementos, de
los cuales se van a escoger r de ellos, la
elección (ordenada) puede hacerse de
n (n-1) (n-2) ... (n-r+1)
ya que en el primer paso se tienen
n opciones, en el segundo se tienen n-1,
en el tercero n-2, y así sucesivamente,
terminando en el paso r que tendrá
n-r+1 opciones.
83. • Ahora, hay que dividir el producto anterior
entre el número de selecciones
dividir entre r!
"equivalentes".
• Pero si se tiene r objetos, hay
r! formas de permutarlos, es decir,
r! formas de listarlos en distinto orden.
• Recordemos que r! se lee r-factorial y es
igual a
r! = 1 2 3 ... r
84. • Concluimos que el número de subconjuntos
con r elementos, escogidos de un conjunto
con n elementos es
n n(n 1)( n 2 ) ···(n - r 1)
r
1·2·3···(r - 1)·r
85. • La expresión anterior puede escribirse de
forma más compacta usando factoriales
n n!
r
r! ( n r )!
86. • Ej. ¿De cuántas maneras diferentes pueden
seleccionarse 3 de 20 asistentes de
laboratorio para colaborar en un
experimento?
n n(n 1)( n 2 ) ···(n - r 1)
r
1·2·3···(r - 1)·r
n
Para n = 20 y r = 3 la primera fórmula de r
da como resultado
20 20 ·19·18
3
1,140
3!
87. • Ej. Se requiere la realización de un estudio
de calibración para comprobar si los registros
de 15 máquinas de prueba ofrecen
resultados similares. ¿De cuántas maneras
pueden seleccionarse 3 de las 15 para la
investigación?
n n(n 1)( n 2 ) ···(n - r 1)
r
1·2·3···(r - 1)·r
15 15 ·14·13
3
455
3!
88. 88
n n!
r
r! ( n r )!
• Ej. ¿De cuántas maneras diferentes el
director de un laboratorio de investigación
puede seleccionar a 2 químicos entre 7
candidatos y a 3 físicos entre 9 candidatos?
7
Los 2 químicos pueden seleccionarse de 2
21
maneras y los 3 físicos de 9
3
84
maneras.
Por efecto de la regla de multiplicación, la • slide 63
selección total puede realizarse de
21· 84 = 1,764 maneras.
89. 2.6 Axiomas de Probabilidad
¿Cuál es la probabilidad…?
• En esta sección definiremos matemáticamente
las probabilidades como valores de
funciones aditivas de conjuntos, lo que significa
que el número que asigna a la
unión de 2 subconjuntos sin elementos en común,
+
es la suma de los números asignados a
cada uno de los subconjuntos en los individual.
• Con ello podemos determinar el
número de elementos de A [o valor de N(A) ]
para cualquier subconjunto A de S.
90. • Los axiomas de probabilidad son las
condiciones mínimas que deben verificarse para
que una función que definimos sobre unos
sucesos determine consistentemente
valores de probabilidad sobre dichos sucesos.
• La probabilidad P de un suceso A, denotada por
P(A), se define con respecto a un "universo" o
espacio muestral S, tal que P verifique los
Axiomas de Kolmogórov, enunciados por el
matemático ruso de este nombre en 1933.
91. • Dado un espacio muestral finito S y un
evento A, definimos P(A), la probabilidad
de A, como valor de una función aditiva
de conjuntos que satisface las 3
condiciones siguientes:
Axioma 1 0 P(A) 1 para cada evento A en S.
Las probabilidades son números reales en el intervalo
de 0 a 1.
92. Axioma 2 P(S) = 1.
Al espacio muestral en su conjunto se le
asigna una probabilidad de 1, lo que
expresa la idea de que la probabilidad de
cierto evento, un evento que debe ocurrir,
es igual a 1.
93. 93
• Axioma 3 Si A y B son cualesquiera eventos
mutuamente excluyentes en S, entonces
P(A B) = P(A) + P(B).
Las funciones de probabilidad deben ser
aditivas.
Según este axioma se puede calcular la
probabilidad de un suceso compuesto de
varias alternativas mutuamente excluyentes
sumando las probabilidades de sus
componentes.
