BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi

Download from Google Drive http://adf.ly/u1JsI Link updated November 2014

MDDUL 1
Himpunan dan Sistem Bilangan
Dr. Wahyu Widayat
PENDAHULUAN
- r- ""'r" impunan adalah bagian dari Matematika yang bahannya pernah Anda
........ pelajari. Materi tersebut akan dibahas sehingga Anda menjadi lebih
memahami konsep himpunan. Selain himpunan, modul ini juga berisi
penjelasan-penjelasan tentang sistern bilangan riil. Dalamkehidupan sehari-hari,
kita banyak menjumpai pekerjaan yang berkaitan dengan penggunaan himpunan
dan bilangan riil sehingga pendalaman terhadap materi ini bukanlah pekerjaan
yang sia-sia. Di dalam Matematika, himpunan merupakan dasar dan landasan-
landasan dari konsep-konsep lainnya seperti relasi dan fungsi. Selain itu juga,
melandasi cabang ilmu lainnya seperti Statistika, khususnya untuk masalah
Probabilitas.
Dengan mempelajari modul ini, secara umum Anda diharapkan mampu
untuk memahami himpunan serta operasi-operasinya dan mampu untuk
memahami sistem bilangan riil. Setelah selesai mempelajari modul ini, secara
khusus Anda diharapkan dapat:
1. menjelaskan pengertian himpunan;
2. mengoperasikan hubungan antar himpunan;
3. menghitung dengan menggunakan konsep himpunan;
4. mengoperasikan himpunan dengan konsep gabungan, selisih, dan
komplemen;
5. menjelaskan konsep sistern bilangan;
6. menghitung dengan menggunakan konsep sistem bilangan;
7. menjelaskan konsep pertidaksamaan.
1.2 MATEMATIKA EKONOMI e
KEGIATAN BELA&JAR 1
Himpunan
A. PENGERTIAN HIMPUNAN
Benda-benda yang berada di sekitar kita dapat dikelompokkan menurut
sifat-sifat tertentu. Benda-benda yang dimaksud di sini dapat berupa bilangan,
huruf, nama orang, nama kota, dan sebagainya. Daftar kumpulan benda-benda
yang mempunyai sifat-sifat tertentu itu, disebut himpunan. Benda yang terdapat
dalam suatu himpunan disebut unsur, atau sering juga disebut elemen atau
anggota. Untuk selanjutnya, dari ketiga istilah di atas, kita akan menggunakan
istilah anggota untuk benda-benda yang terdapat pada suatu himpunan.
Suatu himpunan, umumnya ditulis dengan huruf besar, seperti
A,B,C,D,X,Y, ..........
dan benda-benda yang menjadi anggota suatu himpunan, umumnya ditulis
dengan huruf kecil, seperti
a,b,c,d,x,y, .........
Bagaimana cara menulis suatu himpunan? Suatu himpunan ditulis dengan
cara menulis anggota-anggotanya di antara tanda kurawal { }. Anggota yang satu
dipisahkan dari anggota lainnya oleh tanda koma. Penulisan dengan
menggunakan cara seperti itu disebut penulisan cara daftar.
Contoh:
Jika A merupakan suatu himpunan yang anggotanya adalah nama
buah-buahan, seperti salak, nanas, pisang, mangga, jambu maka himpunan
A ditulis:
A = {salak, nanas, pisang, mangga, jambu}
Suatu himpunan dapat disajikan dengan cara yang lain, yaitu dengan cara
kaidah. Penyajian dengan cara kaidah dapat dilakukan dengan menyebutkan
karakteristik tertentu dari benda-benda yang menjadi anggota himpunan
tersebut.
e ESPA41 22/MODUL 1 1.3
Contoh:
Himpunan B yang beranggotakan x sedemikian rupa sehingga x adalah
bilangan genap, dapat ditulis:
B = {x x=bilangan genap}
Perlu diperhatikan bahwa garis tegak " " yang dicetak di antara dua tanda
kurung kurawal dapat dibaca sebagai "sedemikian rupa sehingga".
Contoh:
Himpunan C adalah himpunan penyelesaian persamaan x2
+ 3x + 2 = 0 dan
dapat ditulis:
dan dibaca: "Himpunan C yang beranggotakan x sedemikian rupa
sehingga x adalah himpunan penyelesaian persamaan x2
+ 3x + 2 = 0"
Untuk memperjelas cara penulisan suatu himpunan, baik dengan cara daftar
atau dengan cara kaidah maka berikut ini disajikan beberapa contoh lainnya.
Contoh:
Himpunan bilangan ganjil positif yang lebih kecil dari 10, dapat ditulis
A= {1, 3, 5, 7, 9} atau A= {x x = bilangan ganjil positif < 10}
Contoh:
Himpunan huruf-huruf hidup:
B = {a, e, i, o, u} atau B = {y y = huruf hidup}
Contoh:
Himpunan merek beberapa mobil Jepang. C = {Mazda, Honda, Suzuki,
Toyota, Datsun} atau C = {Z Z = merek beberapa mobil Jepang}
Contoh:
Himpunan beberapa nama buah-buahan:
D = {Pepaya, Mangga, Pisang, Jambu} atau D = {x x =nama beberapa
buah-buahan}
1.4 MATEMATIKA EKONOMI e
Suatu benda yang merupakan anggota suatu himpunan A dapat ditulis
x E A dan dibaca "x adalah anggota himpunan A". Suatu benda yang tidak
merupakan anggota dari himpunan A atau sebaliknya, yaitu himpunan A tidak
mengandung anggota x, dapat ditulis menjadi x ~ A
Contoh:
Jika A= {a, b, c, d}, maka a E A, b E A dan x ~ A
Contoh:
Jika A= {x x = bilangan genap}, maka 1 ~ A, 2 E A, 3 ~ A, 4 E A.
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B, jika keduanya
mempunyai anggota yang sama. Anggota yang dimiliki himpunan A juga
dimiliki oleh himpunan B dan sebaliknya, anggota himpunan B juga menjadi
anggota himpunan A. Persamaan antara himpunan A dan himpunan B ini dapat
ditunjukkan oleh A = B
Contoh:
Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {7, 1, 5, 3} maka A = B karena {1, 3, 5, 7} =
{7, 1, 5, 3} dan setiap anggota yaitu 1, 3, 5, 7 yang dimiliki himpunan A
juga dimiliki oleh himpunan B dan setiap anggota yaitu 7, 1, 5, 3 yang
dimiliki himpunan B juga dimiliki oleh himpunan A.
Perlu diperhatikan, himpunan tidak berubah nilainya meskipun susunan
anggotanya berbeda.
Contoh:
Jika X = {9, 10, 9, 11 } dan Y = {11, 9, 10, 11 } maka X = Y karena {9, 10,
9, 11} = {11, 9, 10, 11} dan setiap anggota yang dimiliki Y juga dimiliki
oleh X. Suatu himpunan tidak akan berubah nilainya, hila anggota yang
sama dihilangkan. Jadi himpunan {9, 10, 11} nilainya sama dengan
himpunan X dan Y.
Dapat terjadi bahwa suatu himpunan tidak mempunyai anggota sama sekali.
Himpunan yang demikian disebut himpunan kosong dan diberi lambang 0.
e ESPA41 22/MODUL 1 1.5
Contoh:
Misalkan A adalah suatu himpunan manusia yang tinggal di bulan. Oleh
karena sampai saat ini bulan tidak dihuni oleh manusia, maka A adalah
himpunan kosong dan ditulis A =0.
Contoh:
Misalkan B ={x x =Profesor yang berumur 200 tahun}. Oleh karena
menurut statistik, sampai saat ini tidak ada Profesor yang berumur sampai
200 tahun maka B adalah himpunan kosong atau B = 0.
B. HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN
Setiap anggota suatu himpunan bisa menjadi anggota himpunan yang lain.
Misalnya, setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B maka
himpunan A disebut sebagai himpunan bagian sejati dari himpunan B dan
ditulis A c B dan dibaca "A adalah himpunan bagian sejati dari himpunan B,
atau A terkandung oleh B". Penulisan cara lain dari himpunan A yang menjadi
himpunan bagian sejati himpunan B adalah B :::>A dan dibaca "B mengandung
A". Jika A tidak merupakan himpunan bagian dari B maka hubungan tersebut
dapat ditulis A cr. B.
Contoh:
C = { 1, 2, 3} merupakan himpunan bagian sejati dari A = { 1, 2, 3, 4, 5}
karena anggota himpunan C, yaitu angka 1, 2, dan 3 juga merupakan
anggota himpunan A dan ditulis C c A atau A :::> C.
Contoh:
D ={a, c, e} merupakan himpunan bagian sejati dari E ={f, e, d, c, b, a}
karena huruf a, c, dan e merupakan anggota himpunan D dan juga
merupakan anggota himpunan E.
Perhatikan bahwa A merupakan himpunan bagian dari B ditunjukkan oleh
lambang A c B atau B :::> A. Di sini himpunan A tidak sama dengan himpunan B
atau A* B karena bila A= B maka A akan merupakan himpunan bagian sejati
dari B dan sebaliknya, himpunan B juga merupakan himpunan bagian sejati dari
himpunan A, peristiwa tersebut dapat ditunjukkan dengan lambang:
A c B atau B :::> A
1.6 MATEMATIKA EKONOMI e
Contoh:
Bila X= {a, b, c} dan Y = {b, c, a}, maka X= Y. X merupakan himpunan
bagian sejati dari Y dan sebaliknya, Y merupakan himpunan bagian sejati
dari himpunan X, atau ditulis X ~ Y atau Y ~ X.
Himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota,
merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan, atau dengan perkataan lain,
setiap himpunan selalu mengandung himpunan kosong. Lalu dapatkah kita
menghitung berapa banyak himpunan bagian yang dimiliki oleh suatu himpunan
jikajumlah anggotanya tertentu? Untuk itu, coba kita lihat himpunan A= {3 }.
Himpunan ini hanya memiliki satu anggota, yaitu angka 3. Himpunan bagian
yang dimiliki oleh himpunan A adalah sembarang himpunan yang
beranggotakan angka 3, misalnya P = (3), dan sembarang himpunan kosong
misalnya K = 0. Jadijumlah himpunan bagian yang dimiliki cacahnya ada 2.
Sekarang, kalau himpunan yang akan dicari jumlah himpunan bagiannya
adalah Q = {a, b} maka himpunan bagian sejatinya adalah A = {a}, B = {b},
C = {a, b} dan D = 0. Jadi jumlah himpunan bagian yang dimiliki oleh
himpunan Q = {a, b} cacahnya ada 4 himpunan. Untuk mengetahui secara cepat
jumlah himpunan bagian sejati yang dimiliki oleh suatu himpunan yang
memiliki n anggota dapat dengan menggunakan rumus:
2n
Contoh:
Jumlah himpunan bagian yang dimiliki oleh A = {3} adalah 21
= 2, yaitu
P = {3} danK= 0,
Contoh:
Jumlah himpunan bagian yang dimiliki oleh Q= {a, b} adalah 22
= 4, yaitu
A = {a} ; B = {b}; C = {a, b }; D = 0.
Himpunan yang dibicarakan umumnya merupakan himpunan bagian sejati
dari suatu himpunan yang memuat seluruh anggota. Himpunan itu disebut
himpunan semesta dan dilambangkan dengan u.
Contoh:
Berbicara mengenai abjad maka himpunan semesta adalah himpunan semua
abjad, yaitu a sampai z.
e ESPA41 22/ MODUL 1 1.7
Suatu cara yang sederhana untuk menggambarkan hubungan antara
himpunan yang satu dengan himpunan yang lain, adalah dengan memakai
diagram Venn-Euler atau sering disingkat dengan nama diagram Venn. Suatu
himpunan ditunjukkan oleh luas suatu bidang datar yang dapat berbentuk luas
suatu lingkaran atau luas empat persegi panjang.
Contoh:
Misalkan A c B dan B cz_ A maka A dan B dapat ditunjukkan oleh diagram
berikut:
atau
Diagram 1.1a. Diagram 1.1 b.
Contoh:
Jika A = {a, b, c, d} dan B = {c, d, e, f} maka kedua himpunan tersebut
dapat disajikan melalui diagram Venn sebagai berikut:
A 8
a c e
b d
Diagram 1.2.
Cara lain yang dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara
himpunan yang satu dengan yang lain adalah menggunakan diagram garis.
1.8 MATEMATIKA EKONOMI e
Untuk menyajikan bahwa A c B maka dapat ditulis B yang ditempatkan di atas
A dan keduanya dihubungkan dengan garis lurus.
A
8
Diagram 1.3.
Contoh:
Jika A c B dan B c C maka diagram garisnya adalah:
A
8
A
Diagram 1.4.
e ESPA41 22/ MODUL 1 1.9
Contoh:
Jika A= {a}, B = {b} dan C = {a, b} maka diagram garis dari A, B, dan C
adalah:
c
A 8
Diagram 1.5.
Contoh:
Jika D = {d}, E = {d, e}, F = {d, e, f} serta G = {d, e, g} maka diagram
garis dari D, E, F, danG adalah:
F G
E
D
Diagram 1.6.
C. OPERASI HIMPUNAN
Pekerjaan seperti menjumlah, mengurang, mengali, dan membagi suatu
bilangan adalah operasi aritmatika. Himpunan meskipun berbeda dengan
bilangan dapat juga dioperasikan secara aritmatika. Operasi yang dapat
dilakukan adalah gabungan, irisan, selisih, dan komplemen.
1.10 MATEMATIKA EKONOMI e
Gabungan (union) dari himpunan A dan himpunan B merupakan suatu
himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota himpunan A atau anggota
himpunan B atau keduanya. Gabungan himpunan A dan himpunan B ini
dilukiskan dengan lambang Au B dan dibaca "gabungan himpunan A dan B".
Contoh:
Pada diagram Venn berikut, A u B adalah luas A dan luas B yang diarsir.
A 8
Diagram 1.7.
Contoh:
Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d, e, f} maka A u B = {a, b, c, d,
e, f}.
Diagram 1.8.
Irisan (interseksi) dari himpunan A dan himpunan B adalah suatu himpunan
yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A, tetapi juga
merupakan anggota himpunan B. Irisan dari himpunan A dan himpunan B
dilukiskan dengan lambang An B.
e ESPA41 22/MODUL 1 1.11
Contoh:
Pada diagram Venn berikut, An B adalah bagian luas A yangjuga menjadi
bagian luas B dan ditunjukkan dalam gambar sebagai bagian luas yang
diarsir.
A B
Diagram 1.9.
Contoh:
Misalkan A = {a, b, c, d} dan B = {c, d, e, f, g} maka A n B = {c, d}
Contoh:
Misalkan A= {1, 3, 5} dan B = {7, 3, 5, 6, 8} maka An B = {3, 5}
Selisih antara himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang
anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A, tetapi bukan anggota
himpunan B.
Contoh:
Pada diagram Venn berikut, A - B adalah bagian A yang tidak menjadi
bagian luas B dan dalam gambar ditunjukkan oleh bagian yang diarsir.
8
Diagram 1.10.
1.12 MATEMATIKA EKONOMI e
Contoh:
Misalkan A= {12, 14, 16, 13, 15} dan B = {9, 10, 12, 13} makaA-B =
{14,15,16}
Contoh:
Misalkan P = {a, b, c, d} dan Q = {a, b, e, f} maka P - Q = {c,d}
Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya
merupakan selisih antara himpunan semesta U dan himpunan A. Komplemen
dari himpunan A ditulis A'.
Contoh:
Pada diagram Venn berikut, komplemen dari himpunan A adalah bagian
luas yang tidak termasuk bagian luas A dan dalam diagram dilukiskan
sebagai bagian luas yang diarsir. Anggapan yang digunakan di sini adalah
himpunan semesta U merupakan luas segi empat panjang.
Diagram 1.11 .
Contoh:
Misalkan himpunan semesta U anggotanya adalah bilangan 1 sampai 100 dan
A= {1, 2, 3}, maka A'= {4, 5, 6,............, 99, 100}
D. PASANGAN URUT
Himpunan yang urut-urutan anggotanya tertentu, yaitu yang bemomor urut
1, 2, 3, ...... dan seterusnya disebut himpunan urut. Daftar anggota himpunan
urut tidak ditempatkan di antara dua tanda kurawal, akan tetapi di antara tanda
kurung biasa.
e ESPA41 22/MODUL 1 1.13
Contoh:
{a,b,c} adalah himpunan yang mempunyai tiga buah anggota yang
urut-urutan penulisannya boleh sembarang. (a,b,c) adalah suatu himpunan
urut dengan tiga buah anggota yang urut-urutan penulisannya tidak boleh
diubah dan harus seperti itu.
Bila suatu himpunan hanya mempunyai dua anggota di mana satu anggota
dinyatakan sebagai nomor satu dan yang lain dinyatakan sebagai nomor dua
maka himpunan tersebut dinamakan pasangan urut.
Contoh:
Pasangan urut (1,4) dan (4,1) adalah berbeda.
Contoh:
Pasangan urut boleh memiliki anggota pertama dan anggota kedua yang
sama seperti (1,1), (2,2), (5,5)
....~' §ill . .
LATIHAN
-- - ~ ~
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) Tulislah pernyataan-pemyataan di bawah ini dengan menggunakan lambang
himpunan:
a) a bukan anggota himpunan A
b) p adalah anggota himpunan Q
c) X adalah himpunan bagian sejati dari Y
d) R bukan himpunan bagian sejati dari S
e) Himpunan M mengandung himpunan N
2) Bila P = {a,b,c} atau dengan kata lain P beranggotakan a, b dan c maka dari
pernyataan-pernyataan berikut ini manakah yang benar dan yang salah. Bila
salah sebutkan sebabnya!
a. a E P c. {b} c p
b. acP d. {b} E p
1.14 MATEMATIKA EKONOMI e
3) Seandainya himpunan semesta S = {a, b, c, d, e} dan misalkan A = {a, b,
e}, B = {a, c, d} dan C = {b, e} maka carilah:
a. An B c. B u C
b. A- C d. Au C
4) Dengan menggunakan data pada soal nomor 3 di atas, gambarkan diagram
Venn dari himpunan-himpunan berikut ini.
a. A n B c. (A u B ) n C
b. A u B d. (A n B ) u C
5) Bila ditentukan himpunan A= {p, q, r, s} maka tentukan himpunan bagian
yang dimiliki oleh A.
6) Bila ditentukan:
X = {a, b, c, d, e}
y = {b, c, d}
Z = {c, d}
tunjukkan pernyataan-pernyataan berikut ini yang salah dan sebutkan
mengapa.
a. YcX c. ZcX
b. Y =::)X d. z =::) y
7) Dapatkan gabungan dari himpunan H1 dan himpunan H2 berikut:
a. H1 ={1, 2, 3} b. H1 ={a, 1, 2}
H2 ={a, b, c} H2 ={a, b, c}
c. H1 = {a, b, 2}
H2 = {a, b, c}
8) Dapatkan irisan dari himpunan H1 dan himpunan H2 pada soal nomor 7 di
atas.
9) Dengan menggunakan himpunan-himpunan pada soal nomor 7, carilah
H1- H2 dan H2- H1.
10) Dengan menggunakan H1 dan H2 pada soal nomor 7, dapatkan
(HI- H2) u (H2- H1)
e ESPA41 22/ MODUL 1 1.15
Petunjuk Jawaban Latihan
1) a) a~ A
b) pEQ
c) Xc Y
d) RctS
e) M~N
2) a) benar
b) salah, sebab a bukan himpunan
c) salah, sebab simbol {b} untuk himpunan dan b adalah elemen
d) benar
3) a) A n B={a}
b) A-C={a}
c) B u C = {a, b, c, d, e} = S
d) A u C={a, b,e}
4) a) A n B = bagian yang diarsir
A B
b) A u B = bagian yang diarsir



