1. บทที่ 4
ความคลาย (15 ชั่วโมง)
4.1 รูปเรขาคณิตที่คลายกัน (4 ชั่วโมง)
4.2 รูปสามเหลี่ยมที่คลายกัน (5 ชั่วโมง)
4.3 การนําไปใช (6 ชั่วโมง)
บทเรียนนี้เนนการทําความเขาใจเกี่ยวกับเงื่อนไขที่ทําใหรูปสามเหลี่ยมสองรูปคลายกัน การนํา
สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่คลายกันไปใชในการใหเหตุผลและแกปญหาที่มีความเชื่อมโยงกับสิ่งแวดลอม
รอบตัว สําหรับสาระเกี่ยวกับรูปเรขาคณิตที่คลายกันเสนอไวเพื่อใหนักเรียนไดมีความรูเบื้องตนเกี่ยวกับ
รูปเรขาคณิตที่คลายกันและรูปหลายเหลี่ยมที่คลายกัน ซึ่งจะเปนพื้นฐานสําหรับการไปศึกษาเรื่อง
รูปสามเหลี่ยมที่คลายกันในหัวขอตอไป
การจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูควรเนนที่เนื้อหาเรื่องรูปสามเหลี่ยมที่คลายกัน ควรให
นักเรียนไดมีโอกาสปฏิบัติกิจกรรมในเชิงสํารวจ สังเกตและสรางขอความคาดการณ เพื่อนําไปสูขอสรุปที่
เปนสมบัติหรือทฤษฎีบทที่จะนําไปใชในการใหเหตุผลและแกปญหาได
สําหรับการใหเหตุผลในกิจกรรมและโจทยแบบฝกหัดตามที่เฉลยไวเปนเพียงแนวคิด ครูควรให
นักเรียนอธิบายและบอกเหตุผลโดยละเอียดเพิ่มเติมจากแนวคิดที่ใหไวตามความเหมาะสม
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. ระบุเงื่อนไขที่ทําใหรูปสามเหลี่ยมสองรูปคลายกันและบอกสมบัติของการคลายกันของ
รูปสามเหลี่ยมได
2. ใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่คลายกันในการใหเหตุผลและแกปญหาได

2. หมายเหตุ ขอแกคําผิดหนังสือเรียนฉบับพิมพครั้งที่ 1 ดังนี้
หนา 154 ตัวอยางขอ 1 “รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส PQRS” แกเปน “รูปสี่เหลี่ยมผืนผา PQRS”
หนา 159 ขอ 10 ยายไปเปนกิจกรรม “คิดไดไหม” หนา 168 กอนแบบฝกหัด 4.2 ก
หนา 169 ขอ 2 ขอยอย 6) กําหนดขนาดของมุมเพิ่มเติมโดยให RCA
∧
= QDB
∧
หนา 170 ขอ 7 บรรทัดสุดทาย “จะยาวเปนครึ่งหนึ่งของดานที่สาม” แกเปน
“จะยาวเปนครึ่งหนึ่งของดานที่สอง”
หนา 171 คําวา “ทฤษฎีบทปทาโกรัส” แกเปน ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
หนา 184 แบบฝกหัด 6.3 แกเปน “แบบฝกหัด 4.3”
หนา 186 ขอ 6 แกความยาวของ AC จาก 100 เมตร เปน 10 เมตร ทั้งที่โจทยและที่รูป
หนา 188 ขอ 9 เพิ่มเติมขอความและแกไขรูปเปนดังนี้
นพดลสํารวจและจัดทําแผนผังของถนนในหมูบานไดดังรูป โดยที่ BC // FG
และ DE // FG (ความยาวที่กําหนดมีหนวยเปนเมตร)
140
C
E
G
B 60 D 120 FA 120
200
จากขอมูลที่ไดมานี้ นพดลสามารถหาความยาวของถนนที่เหลือ ไดแกความยาว
ของ BC, DE , CE และ EG ไดเทาไร