Slide 107
Slide 108
94. • Los axiomas de probabilidad restringen las
maneras en las que se asignan probabilidades a
los diversos resultados de un experimento.
• Las probabilidades se asignan con base en:
experiencias pasadas,
un detenido análisis de las condiciones
subyacentes del experimento,
evaluaciones subjetivas o
supuestos; por ej. el supuesto común de que
todos los resultados son igualmente probables.
95. • Ej. Si un experimento tiene los 3 resultados
posibles y mutuamente excluyentes A, B, C,
verifique en cada caso si la asignación de
probabilidades es permisible:
a) P(A) = 1/3, P(B) = 1/3, P(C) = 1/3
La asignación de probabilidades es
permisible, porque todos los valores se
encuentran en el intervalo de 0 a 1
y la suma es 1/3+1/3+1/3 = 1.
96. b) P(A) = 0.64, P(B) = 0.38 y P(C) = -0.02
La asignación no es permisible, porque
P(C) es negativa.
c) P(A) = 0.35, P(B) = 0.52 y P(C) = 0.26
La asignación no es permisible, porque
0.35+0.52+0.26 = 1.13, lo que excede de 1.
d) P(A) = 0.57, P(B) = 0.24 y P(C) = 0.19
La asignación es permisible, porque todos los
valores se encuentran en el intervalo de 0 a 1
y su suma es 0.57+0.24+0.19 = 1.
97. • El tercer axioma de probabilidad puede
ampliarse para incluir cualquier número de
eventos mutuamente excluyentes.
• Teorema: Si A1, A2,...,An son eventos
mutuamente excluyentes en un espacio
muestral S, entonces
P ( A1 A2 ... An ) P ( A1 ) P ( A2 ) ... P ( An )
98. • Ej. La probabilidad de que un ingeniero que prueba el
servicio de un nuevo dispositivo anticontaminante para
automóviles lo clasifique como muy deficiente, deficiente,
suficiente, bueno, muy bueno o excelente son 0.07, 0.12,
0.17, 0.32, 0.21 y 0.11. ¿Cuáles son las probabilidades
de que las clasificaciones del dispositivo sean
a) muy deficiente, deficiente, suficiente o bueno;
b) bueno, muy bueno o excelente?
Puesto que las posibilidades son
mutuamente excluyentes, la sustitución directa en la
fórmula del teorema anterior da como resultado
a) 0.07 + 0.12 + 0.17 + 0.32 = 0.68
b) 0.32 + 0.21 + 0.11 = 0.64
99. Regla de cálculo de probabilidad
• Regla de cálculo de probabilidad de un evento.
Teorema. Si A es un evento en el espacio
muestral S, entonces P(A) es igual a la suma
de las probabilidades de los
resultados individuales comprendidos en A.
100. • Ej. Con referencia al
ej. de las
máquinas industriales,
(slide 60) supongamos
que las probabilidades
de los 18 resultados
son las que se indican
en la siguiente figura.
Determine:
P(E1),
P(P1),
P(C1),
P(E1 P1) y
P(E1 C1)
101. Al sumar las
probabilidades de
los resultados
comprendidos en
los respectivos
eventos,
obtenemos:
P(E1) = 0.07 + 0.13
+ 0.06 + 0.05 +
0.07 + 0.02 = 0.40
106. • Otra ampliación del tercer axioma nos permite
determinar la probabilidad de la unión de 2 eventos
cualesquiera en S, independientemente de que
sean mutuamente excluyentes.
• Para motivar el siguiente
teorema, consideremos el
siguiente diagrama de
Venn, referente a las
solicitudes de empleo de
estudiantes recientemente
graduados de la escuela
de ingeniería.
107. 107
• Las letras I y G representan la obtención de un
empleo en la industria o en el gobierno, de modo
que del diagrama se desprende que
P (I) = 0.18 + 0.12 = 0.30
P (G) = 0.12 + 0.24 = 0.36
P (I G) = 0.18 + 0.12 + 0.24 = 0.54
• Podemos sumar las
diversas posibilidades
porque representan
eventos mutuamente
excluyentes.
