Dalam Modul ini, kita mempelajari :
Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan
Fungsi komposisi dari beberapa fungsi.
Sifat-sifat komposisi fungsi.
Komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi dan komponen lainnya diketahui.
Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers.
Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya
Fungsi invers dari suatu fungsi.
Sifat-sifat fungsi invers.
2. KOMPOSISI FUNGSI DAN
FUNGSI INVERS
PENGANTAR :
Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat
dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha
mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin
terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.
STANDAR KOMPETENSI : 5. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu
fungsi.
KOMPETENSI DASAR : 5.1 Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi
5.2 Menentukan invers suatu fungsi
TUJUAN PEMBELAJARAN :
1. Menentukan syarat dan aturan fungsi yang dapat
dikomposisikan
2. Menentukan fungsi komposisi dari beberapa fungsi.
3. Menyebutkan sifat-sifat komposisi fungsi.
4. Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi
apabila fungsi komposisi dan komponen lainnya
diketahui.
5. Menjelaskan syarat agar suatu fungsi mempunyai
invers.
6. Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik
fungsi asalnya
7. Menentukan fungsi invers dari suatu fungsi.
8. mengidentifikasi sifat-sifat fungsi invers.
KEGIATAN BELAJAR :
I. Judul sub kegiatan belajar :
1. Pengertian Fungsi
2. Komposisi Fungsi
3. Sifat-sifat Komposisi Fungsi
4. Fungsi invers
II. Uraian materi dan contoh
1. Pengertian Fungsi
Definisi : Fungsi dari himpunan A ke himpunan B suatu relasi sedemikian
hingga setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota
himpunan B.x y=f(x)
f
3. A=Df=D B=Rf=R
Domain = daerah asal (D)
Kodomain = daerah kawan (K)
Range = daerah hasil (R)
• Notasi Fungsi
Suatu fungsi atau pemetaanumumnya dinotasikan denganhuruf kecil.
Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f: A → B
A disebut domain
B disebut kodomain
• Range atau Daerah Hasil Jika f memetakan x ∈ A ke y ∈ B dikatakan y adalah
peta dari x ditulis f: x → y atau y = f(x).
Himpunan y ∈ B yang merupakan peta dari x ∈ A
disebut range atau daerah hasil
contoh 1
Misal f: R → R dengan f(x) = √1 - x2
Tentukan domain dari fungsi f.
Jawab
Supaya f: R→R dengan f(x)=√1-x2 maka haruslah 1 – x2 ≥ 0.
1 – x2 ≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau (x - 1)(x + 1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1.
Jadi, domain fungsi tersebut adalah -1 ≤ x ≤ 1.
contoh 2
Misal f: R → R dengan f(x – 1) = x2 + 5x
Tentukan : a. f(x)
b. f(-3)
Jawab
Misal y = x – 1 maka x = y + 1
karena f(x – 1) = x2 + 5x
maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1)
f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5
f(y) = y2 + 7y + 6
f(y) = y2 + 7y + 6
a. f(x) = x2 + 7x + 6
b. f(-3) = (-3)2 + 7(-3) + 6
= 9 – 21 + 6
= -6
4. Contoh 3:
Fungsi f : A B tentukan domain, kodomain dan range
Domain = {a,b,c}
Kodomain = {1,2,3,4}
Range = {1,3,4}
2. Komposisi Fungsi
Pengertian
Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan
sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru.
Misalkan: f : A → B dan g : B → C
Fungsi baru h = (g o f) : A → C disebut fungsi komposisi dari f dan g.
Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))
(gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika Rf ∩ Dg ≠ Ø
Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a))
Contoh 1:
Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut
f = {(0,1), (2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}
Tentukanlah: a) (f o g) b) (g o f) c) (f o g)(1) d) (g o f)(4)
Jawab:
a) (f o g) = {(2,1), (1,4), (5,-1)}b) (g o f) = {(0,2), (4,3)}
c) (f o g)(1) = 4 d) (g o f)(4) = 3
a
b
c
1
2
3
4
A B
x y=f(x) z=g(y)
f g
h = g ο f
CBA
5. Contoh 2:
f : R → R ; f(x) = 2x² +1, g : R → R ; g(x) = x + 3
Tentukan : a) (f o g)(x) b) (g o f)(x) c) (f o g)(1) d) (g o f)(1)
Jawab :
(f o g)(x) = f(g(x))
= f(x+3)
= 2(x+3)²+1
= 2(x² + 6x + 9) + 1
= 2x²+12x+19
(g o f)(x) = g(f(x))
= g(2x²+1)
= 2x² + 1 + 3
= 2x² + 4
(f o g)(1) = f(g(1))
= f(4)
= 2. (4)² +1
= 2.16 + 1
= 33
(g o f)(1) = g(f(1))
= g(3)
= 3 + 3
= 6
Contoh 3:
Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.
f : A → B dengan f(x) = -x + 1; g : B → C dengan g(x) = x2
dan
h = g o f : A → C.
Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!
h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1)2
h(x) = 64 → (-x + 1)2
= 64 ↔ -x + 1 = ± 8
-x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x + 1 = -8 ↔ x = 9
Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.
3. Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Jika f : A → B ; g : B → C ; h : C → D, maka berlaku:
i. (fog)(x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif)
ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif)
iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)
Contoh 4:
Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2
+ 2, I(x) = x
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x
(g o h)(x) = g(h(x)) = g(x2
+ 2) = 3 – (x2
+ 2) = 1 - x2
Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x)
6. ((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x2
+ 2)= 7 – 2(x2
+ 2) = 3 - 2x2
(fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x2
)= 2(1 - x2
) + 1 = 2 – 2 x2
+ 1 = 3 – 2 x2
Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)
(foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1
(Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1
Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)
4. Fungsi Invers
Definisi
Jika fungsi f : A → B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)la∈A dan b∈B},
maka invers dari fungsi f adalah f-1
: B → A ditentukan oleh: f-1
:
{(b,a)lb∈B dan a∈A}.
Jika f : A → B, maka f mempunyai fungsi invers f-1
: B → A jika dan hanya jika f
adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.
Jika f : y = f(x) → f -1
: x = f(y)
(f o f -1
)(x) = (f-1
o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)
Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers
i. f(x) = ax + b; a ≠ 0 → f -1
(x) =
a
bx −
; a ≠ 0
ii. f(x) =
dcx
bax
+
+
; x ≠ -
c
d
→ f -1
(x) =
acx
bdx
−
+−
; x ≠
c
a
iii. f(x) = acx
; a > 0 → f -1
(x) =a
log x1/c
=
c
1 a
log x ; c ≠ 0
iv. f(x) = a
log cx ; a > 0; cx > 0 → f -1
(x) =
c
ax
; c ≠ 0
v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0 → f -1
(x)=
2a
x)4a(cbb 2
−−±−
Catatan:
Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai
invers jika domainnya dibatasi.
Contoh 5:
Diketahui f: R → R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1
(x)!
Cara 1:
y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1
(y))
2x = y + 5
7. x =
2
y 5+
f -1
(x) =
2
x 5+
Cara 2:
f(x) = ax + b → f -1
(x) =
a
bx −
f(x) = 2x – 5 → f -1
(x) =
2
x 5+
Contoh 6:
Diketahui ( ) 4x,Rx,
4x
1x2
xf ≠∈
−
+
= Tentukan )x(f 1−
!
Cara 1:
4x
1x2
y
−
+
=
y(x - 4) = 2x + 1
yx – 4y = 2x + 1
yx – 2x = 4y + 1
x(y – 2) = 4y + 1
x = 2-y
14y +
f -1
(x) =
2-x
14x +
Cara 2:
f(x) =
dcx
bax
+
+
→ f -1
(x) =
acx
bdx
−
+−
( )
4x
1x2
xf
−
+
= → f -1
(x) =
2-x
14x +
Contoh 7:
Jika ( )
3
4
x,Rx,
4x3
x2
xf ≠∈
−
= dan 1)k(f 1
=−
. Tentukan nilai k!
Cara 1:
4x3
x2
y
−
=
y(3x - 4) = 2x
3xy – 4y = 2x
3xy – 2x = 4y
x(3y – 2) = 4y
x = 2-3y
4y
f -1
(x) =
2-3x
4x
f -1
(k) =
2-3k
4k
8. 1 =
2-3k
4k
3k – 2 = 4k
k = -2
Cara 2:
f -1
(k) = a → k = f(a)
1)k(f 1
=−
→ k = f(1) = 2
1
2
41.3
1.2
−=
−
=
−
Contoh 8:
Diketahui f(x) = 52x
, tentukan f – 1
(x)!
