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How wonderfulto be (statically) typed∼（静的に）型がつくってスバラシイ∼ 石井 大海

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自己紹介• 石井 大海 (id:mr_konn / @mr_konn)• 早稲田大学数学科三年 • 集合論や論理学、圏論に興味• 2010 Summer Intern から PFI でバイト中• Haskell Lover • Haskell でウェブ開発などしている

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本日のお題：型• 型がつくと何が嬉しいのか？• 型・・・むずかしそう • ムツカシイ理論ではなく応用例の紹介 • Haskell の布教ではない • 静的型付けの布教です。

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Table of Contents• 型とは何か？──型付け、型推論、型安全• wonderful な型たち──型の表現力と応用 • いいとこ取り多相──型クラス • 型レベル函数：型族──キャスト、Map共通化など • そっちは残像だ──幽霊型はタグ • 洒落た多相の使い方──多相型でリーク防止 • Haskell、昇進す。──Data Kinds• その型、強力につき──依存型と証明

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Table of Contents• 型とは何か？──型付け、型推論、型安全• wonderful な型たち──型の表現力と応用 • いいとこ取り多相──型クラス • 型レベル函数：型族──キャスト、Map共通化など • そっちは残像だ──幽霊型はタグ • 洒落た多相の使い方──多相型でリーク防止 • Haskell、昇進す。──Data Kinds• その型、強力につき──依存型と証明

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型とは何か？──型付け、型推論、型安全──

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型とは何か？“データ型（でーたがた、data type）とは、コンピュータにおけるデータの扱いに関する形式のことである。データタイプとも。データ型は、プログラミングなどにおいて変数そのものや、その中に代入されるオブジェクトや値が対象となる。” ── データ型 - Wikipedia

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型とは何か？• つまり？ • 値の種類を区別するタグのようなもの• 世の言語は大きく「型付き言語」と「型無 し言語」に大別出来る • 型付き・・・C, Ruby, Haskell, LISP, Smalltalk... • 型無し・・・Brainf*ck, Lazy-K, ...

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型なし……？• 実用的なプログラミング言語は全部型がついてる気が する。 • Tcl ：すべては文字列。でも実際には型別の内部表現 を持っている（らしい）。• そもそもの untyped・・・Untyped Lambda Calculus• 型あり言語の分類 • 動的型付け・・・LISP, Ruby, Smalltalk, JavaScript... • 静的型付け・・・Java, C, Haskell, OCaml, ...

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型なし vs. 動的型

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動的と静的の違い• 動的型付け • 型検査は実行時に行われる • (compile-time) untyped と云える？ • 以後「型なし」は「動的型付け」の alias とする • インタプリタ言語はこれが多い• 静的型付け • 型検査はコンパイル時に行われる • 型が合わないものは実行する前に弾かれる

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型検査• 演算の値の型が合っているか検査• 合っていなかったら？ • 言語によって弾いたり、キャストした りする。→ 型安全性

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型安全性？• ナイーヴな定義：「型検査を通ったものが変な挙 動をしない」• ちょっと厳密な定義 • Preservation: 型が評価の順番に依らない • Progress: 型が付いたら「刺さらない」 • 「刺さらない」ってなんや（意味論による）

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型安全性と言語• Haskell……型安全と云ってよい • 黒魔術を使わなければ型安全 • 停止性を込めると型安全じゃない • f x = f (f x) みたいなコードも型は付くが停止し ない• C……型安全じゃない！ • cast や printf(“%s”, 12); などあぶない

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型推論• 函数の型を自動的に推論してくれる機能• 型推論なし・・・C, Java, ...• 型推論あり・・・Haskell, Scala, OCaml, ... • 健全性とか完全性とか色々概念があるらしいです がぶっちゃけよくわからない • 色んな強さの型推論がある、と云うことで。 • コンパイラが付けられない部分は手で注釈

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ここからは• 静的型付け、型推論あり言語の布教• かつある程度の型安全性を持つ言語 • Preserve は当然仮定 • 停止しないくらいは許す • SEGV ったりしない、程度。

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その前に……なぜ型？• 型はドキュメント • 型を見れば（ある程度）挙動がわかる • 勿論 Int → Int とか見せられてもわか らない ^^;（でも無いよりマシ）• 型検査通ればある程度正しく動く • どの程度？→型の表現力による！

