2. Misalkan G suatu himpunan sembarang dan
didefinisikan operasi biner * pada G. Apakah syarat
agar (G,*) merupakan group, apakah G bisa berupa
himpunan kosong?
- Carilah definisi group
- Tuliskan syarat-syarat grup
- Periksa apakah (ø,*) bisa membentuk group
Masalah 1
3. Suatu group (G,*) adalah suatu himpunan G dengan satu
operasi biner (*) yang memenuhi sifat-sifat berikut:
1. Tertutup: a*b ϵ G, Ѵa,b ϵ G
2. Assosiatif: a*(b*c)= (a*b)*c, Ѵa,b,c ϵ G
3. Adanya elemen satuan (identitas)
Ǝe ϵ G sehingga a*e=e*a=a, Ѵa ϵ G
4. Adanya elemen invers:
Ѵa ϵ G, Ǝ𝑎−1ϵ G sehingga a*𝑎−1=𝑎−1*a=e
(ø,*) tidak bisa membentuk group karena tidak ada objek
penderita (elemen-elemennya)
4. Misalkan 𝑍5={0,1,2,3,4} dan didefinisikan * adalah
operasi perkalian mod 5. Apakah (𝑍5,*) membentuk
group?
Masalah 2
5. Untuk operasi penjumlahan
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
1. Tertutup: a*b ϵ G, Ѵa,b ϵ G
Dapat kita lihat dalam tabel bahwa
semua hasil dari operasi (a+b)
merupakan elemen 𝑍5
2. Assosiatif: a*(b*c)= (a*b)*c, Ѵa,b,c
ϵ G
Pada operasi penjumlahan
a+(b+c)=(a+b)+c pasti benar
6. Untuk operasi penjumlahan
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
3. identitas: Ǝe ϵ G sehingga
a*e=e*a=a, Ѵa ϵ G
Pada operasi penjumlahan e=0
Ǝ0 ϵ G sehingga a+0=0+a=a, Ѵa ϵ G
4. Invers: Ѵa ϵ G, Ǝ𝑎−1ϵ G sehingga
a*𝑎−1=𝑎−1*a=e
e=0
0−1 = 0,
1−1
= 4
2−1
= 3
3−1
= 2
4−1
= 1
8. Untuk Operasi Perkalian
x 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
1. Tertutup: a*b ϵ G, Ѵa,b ϵ G
Dapat kita lihat dalam tabel bahwa
semua hasil dari operasi (axb)
merupakan elemen 𝑍5
2. Assosiatif: a*(b*c)= (a*b)*c, Ѵa,b,c
ϵ G
Pada operasi penjumlahan
ax(bxc)=(axb)xc pasti benar
9. Untuk Operasi Perkalian
x 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
3. identitas: Ǝe ϵ G sehingga
a*e=e*a=a, Ѵa ϵ G
Pada operasi penjumlahan e=1
Ǝ1 ϵ G sehingga ax1=1xa=a, Ѵa ϵ G
4. Invers: Ѵa ϵ G, Ǝ𝑎−1ϵ G sehingga
a*𝑎−1=𝑎−1*a=e
e=0
0−1
tidak ada, maka pada operasi
perkalian tidak terdapat invers
10. Untuk operasi perkalian
Karena tidak memenuhi semua syarat pada group
maka pada operasi perkalian , (𝑍5,*) tidak
membentuk group
11. Apakah suatu group (G,*) mungkin mempunyai elemen lebih
dari satu?
Iya, contoh dari soal 2, 𝑍5={0,1,2,3,4} merupakan group dari
operasi penjumlahan yang memiliki elemen lebih dari satu.
Masalah 3
12. Misalkan G sembarang himpunan semua bilangan real tak
nol. Definisikan operasi * dengan a*b=𝑎2 𝑏. Syarat group mana
yang dipenuhi oleh (G,*)? Apakah (G,*) membentuk group?
Masalah 4
13. 1. Tertutup: a*b ϵ G, Ѵa,b ϵ G
Bilangan real adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan
irrasioanal. Jadi hasil operasi a*b=𝑎2 𝑏 pasti terdapat dalam bilangan real.
2. Assosiatif: a*(b*c)= (a*b)*c, Ѵa,b,c ϵ G
a*(b*c)= (a*b)*c
𝑎2
(b*c)= (a∗b)
2
c
𝑎2
(𝑏2
c)= (𝑎2
b)
2
c
Hanya terpenuhi jika 𝑎2=1 atau a=±1, sedangkan a sembarang dari elemen
bilangan real tak nol. Syarat assosiatif tidak terpenuhi.
14. 3. Identitas: Ǝe ϵ G sehingga a*e=e*a=a, Ѵa ϵ G
Ǝe ϵ G sehingga 𝑎2 𝑒=𝑒2a=a, Ѵa ϵ G
Ǝe=b ϵ G sehingga 𝑎2 𝑏=𝑏2a=a, Ѵa ϵ G
Terpenuhi jika a=1, sedangkan a sembarang dari elemen bilangan real tak
nol. Syarat identitas tidak terpenuhi.
4. Invers: Ѵa ϵ G, Ǝ𝑎−1
ϵ G sehingga a*𝑎−1
=𝑎−1
*a=e
Karena tidak memiliki elemen identitas makan elemen invers juga tidak
terpenuhi.