Ss clase 3

CAPITULO 3:
ANÁLISIS FRECUENCIAL DE
SISTEMAS DISCRETOS

Respuesta de un Sistema de Tiempo Continuo
CAP3: ANÁLISIS FRECUENCIAL DE SISTEMAS DISCRETOS
En Tiempo:
Laplace:
En Frecuencia:
h(t)h(t)
x(t) y(t)
H(H(ω))
X(ω) Y(ω)
H(s)H(s)
X(s) Y(s)
h(t) : Respuesta al Impulso
y(t) = x(t)*h(t)
H(s) : Función de Transferencia
Y(s) = X(s).H(s)
H(ω) : Respuesta en Frecuencia
Y(ω) = X(ω).H(ω)

Respuesta de un Sistema de Tiempo Continuo
En un Sistema de Tiempo Continuo:
1. Si se reemplaza jω por s en la Función de Transferencia H(s) se obtiene la Respuesta en
Frecuencia del sistema H(jω).
2. La respuesta de estado estable de un Sistema de Tiempo Continuo Lineal es una
secuencia sinusoidal de la misma frecuencia que la entrada, pero con amplitud y fase
diferentes. Además, la razón de amplitudes de salida y entrada (B/A) define la magnitud de
la Respuesta en Frecuencia del sistema, y el desfase entre la salida y la entrada (Ф) define
su fase.
H(ω) = H(s) s=jω
h(h(t) / H() / H(ω)
x(t) y(t)
: Magnitud de H(ω)
: Fase de H(ω)
 B = H(ω)
A
A cos(nωT + θa) B cos(nωT + θb)
 Ф = θb - θa
H(ω) = H(ω) . ejФ

Respuesta de un Sistema de Tiempo Discreto
En Tiempo:
Transformada z:
En Frecuencia:
h[n]h[n]
x[n] y[n]
H(H(ω))
X(ω) Y(ω)
H(z)H(z)
X(z) Y(z)
h(t) : Respuesta a la Muestra Unitaria
y(t) = x[n]*h[n]
H(s) : Función de Transferencia
Y(z) = X(z). H(z)
H(ω) : Respuesta en Frecuencia
Y(ω) = X(ω).H(ω)

Respuesta de un Sistema de Tiempo Discreto
En un Sistema de Tiempo Discreto:
1. Si se reemplaza ejω por s en la Función de Transferencia H(z) se obtiene la Respuesta en
Frecuencia del sistema H(ejω).
2. La respuesta de estado estable de un Sistema de Tiempo Discreto Lineal es una secuencia
sinusoidal de la misma frecuencia que la entrada, pero con amplitud y fase diferentes.
Además, la razón de amplitudes de salida y entrada (B/A) define la magnitud de la Respuesta
en Frecuencia del sistema, y el desfase entre la salida y la entrada (θb - θa) define su fase.
H(ω) = H(z)
h[n] / H(h[n] / H(ω)
x[n] y[n]
A cos(nωT + θa) B cos(nωT + θb)
 Ф = θb - θa
: Magnitud de H(ω)
: Fase de H(ω)
 A = H(ω)
B
z = ejω

Respuesta en frecuencia de un sistema de tiempo Discreto
Caso 1: Determinando la relación entre H(ω) y H(z)
Considerando como entrada una componente exponencial compleja única y
representativa:
x[n] = w[n] = ejnωT
Como: y[n] = h[n] * x[n] = ∑ h[k].x[n-k]  x[n-k] = w[n-k] = ejω(n-k)T = ejnωT .e-jkωT
Sustituyendo x[n-k] en la suma de convolución:
y[n] = ∑ h[k] .ejnωT .e-jkωT
Como la variable en la suma de convolución es k y puesto que ejnωT no varía con k:
y[n] = ejnωT ∑ h[k] e-jkωT
Para sistemas causales: h[n] = 0 para n<0  y[n]=0 para n<0, por lo que:
y[n] = ejnωT ∑ h[k] e-jkωT
∞
k= -∞
∞
k= -∞
∞
k= -∞
∞
k= 0

Por lo que, la salida y[n] estará dada por el producto x[n] y el resultado de la sumatoria de
las respuestas a la muestra unitaria.:
y[n] = ejnωT ∑ h[k] .e-jkωT = x[n] ∑ h[k] .e-jkωT
Obsérvese que los términos de la suma dependen de k y de ω, pero no de n. Esto
significa que:
A cualquier frecuencia dada ω = ω0 y periodo de muestreo T = T0, el resultado de la
suma será un número complejo que actúa como multiplicador en todos los términos de la
secuencia de entrada.
Podemos expresar la salida como: y[n] = ejnωT .H(ejωT )
Donde: H(ejωT ) = ∑ h[k] .e-jkωT
∞
k = 0
∞
k = 0
∞
k = 0

