Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
Lebesgue 可測性に関する S...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
目次
1 事前知識
2 記述集合論:...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
内容と動機
動機:Lebesgue ...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
内容と動機
動機:Lebesgue ...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
内容と動機
動機:Lebesgue ...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
内容と動機
動機:Lebesgue ...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
内容と動機
動機:Lebesgue ...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
内容と動機
動機:Lebesgue ...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
基本的な事項 I
Definition...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
基本的な事項 II
Fact 2
選...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
記述集合論とは
Baire 空間の閉...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
参考文献 I
Thomas Jech...
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
‌
事前知識
記述集合論:解析的集合と木
参考文献
参考文献 II
Yiannis N....
Nächste SlideShare
Wird geladen in …5
×

Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合論のごく基本的な事項

4.894 Aufrufe

Veröffentlicht am

wakate 2014

Veröffentlicht in: Wissenschaft
  • Loggen Sie sich ein, um Kommentare anzuzeigen.

  • Gehören Sie zu den Ersten, denen das gefällt!

Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合論のごく基本的な事項

  1. 1. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果 に必要な記述集合論のごく基本的な事項 石井大海 筑波大学数理物質科学研究科 数学専攻 博士前期課程一年 November 20, 2014 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  2. 2. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 目次 1 事前知識 2 記述集合論:解析的集合と木 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  3. 3. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機:Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  4. 4. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機:Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい Solovay 「ZFC+到達不能基数の存在」が無矛盾なら, 「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可 測」も無矛盾 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  5. 5. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機:Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい Solovay 「ZFC+到達不能基数の存在」が無矛盾なら, 「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可 測」も無矛盾 Shelah 上の逆が成り立つ.即ち「ZFC+到達不能基数 の存在」と「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可測」は無矛盾等価である. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  6. 6. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機:Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい Solovay 「ZFC+到達不能基数の存在」が無矛盾なら, 「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可 測」も無矛盾 Shelah 上の逆が成り立つ.即ち「ZFC+到達不能基数 の存在」と「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可測」は無矛盾等価である. 今回:Solovay-Shelah そのものには立ち入らず,現在勉強中 の前提知識について 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  7. 7. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機:Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい Solovay 「ZFC+到達不能基数の存在」が無矛盾なら, 「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可 測」も無矛盾 Shelah 上の逆が成り立つ.即ち「ZFC+到達不能基数 の存在」と「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可測」は無矛盾等価である. 今回:Solovay-Shelah そのものには立ち入らず,現在勉強中 の前提知識について ⋆ 特に記述集合論の基本知識について 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  8. 8. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 内容と動機 動機:Lebesgue 可測性の無矛盾性に関する Solovay-Shelah の 結果を理解したい Solovay 「ZFC+到達不能基数の存在」が無矛盾なら, 「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可 測」も無矛盾 Shelah 上の逆が成り立つ.即ち「ZFC+到達不能基数 の存在」と「ZF + DC+ 任意の実数の集合が Lebesgue 可測」は無矛盾等価である. 今回:Solovay-Shelah そのものには立ち入らず,現在勉強中 の前提知識について ⋆ 特に記述集合論の基本知識について 動機を見据えて,以下選択公理は制限された従属選択公理 (DC)のみを用いる 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  9. 9. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 基本的な事項 I Definition 1 κ が正則 def ⇐==⇒ κ は長さ・濃度 κ 未満の列で近似出来ない κ が強極限基数 def ⇐==⇒ ∀λ < κ [2λ < κ] κ が到達不能基数 def ⇐==⇒ κ は非可算で正則な強極限基数. 次の言明を従属選択公理(DC)と呼ぶ: ∀A∀R ⊆ A × A [∀x ∈ A∃y ∈ A (y R x) −→ ∃{xn}n<ω ⊆ A ∀n < ω (xn+1 R xn)] 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  10. 10. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 基本的な事項 II Fact 2 選択公理の下で,Lebesgue 非可測な実数の集合が存在する. κ を到達不能基数とすると,Vκ |= ZFC.従って到達不能基 数から ZFC の無矛盾性が出るので,不完全性定理より到達 不能基数の存在は ZFC から証明出来ない. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  11. 11. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 目次 1 事前知識 2 記述集合論:解析的集合と木 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  12. 12. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 記述集合論:解析的集合と木 I 記述集合論は実数の定義可能集合を扱う集合論の一分野 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  13. 13. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 記述集合論:解析的集合と木 I 記述集合論は実数の定義可能集合を扱う集合論の一分野 扱う性質の多くは一般のポーランド空間についても成立する 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  14. 14. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 記述集合論:解析的集合と木 I 記述集合論は実数の定義可能集合を扱う集合論の一分野 扱う性質の多くは一般のポーランド空間についても成立する Definition 3 位相空間 X がポーランド空間 def ⇐==⇒ X は可分完備距離化可能空間 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  15. 15. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 記述集合論:解析的集合と木 I 記述集合論は実数の定義可能集合を扱う集合論の一分野 扱う性質の多くは一般のポーランド空間についても成立する Definition 3 位相空間 X がポーランド空間 def ⇐==⇒ X は可分完備距離化可能空間 その中でも専ら扱うのは Baire 空間やその直積である. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  16. 16. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 記述集合論:解析的集合と木 II Definition 4 (Baire 空間) 自然数の可算列全体 ωω = { f : ω → ω } に次の形の集合を基本開 集合とする位相を入れた空間を Baire 空間と呼び,N で表す. O(s) := { σ ∈ ω ω : σ ⊇ s } (s ∈ <ω ω) Fact 5 Baire 空間はポーランド空間である.d(f , f ) = 0, d(f , g) = 1 n+1(但し n = min { k : f (k) ̸= g(k) })は距離の例 Baire 空間の基本開集合は閉集合の可算共通部分で書け, 従って閉集合でもある:O(s) = ∩ t∈lh(s)ω,t̸=s O(t)c 「一致する桁数が多いほど近い」位相になっている. Baire 空間は連分数展開を通じて無理数の空間と同相となる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  17. 17. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 扱う集合の例 一番基本的な例:開集合と閉集合 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  18. 18. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 扱う集合の例 一番基本的な例:開集合と閉集合 それらの補集合,可算和・可算共通部分により得られる Borel 集合も代表例 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  19. 19. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 扱う集合の例 一番基本的な例:開集合と閉集合 それらの補集合,可算和・可算共通部分により得られる Borel 集合も代表例 これらの背後にある操作を探ると,自然と木によって記述さ れる集合へと一般化出来る 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  20. 20. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 扱う集合の例 一番基本的な例:開集合と閉集合 それらの補集合,可算和・可算共通部分により得られる Borel 集合も代表例 これらの背後にある操作を探ると,自然と木によって記述さ れる集合へと一般化出来る こうした形で記述可能な集合について,様々な望ましい性質 を示していくのが記述集合論の議論 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  21. 21. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 扱う集合の例 一番基本的な例:開集合と閉集合 それらの補集合,可算和・可算共通部分により得られる Borel 集合も代表例 これらの背後にある操作を探ると,自然と木によって記述さ れる集合へと一般化出来る こうした形で記述可能な集合について,様々な望ましい性質 を示していくのが記述集合論の議論 Solovay-Shelah の結果もその延長線上にあるもの(らしい) 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  22. 22. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 望ましい性質 「望ましい性質」の代表例は次の三つ: Lebesgue 可測性 みんな知ってるやつ 完全集合性質 A が完全集合性質を持つ def ⇐==⇒ A は可算であるか 完全集合(孤立点を持たない閉集合)を含む Baire の性質 A が Baire の性質を持つ def ⇐==⇒ A と適当な開集合の 対称差が meager(A は開集合と疎集合の可算和ぶん の差しかない) 今回は時間(と講演者の理解の度合い)の関係上,完全集合性 質について主に議論する. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  23. 23. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  24. 24. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ. · · · だいたい閉集合から孤立点を取り除いていく感じ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  25. 25. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ. · · · だいたい閉集合から孤立点を取り除いていく感じ 特に,Baire 空間 N の閉集合については木を用いることで見 通しよく議論することが出来る. Definition 6 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  26. 26. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ. · · · だいたい閉集合から孤立点を取り除いていく感じ 特に,Baire 空間 N の閉集合については木を用いることで見 通しよく議論することが出来る. Definition 6 T ⊆ <ωω が ω 上の木 def ⇐==⇒ T は始切片について閉じている (i.e. s ∈ T, n < lh(σ) → s ↾ n ∈ T) 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  27. 27. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ. · · · だいたい閉集合から孤立点を取り除いていく感じ 特に,Baire 空間 N の閉集合については木を用いることで見 通しよく議論することが出来る. Definition 6 T ⊆ <ωω が ω 上の木 def ⇐==⇒ T は始切片について閉じている (i.e. s ∈ T, n < lh(σ) → s ↾ n ∈ T) [T] := { σ ∈ N : ∀n < ω, σ ↾ n ∈ T } の元を,T を貫く path (path through T, cofinal path in T)と呼ぶ. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  28. 28. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 一般にポーランド空間の閉集合は完全集合性質を持つ. · · · だいたい閉集合から孤立点を取り除いていく感じ 特に,Baire 空間 N の閉集合については木を用いることで見 通しよく議論することが出来る. Definition 6 T ⊆ <ωω が ω 上の木 def ⇐==⇒ T は始切片について閉じている (i.e. s ∈ T, n < lh(σ) → s ↾ n ∈ T) [T] := { σ ∈ N : ∀n < ω, σ ↾ n ∈ T } の元を,T を貫く path (path through T, cofinal path in T)と呼ぶ. A ⊆ N に対し,TA := { t ∈ <ωω : ∃τ ∈ A, τ ⊇ t } と置く 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  29. 29. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木と path ∅ ⟨0⟩ ⟨0, 1⟩ ⟨0, 1, 3⟩ ⟨0, 2⟩ ⟨0, 5⟩ ⟨0, 5, 3⟩ ⟨0, 5, 7⟩ ⟨1⟩ ⟨0, 1, 3, . . .⟩ , ⟨0, 5, 7, . . .⟩ , . . . . . . } [T] = { 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  30. 30. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木と path ∅ ⟨0⟩ ⟨0, 1⟩ ⟨0, 1, 3⟩ ⟨0, 2⟩ ⟨0, 5⟩ ⟨0, 5, 3⟩ ⟨0, 5, 7⟩ ⟨1⟩ ⟨0, 1, 3, . . .⟩ , ⟨0, 5, 7, . . .⟩ , . . . . . . } [T] = { 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  31. 31. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  32. 32. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 1 A は閉集合 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  33. 33. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  34. 34. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] Proof. τ ↾ 0 σ0 τ ↾ 1 σ1 τ ↾ n σn τ (2) ⇒ (1):T を木とする.f /∈ [T] とし,f ↾ n /∈ T となるような n を取れば, O(f ↾ n) ⊆ N [T] となるから [T] は閉集合. (1) ⇒ (2):A を閉集合とすると,閉集合は 極限について閉じていることに気を付ければ 右図から A = [TA] となることがわかる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  35. 35. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] Proof. τ ↾ 0 σ0 τ ↾ 1 σ1 τ ↾ n σn τ ∈ A (2) ⇒ (1):T を木とする.f /∈ [T] とし,f ↾ n /∈ T となるような n を取れば, O(f ↾ n) ⊆ N [T] となるから [T] は閉集合. (1) ⇒ (2):A を閉集合とすると,閉集合は 極限について閉じていることに気を付ければ 右図から A = [TA] となることがわかる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  36. 36. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] Proof. τ ↾ 0 σ0 τ ↾ 1 σ1 τ ↾ n σn τ ∈ A ∈ A (2) ⇒ (1):T を木とする.f /∈ [T] とし,f ↾ n /∈ T となるような n を取れば, O(f ↾ n) ⊆ N [T] となるから [T] は閉集合. (1) ⇒ (2):A を閉集合とすると,閉集合は 極限について閉じていることに気を付ければ 右図から A = [TA] となることがわかる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  37. 37. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] Proof. τ ↾ 0 σ0 τ ↾ 1 σ1 τ ↾ n σn τ ∈ A ∈ A ∈ A (2) ⇒ (1):T を木とする.f /∈ [T] とし,f ↾ n /∈ T となるような n を取れば, O(f ↾ n) ⊆ N [T] となるから [T] は閉集合. (1) ⇒ (2):A を閉集合とすると,閉集合は 極限について閉じていることに気を付ければ 右図から A = [TA] となることがわかる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  38. 38. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Baire 空間の閉集合と木 Lemma 7 A ⊆ N について次は同値: 1 A は閉集合 2 ∃T : ω上の木, A = [T] Proof. τ ↾ 0 σ0 τ ↾ 1 σ1 τ ↾ n σn τ ∈ A ∈ A ∈ A ∈ A (2) ⇒ (1):T を木とする.f /∈ [T] とし,f ↾ n /∈ T となるような n を取れば, O(f ↾ n) ⊆ N [T] となるから [T] は閉集合. (1) ⇒ (2):A を閉集合とすると,閉集合は 極限について閉じていることに気を付ければ 右図から A = [TA] となることがわかる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  39. 39. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全(perfect)である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  40. 40. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全(perfect)である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 f が A ⊆ N の集積点(f ∈ A { f })とはどいうことか? 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  41. 41. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全(perfect)である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 f が A ⊆ N の集積点(f ∈ A { f })とはどいうことか? DC は使えるので,「f でない値を取りながら f に収束する点 列が取れる」ということ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  42. 42. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全(perfect)である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 f が A ⊆ N の集積点(f ∈ A { f })とはどいうことか? DC は使えるので,「f でない値を取りながら f に収束する点 列が取れる」ということ Baire 空間の点列が収束する=「一致する桁数が延びていく」 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  43. 43. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全(perfect)である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 f が A ⊆ N の集積点(f ∈ A { f })とはどいうことか? DC は使えるので,「f でない値を取りながら f に収束する点 列が取れる」ということ Baire 空間の点列が収束する=「一致する桁数が延びていく」 ⇝ f が A の集積点 ⇔ ∀n < ω∃g ∈ A (g ̸= f ∧ g ↾ n = f ↾ n) 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  44. 44. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合の言い換え 閉集合 A が完全(perfect)である def ⇐==⇒ 孤立点を持たない ⇐⇒ A の全ての点が A の集積点 f が A ⊆ N の集積点(f ∈ A { f })とはどいうことか? DC は使えるので,「f でない値を取りながら f に収束する点 列が取れる」ということ Baire 空間の点列が収束する=「一致する桁数が延びていく」 ⇝ f が A の集積点 ⇔ ∀n < ω∃g ∈ A (g ̸= f ∧ g ↾ n = f ↾ n) そこで,木と閉集合の対応を鑑みて次のような定義をする: Definition 8 ω 上の木 T が完全 def ⇐==⇒ ∀t ∈ T ∃s, s′ ∈ T (s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′) (但し s ⊥ s′ def ⇐==⇒ s ̸⊆ s′ ∧ s ̸⊇ s′) 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  45. 45. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全な木のイメージ ∅ ⟨1⟩ ⟨1, 2⟩ ⟨1, 2, 0⟩ ⟨1, 2, 3⟩ ⟨1, 2, 7⟩ ⟨1, 3⟩ ⟨1, 3, 4⟩ 完全な木=(十分先を見れば)常に分岐しつづけているような木 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  46. 46. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木による完全集合の特徴付け Lemma 9 閉集合 A ⊆ N について次は同値: 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  47. 47. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木による完全集合の特徴付け Lemma 9 閉集合 A ⊆ N について次は同値: 1 TA は(木として)完全 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  48. 48. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木による完全集合の特徴付け Lemma 9 閉集合 A ⊆ N について次は同値: 1 TA は(木として)完全 2 A は完全集合 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  49. 49. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 木による完全集合の特徴付け Lemma 9 閉集合 A ⊆ N について次は同値: 1 TA は(木として)完全 2 A は完全集合 証明は右図から明らか. t0 s0 σ0 t1 s1 σ1 tn sn σn tn+1 τ n→∞ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  50. 50. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Cantor-Bendixon の定理 Theorem 10 (Cantor-Bendixon) Baire 空間の任意の閉集合は完全集合性質を持つ 証明の方針 1 今までの結果を踏まえて,対応する木 T が完全になるまで繰 り返し刈り込んでいけば良さそう. 2 T の濃度は高々可算だから,可算ステップで刈り込みの結果 は空になるか一定になる. 3 各ステップで刈り込んだ残りの木から得られる閉集合は必ず 高々可算であることを示す 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  51. 51. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  52. 52. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. いつも S′ が完全になるとは限らない: × × × 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  53. 53. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. いつも S′ が完全になるとは限らない: × × × 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  54. 54. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. いつも S′ が完全になるとは限らない: × × × 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  55. 55. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. いつも S′ が完全になるとは限らない: × × •′ ⇝ × 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  56. 56. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. いつも S′ が完全になるとは限らない: × × •′ ⇝ × 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  57. 57. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. いつも S′ が完全になるとは限らない: × × •′ ⇝ × •′ ⇝ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  58. 58. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:木の刈り込み ω 上の木 S に対し, S′ := { t ∈ T : ∃s, s′ ∈ T [s, s′ ⊇ t ∧ s ⊥ s′ ] } とおく.S から一本道を取り除く操作. いつも S′ が完全になるとは限らない: × × •′ ⇝ × •′ ⇝ S = S′ ̸= ∅ ⇐⇒ S は完全. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  59. 59. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って,刈り込み操作を繰返す: T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα(γ:極限順序数) 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  60. 60. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って,刈り込み操作を繰返す: T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα(γ:極限順序数) T ⊆ <ωω なので T は高々可算.よってこの反復は高々可算 ステップで終わる. つまり Tη = Tη+1 となるような η < ω1 が存在する. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  61. 61. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って,刈り込み操作を繰返す: T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα(γ:極限順序数) T ⊆ <ωω なので T は高々可算.よってこの反復は高々可算 ステップで終わる. つまり Tη = Tη+1 となるような η < ω1 が存在する. · · · さもないと,tξ ∈ Tξ Tξ+1 を取れば { tξ : ξ < ω1 } は非可算 濃度となり |T| ≤ ℵ0 に反する. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  62. 62. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って,刈り込み操作を繰返す: T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα(γ:極限順序数) T ⊆ <ωω なので T は高々可算.よってこの反復は高々可算 ステップで終わる. つまり Tη = Tη+1 となるような η < ω1 が存在する. · · · さもないと,tξ ∈ Tξ Tξ+1 を取れば { tξ : ξ < ω1 } は非可算 濃度となり |T| ≤ ℵ0 に反する. そこで Tη ̸= ∅ なら [Tη] は A に含まれる完全集合となる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  63. 63. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って,刈り込み操作を繰返す: T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα(γ:極限順序数) T ⊆ <ωω なので T は高々可算.よってこの反復は高々可算 ステップで終わる. つまり Tη = Tη+1 となるような η < ω1 が存在する. · · · さもないと,tξ ∈ Tξ Tξ+1 を取れば { tξ : ξ < ω1 } は非可算 濃度となり |T| ≤ ℵ0 に反する. そこで Tη ̸= ∅ なら [Tη] は A に含まれる完全集合となる. 残りの [T] [Tη] が高々可算であることを示せば証明が完了. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  64. 64. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:可算ステップでの終了 A = [T] なる T を取って,刈り込み操作を繰返す: T0 = T, Tα+1 = T′ α, Tγ = ∩ α<γ Tα(γ:極限順序数) T ⊆ <ωω なので T は高々可算.