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型はドキュメント• SMTP 通信用の型• 複数値を取るリスト型や、値を取らないかも しれない Maybe 型などが雄弁に語る data SMTPCommand = HELO ByteString | EHLO ByteString | MAIL Path [(ByteString, ByteString)] | RCPT Path [(ByteString, ByteString)] | DATA ByteString | RSET | VRFY ByteString | EXPN ByteString | HELP (Maybe ByteString) | NOOP (Maybe ByteString) | QUIT data Path = Path [ByteString] Mailbox | Empty

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型はドキュメント• 各 ByteString が何を指すのかわからない…… • 型に別名を付けるとわかりやすい！ • 中身としては同じ。見通しはよくなる type Domain = ByteString type Param = (ByteString, ByteString) data SMTPCommand = HELO Domain | EHLO Domain | MAIL Path [Param] | RCPT Path [Param] | DATA ByteString | RSET | VRFY ByteString | EXPN ByteString | HELP (Maybe ByteString) | NOOP (Maybe ByteString) | QUIT data Path = Path [Domain] Mailbox | Empty

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wonderful な型たち ──型の表現力と応用──

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型クラス• Ad-hoc 多相を実現する機構 • 複数の型に共通な演算をオーバーロード • cf. Parametric 多相：共通の「実装」を共有する• 代替手法 • 強力なモジュールシステム（like Alloy, Agda, OCaml, ...） • プリプロセッサ（camlp4?）

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数値型クラス class (Eq a, Show a) => Num a where (+), (-), (*) :: a -> a -> a negate :: a -> a abs :: a -> a signum :: a -> a fromInteger :: Integer -> a x - y = x + negate y negate x = 0 - x• 数値としての特徴を持つ型のクラス• 加減乗除、反転、絶対値、数字からの変換など• Num である為には Eq, Show でもある必要がある • 型クラスは、型への「制約」「述語」として考えられる

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ファンクタ型クラス class Functor f where fmap :: (a -> b) -> f a -> f b• 普通の函数を「持ち上げ」られるコンテナのよう なもの • []、Maybe、IO などなど• Maybe a は値を持つが、 Maybe は値を持たない • Maybe :: * → * ：型を受けとって型を返す「函 数」みたいなもの

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多引数型クラスの例 class Monad m => MonadState s m | m -> s where get :: m s get = state (s -> (s, s)) put :: s -> m () put s = state (_ -> ((), s)) state :: (s -> (a, s)) -> m a state f = do s <- get let ~(a, s) = f s put s return a• 「m は内部状態 s を持つモナド」 • （モナド=すごいコンテナ）• m を決めると s が決まる：「m → s」関数従属性

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型クラス：まとめ• 型の述語のようなもの• Ad-hoc 多相を綺麗に実現する• 函数従属性で依存関係を記述出来る

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型族• 型レベル函数のようなもの• 型別名を付けるものと、データを新た に定義するもの• 型クラスに付随する型族

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例1: MonadStateの書き換え class Monad m => MonadState m where type State m :: * get :: m (State m) get = state (s -> (s, s)) put :: State m -> m () put s = state (_ -> ((), s)) state :: (State m -> (a, State m)) -> m a state f = do s <- get let ~(a, s) = f s put s return a• State m が今までの s• 型名がドキュメントの役割を果している• 複雑なFunDepsを無くし、かつ一引数クラスで書ける

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例2：演算キャスト class Add a b where type SumType a b add :: a -> b -> SumType a b instance Add Int Int where type SumType Int Int = Int add = (+) instance Add Int Double where type SumType Int Double = Double a `add` b = fromIntegral a + b• 二つの型の足し算を定義• SumType はキャストされた結果の型

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例3：マップの一般化 lass Key k where data Map k :: * -> * empty :: Map k v lookup :: k -> Map k v -> Maybe v insert :: k -> v -> Map k v -> Map k v instance Key Int where newtype Map Int a = IMap (IM.IntMap a) empty = IMap IM.empty lookup k (IMap d) = IM.lookup k d insert k v (IMap d) = IMap $ IM.insert k v d instance Key ByteString where newtype Map ByteString a = BSMap (Trie a) instance (Key a, Key b) => Key (a, b) where newtype Map (a, b) v = TMap (Map a (Map b v))• 辞書構造をキーの型によって使いわけ

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洒落た多相の使い方• いままでの多相型の使い方 • ad-hoc • 複数の型に共通な操作を抽象化。 • Num, Functor, Monad,... • parametric • 中身を抽象化したコンテナなど • リスト, Map, a → a, ...

