полнота метрических пространств

1. Полнота метрических пространств
Последовательность точек {xn} метрического пространства E называется
фундаментальной (или сходящейся в себе), если для любого  > 0 найдется
натуральное число N = N(), такое, что (xm, xn) <  при m, n > N.
Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна, однако
обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Пусть в метрическом
пространстве R, состоящем из рациональных чисел с метрикой (x, y) = |x -
y|, последовательность сходится к некоторому иррациональному числу.
Последовательность {xn} фундаментальна в метрике R, однако в R не
существует элемента, который бы являлся ее пределом.
Если в метрическом пространстве E каждая фундаментальная
последовательность сходится к элементу того же пространства, то E
называется полным пространством.
Полное линейное нормированное пространство называется банаховым
пространством.
Фундаментальность: || xn - xm ||   nm,
0.
Полнота: из || xn - xm ||   nm,
0  xoE, что || xn – xo ||   n
0.
Любое конечное линейное пространство полно и, следовательно,
является банаховым. Бесконечномерное банаховое пространство имеет
размерность не менее континуума.
В банаховом пространстве справедлив принцип вложенных
стягивающихся шаров: пусть одна последовательность вложенных друг в
друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, когда эти шары имеют
единственную общую точку.