3. 77
แนวทางในการจัดการเรียนรู
4.1 รูปเรขาคณิตที่คลายกัน (3 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. ระบุเงื่อนไขที่ทําใหรูปหลายเหลี่ยมสองรูปคลายกันได
2. บอกสมบัติการคลายกันของรูปหลายเหลี่ยมได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูอาจนําเขาสูบทเรียนโดยใชสิ่งตาง ๆ รอบตัวซึ่งมีรูปรางที่คลายกัน เชน ภาชนะที่เปนชุด
ใบพืชชนิดเดียวกัน ผลไมชนิดเดียวกัน รูปขยาย รูปยอ
สิ่งตาง ๆ ที่มีรูปรางเหมือนกันหรือคลายกัน เพื่อใหนักเรียน
สามารถรับรูแนวคิดเกี่ยวกับความคลายไดดวยสามัญสํานึก
2. กิจกรรม “รูปคูใดคลายกัน” ตองการใหนักเรียนใชสามัญสํานึกประกอบความรูสึกเชิงปริภูมิ
ในการคาดการณวารูปเรขาคณิตรูปใดคลายกันบาง ครูอาจใหนักเรียนบอกวิธีที่นักเรียนใชในการหาคําตอบ
จากนั้นจึงใหนักเรียนชวยกันหาขอสรุปวา รูปเรขาคณิตสองรูปที่คลายกันเปนอยางไร
ในกิจกรรมนี้หากนักเรียนไมสามารถหาคําตอบได ครูอาจแนะนําใหใชกระดาษลอกลาย
ลอกรูปที่คาดวาจะคลายกันมาซอนทับกัน ใชการเลื่อนหรือการหมุนรูปตรวจสอบขนาดของมุมแตละคู
วิธีนี้นักเรียนอาจสังเกตเห็นไดวารูปที่คลายกันจะมีดานคูที่สมนัยกันทับกันหรือขนานกันดวย
3. กิจกรรม “สมบัติของความคลาย” เปนกิจกรรมฝกการคิดวิเคราะหใหเหตุผลซึ่งนักเรียนเคย
ทํากิจกรรมและไดขอสรุปทํานองเดียวกันมาแลวในเรื่องความเทากันทุกประการ
ในกิจกรรมนี้ครูอาจใชสื่ออุปกรณ เชน ตัดกระดาษแข็งเปนรูปหลายเหลี่ยมที่คลายกันเปน
ชุด ๆ ชุดละ 3 – 4 รูป เขียนตัวอักษร A, B และ C กํากับไวที่รูปเพื่อใชประกอบการหาคําตอบในแตละขอ
ครูอาจชี้ใหนักเรียนสังเกตวาสมบัติของความคลายของรูปเรขาคณิตที่ไดนี้มีขอสรุปทํานองเดียวกันกับสมบัติ
ของความเทากันทุกประการ
4. สําหรับกิจกรรม “สํารวจรูปหลายเหลี่ยม” ตองการใหนักเรียนไดสํารวจ สังเกต เกี่ยวกับ
ขนาดของมุมและอัตราสวนของความยาวของดาน เพื่อนําไปสูบทนิยามและตัวอยางของรูปหลายเหลี่ยม
ที่คลายกัน หลังจากนักเรียนไดขอสรุปแลว ครูควรย้ําวาในการตรวจสอบวารูปหลายเหลี่ยมสองรูปใด ๆ
เปนรูปที่คลายกันหรือไม จะตองพิจารณาเงื่อนไขใหครบทั้งสองประการคือ มีขนาดของมุมเทากันเปนคู ๆ
ทุกคู และมีอัตราสวนของความยาวของดานคูที่สมนัยกันทุกคูเปนอัตราสวนที่เทากัน จะขาดเงื่อนไขใด
เงื่อนไขหนึ่งไมได

4. 78
ครูควรใหขอสังเกตเกี่ยวกับการใชคําวา “ก็ตอเมื่อ” ในบทนิยามโดยอธิบายใหนักเรียนเขาใจ
ความหมายของขอความที่มีคํานี้ปรากฏอยูทั้งไปและกลับ
นอกจากนี้ครูควรย้ําเกี่ยวกับการเขียนชื่อของรูปหลายเหลี่ยมที่คลายกันวาจะตองใหความสําคัญ
กับลําดับของตัวอักษรที่กํากับชื่อ ซึ่งแสดงถึงการจับคูระหวางมุมและดานคูที่สมนัยกัน
5. ตัวอยางและแบบฝกหัดในหัวขอนี้ ตองการใหนักเรียนเห็นการนําบทนิยามของรูป
หลายเหลี่ยมที่คลายกันไปใชในการใหเหตุผลและแกปญหา ครูควรแนะใหนักเรียนตระหนักวาในการให
เหตุผลทางเรขาคณิตโดยทั่ว ๆ ไปจะตองนําความรูอื่น ๆ มาใชประกอบดวยอยูเสมอ เชน ตัวอยางที่ 1 ตอง
ใชบทนิยามและสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ตัวอยางที่ 2 ตองใชความรูเกี่ยวกับผลรวมของขนาดของ
มุมภายในของรูปหาเหลี่ยม และตัวอยางที่ 3 มีความเชื่อมโยงกับการแกสมการและในตอนทายของตัวอยาง
นี้มีขอสรุปเกี่ยวกับอัตราสวนของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมที่คลายกันดวย
สําหรับแบบฝกหัด 4.1 มีคําถามที่ตองการใหนักเรียนบอกเหตุผลดวย ขอที่มีคําตอบวาเปน
รูปที่คลายกัน นักเรียนควรแสดงเหตุผลตามบทนิยามของรูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่คลายกัน สวนขอที่มี
คําตอบวาเปนรูปที่ไมคลายกัน นักเรียนควรยกตัวอยางคานใหเห็น สําหรับขอ 5 และขอ 6 ถานักเรียน
อานโจทยไมดีอาจคิดวาเปนโจทยเดียวกัน ครูควรใหขอสังเกตและทําความเขาใจโจทยสองขอนี้กับนักเรียน
เปนพิเศษ
6. สําหรับกิจกรรม “รูปเหมือน” เปนกิจกรรมที่เชื่อมโยงกับงานศิลปะ มีเจตนาใหนักเรียนได
ใชความรูเรื่องการยอและการขยายมาใชในการเขียนรูปยอหรือรูปขยาย ซึ่งถือวาเปนรูปเรขาคณิตที่คลายกัน
ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมนี้นอกเวลาเรียนและนําผลงานของนักเรียนมาจัดแสดงบนปายนิเทศก็ได
4.2 รูปสามเหลี่ยมที่คลายกัน (5 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. บอกบทนิยามของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่คลายกันได
2. ระบุเงื่อนไขเกี่ยวกับอัตราสวนของความยาวของดานที่ทําใหรูปสามเหลี่ยมสองรูปคลายกันได
3. ใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่คลายกันในการใหเหตุผลได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 4.2 ก และ 4.2 ข
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูสามารถนําเขาสูบทเรียนโดยอาศัยรูปสามเหลี่ยมที่คลายกันจากสิ่งแวดลอมหรือสิ่งกอสราง
ตาง ๆ เชน หนาจั่วบาน โครงหลังคา โครงสะพาน เพื่อทําใหบทเรียนมีความหมาย นาสนใจ จากนั้นจึง
ทบทวนบทนิยามของรูปหลายเหลี่ยมที่คลายกันเพื่อปรับใชเปนบทนิยามของรูปสามเหลี่ยมที่คลายกัน

