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lm Mathematikunterricht der letzten iahre haben Sie gelernt, auf
verschiedene Arten zu argumentieren. Sie haben über Mathematik
mithilfe von Fachbegriffen und alltäglichen Begriffen gesprochen
und Alltagssituationen mithilfe mathematischer Darstellungen be-
schrieben.
Egal mit welchen mathematischen Leitideen Sie sich beschäftigen:
immer sind mathematische Vermutungen, korrekte Formulierun-
gen, gute Gründe und nachvollziehbare Argumentationen gefragt.




 Welche lnformation enthält der Graph? Finden Sie eine passende
 Alltagssituation und schreiben Sie eine Geschichte zum Graphen.
 Lösung
 -   An der Beschriftung der x- und y-Achse kann man erkennen, dass es sich
     um eine Bewegungssituation handelt. Nach einer bestimmten Zeit hat
     etwas oder jemand eine bestimmte Strecke zurückgelegt.
 -   Die Zuordnung der Maßeinheiten der beiden Achsen (Minuten und Meter)
     lässt vermuten, dass es sich um einen Menschen handelt, der sich mit
     verschiedenen Verkehrsmitteln unterschiedlich schnell fortbewegt.
 -   Die unterschiedlichen Steigungen des Graphen in den verschiedenen
     Abschnitten verdeutlichen die ieweilige Geschwindigkeit (Weg ie
     Zeiteinheit), mit der die Person sich fortbewegt. Die Länge dieser
     Abschnitte entspricht der Länge des ieweiligen Zeitintervalls.

 Die Beschreibung der vier Abschnitte des Graphen muss folgende Aspekte
 enthalten:
 - Bei allen Abschnitten handelt es sich um lineare Funktionen, also
    gleichförmige Bewegungen ohne Beschleunigung oder Bremsen.
 - ln den ersten drei Minuten legt jemand oder etwas 1000m zurück.
    (2.8. Traktot Fahrrad, langsamer Bus ...)                                                          Zeit in min
 - Darauf folgt eine Minute Stillstand.
     (2. B.Bushaltestelle, Ampel, Gespräch, Fahrrad abschließen, ...)               12345678   9 10111213141516
 -   Danach legt jemand oder etwas innerhalb von sechs Minuten weitere
     1000m zurück, also mit der halben Geschwindigkeit wie im ersten
     Abschnitt. (2.8. zügiges Gehen, langsames Fahrrad ...)
 -   ln den letzten fünf Minuten werden sogar nur 500m zurückgelegt.
     (2.8. Gehen, Fahrrad schieben, ...)




 Mara und Leon haben ihre Hausaufgaben auf unterschiedliche Art und Weise gelöst.
 Sie sollten den Flächeninhalt einer Figur mithilfe eines Terms beschreiben.




 Maras Lösung:                                                Leons Lösung:
 A = a'(b + d) + c'd                                          A=(a+c)(b+d)-bc
 a) Versuchen Sie, die beiden Lösungswege zu verstehen und die
 Gedankengänge der beiden nachzuvollziehen. Beschreiben Sie ihr Vorgehen.
 Haben die beiden richtig gedacht?
 b) Wie würden Sie vorgehen? Finden Sie eine dritte Lösungsmöglichkeit.




6     AllgemeineKompetenzen
Lösung
 Mara hat die Figur in die beiden Teilfiguren F, und F, unterteilt und den lnhalt der beiden Einzelflächen addiert.




 Leon hingegen hat ein Rechteck F, betrachtet und von dessen Flächeninhalt den eines kleineren Rechtecks          Fo   subtrahiert.




Durch eine horizontale Unterteilung der Fläche in zwei Teilfiguren   Fu   und   Fu   gelangt manzu einem dritten Term:
A = a.b + (a + c).d




Welcher der beiden Körper hat die größere Oberfläche?




Lösung
Die beiden Körper haben die gleiche Oberfläche.                 Diese Behauptung ist richtig, reicht als Antwort jedoch
                                                                nicht aus. In der Mathematik müssen Behauptungen stets
                                                                begründet oder sogar bewiesen werden.
Mögliche Begründung:
Vom Ausgangswürfel wurden die Eckwürfel entfernt.               Beim Begründen ist es wichtig, alle Schritte des
Jeder Eckwürfel trägt zur Oberfläche drei kleine                Gedankenganges mithilfe der Fachbegriffe oder eindeutiger
Quadratflächen bei. Nach dem Entfernen der Eckwürfel            Beschreibungen verständlich darzustellen und so von der
- und damit der drei kleinen Quadratflächen - entsteht          Ausgangssituation zur Behauptung zu gelangen.
jeweils eine Lücke, die wiederum drei kleine
                                             Quadratflächen
zur Gesamtoberfläche beiträgt. Somit bleibt die Oberfläche
gleich groß.

                                                                Um eine Behauptung zu beweisen, muss man von einer
                                                                bereits bewiesenen Aussage oder einer Definition ausgehen
                                                                und in logischen Schritten (die selbst wieder auf bewiesenen
                                                                Aussagen beruhen) zur Behauptung gelangen.
                                                                Um eine Behauptung zu widerlegen, reicht ein einziges
                                                                Gegenbeispiel aus.



                                                                                                         AllgemeineKompetenzen 7
Probler*e m*themetisch lösen I §asiswissem


Es gibt Aufgaben, bei denen es im ersten Moment so scheint, als
ob alles bereits Gelernte hier nicht passt - kein vertrautes mathe-
matisches Verfahren und auch nicht der aktuelle Mathematik-Un-
terricht. Hier müssen eigene Strategien entwickelt werden.
Vor allem aber gilt: Ruhe bewahren, sortieren, überlegen und im
Zweifelsfall alles wieder neu denken.
Ein paar mögliche Ansätze sind hier zusammengestellt.




Auch wenn sich das zunächst vielleicht nicht so richtig mathematisch anhört:   Wie heißt die größte Zahl, die mit
Manchen Problemlösungen kommt man näher; wenn man erst einmal ein              einmaligem Benutzen der abgebildeten
paar Möglichkeiten ausprobiert. Zunächst probiert man noch ohne spezielles     Tasten eines Taschenrechners berechnet
Ziel, aber wenn man ein paar Ergebnisse gesehen hat, ergibt sich daraus oft    werden kann?
schon eine Probierstrategie.                                                   ll,),?-,tr,ttl,E,t'          =


 Lösung
 5432.1= 5432
 4321'5 = 21605
 Wenn man eine vierstellige mit einer einstelligen Zahl multipliziert,
 ist das untere der beiden Ergebnisse das größtmögliche.

 Kann das Ergebnis größer werden, wenn man eine zweistellige und eine
 dreistellige Zahl miteinander multipliziert?
 321.54 = 17334
 421.53 = 22313
 531'42= 22302
 521.43 = 22403
 Es scheint auch darauf anzukommen, an welcher Stelle die größten Ziffern
 stehen. Eine 3 an der Zehnerstelle beispielsweise bringt ein höheres
 Ergebnis als die 3 an der Einerstelle.
 Es wird außerdem klat dass die 4 und die 5 an der ersten Stelle der beiden
 zwei- und dreistelligen Zahlen stehen müssen und dass die 1 an einer
 anderen Stelle stehen muss.

 Es   gibt für diesen Fall acht Möglichkeiten:

 s31.42=22302                                      431'52=22412
 532'41=21812                                      432'51=22032
 521.43=22403                                       421.53=22313
 523-41 ist in jedem Fall kleiner als 532'41. 423'51: siehe links

 Das größte Ergebnis erhält man     bei 431'52 = 22412.




 Eine Tabelle kann helfen, die lnformationen übersichtlich darzustellen.       Marc und seine Mutter sind heute zusammen
                                                                               65 lahre alt. Vor 10 Jahren war die Mutter
                                                                               4-mal so alt wie Marc.

 Lösung

                                  Alter vor 10 lahren
                                                        t,
                                                         1 'tl



 Gleichung: x   - 10 = 4'((05 - x) - 10)
 Marcs Mutter ist heute 46 lahre und Marc 19 Jahre alt.




10      AllgemeineKompetenzen
Manchmal eignet sich eine skizze besser zum Darstellen der lnformationen.                    ln einem Bus ist ein Drittel der plätze mit
                                                                                               Kindern besetzt. Sechs Plätze mehr werden
                                                                                               durch Erwachsene belegt. Neun plätze bleiben
                                                                                               f   rei.
  Lösung
                                                  11
                                                                                               Ein Drittel entspricht also 6 + 9 = 15 plätze.
                             ----l-
                                  I            ---t--
                                                (xinaer)        -L------L-i----
                                                                 t--;i--T---r*,rs)---i
                                                                                           r
                                                                                               Kinder besetzen demnach 15 Plätze und somit
                                                                                               gibt es insgesamt 45 Plätze.




 Bevor man ein Problem lös! kann es sinnvoll sein, mit einem einfacheren                       Wie viele Quadrate befinden sich auf einem
 Teilproblem zu beginnen und das Ergebnis auf das komplexe problem zu                          Schachbrett?
 übertragen.
 Lösung
 '1. Man beginnt mit einem            3x   3-Brett. Auf dem Brett befinden sich
      9     kleine 1x1-Quadrate,
      4  größere2x2-Quadrate,
      1  großes 3x3-Quadrat.
 2.   Nun betrachtet man das 4x4-Brett. Auf diesem befinden sich
      16    1x'1-Quadrate,
      9     2x2-Quadrate,
      4     3x3-Quadrate,
      1     4x4-Quadrat.
      Es   fällt auf, dass die Anzahl der Quadrate immer eine Quadratzahl ist.
      Das hängt mit der Anzahl der Möglichkeiten zusammen, wie die
      kleineren Quadrate auf dem großen platziert werden können.
 3.   Für das 8 x 8-Quadrat gilt also: 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + g + 4 + 1 = 204


 t ."             ,':-..,.
                                       :



 Ein Kaufmann reist von Pisa nach Lucca. Dort verdoppelt er durch gute
Geschäfte sein Kapital, muss aber 16 Denare ausgeben. Er reist n"c-h Floren.
weiter. Dort verdoppelt er sein neues Kapitel wieder und hat wieder Kosten
von 16 Denaren. Nach Pisa zurückgekehrt, erlebt er wieder dasselbe. Als er
in seine Geldkatze schau! findet er darin - nichts. Mit wie vielen Denaren
ist der Kaufmann aus Pisa abgereist?
Lösung
Man kann diese Aufgabe sowohl durch Vorwärts- als auch durch
Rückwärtsrechnen lösen.
Vorwärtsrechnen:
Startkapital: x                  Gleichung: ((2x       - 16). 2 - 16).2 -   16= 0
Rückwärtsrechnen:

 Pisa                            Lucca                    Florenz                   pisa




&_--            .--"dA
                              -x/ --/ "dd /'-"*} .d                     /- @ &§
                                                                             -   w§w*

Anhand der Grafik lässt sich leicht rückwärts rechnen:
Endkapital nach den Ausgaben in pisa:0
0 + 16 = 16, das entspricht zweimal dem Kapital nach Florenz.
Also verlässt er Florenz mit 8 Denaren.
8 + 16 = 24, das entspricht zweimal dem Kapital nach Lucca.
Also verlässt er Lucca mit 12 Denaren.
12 + 15 = 28, das entspricht zweimal dem Startkapital aus pisa.
Also verlässt er Pisa mit 14 Denaren.