108. 108
0.54
• Si hubiésemos empleado erróneamente el
tercer axioma de probabilidad (slide 93) para
calcular P(I G), habríamos obtenido
P(I) + P(G) = 0.30 + 0.36 = 0.66, lo que excede del
valor correcto por 0.12
• Este error resulta de
incluir P(I G)
dos veces, una en
P(I) = 0.30 y otra en
P(G) = 0.36, lo que
podríamos corregir
restando 0.12 de 0.66.
Slide 93
109. 0.54
• Por lo tanto, obtendríamos
P(I G) = P(I) + P(G) – P(I G)
= 0.30 + 0.36 – 0.12
= 0.54
lo que coincide con el
resultado obtenido
anteriormente.
• En consonancia con esto,
ahora se enuncia el
siguiente teorema:
110. Regla General de la adición
• Regla General de la adición. Teorema: Si A y B son
cualesquiera eventos en S, entonces
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
• Probabilidad de complemento. Teorema: Si A es
cualquier evento en S, entonces P(A') = 1 – P(A)
111. 111
• Ej. Con referencia al ej. de clasificación de
máquinas industriales, determine la probabilidad
de que una de ellas sea clasificada ya sea como
fácil de operar, con un alto costo de reparación o
P(E1) = 0.40 ambas condiciones, es decir, P(E1 C1).
P(C1) = 0.30
P(E1 C1) = 0.12
Mediante el uso de los resultados obtenidos
anteriormente (slides 101-105), P(E1) = 0.40,
P(C1) = 0.30 y P(E1 C1) = 0.12, sustituimos en
la fórmula del teorema anterior y obtenemos
P(E1 C1) = 0.40 + 0.30 – 0.12
= 0.58
Slide 57
112. • Ej. Si las probabilidades de que, en condiciones de
garantía, un automóvil nuevo requiera
reparaciones del motor, la transmisión o ambos
son 0.87, 0.36 y 0.29, ¿cuál es la probabilidad de
que un auto requiera uno o el otro o ambos tipos
de reparación durante el periodo de garantía?
Al sustituir estos valores dados en la fórmula del
teorema anterior, obtenemos:
0.87 + 0.36 – 0.29 = 0.94
113. 2.7 Probabilidad Condicional e Independencia
• Hasta aquí hemos definido probabilidad de un
evento en relación a un espacio muestral S
dado.
• Buscar la probabilidad de que un ingeniero gane
al menos 40 mil dólares al año
carece de significado, a menos que
especifiquemos si nos referimos a todos los
ingenieros del Continente Americano, a todos
los ingenieros de Estados Unidos o de México,
a los de cierta industria o cierta universidad, etc.
114. • Así, cuando empleamos el símbolo P(A) para
la probabilidad de A, aludimos en realidad a la
probabilidad de A dado algún espacio muestral
S.
• Puesto que la elección de S
no siempre es evidente, y puesto que hay
problemas en los que nos interesan las
probabilidades de A con respecto a
más de un espacio muestral, la notación
P(A|S) sirve para aclarar que nos referimos a
un espacio muestral S en particular.
115. • Leemos P(A|S) como la
probabilidad condicional de A en relación con
S, de modo que toda probabilidad es una
probabilidad condicional.
• Cuando la elección de S se sobreentiende,
optamos por la notación simplificada P(A).
116. • Supongamos que 500 partes de maquinaria
son inspeccionadas antes de su embarque,
que I denota que una parte ha sido
inadecuadamente ensamblada, D denota que
contiene uno o más componentes defectuosos
y la distribución de las 500 partes entre las
diferentes categorías es la que se muestra en
el siguiente diagrama de Venn.
117. • Los números son
N(I D') = 20
N(I D) = 10
N(I' D) = 5
N(I' D') = 465
Clasificación de 500
partes de maquinaria
118. • Suponiendo iguales probabilidades en la
selección de una de las partes para su
inspección, la probabilidad de obtener una con
uno o más componentes defectuosos es
10 5 3
P(D )
500 100
119. • Para verificar si la probabilidad es la misma
cuando la selección se restringe a las partes
de maquinaria que han sido inadecuadamente
ensambladas, nos basta con remitirnos al
espacio muestral reducido de la siguiente
figura, y suponer que cada una de las 30
partes inadecuadamente ensambladas tiene la
misma oportunidad de ser seleccionada.