5. 79
2. สําหรับกิจกรรม “ลองหาดู” มีเจตนาเชื่อมโยงคําตอบของนักเรียนสูบทนิยามของ
รูปสามเหลี่ยมที่คลายกัน ครูควรใหนักเรียนไดปฏิบัติตามขั้นตอนของกิจกรรมนี้เพื่อใหนักเรียนคนพบ
สมบัติตามบทนิยามดวยตัวเอง ครูอาจใชคําถามตรวจสอบความเขาใจกับนักเรียนเกี่ยวกับขอความใน
บทนิยามที่ใชคําวา “ก็ตอเมื่อ” อีกครั้งหนึ่งก็ได
3. ในตัวอยางที่ 2 และตัวอยางที่ 3 ครูควรใหขอสังเกตกับนักเรียนวา ถึงแมโจทยจะใหหา
คา x และ y แตในทางปฏิบัตินักเรียนจะตองใชความรูเกี่ยวกับสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่คลายกันในการ
หาคําตอบ ดังนั้นนักเรียนจะตองแสดงกอนวารูปที่กําหนดใหนั้นเปนรูปสามเหลี่ยมที่คลายกัน
4. การพิจารณาอัตราสวนของความยาวของดานคูที่สมนัยกันเปนคู ๆ นั้น เพื่อไมใหสับสน
ครูอาจแนะนําใหนักเรียนพิจารณาความยาวของดานที่อยูตรงขามกับมุมคูที่มีขนาดเทากันเปนคู ๆ ทั้งนี้ควร
เริ่มพิจารณาจากมุมคูที่มีขนาดเล็กที่สุดไปจนถึงมุมคูที่มีขนาดใหญที่สุดหรือในทางกลับกัน ดังตัวอยางจาก
ในแบบฝกหัด 4.2 ก ขอ 2 ขอยอย 3)
y9Q R
xS
12
T
6
9
P
1) พิจารณา ใน ∆ SQT คูกับTQS
∧
RQP
∧
ใน ∆ PQR
จะไดอัตราสวนของความยาวของดานตรงขามกับมุมเปน 6 : x
2) พิจารณา ใน ∆ SQT คูกับTSQ
∧
PRQ
∧
ใน ∆ PQR
จะไดอัตราสวนของความยาวของดานตรงขามกับมุมเปน 9 : 12 + 9 หรือ 9 : 21
3) หาคา x จากสัดสวน x
6 = 21
9
5. สําหรับกิจกรรม “คิดไดไหม” มีเจตนาใหนักเรียนรูจักนําสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลาย
มาอธิบายและใหเหตุผลกับรูปหลายเหลี่ยม ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมนี้รวมกันในชั้นเรียน ใหมีการ
อภิปรายบอกเหตุผลโดยไมตองเขียนเปนทางการก็ได
6. สําหรับแบบฝกหัด 4.2 ก ขอ 5 และขอ 7 หลังจากนักเรียนทําแบบฝกหัดแลว ครูควรนํา
โจทยทั้งสองขอนี้มาทําความเขาใจในชั้นเรียนอีกครั้ง พรอมแนะนําใหนักเรียนนําสมบัติที่ไดนี้ไปใชใน
การใหเหตุผลและแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได
7. สําหรับกิจกรรม “การพิสูจนทฤษฎีบทพีทาโกรัสของภาสกร” มีเจตนาเชื่อมโยงความรูใน
สาระคณิตศาสตร ใหนักเรียนเห็นวิธีการพิสูจนทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลาย
ครูควรใหนักเรียนทํากิจกรรมนี้และชี้ใหเห็นวาการพิสูจนโดยวิธีนี้ทําไดงายและกะทัดรัด