                                                                                                                AllgemeineKompetenzen 11
ii::ji;=E+.!€]idi1:1:;i:t=i+,E.=.=a




                            natürliche Zahlen         Die Zahlen 0; 1; 2; 3; 4; ... werden als natürliche
                                                      Zahlen bezeichnet. Für die Menge der natürlichen          01234567
                                                                                                                    1.3                              7>5
                                                      Zahlen schreibt man lN = {0;1;2;3;...}.
                           ganze Zahlen               Die Zahlen ...-3; -2; -1;0;'l;2;3; ... werden als
                                                      ganze Zahlen bezeichnet. Zu jeder Zahl gibt es eine       -4-3-2-101234
                                                      Gegenzahl. Für die Menge der ganzen Zahlen schreibt
                                                      man Z = L..; -2; -1; 0; 1; Z; ...1.
                            Brüche                     Gebrochene Zahlen können als Brüche oder DezimaF         ]= o,ts,0,1=|
                                                       brüche geschrieben werden. leden Bruch kann man in
                                                                                                                1=? =32          =
                                                       einen Dezimalbruch umwandeln und umgekehn.               2464
                                                       Der Wert eines Bruches ändert sich durch Küzen und
                                                       Erweitern nicht.
                            rationale Zahlen           Wenn man alle positiven und negativen Bruchzahlen
                                                       einschließlich der Null zusammen nimmt erhält man
                                                       die rationalen Zahlen Q.
                                                                                                                                 _zL         -0,5 'i            "zi

                            Potenzen                   Produkte aus gleichen Faktoren kann man mithilfe         5.5.5        =   53
                                                       von Potenzen schreiben:
                                                       a.a.....a=an
                                                       !.....-..-a-

                                                       n Faktoren
                            Zehnerpotenz-              Sehr große Zahlen und Zahlen nahe bei Null schreibt      50000000 = 5.107
                            schreibweise               man oft als Produkt aus einer Dezimalzahl und einer      0,000023 = 23.10-6
                                                       Zehnerpotenz (einer Potenz mit der Basis 10).
                            Wurzeln                    Die Quadratwuzel einer positiven Zahl b ist die          ,/u=s
                                                       positive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert die   ,/o,t+g = o,l
                                                       Zahl b ergibt: a2 = b, also: y'6- = a                    3-
                                                       Die dritte Wurzel einer Zahl b ist die Zahl a, deren
                                                                                                                /27 =3
                                                       dritte Potenz die Zahl b ergibt: a3 = b, also: VU = a    'r/d§64 = o,+
                            irrationale Zahlen         Es gibt auf der Zahlengeraden Punkte, denen keine             = l,t+lt+Zl! ...
                                                                                                                ^/2
                                                       rationale Zahl zugeordnet werden kann. Diese kön-        t = 3141592 ...
                                                       nen nicht als Bruch geschrieben werden. Es handelt
                                                       sich um nicht abbrechende und nicht periodische
                                                       Dezimalbrüche. Sie werden als irrationale Zahlen
                                                       bezeichnet und vervollständigen die Zahlengerade.
                            reelle Zahlen              Rationale Zahlen und irrationale Zahlen bilden zu-
                                                       sammen die reellen Zahlen IR. Zu jedem Punkt auf der
                                                       Zahlengeraden gehört eine reelle Zahl und zu jeder
                                                       reellen Zahl gehört ein bestimmter Punkt.




                         S+:j;§i!+,-i1:*;;t##&;d!
                         =U.
                            Beim Rechnen gelten für die verschiedenen Rechenarten unterschiedliche Rechengesetze. Wenn man diese Rechengesetze
                            geschickt anwendet, können sie einem das Rechnen erleichtern.
                            Kommutativgesetz Beim Addieren und Multiplizieren können die Sum-                   3,2 + 2,8 = 2,8 + 3,2
                                                       manden und Faktoren vertauscht          werden:          2x '7,5 = 7,5 ' 2x
                                                       6+[=§+6
                                                       a'b=b'a
                            Assoziativgesetz           ln Summen mit drei oder mehr Summanden und in    11,3 + 2,7 + l,$ = (11,3 + 2,7) + 1,8
                                                       Produkten mit drei oder mehr Faktoren dürfen be- = 11,3 + (2,7 + 1,8)
                                                       liebig Klammern gesetzt oder weggelassen werden. 2 - 2,3 .11 = (2.2,3).11 = 2. (2,3.11)
                                                       a + b + c = (a + b) + 6 = 6 + (b + c)
                                                       a. b.c = (a. b). c = a.(b.c)
                            Distributivgesetz                                               und
                                                        Das Distributivgesetzerlaubtdas Ausklammern             6a(2a+ 4b) = 6a .2a+ 6a'4b=12a2+24ab
                                                       Ausmultiplizieren in   Rechenausdrücken.                 4 a (3   b   -   2a) = 4a . 3b   - 4a ' 2a = 12ab -   8a2
                                                       a'(b+c)=ab+ac
                                                       a'(b-c)=ab-ac



                          20          lnhaltsbezogene Kompetenzen
Klammern zuerst,     ln Rechenausdrücken müssen Klammern zuerst be-         ((6,s   - 21,5) :(-5» - 1,5 . 8
Punktrechnung        rechnet werden. Dann folgen die Punkt- und dann        =        ((-15):(-5» - 1,5.8
vor Strichrechnung   die Strichrechenarten. Die-Anwendung der Rechen-       =                   3 - 1,5.8
                     gesetze erleichtert häufig das Rechnen.                =                    3-12
                                                                            =-9
binomische Formeln   Es   gelten die drei binomischen Formeln:
                     (a+b)2=72+)x§a12
                     (a-b)2 =a2-zab+b2
                     (a+b)(a-b)=62-62
Rechnen mit          Für das Rechnen      mit Potenzen gilt:
Potenzen und         an.am=an+m                                             a2.a3=a5
Wurzeln              an:am = an-m       mit a + 0                           2s.23=22=4
                     (an)m = s n'm                                          132y3  =3e   -r*
                     ,n.6n=(a.b)n                                           24   .34 = Q.3)4 = 64 =1296
                     Für das Rechnen mit Wurzeln gilt entsprechend:
                     ,/d ./6 = 6:b für a, b 0
                                              =
                     ./-erl/E = {EE für a z 0, b > 0
                     üt'b - /F.Vb =a.y'u tur a, b ä o



Prozent              Brüche mit dem Nenner 100 werden auch als Prozent
                                                                            ffi=zsu,
                     bezejchnet. p% ist also eine andere Schreibweise
                                                                            62,50/o = 0,625
                     für fi,r.
Prozentsatz,         ln der Prozentrechnung bezeichnet man die Be-          Von 200 Schülern kommen 125 mit dem Bus.
Prozentwert und      zugsgröße bzw. das Ganze als den Grundwert G.          Das sind 62,57o.
Grundwert            Den Anteil, mit dem man sich beschäftigt, nennt man    Die 200 Schüler bilden den Grundwert
                     Prozentwert W und der daraus resultierende Bruchteil   125 den Prozentwert.
                     heißt Prozentsatz p.                                   62,50/o sind der Prozentsatz.

Prozentrechnung      Der Zusa mmenhang zwischen Prozentwert, Grund-         640/o der 25   Teilnehmer kamen ins Ziel.
                     wert und Prozentsatz wird beschrieben durch die                 G=25; W=?
                                                                            pYo=640/o;
                     Formel                                                 w=25.0,64=16
                     W=G. poÄ bzw.        W-G.*                             15   Teilnehmer kamen ins Ziel.
                     Diese Formel kann nach jeder Variablen umgeformt
                     werden, wodurch iede gesuchte Größe aus den
                     beiden anderen Größen berechnet werden kann.
                     Wenn man ein Kapital K für ein jahr zu einem Zins-     Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz
                     satz von p% anlegt, erhält man für dieses nach Ab-     von 3,25o/o angelegt.
                     lauf des Jahres p7o von G als lahreszins Z.            z = 2000€ .0,0325 - 35€
                     Z=K-p%                                                 Das Geld wird nach 2 Monaten abgehoben:
                     Wenn man das Guthaben nur für t Tage zu einem          zm =    2o0o€ . 0,0325 .f,=       to,alc
                     tahreszinssatz von p% anlegt, erhält man nurfi
                     der lahreszinsen.
                     Zt = K.   p%.#
                     Für Monate    gilt das Entsprechende:
                     Z.   = K.   p%.#
Zinseszins           Wenn man die gewonnenen Zinsen am lahresende
                     dem Guthaben hinzufügt, erbringen diese im
                     kommenden Jahr auch Zinsen. Man nennt sie
                     Zinseszinsen.




                                                                                               lnhaltsbezogeneKompetenzen   21
Zur Berechnung von Flächeninhalt (A), Umfang (u), Volumen (V)
und Oberfläche (O) von Flächen und Körpern sollten alle Größen-
angaben zunächst auf die gleiche Maßeinheit gebracht werden.




 Dreieck                 Für den Umfang des Dreiecks ABC gilt: u = 6 + + c[
                         Für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit der
                         Grundseite a und der Höhe h"   gilt: A = f



Viereck                  Für den Umfang des Rechtecks ABCD gilt:
                         u = 2a + 2b bzw. für das Quadrat: u = 4a,
                         da alle Seiten gleich lang sind.
                         Für den Flächeninhalt des Rechtecks ABCD gilt:
                         A = a .b bzw. für das Quadrat: A = a2.
                         Für den Umfang des Parallelogramms ABCD gilt:
                         u = 2a + 2b bzw. für die Raute u = 4a, da alle Seiten
                         gleich lang sind.
                         Für den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD mit
                         der Grundseite g und der Höhe h gilt: A = g. h          a=g
                         Für den Umfang des Trapezes ABC gilt:
                         r.l=6+[+s+d
                         Für den Flächeninhalt des Trapezes ABCD gilt:
                         A= T'h"
Kreis                    Für den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser
                         d bzw. dem Radius r gilt: u = n. d = 2. n. r
                         Für den Flächeninhalt des Kreises gilt: A= n. r2



Kreisbogen               Bei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel s
                         gilt für die Länge des Kreisbogens b:
                         b=2nr.#=nr-#
Kreisausschnitt          Bei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel q
                         gilt für den Flächeninhalt des Kreisausschnittes A:
                         A= n12.    *--L =   +

zusammengesetzte         Der Flächeninhalt zusammengesetzter Flächen be-
Flächen                  rechnet sich aus der Summe der Einzelflächen.
                         Der Umfang wird durch die Summe der Länge der
                         Einzelstrecken ermittelt, die die Gesamtfläche be-
                         grenzen.
nicht geradlinig         Den Flächeninhalt nicht geradlinig begrenzter Flä-
begrenzte Flächen        chen kann man schätzen, indem man sie mit einem
                         Gitter unterlegt und die Gitterflächen abzählt.
                         Eine zweite Möglichkeit besteht darin, die Fläche mit
                         einer passenden Fläche (wie Rechteck oder Paralle-
                         logramm) zu hinterlegen.