120. • En consecuencia obtenemos
N (D I) 10 1
P(D | I )
N (I ) 30 3
• Puesto que se sabe que I ha ocurrido,
se convierte en el nuevo espacio muestral
reemplazando el original S
121. • De modo que la probabilidad de obtener una
parte con 1 o más componentes defectuosos
se ha incrementado de 3/100 = 0.03 a
1/3 = 0.33.
122. • Adviértase que si dividimos el numerador y el
denominador de la fórmula de P(D|I)
entre N(S), obtenemos
N (D I)
N (S ) P(D I)
P(D | I )
N (D I) N (I ) P(I )
P(D | I )
N (I ) N (S )
123. • Abordando este ejemplo de otra manera,
obsérvese que con respecto al espacio
muestral S en su conjunto tenemos
10 1 20 2
P(D I) y P(D ' I )
500 50 500 50
124. 10 1 20 2
P(D I) y P(D ' I )
500 50 500 50
• Suponemos, como antes, que cada una de las
500 partes tiene la misma oportunidad de ser
seleccionada.
125. 10 1 20 2
P(D I) y P(D ' I )
500 50 500 50
• Las probabilidades de que la parte
seleccionada contenga o no uno o más
componentes defectuosos, concediendo que
ha sido inadecuadamente ensamblada,
deberían corresponder a la razón 1 a 2.
126. 10 1 20 2
P(D I) y P(D ' I )
500 50 500 50
• Puesto que las probabilidades de D y D' en el
espacio muestral reducido deben sumar 1, de
ello se deduce que
1 2
P(D | I ) y P ( D '| I )
3 3
127. • Lo cual coincide con el resultado obtenido
anteriormente.
• Esto explica porqué tuvimos que
dividir entre P(I) (slide 122) cuando
formulamos
P(D I)
P(D | I )
P(I )
128. • La división entre P(I), o la multiplicación por
1/P(I), toma en cuenta el
factor de proporcionalidad que hace que la
suma de las probabilidades en el espacio
muestral reducido sea igual a 1.
129. 129
• Como consecuencia de estas observaciones,
establezcamos la siguiente definición general:
Regla General de la Multiplicación
• Probabilidad condicional. Si A y B son eventos
en S y P(B) 0,
la probabilidad condicional de A dado B es
P( A B)
P( A | B)
P(B)
• La probabilidad de la intersección es
P( A B) P(B)P( A | B)
• Es la probabilidad de que ambos eventos
ocurran (también llamado evento compuesto).
130. • Ej. Hallar la probabilidad de que en un sólo
lanzamiento de un dado resulte un número
menor que 4,
a) no se da ninguna otra información
Si A denota el suceso {menor que 4}, ya que A
es la unión de los sucesos 1, 2 ó 3
observamos que
P(A) = P(1) + P(2) + P(3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = ½
suponiendo probabilidades iguales para los
puntos muestrales.
131. • Ej. Hallar la probabilidad de que en un sólo
lanzamiento de un dado resulte un número
menor que 4,
b) se da la información de que el
lanzamiento resultó en un número impar.
Si B es el suceso {número impar} observamos
que P(B) = 3/6 = ½. También P(A B) = 2/6 =
1/3. Entonces 1
P(A B) 3 2
P(A | B)
P(B) 1 3
2
Por tanto, el saber que el resultado del
lanzamiento es un número impar aumenta la
probabilidad de ½ a 2/3
132. • Ej. Un recipiente contiene 5 transistores defectuosos
(inmediatamente fallan cuando se ponen en uso),
10 transistores parcialmente defectuosos (fallan después de unas
horas en uso) y 25 transistores aceptables. Del recipiente se toma
aleatoriamente un transistor y se pone en funcionamiento.
Si no falla inmediatamente, ¿cuál es la probabilidad de que sea
aceptable?