6. 80
8. สําหรับกิจกรรม “ความสูงของพีระมิด” มีเจตนาใหเปนความรูเพิ่มเติมเพื่อใหนักเรียนไดรูวา
คนโบราณรูจักใชคณิตศาสตรแกปญหาโดยอาศัยธรรมชาติเปนสื่อ และใหรูวาวิธีที่ทาเลสใช เปนการนํา
สมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลายมาใชเชนกัน ถามีเวลาพอครูอาจใหนักเรียนไดนําวิธีนี้ไปปฏิบัติจริงนอก
หองเรียนดวย
9. ถานักเรียนมีความพรอมและมีเวลาพอ ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 4.2 ก และ 4.2 ข
เพิ่มเติมความรูเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมคลายดวยก็ได สําหรับกิจกรรม 4.2 ก ตองการใหนักเรียนเห็นวิธีการ
พื้นฐานในการสรางรูปสามเหลี่ยมใหคลายกับรูปสามเหลี่ยมที่กําหนดให สวนกิจกรรม 4.2 ข ใหความรู
เพิ่มเติมเกี่ยวกับการพิจารณาความคลายของรูปสามเหลี่ยม ครูอาจใหนักเรียนใชความรูในกิจกรรมเสนอแนะ
4.2 ข นี้ไปแกปญหาในกิจกรรม “คิดไดไหม” อีกวิธีหนึ่งดวยก็ได
4.3 การนําไปใช (5 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่คลายกันในการแกปญหาได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 4.3
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. กิจกรรมในหัวขอนี้ เนนการนําสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลายไปใชแกปญหาตาง ๆ ซึ่ง
นักเรียนอาจพบไดในชีวิตประจําวัน หรือในสิ่งแวดลอมรอบตัว ทําใหคณิตศาสตรที่นักเรียนเรียนใน
หองเรียนมีความหมายยิ่งขึ้น นักเรียนไดมีโอกาสเห็นการนําไปใชอยางเปนรูปธรรม กิจกรรมในหัวขอนี้
ยังเปนอีกแนวทางหนึ่งที่ทําใหนักเรียนเห็นประโยชนและคุณคาของคณิตศาสตรและชวยสรางเจตคติที่ดีตอ
วิชาคณิตศาสตรไดอีกดวย
การแกโจทยปญหาในหัวขอนี้ ครูควรกระตุนใหนักเรียนเขียนรูปประกอบและวิเคราะหหา
รูปสามเหลี่ยมที่คลายกัน เพื่อใหสามารถนําสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลายไปใชแกปญหาได
2. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนนอกจากจะใหนักเรียนศึกษาตัวอยางและแกโจทยปญหา
จากแบบฝกหัด 4.3 แลว ครูอาจใหนักเรียนสรางโจทยปญหาขึ้นเองและครูอาจจัดกิจกรรมคณิตศาสตร
ปฏิบัติการ โดยใหนักเรียนนําสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลายไปใชแกปญหาในสถานการณจริง เชน
หาความสูงของเสาธง หาความสูงของอาคารเรียน หาความกวางของสระน้ํา โดยอาศัยแนวคิดจากการ
แกโจทยปญหาจากตัวอยางและแบบฝกหัด
3. กิจกรรม “การยอการขยาย” เปนตัวอยางของการนําสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลายไปใช
ประโยชน นักเรียนสามารถอาศัยแนวคิดนี้ในการเขียนรูปยอและรูปขยายของรูปอื่น ๆ ใหมีขนาดตาม
อัตราสวนที่ตองการ นอกจากนี้สําหรับนักเรียนที่มีความสนใจเปนพิเศษ ครูอาจเพิ่มเติมกิจกรรมให
นักเรียนแสดงการใหเหตุผลวา รูปที่ไดจากการยอหรือการขยายเปนรูปที่คลายกับรูปเรขาคณิตที่กําหนดให