26      lnhaltsbezogene Kompetenzen
Für das Volumen des Quaders gilt: V = a .         b.   c
                       Für die Oberfläche des Quaders gilt:
                       O = 2ab + 2bc + 2ac = 2(ab + bc + ac)                                        c
                                                                                         'a
Zylinder               Für das Volumen des Zylinders mit Grundkreis k und
                                      [
                       Höhe h gilt: = Ar' h =nr2. h
                       Für die Obedläche des Zylinders mit Grundfläche G,
                       Mantelfläche M und Höhe h gilt:
                       O=2G+M=2r12+2rr.h                                                  t:J
                                                                                          fr
Prisma                 Für das Volumen des Prismas mit Grundfläche G und
                       Höhe h gilt: V = G.h
                       Für die Oberfläche des Prismas mit Grundfläche G
                       und Mantelfläche M gilt: O = 2G + M




                                                                                              A
Kegel                  Für das Volumen des Kegels          mit Radius r und Höhe   h
                   gilt: V=!nr2-h
                   Für die Oberfläche des Kegels mit Radius r und
                   Mantellinie s gilt: O = Tr12 + Trrs

Pyramide               Für das Volumen der foramide mit Grundfläche G und
                   Höhehgilt: V=lG.h
                   Für die quadratische Pyramide mit Seitenlänge a gilt:
                   V = Ja2.tr
                   Für die Oberfläche der quadratischen Pyramide mit
                   Seitenlänge a und der Höhe h, einer Seitenfläche
                   gilt:
                   o=a2+4"'!
Kugel              Für das Volumen der Kugel mit Radius r gilt:
                   y = {nr3
                   Für die Oberfläche der Kugel mit Radius r gilt:
                   O = 4nrz

zusammengesetzte   Das Volumen zusammengesetzter und ausgehöhlter
Körper             Körper berechnet man aus der Summe oder der Diffe-
                   renz der Einzelkörper.
                   Die Oberfläche solcher Körper besteht aus der
                   Summe aller Einzelflächen.




trigonometrische   ln einem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Beziehungen            .     Gesenkathete von d
                   Stnq =    -ir*r"n-*-
                   cosq = &fiffiH"


                                                                                       "-mt
                         Gesenkathete von d
                   tanCt=--i-
                          AnKalnele von a

                   ln beliebigen Dreiecken gelten der Sinussatz
                   g   sinq. g. sina. 6 sinF
                   6 = sin ß, c = siny , c - sinl                                               c
                   und der Kosinussatz:                                                  b-A.a
                   ,2=62ac:2-2bc.cosq
                   62=          - cosB
                   c2= "2*12*2ac cosy
                       a2+b2-2ab.
                                                                                                        X
Ahnlichkeit        Werden Flächen und Körper um den Streckfaktor
und
zentrische
                   k=n=ffi'i
                   r m         Länge der Bildstrecke
                                                       gestreckt,gilt:
Streckung          ähnlicheStreckenlängen:                *=*, ar = k'a1
                   ähnliche Flächen:                       =,1 . Az= kz'&
                                                          Av
                                                               ^l'
                                                          v.
                   ähnliche Volumina:                     V, "r'. Vz = k3'Vr
                                                           =
                                                               "i'



                                                                                        lnhaltsbezogeneKompetenzen   27
Koordinatensystem    Das Koordinatensystem unterteilt die Ebene in vier
                     Quadranten und macht die eindeutige Bestimmung
                     der Lage eines Punktes möglich.
                     Man schreibt: P(xly).
Winkel               Ein Winkel wird von zwei Schenkeln mit gemeinsa-
                     men Scheitelpunkt S eingeschlossen. Die Größe eines
                                                     o)
                     Winkels q wird in Grad (kurz:      angegeben.
                     Es gibt spitze (q < 90"), rechte (q = 90'), stumpfe
                     (90'< q < 180"» gestreckte (q = 180"), überstumpfe
                     (180o< a . 360') und volle (cx = 360') Winkel.

Winkelsätze          Scheitelwinkel sind gleich groß.
                     Nebenwinkel ergänzen sich zu'180'.
                     Stufenwinkel sind gleich groß.
                     Wechselwinkel sind gleich groß.

Symmetrien           Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn man sie
                     durch eine geeignete Achse (Symmetrieachse) in
                     zwei spiegelbildliche Teile zerlegen kann. Sie ist
                     punktsymmetrisch, wenn man sie durch eine halbe
                     Drehung um den Symmetriepunkt in sich selbst
                     übedühren kann.
Ahnlichkeit          Zwei Figuren sind dann ähnlich, wenn sie in den ent-
                     sprechenden Seitenverhältnissen und Winkeln über-
                     einstimmen.
Strahlensätze        Werden zwei Strahlen mit Anfangspunkt Z von zwei
                     parallelen Geraden in den Punkten A und B bzw. A
                     und B'geschnitten, so sind die Dreiecke ZAB und
                     ZAB'ähnlich. Es gelten die beiden Strahlensätze:
                      1.   Strahlensatr,   '# =#
                      2. Strahlensatr,     #   ='Ä




Dreiecke              Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt 180'
                      (a + p + y =180'). Man unterscheidet Dreiecke nach
                      ihren Winkeln und nach ihren Seiten. So klassifiziert
                      man die Dreiecke in rechtwinklige, spitzwinklige und
                      stumpfwinklige und in gleichseitige, gleichschenklige
                      und allgemeine Dreiecke.
Dreiecke
konstruieren
- kongruente
                      Zwei Dreiecke sind kongruent oder deckungsgleich,
                      wenn sie übereinstimmen in
                      - drei Seiten (SSS).
                                                                              ss1
Dreiecke              - einer Seite und den zwei anliegenden Winkeln
                           (wsw).
                      -    zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
                           (sws).
                      -  zwei Seiten und dem Winkel, der der größeren
                                                                              S           t
                         Seite gegenüberliegt (SSW).                          W   
                      Solche Dreiecke können durch die jeweiligen Vorga-              S
                      ben eindeutig konstruiert werden.
Besondere Linien      Auf der Winkelhalbierenden liegen die Punkte, die
im Dreieck            von den Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand
                      haben. Die drei Winkelhalbierenden des Dreiecks
                      schneiden sich im lnkreismittelpunkt.
                      Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke
                      hat den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten.
                      Die drei Mittelsenkrechten des Dreiecks schneiden
                      sich im Umkreismittelpunkt. Der Schnittpunkt
                      der Seitenhalbierenden bildet den Schwerpunkt
                      des Dreiecks, die Höhen schneiden sich im
                      Höhenschnittpunkt.

32   Inhaltsbezogene Kompetenzen
Satz des Pythagoras   ln einem rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkel
                      bei C gilt: a2 + b2 = c2. Gilt bei einem Dreieck a2 + b2
                      = c2, dann ist das Dreieck rechtwinklig.
Vierecke              Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt 360"
                      (« + p + ) + ö = 360"). Es gibt achsensymmetrische
                      Vierecke (Drachen, symmetrisches Trapez), dreh-
                      symmetrische Vierecke (Parallelogramm) und solche,
                      die beides sind (Raute, Rechteck, Quadrat). Ein Vier-
                      eck ohne Symmetrien heißt allgemeines Viereck.
Vielecke              Man unterscheidet zwischen unregelmäßigen und
                      regelmäßigen Vielecken. lm regelmäßigen Vieleck
                      sind alle Seiten gleich lang und alle lnnenwinkel
                      gleich groß. Der Mittelpunktswinkel eines n-Ecks hat
                      die Größe ö =360:n und der lnnenwinkel q =180 - ö.
                      Die Winkelsumme in einem n-Eck beträgt
                      (n - 2).180'.
Kreis                 Alle Punkte des Kreises haben vom Mittelpunkt
                      dieselbe Entfernung. Diese bezeichnet man als
                      Radius r. Der Durchmesser d ist doppelt so lang
                      wie der Radius. Ein von zwei Punkten begrenztes
                      Stück des Kreises heißt Kreisbogen. Ein von zwei
                      Radien begrenztes Stück der Kreisfläche heißt
                      Kreisausschnitt.
Satz des Thales       Liegt der Punkt C des Dreiecks ABC auf dem
                      Halbkreis über der Strecke AB, so ist y ein rechter
                      Winkel. Hat ein Dreieck einen rechten Winkel bei C,
                      dann liegt C auf dem Halbkreis über der Strecke AB.




Wüdel und   Quader    Ein Quader hat sechs rechteckige Flächen.
                                                                                               I
                      Gegenüberliegende Rechtecke sind gleich groß. Je                         I
                                                                                               I
                      vier Kanten sind parallel und gleich lang. Der Quader




                                                                                            fl
                                                                                               I


                      hat acht Ecken, sechs Flächen und zwölf Kanten.
                      Ein Würfel ist ein besonderer Quader: er besteht aus       Quader
                      sechs Quadraten.
Prisma                Ein Prisma wird begrenzt durch Grund- und
                      Deckfläche und den Mantel. Der Mantel besteht
                      aus Rechtecken; die Grund- und Deckfläche sind
                      kongruent und bestimmen den Namen des Prismas.
Pyramide              Ein über seiner Grundfläche spitz zulaufender Körper
                                                                                 Würfel
                      heißt foramide. Er ist begrenzt durch die Grundfläche
                      und dem aus Dreiecken zusammengesetzten Mantel.
                      Die Manteldreiecke treffen sich in der Spitze.


Zylinder

Kegel


Schrägbilder
                      Die Grundfläche bestimmt den Namen der Pyramide.
                      Ein Zylinder wird begrenzt durch den Grundkreis, den
                      Deckkreis und das zum Mantel aufgerollte Rechteck.
                      Der Kegel besteht aus einem Grundkreis und einem
                      aufgerollten Kreisausschnitt als Mantel.
                      Körper kann man in Form von Schrägbildern, Netzen
                                                                                 Prisma
                                                                                             H
und Netze             und Modellen darstellen. lm Schrägbild bleiben alle
                      Kanten und Winkel unverändert, die parallel zur
                      Zeichenebene liegen. Senkrecht zu ihr laufende Linien
                                                                                 Zylinder
                      werden unter einem 45'-Winkel und auf die Hälfte
                      verkürzt gezeichnet. Aus Netzen lassen sich Körper
                      herstellen.
Kugel                 Eine Kugel ist ein Körpe; der sich nicht aus ebenen        Kugel
                      Flächenstücken zusammensetzen lässt.