Finalmente, tenemos que:
H(ejωT ) = ∑ h[k] .e-jkωT = h[0] + h[1]. e-jωT + h[2]. e-j2ωT + h[3]. e-j3ωT + …
 Para un sistema dado, el valor de H(ejωT) sólo depende del valor del producto ωT y los
valores de las muestras de la respuesta a la muestra unitaria h[n].
 H(ejωT ) es un número complejo que describe el efecto de un sistema de tiempo
discreto en la secuencia obtenida al muestrear una componente exponencial compleja de
frecuencia ω = ω0 en intervalos de T = T0.
H(ejωT ) se interpretará como la Respuesta en Frecuencia del sistema
 Ahora se puede relacionar con facilidad la Respuesta en Frecuencia H(ω)= H(ejωT ) con
la Función de Transferencia H(z).
∞
k = 0

Se sabe que H(z):
H(z) = ∑ h[k] .z-n = h[0] + h[1]. z-1 + h[2]. z-2 + h[3].z-3 + …
De manera que al reemplazar z por ejωT se tiene justamente la Respuesta en Frecuencia
del sistema:
H(ejωT ) = ∑ h[k] .e-jkωT = h[0] + h[1]. e-jωT + h[2]. e-j2ωT + h[3]. e-j3ωT + …
Por lo que queda comprobado que:
∞
k = 0
H(ω) = H(z)
z = ejω
∞
k = 0
La Respuesta en Frecuencia H(ω) de cualquier sistema de tiempo discreto se puede
hallar a partir de la Función de Transferencia H(z), reemplazando z por ejωT.

Respuesta en frecuencia de un sistema de tiempo Continuo
Si consideramos el siguiente sistema de tiempo discreto lineal y estable, al que se
le introduce una señal sinusoidal muestreada de entrada: x[n] = Acos(nωT), cuya
amplitud es A y su frecuencia ω:
Se sabe que: Acos(nωT) = A.ejnωT + A.e-jnωT
2 2
Por el principio de superposición se puede trabajar cada componente exponencial
por separado:
La salida para A.ejnωT : A.ejnωT.H(ejωT) = A.ejnωT. H(ejωT) . ejФ = A. H(ejωT) .ej[nωT+ Ф ].
2 2 2 2
La salida para A.e-jnωT : A.e-jnωT.H(e-jωT) = A.e-jnωT. H(ejωT) . E-jФ = A. H(ejωT) .e-j[nωT+ Ф ].
2 2 2 2
Caso 2: Respuesta de un Sistema Discreto Lineal ante una secuencia sinusoidal
h[n] / H(h[n] / H(ω)
x[n] y[n]
A cos(nωT) B cos(nωT + θ)

Respuesta en frecuencia de un sistema de tiempo Continuo
Finalmente:
y[n] = A. H(ejωT) .{ ej[nωT+ Ф ] + e-j[nωT+ Ф ] }
2
y[n] = A. H(ejωT) .cos(nωT+ Ф) = B cos(nωT + θ)
Por lo que queda comprobado que:
Caso 2: Respuesta de un Sistema Discreto Lineal ante una secuencia sinusoidal
 Ф = θb - θa
: Magnitud de H(ω)
: Fase de H(ω)
 B = H(ω)
A
La Respuesta de estado estable de un sistema de tiempo discreto lineal a una secuencia de
entrada sinusoidal es a su vez una secuencia sinusoidal.
La Magnitud de H(ω) determina la razón de amplitudes de las secuencias de entrada y salida,
mientras que su desfase Ф determina el desfase de la salida en relación con la entrada.