よってこの反復は高々可算 ステップで終わる. つまり Tη = Tη+1 となるような η < ω1 が存在する. · · · さもないと,tξ ∈ Tξ Tξ+1 を取れば { tξ : ξ < ω1 } は非可算 濃度となり |T| ≤ ℵ0 に反する. そこで Tη ̸= ∅ なら [Tη] は A に含まれる完全集合となる. 残りの [T] [Tη] が高々可算であることを示せば証明が完了. 定義から [T] [Tη] = ∪ α<η([Tα] [T′ α]) なので,各 [Tα] [T′ α] が可算であることが云えればよい. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  65. 65. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:刈り込んだ残りが可算 Claim 1 ω 上の任意の木 S について |[S] [S′]| ≤ ℵ0 Proof. σ ∈ [S] [S′] とすると σ ↾ n /∈ S′ となる最小の n が取れる 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  66. 66. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:刈り込んだ残りが可算 Claim 1 ω 上の任意の木 S について |[S] [S′]| ≤ ℵ0 Proof. σ ∈ [S] [S′] とすると σ ↾ n /∈ S′ となる最小の n が取れる そこで写像 s : [S] [S′] → <ωω を s(σ) := σ ↾ n で定める. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  67. 67. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:刈り込んだ残りが可算 Claim 1 ω 上の任意の木 S について |[S] [S′]| ≤ ℵ0 Proof. σ ∈ [S] [S′] とすると σ ↾ n /∈ S′ となる最小の n が取れる そこで写像 s : [S] [S′] → <ωω を s(σ) := σ ↾ n で定める. 対応 σ → s(σ) は単射となる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  68. 68. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:刈り込んだ残りが可算 Claim 1 ω 上の任意の木 S について |[S] [S′]| ≤ ℵ0 Proof. σ ∈ [S] [S′] とすると σ ↾ n /∈ S′ となる最小の n が取れる そこで写像 s : [S] [S′] → <ωω を s(σ) := σ ↾ n で定める. 対応 σ → s(σ) は単射となる. (∵) s(σ) = s(τ) /∈ S′ とすると,S′ の定義から s(σ), s(τ) より上の S の元は全順序で並んでいる.よって特に σ, τ の任意有限部 分は一致するから,結局 σ = τ となる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  69. 69. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明:刈り込んだ残りが可算 Claim 1 ω 上の任意の木 S について |[S] [S′]| ≤ ℵ0 Proof. σ ∈ [S] [S′] とすると σ ↾ n /∈ S′ となる最小の n が取れる そこで写像 s : [S] [S′] → <ωω を s(σ) := σ ↾ n で定める. 対応 σ → s(σ) は単射となる. (∵) s(σ) = s(τ) /∈ S′ とすると,S′ の定義から s(σ), s(τ) より上の S の元は全順序で並んでいる.よって特に σ, τ の任意有限部 分は一致するから,結局 σ = τ となる. よって [S] [S′] は <ωω に埋め込めるので,高々可算. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  70. 70. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか? 今までの議論から,N の閉集合は木として表現出来た 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  71. 71. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか? 今までの議論から,N の閉集合は木として表現出来た 木が完全である ⇐⇒ ある頂点から先を辿っていくと必ず二 つ以上に分岐している 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  72. 72. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか? 今までの議論から,N の閉集合は木として表現出来た 木が完全である ⇐⇒ ある頂点から先を辿っていくと必ず二 つ以上に分岐している ⇝ A が完全集合なら,完全二分木 <ω2 から TA への(順序を保 つ)単射が存在する 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  73. 73. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか? 今までの議論から,N の閉集合は木として表現出来た 木が完全である ⇐⇒ ある頂点から先を辿っていくと必ず二 つ以上に分岐している ⇝ A が完全集合なら,完全二分木 <ω2 から TA への(順序を保 つ)単射が存在する ⇝ 完全二分木の path は連続体濃度.よって TA の path として 表現出来る A の濃度も連続体濃度 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  74. 74. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか? 今までの議論から,N の閉集合は木として表現出来た 木が完全である ⇐⇒ ある頂点から先を辿っていくと必ず二 つ以上に分岐している ⇝ A が完全集合なら,完全二分木 <ω2 から TA への(順序を保 つ)単射が存在する ⇝ 完全二分木の path は連続体濃度.よって TA の path として 表現出来る A の濃度も連続体濃度 ⇝ A が完全集合性質を持つ =⇒ A は非可算なら連続体濃度 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  75. 75. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 完全集合性質は何故大事なのか? 今までの議論から,N の閉集合は木として表現出来た 木が完全である ⇐⇒ ある頂点から先を辿っていくと必ず二 つ以上に分岐している ⇝ A が完全集合なら,完全二分木 <ω2 から TA への(順序を保 つ)単射が存在する ⇝ 完全二分木の path は連続体濃度.よって TA の path として 表現出来る A の濃度も連続体濃度 ⇝ A が完全集合性質を持つ =⇒ A は非可算なら連続体濃度 ⋆ informal には,より多くの集合が完全集合性質を持てば,そ れだけ連続体仮説の信憑性が高まる 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  76. 76. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で,集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た.この論法を一般化出来ないだろうか? 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  77. 77. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で,集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た.この論法を一般化出来ないだろうか? Definition 11 α ≥ ω とする. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  78. 78. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で,集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た.この論法を一般化出来ないだろうか? Definition 11 α ≥ ω とする. T が ω × α 上の木 def ⇐==⇒ T ⊆ ∪ n<ω nω × nα であり,T は始 切片について閉じている. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  79. 79. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で,集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た.