A B )
J
/
/
1.16 MATEMATIKA EKONOMI e
c) ( A u B ) n C = bagian yang diarsir
B
A
c
d) ( A n B ) u C =bagian yang diarsir
~/ '
~
A / ...........
/
"/ ".
/  I '
I ' I '
I ' I 
X
/
"/ ........
 I
". /
.....
"....... /
........ /
5) Himpunan bagian yang dimiliki oleh A adalah 24
=16, yaitu {0}, {p}, {q},
{r}, {s}, {p,q}, {p,r}, {p,s}, {q,r}, {q,s}, {r,s}, {p,q,r}, {p,q,s}, {p,r,s},
{q,r,s}, {p,q,r,s}.
6) a) Benar.
b) Benar.
c) Benar.
d) Salah karena Z c Y.
7) a) {1,2,3,a,b,c}
b) {a,b,c,1,2}
c) {a,b,c,2}
8) a) {0}
e ESPA41 22/MODUL 1 1.17
b) {b}
c) {a,b}
9) a) {1,2,3}
b) {1,2}
c) {2}
10) a) {1,2,3,a,b,c}
b) {1,2, b,c}
c) {2,c}
RANG K U MAN'-----------------------
Himpunan adalah suatu daftar dari sek:umpulan benda-benda yang
mempunyai sifat-sifat tertentu. Himpunan A dikatakan sama dengan
himpunan B jika keduanya mempunyai anggota yang sama. Setiap anggota
suatu himpunan dapat menjadi anggota himpunan lainnya dan himpunan itu
disebut himpunan bagian sejati dari suatu himpunan tertentu. Himpunan
yang memuat seluruh anggota yang ada disebut himpunan semesta.
Hubungan antara suatu himpunan dengan himpunan lain, dapat
ditunjukkan oleh diagram Venn atau dengan diagram garis. Gabungan
(union) dari dua himpunan atau lebih merupakan suatu himpunan yang
anggotanya adalah semua anggota yang ada di kedua atau lebih himpunan
tersebut. Irisan (interseksi) antara dua himpunan adalah suatu himpunan
yang anggotanya merupakan anggota di kedua himpunan tersebut. Selisih
dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota
salah satu dari himpunan tersebut. Komplemen suatu himpunan adalah
suatu himpunan yang anggotanya merupakan selisih antara himpunan
semesta dan himpunan tersebut.
Himpunan urut adalah suatu himpunan yang urut-urutan anggotanya
tertentu. Bila himpunan urut mempunyai dua anggota dan satu anggota
dinyatakan sebagai nomor satu dan yang lain dinyatakan sebagai nomor dua
maka himpunan tersebut dinamakan pasangan urut.
1.18 MATEMATIKA EKONOMI e
TES FORMATIF 1
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1) Himpunan yang disajikan melalui diagram Venn berikut adalah ....
A B
a c e
b d f g
A. A = {a, b, c, d, e} dan B = {c, d, e, f, g}
B. A= {a, b} dan B = {c, d, e, f, g}
C. A= {a, b, c, d, e} dan B = {f, g}
D. A= {a, b} dan B = {c, d, e, f, g}
2) Himpunan yang disajikan melalui diagram Venn berikut dapat ditulis ....
8
A
A. B nB
B. AuB
C. AcB
D. A-B
3) Seandainya himpunan semesta S = {a, b, c, d, e} , A= {a, b, e}, B = {a, c,
d} dan C ={b, e} maka:
A. S =AnB
B. S =B u C
e ESPA41 22/MODUL 1 1.19
C. S =A- C
D. S =Au C
4) Seandainya himpunan semesta S = {a, b, c, d, e, f} , A = {a, b, e},
B = {a, c, d} dan C = {b, e, f} maka bagian yang diarsir dapat ditulis:
~.I
'
A / .........
/
'/
".I
'.I
' .I
'' .I 
" /.)<..
/ ......
./ .......
 .I
 .I
" - /
" /
...... /
....... ./
A. AuB
B. An B
C. (Au B) n C
D. (An B) u C
5) Pada diagram Venn berikut, bagian yang diarsir dapat ditunjukkan oleh ....
B
A. An B
B. AuB
C. AcB
D. A- B
1.20 MATEMATIKA EKONOMI e
Cocokkanlahjawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian,
gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap
materi Kegiatan Belajar 1.
Jumlah Jawaban yang Benar
Tingkat penguasaan =-----------x 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% =cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80o/o atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda
harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum
dikuasai.
e ESPA41 22/MODUL 1 1.21
KEGIATAN BELA&JAR 2
Sistem Bilangan
A. SISTEM BILANGAN DESIMAL
Di dalam kehidupan sehari-hari sistem bilangan yang biasanya dipakai
adalah sistern bilangan dengan basis 10 dan dikenal dengan nama bilangan
desimal. Angka yang digunakan ada sepuluh, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0.
Bilangan ditulis dengan menggunakan harga tempat. Tempat, dicacah dari
letak tanda koma ke kiri. Tempat pertama mempunyai harga satuan 10° = 1,
tempat kedua 101
= 10, tempat ketiga 102
= 100, dan tempat ke n harga
satuannya 1on-1
dan seterusnya.
Contoh:
45 artinya 4 x 101
+ 5 x 10° = 40 + 5
Contoh:
1990 artinya
= 1 X 103
+ 9 X 102
+ 9 X 101
+ 0 X 10°
= 1000 + 900 + 90 + 0.
Pencacahan tempat untuk angka pecah, dimulai dari tanda koma ke kanan,
tempat pertama mempunyai harga satuan 10-1
=
1
, tempat kedua 10-2
=
1
,
10 100
tempat ketiga 1o-3
=
1
dan seterusnya.
1000
Contoh:
67,85=6x 101
+7x 10°+8x 10-1
+5x 102
= 60 + 7 +
8
+ -
5
-
10 100
B. SISTEM BILANGAN BINAR
Sistem bilangan dengan basis 10 bukanlah satu-satunya sistern yang
digunakan. Misalnya, sistem bilangan dengan basis 2 digunakan pada
1.22 MATEMATIKA EKONOMI e
kebanyakan alat komputer. Angka yang digunakan adalah 0 dan 1. Bilangan
yang menggunakan basis 2 dikenal dengan nama bilangan binar. Pada penulisan
bilangan, berlaku juga harga tempat sehingga untuk tempat pertama mempunyai
harga 2°, tempat kedua yang berada di sebelah kiri tempat pertama mempunyai
harga 21
, tempat ketiga mempunyai harga 22
, dan seterusnya.
Contoh:
Bilangan 1011 mempunyai harga
= 1 X 23
+ 0 X 22
+ 1 X 21
+ 1 X 2°
=8+0+2+1
= 11
Contoh:
Bilangan 101010 mempunyai harga
= 1 X 25
+ 0 X 24
+ 1 X 23
+ 0 X 22
+ 1 X 21
+ 0 X 2°
= 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0
=42
C. BILANGAN KOMPLEKS
Dalam mencacah atau menghitung, mula-mula manusia menggunakan
bilangan alam atau bilangan bulat positif, yaitu 1, 2, 3, 4, ...... Bilangan-bilangan
ini digunakan untuk menambah, mengurang, mengali serta membagi.
Bilangan nol dan bilangan negatif kemudian diciptakan agar dapat
menghitung x dari persamaan a+ x =b. Nilai a dan b merupakan bilangan alam
sembarang. Bilangan bulat positif maupun negatifdan bilangan nol, merupakan
himpunan bilangan bulat. Kemudian, bilangan pecahan diciptakan agar dapat
menghitung nilai x dari persamaan ax - b = 0
Pada persamaan tersebut di atas, nilai a dan b adalah sembarang bilangan
bulat dengan nilai b -:~= 0. Dengan demikian, dari setiap nilai yang diberikan
kepada a dan b akan diperoleh suatujawaban untuk x. Bila tidak ada bilangan
pecah maka harga untuk x tidak bisa dijawab.
Contoh:
3x- 2 = 0.
2
X==-
3
e ESPA41 22/ MODUL 1 1.23
Bilangan yang ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat disebut bilangan
rasional. Bilangan rasional juga dapat ditulis sebagai bilangan desimal berulang.
Contoh:
2
3
=0,6666....... (satu angka berulang).
Selain bilangan rasional, juga dikenal adanya bilangan irasional. Bilangan
irasional adalah bilangan yang tidak rasional, yaitu bilangan yang tidak dapat
ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Oleh karena tidak dapat ditulis
sebagai hasil bagi dua bilangan bulat maka dengan sendirinya kita tidak pernah
akan menjumpai bilangan desimal berulang. Bilangan rasional dan irasional
merupakan himpunan bilangan riil.
Contoh:
Keliling suatu lingkaran dengan diameter satu adalah n yaitu suatu simbol
untuk angka yang nilainya 3,141592. Angka ini merupakan bilangan
irasional karena tidak dapat ditunjukkan sebagai hasil bagi dua bilangan
bulat.
Bilangan irasional diciptakan, agar Anda dapat menyelesaikan suatu
persamaan kuadrat yang bentuk umumnya:
ax
2
+ bx + c = 0
Pada persamaan di atas nilai a -=~: 0 dan akar persamaan dapat diperoleh
dengan menggunakan kaidah:
-b ±~b2
- 4ac
X 1,2 =
2
a
Bila diskriminan b2
- 4 ac > 0, maka akar-akar persamaan dapat dicari karena
adanya bilangan irasional. Akan tetapi, hila diskriminan b2
- 4 ac < 0, maka
supaya persamaan dapat diselesaikan kemudian diciptakan bilangan imajiner.
Untuk menunjukkan bilangan imajiner, dipakai tanda i yang juga disebut
"satuan imajiner". Besamya i adalah:
i= + i
dengan demikian maka:
1.24
·2 11 =-
·3 ,----;~
1 = -1v -1
·4 11 =
i
5
= H
MATEMATIKA EKONOMI e
Contoh:
Akar persamaan x
2
+ 6x + 13 =0 adalah:
-6 ±"36 - 52
X12 =,
2
-16-6±
=----
2
=-3+2rt
karena i = +I ,maka x1 2 =-3 ± 2i
'
Contoh:
Akar persamaan x2
- 8x + 17 =0 adalah
X!
2
= 8±~64-68 = 4 ± +t
' 2
karena i ==+I ,maka x1,2 = 4 ± i
Bilangan rasional dan irasional merupakan himpunan bilangan riil. Bilangan
riil dan bilangan imajiner, merupakan himpunan bilangan kompleks. Himpunan
bilangan kompleks dengan himpunan-himpunan bagiannya dapat dilukiskan
sebagai berikut:
Bilangan komplex
Bilangan riil Bilangan imajiner
Bilangan irasional Bilangan rasional
Bilangan bulat Bilangan pecah
e ESPA41 22/MODUL 1 1.25
Bila R merupakan himpunan seluruh bilangan irasional, a dan b adalah
sembarang bilangan alam maka sekarang dapat disusun kaidah-kaidah bilangan
untuk operasi penjumlahan (+) dan perkalian (x).
No. Kaidah
1. Tutupan
2. Asosiatif
3. Komutatif
4. lndentitas
5. Inversi
6. Distributif
D. PERTIDAKSAMAAN
0 1erasi +
(a+b) E R
(a+b)+c =
a + (b + c)
(a + b)=b + a
a + O=O+ a
(a + -a) = (-a + a) = 0
ax (b +c)==
axb + axc
Operasi x
(ax b) E R
(axb)xc =
ax (bxc)
axb = bxa
axl=lxa
axYa=%=1
Suatu bilangan a dikatakan lebih besar dari bilangan b dan ditulis a > b
hanya jika b lebih kecil dari a dan ditulis b < a. Tanda " > " dan " < " disebut
tanda pertidaksamaan. Di samping kedua tanda pertidaksamaan itu, masih ada
tanda yang lain, yaitu: < yang dibaca "lebih kecil atau sama dengan", dan >
yang dibaca "lebih besar atau sama dengan".
Sifat-sifat Pertidaksamaan
1. a > 0 hanya jika a positif
a < 0 hanya jika a negatif
a> 0 hanyajika -a< 0
a< 0 hanyajika -a> 0
2. Bila a < b dan b < c, maka a < c
Contoh:
3 < 5 dan 5 < 9, maka 3 < 9
3. Bila a< b, maka untuk setiap nilai c berlaku a+ c < b +c.
Contoh:
3 < 5 dan c =2, maka 3 + 2 < 5 + 2 atau 5 < 7
1.26 MATEMATIKA EKONOMI e
4. Bila a< b dan c < d, maka a+ c < b + d
Contoh:
3 < 5 dan 8 < 11 maka 3 + 8 < 5 + 11 atau 11 < 16
5. Bila a< b dan c positif, maka a(c)< b(c)
Contoh:
3 < 5 dan c =2, maka 3(2) < 5(2) atau 6 < 10
6. Bila a< b dan c negatif, maka a(c)> b(c)
Contoh:
3 < 5 dan c =-2, maka 3(-2) > 5(-2) atau -6 > -10
7. Bila 0 <a< b dan 0 < c < d, maka a(c)< b(d)
Contoh:
2 < 4 dan 3 < 6, maka 2(3) < 4(6) atau 6 < 24.
Mulai sifat nomor 2 sampai sifat nomor 7, tanda > dapat diganti dengan
tanda < dan begitu pula tanda < dapat diganti dengan tanda >. Sifat penting
bilangan riil yang lain adalah bahwa setiap bilangan riil dapat digambarkan
pada suatu garis lurus yang disebut garis bilangan. Pada garis bilangan dipilih
satu titik dan diberi nilai 0. Titik ini sebut titik awal. Dari titik awal ini
kemudian dibuat skala dengan satuan tertentu. Di sebelah kanan titik awal
digunakan untuk bilangan-bilangan positif dan bilangan-bilangan negatif
diletakkan di sebelah kiri titik awal.
Contoh:
-2 -1
c
0 1 2 3 4
A 8
Bilangan-bilangan di atas garis menunjukkan skala dan bilangan di bawah
menunjukkan nilai bilangan. Misalnya: A = 3/2 ; B = 3; C = - 1/2.
Oleh karena setiap titik pada garis bilangan menggambarkan atau mewakili
suatu bilangan riil tertentu maka suatu bilangan a dapat disebut dengan titik A.
e ESPA41 22/MODUL 1 1.27
Suatu bilangan yang nilainya terletak di antara dua nilai, yaitu a dan b disebut
dengan selang terbuka dari a ke b ditulis (a,b) dan didefinisikan sebagai
(a, b) ={x a < x < b}
Disebut selang terbuka karena nilai x tidak pernah akan sama dengan a ataupun
dengan b. Jika nilai x dapat menjadi sama dengan a dan b maka didefinisikan
dengan:
[a, b] ={x a ~ x ~ b}
Perhatikan, tanda kurung untuk selang terbuka dan tertutup berbeda! Suatu
kemungkinan dapat pula terjadi pada nilai x yang mungkin sama dengan a akan
tetapi tidak pernah sama dengan b atau sebaliknya tidak pernah sama dengan a
tetapi dapat sama dengan b. Selang yang demikian itu disebut selang setengah
terbuka atau selang setengah tertutup dan ditulis [a, b) dan (a, b], didefinisikan:
[a, b) ={x a ~ x < b}
(a, b] ={x a < x ~ b}
Selang dapat digunakan untuk mencari himpunan penyelesaian suatu
pertidaksamaan.
Contoh:
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:
2 + 6x < 4x + 8
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan tersebut di atas, usahakan agar suku
yang mengandung x terletak di sebelah kiri tanda <. Bagian kiri dan kanan
tanda pertidaksamaan dikurangi dengan 2 sehingga menjadi:
2 + 6x -2 < 4x + 8 - 2
atau
6x < 4x + 6
Kemudian bagian sebelah kiri dan kanan tanda pertidaksamaan dikurangi
dengan 4x sehingga menjadi
6x - 4x < 4x + 6 - 4x
1.28 MATEMATIKA EKONOMI e
atau
2x<6
x<3
Jadi himpunan penyelesaian dari 2 + 6x < 4x + 8 adalah {x x < 3}.
Pada contoh di atas, tujuan untuk menamhah atau mengurangi hagian
sehelah kanan dan kiri tanda pertidaksamaan adalah agar hilangan yang
mengandung x herada di sehelah kiri tanda pertidaksamaan dan hilangan yang
tidak mengandung x herada di sehelah kanan tanda pertidaksamaan.
Contoh:
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
x2
+ 5x + 6 2:: 0
Bagian di sehelah kiri tanda pertidaksamaan dapat diuraikan menjadi:
(x + 2)(x + 3) 2:: 0
Harus diingat hahwa hasil perkalian dua hilangan akan hernilai positif
kalau kedua hilangan itu hertanda positif atau kedua-duanya hertanda negatif.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, pertama kita harus menganggap
hahwa kedua suku hertanda positif dan dicari himpunan penyelesaiannya,
kemudian menganggap hahwa kedua suku hernilai negatif dan dicari himpunan
penyelesaiannya.
Kasus 1:
Bila kedua hilangan, yaitu (x + 2) dan (x + 3) hertanda positif. Atau (x + 2)
> 0 dan (x + 3) > 0. Ini akan terpenuhi hila x > -2 dan x > -3. Bilangan yang
memenuhi kedua pertidaksamaan tersehut hanyalahjika x > -2.
Kasus 2:
Bila kedua hilangan, yaitu (x + 2) dan (x + 3) hertanda negatif. Atau (x + 2)
< 0 dan (x + 3) < 0. Ini akan terpenuhi hila x < -2 dan x < -3. Bilangan yang
e ESPA41 22/MODUL 1 1.29
memenuhi kedua pertidaksamaan tersebut hanyalah jika x ~ -3. Jadi
himpunan penyelesaian pertidaksamaan:
(x + 2)(x + 3) ~ 0
adalah
{x x~-2}u{x x~-3}
yaitu
Cara lain untuk menyelesaikan soal tersebut di atas adalah dengan
menggunakan garis bilangan. Nilai x yang menyebabkan ruas sebelah kiri
menjadi sama dengan nol adalah untuk x = -2 dan x = -3. Untuk nilai x
yang lain kita selidiki apakah menyebabkan ruas kiri lebih besar atau lebih
kecil dari nol. Untuk nilai x yang menyebabkan ruas kiri bernilai positif
pada garis bilangan diberi tanda + dan nilai x yang menyebabkan ruas kiri
bernilai lebih kecil dari nol (negatif) diberi tanda- sehingga garis bilangan
dapat digambarkan seperti:
+ + - - + +
-3 -2
Jadi, penyelesaian dari (x + 2) (x + 3) > 0 adalah
{x x>-2}u{x x<-3}
dan ditulis
Dalam beberapa kasus, suatu bilangan mungkin tidak dipentingkan
tandanya apakah bertanda positif atau negatif, tetapi yang dipentingkan adalah
nilai absolutnya atau nilai mutlaknya. Nilai mutlak suatu bilangan riil a ditulis
dengan simbol a dan didefinisikan sebagai:
X= X jika X> 0
X= -X jikax<O
1.30
Sifat-sifat penting pada nilai mutlak adalah:
1. a ~a
Contoh:
7 ~ 7 dalam hal ini 7 = 7
-12 ~ -12 dalam hal ini 12 > -12
2. ab = a . b
3.
Contoh:
12 = 4 . 3
a a
b b
Contoh:
11 1111
-=--
13 1131
4. a + b :::; a + b
Contoh:
MATEMATIKA EKONOMI e
Bilaa=-3danb=5,maka (-3)+5 < -3 + 5
atau 2 < -3 + 5 karena 2 < 8
5. a- b > a - b
Contoh:
Bila a = -3 dan b = 5 maka (-3) - 5 > -3 - 5
atau -8 > -3 - 5 karena 8 > -2
6. x <a untuk a> 0, hanyajika -a< x <a
Contoh:
x < 3 untuk -3 < x < 3
7. x >a untuk a> 0, hanyajika x >a atau x <-a
Contoh:
x > 4 untuk x > 4 atau x < -4
e ESPA41 22/MODUL 1 1.31
Perhatikan sifat no. 6 dan 7, berlaku juga untuk pertidaksamaan dengan tanda <
atau > dengan cara mengganti tanda > dengan tanda > atau mengganti tanda <
dengan tanda <.
Contoh:
.. --- - -~
Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan x - 3 2:: 5
Dari sifat no. 7 maka diperoleh penyelesaian x- 3 2:: 5 atau x- 3 ~-5 jadi
agar pertidaksamaan terpenuhi, maka x > 8 atau x < -2, dan himpunan
penyelesaiannya adalah {x x 2:: 8 atau x ~ -2}
LATIHAN
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3 - 5x < 1 adalah:
a. {x x > 2/5}
b. {x x < 2/5}
c. {x x<2,5}
d. {x x > 2,5}
2) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3 + 5x 2:: 3x + 5 adalah ....
a. {x x > 2}
b. {X X 2:: 1}
c. {x x < 2}
d. {x x < 1}
3) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 9 - 5x < 2x- 5 adalah:
a. {x x < 2}
b. {x 5<x<9}
c. {x x > 2}
d. {x 5 > x > 9}
1.32 MATEMATIKA EKONOMI e
4) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2
- x - 20 > 0 adalah:
a. {x x < -4}
b. {x x>5}
C. {X -4 < X < 5}
d. {x x < -4 atau x > 5}
5) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2
- 5x + 6 < 0 adalah:
a. {x x > 3}
b. {x x<2}
c. (2,5)
d. {x 2 < x < 3}
6) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2
- 9 > 0 adalah:
a. {x x < -3}
b. {x x > -3 atau x > 3}
c. {x x > 3}
d. {x -3 < x < 3}
x+5
7) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan - - < 0 adalah:
x-3
a. {x x < -5}
b. {x x>3}
c. {x -5 < x < 3}
d. {x x < -5 atau x > 3}
8) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x - 2 < 5 adalah:
a. {x x < -3 atau x > 7 }
b. {x -3<x<7}
c. {x x<-3}
d. {x x > 7}
9) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x - 5 > 4 adalah:
a. {x x < 0,5 atau x > 4,5}
b. {X 0,5 < X < 4,5}
c. {x x < 0,5}
d. {x x > 4,5}
e ESPA4122/ MODUL 1 1.33
10) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 4 > x- 3 adalah:
1
a. {x x >- - atau x < -7 }
3
1
b. {x -7 < x <- }
3
1
c. {x x >-}
3
d. {x x < -7}
Petunjuk Jawaban Latihan
1) 3- 5x < 1
- 5x < -2
2
x>-
5
Himpunan penyelesaiannya: { x
2) 3 + 5x > 3x + 5
2x> 2
x>1
2
x>-}
5
Himpunan penyelesaiannya: { x x > 1 }
3) 10- 6x < x- 4
-7x < -14
x>2
Himpunan penyelesaiannya: { x x > 2 }
4) x2
- x - 20 > 0
(x-5)(x+4) > 0
+ + - - -
-4 5
+
Himpunan penyelesaiannya: { x x > 5 atau x < -4 }
+
1.34 MATEMATIKA EKONOMI e
5) x2
- 5x + 6 < 0
(x-2)(x-3) < 0
+ + - - -
2 3
Himpunan penyelesaiannya { x 2 < x < 3 }
6) x
2
- 9 > 0
(x+3)(x-3) > 0
+ + - - -
-3 3
+
+
Himpunan penyelesaiannya { x x < -3 atau x > 3 }
7) x+5<0
x-3
+ + - - -
-5 3
Himpunan penyelesaiannya { x -5 < x < 3 }
8) X- 2 < 5
-5 < (x- 2) < 5
untuk x - 2 < 5, maka x < 7
untuk x - 2 > -5, maka x > -3
Himpunan penyelesaiannya { x -3 < x < 7 }
9) 2x- 5 > 4
(2x - 5) > 4 atau (2x - 5) < -4
untuk 2x - 5 > 4, maka x > 4,5
untuk 2x - 5 < -4, maka x < -0,5
+
Himpunan penyelesaiannya { x x < -0,5 atau x > 4,5 }
+
+
+
e ESPA41 22/MODUL 1
10) 2x + 4 > x-3 atau
2
x +
4
> 1
x-3
_1 > 2x +4 > 1
x-3
untuk 2x + 4 > x - 3, maka x > -7
1
untuk 2x + 4 < -x + 3, maka x < -
3
Himpunan penyelesaiannya { x
1
x >- - atau x < -7 }
3
RANGKUMAN
1.35
------------------------------------
Sistern bilangan yang biasanya digunakan dalam kehidupan sehari-hari
adalah sistem bilangan dengan basis 10 dengan menggunakan sepuluh
angka, yaitu 0, 1, 2, ...........9. Sistem bilangan yang lain contohnya adalah
bilangan binar, yaitu sistem bilangan dengan basis 2 dan menggunakan dua
angka, yaitu 0 dan 1. Bilangan bulat dan bilangan pecah merupakan
himpunan bilangan rasional. Bilangan rasional dan bilangan irasional
merupakan himpunan bilangan riil. Bilangan riil dengan bilangan imajiner
merupakan himpunan bilangan kompleks.
Sifat-sifat pertidaksamaan
1. a > 0 hanya jika a positif.
a < 0 hanya jika a negatif.
a> 0 hanyajika -a< 0
a< 0 hanyajika -a> 0
2. Bila a < b dan b < c maka a < c.
3. Bila a< b, maka a+c < b+c untuk setiap c.
4. Bila a < b dan c < d, maka a+c < b+d.
5. Bila a < b dan c positif maka a.c < b.c
6. Bila a < b dan c negatif maka a.c > b.c
7. Bila 0 < a dan 0 < c < d, maka a.c < b.a
Sifat-sifat nilai mutlak:
1. a >a
2. ab = a . b
3.
a a
b b
4. a + b :::;; a + b
1.36 MATEMATIKA EKONOMI e
5. a- b ~ a - b
6. x ~a untuk a> 0, hanyajika -a~ x ~a
7. x ~a untuk a> 0, hanyajika a~ a atau x <-a
TES FORMATIF 2
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 + 5x < 12 adalah ....
A. { X X> 2/5 }
B. { X X< 2/5 }
C. {X X< 2 }
D. { X X> 2}
2) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x - 5 ~ 3 - 5x adalah ....
A. {X X> 2}
B. { X X~ 1 }
C. { X X~ 2}
D. { X X~ 1 }
3) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 10- 3x < 2x- 15 adalah ....
A. { X X< 5 }
B. {x 5<x<10}
C. {X X> 5 }
D. { X 5 >X> 10 }
4) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2
- x - 12 > 0 adalah ....
A. {X X< 4 }
B. { X X> -3 }
C. { X -3 <X< 4 }
D. { x x < -3 atau x > 4 }
5) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2
- 2x - 8 < 0 adalah ....
A. { X -2< X < 4}
B. {X X> 4 }
C. { X X< -2 }
D. { x x < -2 atau x > 4 }
e ESPA41 22/MODUL 1
6) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2
- 16 < 0 adalah ....
A. { X X< -4 }
B. { x x < -4 atau x > 4 }
C. { X X> 4 }
D. { X -4 < X < 4 }
x+7
7) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan - - > 0 adalah ....
X -1
A. {X
B. {X
C. {X
D. {X
x < -7 atau x > 1 }
X< -7}
x>1}
-7<x< 1}
1.37
8) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x - 8 ~ 10 adalah ....
A. { X -2 ::s X ::s 18 }
B. { x x > 18 atau x < -2 }
C. { X X< -2}
D. { X X~ 18}
Cocokkanlahjawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglahjawaban yang benar. Kemudian,
gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap
materi Kegiatan Belajar 2.
Jumlah Jawaban yang Benar
Tingkat penguasaan = - - - - - - - - - - x 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% =cukup
< 70% =kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda
harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum
dikuasai.
1.38 MATEMATIKA EKONOMI e
Kunci Jawaban Tes Formatif
Tes Formatif1 Tes Formatif2
1) A 1) c
2) B 2) B
3) B 3) c
4) D 4) D
5) D 5) A
6) D
7) A
8) B
e ESPA41 22/ MODUL 1 1.39
Daftar Pustaka
Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turne. (1996). Mathematical
Economics. The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher.
Haeussler, Ernest F. and RichardS. Paul. (1996). Introductory Mathematical
Analysisfor Business Economics, and The Life and Social Sciences. Eighth
Edition, Prentice Hall International Inc.
Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis Stengos.
(1996). Mathematics for Economics. Addison-Wesley Publisher Limited.
Jacques, Ian. (1995). Mathematicsfor Economics and Business. Second Edition,
Addison-Wesley Publishing Company.
Silberberg, Eugene and Wing Suen. (2001) The Structure of Economics a
Mathematical Analysis. Irwin McGraw-Hill.
MDDUL 2
Pangkat, Akar, Logaritma,
serta Banj ar dan Deret
Dr. Wahyu Widayat
PENDAHULUAN
odul ini menjelaskan pengertian pangkat, akar, logaritma, serta banjar
~ dan deret yang bahannya pernah Anda pelajari. Materi ini disajikan
kembali untuk membantu Anda mengingat kembali sehingga Anda menjadi
lebih paham tentang konsep ini.
Di dalam modul-modul selanjutnya, akan tampak bahwa konsep pangkat,
akar, dan logaritma sering sekali digunakan. Demikian juga, untuk banjar dan
deret. Dengan demikian, pendalaman terhadap materi ini bukanlah merupakan
pekerjaan yang sia-sia.
Dengan mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu menerapkan
kaidah-kaidah perpangkatan, akar, logaritma, banjar dan deret yang berlaku di
dalam ekonomi.
Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat:
1. menjelaskan konsep pangkat, akar, dan logaritma;
2. menghitung dengan menggunakan konsep pangkat;
3. menghitung dengan menggunakan konsep akar;
4. menghitung dengan menggunakan konsep logaritma;
5. menjelaskan konsep banjar dan deret;
6. menghitung dengan menggunakan konsep banjar;
7. menghitung dengan menggunakan konsep deret;
8. menerapkan konsep banjar dan deret dalam perhitungan bunga pinjaman;
9. menerapkan konsep banjar dan deret dalam perhitungan nilai sekarang;
10. menerapkan konsep banjar dan deret dalam perhitungan bunga majemuk.
2.2 MATEMATIKA EKONOMI e
KEGIATAN BELA&JAR 1
Pangkat, Akar, dan Logaritma
A. PANGKAT
Suatu ekspresi an dibaca "a pangkat n"; a disebut basis dan n disebut
pangkat. Jika n merupakan suatu bilangan bulat positif maka
n
a =axax ........ xa
di mana a merupakan perkalian sebanyak n kali.
Menurut definisi di atas, jika n = 0 dan a * 0 maka a
0
= 1. Jadi, untuk
a yang berupa bilangan riil tidak sama dengan nol berlaku a0
= 1. Hal tersebut
sama dengan peristiwa berikut ini:
m
a m-m 0 1-a · -a -- - -m
a
Jika n merupakan bilangan bulat positif dan a * 0 maka
Kaidah-kaidah Perpangkatan:
1 m X n m + n
. a a =a
2.
3.
4.
5.
6.
m
a m-n
n
=a
a
(am)n = a m.n
(am.bm)n =amn.bmn
m m
= _a_ untuk b * 0
a
-
b bm
1 -m
=am
a
1-n
a=-n
a
e ESPA41 22/MODUL 2
Contoh:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
64X67=611
7
4 =47-3=44
43
(32)3 = 32x3 = 36
(3x 4)
2
=32X42=9x16 =144
3 2 32
- =-
5 5
2
1
-=3-2
32
2.3
Suatu fungsi yang variabelnya berpangkat suatu konstan disebut fungsi
berpangkat. Contoh dari fungsi berpangkat adalah y = xa, di mana a
merupakan suatu konstan. Apabila suatu fungsi mempunyai konstan yang
berpangkat variabel maka fungsi itu disebut fungsi eksponensial. Contoh dari
fungsi eksponensial adalah y = ax, di mana x adalah variabel dan a adalah
konstan. Fungsi eksponensial yang sederhana mempunyai bentuk umum
y = ax di mana a > 0
Grafik fungsi y = ax terletak pada kuadran I dan kuadran II. Grafik fungsi
eksponensial tersebut akan merupakan kurva yang menaik untuk nilai a > 1 dan
merupakan kurva yang menurun untuk 0 < a < 1. Pada kedua kasus di atas,
kurva memotong sumbu y di titik (0,1). Ingat nilai a0
= 1.
2.4 MATEMATIKA EKONOMI e
a= 0,4
y
y
a = 10 a = c
a= 0,6
a = 0,9
0 X 0 > 1 0 X
Diagram 2. 1a. Diagram 2.1 b.
Dari kedua gambar di atas, tampak bahwa besarnya nilai a menentukan
kelengkungan kurva. Untuk a= 1 maka y = ax menjadi y = 1 atau suatu garis
lurus yang sejajar dengan sumbu x. Untuk nilai a yang lain, fungsi akan
mendekati sumbu x secara asimetris.
Fungsi eksponensial yang sering digunakan adalah fungsi yang konstannya
bernilai e, yaitu bilangan alam yang besarnya adalah e = 2,718. Bentuk
umumnya adalah
y = aekx + c
di mana a, k, dan c adalah konstan dan e = 2,718. Di dalam ilmu ekonomi,
fungsi eksponensial yang digunakan kebanyakan menggunakan bilangan alam
e sebagai basis. Mengenai keuntungan serta manfaat penggunaan bilangan e ini,
akan dibahas pada bagian lain. Kurva yang menyajikan fungsi y = aekx + c ini
adalah kurva yang memotong sumbu y di titik (0, a+ c) dan asimtotis terhadap
•
gar1s y =c.
e ESPA41 22/MODUL 2 2.5
y
a+c
0 X
Diagram 2.2.
B. AKAR
Kaidah-kaidah perpangkatan untuk an pada bab sebelumnya dinyatakan
untuk nilai a yang tidak sama dengan nol dan n merupakan bilangan bulat positif
atau negatif. Sesungguhnya, nilai n pada bentuk an dapat berupa setiap bilangan
rasional. Ingat, bilangan rasional adalah sembarang bilangan yang dapat
ditunjukkan oleh pembagian dua bilangan bulat p/q, untuk q * 0 serta p dan q
merupakan bilangan bulat.
Pengembangan kaidah-kaidah perpangkatan untuk pangkat suatu bilangan
pecahan (yaitu bilangan rasional) menghendaki agar bentuk ap/q didefinisikan
sesuai dengan kaidah-kaidah perpangkatan yang berlaku. Misalnya, ada suatu
ekspresi dalam bentuk a11
ndan berlaku kaidah (am)n maka dengan menganggap
m = 1/n akan berlaku pula:
(alln)n = an/n =a
Bentuk a11
n disebut akar pangkat n dari a dan disimbolkan *-
Contoh:
1. a
112
menunjukkan akar kuadrat dari a atau hanya disebut akar dari a dan
ditulis 1:);. atau hanya J;.
2.6 MATEMATIKA EKONOMI e
2. a113
menunjukkan akar pangkat tiga dari a dan ditulis ~ .
3. a314
menunjukkan akar pangkat empat dari a pangkat tiga dan ditulis if;l.
Seperti telah disebut di atas, bentuk a112
dapat ditulis menjadi .J; dan a110
dapat ditulis *-. Lebih umum lagi untuk bentuk am/n dapat ditulis menjadi:
am/n= n am
Dengan cara seperti itu maka ekspresi dalam bentuk eksponensial dapat
diubah menjadi bentuk akar dan begitu pula sebaliknya.
Contoh:
1.
2.
3.
4.
82/3 = :if82= 3(23)2= 4
4x213 =4~
w =42/3
3 - 3 -2/4- X
4 2
X
Kaidah-kaidah Akar
mln _ nlm
~ a -a
m a.b = rif;..r4b
rif;.=allm
a rif;.m- =-
b r4b
Contoh:
1. ~= W =22/3
2. 3
216 = ~8.27 = @ .ifii= 6
3. ~ = 161/4= 24/4 = 2
4.
3# =if26=2
e ESPA41 22/MODUL 2 2.7
5.
C. LOGARITMA
Logaritma merupakan bentuk perpangkatanjuga. Secara definisi, logaritma
menunjukkan pangkat yang dimiliki oleh suatu basis sehingga bentuk
perpangkatan itu nilainya sama dengan bilangan tertentu. Dengan menggunakan
simbol maka bila ada:
y = an untuk a > 0 dan a i:- 1
maka n merupakan logaritma dari y dengan basis a atau ditulis :
n = alog y
Kaidah-kaidah Logaritma
Untuk setiap bilangan riil positifx dan y, setiap bilangan riil r dan bilangan
riil positif b = 1, berlaku:
1. alog X.y = alog X+ alog y
2. alog x/y = alog X- alog y
3. alog xr = r alog X
4. alog X= alog b . blog X
5. alog b . blog a = 1
a 1
atau ( log b) = - b - -
6. alog a= 1
7. alog 1 = 0
Contoh:
1.
2
log (8 . 16) = 2
log 8 +
2
log 16
=3+4=7
( log a)
2. slog (625/125) = slog 625 - slog 125
=4-3=1
3. 10
log 1000 = 10
log 103
= 310
log 10 = 3
2.8 MATEMATIKA EKONOMI e
4. Mengubah basis 2 menjadi basis 4
2
log 16 = 2
log 4 .
4
log 16 = 2 . 2 = 4
5. 6
log 6 = 1
6. 8
log 1 = 0
Seperti telah disebutkan di atas, nilai a sebagai basis harus merupakan
bilangan yang positifdan tidak sama dengan satu. Dari sekian banyak bilangan,
yang paling banyak digunakan sebagai basis adalah 10 dan e = 2,7182818.
Logaritma yang mempunyai basis angka 10 dinamakan logaritma
persepuluhan atau logaritma Brigg, sedangkan logaritma dengan basis e yang
nilainya e = 2,7182818 dinamakan logaritma alam atau logaritma Napier.
Logaritma Brigg ditulis 10
log x atau hanya log x tanpa mencantumkan basisnya.
Sementara itu, logaritma Napier menggunakan simbol ln x. Baik logaritma
Brigg maupun Napier, keduanya tunduk pada kaidah-kaidah seperti yang telah
ditulis di atas.
Contoh:
10
2
1. log 3
=log 102
-log 103
= 2- 3 = -1
10
2. log 100 =log 10
2
= 2
3. log ifW1 =log 10113
= 1/3
4. log 103
= 3log 10 = 3
5. ln e = 1
6. ln ~ 2 = ln e
112
= 1/2
7. ln 1 = 0
e ESPA41 22/ MODUL 2
..--- ---._ ,.,..,.hi -6 •
--- =-- ~ .
LATIHAN
2.9
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
Sederhanakan ekspresi berikut ini:
1) 4-2
. 43
2) (23)2
3) (4y)2
4) (12. 5)2
5)
6)
7)
8)
4 2
X y
3 3
X y
33 - 2
42
9) (4-1)3
10) (103
)
2
11)
- 2
2xz-2
3yz-3
12)
X
y
13) 3x-1
(3y)
14) (3xr1
(2y)
-2 -3
15) X y
X -4y -l
- 2
3
2
16) (3x)2
+ (5y)0
17) (2xr] (y)2(y-1)2
Gambarkan fungsi berikut:
18) y=2x
19) Y =22
x
2.10
Untuk a= 1, 2, e dan 10
Sederhanakan ekspresi berikut ini:
21) 25112
22) 16314
23) 32-215
24) 625114
25) 16-114
26) 8 -2/3
Ubahlah ke bentuk perpangkatan:
27) (~)
2
28) 5 if5
30) X -112y- l/ 4
Ubahlah ke bentuk akar:
31) 2X
213
32) x113y -114
33) (3X)415
34) x -112y -114
35) 4X-115
Sederhanakan ekspresi berikut ini:
36) 4
log (4.32)
37) 8
log 64-3
38) 5
log (25/625)
39) 3
log (1/27)
40) 7
log (49/343)
Tukar basisnya dengan yang ditunjukkan berikut:
41) 25
log 625 dengan basis 5
42) 64
log 8 dengan basis 2
MATEMATIKA EKONOMI e
e ESPA41 22/ MODUL 2 2.11
43) 9
log 243 dengan basis 3
44) 3
log 81 dengan 9
45) 4
log 2 dengan basis 16
Petunjuk Jawaban Latihan
1) 4
2) 26
3) 16y2
4) 602
5)
9x2
25y2
6) 34 6·X
7)
X
y
8)
44
36
9)
1
43
10) 106
11)
9y2
4x2
z2
12)
36y4
29x6
13)
9y
X
14)
2y
3x
2
15) X
y2
16) 9x2
+5
1
17) 2x
18) Gambar fungsi y =2x
2.12 MATEMATIKA EKONOMI e
y
0 X
19) Gambar fungsi y = 22
x
y
0 X
e ESPA41 22/ MODUL 2 2.13
20) Gambar fungsi y =ax untuk a= 1, 2, e dan 10
y
a=1
0 X
21) 5
22) 8
23) _!__
4
24) 5
25)
1
2
26)
1
4
27) 12
5
-
28) 56
1
-
29)
x3
1
-
y2
30)
1
1 1
- -
x2y4
31) 2~
2.14
32)
~
ifY
33) 1(3x)
4
1
34)
(~)(ifY)
4
35) $
36) 4
log (4.32) = 3 4
log 2
37) 8
log 64-3
= -6
38) slog (25/625) = -2
39) 3
log (1/27) =-3
40) 7
log (49/343) = -1
41) 2
slog 625 =slog 25
42) 64
log 8 =2
log 4-1
43) 9
log 243 =(Y2)
3
log 243
44) 3
log 81= 2. 9
log 81
45) 4
log 2 = 2. 16
log 2
. RANGKUMAN
MATEMATIKA EKONOMI e
' - - - - - - - - - - - - - - - - -
Perpangkatan merupakan suatu bentuk singkat dari bentuk perkalian
sesuatu yang sama lebih dari satu kali.
Bentuk akar merupakan pengubahan bentuk perpangkatan dengan
pangkat bilangan pecahan, demikian juga sebaliknya, bentukperpangkatan
dapat ditemukan dari bentuk akar. Pengakaran memiliki sifat-sifat sebagai
berikut.
~ =an/rn
rn a.b = ~.'Ifb
~=allm
a~m - = -
b 'ib
e ESPA41 22/ MODUL 2 2.15
Logaritma merupakan proses penentuan pangkat apabila bilangan dasar
dan nilai perpangkatan telah diketahui. Sifat-sifat dasar logaritma yang
dapat digunakan dalam operasi logaritma adalah:
1. alog x.y = alog X+ alog y
2. alog x/y = alog X - alog y
3. alog Xr = f a log X
4. alog X = alog b . blog X
5. alog b . blog a = 1 atau (•tog b)= b
1
( log a)
6. alog a= 1
7. alog1=0
TES FDRMATIF 1
Pilihlah satu j awaban yang paling tepat!
1) 6-2
. 63
A. 12
B. 18
C. 6
D. 6
2) (63)2
A. 66
B. 63
C. 62
D. 36
3) (16 . 6)2
A. 692
B. 962
C. 1612
D. 362
2
4)
4x
6y
A.
8x2
12y2
2.16 MATEMATIKA EKONOMI e
B.
8x2
36y2
C.
16x2
36y2
D.
16x2
12y2
5) (43.x3)2
A. 43 6·X
B. 46 6
·X
C. 49 6·X
D. 45 5·X
53 - 2
6)
72
A.
54
76
B.
76
54
C.
56
74
D.