                                                                                            lnhaltsbezogeneKompetenzen   33
Dreisatz               Wenn zum Zweifachen; Dreifachen; Vierfachen ...            1200 t Öl kosten 600€. Wie viel kosten 1700 t?
                       einer Eingabegröße das Zweifache; Dreifache; Vier-
                       fache ... der Ausgabegröße gehört, kann man                                                                           Preis in   €
                       gesuchte Werte der Ausgabegröße mit dem Dreisatz                                                                         600
                       bestimmen.                                                                                                               0,5     ) :1200
                       Man schließt zuerst durch Division auf die Einheit und                                                                   850     )-ooo
                       dann durch Multiplikation auf das Vielfache.
                                                                                  1700t Heizöl kosten 850€.
umgekehrter            Wenn zu einem Drittel; zur Hälfte; zum Zweifachen;         Eine Radtour ist mit 7 Etappen zu je 60km
Dreisatz               zum Dreifachen;... einer Eingabegröße das                  geplant. Die Gruppe hat aber nur 5 Tage Zeit.
                       Dreifache; Doppelte; die Hälfte; ein Drittel; ... der                                                     I


                       Ausgabegröße gehört, kann man gesuchte Werte                     Anzahl    derTage                        !         Strecke in km
                       der Ausgabegröße mit dem umgekehrten Dreisatz
                                                                                          ,7                                                      50
                       bestimmen. Der Division der Eingabegröße entspricht              '7L       1                                              420    )'7
                       die Multiplikation der Ausgabegröße und umgekehrt.               '5[ 5                                                     84    ,1,5
                                                                                  Die Tagesstrecke muss 84km betragen.




proPortionale           Bei einer proportionalen Zuordnung x    -  y sind die
Zuordnungen             Quotienten  zugeordneter Größen gleich.
                        lst dieser Quotient 2.8.2, so lässt sich der y-Wert mit
                        der Gleichung y = 2'x berechnen.
                        Der Graph liegt auf einer Geraden.                          r,.:2..:L1                     {:,!:2.:L
                                                                                    .:r2                            :;..,'2
antiproportionale       Bei einer antiproportionalen Zuordnung x     -   y sind
                                                                                            -a                         . | '-a
                                                                                                                   ....,......

Zuordnungen             die Produkte zugeordneter Größen gleich.                                                          'i4
                        lst dieses Produkt 2.8.4, so lässt sich der y-Wert mit
                        derGleichung   y=* berechnen.
                        Der Graph liegt auf einer Hyperbel.




lineare Gleichungen     Man nennt Gleichungen wie y = mx +      b   lineare                           ,   -   Graph der Zuordnung y = 2x + 2
                                                                                            4
                        Gleichungen.                                                                      (1 I 4) ist Lösung der Gleichung,
                        Der Graph liegt auf einer Geraden.                                  3
                                                                                                          denn2.1+2=4
                                                                                            2
lineare Gleichungen     Für lineare Gleichungen   wie -2x + y = 2 mit den                   f
mit zwei Variablen      Variablenxundygilt:
                        1. lede Lösung besteht aus einem Zahlenpaar.               -2             1234
                                                                                           '-1
                        2. Es gibt unendlich viele Lösungen.                        I
                                                                                    I
                                                                                                 (-2 | -2) ist Lösung der Gleichung,
                        3. Die grafische Darstellung der Lösungen ist eine              --a      denn2'(-2)+2=-2
                           Gerade.

lineare                 Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden        (1)   x-2y=2;y=lx-1
Gleichungssysteme       ein lineares Gleichungssystem (LGS).                      (2)   x+y=5. y=-x+5
(LGS)                   Eine gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen
mit zwei Variablen      heißt Lösung des LGS. Ein LGS hat entweder genau
                        eine, keine oder unendlich viele Lösungen.
lösen von LGS           Gleichsetzungsverfahren                                   Gleichsetzungsverfa hren                           :
                        Man löst beide Gleichungen des LGS nach derselben
                        Variablen auf. Durch Gleichsetzen der Terme erhält
                                                                                  )x-1=-x+5                                              Einsetzen erglbt:
                                                                                  ,x=o                                               y=-4+5=1
                        man eine Gleichung mit einer Variablen.
                                                                                  x=    4                                                r-={(4t1»
                        Additionsverfahren                                        Additionsvedahren:
                        Man formt beide Gleichungen so um, dass beim              (1) 3x+5y=10
                        Addieren beider Gleichungen eine Variable wegfällt.       Q) ax'5y=4
                                                                                   (1) +    (2):7x=14
                        Einsetzungsverfahren
                                                                                                  x=2
                        Man löst eine Gleichung nach einer Variablen auf
                                                                                                  y=0,8
                        und setzt diesen Wert der Variablen in die andere
                                                                                                  [_=(210,8»
                        Gleichung ein.




38      lnhaltsbezogeneKompetenzen
Funktion             Eine Zuordnung die jedem x-Wert jeweils nur einen
                      y-Wert zuordnet, heißt Funktion.
                      Die Gleichung y = ax + b, mit der sich die
                      Funktionswerte y berechnen lassen, heißt
                      Funktionsgleichung einer linearen Funktion.
Quadratische          Funktionen. die eine Funktionsgleichung in der Form
Funktion              y = axz + bx + c haben, heißen quadratische
                      Funktionen.
                      Der dazugehörige Graph heißt Parabel.
                      lhren kleinsten bzw. größten Wert nimmt eine
                      quadratische Funktion im Scheitelpunkt an.
                      Die Parabel der Funktion y = 0,5(x - 2)2 + 3 ist
                      gegenüber der Parabel der Funktion y = e5x2 um 2
                      nach rechts und um 3 nach oben verschoben.
                      Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion
                      kann in der Scheitelform y = 2-(x + J)2 + 4 oder
                      in der Normalform y= 2x2 + 12x + 22 dargestellt
                      werden.
Sinus- und            Die Funktionen sin und cos werden so für alle Winket
Kosinusfunktion       q definiert:
                      Jeder Winkel q mit der positiven x-Achse als erstem
                      Schenkel bestimmt mit seinem zweiten Schenkel
                      einen Punkt Po auf dem Einheitskreis. Man legt fest:
                      Die x-Koordinate des Punktes Po ist cos(s).
                      Die y-Koordinate des Punktes Po ist sin(u).
Exponential-          FunktionenderForm x-ax für a>0 und a+.1
funktionen            nennt man Exponentialfunktionen.
                      Sie sind für alle reellen Zahlen x definier! ihre
                      Funktionswerte sind stets positiv.
                      Alle Graphen gehen durch den Punkt (0 l1).




Lineares   Wachstum Nimmt die erste Größe um    1 zu, so wächst die zweite   Lineares Wachstum n]it Wachstumsrate 4:
                      Größe jeweils um den gleichen festen Wert.                           +1       +1       +'l
                                                                                         /';           /'.}   ,r-]


                                                                                                               :,
                                                                                           +4

                     Nimmt die erste Größe um 1 zu, so wächst die zweite     Exponentielles Wachstum mit
                     Größe jeweils um einen festen Faktor.                   Wachstumsfaktor    '1,5:




                                                                                          .1,5                  -1,5




                                                                                         lnhaltsbezogene Kompetenzen   39
Urliste               Die Ergebnisse einer statistischen Erhebung können ln einer 10. Klasse mit 25 Schülerinnen und
                      in einer Liste notiert werden, der sogenannten Urliste. Schülern wird ermittelt, wie viele Bücher
                      Sie ist in der Regel ungeordnet.                        (außer für den Unterricht) jeder im letzten
                                                                              lahr gelesen hat.
                                                                              Urliste: 0; 3; 1; 3; 17; 5; 6i    4;   4; 3; 2;
                                                                               0; 0; 4;1; 3; 5;12i 3; 6;                       8;                  3

Rangliste             Eine Liste, in der die Ergebnisse der Größe nach         Rangliste: 0; 0; 0; 1; 1;1;                                  2; 3; 3; 3;                               3;
                      sortiert sind, heißt Rangliste.                          3; 3; 4; 4; 4; 5; 5; 6; 6;8;                                      12; 17
Häufigkeitsliste      Gibt man zu ledem möglichen Wert der Liste an, wie       Häufigkeitsliste:
                      oft er vorkommt, so erhält man eine Häufigkeitsliste.       Bücher absolute relative                                                     relative
                                                                                       jti
                                                                                                   i   Häufigkeit I Häufigkeit                     i     Häufigkeit
                                                                                                   i              I                                i                   ino/o

                                                                                          I I ? ,-9,1'*t *-
                                                                                          1   4                       9116                                             16%

                                                                                          211i0,04                                                  14%o
                                                                                          3.610,24                                                 124o/o
                                                                                          1: :
                                                                                          s i 2                   i-.9,1?-l
                                                                                                                     0,08
                                                                                                                                                                       l:': -
                                                                                                                  |    *   ''              '-':
                                                                                                                                                                        8%

                                                                                          6l               2      .0..98                                                8%

                                                                                          8i1i0,04,4%o
                                                                                                                  :




                                                                                          9                1          0,04                                               40/o


                                                                                         12 I r 1o,o+:
                                                                                          --'.-;-----.,,,,-,,,-,-1,.--,.--.-"..
                                                                               "..,..-..-..'   -                           .   -...'"... -.. -.".^"i.." "...... ..-"
                                                                                                                                                                        t+Y"
                                                                                                                                                                       -.-.-.--..-   ..----.-
                                                                                         17

Häufigkeiten          Die Anzahl, mit der ein bestimmter Wert vorkommt,        Sechs Schüler lasen im letzten lahr 3 Bücher.
                      heißt absolute Häufigkeit des Wertes.                    Die absolute Häufigkeit des Wertes ,,3 Bücher"
                      Der Anteil, den die absolute Häufigkeit an der Ge-       ist also 5.
                      samtzahl der erhobenen Daten hat, heißt relative         Die relative Häufigkeit dieses Wertes
                      Häufiekeit.                                              beträgt $=o,za=24o/o.
                      reratiä   Häufi gkeit =   "*"::::#:*i*''
Diagramme             Mit Diagrammen kann man die erfassten Werte
                      veranschaulichen.
                      ln Säulendiagrammen kann man die absoluten
                      Häufigkeiten der Werte der zugrunde liegenden Liste
                      ablesen.
                      Kreis- oder Streifendiagramme machen deutlich,
                      welchen Anteil ein Wert der zugrunde liegenden
                      Häufigkeitsliste am Ganzen hat.




Kennwerte (1)         Der kleinste Wert einer Rangliste heißt Minimum, der     0 Bücher sind das Minimum.
                      größte Maximum. Die Differenz von Maximum und            17 Bücher sind das Maximum.
                      Minimum heißt Spannweite.
                      Die Spannweite ist ein Maß dafüf wie weit die Werte      17 Bücher- 0 Bücher = 17 Bücher
                      der Erhebung auseinander liegen, gelegentlich sorgt      Die Spannweite beträgt 17 Bücher.
                      aber ein Ausreißer für eine große Spannweite.

                      Die Summe aller Werte dividiert durch die Anzahl der     (3.        0 + 4 .1     +1. 2+ 6.3 +3 - 4 + 2- 5 +2- 6
                      Werte heißt Mittelwert oder arithmetisches Mittel.       +1.8+               1. 9 + 1. 12 + 1. 17) : 25 =ff =+rc
                      Der Mittelwert ist ein Durchschnittswert.                lm Durchschnitt wurden rund 4 Bücher
                                                                               gelesen.




44    lnhaltsbezogeneKompetenzen
Kennwerte (2)        Der Wert in der Mitte einer Rangliste heißt Zentral-     Da die Liste 25 Werte enthält, liegt der
                     wert oder Median. Hat die Rangliste eine ungerade        Median an derl3. Stelle.
                     Anzahl von Werten, so ist der mittlere Wert der          Das entspricht 3 Büchern:13 Schüler haben
                     Zentralwert. Hat die Rangliste eine gerade Anzahl       3 Bücher oder weniger gelesen, und
                     von Werten, so bildet man den Mittelwert der beiden     '13 Schüler haben 3 Bücher oder mehr gelesen.
                     Werte in der Mitte.
                     Mindestens die Hälfte aller Werte liegt unterhalb des
                     Zentralwertes, mindestens die Hä lfte oberha b.I


                     Tritt ein Ergebnis häufiger auf als alle anderen        Der Modalwert ist hier derselbe wie der
                     Ergebnisse der Erhebung, so ist dieser Wert der         Zentralwert:
                     häufigste Weft oder Modalwert."                         3 Bücher wurden am häufigsten gelesen.
                     Der Modalwert ist ein guter Ersatz für den Mittel-
                     wert in Erhebungen, für die ein Mittelwert nicht
                     sinnvoll bestimmt werden kann. (Wenn z. B. nach
                     der Lieblingsfarbe gefragt wird: Der Mittelwert von
                     Farben ist nicht sinnvoll anzugeben)




Ergebnis             Bei einem Zufallsversuch werden die möglichen
                     Ausgänge als Ergebnisse bezeichnet.