この論法を一般化出来ないだろうか? Definition 11 α ≥ ω とする. T が ω × α 上の木 def ⇐==⇒ T ⊆ ∪ n<ω nω × nα であり,T は始 切片について閉じている. [T] := { (σ, τ) ∈ ωω × ωα : ∀n < ω (σ ↾ n, τ ↾ n) ∈ T } の元を T を貫く path(path through T)と呼ぶ. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  80. 80. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で,集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た.この論法を一般化出来ないだろうか? Definition 11 α ≥ ω とする. T が ω × α 上の木 def ⇐==⇒ T ⊆ ∪ n<ω nω × nα であり,T は始 切片について閉じている. [T] := { (σ, τ) ∈ ωω × ωα : ∀n < ω (σ ↾ n, τ ↾ n) ∈ T } の元を T を貫く path(path through T)と呼ぶ. p[T] := { σ ∈ N : ∃τ ∈ ωα, ⟨σ, τ⟩ ∈ [T] } を T の射影と呼ぶ 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  81. 81. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と木 木を使った見通しの良い議論で,集合が好ましい性質を持つこと を証明出来た.この論法を一般化出来ないだろうか? Definition 11 α ≥ ω とする. T が ω × α 上の木 def ⇐==⇒ T ⊆ ∪ n<ω nω × nα であり,T は始 切片について閉じている. [T] := { (σ, τ) ∈ ωω × ωα : ∀n < ω (σ ↾ n, τ ↾ n) ∈ T } の元を T を貫く path(path through T)と呼ぶ. p[T] := { σ ∈ N : ∃τ ∈ ωα, ⟨σ, τ⟩ ∈ [T] } を T の射影と呼ぶ x ∈ N に対し Tx := { s ∈ <ωα : (x ↾ lh(s), s) ∈ T } とおく 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  82. 82. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 ω × α 上の木 α ω α ω α ω ω × ω 上の木の概念図 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  83. 83. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 ω × α 上の木 α ω α ω α ω 木を貫く path を取り各頂点を ω 軸に射影したものが p[T] 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  84. 84. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 I Definition 12 A ⊆ N が解析的 def ⇐==⇒ ∃T : tree on ω × ω, A = p[T] 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  85. 85. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 I Definition 12 A ⊆ N が解析的 def ⇐==⇒ ∃T : tree on ω × ω, A = p[T] Σ1 1 := { A ⊆ N : A は解析的 } 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  86. 86. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 I Definition 12 A ⊆ N が解析的 def ⇐==⇒ ∃T : tree on ω × ω, A = p[T] Σ1 1 := { A ⊆ N : A は解析的 } A が補解析的(coanalytic) def ⇐==⇒ A は解析的集合の補集合 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  87. 87. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 I Definition 12 A ⊆ N が解析的 def ⇐==⇒ ∃T : tree on ω × ω, A = p[T] Σ1 1 := { A ⊆ N : A は解析的 } A が補解析的(coanalytic) def ⇐==⇒ A は解析的集合の補集合 Π1 1 := { A ⊆ N : A は補解析的 } , ∆1 1 := Σ1 1 ∩ Π1 1 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  88. 88. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 I Definition 12 A ⊆ N が解析的 def ⇐==⇒ ∃T : tree on ω × ω, A = p[T] Σ1 1 := { A ⊆ N : A は解析的 } A が補解析的(coanalytic) def ⇐==⇒ A は解析的集合の補集合 Π1 1 := { A ⊆ N : A は補解析的 } , ∆1 1 := Σ1 1 ∩ Π1 1 { As ⊆ N : s ∈ <ωω } が s ⊆ t → As ⊇ At を満たす時,Suslin 演算 AsAs を次で定義する: As As := ∪ σ∈ωω ∩ n<ω Aσ↾n 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  89. 89. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 Suslin 演算のイメージ 各頂点に点集合が割り当てられていて,レベル毎にどんどん 細かくなっていく それが「収束」する先を全部集める 「収束」といっても一点になる訳ではない p[T] の操作と似ている 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  90. 90. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合と Suslin 演算 II Lemma 13 A ⊆ N に対し,次は同値: 1 A は解析的 2 閉集合の族 { As ⊆ N : s ∈ <ωω } が存在し,A = As As 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  91. 91. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 補題の証明 I まずは p[T] が実際に A で書けることを観察する. p[T] = { σ ∈ N : ∃τ ∈ ω ω, ⟨σ, τ⟩ ∈ [T] } = { σ ∈ N : ∃τ ∈ ω ω∀n < ω, ⟨σ ↾ n, τ ↾ n⟩ ∈ T } そこで AT s := { σ ∈ N : (σ ↾ lh(s), s) ∈ T } とおけば, = { σ ∈ N : ∃τ ∈ ω ω∀n < ω, σ ∈ AT τ↾n } = ∪ τ∈<ωω ∩ n<ω AT τ↾n = A t AT t 以上を踏まえて証明する. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  92. 92. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 補題の証明 II Proof. 解析的 ⇒ 閉集合の Suslin 演算.A = p[T] とすれば,あとは上の 各 AT t が閉集合であることが云えればよい.これは,適当な収束 点列を持ってきた時,十分先の方を見てやれば長さ lh(s) までは 変化がないように出来る事から明らか. 閉集合の Suslin 演算 ⇒ 解析的.T := { (x ↾ lh(s), s) : x ∈ As } と 置けばよい. この特徴付けにより,一般のポーランド空間で解析的集合を定義 することも出来る. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  93. 93. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の完全集合性質 このように解析的集合を定義すれば,先程の Cantor-Bendixon の定理を解析的集合に一般化するのは容易い. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  94. 94. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の完全集合性質 このように解析的集合を定義すれば,先程の Cantor-Bendixon の定理を解析的集合に一般化するのは容易い. ω × α 上の木の射影として表せる集合を α-Suslin 集合と呼ぶ ことにすれば,より一般に次が示せる: 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  95. 95. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の完全集合性質 このように解析的集合を定義すれば,先程の Cantor-Bendixon の定理を解析的集合に一般化するのは容易い. ω × α 上の木の射影として表せる集合を α-Suslin 集合と呼ぶ ことにすれば,より一般に次が示せる: Theorem 14 A ⊆ N が κ-Suslin かつ |A| > κ なら A は完全集合を含む. Proof. 明らか. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  96. 96. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の例 解析的集合にはどのような物があるのだろうか? 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  97. 97. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の例 解析的集合にはどのような物があるのだろうか? Theorem 15 Borel 集合は解析的であり,更に補解析的でもある.よって ∆1 1 で ある. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  98. 98. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 解析的集合の例 解析的集合にはどのような物があるのだろうか? Theorem 15 Borel 集合は解析的であり,更に補解析的でもある.よって ∆1 1 で ある. 証明の方針 Σ1 1 が開・閉集合を含み,可算和・可算共通部分について閉じる事 を示せば良い.Baire 空間の基本開集合は閉集合でもあったので, 1 Σ1 1 は可算和・可算共通部分について閉じている 2 Σ1 1 は閉集合を含む の二つを示せば十分.Borel 集合が補集合について閉じることか ら補解析的であることも従う. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  99. 99. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 閉集合は解析的.ω 上の木 T に対し T′ := { (t, t) : t ∈ T } とお けば p[T′] = [T]. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  100. 100. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 閉集合は解析的.ω 上の木 T に対し T′ := { (t, t) : t ∈ T } とお けば p[T′] = [T]. 各 Tn を ω × ω 上の木として,An = p[Tn] とおく. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  101. 101. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 閉集合は解析的.ω 上の木 T に対し T′ := { (t, t) : t ∈ T } とお けば p[T′] = [T]. 各 Tn を ω × ω 上の木として,An = p[Tn] とおく. 可算和.ここで, T := { (s, t) : ∃n < ω [t = n ⌢ t′ ∧ (s ↾ lh(t′ ), t′ ) ∈ Tn] } とおけば,これは木で,明らかに p[T] = ∪ n p[Tn]. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  102. 102. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 閉集合は解析的.ω 上の木 T に対し T′ := { (t, t) : t ∈ T } とお けば p[T′] = [T]. 各 Tn を ω × ω 上の木として,An = p[Tn] とおく. 可算和.ここで, T := { (s, t) : ∃n < ω [t = n ⌢ t′ ∧ (s ↾ lh(t′ ), t′ ) ∈ Tn] } とおけば,これは木で,明らかに p[T] = ∪ n p[Tn]. 可算共通部分.第二引数につき単調な全単射 e : ω × ω → ω を取 る.t ∈ <ωω に対し,t(n) := ⟨te(n,ℓ)|e(n, ℓ) < lh(t)⟩ として, T := { (s, t) : ∀n < ω [(s ↾ lh(t(n) ), t(n) ) ∈ Tn] } とおけば,これは木で,p[T] = ∩ n p[Tn] となる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  103. 103. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 e による可算個の列の統合の概念図 t(0) t(1) t(2) t(3) t(4) 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  104. 104. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 ∆1 1 集合と Borel 集合 先程の定理の「逆」も成立する: Theorem 16 ∆1 1-集合は Borel 集合である.従って ∆1 1 は Borel 集合全体と一致 する. これは先程の定理と,次の定理から従う: Theorem 17 (Σ1 1-分離原理) 任意の二つの互いに交わらない解析的集合は Borel 集合により分 離出来る.即ち, ∀A, B ∈ Σ1 1 [A ∩ B = ∅ → ∃C : Borel, A ⊆ C ∧ B ⊆ Cc ] 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  105. 105. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 I A = p[T], B = p[S] とする.各 s, t ∈ <ωω に対し, As t := { x ∈ A : s ⊆ x ∧ ∃y (t ⊆ y ∧ (x, y) ∈ [T]) } Bs t := { x ∈ B : s ⊆ x ∧ ∃y (t ⊆ y ∧ (x, y) ∈ [S]) } とおく.各 As t , Bs t はそれぞれ (s, t) の収束先に含まれているよう な点全体であり,特に定義から A∅ ∅ = A, B∅ ∅ = B となっている. また,常に (s, t) ∈ T ⇒ As t = ∪ { As⌢n t⌢m : (s ⌢ n, t ⌢ m) ∈ T } が成立している(S, Bs t についても同様).以下 A, B が分離されな いとして矛盾を導く(背理法). 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  106. 106. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明 II まずは次を示す: Claim 2 A = ∪ n<ω An, B = ∪ k<ω Bk とする.A が Borel 集合で分離できな いなら,An, Bk が分離出来ないような n, k が存在する. Proof. 対偶を示す.各 An, Bk が Borel 集合で分離出来るなら, ∪ n An, ∪ k Bk も分離出来る事を示せばよい.そこで,Dn k を An, Bk を分離する Borel 集合とする.すると, D := ∪ n<ω ∩ k<ω Dn k が A, B を分離する Borel 集合となる. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  107. 107. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  108. 108. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  109. 109. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  110. 110. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  111. 111. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  112. 112. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  113. 113. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  114. 114. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 覆っているイメージ A B A0 A1 A2 · · · B0 B1 B2 · · · D0 0 D0 1 D0 2 D0 k ∩ k D0 k ∪ n ∩ k Dn k 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  115. 115. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明(続き) I ここで,As t = ∪ n,k<ω As⌢n t⌢k, Bs t = ∪ n,k<ω Bs⌢n t⌢k が成立することに 気をつけると,次を満たすような x, y, u, v ∈ N が取れる: (x, y) ∈ [T] ∧ (u, v) ∈ [S] ∧ ∀n < ω, [Ax↾n y↾nと Bu↾n v↾n は分離不能] (*) n = 0 の時は,背理法の仮定から A = A∅ ∅ と B = B∅ ∅ が分離不能で あることから常に成立している.x, y, u, v の n 桁目までが定まっ たとすれば,先程の補題から,Ax↾n⌢k y↾n⌢ℓ と Bu↾n⌢m v↾n⌢i が分離不能とな るような k, ℓ, m, i < ω が存在しなければならない.そこでそんな k, ℓ, m, i を取って,x, y, u, v の (n + 1) 桁として定めればよい. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  116. 116. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 証明(続き) II すると,取り方から x ∈ A = p[T], u ∈ B = p[S] であり, A ∩ B = ∅ より x ̸= u である.Baire 空間は完備距離化可能空間で あり,従って特に Hausdorff 空間なので,x, u の基本開近傍 U = O(x ↾ jx ), V = O(u ↾ ju) で U ∩ V = ∅ となるものが取れる. そこで改めて j := max{jx , ju} とおけば,明らかに Ax↾j y↾j ⊆ U かつ Bu↾j v↾j ⊆ V .よって Ax↾j y↾j と Bu↾j v↾j は Borel 集合 U により分離される ことになり,(*) に反する. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  117. 117. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 普遍 Σ1 1 集合 I ∆1 1 集合は Borel 集合となることがわかった. ? Σ1 1 だが Π1 1 でないような集合は存在するのか? · · · 次の普遍 Σ1 1 集合を使った対角線論法で示される: Fact 18 N2 の Σ1 1 集合 B で次を満たす物が存在する: ∀A ⊆ N [A ∈ Σ1 1 ⇐⇒ ∃z ∈ N A = { x : (x, z) ∈ B }] このような B を普遍 Σ1 1 集合と呼ぶ. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  118. 118. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 普遍 Σ1 1 集合 II ⋆ この時,A = { x ∈ N : (x, x) ∈ B } は Σ1 1 だが Π1 1 ではない. (∵) A が Π1 1 だとすると,Ac = { x ∈ A : (x, x) /∈ B } は Σ1 1.する と B は普遍 Σ1 1 集合なので ∀x ∈ N [(x, x) /∈ B ⇐⇒ (x, z) ∈ B] を満たす z ∈ N が存在 する.特に x = z とおけば,(z, z) /∈ B ⇐⇒ (z, z) ∈ B とな り矛盾.よって A は Π1 1 ではない. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  119. 119. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 普遍 Σ1 1 集合の存在 I ωk × ω 上の木の概念は ω × ω 上の木と同様に定義出来る. pk[T] := { u ∈ Nk : ∃z ∈ N (u ⌢ z ∈ [T]) } Nk の Σ1 1 集合は pk[T] の形で書ける集合と定義する. 普遍 Σ1 1 集合は N2 の部分集合なので,ω2 × ω 上の木の射影 として定義したい そこで,有限木を有限列でコードすることを考える. e : <ωω × <ωω → ω を,∀n < ω, e(s ↾ n, t ↾ n) ≤ e(s, t) を満 たすような単射とする. u ∈ <ωω が有限木のコード def ⇐==⇒ Tu := { (s, t) : lh(s) = lh(t) < ω ∧ e(s, t) < lh(u) → u(e(s, t)) = 1 } が有限木 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  120. 120. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 普遍 Σ1 1 集合の存在 II ここで T := { (s, u, t) : u は有限木のコード∧ ∀i<ω [e(s↾i,t↾i)<lh(u)→u(e(s↾i,t↾i))=1] } と定めれば,T は ω2 × ω 上の木. そこで B = p2[T] と置けば,これが求めるものとなる. (x, σ, y) ∈ [T] とすれば,σ が ω × ω 上の木の witness であり, (x, y) ∈ Tσ となっている. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  121. 121. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 射影階層 Σ1 1 や Π1 1 集合の射影を取って,射影階層を定義出来る: Definition 19 Σ1 1(Nk ) := { pk[T] ⊆ N : T はωk × ω上の木 } Π1 1(Nk ) := { N A : A ∈ Σ1 1(Nk ) } Σ1 n+1(Nk ) := { ∃N B : B ∈ Π1 n(Nk+1 ) } Π1 n+1(Nk ) := { N A : A ∈ Σ1 n+1(Nk ) } ∆1 n(Nk) := Σ1 n(Nk) ∩ Π1 n(Nk) 但し A ⊆ Nk+1 に対し ∃N A = { (s1, . . . , sk) : ∃z ∈ N(s1, . . . , sk, z) ∈ A }. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  122. 122. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 記述集合論とは Baire 空間の閉集合と木 Cantor-Bendixon の定理 解析的集合と木 普遍 Σ1 1 集合 射影集合と Solovay-Shelah の結果(予告) 以下,これから学ぶこと. Solovay:κ が到達不能基数で G が Col(ω, < κ)-generic / V の時,V [G] において順序数を用いて定義可能な実数の集合 は Lebesgue 可測性,Baire の性質,完全集合性質を持つ. ⇝ ここで示した「あるクラスの集合が好ましい性質を持つ」こ との拡張的な結果と見れる Shelah:任意の Σ1 3 集合が Lebesgue 可測なら,任意の実数 z について ωV 1 は L[z] で到達不能基数になっている. ここまでの内容で,記述集合論に属する部分について上の主 張の意味は理解できるようになった. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  123. 123. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 参考文献 I Thomas Jech. Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer Monographs in Mathematics. Springer, 2002. Alexander S. Kechris. Classical Descriptive Set Theory. English. 1st ed. Vol. 156. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag New York, Inc., 1995. isbn: 978-1-4612-8692-9. Kenneth Kunen. Set Theory. Vol. 34. Mathematical Logic and Foundations. College Publications, 2011. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合
  124. 124. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 事前知識 記述集合論:解析的集合と木 参考文献 参考文献 II Yiannis N. Moschovakis. Descriptive Set Theory. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, 2009. isbn: 978-0821848135. Ralf Schindler. Set Theory: Exploring Independence and Truth. Universitext. Springer International Publishing Switzerland, 2014. isbn: 978-3-319-06724-7. 石井大海 Lebesgue 可測性に関する Solovay-Shelah の結果に必要な記述集合

×