1. คู่มือประกอบสื่ อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
จานวนจริง
(เนือหาตอนที่ 8)
้
การแก้ อสมการค่ าสั มบูรณ์
โดย
ศาสตราจารย์ ดร.กฤษณะ เนียมมณี
สื่ อการสอนชุดนี้ เป็ นความร่ วมมือระหว่ าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์ มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพืนฐาน (สพฐ.)
้
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง
สื่ อการสอน เรื่ อง จานวนจริ ง มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 17 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง จานวนจริง
2. เนือหาตอนที่ 1 สมบัติของจานวนจริง
้
- ระบบจานวนจริ ง
- สมบัติพ้ืนฐานของระบบจานวนจริ ง
3. เนือหาตอนที่ 2 การแยกตัวประกอบ
้
- การแยกตัวประกอบ
4. เนือหาตอนที่ 3 ทฤษฎีบทตัวประกอบ
้
- ทฤษฎีบทเศษเหลือ
- ทฤษฎีบทตัวประกอบ
5. เนือหาตอนที่ 4 สมการพหุนาม
้
- สมการพหุนามดีกรี หนึ่ง
- สมการพหุนามดีกรี สอง
- สมการพหุนามดีกรี สูง
- การประยุกต์สมการพหุนาม
6. เนือหาตอนที่ 5 อสมการ
้
- เส้นจานวนและช่วง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุ นามดีกรี หนึ่ง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุ นามดีกรี สูง
7. เนือหาตอนที่ 6 เทคนิคการแก้อสมการ
้
- อสมการในรู ปเศษส่ วน
- การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง
- การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร
- การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ
8. เนือหาตอนที่ 7 ค่ าสั มบูรณ์
้
- ค่าสัมบูรณ์
- สมการค่าสัมบูรณ์
1

3. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. เนือหาตอนที่ 8 การแก้ อสมการค่ าสั มบูรณ์
้
- อสมการค่าสัมบูรณ์
- โจทย์ประยุกต์อสมการค่าสัมบูรณ์
10. เนือหาตอนที่ 9 กราฟค่ าสั มบูรณ์
้
- กราฟค่าสัมบูรณ์
11. แบบฝึ กหัด (พืนฐาน 1)
้
12. แบบฝึ กหัด (พืนฐาน 2)
้
13. แบบฝึ กหัด (พืนฐาน 3)
้
14. แบบฝึ กหัด (ขั้ นสู ง)
15. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ช่ วงบนเส้ นจานวน
16. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม (กาลังไม่ เกินสี่ )
17. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟค่ าสั มบูรณ์
คณะผูจดทาหวังเป็ นอย่างยิงว่า สื่ อการสอนชุดนี้จะเป็ นประโยชน์ต่อการเรี ยนการสอน
้ั ่
สาหรับครู และนักเรี ยนทุกโรงเรี ยนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรี ยนการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ เรื่ อง
จานวนจริ ง นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ ในเรื่ องอื่นๆที่คณะผูจดทาได้
้ั
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่ อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์
ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง จานวนจริ ง (การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 8 (8/9)
หัวข้ อย่อย 1. อสมการค่าสัมบูรณ์
2. โจทย์ประยุกต์อสมการค่าสัมบูรณ์
จุดประสงค์ การเรียนรู้
เพื่อให้ผเู้ รี ยน
1. นานิยามและความรู ้พ้ืนฐานไปใช้ในการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ได้
2. เข้าใจความเกี่ยวข้องของอสมการกับปั ญหาในชีวตประจาวัน และแก้ปัญหานั้นได้
ิ
ผลการเรียนรู้ ทคาดหวัง
ี่
ผูเ้ รี ยนสามารถ
1. แก้อสมการค่าสัมบูรณ์ได้
2. อธิบายและยกตัวอย่างการประยุกต์การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ในชีวตประจาวันได้
ิ
3

5. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนือหาในสื่อการสอน
้
เนือหาทั้งหมด
้
4

6. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. การแก้ อสมการค่ าสั มบูรณ์
5

7. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
ในสื่ อตอนนี้ ผูเ้ รี ยนจะได้ศึกษาการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์แบบต่าง ๆ ตลอดจนได้เห็นตัวอย่างการ
ประยุกต์อสมการค่าสัมบูรณ์
เพื่อเป็ นการนาเรื่ องเข้าสู่ อสมการค่าสัมบูรณ์ ผูสอนอาจทบทวนสมบัติพ้ืนฐานเกี่ยวกับอสมการค่า
้
สัมบูรณ์ต่อไปนี้ก่อน
ทฤษฎีบท สาหรับ a  0 จะได้วา ่
1. x  a ก็ต่อเมื่อ a  x  a
2. x  a ก็ต่อเมื่อ x  a หรื อ xa
พิสูจน์
1. สมมติให้ x  a
่
ถ้า x  0 จะได้วา a  x  x  a
่
ถ้า x  0 จะได้วา a   x  x  a
่
จากทั้ง 2 กรณี จะได้วา a  x  a
สมมติให้ a  x  a
่
ถ้า x  0 จะได้วา x  x  a
่
ถ้า x  0 จะได้วา x   x  a
่
ดังนั้น จากทั้ง 2 กรณี จะได้วา x  a
2. สมมติให้ x  a
่
ถ้า x  0 จะได้วา x  x  a
่
ถ้า x  0 จะได้วา x   x  a
่
จากทั้ง 2 กรณี จะได้วา x  a หรื อ xa
สมมติให้ x  a หรื อ x  a
่
ถ้า x  0 จะได้วา x  x  a
่
ถ้า x  0 จะได้วา x   x  a
6

8. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
่
ดังนั้น จากทั้ง 2 กรณี จะได้วา x a #
ทฤษฎีบท สาหรับ a  0 จะได้วา ่
1. x  a ก็ต่อเมื่อ a  x  a
2. x  a ก็ต่อเมื่อ x  a หรื อ xa
พิสูจน์ แบบฝึ กหัด #
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟบนเส้นจานวนแสดงค่า x ที่สอดคล้องอสมการต่อไปนี้
1. x  3 2. x 3
3. x  2 4. x 4
5. x 0
วิธีทา
1. x 3
3 3
2. x 3
3 3
3. x 2
2 2
4. x 4
4 4
7

9. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. x 0
#
ต่อไปจะเป็ นการศึกษาเรื่ อง การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ในรู ปแบบต่างๆ
8

10. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง จงแก้อสมการ
x 3
1. 1
x 1
x 1  2
2. 2
x  2 1
วิธีทา
x 3
1. 1
x 1
เนื่องจาก x 1  0 ทุก x ่
จะได้วา
x  3  x 1
3  1
ดังนั้น ทุกค่า x สอดคล้องกับอสมการ ทาให้เซตคาตอบของอสมการที่โจทย์กาหนดคือ 
2. เนื่องจาก
x 1
 เมื่อ x  1
x 1  
  x  1
 เมื่อ x  1
และ เมื่อ x2
x  2

x2  
  x  2 
 เมื่อ x2
1 2
เราจะแบ่งการพิจารณาเป็ น 3 กรณี คือ
กรณีที่ 1 x  1 หรื อ กรณีที่ 2 1  x  2 หรื อ กรณีที่ 3 x2
9

11. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
กรณีที่ 1 x  1
่
จะได้วา x  1    x  1 และ x  2    x  2 ดังนั้น
x 1  2
2
x  2 1
  x  1  2
2
  x  2  1
x  3
2
x  3
x3
2
x 3
 x  3 x  3  2  x  3
2
2  x  3   x  3 x  3  0
2
 x  3  2  x  3   x  3   0
 
 x  3 x  9   0
3 x 9
แต่ x  1 ดังนั้น จึงไม่มีค่า x ที่สอดคล้องอสมการ
กรณีที่ 2 1  x  2
่
จะได้วา x  1  x  1 และ x  2    x  2 ดังนั้น
x 1  2
2
x  2 1
 x  1  2  2
  x  2  1
x 1
2
x  3
x 1
 2
x3
เพราะว่า x 3 0 ่
จะได้วา
x  1  2  x  3 
x  1  2 x  6
3x  7
7
x
3
แต่ 1  x  2 ดังนั้นจึงไม่มีค่า x ที่สอดคล้องกับอสมการ
10

12. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
กรณีที่ 3 x2
่
จะได้วา x  1  x  1 และ x  2  x  2 ดังนั้น
x 1  2
2
x  2 1
 x  1  2  2
 x  2  1
x 1
2
x 1
1 2
ทาให้เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น จึงไม่มีค่า x ที่สอดคล้องอสมการ
x 1  2
จากกรณี ที่ 1 กรณี ที่ 2 และกรณี ที่ 3 จะได้วา ไม่มีค่า x ที่สอดคล้องอสมการ
่ 2 #
x  2 1
ต่อไปเป็ นเทคนิคเพิมเติมในการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ในแบบต่างๆ
่
11

13. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง จงแก้อสมการต่อไปนี้
1. 2 x  5  1
2. 2 x  1  5
วิธีทา
1. 2x  5  1
1  2 x  5  1
6  2 x  4
3  x  2
2. 2x 1  5
2 x  1  5 หรื อ 2x 1  5
2 x  6 หรื อ 2x  4
x  3 หรื อ x2 #
ตัวอย่าง ให้ A เป็ นเซตคาตอบของอสมการ 8x  5  4 และ B เป็ นเซตคาตอบของอสมการ 2 x  1  3 จงหา
B A
วิธีทา หาเซต A
8x  5  4
8x  5  4 หรื อ 8x  5  4
8x  9 หรื อ 8x  1
9 1
x หรื อ x
8 8
1 9
ดังนั้น A  [ , )  (,  ]
8 8
หาเซต B
2x 1  3
3  2 x  1 3
4  2 x  2
2  x  1
ดังนั้น B   2,1
12

14. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
A
B
2 9 1 1
 
8 8
 9 1
่
จากเส้นจานวนจะได้วา B  A   ,  #
 8 8
13

15. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
x 1
ตัวอย่าง จงแก้อสมการ 1 
x 1 2
x 1
วิธีทา 1   x  1
x 1 2
x   x  1 1

x 1 2
1 1

x 1 2
2  x 1
x  1  2หรื อ x 1  2
x  3 หรื อ x 1 #
x 1
ตัวอย่าง จงแก้อสมการ 3  4
x2
x 1
วิธีทา 3  4  x  2
x2
 x  1  3  x  2   4
x2
2 x  5
4
x2
2 x  5  4 x  2
 2 x  5  16  x  2 
2 2
 2 x  5  16  x  2   0
2 2
 2 x  5   4  x  2    2 x  5   4  x  2    0
  
 2 x  3 6 x  13  0
 2 x  3 6 x  13  0
13 3

x
6 2
13
แต่ x  2 ดังนั้นค่า x ที่สอดคล้องอสมการคือ   x  2 หรื อ 2  x   3 #
6 2
14

16. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
15

17. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง ถ้า x 1  2 แล้ว จงแสดงว่า x 1  4
วิธีทา จาก x 1  2
่
จะได้วา 2  x  1  2
3  x  1
4  x  1  0
ดังนั้น 4  x  1  4
x 1  4 #
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรื อไม่
1. a  b  a  b
2. ถ้า a  b แล้ว a2  b2  0
3. a  b  a  b
4. x  y  x  y  x  y
5. x  y 2  x 2  y 2
1 1
6. ถ้า a  x  b  0 แล้ว 
x b
เฉลย 1. ผิด 2. ถูก 3. ถูก 4. ผิด 5. ผิด 6. ถูก #
16

18. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึ กหัดเพิมเติม
่
เรื่อง การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
1-15 จงหาคาตอบของอสมการต่อไปนี้
1. 2 x  3  2 x  3 2. x  4  3x
3. 2  x 2  2 4. x  1  2x  7 x  2
5. 2 x  x  1 6. 3x  2  2 x  1
x 1
7. x 1  x  5 8. 3
x2
9. 2x 1  0 10. x2  4  1
1
11. x2  3  1 12. 1
x2
1 3x 2  x
13. 2 14. 1
x 4
2
x
x
15. 2
x 1
17

19. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. สรุปสาระสาคัญประจาตอน
18

20. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. สรุปสาระสาคัญประจาตอน
19

21. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึ กหัด/เนือหาเพิมเติม
้ ่
20

22. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึ กหัดระคน
1. กาหนดให้ A เป็ นเซตคาตอบของอสมการ  
1 x
3
0 และ B เป็ นเซตคาตอบของอสมการ
x2
3  2 x  1 แล้ว A  B
เป็ นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้
1.  , 1 2.  3, 1
3.  2,3 4.  1,  
2. ให้  แทนเซตของจานวนจริ ง พิจารณาข้อความต่อไปนี้
    x  1 
ก.  x   |    1   x   |
  x 1 
    1

 x  
  x 

ข.  x   |

x 1 

 1  x   | x  1  x 2  1 
 x 1 
2
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก และ ข ถูกทั้งคู่ 2. ก ถูก แต่ ข ผิด
3. ก ผิด แต่ ข ถูก 4. ก และ ข ผิดทั้งคู่
3. กาหนดให้ A  x   |  x  2 x  3   x  4 x  3
B   x   | 2 x  1  3
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. A และ B เป็ นเซตอนันต์
2. A และ B เป็ นเซตจากัด
3. A  B  2,3, 4
4. A  B
4. ให้ A เป็ นเซตคาตอบของอสมการ x2  9 และ B เป็ นเซตคาตอบของอสมการ x  3  1 ดังนั้น
A  B คือช่วงในข้อใดต่อไปนี้
1.  , 4   2, 2 2.  4, 2 3.  2, 2 4.  4,  
5. ให้ A  x   | 2 x  7  15

 x  15 

B  x   |  0
 x  5
2

 