74
56
7) (123
)
2
A. 123
B. 126
C. 122
D. 125
8) 32-215
=
A. 1/2
B. 1/4
C. 1/8
D. 1/16
e ESPA41 22/ MODUL 2 2.17
9) 16-114
A. 1/2
B. 1/4
C. 1/8
D. 1/16
10) 5 :if'S
3
-
A. 5 4
4-
B. 5 5
5-
C. 5 6
6-
D. 5 7
11)
JJx
JY
1
-
x 3
A.
1
-
y2
x3
B.
y2
X
- 3
C.
y- 2
1
- -
X 3
D.
1
- -
y 2
12) (3X)
415
=
A. ~..--·(3-x)-5
B. J(3x)-5
2.18
C. ~(3x)-4
D. 1 (3x)
4
13) x -ll2y-ll4
A. (~)(1Y)
B.
1
C.
( x-1 )(1Y)
1
D.
14) 8
log 64-3
A. 6
B. -6
C. 8
D. -8
15) 5
log (25/625)
A. -2
B. 2
C. -4
D. 4
16) Hasil tukar basis 64
log 8 dengan basis 2
A. 2
log 2-1
B. 2
log 4-1
C. 2
log 6-1
D. 2
log 8-1
MATEMATIKA EKONOMI e
e ESPA41 22/MODUL 2 2.19
Cocokkanlahjawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglahjawaban yang benar. Kemudian,
gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap
materi Kegiatan Belajar 1.
Jumlah Jawaban yang Benar
Tingkat penguasaan = -----------x 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% =cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80o/o atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda
harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum
dikuasai.
2.20 MATEMATIKA EKONOMI e
KEGIATAN BELA&JAR 2
Banjar dan Deret
A. BANJAR
Banjar dapat didefinisikan sebagai suatu fungsi yang wilayahnya
merupakan himpunan bilangan alam. Setiap bilangan yang merupakan anggota
suatu banjar dinamakan suku. Bentuk umum dari banjar adalah:
di mana
suku ke 1 = sl = al
suku ke 2 = s 2= a2
suku ke 3 =s 3=a3
• •
• •
suku ke n =Sn =an
Banjar di atas dapat disimbolkan dengan [an] sehingga kalau ditulis lagi dengan
lengkap menjadi:
Suatu banjar yang tidak mempunyai akhir atau banyaknya suku tidak terbatas
dinamakan banjar tak terhingga, sedangkan banjar yang banyaknya suku tertentu
dinamakan banjar terhingga.
Bilangan alam yang terdapat pada suatu banjar pada umumnya tersusun
secara teratur dengan suatu pola tertentu. Dengan memperhatikan pola yang
terdapat pada suku-sukunya, banjar dapat dibedakan menjadi banjar hitung,
banjar ukur, dan banjar harmoni.
Banjar hitung adalah banjar yang antara dua suku berurutan mempunyai
selisih yang besarnya sama. Jadi, suatu banjar
[an] = ab a2, a3 ' ..... an
e ESPA41 22/ MODUL 2
akan disebut dengan banjar hitung apabila
a2 - a1 =b
a3 - a2 =b
a4 - a3 =b
•••
an- an-1 =b
2.21
di mana b merupakan beda yang besarnya tetap dan dapat bernilai positif atau
negatif.
Contoh:
1. [n] =1 , 2 , 3 , 4, . . . . . n
b =Sn - Sn-1=1
2. [5n] =5 , 10 , 15, 20, ... 5n
b =Sn - Sn-1=5
3. [12 - 2n] =10 , 8 , 6 , 4 , .... (12 - 2n)
b =Sn - Sn-1=-2
Banjar ukur adalah banjar yang antara dua suku berurutan mempunyai basil bagi
yang sama besarnya. Jadi untuk banjar:
[an] = a1' a2 ' a3 ' . . . . . an
akan disebut sebagai banjar ukur kalau
s21s1 = p
s31s2= p
• • •
Sn I Sn-1= p
di mana p merupakan nilai banding (=rasio) yang besarnya tetap dan dapat
bertanda positif atau negatif.
Contoh:
1.
2.
[ n-1] 2 n-1ap =a , ap , ap , . . . ,ap
[5. 2n-l] = 5 , 10 , 20, 40, ...., 5(2n-l)
Banjar harmoni adalah banjar yang sukunya merupakan kebalikan dari suku
banjar hitung.
2.22 MATEMATIKA EKONOMI e
Contoh:
1 1 1 1 1
1. -=1,-,-,-, ... ,
n 2 3 4 n
2.
1 1 1 1 1 1
-=
5 ' 10 ' 15 ' 20 ' ···' 5n5n
B. DERET
Bila suku-suku pada suatu banjar dijumlah makajumlah tersebut dinamakan
deret. Jadi, deret merupakan penjumlahan semua suku suatu banjar. Seirama
dengan pembedaan banjar maka deret dapat dibedakan menjadi deret hitung,
deret ukur, dan deret harmoni.
Deret hitung merupakan jumlah suku-suku banjar hitung, deret ukur
merupakanjumlah suku-suku banjar ukur, dan deretharmoni merupakanjumlah
suku-suku banjar harmoni.
Contoh:
1.
2.
3.
Deret hitung : 1 + 2 + 3 + ... + n
Deret ukur : 5 + 10 + 20 + .. + 5(2°-1
)
D h
. 11 1 1
eret armon1 : +- +- +... +-
2 3 n
Oleh karena sampai saat ini belurn ditemukan rumus untuk menjumlahkan deret
harmoni maka untuk selanjutnya, deret harmoni tidak akan dibahas.
Secara umum, suatu deret dapat ditulis sebagai:
Jn= a1 + a2 + a3 + . . . . + an
Untuk menyingkat cara penulisan, dapat dipakai tanda L dan dibaca "sigma"
sehingga deret dapat ditulis menjadi:
dan
n
L ai untuk deret terhingga
i=l
L ai untuk deret tak terhingga
i=l
e ESPA41 22/MODUL 2 2.23
Deret ukur dan deret hitung sering digunakan dalam matematika ekonomi.
Sebagai contoh, Malthus, seorang ahli ekonomi teori, pernah menyatakan
bahwa penduduk mempunyai kecenderungan untuk tumbuh seperti deret ukur,
sedangkan bahan makanan tumbuh menurut deret hitung. Anda telah mengenal
deret ukur dan deret hitung maka pernyataan Malthus tersebut mengandung arti
bahwa pertumbuhan penduduk sangat cepat dan lebih cepat dibanding
pertumbuhan makanan.
Apabila a adalah suku pertama suatu banjar dan b adalah beda antara dua
suku yang berurutan maka sesuai dengan pengertian deret hitung:
suku pertama = a
suku kedua = a + b
suku ketiga = a + 2b
suku keempat = a + 3b
• • • • •
suku ken= a+ (n- 1)b = Sn
Jadi suku ke n suatu banjar hitung, ditentukan oleh
Sn =a+(n-1)b
Deret hitung jumlahnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
1
J == -n(a +Sn)
2
di mana n = banyaknya suku
a= suku pertama
Sn = suku ken
Contoh:
Jika ingin mengetahui suku ketujuh suatu banjar hitung yang suku
pertamanya = 1 dan beda = 2 adalah:
Sn = a + (n - 1)b
= 1 + (7- 1)2
=13
2.24 MATEMATIKA EKONOMI e
Deret bitung dengan jumlab tujub suku tersebut adalab:
1
1 == -n(a +Sn)
2
1
J==-7(1+13)
2
=49
Selain banjar bitung, kita telab mengenal banjar ukur. Suatu banjar ukur
ditandai oleb banjar yang basil bagi suatu sukunya dengan suku sebelumnya
merupakan bilangan konstan, atau suku suatu banjar ukur diperoleb dari basil
kali suku sebelumnya dengan suatu pengali yang besarnya konstan. Bila suatu
banjar ukur memiliki suku pertama a dan pengali sebesar p maka secara
matematis dapat ditulis:
suku pertama = a
suku kedua = ap
suku ketiga = ap
2
• • •
suku ke n =apn-1
=Sn
Jadi suku ken suatu banjar ukur ditentukan oleb Sn =apn-1
Jumlab n suku suatu deret ukur dapat ditentukan dengan rumus
1-pn a-pSn
J==a--
1-p 1-p
Rumus di atas tidak berlaku untuk p = 1. Pada kasus p = 1, telab diketabui
bahwa satu dipangkatkan berapa saja hasilnya adalah satu, sehingga suku ken
nilainya akan sama dengan suku pertamanya sehingga jumlab n sukunya sama
dengan basil kali antara a dengan n. Bila Ip I < 1 dan jumlab sukunya tak
terbingga maka jumlabnya dibitung dengan menggunakan rumus:
1= a
1- p
e ESPA41 22/ MODUL 2 2.25
Contoh:
Bila ada suatu banjar ukur yang suku pertamanya a= 1 dan pengalinya
p = 2 maka besarnya suku ke-5 adalah:
Sn = apn-1
S5 =1(25
-
1
)
=16
dan jumlah 5 sukunya adalah:
1- pn a- pSn
J=a =
1-p 1-p
1-2.16 1-32
=1 =--
1- 2 -1
= 31
C. PENERAPANPADAEKONOMI
1. Bunga Pinjaman
Bunga pinjaman selama setahun atau kurang, sering dihitung dengan
menggunakan cara yang sederhana, yaitu bunga yang hanya dikenakan pada
jumlah pinjaman. Jumlah yang dipinjam ini untuk selanjutnya akan disebut
dengan pokok pinjaman. Jika besarnya pokok pinjaman adalah P dengan bunga
sebesar r persen setahun dan lama meminjam adalah t tahun maka besarnya
bunga yang harus dibayar, yaitu I adalah hasil perkalian antara pokok pinjaman
dan bunga dan lama meminjam, atau
I= P.r.t
Contoh:
Berapakahjumlah yang harus dikembalikan oleh seseorang yang meminjam
uang sebanyak Rp2.500,- pada tanggal5 Juni 1992 dan dikembalikan pada
tanggal 5 Februari 1993 dengan bunga sebesar 14 persen?
Mulai tanggal5 Juni 1992 sampai 5 Februari 1993 ada 8 bulan, atau waktu
peminjamannya 8/12 = 2/3 tahun. Besarnya bunga pinjaman:
I= P.r.t
= 2500 (0,14) (2/3)
= 233,33
2.26 MATEMATIKA EKONOMI e
Jurnlah yang harus dikembalikan adalah pokok pinjaman ditambah dengan
bunga, atau
Rp2.500,- + Rp233,33,- = Rp2.733,33,-
2. Nilai Sekarang
Nilai sekarang dari jurnlah yang diperoleh di masa mendatang atau sering
pula disebut dengan present value adalah nilai sejurnlah uang yang saat ini dapat
dibungakan untuk memperoleh jurnlah yang lebih besar di masa mendatang.
Misalkan, P adalah nilai sekarang dari uang sebanyak A pada t tahun yang akan
datang. Bila kemudian diumpamakan tingkat bunga adalah r maka bunga yang
dapat diperoleh dari P rupiah adalah:
I= P.r.t
dan uang setelah t tahun menjadi:
P + P.r.t = P(1 + rt)
Oleh karena A adalah nilai uang sebanyak P pada t tahun mendatang maka
atau
P(1 + rt) =A
P= A
1+rt
Contoh:
Setahun lagi, Asbun akan menerima uang sebanyak Rp10.000,-. Berapakah
nilai sekarang uang tersebut jika tingkat bunga adalah 13 persen setahun?
Dalam masalah ini, A= 10.000, r = 0,13 dan t = 1
p = 10.000
1+(0,13)(1)
= 8849,56
3. Bunga Majemuk
Bunga sederhana seperti yang dibahas sebelumnya adalah bunga yang
umumnya diterapkan untuk pinjaman dalam jangka waktu satu tahun atau
kurang. Dengan bunga majemuk, bunga selain dikenakan pada pokokpinjaman,
e ESPA41 22/MODUL 2 2.27
juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan. Misalkan, seseorang membungakan
uangnya sebanyak P dengan bunga sebesar i per tahun. Setelah satu tahun, ia
mendapatkan bunga sebesar:
bunga tahun pertama =P.i
Bunga dan pokok pinjaman pada akhir tahun menjadi:
P + P.i =P(l + i)
Jumlah sebanyak itu, menjadi pokok pinjaman yang baru sehingga pada akhir
tahun kedua bunga yang diterima sebesar:
P(l + i)(i)
Jumlah uang keseluruhan sekarang menjadi;
P(l + i) + P(l + i)(i) = P(l + i)(l + i)
=P(l + i)
2
Dengan cara yang sama maka di tahun ketiga seluruh uangnya menjadi
= P(l + i)
3
dan dalam n tahun seluruh uangnya menjadi
=P(l + i)n
Penggandaan uang atau penghitungan bunga dapat dilakukan lebih dari satu
kali dalam setahun. Misalkan, pembayaran bunga dilakukan dalam m kali
setahun (dalam 5 periode setahun), pada tingkat bunga i per tahun maka tingkat
bunga setiap periode adalah i/m dan jumlah periode pembungaan (penghitungan
bunga) adalah sebanyak n x m. Seandainya, bunga yang diperoleh dibungakan
lagi selama n periode maka rumus yang digunakan untuk menghitung seluruh
uangnya menjadi:
• n.m
A=P 1+
1
m
2.28 MATEMATIKA EKONOMI e
Contoh:
-- _ !.,.._ ~
Misalkan ada uang sebanyak Rp1.000,- dibungakan selama 6 tahun dengan
bunga majemuk sebesar 5 persen per tahun dan diambil setahun sekali maka
berapakahjumlah uang tersebut setelah 6 tahun?
Dari rumus
• n.m
A=P 1+
1
m
P = 1000 i = 5% = 0 05 m = 1 dan n = 6' ' ' ' .
Jumlah uangnya setelah 6 tahun menjadi:
A= 1000 1+ O,OS
6
.1
1
= 1000(1,05)6
= 1000(1,34010)
= 1340,10
LATI HAN
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) Bila suku pertama deret hitung adalah 2 dan bedanya tiga, hitunglah suku
ke-5 dan suku ke-8!
2) Bila suku kelima dari suatu deret hitung ditambah dengan suku ketiganya
sama dengan 22 dan suku kelima dikurangi dengan suku ketiga sama
dengan empat, maka berapakah nilai suku keempatnya?
3) Badu meminjam uang sebanyak Rp 100.000,- dengan bunga sebesar 18
persen per tahun. Berapa lamakah ia meminjam uang tersebut kalau bunga
yang kemudian harus dibayar ternyata sebanyak Rp27.000,-?
4) Godril memiliki uang sebesar Rp500.000,-. Berapakah nilai uang tersebut
pada lima tahun yang akan datang hila tingkat bunga per tahun adalah 17
persen?
5) Paijo pada saat berumur 10 tahun pernah menyimpan uang di bank
sebanyak Rp2.000,- dengan bunga majemuk sebesar 15 persen yang dibayar
e ESPA41 22/MODUL 2 2.29
oleh bank setiap bulan. Kini Paijo berumur 25 tahun dan ingin mengambil
uang simpanannya itu. Berapajumlah yang akan diterima Paijo?
Petunjuk Jawaban Latihan
1) suku ke 5 = 14 dan suku ke 8= 23
2) Suku ke 4 = 11
3)
4)
5)
1,5 tahun.
Rp 925.000,-.
Rp 16.274,12
Banjar Hitung merupakan banjar yang memiliki pola perubahan
tambah dengan besar tambahan tetap. Nilai sukunya mengikuti Rumus:
Sn =a+ (n- 1) b atau
Sn=k-(n-1)b
Deret hitung merupakan jumlah suku-suku banjar hitung. Deret
ditentukan dengan Rumus-rumus:
Jn = n.a + {1 + 2 + 3 + ... + (n- 1)} b
Jn = n.k- {1 + 2 + 3 + ... + (n- 1)} b
Jn= n(a+k)
2
Banjar Ukur merupakan banjar yang memiliki pola perubahan
kelipatan yang tetap. Faktor pelipat disimbolkan dengan p dan banjar ukur
biasa disajikan dalam bentuk:
2 (n-1)
a, ap, ap , ..., ..., ..., ap
Nilai suku banjar ukur mengikuti rumus:
Sn =a . p(n-1)
Deret ukur merupakan jumlah suku-suku banjar ukur. Ditentukan
dengan rumus:
Jn = a+ ap 1+ 2 + ... + (n-1)
atau dengan
2.30 MATEMATIKA EKONOMI e
(1- rn)
Jn= a---
1-r
TES FORMATIF 2
Pilihlah satu j awaban yang paling tepat!
1) Bila suku pertama deret hitung adalah 5 dan bedanya tiga, hitunglah suku
ke-6 dan suku ke-9!
A. suku ke-6 =16 dan suku ke-9 = 26
B. suku ke-6 = 20 dan suku ke-9 = 29
C. suku ke-6 =17 dan suku ke-9 =27
D. suku ke-6 = 19 dan suku ke-9 = 29
2) Bila suku ketiga deret hitung adalah 8 dan bedanya empat, hitunglah suku
ke-7 dan suku ke-11 !
A. suku ke-7 =16 dan suku ke-11 =26
B. suku ke-7 =20 dan suku ke-11 =29
C. suku ke-7 =24 dan suku ke-11 =40
D. suku ke-7 = 16 dan suku ke-11 = 36
3) Bila suku ke empat dari suatu deret hitung ditambah dengan suku ke duanya
sama dengan 20 dan suku ke empat dikurangi dengan suku ke dua sama
dengan lima, maka berapakah nilai suku ke tiganya?
A. 5
B. 15
C. 20
D. 10
e ESPA41 22/MODUL 2
4) Kemungkinan fungsi persamaan dari gambar di bawah ini adalah ....
y
0 X
A. Y =22x
B. y =x2
+ 2
C. y =x
3
+ 2x
D. y = x3
+2x
2
+5
2.31
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian,
gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap
materi Kegiatan Belajar 2.
Jumlah Jawaban yang Benar
Tingkat penguasaan = - - - - - - - - - - - x 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90- 100% =baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% =cukup
< 70% =kurang
2.32 MATEMATIKA EKONOMI e
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda
harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum
dikuasai.
e ESPA41 22/ MODUL 2
Tes Formatif1
1) D
2) A
3) B
4) c
5) B
6) D
7) B
8) B
9) A
10) c
11) A
12)D
13) c
14) B
15) A
16) B
2.33
Kunci Jawaban Tes Formatif
Tes Formatif2
1) B
2) c
3) D
4) A
2.34 MATEMATIKA EKONOMI e
Daftar Pustaka
Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Tume. (1996). Mathematical
Economics. The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher.
Haeussler, Ernest F. and RichardS. Paul. (1996). Introductory Mathematical
Analysisfor Business Economics, and The Life and Social Sciences. Eighth
Edition. Prentice Hall International Inc.
Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis Stengos.
(1996). Mathematics for Economics. Addison-Wesley Publisher Limited.
Jacques, Ian. (1995). Mathematics for Economics and Business. Second Edition.
Addison-Wesley Publishing Company.
Silberberg, Eugene and Wing Suen. (2001). The Structure of Economics a
Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill.
Weber, Jean E. (1982). Mathematical Analysis: Business and Economic
Applications. New York: Harper & Row.
MDDUL 3
Fungsi
Dr. Wahyu Widayat
PENDAHULUAN
alam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel
ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lain-lain.
Hubungan kait-mengait antara variabel yang satu dengan variabel yang lain
ditunjukkan oleh suatu fungsi. Penjelasan mengenai fungsi serta kegunaannya
dalam ekonomi akan Anda jumpai di dalam modul ini.
Modul ini dimulai dengan penjelasan mengenai sumbu koordinat dan cara-
cara menggambar grafik dari suatu fungsi, meskipun Anda mungkin pernah
mempelajari bagaimana mencari persamaan suatu garis lurus dari beberapa titik
yang diketahui, dalam modul ini hal tersebut akan dibicarakan lagi sehingga
Anda akan lebih memahami konsep ini. Seperti disebutkan di atas, bahwa kita
selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi yang saling
mempengaruhi, dan proses saling mempengaruhi ini dapat diselidiki dengan
menggunakan fungsi maka pendalaman terhadap materi ini bukanlah merupakan
pekerjaan yang sia-sia.
Fungsi yang akan dibicarakan dalam modul ini dilandasi oleh teori
himpunan yang terdapat dalam modul sebelumnya. Penjabaran-penjabaran dari
fungsi selanjutnya, akan dibahas dalam modul-modul berikutnya.
Dengan mempelajari modul ini, secara umum Anda diharapkan mampu
untuk memahami fungsi linear beserta penggunaannya dalam ekonomi. Setelah
selesai mempelajari modul ini, secara khusus Anda diharapkan dapat:
1. menjelaskan pengertian fungsi;
2. menjelaskan pengertian konstanta;
3. menjelaskan pengertian variabel;
4. menjelaskan pengertian fungsi linier;
5. menentukan persamaan garis dengan metode dua titik;
