1. Republica Bolivariana
De Venezuela
Teoría De Juegos
Caracas, Enero 2020
Realizado Por: Kevin Hernández

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TEORÍA DE JUEGOS
 Es una teoría matemática que pretende des-
cribir y predecir el comportamiento de los
agentes económicos. Muchas decisiones de-
penden de las expectativas que se tengan so-
bre el comportamiento de los demás agentes
económicos.
Ejemplo:
Juego de las monedas: Dos jugadores lanzan simultá-
neamente una moneda cada uno. Si ambos obtienen
el mismo resultado, el jugador 1 paga al 2 una uni-
dad; si obtienen distinto resultado, es 2 quien paga a
1 una unidad.
Comprobar que no hay equilibrio de Nash en estrate-
gias puras.
Investigación de Operaciones II

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DESARROLLO DEL METODO DEL SUB_JUEGO
Una estrategia de comportamiento b de un juego en for-
ma extensiva, es equilibrio perfecto de sub -juegos si la
restricción de b o F, es un equilibrio de Nash, para todo
sub-juego propio de F.
Sea Fx un sub-juego de F, toda combinación estratégica b
puede descomponerse en un par (b – x, bx), siendo bx
una combinación estratégica en Fx y b-x una combina-
ción estratégica en el juego truncado F-x ( bx ).
DESARROLLO DEL METODO GRAFICO
Fang, Hipel y Kilgour proponen el siguiente modelo
gráfico para un juego no cooperativo. Este consiste en un
conjunto N = {1; 2;:::; n} de jugadores, un CONJUNTO
u={1,2,……..u} de escenarios, y una familia de funciones
el conjunto de movimientos que un jugador puede reali-
zar para cambiar(unilateralmente) de escenario y así ob-
tener los grafos dirigidos Di. Dado que en el juego el ob-
jetivo es aumentar los pagos que recibe el jugador, tene-
mos las siguientes definiciones: dado u escenario g y un
jugador i, el conjunto de los escenarios que el jugador
puede alcanzar unilateralmente desde g se denota por Si
(g). Si además, i recibe un pago estrictamente mayor, los
escenarios de mejora unilateral para i son:
S I

(g)  {q  Si (g) : Ki (q)  Ki
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ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE JUEGOS
 Jugadores.
 Acción.
 Información.
 Estrategia.
 Recompensa.
 Resultado.
 Equilibrio.
 Concepto o solución de equilibrio
Ejemplo:
Decisiones relacionadas con la fecundidad: Dos parejas
viven juntas y cada una tiene que decidir el número de
hijos que van a tener. La crianza de los hijos tiene un
coste si son nuestros de “c” unidades monetarias por
hijo. Por otra parte, como las dos parejas viven juntas,
los hijos de la otra también imponen un coste, éste coste
es igual a “d” por hijo ajeno. Tener hijos también genera
beneficios, cada pareja sólo obtiene beneficios de sus
propios hijos. El beneficio total de tener “n” hijos es
igual a A(n). Si cada pareja puede tener como máximo
dos hijos.

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HERRAMIENTAS DE TEORÍA DE JUEGOS
Fisher establece que un juego en forma extensiva se
compone de los siguientes elementos:
El conjunto de jugadores, quienes toman decisio-
nes y son racionales (intentan maximizar su uti-
lidad).
Un árbol del juego.
La información que dispone un jugador en cada
nodo en el que le toca decidir.
Las estrategias de cada jugador, las cuales guiarán al
jugador hacia la acción a elegir cuando llega a
cada nodo (conjuntos de información).
Los resultados de los jugadores, los cuales se
muestran en los nodos terminales del árbol del
juego.
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Si el jugador A escoge la estrategia a1, la consecuencia
esperada ponderada con los valores de probabilidad será:
De manera que la consecuencia esperada es que el juga-
dor A gane 16,25 y el jugador B pierda idéntica cantidad.
La aplicación de esta técnica, se complica por su laborio-
sidad cuando la resolución es manual y cada jugador tiene
más de dos estrategias.

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DESARROLLO DEL METODO ALGEBRAICO
Consiste en la determinación de los valores de probabili-
dad de la aplicación de cada una de las estrategias por
parte de cada uno de los jugadores. Este tipo de solución
es aplicable cuando no existe un punto de silla y preferi-
blemente cuando la matriz de consecuencias es cuadrada.
Para una mejor comprensión, se considera un juego bi-
personal en el cual cada uno de los oponentes maneja
dos estrategias. La matriz de consecuencias es la siguiente.
•p1: es la probabilidad de que el jugador A escoja la es-
trategia a1.
•p2: es la probabilidad de que el jugador A escoja la es-
trategia a2.
•q1: es la probabilidad de que el jugador B escoja la es-
trategia b1.
•q2: es la probabilidad de que el jugador B escoja la es-
trategia b2.
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DEFINICIÓN DE LA TEORÍA DE JUEGOS EN-
TRE DOS JUGADORES
El equilibrio de Nash o equilibrio de Cournot o equili-
brio de Cournot y Nash o equilibrio del miedo es, en
la teoría de los juegos, un “concepto de solución” para
juegos con dos o más jugadores, el cual asume que:
 Cada jugador conoce y ha adoptado su mejor
estrategia,
 y Todos conocen las estrategias de los otros.