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残像だ──幽霊型• 幽霊型(phantom types) • 実際のデータ定義に出て来ない型引数 を取る型• データにタグを付けることが出来る• GADTs と云う機構を使って制御出来る

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例：構文木• 型付き言語の構文木を書きたい data Expr = Zero | Succ Expr | Plus Expr Expr | Yes | No | IsZero | Apply Expr Expr eval :: Expr -> Expr eval Zero = Zero eval (Succ a) = Succ $ eval a eval (Plus a (eval -> Zero)) = eval a eval (Plus a (eval -> Succ b)) = Succ $ eval $ Plus a b eval Yes = Yes eval No = No eval (Apply IsZero (eval -> Zero)) = Yes eval (Apply IsZero _) = No eval IsZero = IsZero eval _ = error "type error"

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実行例 ghci> eval (Plus Zero (Succ (Succ Zero))) Succ (Succ Zero) ghci> eval (Plus (Succ Zero) (Succ (Succ Zero))) Succ (Succ (Succ Zero)) ghci> eval (Apply IsZero (Succ Zero)) No ghci> eval (Apply IsZero (Plus Zero Zero)) Yes ghci> eval (Plus Yes Zero) Yes ghci> eval (Apply IsZero (Succ Yes)) No ghci> eval (Plus Zero Yes) *** Exception: type error• 型があわないのが実行時エラーになる• 素朴にやるとエラーが……。一々チェック？

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型チェック通ったら落ちて欲しくない…

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処理系にやらせましょう。

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例：型付き構文木 data Expr a where Zero :: Expr Int Succ :: Expr Int -> Expr Int Plus :: Expr Int -> Expr Int -> Expr Int Yes :: Expr Bool No :: Expr Bool IsZero :: Expr (Int -> Bool) Apply :: Expr (a -> b) -> Expr a -> Expr b eval :: Expr a -> Expr a eval (Succ a) = Succ (eval a) eval (Plus a b) = eval a eval (Plus a (eval -> Succ b)) = Succ (eval $ Plus a b) eval (Apply IsZero (eval -> Zero)) = Yes eval (Apply IsZero (eval -> Succ _)) = No eval a = a• 各コンストラクタに型が付加されている • 変な構文木を弾いてくれる！

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型引数、更には幽霊型の威力

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型引数の威力• 型引数は「階層の区別」に使える • タグとしての型引数• 「ランク2多相」と組み合わせると、安 全なメモリアクセスやリソース管理に 使える

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Rank 2 多相？• 多相函数を引数に取れる型拡張 • Haskell の総称プログラミングライブ ラリSYBなどにも使われる • ここではちょっと違った例を見ます。

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ST Monad• State thread: メモリを用いた高速な状態 更新をするための機構• Haskell は pure なので外に inpure な操作 が漏れないようにしたい

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ST Monaddata ST s a-- 内部状態 s を持ち、a の値を返す演算。data STRef s a-- 内部状態 s を持ち、a の値を保持する可変値。-- これも s を漏らしてはいけない。newSTRef :: a -> ST s (STRef s a)-- 新しい STRef を作る。その際 ST と STRef の内部状態は統一する。readSTRef :: STRef s a -> ST s awriteSTRef :: STRef s a -> a -> ST s ()modifySTRef :: STRef s a -> (a -> a) -> ST s ()-- STRef を読み書きするための函数。ST内部でしか使えない。runST :: (forall s. ST s a) -> a-- ST 演算を実行して、結果を返す函数。-- 内部状態は捨てられるので純粋性は保たれる。

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利用例 f str = do ref <- newSTRef str modifySTRef ref (++ ", that is the value") readSTRef ref main :: IO () main = do print $ runST $ f "hoge"• 簡単な例• 破壊的代入を行えるので、STArray など 高速な配列演算を行うための型もある• Bloom Filter の実装などにも使われる

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外部に漏れない？ leaker str = do ref <- newSTRef str modifySTRef ref (++ ", that is the value") return ref main :: IO () main = do let ref = runST $ leaker "hoge" print $ runST $ anotherEvilSToperation ref• STRef を外に返すような函数を書けば漏 れるんじゃないの？

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コンパイルしてみる /Users/hiromi/pfi/seminar-20120411/test01.lhs:121:11: Couldnt match type `a0 with `STRef s [Char] because type variable `s would escape its scope This (rigid, skolem) type variable is bound by a type expected by the context: ST s a0 In the second argument of `($), namely `leaker "hoge" In the second argument of `($), namely `runST $ leaker "hoge" In the expression: print $ runST $ leaker "hoge" Failed, modules loaded: none.• STRef s [Char] の s は ST の内部状態と同じ• s は runST :: (forall s. ST s a) → a の引数内側で束縛 • 何でもいい、だからこそ何だかわからない！