6. menentukan persamaan garis dengan metode satu titik dan kemiringannya;
7. menentukan persamaan garis dengan penggal garis;
8. menentukan hubungan dua garis lurus;
3.2 MATEMATIKA EKONOMI e
9. menjelaskan konsep metode eliminasi;
10. menghitung dengan konsep metode eliminasi;
11. menjelaskan konsep metode substitusi.
e ESPA41 22/ MODUL 3 3.3
KEGIATAN BELA&JAR 1
Konsep Fungsi
A. LETAK SUATU TITIK
Suatu titik yang terletak di sebuah bidang datar dapat ditentukan letaknya
dengan menggunakan garis penolong yang disebut Sumbu Koordinat. Sumbu
koordinat adalah garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus. Garis yang
horizontal biasanya disebut sumbu x dan yang vertikal disebut sumbu y.
Dikatakan biasanya, sumbu tersebut tidak harus dinamakan dengan x dan y.
Dalam literatur ekonomi, sumbu x sering dinamakan sumbu Q dan sumbu P
untuk sumbu y.
Perpotongan antara sumbu x dengan sumbu y disebut titik origin atau titik
asal atau titik nol. Disebut demikian, karena jarak pada sumbu selalu dihitung
mulai dari titik asal ini. Simbol untuk origin adalah 0.
+
y
Kuadran II
0
Kuadran Ill
Diagram 3. 1.
Kuadran I
+
X
Kuadran IV
Sumbu x yang ada di sebelah kanan 0 dan sumbu y yang berada di atas 0
digunakan untuk nilai yang positif dari himpunan nilai x di sumbu x dan nilai y
di sumbu y, sedangkan untuk himpunan nilai yang negatif digunakan sumbu x
yang berada di sebelah kiri 0 dan sumbu y yang berada di sebelah bawah 0.
Sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat bagian. Setiap bagian
dinamakan kuadran. Masing-masing kuadran diberi nomor secara berurutan
dimulai dari bidang sebelah atas kanan sebagai kuadran I, kemudian dengan
arab menurut kebalikan arab putaran jarumjam ditentukan kuadran II, kuadran
III dan IV (lihat gambar di atas). Jadi, suatu bidang datar dibagi oleh sumbu
koordinat menjadi empat kuadran.
3.4 MATEMATIKA EKONOMI e
Suatu titik, yang sebidang dengan sumbu koordinat, letaknya ditentukan
oleh suatu pasangan urut (x, y). Anggota pertamanya dinamakan koordinat x
atau absis dan anggota keduanya dinamakan koordinat y atau ordinat. Suatu titik
(a,b) yang mana a> 0 dan b > 0 menunjukkan bahwa x =a dan y =b. Titik ini
dapat dilukiskan dengan bergeser dari origin a unit ke kanan dan b unit ke atas.
Titiknya ditentukan oleh perpotongan dua garis yang ditarik dari kedudukan
yang baru karena pergeseran tadi dan sejajar dengan sumbu koordinat.
Contoh:
Titik (3,2) menunjukkan bahwa x = +3 dan y = +2. Titik ini didapat dengan
bergeser ke kanan 3 unit dari origin dan dibuat garis yang sejajar sumbu y,
kemudian dari origin bergeser 2 unit ke atas dan dibuat garis yang sejajar
sumbu x maka diperoleh letak titik (3,2) pada kuadran I dan selanjutnya
titik ini dapat diberi nama, misalnya titik A.
Contoh:
y
2 ------------,
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Kuadran I
A(3,2)
---+------------------~------x
0 1 2 3
Diagram 3.2.
Titik (-2,4) menunjukkan bahwa x = -2, y = +4, dan dapatdiperoleh dengan
bergeser dari origin 2 unit ke kiri (ke arah negatif) dan kemudian 4 unit ke
atas maka diperoleh letak titik (-2,4) pada kuadran II dan misalnya titik ini
dinamakan titik B.
e ESPA41 22/ MODUL 3 3.5
y
B(-2,4)
4~--------
I
I
I
I 3
I
I
I
Kuadran II I 2
I
I
I
I 1
I
I
I
X
-2 -1 0
Diagram 3.3.
Contoh:
Titik (-4,-4) menunjukkan bahwa x = -4, y = -4 dan gambarnya seperti
berikut ini:
y
-4 -3 -2 -1
------------~------------------------~~-----x
Kuadran Ill
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
1
2
3
C(-4,-4) 1---------------- 4
Diagram 3.4.
3.6 MATEMATIKA EKONOMI e
B. PENGERTIAN FUNGSI
Fungsi didefinisikan sebagai himpunan pasangan urut dengan
anggota-anggota pertama pasangan urut yang dinamakan wilayah (domain) dan
anggota-anggota kedua pasangan urut yang dinamakan jangkau (range),
dihubungkan sedemikian rupa sehingga tidak ada dua pasangan urut yang
anggota pertamanya sama.
Ada 3 cara untuk menunjukkan suatu fungsi, yaitu:
1. cara daftar lajur;
2. cara penulisan dengan lambang;
3. cara grafik.
Contoh-contoh untuk menunjukkan suatu fungsi dengan cara-cara tersebut di
atas adalah sebagai berikut.
Contoh:
Fungsi ditunjukkan dengan cara daftar lajur.
X y
1 -1
2 0
3 3
4 8
5 15
Lajur pertama mengandung elemen-elemen pertama pasangan urut dan lajur
kedua mengandung elemen kedua pasangan urut. Perhatikan di sini, pada
daftar lajur tersebut tidak terdapat pasangan urut yang anggota pertamanya
sama. Anggota kedua pada himpunan pasangan urut bisa terjadi sama.
Contoh:
Fungsi ditunjukkan dengan cara lambang:
1. y =x2
- 2x atau
2. f(x) = x2
- 2x atau
3. f(x, y) ialah fungsi yang pasangan urutnya (x, x2
- 2x) atau
4. {(x, y) Iy = x2
- 2x}
e ESPA41 22/MODUL 3 3.7
Cara penulisan dengan lambang yang sering dipakai adalah cara a atau b
karena lebih singkat hila dibandingkan dengan cara yang lain.
Contoh:
Fungsi ditunjukkan dengan cara grafik.
Misalkan, fungsi yang akan dilihat grafiknya adalah y =x2
- 2x. Agar
grafiknya dapat dilukis maka harus dibuat dahulu daftar lajurnya, kemudian
menentukan letak titik-titiknya menurut pasangan urutnya. Grafik dari
fungsi diperoleh dengan menghubungkan titik-titik tersebut.
X y
-2 8
-1 3
0 0
1 -1
2 0
3 3
4 8
y
-----------0~--~~----------x
Diagram 3. 5.
3.8 MATEMATIKA EKONOMI e
C. KONSTANTA DAN VARIABEL
Suatu fungsi biasanya terdiri dari konstanta dan variabel. Konstanta adalah
jumlah yang nilainya tetap dalam suatu masalah tertentu. Konstanta dapat
dibedakan menjadi konstanta absolut dan konstanta parametrik atau parameter.
Konstanta absolut, adalah jumlah yang nilainya tetap untuk segala macam
masalah, misalnya jumlah penduduk pada tahun tertentu untuk setiap masalah
biasanya dianggap sama. Jumlah penduduk Indonesia pada tahun 1997 misalnya
sebanyak 200juta. Apabila kemudian ada yang membahas pendapatan perkapita
negara Indonesia, atau kesehatan penduduk Indonesia pada tahun 1997 maka
jumlah penduduk pada saat itu dianggap sebanyak 200 juta orang.
Konstanta parametrik atau parameter adalahjumlah yang mempunyai nilai
tetap pada suatu masalah akan tetapi dapat berubah pada masalah yang lain.
Variabel adalah jumlah yang nilainya berubah-ubah pada suatu masalah.
Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel tak bebas.
Variabel bebas adalah variabel yang nilainya menentukan nilai fungsi, atau
himpunan yang anggotanya adalah anggota pertama pasangan urut. Variabel tak
bebas adalah variabel yang nilainya sama dengan nilai fungsi setelah variabel
bebas ditentukan nilainya, atau himpunan yang anggotanya adalah anggota
kedua pasangan urut.
Contoh:
Pada persamaan garis lurus y =a + bx, maka a dan b adalah konstanta, x
adalah variabel bebas dan y adalah variabel tak bebas.
Contoh:
Pada persamaan garis lurus x + y == 1 , angka 1 adalah konstanta absolut, a
a b
dan b adalah parameter, x dan y adalah variabel.
Dalam matematika murni, biasanya huruf-hurufpermulaan susunan alfabet,
seperti a, b, c, d, digunakan untuk lambang parameter, dan huruf-huruf akhir
susunan alfabet seperti x, y, z digunakan untuk lambang variabel. Akan tetapi
pada matematika terapan banyak pengecualian dari konvensi ini. Variabel sering
kali diberi lambang huruf pertama dari namanya. Contohnya, p untuk harga
(price), q untuk kuantitas (quantity), c untuk ongkos (cost), s untuk tabungan
(saving) dan lain-lainnya.
e ESPA41 22/ MODUL 3 3.9
Contoh:
Fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan D = 10 - 3P ; D dan P
adalah variabel. D menunjukkan demand (permintaan) dan P menunjukkan
price (harga).
Agar lebih mudah memahami apa yang telah dibahas di atas maka berikut
ini diberikan contoh-contoh penggunaannya.
Contoh:
Gambarkan titik-titik berikut ini pada sistem sumbu koordinat: A(1,6),
B(-3,4), C(-4,-5), D(3,-6)
B
--------I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
y
A--,
--------~~------+-~--~------------------X
L..----------c
--------
Diagram 3.6.
Contoh:
Gambarkan titik-titik (0,0); (1,1); (2,2) dan (3,3). Tunjukkan bahwa
titik-titik tersebut terletak pada sebuah garis lurus.
3.10 MATEMATIKA EKONOMI e
y
3 -------------
Diagram 3.7.
Bila titik-titik tersebut dihubungkan satu sama lain, ternyata titik-titik
terletak pada sebuah garis lurus.
Contoh:
Hitung jarak antara titik-titik (0,2) dan (-3,-2)
y
A
2
-3
0
X
I
I
I
I
I
I
I
I
I 2
8 I------------------
4 c
Diagram 3.8.
e ESPA41 22/ MODUL 3 3.11
AC = 4, BC = 3
ABC adalah segi tiga siku-siku. Kemudian dengan dalil Phytagoras dapat
dihitung:
AB == ~AC2
+BC
2
AB == ~16+9
AB == J25
AB= 5
Jadi AB = 5
Contoh:
Hitungjarak antara titik-titik (1,1) dan (3,4)
y
----------- --------------------i
A: C :I
I
I
I
I
I
I
I
0~----~----------~
1
--------- x
Diagram 3.9.
AC = 2, BC = 3
ABC adalah segi tiga siku-siku. Dengan menggunakan dalil Phytagoras
dapat dihitung:
3.12
AB = ~AC
2
+BC
2
AB= ~4+9
AB=.JD
MATEMATIKA EKONOMI e
Contoh:
Apabila diketahui y = f(x) = 4 + x- x2
berapakah f(O), f(-2), f(3), f(-1)?
f(O) = 4 + (0) - (0)2
=4
f(-2) = 4 + (-2)- (-2)2
=4-2-4
- 2--
f(3) = 4 + 3 - (3)2
=4+3-9
- 2--
f(-1) = 4 + (-1)- (-1)2
= 4 -1 -1
=2
Contoh:
Apabila y = f(x) = 3x /(x
2
-1)
1. Berapakah f(O), f(-3), f(4)?
2. Apakah nilai x = 1 dan x = -1 boleh dimasukkan ke dalam fungsi?
a. f(O) =3.0 /(02
-1) =0
f(-3) = 3.(-3)/((-3)2
-1) = -9/8
f(4) = 3.4 /(42
-1) = 12/15
b. Nilai x = 1 dan x = -1 tidak boleh dimasukkan ke dalam fungsi karena
f(x) nilainya menjadi tak terhingga.
Contoh:
Apabila y = ax2
+ bx + c, di mana a, b, dan c adalah konstanta. Berapakah
f(O), f(a), f(a+b)?
f(O) = a.O + b.O + c = c
f(1) = a.1
2
+ b.1 + c = a + b + c
f(a) = a.a2
+ b.a + c = a3
+ ab + c
f(a +b)= a(a+ b)2
+ b (a+ b)+ c
= a (a2
+ 2ab + b2
) + ab + b2
+ c
= a3
+ 2a2
b + ab2
+ ab + b
2
+ c
e ESPA41 22/MODUL 3 3.13
Contoh:
Gambarkan fungsi y = 3 - 2x untuk domain x = -3 sampai x = 4.
y
X y
3
-3 9
-2 7
-1 5
0 3
1 1
2 -1
3 -3
4 -5
0
1,5
Diagram 3.10.
LATIHAN
-- - ~ ~ .
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) Gambarkan titik-titik berikut ini pada sistem sumbu koordinat: A(4,3),
B(3,-4), C(-3,-2), D(-4,2)!
2) Gambarkan titik-titik (0,8), (2,4), (4,0) dan (6,-4)! Tunjukkan bahwa
titik-titik tersebut terletak pada sebuah garis lurus.
3) Hitung jarak antara titik A(4,0) dan B(0,3)!
4) Hitung jarak antara titik A(-4,-3) dan B(-2,1)!
5) Apabila f(x) = 9 - x2
, berapakah f(O), f(2), f(-2), f(3)?
6) Dari titik-titik berikut ini, tentukan mana yang terletak di garis 2x+y-9= 0
a. ((0,5),8)
b. (4,1)
c. (5,2)
d. (3,3)
e. (9,-9)
3.14 MATEMATIKA EKONOMI e
7) Gambarkan garis-garis berikut ini:
a. 4x -3y = 12
b. y = 25- 2x
Petunjuk Jawaban Latihan
1)
y
3 -------------------------- A(4,3)
D(-4,2) 2
r-------------------------
----~--~----------------+-----------------~~~---- X
-4 -3 3 4
L----------------------
C(-3,-2)
-4 ----------------------- 8(3,-4)
2)
e ESPA41 22/ MODUL 3
3) AB= ) 42
+32
.
= J25
=5
4) AC = 2
BC=4
y
8
4
0
AB == ~AC2
+ BC
2
= ~22 +42
= ~4+16
= ~
=2J5
5) f (x) =9 - x
2
f (0) =9
f (2) = 5
f(-2)=5
f (3) = 0
----
3.15
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
2 4
X
6
3.16 MATEMATIKA EKONOMI e
6) Garis 2x + y - 9 = 0 atau y = 9 - 2x
a. untuk x =0,5 maka y =8. Jadi ((0,5),8) terletak pada garis
b. untuk x = 4 maka y = 1. Jadi (4,1) terletak pada garis
c. untuk x = 5 maka y = -1. Jadi (5,2) tidak terletak pada garis
d. untuk x = 3 maka y = 3. Jadi (3,3) terletak pada garis
e. untuk x = 9 maka y = -9. Jadi (9,-9) terletak pada garis
7) a) Garis 4x - 3y = 12
Untuk y = 0, maka x = 3
x =0, maka y =4
y
4
0
b. Garis y = 25 - 2x
Untuk y = 0, maka x = 12,5
x =0, maka y =25
y
25
3
~---------X
0 12,5
e ESPA41 22/MODUL 3 3.17
Sumbu koordinat adalah dua garis lurus yang saling berpotongan tegak
lurus. Perpotongan antara kedua sumbu tersebut dinamakan titik origin atau
titik asal atau titik nol. Sumbu koordinat membagi bidang menjadi 4
kuadran.
Suatu titik letaknya ditentukan oleh koordinat X atau absis dan
koordinat Y atau ordinat. Fungsi adalah himpunan pasangan urut dan
dihubungkan sedemikian rupa sehingga tidak ada dua pasangan urut yang
anggota pertamanya sama. Fungsi dapat ditunjukkan dengan 3 cara, yaitu:
cara daftar lajur, cara penulisan dengan lambang, dan cara grafik.
Konstan adalah jumlah yang nilainya tetap dalam suatu masalah
tertentu. Konstan dapat dibedakan menjadi konstan absolut dan parameter.
Variabel adalah jumlah yang nilainya berubah-ubah pada suatu masalah.
Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel tak bebas.
TES FORMATIF 1
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1) Di bawah ini adalah titik-titik yang terletak pada sebuah garis lurus,
kecuali ....
A. (0,8)
B. (2,4)
C. (4,1)
D. (6,-4)
2) Jarak antara titik A(4,0) dan B(0,3) adalah ....
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
3) Jarak antara titik A(-4,-3) dan B(-2,1) adalah ....
A. 2
B. 2J5
C. 4
D. 4J5
3.18 MATEMATIKA EKONOMI e
4) Apabila f(x) = x2
- 5 k + 3, berapakah nilai f(-4) = ....
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
5) Apabila f(x) = 9x - x2
, berapakah nilai f(2) - f( 2J5) = ...
A. 3(1+3J5)
B. 6(1+3J5)
C. -3(1+ 3J5)
D. -6(1+ 3J5)
6) Titik-titik ( 4,1); (3,3); dan (9,-9) terletak pada ....
A. 3x+2y-9= 0
B. 4x+y-10= 0
C. 2x+y-9= 0
D. x+y-9= 0
7) Gambar berikut memiliki rumus fungsi ....
y
25
.____ _......a..,..__ _ _ _ _ X
0 12,5
A. 4x -y = 25
B. y = 25- 2x
C. 4x + 3y = 25
D. y = 25 - 3x
e ESPA41 22/MODUL 3 3.19
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglahjawaban yang benar. Kemudian,
gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap
materi Kegiatan Belajar 1.
Jumlah Jawaban yang Benar
Tingkat penguasaan = -----------x 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% =cukup
< 70% =kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda
harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum
dikuasai.
3.20 MATEMATIKA EKONOMI e
KEGIATAN BELA&JAR 2
Fungsi Linier
entuk umum dari fungsi linier adalah:
ax+ by+ c =0
Di mana a, b, dan c adalah konstanta dengan ketentuan bahwa a dan b
bersama-sama tidak bernilai nol. Persamaan ini disebut linier, sedangkan grafik
persamaan ini merupakan sebuah garis lurus. Koordinat x dan y dari setiap titik
(x, y) yang terletak pada garis lurus, harus memenuhi persamaan garis tersebut.
Garis lurus yang ditarik melalui titik-titik yang koordinat-koordinatnya
memenuhi persamaan disebut grafik persamaan atau lokus persamaan. Cara
yang termudah untuk menggambar suatu grafik garis lurus yang diketahui
persamaannya adalah dengan mencari penggal-penggal garis sumbu yang
dipotong oleh garis lurus tersebut. Panjang penggal garis sumbu diukur dari titik
origin sampai titik potong antara garis lurus dengan sumbu-sumbu koordinat.
Perpotongan garis dengan sumbu x merupakan suatu titik yang ditentukan oleh
pasangan y = 0 pada persamaan garis lurus tersebut. Begitu pula perpotongan
garis lurus dengan sumbu y merupakan suatu titik yang ditentukan oleh
pasangan x = 0 pada persamaan garis tersebut. Bila kedua titik potong tersebut
digambar maka garis lurus yang dicari adalah garis yang melalui kedua titik
tersebut.
Contoh:
Gambarkan garis dengan persamaan 3x + 4y = 12
Langkah pertama adalah mencari titik potong garis dengan sumbu x dan
sumbu y. Titik potong dengan sumbu x diperoleh bila y =0. Untuk y =0,
maka 3x =12 atau x =4. Jadi titik potong dengan sumbu x adalah (4, 0).
Titik potong dengan sumbu y diperoleh bila x = 0 Untuk x = 0 maka
4y =12 atau y =3. Jadi, titik potong garis tersebut dengan sumbu y adalah
(0, 3). Kemudian, kedua titik potong tersebut digambar dan dihubungkan
e ESPA41 22/MODUL 3 3.21
dengan garis lurus. Garis lurus itu adalah garis yang persamaannya adalah
3x + 4y- 12 =0 dan merupakan garis yang melalui titik (4, 0) dan (0, 3).
y
3
3x + 4y = 12
~--------------------~~------------x
0 4
Diagram 3.11.
A. CURAM
Setiap garis lurus mempunyai arah. Arah suatu garis lurus ditunjukkan oleh
curam (gradien) yang sering disebut kemiringan garis atau slope, didefinisikan
sebagai tangens dari sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu x.
Apabila titik potong garis tersebut dengan sumbu x adalah titik A, dan sudut
yang dibentuk oleh garis dengan sumbu x misalnya, dinamakan sudut a
kemudian pada garis tersebut ditentukan sebuah titik sembarang B dan melalui
B dibuat garis tegak lurus ke sumbu x dan memotong sumbu x di titik C maka