Ya que el transistor no falla inmediatamante, sabemos que
no es uno de los 5 defectuosos y, entonces la probabilidad buscada
es:
P{aceptable | nodefectuo so }
P( A B) P { aceptable , nodefectuo so }
P( A | B)
P(B) P { nodefectuo so }
Si es aceptable, será tanto
aceptable como no defectuoso
P { aceptable }
P { nodefectuo so }
25
40 25
0 . 71
35 35
40
133. • Ej. Un recipiente contiene 5 transistores defectuosos
(inmediatamente fallan cuando se ponen en uso), 10 transistores
parcialmente defectuosos (fallan después de unas horas en uso) y 25
transistores aceptables. Del recipiente se toma aleatoriamente un
transistor y se pone en funcionamiento. Si no falla inmediatamente,
¿cuál es la probabilidad de que sea aceptable?
Otra forma de resolverlo:
A = aceptable N(A) = 25
B' = defectuoso N(B') = 5|
B = no defectuoso N(B) = 40 - 5= 35 P(B) = (40 – 5)/40 = 35/40
C = parcial N(C) = 10
N(A B) = 25 P(A B) = 25/40
B 35 B'
A C 5 25
25 10 P( A B) 40 25
P( A | B)
P(B)
P(A|B) 35
0 . 71
35
40
134. • Ej. Un recipiente contiene 5 transistores defectuosos
(inmediatamente fallan cuando se ponen en uso), 10 transistores
parcialmente defectuosos (fallan después de unas horas en uso) y 25
transistores aceptables. Del recipiente se toma aleatoriamente un
transistor y se pone en funcionamiento. Si no falla inmediatamente,
¿cuál es la probabilidad de que sea aceptable?
Otra forma de resolverlo:
Esta probabilidad también se hubiera obtenido del espacio muestral
reducido. Como sabemos que el transistor no es defectuoso, el
problema se reduce a calcular la probabilidad de que un transistor,
tomado de un recipiente con 25 aceptables y 10 parcialmente
defectuosos, sea aceptable. Esto es,
25
35
135. • Ej. El señor Martínez piensa que hay un
30% de probabilidad de que la empresa
donde labora abra una sucursal en La Paz.
Si lo hace, el tiene un 60% de seguridad de
que será nombrado director de esta nueva
oficina. ¿Con qué probabilidad el señor
Martínez será el director de la nueva sucursal
en La Paz?
Si B denota el evento de que la compañía abra una oficina filial en
La Paz y A el evento que el señor Martínez sea nombrado su
director, entonces la probabilidad buscada es P(B A), que se
obtiene de
P(B A) = P(B) P(A|B)
= (0.3)(0.6) = 0.18
136. • Ej. Se tiran un par de dados, hallar:
1) la probabilidad de que salga un 2 en al
menos uno de los dados, y
2) la probabilidad de que salga un 2 en uno
de los dados, si la suma ha salido 6.
1) A = {que salga un 2 en al menos uno
de los dados}
A se compone de los siguientes 11 elementos:
A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2),
(3,2), (4,2), (5,2), (6,2)
S tiene 36 elementos
P(A) = 11/36
137. • Ej. Se tiran un par de dados, hallar:
1) la probabilidad de que salga un 2 en al menos uno
de los dados, y
2) la probabilidad de que salga un 2 en uno de los
dados, si la suma ha salido 6.
2) A = {salga 2 en uno de los dados}
B = {la suma es 6}
Se pide hallar P(A|B).
B se compone de 5 elementos:
B = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
2 de ellos pertenecen a A, es decir
A B = (2,4) y (4,2)
N (A B)
P( A | B)
N (B )
(slides 120, 122) P(A|B) = 2/5
138. • Ej. Un lote contiene 12 objetos, de los cuales
4 son defectuosos. Se sacan 2 objetos al azar,
uno detrás del otro. Hallar la probabilidad de
que los 2 no sean defectuosos.