7. 81
ในการใหเหตุผลจะตองใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลายจากเงื่อนไข ดังในกิจกรรมเสนอแนะ 4.2 ข
4. สําหรับกิจกรรม “แบบจําลอง” และ “เรื่องของการฉาย” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นการ
เชื่อมโยงของเรื่องความคลายมาใชในงานตาง ๆ ที่นักเรียนคุนเคย ครูอาจใหนักเรียนบอกงานที่มีการใช
ความรูเรื่องความคลายเพิ่มเติมอีกก็ได
5. ถาโรงเรียนมีอุปกรณแพนโตกราฟและมีเวลาพอ ครูอาจนํากิจกรรมเสนอแนะ 4.3 มาให
นักเรียนทําเปนกิจกรรมเพิ่มเติม
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบกิจกรรม “รูปคูใดคลายกัน”
1. รูป ก คลายกับ รูป ง และรูป ข คลายกับ รูป ค
2. รูป ก คลายกับ รูป ข และรูป ค คลายกับ รูป จ
3. รูป ก คลายกับ รูป ข รูป ค คลายกับ รูป ง รูป ง คลายกับ รูป จ และรูป ค คลายกับ รูป จ
คําตอบกิจกรรม “สมบัติของความคลาย”
1. คลาย
2. คลาย
3. คลาย
คําตอบกิจกรรม “สํารวจรูปหลายเหลี่ยม”
1. = , = , = และ
∧
A
∧
P
∧
B
∧
Q
∧
C
∧
R
∧
D =
∧
S
2. PQ
AB = 4
3 , QR
BC = 4
3 , RS
CD = 4
3 และ SP
DA = 4
3
3. PQ
AB = QR
BC = RS
CD = SP
DA = 4
3

8. 82
คําตอบแบบฝกหัด 4.1
1.
1) ABCD คลายกับ WXYZ เพราะ มีขนาดของมุมเทากันเปนคู ๆ ทุกคู คือ
=
∧
A
∧
W, = ,
∧
B
∧
X
∧
C =
∧
Y และ
∧
D =
∧
Z
และอัตราสวนของความยาวของดานคูที่สมนัยกันทุกคูเปนอัตราสวนที่เทากัน คือ
WX
AB = XY
BC = YZ
CD = ZW
DA = 4
6 = 2
3
2) LONG ไมคลายกับ BACK เพราะ มีอัตราสวนของความยาวของดานคูที่สมนัยกัน
บางคูไมเปนอัตราสวนที่เทากันคือ BA
LO = KC
GN = 8
7 ในขณะที่ BK
LG = AC
ON = 6
5
2. คลายกัน เพราะ มีขนาดของมุมเทากันเปนคู ๆ ทุกคู และอัตราสวนของความยาวของดานคูที่สมนัย
กันทุกคูเปนอัตราสวนที่เทากัน
3. อาจไมเปนรูปที่คลายกัน ดังตัวอยาง
4. คลายกัน เพราะ มีขนาดของมุมเทากันเปนคู ๆ ทุกคู และอัตราสวนของความยาวของดานคูที่สมนัย
กันทุกคูเปนอัตราสวนที่เทากัน
3
44
8
66
5. อาจไมเปนรูปที่คลายกัน ดังตัวอยาง
2
2
2
22
23
3
3
3
3
3
6. คลายกัน เพราะ มีขนาดของมุมเทากันเปนคู ๆ ทุกคู และอัตราสวนของความยาวของดานคูที่สมนัย
กันทุกคูเปนอัตราสวนที่เทากัน

9. 83
7. อาจไมเปนรูปที่คลายกัน ดังตัวอยาง
8. = 65
∧
I o
, = 120
∧
C o
, = 95
∧
H o
,
∧
B = 80o
และ
∧
K = 95o
9.
4
4
433
5
5
4
1) = 90
∧
C o
และ = 80
∧
A o
2) DL = 9 หนวย และ MW = 10 หนวย
3) = 2
3ความ อยาวร บรูปของ COLD
ความยาวรอบรูปของ WARM
คําตอบกิจกรรม “ลองหาดู”
3. เทากัน เพราะ รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มุมภายในสองคูมีขนาดเทากัน มุมคูที่เหลือจะมีขนาด
เทากัน
4. เทากัน
คําตอบกิจกรรม “คิดไดไหม”
เปนรูปที่คลายกัน ดวยเหตุผลตามแนวคิดตอไปนี้
จะตองพิสูจนวา
1) =AOD
∧
AOD ′′
∧
, BAO
∧
= BAO ′′
∧
, CBA
∧
= ,
=
CBA ′′′
∧
DCB
∧
DCB ′′′
∧
และ ODC
∧
= ODC
∧
′′
2)
AO
OA
′
=
BA
AB
′′
=
CB
BC
′′
=
DC
CD
′′
=
OD
DO
′
จากสิ่งที่กําหนดให และโดยสมบัติของเสนขนาน จะไดวา ขอ 1) เปนจริง
และจะไดวา ∆ OAB ∼ ∆ OA′B′, ∆ OBC ∼ ∆ OB′C′ และ ∆ OCD ∼ ∆ OC′D′