                                                                                           wz

                                                                             Der Münzwurf mit zwei Münzen stellt einen
                                                                             Zufallsversuch dar.
mögliche             Alle n Ergebnisse, die bei einem Zufallsversuch         Es gibt vier mögliche Ergebnisse: (WW» (WZ),
Ergebnisse           auftauchen können, heißen mögliche Ergebnisse.          (ZW), (U), wobei Z für Zahl, W für Wappen
günstige             Alle m Ergebnisse, die zum betrachteten Ereignis        steht.
Ergebnisse           führen, heißen günstige Ergebnisse.                     Für das Ereignis,,mindestens ein Wappen
                                                                             werfen" gibt es die drei günstigen Ergebnisse
Ereignis             Mehrere Ergebnisse kann man zu einem Ereignis           (VWV), (Wz) und (ZW).
                     zusammenfassen.
Laplace-             Sind alle n möglichen Ergebnisse eines                  ledes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich und
Wahrscheinlichkeit   Zufallsversuchs gleich wahrscheinlich, so spricht       hat die Wa hrschei nl ic hkeir 1 = 25o/o.
                     man von einem Laplace-Versuch und berechnet
                     die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses durch die      Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
                     Formel p = l.                                           ,,mindestens ein Wappen werfen"
                     Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit m
                     günstigen Ergebnissen ist dann p(E) = o.
                                                                                      i
                                                                             beträgt = 75%.

Baumdiagramm          Besteht ein Zufallsversuch aus mehreren Teilversu-                                El-
                     chen, so spricht man von einem mehrstufigen
                     Zufallsversuch. Ein Baumdiagramm veranschaulicht                                   E2

                     die möglichen mehrstufigen Ergebnisse. Mithilfe des
                      Baumdiagramms lässt sich die Wahrscheinlichkeit                                   E3-
                     jedes mehrstufigen Ergebnisses bestimmen.
                                                                                                        E4
ffadregel            Die Wahrscheinlichkeit eines mehrstufi gen
                                                                                                                Summen-
                     Ergebnisses ist gleich dem Produkt aus allen                                       E.
                                                                                                                  regel
                     Wahrscheinlichkeiten entlang des ffades, der im
                                                                                                        E.
                     Baumdiagramm zu diesem mehrstufigen Ergebnis
                     führt.
                                                                                                        E7-
Summenregel          Mehrstufige Ergebnisse können wieder zu Ereignissen
                     zusammengefasst werden. Die Wahrscheinlichkeit                                     Es

                     des Ereignisses ist dann die Summe der zugehörigen
                                                                                                        E"
                     Ergebniswahrscheinlichkeiten.