La probabilidad de que el primero no sea
defectuoso es 8/12, ya que 8 de los 12 no son
defectuosos. Si el primero no es defectuoso,
entonces la probabilidad de que el segundo
no lo sea es de 7/11, ya que sólo 7 de los
restantes 11 no son defectuosos, entonces
P( A B) P(B)P( A | B) slide 129 (se multiplican)
P = (8/12)(7/11) = 56/132 = 0.42
139. Regla Especial de la Multiplicación
Independencia
• Si P(A|B) = P(A), es decir, la probabilidad de
que A ocurra no está afectada por la
ocurrencia o no ocurrencia de B, entonces
decimos que A y B son
sucesos independientes. Esto es equivalente
a
P(A B) = P(A) P(B)
P(B A) = P(B) P(A|B)
• Inversamente, si se cumple lo anterior,
entonces A y B son independientes.
140. • Ej. Hallar la probabilidad de obtener al menos
un 4 en 2 lanzamientos de un dado honrado.
A = {4 en el primer lanzamiento}
B = {4 en el segundo lanzamiento}
Requerimos A B = {4 en el primer lanzamiento
o 4 en el segundo lanzamiento o ambos}
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) (regla gral. adición slide 110)
Los eventos A y B son independientes, por tanto
= P(A) + P(B) – P(A) P(B) (slide 139)
= 1/6 + 1/6 – (1/6)(1/6) = 11/36
141. • Ej. Se extraen 2 cartas al azar de un juego de
52. ¿Qué probabilidad hay de obtener 2 ases si:
a) la primera carta es reemplazada antes de
que se extraiga la segunda.
b) sin reemplazo
a) dado que entre los 52 cartas hay 4 ases,
obtenemos (4/52)(4/52) = 1/169
b) dado que entre los 51 cartas restantes, tras
de separar un as, sólo quedan 3 ases,
obtenemos (4/52)(3/51) = 1/221
Nótese que cuando el muestreo es
sin reemplazo la independencia se viola.
142. • Ej. Si P(C) = 0.65, P(D) = 0.40 y
P(C D) = 0.24 ¿los eventos C y D son
independientes?
si se cumple P(A B) = P(A) P(B) entonces son independientes
(slide 140)
Puesto que P(C)·P(D) = (0.65)(0.4) = 0.26 y
no 0.24, estos 2 sucesos no son
independientes.
143. • Ej. A es el evento en el que se dispone de
materia prima cuando se necesita y B es el
evento en el que el tiempo de operación de la
maquinaria es inferior a 1 hora. Si P(A) = 0.8 y
P(B) = 0.7, asigne probabilidad al evento A B.
Puesto que los eventos A y B se refieren a
pasos del proceso de manufactura sin relación
entre si, invocamos la independencia y
establecemos la asignación
P(A B) = P(A)P(B) = (0.8)(0.7) = 0.56
144. 2.8 Regla de Eliminación
• Las reglas generales de la multiplicación son
útiles para la resolución de muchos
problemas en los que el resultado final de un
experimento depende de los resultados de
varias etapas intermedias.
• Supongamos, por ej. que una
planta de ensamblado recibe sus
reguladores de voltaje de 3 proveedores
diferentes, 60% del proveeedor B1, 30% del
proveedor B2 y 10% del proveedor B3.
145. • Si 95% de los reguladores de B1, 80% de los
de B2 y 65% de los de B3 se desempeñan
de acuerdo con las especificaciones, lo que
querríamos saber es la probabilidad de que
cualquier regulador de voltaje recibido en la
planta se desempeñe de acuerdo con las
especificaciones.