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ちょっと理由説明• runST :: (forall s. ST s (STRef s a)) → forall s. STRef s a • と云う型じゃだめなの？• 束縛変数の記号を変えてもいいので……• (forall s’. ST s’ (STRef s’ a)) → forall s. STRef s a • と書き換えることも出来て、型があわない

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さらに応用：リソース管理• 問題：Handle など scarce なリソースはすぐに解放した い • リソース取得と解放とが同順とは限らない • 解放したリソースを外でアクセス出来ないようにし たい• 「リージョン」を使う！ • 同一リージョン中は割り当てたリソースが使用可 能、抜けると解放しアクセス不可能に

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実装方針• ST を真似て Rank 2 多相で leak を防ぐ • 内部状態ではなくただのタグ、幽霊型• 同順じゃなく解放するには？ • リージョンをネスト • 型クラス+モナド変換子で親リージョ ンのリソースを割り当てられるように

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実装newtype RIO s a = RIO (ReaderT (IORef [Handle]) IO a) deriving (Functor, Monad, MonadReader (IORef [Handle]))newtype RHandle s = RHandle HandlerunRIO :: (forall s. RIO s a) -> IO arunRIO (RIO act) = bracket (newIORef []) (readIORef >=> mapM_ hClose) $ runReaderT actopenFileR :: FilePath -> IOMode -> RIO s (RHandle s)openFileR fp mode = do h <- RIO $ liftIO $ openFile fp mode RIO $ ReaderT $ ref -> liftIO $ modifyIORef ref (h:) return (RHandle h) • 開いたハンドルへの参照を持っておく • 終了時に解放するようにする • ハンドルは全てRHandle の形で扱い、閉じれない

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使ってみる test = do h <- openFileR "conf.txt" ReadMode str <- hGetLineR h putStrLnR str main = runRIO test• 型は省略しても推論してくれる(!!)• 上の実装だと一リージョンしか扱えな いが、型クラスによってネスト出来る

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やりたい例 RIO s IO RIO t (RIO s IO)

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やりたい例1 ファイル1を開く h1 :: RHandle s RIO s IO RIO t (RIO s IO)

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やりたい例1 ファイル1を開く h1 :: RHandle s RIO s IO RIO t (RIO s IO)

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やりたい例 1 ファイル1を開く h1 :: RHandle s RIO s IO RIO t (RIO s IO) h1 2 設定ファイルを開くを渡す

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やりたい例 1 ファイル1を開く h1 :: RHandle s RIO s IO RIO t (RIO s IO) h1 2 設定ファイルを開く h2, hc :: RHandle tを渡す 3 ファイル2の位置を読み、開く

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やりたい例 1 ファイル1を開く h1 :: RHandle s RIO s IO RIO t (RIO s IO) h1 2 設定ファイルを開く h2, hc :: RHandle tを渡す 3 ファイル2の位置を読み、開く 4 ファイル3を（親リージョンで）開く h3 :: RHandle s

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やりたい例 1 ファイル1を開く h1 :: RHandle s RIO s IO RIO t (RIO s IO) h1 2 設定ファイルを開く h2, hc :: RHandle tを渡す 3 ファイル2の位置を読み、開く 4 ファイル3を（親リージョンで）開く h3 :: RHandle s 5 1, 2の内容を交互に3へ書き込む

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やりたい例 1 ファイル1を開く h1 :: RHandle s RIO s IO RIO t (RIO s IO) h1 2 設定ファイルを開く h2, hc :: RHandle tを渡す 3 ファイル2の位置を読み、開く 4 ファイル3を（親リージョンで）開く h3 :: RHandle s 5 1, 2の内容を交互に3へ書き込む h2, hc を解放 h3 を返す; h3は型があうので返せる

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やりたい例 1 ファイル1を開く h1 :: RHandle s RIO s IO RIO t (RIO s IO) h1 2 設定ファイルを開く h2, hc :: RHandle tを渡す 3 ファイル2の位置を読み、開く 4 ファイル3を（親リージョンで）開く h3 :: RHandle s 5 1, 2の内容を交互に3へ書き込む h2, hc を解放 h3 を返す; h3は型があうので返せる 6 1 に残りがあれば それを 3へ書き込む