                                                                                          lnhaltsbezogeneKompetenzen        45

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Basiswissen hsp rsp

  • 1. lm Mathematikunterricht der letzten iahre haben Sie gelernt, auf verschiedene Arten zu argumentieren. Sie haben über Mathematik mithilfe von Fachbegriffen und alltäglichen Begriffen gesprochen und Alltagssituationen mithilfe mathematischer Darstellungen be- schrieben. Egal mit welchen mathematischen Leitideen Sie sich beschäftigen: immer sind mathematische Vermutungen, korrekte Formulierun- gen, gute Gründe und nachvollziehbare Argumentationen gefragt. Welche lnformation enthält der Graph? Finden Sie eine passende Alltagssituation und schreiben Sie eine Geschichte zum Graphen. Lösung - An der Beschriftung der x- und y-Achse kann man erkennen, dass es sich um eine Bewegungssituation handelt. Nach einer bestimmten Zeit hat etwas oder jemand eine bestimmte Strecke zurückgelegt. - Die Zuordnung der Maßeinheiten der beiden Achsen (Minuten und Meter) lässt vermuten, dass es sich um einen Menschen handelt, der sich mit verschiedenen Verkehrsmitteln unterschiedlich schnell fortbewegt. - Die unterschiedlichen Steigungen des Graphen in den verschiedenen Abschnitten verdeutlichen die ieweilige Geschwindigkeit (Weg ie Zeiteinheit), mit der die Person sich fortbewegt. Die Länge dieser Abschnitte entspricht der Länge des ieweiligen Zeitintervalls. Die Beschreibung der vier Abschnitte des Graphen muss folgende Aspekte enthalten: - Bei allen Abschnitten handelt es sich um lineare Funktionen, also gleichförmige Bewegungen ohne Beschleunigung oder Bremsen. - ln den ersten drei Minuten legt jemand oder etwas 1000m zurück. (2.8. Traktot Fahrrad, langsamer Bus ...) Zeit in min - Darauf folgt eine Minute Stillstand. (2. B.Bushaltestelle, Ampel, Gespräch, Fahrrad abschließen, ...) 12345678 9 10111213141516 - Danach legt jemand oder etwas innerhalb von sechs Minuten weitere 1000m zurück, also mit der halben Geschwindigkeit wie im ersten Abschnitt. (2.8. zügiges Gehen, langsames Fahrrad ...) - ln den letzten fünf Minuten werden sogar nur 500m zurückgelegt. (2.8. Gehen, Fahrrad schieben, ...) Mara und Leon haben ihre Hausaufgaben auf unterschiedliche Art und Weise gelöst. Sie sollten den Flächeninhalt einer Figur mithilfe eines Terms beschreiben. Maras Lösung: Leons Lösung: A = a'(b + d) + c'd A=(a+c)(b+d)-bc a) Versuchen Sie, die beiden Lösungswege zu verstehen und die Gedankengänge der beiden nachzuvollziehen. Beschreiben Sie ihr Vorgehen. Haben die beiden richtig gedacht? b) Wie würden Sie vorgehen? Finden Sie eine dritte Lösungsmöglichkeit. 6 AllgemeineKompetenzen
  • 2. Lösung Mara hat die Figur in die beiden Teilfiguren F, und F, unterteilt und den lnhalt der beiden Einzelflächen addiert. Leon hingegen hat ein Rechteck F, betrachtet und von dessen Flächeninhalt den eines kleineren Rechtecks Fo subtrahiert. Durch eine horizontale Unterteilung der Fläche in zwei Teilfiguren Fu und Fu gelangt manzu einem dritten Term: A = a.b + (a + c).d Welcher der beiden Körper hat die größere Oberfläche? Lösung Die beiden Körper haben die gleiche Oberfläche. Diese Behauptung ist richtig, reicht als Antwort jedoch nicht aus. In der Mathematik müssen Behauptungen stets begründet oder sogar bewiesen werden. Mögliche Begründung: Vom Ausgangswürfel wurden die Eckwürfel entfernt. Beim Begründen ist es wichtig, alle Schritte des Jeder Eckwürfel trägt zur Oberfläche drei kleine Gedankenganges mithilfe der Fachbegriffe oder eindeutiger Quadratflächen bei. Nach dem Entfernen der Eckwürfel Beschreibungen verständlich darzustellen und so von der - und damit der drei kleinen Quadratflächen - entsteht Ausgangssituation zur Behauptung zu gelangen. jeweils eine Lücke, die wiederum drei kleine Quadratflächen zur Gesamtoberfläche beiträgt. Somit bleibt die Oberfläche gleich groß. Um eine Behauptung zu beweisen, muss man von einer bereits bewiesenen Aussage oder einer Definition ausgehen und in logischen Schritten (die selbst wieder auf bewiesenen Aussagen beruhen) zur Behauptung gelangen. Um eine Behauptung zu widerlegen, reicht ein einziges Gegenbeispiel aus. AllgemeineKompetenzen 7
  • 3. Probler*e m*themetisch lösen I §asiswissem Es gibt Aufgaben, bei denen es im ersten Moment so scheint, als ob alles bereits Gelernte hier nicht passt - kein vertrautes mathe- matisches Verfahren und auch nicht der aktuelle Mathematik-Un- terricht. Hier müssen eigene Strategien entwickelt werden. Vor allem aber gilt: Ruhe bewahren, sortieren, überlegen und im Zweifelsfall alles wieder neu denken. Ein paar mögliche Ansätze sind hier zusammengestellt. Auch wenn sich das zunächst vielleicht nicht so richtig mathematisch anhört: Wie heißt die größte Zahl, die mit Manchen Problemlösungen kommt man näher; wenn man erst einmal ein einmaligem Benutzen der abgebildeten paar Möglichkeiten ausprobiert. Zunächst probiert man noch ohne spezielles Tasten eines Taschenrechners berechnet Ziel, aber wenn man ein paar Ergebnisse gesehen hat, ergibt sich daraus oft werden kann? schon eine Probierstrategie. ll,),?-,tr,ttl,E,t' = Lösung 5432.1= 5432 4321'5 = 21605 Wenn man eine vierstellige mit einer einstelligen Zahl multipliziert, ist das untere der beiden Ergebnisse das größtmögliche. Kann das Ergebnis größer werden, wenn man eine zweistellige und eine dreistellige Zahl miteinander multipliziert? 321.54 = 17334 421.53 = 22313 531'42= 22302 521.43 = 22403 Es scheint auch darauf anzukommen, an welcher Stelle die größten Ziffern stehen. Eine 3 an der Zehnerstelle beispielsweise bringt ein höheres Ergebnis als die 3 an der Einerstelle. Es wird außerdem klat dass die 4 und die 5 an der ersten Stelle der beiden zwei- und dreistelligen Zahlen stehen müssen und dass die 1 an einer anderen Stelle stehen muss. Es gibt für diesen Fall acht Möglichkeiten: s31.42=22302 431'52=22412 532'41=21812 432'51=22032 521.43=22403 421.53=22313 523-41 ist in jedem Fall kleiner als 532'41. 423'51: siehe links Das größte Ergebnis erhält man bei 431'52 = 22412. Eine Tabelle kann helfen, die lnformationen übersichtlich darzustellen. Marc und seine Mutter sind heute zusammen 65 lahre alt. Vor 10 Jahren war die Mutter 4-mal so alt wie Marc. Lösung Alter vor 10 lahren t, 1 'tl Gleichung: x - 10 = 4'((05 - x) - 10) Marcs Mutter ist heute 46 lahre und Marc 19 Jahre alt. 10 AllgemeineKompetenzen
  • 4. Manchmal eignet sich eine skizze besser zum Darstellen der lnformationen. ln einem Bus ist ein Drittel der plätze mit Kindern besetzt. Sechs Plätze mehr werden durch Erwachsene belegt. Neun plätze bleiben f rei. Lösung 11 Ein Drittel entspricht also 6 + 9 = 15 plätze. ----l- I ---t-- (xinaer) -L------L-i---- t--;i--T---r*,rs)---i r Kinder besetzen demnach 15 Plätze und somit gibt es insgesamt 45 Plätze. Bevor man ein Problem lös! kann es sinnvoll sein, mit einem einfacheren Wie viele Quadrate befinden sich auf einem Teilproblem zu beginnen und das Ergebnis auf das komplexe problem zu Schachbrett? übertragen. Lösung '1. Man beginnt mit einem 3x 3-Brett. Auf dem Brett befinden sich 9 kleine 1x1-Quadrate, 4 größere2x2-Quadrate, 1 großes 3x3-Quadrat. 2. Nun betrachtet man das 4x4-Brett. Auf diesem befinden sich 16 1x'1-Quadrate, 9 2x2-Quadrate, 4 3x3-Quadrate, 1 4x4-Quadrat. Es fällt auf, dass die Anzahl der Quadrate immer eine Quadratzahl ist. Das hängt mit der Anzahl der Möglichkeiten zusammen, wie die kleineren Quadrate auf dem großen platziert werden können. 3. Für das 8 x 8-Quadrat gilt also: 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + g + 4 + 1 = 204 t ." ,':-..,. : Ein Kaufmann reist von Pisa nach Lucca. Dort verdoppelt er durch gute Geschäfte sein Kapital, muss aber 16 Denare ausgeben. Er reist n"c-h Floren. weiter. Dort verdoppelt er sein neues Kapitel wieder und hat wieder Kosten von 16 Denaren. Nach Pisa zurückgekehrt, erlebt er wieder dasselbe. Als er in seine Geldkatze schau! findet er darin - nichts. Mit wie vielen Denaren ist der Kaufmann aus Pisa abgereist? Lösung Man kann diese Aufgabe sowohl durch Vorwärts- als auch durch Rückwärtsrechnen lösen. Vorwärtsrechnen: Startkapital: x Gleichung: ((2x - 16). 2 - 16).2 - 16= 0 Rückwärtsrechnen: Pisa Lucca Florenz pisa &_-- .--"dA -x/ --/ "dd /'-"*} .d /- @ &§ - w§w* Anhand der Grafik lässt sich leicht rückwärts rechnen: Endkapital nach den Ausgaben in pisa:0 0 + 16 = 16, das entspricht zweimal dem Kapital nach Florenz. Also verlässt er Florenz mit 8 Denaren. 8 + 16 = 24, das entspricht zweimal dem Kapital nach Lucca. Also verlässt er Lucca mit 12 Denaren. 12 + 15 = 28, das entspricht zweimal dem Startkapital aus pisa. Also verlässt er Pisa mit 14 Denaren. AllgemeineKompetenzen 11
  • 5. ii::ji;=E+.!€]idi1:1:;i:t=i+,E.=.=a natürliche Zahlen Die Zahlen 0; 1; 2; 3; 4; ... werden als natürliche Zahlen bezeichnet. Für die Menge der natürlichen 01234567 1.3 7>5 Zahlen schreibt man lN = {0;1;2;3;...}. ganze Zahlen Die Zahlen ...-3; -2; -1;0;'l;2;3; ... werden als ganze Zahlen bezeichnet. Zu jeder Zahl gibt es eine -4-3-2-101234 Gegenzahl. Für die Menge der ganzen Zahlen schreibt man Z = L..; -2; -1; 0; 1; Z; ...1. Brüche Gebrochene Zahlen können als Brüche oder DezimaF ]= o,ts,0,1=| brüche geschrieben werden. leden Bruch kann man in 1=? =32 = einen Dezimalbruch umwandeln und umgekehn. 2464 Der Wert eines Bruches ändert sich durch Küzen und Erweitern nicht. rationale Zahlen Wenn man alle positiven und negativen Bruchzahlen einschließlich der Null zusammen nimmt erhält man die rationalen Zahlen Q. _zL -0,5 'i "zi Potenzen Produkte aus gleichen Faktoren kann man mithilfe 5.5.5 = 53 von Potenzen schreiben: a.a.....a=an !.....-..-a- n Faktoren Zehnerpotenz- Sehr große Zahlen und Zahlen nahe bei Null schreibt 50000000 = 5.107 schreibweise man oft als Produkt aus einer Dezimalzahl und einer 0,000023 = 23.10-6 Zehnerpotenz (einer Potenz mit der Basis 10). Wurzeln Die Quadratwuzel einer positiven Zahl b ist die ,/u=s positive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert die ,/o,t+g = o,l Zahl b ergibt: a2 = b, also: y'6- = a 3- Die dritte Wurzel einer Zahl b ist die Zahl a, deren /27 =3 dritte Potenz die Zahl b ergibt: a3 = b, also: VU = a 'r/d§64 = o,+ irrationale Zahlen Es gibt auf der Zahlengeraden Punkte, denen keine = l,t+lt+Zl! ... ^/2 rationale Zahl zugeordnet werden kann. Diese kön- t = 3141592 ... nen nicht als Bruch geschrieben werden. Es handelt sich um nicht abbrechende und nicht periodische Dezimalbrüche. Sie werden als irrationale Zahlen bezeichnet und vervollständigen die Zahlengerade. reelle Zahlen Rationale Zahlen und irrationale Zahlen bilden zu- sammen die reellen Zahlen IR. Zu jedem Punkt auf der Zahlengeraden gehört eine reelle Zahl und zu jeder reellen Zahl gehört ein bestimmter Punkt. S+:j;§i!+,-i1:*;;t##&;d! =U. Beim Rechnen gelten für die verschiedenen Rechenarten unterschiedliche Rechengesetze. Wenn man diese Rechengesetze geschickt anwendet, können sie einem das Rechnen erleichtern. Kommutativgesetz Beim Addieren und Multiplizieren können die Sum- 3,2 + 2,8 = 2,8 + 3,2 manden und Faktoren vertauscht werden: 2x '7,5 = 7,5 ' 2x 6+[=§+6 a'b=b'a Assoziativgesetz ln Summen mit drei oder mehr Summanden und in 11,3 + 2,7 + l,$ = (11,3 + 2,7) + 1,8 Produkten mit drei oder mehr Faktoren dürfen be- = 11,3 + (2,7 + 1,8) liebig Klammern gesetzt oder weggelassen werden. 2 - 2,3 .11 = (2.2,3).11 = 2. (2,3.11) a + b + c = (a + b) + 6 = 6 + (b + c) a. b.c = (a. b). c = a.(b.c) Distributivgesetz und Das Distributivgesetzerlaubtdas Ausklammern 6a(2a+ 4b) = 6a .2a+ 6a'4b=12a2+24ab Ausmultiplizieren in Rechenausdrücken. 4 a (3 b - 2a) = 4a . 3b - 4a ' 2a = 12ab - 8a2 a'(b+c)=ab+ac a'(b-c)=ab-ac 20 lnhaltsbezogene Kompetenzen