Ejercicio
Se tiene un sistema desconocido, el cual al recibir la siguiente secuencia de entrada:
x[n] = (3,1,2,-1), devuelve como salida: y[n] = (3/2,2,3/2,1/2,-1/2)
Demuestre que dicho sistema resulta ser un filtro pasabajos.
Solución:
Para determinar el comportamiento del sistema y poder determinar si es un filtro pasabajos,
hay que analizar su Respuesta en Frecuencia H(ω).
Utilizando la transformada z:
i) Hallamos H(z):
x[n] = (3,1,2,-1)  X(z) = 3 + Z-1 + 2Z-2 – Z-3
y[n] = (3/2,2,3/2,1/2,-1/2)  Y(z) = (3/2) + 2Z-1 + (3/2)Z-2 + (1/2)Z-3 – (1/2)Z-4
Como H(Z) = Y(z) = 1 + Z-1
X(z) 2
ii) Hallamos H(ω):
Haciendo z = ejωT en H(z)  H(ω) = 1 + e-jωT
2

Ejercicio
iii) Analizando H(ω):
H(ω) = 1 + e-jωT = (ejωT/2 + e-jωT/2) . e-jωT/2 = cos(ωT/2).e-jωT/2
2 2
Expresando H(ω) en magnitud y fase:
|H(ω)| = |cos(ωT/2)| y Ф(ω) = - ωT/2
Gráficamente:
π/T 2π/T 3π/T 4π/T-4π/T -3π/T -2π/T -π/T 0
|H(ω)|
|Ф(ω)|
-π/2
π/2
1
ω
ω

Ejercicio
iii) Conclusiones:
 Dentro del intervalo de frecuencias -π/T < ω < π/T, se observa que la respuesta tiene una
magnitud de 1 a bajas frecuencias y se reduce a cero en ω = ± π/T.
 La característica lineal de la fase muestra que cualquier componente de señal en el intervalo
-π/T < ω < π/T experimentará un desfase proporcional a su frecuencia.
 Las características de la Respuesta en Frecuencia del sistema muestran que cualquier
componente de entrada con una frecuencia mucho menor que la frecuencia de muestreo
parecerá en la salida relativamente sin cambio en magnitud y en fase
 Los componentes de señal con frecuencias mayores que aproximadamente ωs/4 se reducirán
de amplitud y presentarán un desfase.
 Tener en cuenta que la frecuencia π/T es igual ωs/2, donde ωs es la frecuencia de muestro en
radianes, ya que ωs=2πfs y fs =1/T es la frecuencia de muestreo en Hz.
 Para una señal muestreada de acuerdo el teorema de muestreo, todas las componentes de
frecuencia significativas de la señal original x[n] deben encontrarse dentro del intervalo
|ω|<ωs/2. Por lo tanto, para una señal muestreada correctamente, el sistema actuará como un
filtro pasabajos

Interpretación del Plano z en frecuencia
Se ha visto que cuanto z toma valores ejωT se puede calcular la Respuesta en Frecuencia H(ω)
de un sistema de tiempo discreto.
Para diferentes valores de ω (suponiendo que T=1/fs=2π/ωs sea fijo) los valores
correspondiente de z = ejωT se pueden expresar de una manera conveniente como números
complejos de la forma general: z = |z|ejθ, donde |z|=1 y θ = ωT.
Esto quiere decir que si se dibujan los valores de z = ejωT en el plano z, cada número complejo
se encontrará sobre el círculo unitario.
Z=1 = ej0  ωT = 2πk  ω = 0 ± kωs
Z=j = ejπ/2  ωT = 2πk + π/2  ω = ωs/4 ± kωs
Z=-1 = ejπ  ωT = 2πk + π  ω = ωs/2 ± kωs
Z=-j = ej3π/2  ωT = 2πk +3π/2  ω = 3ωs/4 ± kωs
ωT
ωT
Z=ejωT
Z=ejωT
1 Re z
Im z
ω = 0 ± kωs
ω = ωs/4 ± kωs
ω = ωs/2 ± kωs
ω = 3ωs/4 ± kωs

 Al incrementar el valor de ω=0 (z=1) en adelante, se va recorriendo el círculo unitario en
sentido contrario a las manecillas del reloj.
 Cuando ω = ωs se regresa al punto de partida z =1
 Cuando ω > ωs se comenzará un segundo recorrido al círculo unitario. La razón es que el
número complejo z = ejωT es periódico con respecto a su frecuencia sus valores se repiten
cada vez que ω aumenta o disminuye una canidad igual a ωs = 2π/T.
 Es decir que se obtiene el mismo número complejo z0 para:
ejω0T, ej(ω0+ ωs)T, ej(ω0+ 2ωs)T, ej(ω0+ 3ωs)T, …
Relación con el diagrama de polos y ceros:
 El diagrama de polos y ceros del plano z se puede considerar como un mapa simplificado a
partir del cual se puede obtener información acerca de la Función de Transferencia H(ω) a partir
de los diferentes valores de z en H(z).
 Los polos y ceros representan las características más evidentes puesto que muestran los
puntos en los que la función vale cero o infinito.