Cara 1:
y = 52x
(ingat rumus logaritma: a n
= b → n = bloga
)
2x = ylog5
x = ylog
2
15
f – 1
(x) = xlog
2
1 5
Cara 2:
f(x) = acx
→ f -1
(x) =
c
1 a
log x
f(x) = 52x
→ f – 1
(x) = xlog
2
1 5
Contoh 9:
Diketahui f(x) = x2
– 6x + 4, tentukan f–1
(x)!
Cara 1:
y = x2
– 6x + 4
y – 4 = x2
– 6x
y – 4 = (x – 3)2
– 9
y + 5 = (x – 3)2
x – 3 = ± 5y +
x = 3 ± 5y +
f – 1
(x) = 3 ± 5x +
Cara 2:
f(x) = ax²+bx+c → f -1
(x) =
2a
x)4a(cbb 2
−−±−
f(x) = x2
– 6x + 4 → f -1
(x) = x
x
+±=
+−
±=
−−±
53
4
41636
3
6
2
x)4(436
Contoh 10:
Diketahui 21)( 5 3
+−= xxf , tentukan f – 1
(x)!
Cara 1:
9. 215 3
+−= xy
y – 2 = 5 3
1 x−
(y – 2)5
= 1 – x3
x3
= 1 - (y – 2)5
x = 3 5
)2(1 −− y
f – 1
(x) = 3 5
)2(1 −− x
Cara 2:
cbxaxf n m
++=)( → f – 1
(x) =
b
cxam n
−
−− )(
21)( 5 3
+−= xxf → f – 1
(x) = 3 5
3 5
)2(1
)1(
)2(1
−−=
−−
−−
x
x
Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga
diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f
o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa
menentukan fungsi f(x).
Contoh 11:
Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2
+ 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) = 2x2
+ 2x – 12
g(f(x)) = 2x2
+ 2x – 12
3 – 2f(x) = 2x2
+ 2x – 12
-2f(x) = 2x2
+ 2x – 15
f(x) = -x2
– x + 7,5
Cara 2:
g(x) = 3 – 2x → g -1
(x) =
2
3 x−
f(x) = [g -1
o (g o f)](x)
f(x) = 5,7
2
1522
2
)1222(3 2
22
+−−=
+−−
=
−+−
xx
xxxx
Contoh 12:
Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) =
612
52
−
−
x
x
, tentukan rumus fungsi g(x)!
10. Cara 1:
(g o f)(x) =
6x12
5x2
−
−
g(f(x)) =
6x12
5x2
−
−
g(2x-1) =
6x12
5x2
−
−
Misalkan: 2x – 1 = a → x =
2
1+a
g(a) =
6
2
1
12
5
2
1
2
−
+
−
+
a
a
g(a) = 6)1(6
51
−+
−+
a
a
=
a
a
6
4−
g(x) =
x
x
6
4−
Cara 2:
(g o f)(x) =
6x12
5x2
−
−
g(f(x)) =
6x12
5x2
−
−
g(2x-1) =
6x12
5x2
−
−
g(2x-1) =
)12(6
4)12(
−
−−
x
x
g(x) =
x
x
6
4−
Cara 3:
f(x) = 2x -1 → f -1
(x) =
2
1+x
g(x) = [(g o f) o f -1
](x) = (g o f)( f -1
(x))
g(x) =
x
x
x
x
x
x
6
4
6)1(6
51
6
2
1
12
5
2
1
2
−
=
−+
−+
=
−
+
−
+
5. Invers Dari Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga
mempunyai fungsi invers f -1
dan g-1
. Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama
11. ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f
dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram
berikut.
Fungsi (g o f) -1
memetakan z ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g-1
, kemudian
y dipetakan x oleh fungsi f -1
. Sehingga (g o f)-1
dapat dinyatakan sebagai komposisi dari
(f-1
0 g-1
). Seperti tampak pada diagram berikut.
Jadi diperoleh hubungan:
(g o f) -1
(x) = (f -1
o g -1
)(x)
Contoh 13:
Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) =
3
1
x,
1x3
1
−≠
+
. Tentukan (f o g) - 1
(x)!