Proveedor B1 B2 B3
Recepción 0.60 0.30 0.10
Desempeño 0.95 0.80 0.65
146. • Si A denota el evento en el que un regulador
de voltaje recibido en la planta se
desempeñe
de acuerdo con las especificaciones y
B1, B2 y B3 son los eventos en lo que esto es
atribuible a los respectivos proveedores,
podemos formular que
A A ( B1 B2 B3 )
A (A B1 ) (A B2 ) (A B3 )
dado que A B1 , A B 2 y A B3
son mutuamente excluyentes,
P ( A) P( A B1 ) P( A B2 ) P( A B3 )
147. P( A) P( A B1 ) P( A B2 ) P( A B3 )
• Si aplicamos la segunda regla de la
multiplicación a P ( A B1 ), P ( A B 2 ) y P ( A B3 )
obtenemos (slide 129)
P ( A) P ( B 1 )· P ( A | B 1 ) P ( B 2 )· P ( A | B 2 ) P ( B 3 )· P ( A | B 3 )
y la sustitución de los valores numéricos
dados nos da
P(A) = (0.60)(0.95)+(0.30)(0.80)+(0.10)(0.65)
= 0.875 Proveedor B1 B2 B3
Recepción 0.60 0.30 0.10
Desempeño 0.95 0.80 0.65
es la probabilidad de que cualquier regulador
recibido en la planta se desempeñe de
acuerdo con las especificaciones
148. • Para visualizar este resultado, nos basta con
elaborar un diagrama de árbol donde la
probabilidad del resultado final esta dada por
la suma de los productos de las
probabilidades correspondientes a cada una
de las ramas del árbol.
Proveedor B1 B2 B3
Recepción 0.60 0.30 0.10
Desempeño 0.95 0.80 0.65
P(A) = (0.60)(0.95)+(0.30)(0.80)+(0.10)(0.65)
149. • En el ejemplo anterior sólo había
3 alternativas en la etapa intermedia, pero si
si hay n alternativas mutuamente
regla de eliminación
excluyentes B1, B2,…,Bn en la etapa
intermedia, una argumentación similar nos
conducirá al siguiente resultado, llamado
regla de eliminación o
regla de probabilidad total:
Teorema. Si B1,B2,…,Bn son eventos
mutuamente excluyentes, uno de los cuales
debe ocurrir, entonces
n
P ( A) P ( B i )· P ( A | B i )
i 1
150. • Para visualizar este resultado, nos basta con
elaborar un diagrama de árbol donde la
probabilidad del resultado final esta dada
nuevamente por la suma de los productos de
las probabilidades correspondientes a cada
una de las ramas del árbol.
151. • Supongamos que queremos conocer la
probabilidad de que
un regulador en particular, del que
sabemos que se desempeña de acuerdo con
las especificaciones,
proceda del proveedor B3.
• Simbólicamente, deseamos saber el valor de
P(B3|A), y para determinar una fórmula para
esta probabilidad establecemos
primeramente que
P(A B3 ) (slide 129)
P ( B 3 | A)
P ( A)
152. P(A B3 )
P( B3 | A)
P( A)
• Luego, al sustituir
P(B3)· P(A|B3) por P(A B 3) y
3
( P ( B i )·P(A | B i ) por P(A),
i 1
(slides 129 y 149)
P ( B 3 )·P(A | B 3 )
obtenemos la fórmula P ( B3 | A ) 3
P ( B i )·P(A | B i )
i 1
que expresa a P(B3|A) en términos de
probabilidades dadas. Al sustituir los valores
numéricos (de la tabla o del diagrama)
obtenemos
153. P ( B3 )·P(A | B3 )
P ( B3 | A) 3
P ( Bi )·P(A | Bi )
i 1
Proveedor B1 B2 B3
Recepción 0.60 0.30 0.10
Desempeño 0.95 0.80 0.65
(0.10)(0.6 5)
P ( B 3 | A) 0 . 074
( 0 . 60 )( 0 . 95 ) ( 0 . 30 )( 0 . 80 ) ( 0 . 10 )( 0 . 65 )
• Adviértase que la probabilidad de que un
regulador sea provisto por B3 decrece de
0.10 a 0.074 una vez que se sabe que se
desempeña de acuerdo con las
especificaciones.
154. • Ej. Se ha nominado a 3 miembros de un club
para ocupar la presidencia del mismo. La
probabilidad de que se elija al señor Adams
es de 0.3; la de que se haga lo propio con el
señor Brown es de 0.5 y la de que gane la
señora Cooper es de 0.2. En caso de que se
elija al señor Adams, la probabilidad d que la
cuota de ingreso se incremente es de 0.8; si
se elige al señor Brown o a la señora
Cooper, las correspondientes probabilidades
de que se incremente la cuota son de 0.1 y
0.4 ¿Cuál es la probabilidad de que haya un
incremento en la cuota de membresía?