 Si se elige un valor de z que se encuentre cerca a un cero, entonces se esperaría que el valor
correspondiente de H(z) fuera relativamente pequeño y que se aproximará a cero conforme z
tomara valores cercanos al cero.
 Si se elige un valor de z que se encuentre cerca a un polo, entonces se esperaría que el valor
correspondiente de H(z) fuera relativamente grande.
 El cero en el origen proviene del factor z del numerador de H(z). En términos de H(ω) esto
corresponde a un factor ejωT en Respuesta en Frecuencia. Este factor tiene un magnitud de 1 a
todas las frecuencias y una fase igual ωT que varía linealmente con la frecuencia. Dicho factor
corresponde a un desplazamiento de T segundos en el tiempo, lo cual es consistente con el
concepto de que z puede considerarse como un operador de desplazamiento.
 Si hay un cero en el origen, esto indica que la salida se adelante un periodo de muestreo.
De igual forma, si hay un polo en el origen, esto indica que la salida se retarda un periodo de muestreo.
Muchos sistemas se caracterizan por uno o más polos o ceros en el origen asociados a factores
de Z-m y Zm en la función de transferenca. Su inclusión o eliminación cambia el retardo entre la
entrada y la salida de un sistema, pero su efecto puede ignorarse para propósitos del
calculo de la respuesta en frecuencia H(ω).

ωT
1
Re z
Im z
-1
P1
P2
½
-½
½
Ejemplo:
Para la Función de Transferencia: H(z) = z(z+1) .
z2 – z +0.5
Polos  z = ½ ± ½j
Ceros  z = 0, -1
Si: z = P1  H(z = P1) debe ser relativamente pequeño
Ya que el punto P1 está en la vecindad de un cero.
Si: z = P2  H(z = P2) debe ser relativamente grande
Ya que el punto P2 está en la vecindad de un polo.
Con ello finalmente se puede determinar la gráfica de la magnitud
de la Respuesta en Frecuencia H(ω) solo con su diagrama de
polos y ceros.
Para z = 1:  H(z=1) = 4

Ejercicio
Dado un sistema recursivo cuya Función de Transferencia es H(z), representar graficamente la
magnitud de la respuesta en frecuencia H(ω)
H(z) = z .
z – α
Im z
-1 1
Re z
Im z
-1 1
Re z
-1 <α < 0 0 < α < 1
Para z = 1 :
 H(z=1) = 1 .< 2
1- α
Para z = 1 :
 H(z=1) = 1 .> 2
1- α

Resumen
• La transformada z es una herramienta que permite comprender el comportamiento de
señales y sistemas en tiempo discreto.
• Las técnicas de transformada z proporcionan una manera de tratar secuencias de muestras
y sistemas discretos que es análoga al método de la transformada de Laplace para señales y
sistemas continuos.
• La convolución de dos señales discretas se transforma en una multiplicación de las
transformadas z asociadas, de modo que para un sistema discreto se tiene:
y[n] = x[n]*h[n] ↔ Y(z) = X(z).H(z)
Siendo h[n]: La respuesta a la muestra impulsiva y
H(z): La función de transferencia del sistema
→ La función de transferencia H(z) es idéntica a la transformada z de la respuesta a la
muestra unitaria del sistema h[n].
• Los modelos de transformada z de muchos sistema lineales resultan ser funciones
racionales de la variable compleja z. De modo que si se identifica los valores de z para los
que las funciones se hacen cero (ceros) o infinitamente grandes (polos), se puede
representar un modelo en el plano z en términos de polos y ceros.

Resumen
• En el plano z, el círculo unitario tiene el mismo papel que el eje ω en el plano s.
Representa la frontera entre la estabilidad e inestabilidad.
• Para que un sistema sea estable se requiere que todos los polos asociados con la
transformada z de la función de transferencia del sistema se encuentren dentro del círculo
unitario.
• Si se evalúa una Función de Transferencia H(z) reemplazando z por ejωT, se obtiene la
Respuesta en Frecuencia H(ω) = H(ejωT) del sistema.
• La Función de Transferencia H(z) contiene información completa sobre un sistema de
tiempo discreto. Con la práctica, el diagrama de polos y ceros de H(z) puede interpretarse
para obtener información sobre la repuesta a la muestra unitaria y la respuesta en frecuencia
del sistema sin necesitada de recurrir a cálculos extensos.

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