curam garis dapat didefinisikan sebagai:
BC
m= tga =-
AC
3.22 MATEMATIKA EKONOMI e
y
B
a
A c X
Diagram 3.12.
Untuk sudut a yang besarnya lebih dari 90° maka m bernilai negatif sehingga:
BC
m= tga = - -
AC
Untuk garis yang sejajar dengan sumbu x, curamnya sama dengan nol atau:
m =tg 0 =0
B. BENTUK DUA TITIK
Persamaan suatu garis lurus dapat ditentukan bila diketahui koordinat dua
titik yang terletak pada garis tersebut atau apabila diketahui curam garisnya dan
sebuah titik yang terletak di garis tersebut. Ada beberapa rumus yang dapat
digunakan untuk mencari persamaan suatu garis lurus. Rumus mana yang harus
digunakan, tentunya tergantung pada masalah yang sedang dihadapi.
Garis lurus mempunyai sifat bahwa curam garisnya adalah konstan. Curam
dapat ditentukan dengan menggunakan dua titik yang terletak pada sebuah garis
lurus. Misalnya, ada dua buah titik sembarang A (x1,y1) dan B (x2,y2) yang
terletak di garis lurus (lihat gambar berikut ini).
e ESPA41 22/ MODUL 3
y
B
Y2 ------------------
A
Y1 ---------
a
c
--~----~~------~------------------------ y
E 0
Diagram 3.13.
Curam garis tersebut adalah:
m= tga
akan tetapi, dengan menggunakan ilmu ukur, dapat dibuktikan bahwa
BC BD
-=---
EC AD
padahal BD = y2 - y1 dan AD = x2 - x1 sehingga:
m = tg a = y2 - y1
X 2 - X1
3.23
Selanjutnya, bila diambil sebuah titik sembarang (x,y) dan bersama titik (xby1),
digunakan lagi untuk mencari curam garis maka besarnya curam garis adalah:
y- yl
m= tga = ----
X- X1
3.24 MATEMATIKA EKONOMI e
Oleh karena sifat suatu garis lurus mempunyai curam yang konstan maka itu
berarti dua curam yang dicari tadi besarnya pasti sama. Jadi,
X-xl X 2 -X1
atau dapat ditulis:
Persamaan di atas, merupakan persamaan garis lurus yang melalui titik A(x1,y1)
dan titik B(x2,y2).
Contoh:
Cari persamaan garis yang melalui titik (3,2) dan titik (4,5).
Misalkan, (x1,y1) =(3,2) dan (x2,y2) =(4,5)
y2-yl( )
Y- Y1 = X- X1
X2 - X1
5-2
y- 2= (x- 3)
4-3
y- 2 = 3(x -3)
y =3x -9 + 2 atau
y = 3x -7 (persamaan yang dicari)
Untuk membuktikan bahwa garis tersebut melalui titik (3, 2) dan (4, 5)
maka masukkan (3,2) ke dalam y = 3x -7
2 =3(3)-7
2 =2 (terbukti)
Masukkan (4,5) ke dalam y =3x -7
5 = 3 (4) -7
5 = 12 -7
5 =5 (terbukti).
Oleh karena terbukti melalui (3,2) dan (4,5) maka persamaan y = 3x-7
adalah persamaan yang dicari.
e ESPA41 22/MODUL 3 3.25
C. BENTUK PENGGAL GARIS
Untuk kasus tertentu di mana titik (xt,y1) merupakan penggal x yang
ditunjukkan oleh (a,O) dan titik (x2,y2) merupakan penggal y yang ditunjukkan
oleh (O,b) maka persamaan garisnya diperoleh dengan memasukkan x1 =a, y1
= 0 dan x2 = 0, y2 = b ke dalam persamaan:
y2-yl( )
y-y~= x-x1
X 2 - X1
b-0
y- 0= (x- a)
0-a
b
y = (x- a)
-a
bx ab
y= +-
-a a
bx
y= +b
-a
Jika ke dua ruas dibagi dengan b maka:
atau
y -X
-= +1
b a
X y
-+-=1
a b
dan grafiknya adalah sebagai berikut:
3.26
y
b
X y
-+- =1
a b
MATEMATIKA EKONOMI e
0~----------------------------~a-------x
Diagram 3.14.
Contoh:
Cari persamaan garis yang mempunyai penggal (0,5) dan (-4,0). Untuk
a= -4 dan b = 5, nilainya dimasukkan ke
X y
-+-=1
a b
Ruas kiri dan kanan persamaan dikalikan 20
-5x + 4y = 20 atau
5x -4y + 20 = 0
Jadi, persamaan 5x -4y + 20 = 0 adalah persamaan yang dicari.
D. BENTUK CURAM - TITIK
Bentuk ini dapat digunakan untuk menentukan persamaan suatu garis lurus
yang diketahui curam garisnya dan titik (xhy1) yang terletak digaris tersebut.
Telah dibicarakan bahwa curam garis ditunjukkan oleh persamaan:
e ESPA41 22/ MODUL 3 3.27
maka persamaan:
dapat ditulis sebagai:
Contoh:
Cari persamaan garis yang melalui titik (2,5) dan mempunyai curam 3.
Nilai m = 3 dan (xby1) = (2,5) dimasukkan ke dalam persamaan:
Y- Y1 = m (x - x1)
y- 5 =3 (x- 2)
y = 3x- 6 + 5
y = 3x- 1
Jadi, persamaan y = 3x -1 adalah persamaan yang dicari.
Rumus-rumus di atas tidak dapat digunakan untuk mencari persamaan garis
yang sejajar sumbu vertikal karena curam garis vertikal besarnya tak terhingga.
Garis vertikal yang melalui titik (x1, y1) mempunyai persamaan:
Berbeda dengan garis vertikal, untuk garis horizontal rumus-rumus yang
dituliskan tadi masih dapat digunakan. Garis horizontal yang melalui titik
(xi, Yt) mempunyai persamaan:
Y= Yt
3.28 MATEMATIKA EKONOMI e
y y
OL..-----L--------x 0 L..-------------x
Diagram 3.15a. Diagram 3. 15b.
E. GARIS SEJAJAR, TEGAK LURUS, DAN BERPOTONGAN
Dua garis lurus yang terletak di satu bidang kemungkinannya dapat saling
berimpit, sejajar, tegak lurus, dan berpotongan satu sama lain.
Sifat 1:
Dua garis lurus akan saling berimpit kalau persamaan garis yang satu
merupakan kelipatan persamaan garis yang lain.
Sifat 2:
Dua garis akan sejajar bila curamnya sama.
Sifat 3:
Dua garis lurus akan saling berpotongan tegak lurus apabila curam garis
yang satu merupakan kebalikan negatif dari curam garis yang lain, atau
perkalian kedua curamnya sama dengan -1. Jadi garis y =m1x + b1 dan
garis y = m2x + b2 akan berpotongan tegak lurus bila dipenuhi syarat
1
m1 =- atau m1.m2 =-1.
ffi2
Sifat 4:
Dua garis lurus akan saling berpotongan apabila curamnya tidak sama.
Dua garis yang berpotongan, koordinat titik potongnya harus memenuhi ke
dua persamaan garis lurus. Koordinat titik potong ini diperoleh dengan
mengerjakan kedua persamaan secara serempak.
e ESPA41 22/ MODUL 3 3.29
Contoh:
Perpotongan antara garis 3x-4y+6=0 dan garis x-2y-3=0 diperoleh dengan
mengeleminir x, yaitu mengalikan persamaan ke dua dengan -3 dan
menambahkan dengan persamaan pertama.
3X -4y + 6 =0 I X 1 I 3X - 4y + 6 =0
x -2y - 3 = 0 Ix-3 l-3x + 6y + 9 = 0
+
2y + 15 =0
2y =- 15
y =- 7,5
Substitusi y = -7,5 ke dalam persamaan pertama
3X -4 (-7,5) + 6 = 0
3x + 30 + 6 = 0
3x =- 36
X=- 12
Jadi, titik potongnya adalah (-12, -7,5).
Untuk menguji kebenarannya, koordinat titik potong ini dimasukkan ke
dalam persamaan-persamaan tersebut. Bila memenuhi persamaan maka
artinya titik potong tersebut merupakan titik yang dicari.
Persamaan 1 : 3 ( -12) -4 (-7,5) + 6 = 0
-36 + 30 + 6 = 0
0=0
Persamaan 2: -12-2 (-7,5) -3 = 0
-12 + 15 -3 = 0
0=0
3.30
~
...
. ...= ...
~ ...c;:-s_-._ jr
-b •
·-----
MATEMATIKA EKONOMI e
LATIHAN
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik
a. (2, 1) dan (4, 5)
b. (0, 0) dan (3, 4)
c. (-2, 3) dan (2, -3)
d. (-5, 2) dan (4, 1)
e. (0, 8) dan (5, 0)
2) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4, 3) dan mempunyai curam:
a. m =-2
b. m=O
c. m= 1
d. m= 6
3) Tunjukkan hubungan (apakah berpotongan, berimpit atau sejajar) antara
garis 3x - 4y -8 = 0 dengan garis
3
a. y = -x -2 -2
4
2
b. 2x+ -y+l==O
3
c. y =5- 3x
d. 6y =8x + 16
4) Tentukan koordinat titik potong garis y =50 -2x dengan:
a. y = 3x
1
b. y =-X + 15
3
C. X -2y + 20 = 0
d. 2y +X= 160
Petunjuk Jawaban Latihan
1) a.
b.
4
3y- 4x = 0 atau y ==-x
3
e ESPA41 22/MODUL 3 3.31
2)
3)
4)
3
C. y ==--X
2
d. X+ 9y = 13
e.
X y
- + - == 1 atau8x+5y=40
5 8
a. y = 11- 2x
b. y=3
c. y =X- 1
d. y = 6x- 21
a. Berimpit
b. berpotongan
c. berpotongan
d. berpotongan
a. x = 10 y = 30
b. X= 15 y=20
c. X= 16 y = 18
d. X= -20 y= 90
Fungsi Linier mempunyai bentuk umum: ax + by + c = 0 di mana a dan
b secara bersama-sama tidak bemilai nol. Grafik dari fungsi linier
merupakan garis lurus. Setiap garis lurus mempunyai arah yang ditunjukkan
oleh curam garis dan didefinisikan sebagai tangens dari sudut yang
dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu x. Persamaan suatu garis lurus
dapat dicari apabila diketahui koordinat dua titik yang berada digaris
tersebut atau bila diketahui curam garisnya dan sebuah titik.
Persamaan garis yang melalui titik A(xr, y1) dan titik B(x2, y2) adalah:
y-y1
= y2
-y1
(x-x1) Persamaan garis yang melalui A(a,O) dan B(O,b) adalah
X 2-X1
persamaan: ~+1.=1.
a b
3.32 MATEMATIKA EKONOMI e
Persamaan garis lurus yang curamnya m dan melalui titik (xh y1)
adalahpersamaan: y-y1
=m(x-x1
).
Dua huah garis lurus yaitu y = m1x + a dan y = m2x + h akan:
herimpit hila m1 = m2dan a = h
sejajar hila m1 = m2
herpotongan tegak lurus hila m1 • m2= -1
herpotongan hila m1 -:/: m2
TES FORMATIF 2
Pilihlah satu jawahan yang paling tepat!
1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik (2, 1) dan (4, 5) ; (0, 0)
dan (3, 4) ....
A. y = 2x - 1 ; 4y- 9x = 0
B. y = 2x- 3 ; 4y- 9x = 0
C. y = 2x - 1 ; 4y- 3x = 0
D. y = 2x - 3 ; 3y- 4x = 0
2) Persamaan garis yang melalui titik (4, 3) dan mempunyai curam m = 6 ....
A. y =3x - 21
B. y=4x+21
C. y =6x- 21
D. y = 12x + 21
3) Tentukan koordinat titik potong garis y =50 -2x dengan y = _!_ x +15 ....
3
A. X =15 ; y =10
B. X =25 ; y =10
C. X= 15 ; y = 20
D. X = 25 ; y = 20
e ESPA41 22/MODUL 3 3.33
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglahjawaban yang benar. Kemudian,
gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap
materi Kegiatan Belajar 2.
Jumlah Jawaban yang Benar
Tingkat penguasaan = -----------x 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% =cukup
< 70% =kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda
harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum
dikuasai.
3.34 MATEMATIKA EKONOMI e
Kunci Jawaban Tes Formatif
Tes Formatif1 Tes Formatif2
1) c 1) D
2) B 2) c
3) B 3) c
4) c
5) D
6) c
7) B
e ESPA41 22/ MODUL 3 3.35
Daftar Pustaka
Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner. Mathematical Economics,
The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher.
Haeussler, Ernest F. and RichardS. Paul, Introductory Mathematical Analysis
for Business Economics, and The Life and Social Sciences. Eighth Edition.
Prentice Hall International Inc.
Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis Stengos.
Mathematics for Economics. Addison-Wesley Publisher Limited.
Jacques, Ian. Mathematics for Economics and Business. Second Edition.
Addison-Wesley Publishing Company.
Silberberg, Eugene and Wing Suen. The Structure ofEconomics a Mathematical
Analysis. Irwin McGraw-Hill.
Weber, Jean E. MathematicalAnalysis: Business andEconomicApplications. New
York: Harper & Row.
MDDUL 4
Penggunaan Fungsi dalam
Ekonomi
Dr. Wahyu Widayat
PENDAHULUAN
atematika adalah suatu alat untuk menyederhanakan penyajian dan
.- pemahaman suatu masalah. Dengan menggunakan bahasa matematika,
penyajian suatu masalah menjadi lebih sederhana sehingga mudah untuk
dipahami, dianalisis serta dipecahkan. Di dalamilmu ekonomi yang berkembang
dengan pesat, berbagai konsep matematika digunakan sebagai alat analisis.
Salah satu konsep di antaranya adalah fungsi linier. Bila dalam modul-modul
sebelumnya, secara ringkas telah disajikan model-model matematika murni
maka modul ini menyajikan penerapan model matematika itu dalam konsep
ekonomi dan disertai contoh-contoh praktisnya.
Dengan mempelajari modul ini, Anda mendapat banyak manfaat. Selain
lebih memahami konsep-konsep matematika juga akan memudahkan Anda
dalam mempelajari teori ekonomi mikro dan makro. Setelah mempelajari modul
ini, Anda diharapkan, mampu untuk memahami penggunaan fungsi linier
sebagai alat untuk menjelaskan beberapa konsep ekonomi. Secara khusus, Anda
diharapkan mampu untuk menerapkan fungsi linier pada konsep:
1. permintaan;
2. penawaran;
3. keseimbangan pasar;
4. keseimbangan pasar karena pengaruh pajak dan subsidi;
5. konsumsi;
6. tabungan;
7. penentuan pendapatan nasional.
4.2 MATEMATIKA EKONOMI e
KEGIATAN BELA&JAR 1
Fungsi Permintaan dan Penawaran
A. FUNGSI PERMINTAAN
Dalam ilmu ekonomi, konsep tentang permintaan merupakan bagian yang
penting. Fungsi permintaan adalah persamaan yang menunjukkan hubungan
antara jumlah sesuatu barang yang diminta dan semua faktor-faktor yang
mempengaruhinya. Fungsi permintaan akan sesuatu barang dapat ditunjukkan
oleh persamaan:
Qx = f( Px, Py, Pz, M , S)
di mana: Qx = Jumlah barang X yang diminta
Px = harga barang X
Py =harga barang Y
Pz =harga barang z
M =pendapatan konsumen
S =selera konsumen
Pada contoh di atas, fungsi permintaan tidak dapat disajikan dengan
diagram dua dimensi. Diagram dua dimensi hanya dapat digunakan untuk
menggambar grafik fungsi yang mengandung dua variabel saja. Agar fungsi
permintaan dapat digambar grafiknya maka faktor-faktor selain jumlah yang
diminta dan harga barang tersebut dianggap tidak berubah selama dilakukan
analisis. Faktor-faktor yang dianggap tetap ini disebut ceteris paribus.
Dengan anggapan ceteris paribus tersebut, sekarang bentuk fungsi menjadi
lebih sederhana karena hanya terdiri dari dua variabel, yaitu variabel harga dan
variabeljumlah yang diminta. Faktor-faktor yang dianggap tetap pengaruhnya
dapat dilihat dari besarnya konstanta pada persamaan permintaan. Fungsi
permintaan tunduk pada hukum permintaan yang mengatakan bahwa:
"bila harga suatu barang naik, maka ceteris paribus jumlah barang yang
diminta konsumen akan turun; dan sebaliknya bila harga barang turun
maka jumlah barang yang diminta akan bertambah".
e ESPA41 22/MODUL 4 4.3
Bila hukum permintaan itu dipenuhi maka fungsi permintaan mempunyai
curam yang nilainya negatif. Di dalam grafik, sumbu Y digunakan untuk harga
per unit dan sumbu X digunakan untukjumlah barang yang diminta. (Ingat cara
penggambaran ini menyimpang dari cara yang lazimnya digunakan dalam
matematika).
Contoh:
Sepuluh jam tangan merek tertentu akan terjual kalau harganya (dalam
ribuan) Rp80,- dan 20 jam tangan akan terjual bila harganya Rp60,-.
Tunjukkan bentuk fungsi permintaannya dan gambarkan grafiknya.
Q1 = 10, P1 = 80 dan Q2= 20, P2 = 60.
Rumus yang digunakan:
y - YI = y2- yl (x - xl)
X2 - XI
Dengan mengganti X dengan Q dan Y dengan P maka
p - pl = p2- PI (Q - Ql)
Q2-Ql
P - 80= 60-SO (Q - 10)
20-10
p - 80 = 2 (Q- 10)
P - 80 = - 2Q + 20 atau 2Q + P - 100 = 0
Persamaan di atas biasanya ditulis dalam bentuk
Q
__ 100-P
2
atau Q = 50 - 0,5 P
Ditulis demikian karena Q merupakan variabel tak bebas dan P adalah
variabel bebasnya.
4.4 MATEMATIKA EKONOMI e
p
25
Q =50- 0,5P
0 50
Q
Gambar 4.1.
B. FUNGSI PENAWARAN
Fungsi penawaran adalah fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga
barang dengan jumlah barang yang ditawarkan produsen. Menurut hukum
penawaran, pada umumnya bila harga suatu barang naik maka ceteris paribus
(faktor-faktor lain dianggap tetap) jumlah yang ditawarkan akan naik. Curam
kurva penawaran umumnya positif. Dalam kasus-kasus tertentu mungkinjuga
dapat terjadi bahwa curam kurva penawaran nol atau tak terhingga.
Seperti halnya pada kurva permintaan, sumbu y digunakan untuk harga
barang per unit dan sumbu x untuk jumlah barang yang ditawarkan.
Bentuk umum fungsi penawaran:
Q =a+ bP
Contoh:
Jika harga kamera jenis tertentu Rp65,- (dalam ribuan) maka ada 125
kamera yang tersedia di pasar. Kalau harganya Rp75,- maka di pasar akan
tersedia 145 kamera. Tunjukkan persamaan penawarannya!
Rumus yang dapat digunakan adalah persamaan:
y - y~= y2-yl (x - xi)
X 2 - X1
Kemudian simbol untuk Y diganti P dan X diganti Q
P1 = 65 Q1 = 125 dan P2 = 75 Q2 = 145
e ESPA41 22/ MODUL 4
Masukkan ke dalam rumus:
P - 65=
75
-
65
(Q-125)
145-125
p- 65 =
10
(Q- 125)
20
1 1
P-65 = -Q-62-
2 2
1 1
P= -Q+2-
2 2
Jadi, persamaan penawarannya adalah:
1 1
P = - Q + 2- atau Q = 2P - 5
2 2
4.5
Fungsi permintaan dan fungsi penawaran bersama-sama membentuk
keseimbangan pasar. Keseimbangan pasar terjadi apabila jumlah barang yang
ditawarkan sama dengan jumlah barang yang diminta dan harga yang
ditawarkan sama dengan harga yang diminta. Keseimbangan ditunjukkan oleh
koordinat titik potong antara kurva penawaran dan kurva permintaan. Secara
aljabar, jumlah keseimbangan dan harga keseimbangan diperoleh dengan
mengerjakan persamaan penawaran dan persamaan permintaan secara serempak.
Contoh:
Dapatkan titik keseimbangan dari fungsi permintaan Pct = 10 - 2Qct dan
fungsi penawaran P8 = lQ, +1
2
di mana:
Pd =harga yang diminta,
Qd =adalah jumlah yang diminta
Ps=adalah harga yang ditawarkan
Qs= adalah jumlah yang ditawarkan
Keseimbangan pasar akan terjadi apabila dipenuhi syarat:
4.6 MATEMATIKA EKONOMI e
Oleh karena syarat tersebut di atas harus dipenuhi maka sekarang kita dapat
mengabaikan subscript yang ada pada variabel Q dan P sehingga kedua
persamaan dapat ditulis menjadi:
P=10-2Q
3
p = -Q+1
2
Dengan cara substitusi, diperoleh:
3
10-2Q = -Q+l
2
3
--Q-2Q = 1-10
2
Q= 24
7
P=10 - 2Q
4
P=10 - 2 2-
1
p =10-5-
P= 4
6
7
7
7
Jadi, keseimbangan tercapai pada tingkat harga 4
6
dan jumlah 2
4
.
7 7
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi
BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi

Recomendados

BMP EKMA4315 Akuntansi Biaya von
BMP EKMA4315 Akuntansi BiayaBMP EKMA4315 Akuntansi Biaya
BMP EKMA4315 Akuntansi BiayaMang Engkus
60.6K views474 Folien
BMP EKMA4570 von
BMP EKMA4570BMP EKMA4570
BMP EKMA4570Mang Engkus
24.1K views652 Folien
BMP EKMA4434 Sistem Informasi Manajemen von
BMP EKMA4434 Sistem Informasi ManajemenBMP EKMA4434 Sistem Informasi Manajemen
BMP EKMA4434 Sistem Informasi ManajemenMang Engkus
36.3K views319 Folien
Modul 8 elastisitas von
Modul 8 elastisitasModul 8 elastisitas
Modul 8 elastisitasDefina Sulastiningtiyas
123.5K views21 Folien
Latihan Soal Matematika Ekonomi + Pembahasan (MBTI - Institut Manajemen Telkom) von
Latihan Soal Matematika Ekonomi + Pembahasan (MBTI - Institut Manajemen Telkom)Latihan Soal Matematika Ekonomi + Pembahasan (MBTI - Institut Manajemen Telkom)
Latihan Soal Matematika Ekonomi + Pembahasan (MBTI - Institut Manajemen Telkom)Yunus Thariq
195.1K views7 Folien
Matematika ekonomi (Keuntungan Maksimum) von
Matematika ekonomi (Keuntungan Maksimum)Matematika ekonomi (Keuntungan Maksimum)
Matematika ekonomi (Keuntungan Maksimum)Kristalina Dewi
236.7K views7 Folien

Más contenido relacionado

Was ist angesagt?

Keuntungan maksimum von
Keuntungan maksimumKeuntungan maksimum
Keuntungan maksimumKristalina Dewi
22.5K views11 Folien
BMP EKMA4312 Ekonomi Manajerial von
BMP EKMA4312 Ekonomi ManajerialBMP EKMA4312 Ekonomi Manajerial
BMP EKMA4312 Ekonomi ManajerialMang Engkus
40.1K views375 Folien
Matematika bisnis-kel-8 von
Matematika bisnis-kel-8Matematika bisnis-kel-8
Matematika bisnis-kel-8Haidar Bashofi
34.1K views20 Folien
Matematika ekonomi & bisnis von
Matematika  ekonomi & bisnisMatematika  ekonomi & bisnis
Matematika ekonomi & bisnisA Gustang
55.3K views59 Folien
Modul statistika-ii-part-2 von
Modul statistika-ii-part-2Modul statistika-ii-part-2
Modul statistika-ii-part-2apriliantihermawan
171.2K views141 Folien
Ukuran pemusatan dan penyebaran von
Ukuran pemusatan dan penyebaranUkuran pemusatan dan penyebaran
Ukuran pemusatan dan penyebaranSriwijaya University
41.7K views32 Folien

Was ist angesagt?(20)

BMP EKMA4312 Ekonomi Manajerial von Mang Engkus
BMP EKMA4312 Ekonomi ManajerialBMP EKMA4312 Ekonomi Manajerial
BMP EKMA4312 Ekonomi Manajerial
Mang Engkus40.1K views
Matematika ekonomi & bisnis von A Gustang
Matematika  ekonomi & bisnisMatematika  ekonomi & bisnis
Matematika ekonomi & bisnis
A Gustang55.3K views
Metode Transportasi (Masalah dalam Metode Transportasi) von hazhiyah
Metode Transportasi (Masalah dalam Metode Transportasi)Metode Transportasi (Masalah dalam Metode Transportasi)
Metode Transportasi (Masalah dalam Metode Transportasi)
hazhiyah20.2K views
Fungsi Linier dan Penerapannya dalam Ekonomi von msahuleka
Fungsi Linier dan Penerapannya dalam EkonomiFungsi Linier dan Penerapannya dalam Ekonomi
Fungsi Linier dan Penerapannya dalam Ekonomi
msahuleka98.7K views
Aplikasi integral dalam bidang ekonomi von Nunu Nugraha
Aplikasi integral dalam bidang ekonomiAplikasi integral dalam bidang ekonomi
Aplikasi integral dalam bidang ekonomi
Nunu Nugraha40.7K views
BMP EKMA4316 Hukum Bisnis von Mang Engkus
BMP EKMA4316 Hukum BisnisBMP EKMA4316 Hukum Bisnis
BMP EKMA4316 Hukum Bisnis
Mang Engkus28.4K views
Penerapan kalkulus Diferensial pada Matematika Ekonomi von Nailul Hasibuan
Penerapan kalkulus Diferensial pada Matematika EkonomiPenerapan kalkulus Diferensial pada Matematika Ekonomi
Penerapan kalkulus Diferensial pada Matematika Ekonomi
Nailul Hasibuan42.2K views
Matematika bisnis1 von Amri Sandy
Matematika bisnis1Matematika bisnis1
Matematika bisnis1
Amri Sandy7.9K views
BMP EKMA4314 Akuntansi Manajemen von Mang Engkus
BMP EKMA4314 Akuntansi ManajemenBMP EKMA4314 Akuntansi Manajemen
BMP EKMA4314 Akuntansi Manajemen
Mang Engkus42.2K views
BMP EKMA4370 Kewirausahaan von Mang Engkus
BMP EKMA4370 KewirausahaanBMP EKMA4370 Kewirausahaan
BMP EKMA4370 Kewirausahaan
Mang Engkus39.6K views
BMP EKMA4371 Manajemen Rantai Pasokan (Edisi 1) von Mang Engkus
BMP EKMA4371 Manajemen Rantai Pasokan (Edisi 1)BMP EKMA4371 Manajemen Rantai Pasokan (Edisi 1)
BMP EKMA4371 Manajemen Rantai Pasokan (Edisi 1)
Mang Engkus52.9K views
Peubah acak diskrit dan kontinu von Anderzend Awuy
Peubah acak diskrit dan kontinuPeubah acak diskrit dan kontinu
Peubah acak diskrit dan kontinu
Anderzend Awuy159.8K views

Similar a BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi

Diskret IV Himpunan von
Diskret IV HimpunanDiskret IV Himpunan
Diskret IV HimpunanRaden Maulana
3.1K views9 Folien
Himpunan SMP kelas 7 baru.pptx von
Himpunan SMP kelas 7 baru.pptxHimpunan SMP kelas 7 baru.pptx
Himpunan SMP kelas 7 baru.pptxOnadshop
18 views21 Folien
Kegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 4A von
Kegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 4AKegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 4A
Kegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 4AAmphie Yuurisman
519 views13 Folien
Bab ii pengantar topologi von
Bab ii pengantar topologiBab ii pengantar topologi
Bab ii pengantar topologiMayawi Karim
6.3K views24 Folien
Efsi von
EfsiEfsi
Efsiefsi wulandari
901 views26 Folien
Himpunan von
HimpunanHimpunan
Himpunanannisa fitriyani
83 views21 Folien

Similar a BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi(20)

Himpunan SMP kelas 7 baru.pptx von Onadshop
Himpunan SMP kelas 7 baru.pptxHimpunan SMP kelas 7 baru.pptx
Himpunan SMP kelas 7 baru.pptx
Onadshop18 views
Kegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 4A von Amphie Yuurisman
Kegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 4AKegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 4A
Kegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 4A
Amphie Yuurisman519 views
Bab ii pengantar topologi von Mayawi Karim
Bab ii pengantar topologiBab ii pengantar topologi
Bab ii pengantar topologi
Mayawi Karim6.3K views
himpunan von elmabb
himpunanhimpunan
himpunan
elmabb213 views
Presentation1 von Febri Ana
Presentation1Presentation1
Presentation1
Febri Ana538 views
Kalkulus 1 Himpunan von Zia Akhsan
Kalkulus 1 HimpunanKalkulus 1 Himpunan
Kalkulus 1 Himpunan
Zia Akhsan3.9K views
Materi himpunan ok von MasfuahFuah
Materi himpunan okMateri himpunan ok
Materi himpunan ok
MasfuahFuah173 views
Ppt himpunan k13 resi novita sari von IZZATUR RAHMI
Ppt himpunan k13 resi novita sariPpt himpunan k13 resi novita sari
Ppt himpunan k13 resi novita sari
IZZATUR RAHMI2.5K views
himpunan.pptx von HeriAsbi1
himpunan.pptxhimpunan.pptx
himpunan.pptx
HeriAsbi111 views
Matematika diskret 2 von maswahyu73
Matematika diskret 2Matematika diskret 2
Matematika diskret 2
maswahyu732.9K views
PPT by Liza juwita von LizaJuwita
PPT by Liza juwitaPPT by Liza juwita
PPT by Liza juwita
LizaJuwita148 views

