Soluzione compito del 17/

1. Matematica – classe 5Etur
A. Veneziani - svolgimento degli esercizi applicativi del compito in classe di
Matematica del 17/11/2010 (docente prof. L. G. Cancelliere)
2
1x
Esercizio 2 - Verificare che la solzuione della disequazione 2
0 è un intorno di ?
x −1
Nelle disequazioni fratte, come nelle disequazioni formate da un prodotto osserviamo che il
segno della disequazione viene studiato studiando quello dei fattori o di numeratore e
denominatore (ed è questo il nostro caso – ovviamente).
Detto questo si spiega facilmente con esempi numerici il metodo da tenere per determinare se
la frazione considerata sia maggiore di 0 o viceversa. Ad esempio se consideriamo una
disequazione ove il numeratore sia positivo e il denominatore negativo potremo dire che essa
non può essere maggiore di 0, infatti ad esempio: 9 / -2 = - (9/2) < 0
Analogamente per altri casi se sia numeratore che denominatore sono positivi, il rapporto e'
positivo, se essi sono entrambi negativi il rapporto e' positivo (si pensi ad esempio a 3 / 2 > 0
e – 4 / -5 = 4 / 5 > 0).
Con tali semplici esempi in mente si può quindi capire come si procede in analoga maniera nel
caso di complesse espressioni in x al numeratore e denominatore di una frazione in x.
Allora studiamo quindi ove il numeratore è positivo ed ove il denominatore è positivo, di modo
da poter poi combinare i due dati e osservare ove è positiva l'intera frazione.
Iniziamo dal numeratore. Essa è una ben nota forma in cui un quadrato di un numero
generico (x ) è sommato ad una costante (1).
2
Siccome sappiamo che il quadrato di un numero è sempre maggiore o uguale a 0, e a questo
valore viene assommato, l'espressione nel suo complesso è sempre positiva per qualunque x.
Questo ragionamento può essere verificato e confermato facilmente con il plottaggio tramite il
calcolatore:
Si tratta infatti evidentemente di una parabola che stà sopra l'asse delle x, e quindi i cui valori
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2. di y sono tutti positivi.
L'espressione 1 + x2 non è scomponibile in fattori, in quanto l'equazione x2 + 1 = 0 non ha
soluzioni (evidente dal grafico riportato sopra).
Il denominatore invece è scomponibile in un prodotto di fattori, essendo una differenza di due
quadrati:
x 2−1= x1⋅ x−1
Chiediamoci ora per ognuno di essi quando i due fattori sono maggiori
di zero:
 x10 per x−1  x−10 per x1
Il grafico dei segni risulta quindi:
-1 1 X
e si può constatare che solo per x > 1 o x < -1 il prodotto risulta maggiore di 0.
[ In effetti la curva corrispondente alla equazione x2 – 1 è:
segnando le zone sopra e sotto l'asse sul grafico che come si vedono risultano negative tra -1
e1 - (osservare attentamente le divisioni proposte dal programma di calcolo) ]
Nel complesso, ossia conseiderando il segno del numeratore e denominatore, essendo il
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3. numeratore sempre maggiore di 0, il segno della frazione risulta positivo nello stesso intervallo
per cui il segno del denominatore risulta positivo, quindi:
1x 2
0 per x1 e x−1
x 2−1
Questi intervalli aperti rappresentano un intorno rispettivamente di:
I ∞=1,∞ intorno destro di∞
I −∞=−∞ ,−1 intorno sinistro di−∞
complessivamente i due intorni combinati risultano un intorno complessivamente di infinito e
precisamente un intorno circolare di infinito (in quanto i punti estremi sono simmetrici rispetto
all'origine (x = 0):
I c ∞= I −∞ ∪ I ∞=−∞ ,−1 ∪ 1,∞
Esercizio 3 - Verificare che la soluzione della disequazione x 3− x 2x−10 è un
intorno di ?
Si tratta di una disequazione di terzo grado. Si deve cercare di scomporre la stessa di modo
da studiare opportunamente i suo singoli fattori in modo opportuno (considerazioni analoghe a
quelle fatte sopra valgolno anche in questo caso).
Invece di applicare Ruffini e tentare una divisione tra polinomi è possibile osservare che
mettendo un x2 in evidenza tra i primi due termini del polinomio risulta:
si può osservare poi che uno dei termini del prodotto è
x 2  x−1x−10
uguale agli ultimi due termini del polinomio
e quindi è possibile concludere:
a questo punto è possibile considerare come in precedenza che x2
 x 21⋅ x−10
+ 1 è sempre maggiore di 0.
Resta quindi da studiare il segno del fattore (x – 1) > 0; risulta:
 x−10 quando x1
E quindi anche tutto il prodotto è maggiore di 0 quando x > 1, che risulta la soluzione.
[ Anche con il calcolatore è possibile trovare questo risultato in maniera automatica:
che graficamente viene confermato dalla forma della curva che rappresenta l'espressione data:
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4. I ∞=1,∞ intorno destro di∞
]
In conclusione quindi i valori dell'asse x che verificano la disequazione data rappresentano un
intorno di + infinito:
Esercizio 4 - Verificare che la soluzione della disequazione 2x 2−10x120 è un intorno
circolare di x0 = ?
in questo caso siamo di fronte ad una disequazione di II° grado per la quale è possibile
utilizzare il classico metodo di risoluzione:
Calcoliamo quindi il ∆ della equazione per vedere se esistono soluzioni reali e coincidenti:
=b2−4⋅a⋅c=102 −4⋅2⋅12=100−96=40
quindi concludiamo che esistono soluzioni reali e coincidenti (∆ > 0).
Passiamo allora calcolare le soluzioni vere e proprie con l'usuale e ben nota formula:
−b±  b2−4⋅a⋅c −b±  10± 4
x 1,2= = =
2⋅a 2⋅a 4
da questo risultano le due soluzioni:
102 12 10−2 8
x 1= = =3 x 2= = =2
4 4 4 4
quindi l'espressione assegnata può essere scomposta come:
 x−2⋅ x−30
a questo punto non resta che studiare il segno dei due fattori ossia capire, ad esempio, quando
essi risultano maggiori di 0:
 x−20 per x2
 x−30 per x3
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5. quindi è possibile disegnare il seguente grafico dei segni (ove andremoa ricercare le zone ove
il segno sia negativo, in questo caso):
+2 +3 X
e quindi risulta negativa nell'intervallo compreso tra 2 e 3 ossia per 2 < x < 3.
[
Tale soluzione è ovviamente ricavabile anche con mezzi automatici al calcolatore, ad esempio
in Mathematica l'opportuno comando “Reduce” rende la soluzione:
inoltre è possibile come al solito tracciareil grafico della espressione considerata:
da cui si può chiaramente osservare che la zona ove la curva y=2x −10x12 è negativa
2
è per x compreso tra 2 e 3. ]
Per concludere la richiesta dell'esercizio 4 ci chiede di individuare il punto x0 per cui tale
intervallo risulta intorno circolare. E' piuttosto evidente che l'intervallo può essere intorno
circolare solo del punto che soddisfa la seguente relazione (già data a lezione):
x 1 x 2 23 5
x 0=
2
=
2
= =2,5
2
Risulta quindi che: I c  x 0= I c 
5
2
= 2,3
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