155. Considérense los siguientes eventos:
A: se incrementan las cuotas de ingreso
B1: se elige al señor Adams
B2: se elige al señor Brown
n
B3: se elige a la señora Cooper P( A) P( Bi )·P( A | Bi )
i 1
Al aplicar la regla de eliminación, se puede escribir
P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) + P(B3) P(A|B3)
156. Al hacer
referencia al
siguiente
diagrama de
árbol, se
encuentra que
las 3 ramas
dan las
probabilidades
P (B1) P(A|B1) = (0.3)(0.8) = 0.24
P (B2) P(A|B2) = (0.5)(0.1) = 0.05
P (B3) P(A|B3) = (0.2)(0.4) = 0.08
y por lo tanto P(A) = 0.24 + 0.05 + 0.08 = 0.37
157. P ( B3 )·P(A | B3 )
P ( B3 | A) 3
P ( Bi )·P(A | Bi )
2.9 Teorema de Bayes i 1
• El método empleado para resolver el ejemplo de
los proveedores puede generalizarse para dar
como resultado la siguiente fórmula:
Teorema. Si B1, B2,…Bn son eventos mutuamente
excluyentes, uno de los cuales debe ocurrir,
entonces
P ( B r )· P ( A | B r )
P ( Br | A) n
P ( B i )· P ( A | B i )
i 1
para r = 1, 2,…,n.
158. P ( Br )·P ( A | Br )
P ( Br | A) n
P ( Bi )·P ( A | Bi )
i 1
• Nótese que la expresión en el numerador es
la probabilidad de alcanzar A vía la r-ésima
rama del árbol y que la expresión en el
denominador es la suma de las
probabilidades de alcanzar A vía la n ramas
del árbol.
• El teorema de Bayes ofrece una fórmula para
determinar la probabilidad de que el
“efecto” A haya sido “causado” por el evento
Br.
159. P ( Br )·P ( A | Br )
P ( Br | A) n
P ( Bi )·P ( A | Bi )
i 1
• En el ej. anterior determinamos la
probabilidad de que un regulador aceptable
haya sido producido por el proveedor B3.
• Las probabilidades P(Bi) se llaman
probabilidades “anteriores”, o “a priori” de las
causas Bi.
160. • Ej. 4 técnicos se encargan regularmente de
las reparaciones de una linea de producción
automatizada en caso de descomposturas. El
“empleado 1”, quien se ocupa del 20% de las
descomposturas, realiza una reparación
incompleta 1 vez de 20; el “empleado 2”,
quien atiende 60% de las descomposturas,
realiza una reparación incompleta
1 vez en 10; el “empleado 3”, quien atiende el
15% de las descomposturas, hace una
reparación incompleta 1 vez en 10; y el
“empleado 4”, quien se ocupa del 5% de las
descomposturas, realiza una reparación
incompleta 1 vez en 20.
161. Para el siguiente problema con la línea de producción,
atribuido en el diagnóstico a una reparación
incompleta, ¿cuál es la probabilidad de que tal
reparación inicial haya sido por el “empleado 1”?
Empleado 1 2 3 4
Atención a
0.20 0.60 0.15 0.05
descomposturas
Reparaciones
1 de 20 1 de 10 1de10 1 de 20
incompletes
162. Empleado 1 2 3 4
causa B Atención a
descomposturas
0.20 0.60 0.15 0.05
Reparaciones
efecto A incompletes
1 de 20 1 de 10 1de10 1 de 20
Sustituyendo las diversas P ( Br )·P ( A | Br )
P ( Br | A)
probabilidades en la formula del n
P ( Bi )·P ( A | Bi )
teorema de Bayes obtenemos i 1
(0.20)(0.05)
P( B1 | A) 0.114
(0.20)(0.05) (0.60)(0.10) (0.15)(0.10) (0.05)(0.05)
resulta de interés notar que aunque el “empleado 1”
realice una reparación incompleta sólo 1 de cada 20
veces (5% de las descomposturas), más del 11% de las
reparaciones incompletas son responsabilidad suya.