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IDENTIFICACIÓN DE LA ESTRATEGIAS DEL
JUGADOR I Y II
Cconsidere el siguiente juego, en el cual el jugador I tie-
ne dos opciones para escoger, y el jugador II tiene tres
alternativas para cada elección del jugador I. La matriz
de beneficios T se muestra a continuación:
En la matriz de beneficios, las dos filas (i = 1, 2) repre-
sentan las dos estrategias posibles que el jugador I puede
emplear, y las tres columnas (j = 1, 2, 3) representan las
dos estrategias posibles que el jugador II puede emplear.
La matriz de beneficios esta orientada al jugador I, lo
que significa que un valor positivo tij es ganancia para el
jugador I y una pérdida para el jugador II, mientras que
un tij negativo representa ganancia para el jugador II y
una pérdida para el jugador I. Por ejemplo, si el jugador
I utiliza la estrategia 2 mientras que el jugador II aplica la
estrategia 1, el jugador I recibe t21 = 2 unidades y por lo
tanto el jugador II pierde 2 unidades. Obviamente, en
nuestro ejemplo el jugador II siempre pierde; sin embar-
go, el objetivo es minimizar el beneficio del jugador I.
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Como el jugador A tiene por objetivo maximizar sus
mínimas ganancias entonces escogerá la estrategia a2, de
la misma manera, el jugador B tiene por objetivo mini-
mizar la máxima pérdida, en consecuencia, escogerá la
estrategia b2. De esta manera el juego finaliza en una
jugada y tiene por valor:
α22= { a2, b2} = 35
Como es evidente, es un juego de suma cero ya que el
jugador A gana 35 y el jugador B pierde idéntica canti-
dad. En este caso decimos que el elemento (a2, b2) =
35, es un punto de silla, ya que es el mínimo
de la fila “i” y es al mismo tiempo el máximo de la co-
lumna “j”. Obviamente este no es el caso más común en
la teoría de juegos.

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Si un juego tiene por punto de silla un elemento (h,k),
donde h es la estrategia del jugador A y k es la estrategia
del jugador B, entonces el jugador A debe escoger la
estrategia h y el jugador B la estrategia k entonces el jue-
go finaliza en una jugada y su valor es: αhk. Si existen
dos o más puntos de silla, éstos deben ser idénticos.
Supongamos un juego bipersonal de suma cero en el
cual el jugador A dispone de tres estrategias (a1, a2, a3)
y el jugador B dispone de cuatro estrategias que son:
(b1, b2, b3, b4), la matriz de consecuencias es.
• Si el jugador A selecciona la estrategia a1, el va-
lor mínimo que puede obtener es 30.
• Si selecciona la estrategia a2, el valor mínimo
que puede obtener es 35.
• Si selecciona la estrategia a3, el valor mínimo
que puede obtener es 28.
• El objetivo del jugador A es maximizar sus míni-
mas ganancias.
• Si el jugador B selecciona la estrategia b1, lo
máximo que puede perder es 40.
• Si selecciona la estrategia b2, lo máximo que
puede perder es 35.
• Si selecciona la estrategia b3, lo máximo que
puede perder es 36.
• Si selecciona la estrategia b4, lo máximo que
puede perder es 38.
El objetivo del jugador B es minimizar la máxima pérdi-
da.
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DEFINICIÓN DE LAS ECUACIONES PARA LA
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA
Es aquella en donde en cada término de la ecuación
aparece únicamente una variable o incógnita elevada a
la primera potencia. Por ejemplo:
a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1 (1)
Es una ecuación algebraica lineal en las variables X1,
X2, X3, ... , Xn. Se admite que los coeficientes a11,
a12, a13, ... , a1n y el término independiente C1, son
constantes reales.
IDENTIFICACIÓN DE LA ESTRATEGIA
PUNTO DE SILLA
Esta es una de las técnicas para analizar y resolver un
problema de juegos. No es el caso más común en la
teoría de juegos.
Se llama punto de silla a aquel elemento αij de la ma-
triz de consecuencias tal que se cumple:
 αij es el mínimo elemento de la fila “i”.
 αij es el máximo elemento de la columna “j”.