  • 6. Klammern zuerst, ln Rechenausdrücken müssen Klammern zuerst be- ((6,s - 21,5) :(-5» - 1,5 . 8 Punktrechnung rechnet werden. Dann folgen die Punkt- und dann = ((-15):(-5» - 1,5.8 vor Strichrechnung die Strichrechenarten. Die-Anwendung der Rechen- = 3 - 1,5.8 gesetze erleichtert häufig das Rechnen. = 3-12 =-9 binomische Formeln Es gelten die drei binomischen Formeln: (a+b)2=72+)x§a12 (a-b)2 =a2-zab+b2 (a+b)(a-b)=62-62 Rechnen mit Für das Rechnen mit Potenzen gilt: Potenzen und an.am=an+m a2.a3=a5 Wurzeln an:am = an-m mit a + 0 2s.23=22=4 (an)m = s n'm 132y3 =3e -r* ,n.6n=(a.b)n 24 .34 = Q.3)4 = 64 =1296 Für das Rechnen mit Wurzeln gilt entsprechend: ,/d ./6 = 6:b für a, b 0 = ./-erl/E = {EE für a z 0, b > 0 üt'b - /F.Vb =a.y'u tur a, b ä o Prozent Brüche mit dem Nenner 100 werden auch als Prozent ffi=zsu, bezejchnet. p% ist also eine andere Schreibweise 62,50/o = 0,625 für fi,r. Prozentsatz, ln der Prozentrechnung bezeichnet man die Be- Von 200 Schülern kommen 125 mit dem Bus. Prozentwert und zugsgröße bzw. das Ganze als den Grundwert G. Das sind 62,57o. Grundwert Den Anteil, mit dem man sich beschäftigt, nennt man Die 200 Schüler bilden den Grundwert Prozentwert W und der daraus resultierende Bruchteil 125 den Prozentwert. heißt Prozentsatz p. 62,50/o sind der Prozentsatz. Prozentrechnung Der Zusa mmenhang zwischen Prozentwert, Grund- 640/o der 25 Teilnehmer kamen ins Ziel. wert und Prozentsatz wird beschrieben durch die G=25; W=? pYo=640/o; Formel w=25.0,64=16 W=G. poÄ bzw. W-G.* 15 Teilnehmer kamen ins Ziel. Diese Formel kann nach jeder Variablen umgeformt werden, wodurch iede gesuchte Größe aus den beiden anderen Größen berechnet werden kann. Wenn man ein Kapital K für ein jahr zu einem Zins- Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz satz von p% anlegt, erhält man für dieses nach Ab- von 3,25o/o angelegt. lauf des Jahres p7o von G als lahreszins Z. z = 2000€ .0,0325 - 35€ Z=K-p% Das Geld wird nach 2 Monaten abgehoben: Wenn man das Guthaben nur für t Tage zu einem zm = 2o0o€ . 0,0325 .f,= to,alc tahreszinssatz von p% anlegt, erhält man nurfi der lahreszinsen. Zt = K. p%.# Für Monate gilt das Entsprechende: Z. = K. p%.# Zinseszins Wenn man die gewonnenen Zinsen am lahresende dem Guthaben hinzufügt, erbringen diese im kommenden Jahr auch Zinsen. Man nennt sie Zinseszinsen. lnhaltsbezogeneKompetenzen 21
  • 7. Zur Berechnung von Flächeninhalt (A), Umfang (u), Volumen (V) und Oberfläche (O) von Flächen und Körpern sollten alle Größen- angaben zunächst auf die gleiche Maßeinheit gebracht werden. Dreieck Für den Umfang des Dreiecks ABC gilt: u = 6 + + c[ Für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit der Grundseite a und der Höhe h" gilt: A = f Viereck Für den Umfang des Rechtecks ABCD gilt: u = 2a + 2b bzw. für das Quadrat: u = 4a, da alle Seiten gleich lang sind. Für den Flächeninhalt des Rechtecks ABCD gilt: A = a .b bzw. für das Quadrat: A = a2. Für den Umfang des Parallelogramms ABCD gilt: u = 2a + 2b bzw. für die Raute u = 4a, da alle Seiten gleich lang sind. Für den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD mit der Grundseite g und der Höhe h gilt: A = g. h a=g Für den Umfang des Trapezes ABC gilt: r.l=6+[+s+d Für den Flächeninhalt des Trapezes ABCD gilt: A= T'h" Kreis Für den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser d bzw. dem Radius r gilt: u = n. d = 2. n. r Für den Flächeninhalt des Kreises gilt: A= n. r2 Kreisbogen Bei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel s gilt für die Länge des Kreisbogens b: b=2nr.#=nr-# Kreisausschnitt Bei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel q gilt für den Flächeninhalt des Kreisausschnittes A: A= n12. *--L = + zusammengesetzte Der Flächeninhalt zusammengesetzter Flächen be- Flächen rechnet sich aus der Summe der Einzelflächen. Der Umfang wird durch die Summe der Länge der Einzelstrecken ermittelt, die die Gesamtfläche be- grenzen. nicht geradlinig Den Flächeninhalt nicht geradlinig begrenzter Flä- begrenzte Flächen chen kann man schätzen, indem man sie mit einem Gitter unterlegt und die Gitterflächen abzählt. Eine zweite Möglichkeit besteht darin, die Fläche mit einer passenden Fläche (wie Rechteck oder Paralle- logramm) zu hinterlegen. 26 lnhaltsbezogene Kompetenzen
  • 8. Für das Volumen des Quaders gilt: V = a . b. c Für die Oberfläche des Quaders gilt: O = 2ab + 2bc + 2ac = 2(ab + bc + ac) c 'a Zylinder Für das Volumen des Zylinders mit Grundkreis k und [ Höhe h gilt: = Ar' h =nr2. h Für die Obedläche des Zylinders mit Grundfläche G, Mantelfläche M und Höhe h gilt: O=2G+M=2r12+2rr.h t:J fr Prisma Für das Volumen des Prismas mit Grundfläche G und Höhe h gilt: V = G.h Für die Oberfläche des Prismas mit Grundfläche G und Mantelfläche M gilt: O = 2G + M A Kegel Für das Volumen des Kegels mit Radius r und Höhe h gilt: V=!nr2-h Für die Oberfläche des Kegels mit Radius r und Mantellinie s gilt: O = Tr12 + Trrs Pyramide Für das Volumen der foramide mit Grundfläche G und Höhehgilt: V=lG.h Für die quadratische Pyramide mit Seitenlänge a gilt: V = Ja2.tr Für die Oberfläche der quadratischen Pyramide mit Seitenlänge a und der Höhe h, einer Seitenfläche gilt: o=a2+4"'! Kugel Für das Volumen der Kugel mit Radius r gilt: y = {nr3 Für die Oberfläche der Kugel mit Radius r gilt: O = 4nrz zusammengesetzte Das Volumen zusammengesetzter und ausgehöhlter Körper Körper berechnet man aus der Summe oder der Diffe- renz der Einzelkörper. Die Oberfläche solcher Körper besteht aus der Summe aller Einzelflächen. trigonometrische ln einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Beziehungen . Gesenkathete von d Stnq = -ir*r"n-*- cosq = &fiffiH" "-mt Gesenkathete von d tanCt=--i- AnKalnele von a ln beliebigen Dreiecken gelten der Sinussatz g sinq. g. sina. 6 sinF 6 = sin ß, c = siny , c - sinl c und der Kosinussatz: b-A.a ,2=62ac:2-2bc.cosq 62= - cosB c2= "2*12*2ac cosy a2+b2-2ab. X Ahnlichkeit Werden Flächen und Körper um den Streckfaktor und zentrische k=n=ffi'i r m Länge der Bildstrecke gestreckt,gilt: Streckung ähnlicheStreckenlängen: *=*, ar = k'a1 ähnliche Flächen: =,1 . Az= kz'& Av ^l' v. ähnliche Volumina: V, "r'. Vz = k3'Vr = "i' lnhaltsbezogeneKompetenzen 27
  • 9. Koordinatensystem Das Koordinatensystem unterteilt die Ebene in vier Quadranten und macht die eindeutige Bestimmung der Lage eines Punktes möglich. Man schreibt: P(xly). Winkel Ein Winkel wird von zwei Schenkeln mit gemeinsa- men Scheitelpunkt S eingeschlossen. Die Größe eines o) Winkels q wird in Grad (kurz: angegeben. Es gibt spitze (q < 90"), rechte (q = 90'), stumpfe (90'< q < 180"» gestreckte (q = 180"), überstumpfe (180o< a . 360') und volle (cx = 360') Winkel. Winkelsätze Scheitelwinkel sind gleich groß. Nebenwinkel ergänzen sich zu'180'. Stufenwinkel sind gleich groß. Wechselwinkel sind gleich groß. Symmetrien Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn man sie durch eine geeignete Achse (Symmetrieachse) in zwei spiegelbildliche Teile zerlegen kann. Sie ist punktsymmetrisch, wenn man sie durch eine halbe Drehung um den Symmetriepunkt in sich selbst übedühren kann. Ahnlichkeit Zwei Figuren sind dann ähnlich, wenn sie in den ent- sprechenden Seitenverhältnissen und Winkeln über- einstimmen. Strahlensätze Werden zwei Strahlen mit Anfangspunkt Z von zwei parallelen Geraden in den Punkten A und B bzw. A und B'geschnitten, so sind die Dreiecke ZAB und ZAB'ähnlich. Es gelten die beiden Strahlensätze: 1. Strahlensatr, '# =# 2. Strahlensatr, # ='Ä Dreiecke Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt 180' (a + p + y =180'). Man unterscheidet Dreiecke nach ihren Winkeln und nach ihren Seiten. So klassifiziert man die Dreiecke in rechtwinklige, spitzwinklige und stumpfwinklige und in gleichseitige, gleichschenklige und allgemeine Dreiecke. Dreiecke konstruieren - kongruente Zwei Dreiecke sind kongruent oder deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in - drei Seiten (SSS). ss1 Dreiecke - einer Seite und den zwei anliegenden Winkeln (wsw). - zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws). - zwei Seiten und dem Winkel, der der größeren S t Seite gegenüberliegt (SSW). W Solche Dreiecke können durch die jeweiligen Vorga- S ben eindeutig konstruiert werden. Besondere Linien Auf der Winkelhalbierenden liegen die Punkte, die im Dreieck von den Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand haben. Die drei Winkelhalbierenden des Dreiecks schneiden sich im lnkreismittelpunkt. Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke hat den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten. Die drei Mittelsenkrechten des Dreiecks schneiden sich im Umkreismittelpunkt. Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden bildet den Schwerpunkt des Dreiecks, die Höhen schneiden sich im Höhenschnittpunkt. 32 Inhaltsbezogene Kompetenzen
  • 10. Satz des Pythagoras ln einem rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkel bei C gilt: a2 + b2 = c2. Gilt bei einem Dreieck a2 + b2 = c2, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Vierecke Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt 360" (« + p + ) + ö = 360"). Es gibt achsensymmetrische Vierecke (Drachen, symmetrisches Trapez), dreh- symmetrische Vierecke (Parallelogramm) und solche, die beides sind (Raute, Rechteck, Quadrat). Ein Vier- eck ohne Symmetrien heißt allgemeines Viereck. Vielecke Man unterscheidet zwischen unregelmäßigen und regelmäßigen Vielecken. lm regelmäßigen Vieleck sind alle Seiten gleich lang und alle lnnenwinkel gleich groß. Der Mittelpunktswinkel eines n-Ecks hat die Größe ö =360:n und der lnnenwinkel q =180 - ö. Die Winkelsumme in einem n-Eck beträgt (n - 2).180'. Kreis Alle Punkte des Kreises haben vom Mittelpunkt dieselbe Entfernung. Diese bezeichnet man als Radius r. Der Durchmesser d ist doppelt so lang wie der Radius. Ein von zwei Punkten begrenztes Stück des Kreises heißt Kreisbogen. Ein von zwei Radien begrenztes Stück der Kreisfläche heißt Kreisausschnitt. Satz des Thales Liegt der Punkt C des Dreiecks ABC auf dem Halbkreis über der Strecke AB, so ist y ein rechter Winkel. Hat ein Dreieck einen rechten Winkel bei C, dann liegt C auf dem Halbkreis über der Strecke AB. Wüdel und Quader Ein Quader hat sechs rechteckige Flächen. I Gegenüberliegende Rechtecke sind gleich groß. Je I I vier Kanten sind parallel und gleich lang. Der Quader fl I hat acht Ecken, sechs Flächen und zwölf Kanten. Ein Würfel ist ein besonderer Quader: er besteht aus Quader sechs Quadraten. Prisma Ein Prisma wird begrenzt durch Grund- und Deckfläche und den Mantel. Der Mantel besteht aus Rechtecken; die Grund- und Deckfläche sind kongruent und bestimmen den Namen des Prismas. Pyramide Ein über seiner Grundfläche spitz zulaufender Körper Würfel heißt foramide. Er ist begrenzt durch die Grundfläche und dem aus Dreiecken zusammengesetzten Mantel. Die Manteldreiecke treffen sich in der Spitze. Zylinder Kegel Schrägbilder Die Grundfläche bestimmt den Namen der Pyramide. Ein Zylinder wird begrenzt durch den Grundkreis, den Deckkreis und das zum Mantel aufgerollte Rechteck. Der Kegel besteht aus einem Grundkreis und einem aufgerollten Kreisausschnitt als Mantel. Körper kann man in Form von Schrägbildern, Netzen Prisma H und Netze und Modellen darstellen. lm Schrägbild bleiben alle Kanten und Winkel unverändert, die parallel zur Zeichenebene liegen. Senkrecht zu ihr laufende Linien Zylinder werden unter einem 45'-Winkel und auf die Hälfte verkürzt gezeichnet. Aus Netzen lassen sich Körper herstellen. Kugel Eine Kugel ist ein Körpe; der sich nicht aus ebenen Kugel Flächenstücken zusammensetzen lässt. lnhaltsbezogeneKompetenzen 33