10. 84
จาก ∆ OAB ∼ ∆ OA′B′ จะได
AO
OA
′
=
BA
AB
′′
=
BO
OB
′
∆ OBC ∼ ∆ OB′C′ จะได
BO
OB
′
=
CB
BC
′′
=
CO
OC
′
∆ OCD ∼ ∆ OC′D′ จะได
CO
OC
′
=
DC
CD
′′
=
OD
DO
′
ดังนั้น ขอ 2) เปนจริง
คําตอบแบบฝกหัด 4.2 ก
1.
1) คลายกัน เพราะ มี
∧
P =
∧
N = 50o
,
∧
L =
∧
O = 90o
และ = = 40
∧
A
∧
I o
2) ไมคลายกัน เพราะ มีขนาดของมุมเทากันเพียงคูเดียว คือ
∧
B =
3) คลายกัน เพราะ มี
∧
M
PAM
∧
= BOM
∧
, MPA
∧
= MBO
∧
และ =AMP
∧
OMB
∧
4) คลายกัน เพราะ รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มี =
∧
A
∧
B ,
= และ
∧
R
∧
L
∧
M =
∧
E
5) ไมคลายกัน เพราะ จากการใชกระดาษลอกลายตรวจสอบ พบวาไมมีขนาดของมุมเทากัน
เปนคู ๆ สามคู
6) คลายกัน เพราะ มี SED
∧
= DSK
∧
, SDE
∧
= DKS
∧
และ =DSE
∧
KDS
∧
2.
1) x = 10 หนวย และ y = 12.5 หนวย
2) x = 21.6 หนวย และ y = 6.25 หนวย
3) x = 14 หนวย และ y = 19 หนวย
4) x = 35 หนวย และ y = 21 หนวย
5) x = 40 หนวย และ y = 9.375 หนวย
6) x = 32 หนวย และ y = 72 หนวย
3. ∆ ABE ∼ ∆ CDE เพราะ BAE
∧
= DCE
∧
และ EBA
∧
= EDC
∧
(มุมแยงที่เกิดจากเสนตัด
AB และ CD ที่ขนานกัน)
และ =BEA
∧
DEC
∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาด
เทากัน)

11. 85
4.
1) ∆ DBA ∼ ∆ ABC เพราะ ADB
∧
= CAB
∧
, ABD
∧
= CBA
∧
และ =BAD
∧
BCA
∧
∆ DCA ∼ ∆ ABC เพราะ ADC
∧
= CAB
∧
, ACD
∧
= CBA
∧
และ =CAD
∧
BCA
∧
2) x = 45 หนวย และ y = 36 หนวย
5. จากที่กําหนดให ∆ ABC ∼ ∆ DEF
จะได DE
AB = EF
BC = FD
CA
เนื่องจาก DE
AB = EF
BC
AB × EF = DE × BC
จะได BC
AB = EF
DE
เนื่องจาก EF
BC = FD
CA
BC × FD = EF × CA
จะได CA
BC = FD
EF
เนื่องจาก FD
CA = DE
AB
CA × DE = FD × AB
จะได AB
CA = DE
FD
ดังนั้น BC
AB = EF
DE , CA
BC = FD
EF และ AB
CA = DE
FD
6. FO = 4.8 เซนติเมตร
7. กําหนด ∆ ABC มีจุด M เปนจุดกึ่งกลางของดาน AC ลาก MN ขนานกับ AB ตัด BC ที่จุด N
เนื่องจาก ∆ MNC ∼ ∆ ABC
จะไดวา AB
MN = CA
CM
AB
MN = CM2
CM (M เปนจุดกึ่งกลางของดาน AC)
AB
MN = 2
1
ดังนั้น MN = 2
1 ABA B
NM
C
8. เนื่องจาก ∆ ADE ∼ ∆ ABC
จะได BC
DE = AB
AD = 3
2
ดังนั้น DE = 3
2 BC

12. 86
คําตอบแบบฝกหัด 4.2 ข
1.
1) ∆ BOY ∼ ∆ DOG เพราะ อัตราสวนของความยาวของดานคูที่สมนัยกันทุกคูของ
รูปสามเหลี่ยมสองรูปเปนอัตราสวนที่เทากัน ซึ่งเทากับ 1 : 2
2) ∆ EAT ∼ ∆ NRT เพราะ อัตราสวนของความยาวของดานคูที่สมนัยกันทุกคูของ
รูปสามเหลี่ยมสองรูปเปนอัตราสวนที่เทากัน ซึ่งเทากับ 3 : 5
3) ∆ ABC และ ∆ DCA ไมเปนรูปสามเหลี่ยมที่คลายกัน เพราะ DC
AB ≠
CA
BC
4) ∆ BDA และ ∆ ADC ไมเปนรูปสามเหลี่ยมที่คลายกัน เพราะ CA
AB ≠
AD
BD
∆ BDA และ ∆ BAC ไมเปนรูปสามเหลี่ยมที่คลายกัน เพราะ BA
BD ≠
CB
AB
2. = 26CBA
∧
o
, = 64BCD
∧
o
และ CBD
∧
= 26o
3. จากสิ่งที่กําหนดให จะไดวา ∆ FDE ∼ ∆ RPQ
ดังนั้น =
∧
D
∧
P
4. จากสิ่งที่กําหนดให จะไดวา ∆ AXY ∼ ∆ ABC
ดังนั้น =
นั่นคือ
YXA
∧
CBA
∧
XY // BC (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมภายนอกและ
มุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน
แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน)
คําตอบแบบฝกหัด 4.3
1. ประมาณ 15.04 เมตร
2. 21.50 เมตร
3. 100 เมตร
4. ประมาณ 26.92 เมตร
5. 0.9 เมตร
6. 19.2 เมตร
7. ประมาณ 3.73 เมตร
8. 350 เมตร