Cara 1:
(f o g)(x) = 2(
1x3
1
+
) – 3 =
1x3
1x9
1x3
)1x3(32
+
−−
=
+
+−
Misalkan y = (f o g)(x)
y =
1x3
1x9
+
−−
y(3x+1) = -9x – 1
3xy + y = -9x – 1
3xy + 9x = -y – 1
x (3y + 9) = -(y + 1)
x =
9y3
)1y(
+
+−
x y=f(x) z=g(y)
f g
B CA
g ο f
x y=f(x) z=g(y)
f-1
g-1
(g ο f) -1
CBA
12. (f o g) - 1
(x) =
9x3
1x
+
+
−
Cara 2:
(f o g)(x) = 2(
1x3
1
+
) – 3 =
1x3
1x9
1x3
)1x3(32
+
−−
=
+
+−
(f o g) - 1
(x) =
9x3
1x
9x3
1x
+
+
−=
+
−−
Contoh 14:
Diketahui f - 1
(x) =
2
1
x - 2, g - 1
(x) =
2x
5x4
−
+
dan h(x)=(g o f)(x). tentukan h - 1
(x)!
Cara 1:
f - 1
(x) =
2
1
x – 2
(f–1
o f)(x) =I(x) → f- 1
(f(x)) = x
2
1
f(x) – 2 = x
2
1
f(x) = x + 2
f(x) = 2x + 4
g - 1
(x) =
2x
5x4
−
+
(g– 1
o g)(x) =I(x) → g - 1
(g(x)) = x
2)x(g
5)x(g4
−
+
= x
4g(x) + 5 = x.g(x)- 2x
4g(x) – x.g(x) = -2x – 5
g(x)(4 - x) = -2x – 5
g(x) =
x4
5x2
x4
5x2
−
+
−=
−
−−
h(x) = (g o f)(x)
h(x) = -
x2
13x4
)4x2(4
5)4x2(2 +
=
+−
++
h - 1
(x) =
4x2
13
−
Cara 2:
h(x) = (g o f)(x) → h - 1
(x) = (g o f) - 1
(x) = (f -1
o g -1
)(x) = f -1
( g -1
(x))
h - 1
(x) =
2
1
.
2x
5x4
−
+
- 2 =
4x2
13
4x2
8x45x4
4x2
)4x2(25x4
2
4x2
5x4
−
=
−
+−+
=
−
−−+
=−
−
+
Contoh 15:
13. Ditentukan f(x) = 2x – 1, dan g(x) = 3 – x dan h(x) = 0x,
x
4
≠ , carilah nilai x sehingga
(h o g o f) – 1
(x) = 1!
Cara 1:
(go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x
(h o (g o f))(x) =
x24
4
−
Misalkan (h o g o f)(x) = y, maka:
y =
x24
4
−
4y – 2xy = 4
-2xy = 4 – 4y
x = y
y
y
y 22
2
44 −
=
−
−
(h o g o f) – 1
(x) =
x
x 22 −
x
x 22 −
= 1
2x – 2 = x
x = 2
Cara 2:
(go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x
(h o (g o f))(x) =
x24
4
−
(h o g o f) – 1
(x) = a → x = (h o g o f) (a)
(h o g o f) – 1
(x) = 1 → x = (h o g o f)(1) = 2
2
4
1.24
4
==
−
III. Latihan soal
1. Diketahui ( ) 2f x x= + dan ( )
2
3 6
g x
x
=
−
. Tentukan rumus (f o g) (x) dan tentukan
pula
daerah asalnya (D).
2. Diketahui ( ) 2 2f x x= − , ( ) 2
1g x x= − dan h(x) = 3x. Tentukanlah (fogoh) (2)
3.Tentukan rumus fungsi g(x) jika diketahui f(x) = x + 3 dan (fog)(x) = 3x – 5.
4. Diketahui fungsi g(x) = -3x + 4 dan ( ) 2
2 2 5f g x x x= + +o , maka tentukan fungsi
( )f x .
5.Jika f(x) = x/x-4 maka tentukan f-1
(x).
14. 6.Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x + 2. Tentukan (fog)-1
(x).
IV. Tes Formatif 1
( Terlampir)
V. Daftar pustaka
Tim penulis MGMP Matematika SMA kota Semarang, Matematika SMA / MA
XI A IPA, ( Semarang : CV. Jabbaar Setia, 2008)
Tim penyusun KREATIF Matematika, Matematika SMA/MA kelas XI IPA
semester genap, ( Klaten, Viva Pakarindo, 2007)
Simangunsong Wilson, Matematika dasar, ( Jakarta: Erlangga, 2005)