C  เซตของจานวนเฉพาะบวก
21

23. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จานวนสมาชิกของ A  B  C เป็ นเท่าใด
1. 3 2. 4
3. 5 4. 6
6. ให้ A เป็ นเซตคาตอบของอสมการ x  2  3x  5  3 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. A     เมื่อ  แทนเซตของจานวนนับ
2. A     เมื่อ  แทนเซตของจานวนเต็ม
3. A  เป็ นเซตจากัด
4. A '  เป็ นเซตจากัด
7. เซตคาตอบของอสมการ 3  x2  6  10 มีสมาชิกเป็ นจานวนเต็มจานวนเท่าใด
1. 4 2. 5
3. 6 4. 7
8. กาหนดให้ A  x   | 3x2  2 x  8  0 พิจารณาข้อความต่อไปนี้
 1 5
ก. A  x   x   
 3 3
 3x  4 
ข. A  x    0
 x2 
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก ถูก ข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด
3. ก ผิด ข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด
9. ให้ A  x   x2  x  2  0  และ B  x   x 1  x  พิจารณาข้อความต่อไปนี้
1
ก. B  A  ( 2,  )
2
1
ข. A  B  (,  )  (1, )
2
1. ก ถูก ข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด
3. ก ผิด ข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด
10. ให้ 
A  x   x 1  x  x  3  ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. A เป็ นเซตจากัด
ข. A  
1. ก ถูก ข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด
3. ก ผิด ข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด
22

24. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึ กหัด
23

25. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึ กหัด
เรื่อง การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
1. x0 2. x 1 3. 2  x  2
1 1
4. x 1 5.   x  1 6. 3  x  
3 5
5 7
7. x2 8.   x  2 หรื อ 2  x  
2 4
1
9. x
2
10.  5x 3 หรื อ 3x 5
11. x
12. 3  x  2 หรื อ 2  x  1
3 7 7 3
13.  x  2 หรื อ 2  x   หรื อ x2 หรื อ 2  x 
2 2 2 2
2
14. 0 x
3
15. 2  x  1 หรื อ 1  x  2
เฉลยแบบฝึ กหัดละคน
1. 3 2. 4 3. 3 4. 3 5. 2
6. 4 7. 4 8. 2 9. 3 10. 4
24

26. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่ อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
25

27. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่ อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนิ นการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องแผนภาพเวนน์ -ออยเลอร์
ั
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่ อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิ ดและวลีบ่งปริ มาณ
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องหอคอยฮานอย
ั
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องตารางค่าความจริ ง
ั
จานวนจริ ง บทนา เรื่ อง จานวนจริ ง
สมบัติของจานวนจริ ง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องช่วงบนเส้นจานวน
ั
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องสมการและอสมการพหุนาม
ั
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องกราฟค่าสัมบูรณ์
ั
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่ อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่ วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชน
ั บทนา เรื่ อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชน ั
ความสัมพันธ์
26

28. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชน ั โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิ ยามของฟังก์ชน ั
ฟังก์ชนเบื้องต้น
ั
พีชคณิ ตของฟังก์ชน ั
อินเวอร์สของฟังก์ชนและฟังก์ชนอินเวอร์ ส
ั ั
ฟังก์ชนประกอบ
ั
ฟังก์ชนชี้กาลังและฟังก์ชนลอการิ ทึม
ั ั บทนา เรื่ อง ฟังก์ชนชี้ กาลังและฟังก์ชนลอการิ ทึม
ั ั
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชนชี้ กาลังและฟังก์ชนลอการิ ทึม
ั ั
ลอการิ ทึม
อสมการเลขชี้ กาลัง
อสมการลอการิ ทึม
ตรี โกณมิติ บทนา เรื่ อง ตรี โกณมิติ
อัตราส่วนตรี โกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่ วนตรี โกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชนตรี โกณมิติ 1
ั
ฟังก์ชนตรี โกณมิติ 2
ั
ฟังก์ชนตรี โกณมิติ 3
ั
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชนตรี โกณมิติ
ั
ฟังก์ชนตรี โกณมิติผกผัน
ั
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องมุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
ั
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องกราฟของฟังก์ชนตรี โกณมิติ
ั ั
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
ั
กาหนดการเชิ งเส้น บทนา เรื่ อง กาหนดการเชิ งเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิ ตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่ อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิ ตและเรขาคณิ ต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
27

29. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็ น บทนา เรื่ อง การนับและความน่าจะเป็ น
. การนับเบื้องต้น
การเรี ยงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ ม
ความน่าจะเป็ น 1
ความน่าจะเป็ น 2
สถิติและการวิเคราะห์ขอมูล
้ บทนา เรื่ อง สถิติและการวิเคราะห์ขอมูล
้
บทนา เนื้ อหา
แนวโน้มเข้าสู่ ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิ ตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปั ญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตรัส
ุ
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยดหดได้
ื
28