13. 87
9. เนื่องจาก ∆ ABC, ∆ ADE และ ∆ AFG เปนรูปสามเหลี่ยมที่คลายกัน
ดังนั้น BC = 80 เมตร
DE = 120 เมตร
CE = 70 เมตร
และ EG = 140 เมตร

14. 88
กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

15. 89
กิจกรรมเสนอแนะ 4.2 ก
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนไดรูจักวิธีการพื้นฐานสองวิธีในการสรางรูปสามเหลี่ยม
สองรูปที่คลายกัน ซึ่งอาจเปนรูปยอหรือรูปขยายก็ได
แนวการจัดกิจกรรม
1. ครูใหแนวคิดกับนักเรียนถึงวิธีการสรางรูปสามเหลี่ยมใหคลายกับรูปสามเหลี่ยมที่กําหนดให
อาจเปนรูปยอหรือรูปขยายโดยใชวิธีการพื้นฐานสองวิธี ดังนี้
วิธีที่ 1 สรางรูปสามเหลี่ยมที่ตองการใหมีขนาดของมุมเทากับขนาดของมุมของรูปสามเหลี่ยม
รูปตนแบบใหเทากันเปนคู ๆ สามคู
วิธีที่ 2 สรางรูปสามเหลี่ยมที่ตองการใหมีอัตราสวนของความยาวของดานคูที่สมนัยกันกับความยาว
ของดานของรูปตนแบบทุกคูเปนอัตราสวนที่เทากัน
2. ครูใหนักเรียนสรางรูปสามเหลี่ยมสองรูปใหคลายกันทั้งวิธีที่ 1 และวิธีที่ 2 และทํากิจกรรม
ตามลําดับขั้นตอนในแตละวิธีตอไปนี้
วิธีที่ 1
A′
B′ C′
A
B C
รูป ขรูป ก
1) ใหนักเรียนเขียน ∆ ABC ใหมีความยาวของดานและขนาดของมุมตามใจชอบ
ดังรูป ก
2) สราง CB ′′ ใหยาวตามตองการ
3) สราง ∆ A′B′C′ โดยสรางใหมุม A′B′C′ และมุม A′C′B′ มีขนาดเทากับขนาดของ
และ ตามลําดับ ดังรูป ขCBA
∧
BCA
∧

16. 90
4) นักเรียนคิดวา CAB
∧
และมุม B′A′C′ มีขนาดเทากันหรือไม เพราะเหตุใด
[เทากัน เพราะ รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มุมภายในสองคูมีขนาดเทากัน มุมคูที่เหลือจะ
มีขนาดเทากัน]
5) ∆ ABC คลายกับ ∆ A′B′C′ หรือไม เพราะเหตุใด
[คลายกัน เพราะมีขนาดของมุมเทากันเปนคู ๆ สามคู]
วิธีที่ 2
c b
C
bc
A′
B′ C′a
bc
aB
รูป ก
a
A
รูป ข
1) ใหนักเรียนเขียน ∆ ABC ใหมีความยาวของดานเปน a, b และ c หนวย
ตามใจชอบ ดังรูป ก
2) สราง CB ′′ ใหมีความยาว 2a หนวย
3) ใชจุด B′ เปนจุดศูนยกลางรัศมี 2c เขียนสวนโคง
4) ใชจุด C′ เปนจุดศูนยกลางรัศมี 2b เขียนสวนโคงตัดสวนโคงในขอ 3 ที่จุด A′
จะได ∆ A′B′C′ ดังรูป ข
5) นักเรียนคิดวา ∆ A′B′C′ คลายกับ ∆ ABC หรือไม เพราะเหตุใด
[จากการสราง จะได ∆ A′B′C′ คลายกับ ∆ ABC เพราะวา ′ ′A B
AB = ′ ′B C
BC = ′ ′C A
CA = 2
1 ]