  • 11. Dreisatz Wenn zum Zweifachen; Dreifachen; Vierfachen ... 1200 t Öl kosten 600€. Wie viel kosten 1700 t? einer Eingabegröße das Zweifache; Dreifache; Vier- fache ... der Ausgabegröße gehört, kann man Preis in € gesuchte Werte der Ausgabegröße mit dem Dreisatz 600 bestimmen. 0,5 ) :1200 Man schließt zuerst durch Division auf die Einheit und 850 )-ooo dann durch Multiplikation auf das Vielfache. 1700t Heizöl kosten 850€. umgekehrter Wenn zu einem Drittel; zur Hälfte; zum Zweifachen; Eine Radtour ist mit 7 Etappen zu je 60km Dreisatz zum Dreifachen;... einer Eingabegröße das geplant. Die Gruppe hat aber nur 5 Tage Zeit. Dreifache; Doppelte; die Hälfte; ein Drittel; ... der I Ausgabegröße gehört, kann man gesuchte Werte Anzahl derTage ! Strecke in km der Ausgabegröße mit dem umgekehrten Dreisatz ,7 50 bestimmen. Der Division der Eingabegröße entspricht '7L 1 420 )'7 die Multiplikation der Ausgabegröße und umgekehrt. '5[ 5 84 ,1,5 Die Tagesstrecke muss 84km betragen. proPortionale Bei einer proportionalen Zuordnung x - y sind die Zuordnungen Quotienten zugeordneter Größen gleich. lst dieser Quotient 2.8.2, so lässt sich der y-Wert mit der Gleichung y = 2'x berechnen. Der Graph liegt auf einer Geraden. r,.:2..:L1 {:,!:2.:L .:r2 :;..,'2 antiproportionale Bei einer antiproportionalen Zuordnung x - y sind -a . | '-a ....,...... Zuordnungen die Produkte zugeordneter Größen gleich. 'i4 lst dieses Produkt 2.8.4, so lässt sich der y-Wert mit derGleichung y=* berechnen. Der Graph liegt auf einer Hyperbel. lineare Gleichungen Man nennt Gleichungen wie y = mx + b lineare , - Graph der Zuordnung y = 2x + 2 4 Gleichungen. (1 I 4) ist Lösung der Gleichung, Der Graph liegt auf einer Geraden. 3 denn2.1+2=4 2 lineare Gleichungen Für lineare Gleichungen wie -2x + y = 2 mit den f mit zwei Variablen Variablenxundygilt: 1. lede Lösung besteht aus einem Zahlenpaar. -2 1234 '-1 2. Es gibt unendlich viele Lösungen. I I (-2 | -2) ist Lösung der Gleichung, 3. Die grafische Darstellung der Lösungen ist eine --a denn2'(-2)+2=-2 Gerade. lineare Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden (1) x-2y=2;y=lx-1 Gleichungssysteme ein lineares Gleichungssystem (LGS). (2) x+y=5. y=-x+5 (LGS) Eine gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen mit zwei Variablen heißt Lösung des LGS. Ein LGS hat entweder genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen. lösen von LGS Gleichsetzungsverfahren Gleichsetzungsverfa hren : Man löst beide Gleichungen des LGS nach derselben Variablen auf. Durch Gleichsetzen der Terme erhält )x-1=-x+5 Einsetzen erglbt: ,x=o y=-4+5=1 man eine Gleichung mit einer Variablen. x= 4 r-={(4t1» Additionsverfahren Additionsvedahren: Man formt beide Gleichungen so um, dass beim (1) 3x+5y=10 Addieren beider Gleichungen eine Variable wegfällt. Q) ax'5y=4 (1) + (2):7x=14 Einsetzungsverfahren x=2 Man löst eine Gleichung nach einer Variablen auf y=0,8 und setzt diesen Wert der Variablen in die andere [_=(210,8» Gleichung ein. 38 lnhaltsbezogeneKompetenzen
  • 12. Funktion Eine Zuordnung die jedem x-Wert jeweils nur einen y-Wert zuordnet, heißt Funktion. Die Gleichung y = ax + b, mit der sich die Funktionswerte y berechnen lassen, heißt Funktionsgleichung einer linearen Funktion. Quadratische Funktionen. die eine Funktionsgleichung in der Form Funktion y = axz + bx + c haben, heißen quadratische Funktionen. Der dazugehörige Graph heißt Parabel. lhren kleinsten bzw. größten Wert nimmt eine quadratische Funktion im Scheitelpunkt an. Die Parabel der Funktion y = 0,5(x - 2)2 + 3 ist gegenüber der Parabel der Funktion y = e5x2 um 2 nach rechts und um 3 nach oben verschoben. Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion kann in der Scheitelform y = 2-(x + J)2 + 4 oder in der Normalform y= 2x2 + 12x + 22 dargestellt werden. Sinus- und Die Funktionen sin und cos werden so für alle Winket Kosinusfunktion q definiert: Jeder Winkel q mit der positiven x-Achse als erstem Schenkel bestimmt mit seinem zweiten Schenkel einen Punkt Po auf dem Einheitskreis. Man legt fest: Die x-Koordinate des Punktes Po ist cos(s). Die y-Koordinate des Punktes Po ist sin(u). Exponential- FunktionenderForm x-ax für a>0 und a+.1 funktionen nennt man Exponentialfunktionen. Sie sind für alle reellen Zahlen x definier! ihre Funktionswerte sind stets positiv. Alle Graphen gehen durch den Punkt (0 l1). Lineares Wachstum Nimmt die erste Größe um 1 zu, so wächst die zweite Lineares Wachstum n]it Wachstumsrate 4: Größe jeweils um den gleichen festen Wert. +1 +1 +'l /'; /'.} ,r-] :, +4 Nimmt die erste Größe um 1 zu, so wächst die zweite Exponentielles Wachstum mit Größe jeweils um einen festen Faktor. Wachstumsfaktor '1,5: .1,5 -1,5 lnhaltsbezogene Kompetenzen 39
  • 13. Urliste Die Ergebnisse einer statistischen Erhebung können ln einer 10. Klasse mit 25 Schülerinnen und in einer Liste notiert werden, der sogenannten Urliste. Schülern wird ermittelt, wie viele Bücher Sie ist in der Regel ungeordnet. (außer für den Unterricht) jeder im letzten lahr gelesen hat. Urliste: 0; 3; 1; 3; 17; 5; 6i 4; 4; 3; 2; 0; 0; 4;1; 3; 5;12i 3; 6; 8; 3 Rangliste Eine Liste, in der die Ergebnisse der Größe nach Rangliste: 0; 0; 0; 1; 1;1; 2; 3; 3; 3; 3; sortiert sind, heißt Rangliste. 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5; 6; 6;8; 12; 17 Häufigkeitsliste Gibt man zu ledem möglichen Wert der Liste an, wie Häufigkeitsliste: oft er vorkommt, so erhält man eine Häufigkeitsliste. Bücher absolute relative relative jti i Häufigkeit I Häufigkeit i Häufigkeit i I i ino/o I I ? ,-9,1'*t *- 1 4 9116 16% 211i0,04 14%o 3.610,24 124o/o 1: : s i 2 i-.9,1?-l 0,08 l:': - | * '' '-': 8% 6l 2 .0..98 8% 8i1i0,04,4%o : 9 1 0,04 40/o 12 I r 1o,o+: --'.-;-----.,,,,-,,,-,-1,.--,.--.-".. "..,..-..-..' - . -...'"... -.. -.".^"i.." "...... ..-" t+Y" -.-.-.--..- ..----.- 17 Häufigkeiten Die Anzahl, mit der ein bestimmter Wert vorkommt, Sechs Schüler lasen im letzten lahr 3 Bücher. heißt absolute Häufigkeit des Wertes. Die absolute Häufigkeit des Wertes ,,3 Bücher" Der Anteil, den die absolute Häufigkeit an der Ge- ist also 5. samtzahl der erhobenen Daten hat, heißt relative Die relative Häufigkeit dieses Wertes Häufiekeit. beträgt $=o,za=24o/o. reratiä Häufi gkeit = "*"::::#:*i*'' Diagramme Mit Diagrammen kann man die erfassten Werte veranschaulichen. ln Säulendiagrammen kann man die absoluten Häufigkeiten der Werte der zugrunde liegenden Liste ablesen. Kreis- oder Streifendiagramme machen deutlich, welchen Anteil ein Wert der zugrunde liegenden Häufigkeitsliste am Ganzen hat. Kennwerte (1) Der kleinste Wert einer Rangliste heißt Minimum, der 0 Bücher sind das Minimum. größte Maximum. Die Differenz von Maximum und 17 Bücher sind das Maximum. Minimum heißt Spannweite. Die Spannweite ist ein Maß dafüf wie weit die Werte 17 Bücher- 0 Bücher = 17 Bücher der Erhebung auseinander liegen, gelegentlich sorgt Die Spannweite beträgt 17 Bücher. aber ein Ausreißer für eine große Spannweite. Die Summe aller Werte dividiert durch die Anzahl der (3. 0 + 4 .1 +1. 2+ 6.3 +3 - 4 + 2- 5 +2- 6 Werte heißt Mittelwert oder arithmetisches Mittel. +1.8+ 1. 9 + 1. 12 + 1. 17) : 25 =ff =+rc Der Mittelwert ist ein Durchschnittswert. lm Durchschnitt wurden rund 4 Bücher gelesen. 44 lnhaltsbezogeneKompetenzen
  • 14. Kennwerte (2) Der Wert in der Mitte einer Rangliste heißt Zentral- Da die Liste 25 Werte enthält, liegt der wert oder Median. Hat die Rangliste eine ungerade Median an derl3. Stelle. Anzahl von Werten, so ist der mittlere Wert der Das entspricht 3 Büchern:13 Schüler haben Zentralwert. Hat die Rangliste eine gerade Anzahl 3 Bücher oder weniger gelesen, und von Werten, so bildet man den Mittelwert der beiden '13 Schüler haben 3 Bücher oder mehr gelesen. Werte in der Mitte. Mindestens die Hälfte aller Werte liegt unterhalb des Zentralwertes, mindestens die Hä lfte oberha b.I Tritt ein Ergebnis häufiger auf als alle anderen Der Modalwert ist hier derselbe wie der Ergebnisse der Erhebung, so ist dieser Wert der Zentralwert: häufigste Weft oder Modalwert." 3 Bücher wurden am häufigsten gelesen. Der Modalwert ist ein guter Ersatz für den Mittel- wert in Erhebungen, für die ein Mittelwert nicht sinnvoll bestimmt werden kann. (Wenn z. B. nach der Lieblingsfarbe gefragt wird: Der Mittelwert von Farben ist nicht sinnvoll anzugeben) Ergebnis Bei einem Zufallsversuch werden die möglichen Ausgänge als Ergebnisse bezeichnet. wz Der Münzwurf mit zwei Münzen stellt einen Zufallsversuch dar. mögliche Alle n Ergebnisse, die bei einem Zufallsversuch Es gibt vier mögliche Ergebnisse: (WW» (WZ), Ergebnisse auftauchen können, heißen mögliche Ergebnisse. (ZW), (U), wobei Z für Zahl, W für Wappen günstige Alle m Ergebnisse, die zum betrachteten Ereignis steht. Ergebnisse führen, heißen günstige Ergebnisse. Für das Ereignis,,mindestens ein Wappen werfen" gibt es die drei günstigen Ergebnisse Ereignis Mehrere Ergebnisse kann man zu einem Ereignis (VWV), (Wz) und (ZW). zusammenfassen. Laplace- Sind alle n möglichen Ergebnisse eines ledes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich und Wahrscheinlichkeit Zufallsversuchs gleich wahrscheinlich, so spricht hat die Wa hrschei nl ic hkeir 1 = 25o/o. man von einem Laplace-Versuch und berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses durch die Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Formel p = l. ,,mindestens ein Wappen werfen" Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit m günstigen Ergebnissen ist dann p(E) = o. i beträgt = 75%. Baumdiagramm Besteht ein Zufallsversuch aus mehreren Teilversu- El- chen, so spricht man von einem mehrstufigen Zufallsversuch. Ein Baumdiagramm veranschaulicht E2 die möglichen mehrstufigen Ergebnisse. Mithilfe des Baumdiagramms lässt sich die Wahrscheinlichkeit E3- jedes mehrstufigen Ergebnisses bestimmen. E4 ffadregel Die Wahrscheinlichkeit eines mehrstufi gen Summen- Ergebnisses ist gleich dem Produkt aus allen E. regel Wahrscheinlichkeiten entlang des ffades, der im E. Baumdiagramm zu diesem mehrstufigen Ergebnis führt. E7- Summenregel Mehrstufige Ergebnisse können wieder zu Ereignissen zusammengefasst werden. Die Wahrscheinlichkeit Es des Ereignisses ist dann die Summe der zugehörigen E" Ergebniswahrscheinlichkeiten. lnhaltsbezogeneKompetenzen 45