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やりたい例 1 ファイル1を開く h1 :: RHandle s RIO s IO RIO t (RIO s IO) h1 2 設定ファイルを開く h2, hc :: RHandle tを渡す 3 ファイル2の位置を読み、開く 4 ファイル3を（親リージョンで）開く h3 :: RHandle s 5 1, 2の内容を交互に3へ書き込む h2, hc を解放 h3 を返す; h3は型があうので返せる 6 1 に残りがあれば それを 3へ書き込む h3, h1 を解放

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そのまま書けるtest3 = runSIO $ do h1 <- newSHandle "/tmp/SafeHandles.hs" ReadMode h3 <- newRgn (test3_internal h1) till (shIsEOF h1) (shGetLine h1 >>= shPutStrLn h3) shReport "test3 done"test3_internal h1 = do h2 <- newSHandle "/tmp/ex-file.conf" ReadMode fname <- shGetLine h2 h3 <- liftSIO (newSHandle fname WriteMode) shPutStrLn h3 fname till (liftM2 (||) (shIsEOF h2) (shIsEOF h1)) (shGetLine h2 >>= shPutStrLn h3 >> shGetLine h1 >>= shPutStrLn h3) shReport "Finished zipping h1 and h2" return h3 • ネストしても推論してくれる！ • 勝手にタグがつく！ • リソースの受け渡しも型が監視してくれる！

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幽霊型・Rank 2多相 他の応用例• セッション型 • ネットワーク/スレッド通信のチャネ ルの「使われ方」の不整合を型が検 出してくれる

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Session 型の例typecheck1 $ c -> send c "abc" :: (Length ss l) => Session t (ss :> Send [Char] a) (ss :> a) () example from [10] • 操作が 型レベルリストで並んでいる • Session t (事前条件) (事後条件) 結果 • 上の例は「一度だけ、一つだけチャネ ルを使って文字列をを送る」と読む • t は Rank 2 多相によるリーク防止

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昇進──Data Kinds• Data Kinds？ • データ型を型レベルへ「持ち上げ」 • GADTs や Type Family などと組み合わ せて強力な威力を発揮する

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例：長さ付きリスト• 幽霊型として、長さをパラメタ化• 空リストへの先頭要素、tail アクセスを 防止• 連結の際は型レベル足し算がいる • type family で足せばいい！

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実装例data Nat = Z | S Natdata Vector :: Nat -> * -> * where Nil :: Vector Z a Cons :: a -> Vector n a -> Vector (S n) avhead :: Vector (S n) a -> avhead (Cons a _) = avtail :: Vector (S n) a -> Vector n avtail (Cons _ as) = asvnull :: Vector n a -> Boolvnull Nil = Truevnull _ = Falsetype family (a :: Nat) :+: (b :: Nat) :: Nattype instance Z :+: a = atype instance S n :+: a = S (n :+: a)vappend :: Vector n a -> Vector m a -> Vector (n :+: m) avappend Nil v = vvappend (Cons a as) v = Cons a (as `vappend` v)

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以前は…。• Nat を型に持ち上げられなかったので 無意味な足し算が定義出来る可能性が あった• 同様に長さ以外のインデックスが付く 可能性があった• 持ち上げる事で範囲を制限！

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補足• Data Kinds が強力になり、型が引数として任 意の値を取れるようになる(!!) • 依存型と云う • Coq, Agda など• Curry-Howard 対応 • 型と論理式の対応→定理証明

68.
時間切れ orz

69.
References1. “Fun with type functions”, Oleg Kiselyov, Simon Peyton Jones and Chung-chieh Shan, 20102. “Giving Haskell a Promotion”,B. A.Yorgey, S. Weirich, J. Cretin, Simon Peyton Jones and D.Vytiniotis, 20113. “Lightweight Monadic Regions”, Oleg Kiselyov, Chung-chieh Shan, 20084. “Algebra of Programming in Agda”, Shin-Cheng Mu, Hsiang-Shang Ko, Patrik Jansson, 20095. “Yesod Web Framework for Haskell”6. “データ型 - Wikipedia”, Wikipedia7. “Type safety - Wikipedia”, Wikipedia8. “Phantom type - HaskellWiki”, HaskellWiki9. “Region-based resource management”, Oleg Kiselyov, 201110. “full-sessions-0.6.1”, id:keigoi11. “プログラミングCoq”, 池渕未来

70.
Any Questions?

71.
御清聴ありがとうございました