17. 91
กิจกรรมเสนอแนะ 4.2 ข
กิจกรรมนี้มีเจตนาเพิ่มเติมความรูใหนักเรียนเพื่อใหทราบวา มีทฤษฎีบทอีกทฤษฎีบทหนึ่ง
ที่ระบุถึงเงื่อนไขที่ทําใหรูปสามเหลี่ยมสองรูปเปนรูปสามเหลี่ยมที่คลายกัน
แนวการจัดกิจกรรม
ครูแนะนําใหนักเรียนทราบวานอกเหนือจากการใชบทนิยามที่พิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขนาด
ของมุมที่เทากันเปนคู ๆ สามคู และการพิจารณาจากอัตราสวนของความยาวของดานคูที่สมนัยกันทุกคูเปน
อัตราสวนที่เทากันแลว ยังมีทฤษฎีบทเกี่ยวกับการพิจารณาความคลายของรูปสามเหลี่ยมอีกทฤษฎีบทหนึ่ง
ดังนี้
ทฤษฎีบท ในรูปสามเหลี่ยมสองรูป ถาขนาดของมุมมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง
เทากับขนาดของมุมมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง และอัตราสวนของ
ความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมที่เปนแขนของมุมที่มีขนาดเทากันนั้น เปน
อัตราสวนที่เทากัน แลวรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปเปนรูปสามเหลี่ยมที่คลายกัน
กําหนดให ∆ ABC และ ∆ DEF มี
∧
A =
∧
D และ DE
AB = DF
AC
ตองการพิสูจน ∆ ABC ~ ∆ DEF
A
B C
D
FE
X Y
พิสูจน บน DE สราง DX = AB
สราง XY ขนานกับ EF และตัด DF ที่จุด Y
พิจารณา ∆ DXY และ ∆ DEF
=YDX
∧
FDE
∧
(เปนมุมเดียวกัน)
=YXD
∧
FED
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกัน
ของเสนตัดเสนขนาน มีขนาดเทากัน)

18. 92
=XYD
∧
EFD
∧
(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว
มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกัน
ของเสนตัดเสนขนาน มีขนาดเทากัน)
ดังนั้น ∆ DXY ~ ∆ DEF
จะได DE
DX = DF
DY
เนื่องจาก DE
AB = DF
AC (กําหนดให)
และ DX = AB (สราง)
ดังนั้น DE
DX = DE
AB = DF
DY = DF
AC (สมบัติของการเทากัน)
จาก DF
DY = DF
AC
จะได DY = AC (สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น ∆ ABC ≅ ∆ DXY (ด.ม.ด.)
นั่นคือ ∆ ABC ~ ∆ DXY (บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมที่
คลายกัน)
และ ∆ ABC ~ ∆ DEF (สมบัติถายทอด)

19. 93
กิจกรรมเสนอแนะ 4.3
กิจกรรมนี้ตองการใหเปนความรูเพิ่มเติมวาแพนโตกราฟเปนอุปกรณชวยในการเขียนรูปยอ
หรือรูปขยาย อุปกรณนี้สรางขึ้นโดยอาศัยสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลาย และใหนักเรียนเห็นการ
ใชคณิตศาสตรในงานศิลปะ
แพนโตกราฟ (Pantograph)
แพนโตกราฟเปนเครื่องมือสําหรับขยายหรือยอรูป ประกอบดวยแทงไม 4 แทง ยึดติดกันดวย
หมุดที่จุด A, B, C และ D ใหมีลักษณะเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD โดยจุด P, D และ E อยูใน
แนวเสนตรงเดียวกัน จุด P ถูกตรึงไวบนแผนรองเขียนภาพ
ในการขยายรูปจิตรกรจะติดปลายเข็มไวที่จุด D ติดดินสอไวที่จุด E ขณะที่เคลื่อนที่ปลายเข็มที่
จุด D ไปตามรูปตนแบบ ดินสอที่จุด E ก็จะเคลื่อนที่ไปดวย เกิดเปนรูปขยายขึ้นจากรูปตนแบบ ดังรูป ก
ขณะที่จุด D เคลื่อนที่ มุมของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD จะมีขนาดเปลี่ยนแปลงไปโดยที่จุด
P, D และ E ยังคงอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน ดังรูป ข
รูป ก รูป ข
กําหนดให PA ยาว 3 หนวย และ AB ยาว 6 หนวย

20. 94
ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้
1. ∆ PBE ~ ∆ PAD หรือไม เพราะเหตุใด [คลาย เพราะมีขนาดของมุมเทากันเปนคู ๆ ทุกคู]
2. จากรูป ก จงหาอัตราสวน PB ตอ PA [9 : 3 หรือ 3 : 1]
3. จากรูป ก จงหาอัตราสวน PE ตอ PD [3 : 1]
4. จากรูป ข อัตราสวนของความกวางของรูปที่เขียนตอความกวางของรูปตนแบบเปนเทาไร กลาวคือ
DD
EE
′
′ เปนเทาไร [3 : 1]
5. ถาตองการเขียนรูปยอของผีเสื้อตัวใหญใหเปนผีเสื้อตัวเล็ก โดยอัตราสวนของความกวางของรูป
ที่เขียนตอความกวางของรูปตนแบบเปน 1 : 2 นักเรียนจะตองปรับและใชเครื่องแพนโตกราฟ
อยางไร จงอธิบาย
[1. ปรับให ยาว 1 หนวย และPA AB ยาว 1 หนวย
2. เปลี่ยนตําแหนงปลายเข็มจากจุด D ไปที่จุด E และดินสอจากจุด E ไปที่จุด D]