Más de Mang Engkus

BMP ESPA4229 von
BMP ESPA4229BMP ESPA4229
BMP ESPA4229Mang Engkus
18.4K views456 Folien
BMP ESPA4228 von
BMP ESPA4228BMP ESPA4228
BMP ESPA4228Mang Engkus
11.3K views230 Folien
BMP ESPA4226 von
BMP ESPA4226BMP ESPA4226
BMP ESPA4226Mang Engkus
9.2K views402 Folien
BMP ESPA4224 von
BMP ESPA4224BMP ESPA4224
BMP ESPA4224Mang Engkus
6.9K views402 Folien
BMP ESPA4222 von
BMP ESPA4222BMP ESPA4222
BMP ESPA4222Mang Engkus
5.6K views399 Folien
BMP ESPA4221 von
BMP ESPA4221BMP ESPA4221
BMP ESPA4221Mang Engkus
16.6K views478 Folien

Más de Mang Engkus(20)

BMP ESPA4229 von Mang Engkus
BMP ESPA4229BMP ESPA4229
BMP ESPA4229
Mang Engkus18.4K views
BMP ESPA4228 von Mang Engkus
BMP ESPA4228BMP ESPA4228
BMP ESPA4228
Mang Engkus11.3K views
BMP ESPA4221 von Mang Engkus
BMP ESPA4221BMP ESPA4221
BMP ESPA4221
Mang Engkus16.6K views
BMP ESPA4220 von Mang Engkus
BMP ESPA4220BMP ESPA4220
BMP ESPA4220
Mang Engkus10.3K views
BMP MKDU4109 von Mang Engkus
BMP MKDU4109BMP MKDU4109
BMP MKDU4109
Mang Engkus16.8K views
BMP MKDU4110 von Mang Engkus
BMP MKDU4110BMP MKDU4110
BMP MKDU4110
Mang Engkus21.6K views
BMP MKDU4111 von Mang Engkus
BMP MKDU4111BMP MKDU4111
BMP MKDU4111
Mang Engkus39.7K views
BMP MKDU4221 von Mang Engkus
BMP MKDU4221BMP MKDU4221
BMP MKDU4221
Mang Engkus21.4K views
BMP EKMA4569 Perencanaan Pemasaran von Mang Engkus
BMP EKMA4569 Perencanaan PemasaranBMP EKMA4569 Perencanaan Pemasaran
BMP EKMA4569 Perencanaan Pemasaran
Mang Engkus31.2K views
BMP EKMA4568 Pemasaran Jasa von Mang Engkus
BMP EKMA4568 Pemasaran JasaBMP EKMA4568 Pemasaran Jasa
BMP EKMA4568 Pemasaran Jasa
Mang Engkus30.7K views
BMP EKMA4567 Perilaku Konsumen von Mang Engkus
BMP EKMA4567 Perilaku KonsumenBMP EKMA4567 Perilaku Konsumen
BMP EKMA4567 Perilaku Konsumen
Mang Engkus30.6K views
BMP EKMA4565 Manajemen Perubahan von Mang Engkus
BMP EKMA4565 Manajemen PerubahanBMP EKMA4565 Manajemen Perubahan
BMP EKMA4565 Manajemen Perubahan
Mang Engkus29.8K views
BMP EKMA4478 Analisis Kasus Bisnis von Mang Engkus
BMP EKMA4478 Analisis Kasus BisnisBMP EKMA4478 Analisis Kasus Bisnis
BMP EKMA4478 Analisis Kasus Bisnis
Mang Engkus28.5K views
BMP EKMA4476 Audit SDM von Mang Engkus
BMP EKMA4476 Audit SDMBMP EKMA4476 Audit SDM
BMP EKMA4476 Audit SDM
Mang Engkus39.9K views
BMP EKMA4475 Pemasaran Strategik von Mang Engkus
BMP EKMA4475 Pemasaran StrategikBMP EKMA4475 Pemasaran Strategik
BMP EKMA4475 Pemasaran Strategik
Mang Engkus27K views

Último

MATERI LHO X AYU.pptx von
MATERI LHO X AYU.pptxMATERI LHO X AYU.pptx
MATERI LHO X AYU.pptxDelviaAndrini1
50 views33 Folien
SOAL PAI UJIAN AKHIR SEKOLAH9.docx von
SOAL PAI UJIAN AKHIR SEKOLAH9.docxSOAL PAI UJIAN AKHIR SEKOLAH9.docx
SOAL PAI UJIAN AKHIR SEKOLAH9.docxrahman abdika
7 views12 Folien
INOVASI DALAM KEWIRAUSAHAAN von
INOVASI DALAM KEWIRAUSAHAANINOVASI DALAM KEWIRAUSAHAAN
INOVASI DALAM KEWIRAUSAHAANTopanSeptiady
7 views13 Folien
Latihan 6 PPT_Dwi Maulidini _E1G022094.pptx von
Latihan 6 PPT_Dwi Maulidini _E1G022094.pptxLatihan 6 PPT_Dwi Maulidini _E1G022094.pptx
Latihan 6 PPT_Dwi Maulidini _E1G022094.pptxrdsnfgzhgj
11 views9 Folien
PPT_UP2_BKMA_Modul Online.pptx von
PPT_UP2_BKMA_Modul Online.pptxPPT_UP2_BKMA_Modul Online.pptx
PPT_UP2_BKMA_Modul Online.pptxsitikulsum85
7 views41 Folien
Capacity Building Kekerasan Seksual dan Peranan kampus.pdf von
Capacity Building Kekerasan Seksual dan Peranan kampus.pdfCapacity Building Kekerasan Seksual dan Peranan kampus.pdf
Capacity Building Kekerasan Seksual dan Peranan kampus.pdfIrawan Setyabudi
38 views35 Folien

Último(20)

SOAL PAI UJIAN AKHIR SEKOLAH9.docx von rahman abdika
SOAL PAI UJIAN AKHIR SEKOLAH9.docxSOAL PAI UJIAN AKHIR SEKOLAH9.docx
SOAL PAI UJIAN AKHIR SEKOLAH9.docx
rahman abdika7 views
Latihan 6 PPT_Dwi Maulidini _E1G022094.pptx von rdsnfgzhgj
Latihan 6 PPT_Dwi Maulidini _E1G022094.pptxLatihan 6 PPT_Dwi Maulidini _E1G022094.pptx
Latihan 6 PPT_Dwi Maulidini _E1G022094.pptx
rdsnfgzhgj11 views
PPT_UP2_BKMA_Modul Online.pptx von sitikulsum85
PPT_UP2_BKMA_Modul Online.pptxPPT_UP2_BKMA_Modul Online.pptx
PPT_UP2_BKMA_Modul Online.pptx
sitikulsum857 views
Capacity Building Kekerasan Seksual dan Peranan kampus.pdf von Irawan Setyabudi
Capacity Building Kekerasan Seksual dan Peranan kampus.pdfCapacity Building Kekerasan Seksual dan Peranan kampus.pdf
Capacity Building Kekerasan Seksual dan Peranan kampus.pdf
Irawan Setyabudi38 views
632259859-PAS-PKWU-pdf.pdf von danifirdos
632259859-PAS-PKWU-pdf.pdf632259859-PAS-PKWU-pdf.pdf
632259859-PAS-PKWU-pdf.pdf
danifirdos17 views
Bimtek Pencegahan Kekerasan dalam Rumah Tangga.pdf von Irawan Setyabudi
Bimtek Pencegahan Kekerasan dalam Rumah Tangga.pdfBimtek Pencegahan Kekerasan dalam Rumah Tangga.pdf
Bimtek Pencegahan Kekerasan dalam Rumah Tangga.pdf
Irawan Setyabudi39 views
1. Adab Terhadap Tetangga von agreenlife5
1. Adab Terhadap Tetangga1. Adab Terhadap Tetangga
1. Adab Terhadap Tetangga
agreenlife523 views
PAS Mtk Kls 7,8,9 Ganjil 2023.pdf von ssuser29a952
PAS Mtk Kls 7,8,9 Ganjil 2023.pdfPAS Mtk Kls 7,8,9 Ganjil 2023.pdf
PAS Mtk Kls 7,8,9 Ganjil 2023.pdf
ssuser29a952165 views
Leadership Communication Skills _Training "Effective Leadership and Superviso... von Kanaidi ken
Leadership Communication Skills _Training "Effective Leadership and Superviso...Leadership Communication Skills _Training "Effective Leadership and Superviso...
Leadership Communication Skills _Training "Effective Leadership and Superviso...
Kanaidi ken8 views
PELAKSANAAN & Link2 MATERI Workshop _"Pembangunan SDM_INDONESIA EMAS 2045". von Kanaidi ken
PELAKSANAAN  & Link2 MATERI Workshop _"Pembangunan SDM_INDONESIA EMAS 2045".PELAKSANAAN  & Link2 MATERI Workshop _"Pembangunan SDM_INDONESIA EMAS 2045".
PELAKSANAAN & Link2 MATERI Workshop _"Pembangunan SDM_INDONESIA EMAS 2045".
Kanaidi ken86 views
Panduan Praktikum Administrasi Sistem Jaringan Edisi 2 von I Putu Hariyadi
Panduan Praktikum Administrasi Sistem Jaringan Edisi 2Panduan Praktikum Administrasi Sistem Jaringan Edisi 2
Panduan Praktikum Administrasi Sistem Jaringan Edisi 2
I Putu Hariyadi30 views
Kel.10-PBA.pdf von YanDiyant
Kel.10-PBA.pdfKel.10-PBA.pdf
Kel.10-PBA.pdf
YanDiyant12 views

BMP ESPA4122 Matematika Ekonomi

  • 1. MDDUL 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Dr. Wahyu Widayat PENDAHULUAN - r- ""'r" impunan adalah bagian dari Matematika yang bahannya pernah Anda ........ pelajari. Materi tersebut akan dibahas sehingga Anda menjadi lebih memahami konsep himpunan. Selain himpunan, modul ini juga berisi penjelasan-penjelasan tentang sistern bilangan riil. Dalamkehidupan sehari-hari, kita banyak menjumpai pekerjaan yang berkaitan dengan penggunaan himpunan dan bilangan riil sehingga pendalaman terhadap materi ini bukanlah pekerjaan yang sia-sia. Di dalam Matematika, himpunan merupakan dasar dan landasan- landasan dari konsep-konsep lainnya seperti relasi dan fungsi. Selain itu juga, melandasi cabang ilmu lainnya seperti Statistika, khususnya untuk masalah Probabilitas. Dengan mempelajari modul ini, secara umum Anda diharapkan mampu untuk memahami himpunan serta operasi-operasinya dan mampu untuk memahami sistem bilangan riil. Setelah selesai mempelajari modul ini, secara khusus Anda diharapkan dapat: 1. menjelaskan pengertian himpunan; 2. mengoperasikan hubungan antar himpunan; 3. menghitung dengan menggunakan konsep himpunan; 4. mengoperasikan himpunan dengan konsep gabungan, selisih, dan komplemen; 5. menjelaskan konsep sistern bilangan; 6. menghitung dengan menggunakan konsep sistem bilangan; 7. menjelaskan konsep pertidaksamaan.
  • 2. 1.2 MATEMATIKA EKONOMI e KEGIATAN BELA&JAR 1 Himpunan A. PENGERTIAN HIMPUNAN Benda-benda yang berada di sekitar kita dapat dikelompokkan menurut sifat-sifat tertentu. Benda-benda yang dimaksud di sini dapat berupa bilangan, huruf, nama orang, nama kota, dan sebagainya. Daftar kumpulan benda-benda yang mempunyai sifat-sifat tertentu itu, disebut himpunan. Benda yang terdapat dalam suatu himpunan disebut unsur, atau sering juga disebut elemen atau anggota. Untuk selanjutnya, dari ketiga istilah di atas, kita akan menggunakan istilah anggota untuk benda-benda yang terdapat pada suatu himpunan. Suatu himpunan, umumnya ditulis dengan huruf besar, seperti A,B,C,D,X,Y, .......... dan benda-benda yang menjadi anggota suatu himpunan, umumnya ditulis dengan huruf kecil, seperti a,b,c,d,x,y, ......... Bagaimana cara menulis suatu himpunan? Suatu himpunan ditulis dengan cara menulis anggota-anggotanya di antara tanda kurawal { }. Anggota yang satu dipisahkan dari anggota lainnya oleh tanda koma. Penulisan dengan menggunakan cara seperti itu disebut penulisan cara daftar. Contoh: Jika A merupakan suatu himpunan yang anggotanya adalah nama buah-buahan, seperti salak, nanas, pisang, mangga, jambu maka himpunan A ditulis: A = {salak, nanas, pisang, mangga, jambu} Suatu himpunan dapat disajikan dengan cara yang lain, yaitu dengan cara kaidah. Penyajian dengan cara kaidah dapat dilakukan dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari benda-benda yang menjadi anggota himpunan tersebut.
  • 3. e ESPA41 22/MODUL 1 1.3 Contoh: Himpunan B yang beranggotakan x sedemikian rupa sehingga x adalah bilangan genap, dapat ditulis: B = {x x=bilangan genap} Perlu diperhatikan bahwa garis tegak " " yang dicetak di antara dua tanda kurung kurawal dapat dibaca sebagai "sedemikian rupa sehingga". Contoh: Himpunan C adalah himpunan penyelesaian persamaan x2 + 3x + 2 = 0 dan dapat ditulis: dan dibaca: "Himpunan C yang beranggotakan x sedemikian rupa sehingga x adalah himpunan penyelesaian persamaan x2 + 3x + 2 = 0" Untuk memperjelas cara penulisan suatu himpunan, baik dengan cara daftar atau dengan cara kaidah maka berikut ini disajikan beberapa contoh lainnya. Contoh: Himpunan bilangan ganjil positif yang lebih kecil dari 10, dapat ditulis A= {1, 3, 5, 7, 9} atau A= {x x = bilangan ganjil positif < 10} Contoh: Himpunan huruf-huruf hidup: B = {a, e, i, o, u} atau B = {y y = huruf hidup} Contoh: Himpunan merek beberapa mobil Jepang. C = {Mazda, Honda, Suzuki, Toyota, Datsun} atau C = {Z Z = merek beberapa mobil Jepang} Contoh: Himpunan beberapa nama buah-buahan: D = {Pepaya, Mangga, Pisang, Jambu} atau D = {x x =nama beberapa buah-buahan}
  • 4. 1.4 MATEMATIKA EKONOMI e Suatu benda yang merupakan anggota suatu himpunan A dapat ditulis x E A dan dibaca "x adalah anggota himpunan A". Suatu benda yang tidak merupakan anggota dari himpunan A atau sebaliknya, yaitu himpunan A tidak mengandung anggota x, dapat ditulis menjadi x ~ A Contoh: Jika A= {a, b, c, d}, maka a E A, b E A dan x ~ A Contoh: Jika A= {x x = bilangan genap}, maka 1 ~ A, 2 E A, 3 ~ A, 4 E A. Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B, jika keduanya mempunyai anggota yang sama. Anggota yang dimiliki himpunan A juga dimiliki oleh himpunan B dan sebaliknya, anggota himpunan B juga menjadi anggota himpunan A. Persamaan antara himpunan A dan himpunan B ini dapat ditunjukkan oleh A = B Contoh: Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {7, 1, 5, 3} maka A = B karena {1, 3, 5, 7} = {7, 1, 5, 3} dan setiap anggota yaitu 1, 3, 5, 7 yang dimiliki himpunan A juga dimiliki oleh himpunan B dan setiap anggota yaitu 7, 1, 5, 3 yang dimiliki himpunan B juga dimiliki oleh himpunan A. Perlu diperhatikan, himpunan tidak berubah nilainya meskipun susunan anggotanya berbeda. Contoh: Jika X = {9, 10, 9, 11 } dan Y = {11, 9, 10, 11 } maka X = Y karena {9, 10, 9, 11} = {11, 9, 10, 11} dan setiap anggota yang dimiliki Y juga dimiliki oleh X. Suatu himpunan tidak akan berubah nilainya, hila anggota yang sama dihilangkan. Jadi himpunan {9, 10, 11} nilainya sama dengan himpunan X dan Y. Dapat terjadi bahwa suatu himpunan tidak mempunyai anggota sama sekali. Himpunan yang demikian disebut himpunan kosong dan diberi lambang 0.
  • 5. e ESPA41 22/MODUL 1 1.5 Contoh: Misalkan A adalah suatu himpunan manusia yang tinggal di bulan. Oleh karena sampai saat ini bulan tidak dihuni oleh manusia, maka A adalah himpunan kosong dan ditulis A =0. Contoh: Misalkan B ={x x =Profesor yang berumur 200 tahun}. Oleh karena menurut statistik, sampai saat ini tidak ada Profesor yang berumur sampai 200 tahun maka B adalah himpunan kosong atau B = 0. B. HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN Setiap anggota suatu himpunan bisa menjadi anggota himpunan yang lain. Misalnya, setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B maka himpunan A disebut sebagai himpunan bagian sejati dari himpunan B dan ditulis A c B dan dibaca "A adalah himpunan bagian sejati dari himpunan B, atau A terkandung oleh B". Penulisan cara lain dari himpunan A yang menjadi himpunan bagian sejati himpunan B adalah B :::>A dan dibaca "B mengandung A". Jika A tidak merupakan himpunan bagian dari B maka hubungan tersebut dapat ditulis A cr. B. Contoh: C = { 1, 2, 3} merupakan himpunan bagian sejati dari A = { 1, 2, 3, 4, 5} karena anggota himpunan C, yaitu angka 1, 2, dan 3 juga merupakan anggota himpunan A dan ditulis C c A atau A :::> C. Contoh: D ={a, c, e} merupakan himpunan bagian sejati dari E ={f, e, d, c, b, a} karena huruf a, c, dan e merupakan anggota himpunan D dan juga merupakan anggota himpunan E. Perhatikan bahwa A merupakan himpunan bagian dari B ditunjukkan oleh lambang A c B atau B :::> A. Di sini himpunan A tidak sama dengan himpunan B atau A* B karena bila A= B maka A akan merupakan himpunan bagian sejati dari B dan sebaliknya, himpunan B juga merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan A, peristiwa tersebut dapat ditunjukkan dengan lambang: A c B atau B :::> A
  • 6. 1.6 MATEMATIKA EKONOMI e Contoh: Bila X= {a, b, c} dan Y = {b, c, a}, maka X= Y. X merupakan himpunan bagian sejati dari Y dan sebaliknya, Y merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan X, atau ditulis X ~ Y atau Y ~ X. Himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota, merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan, atau dengan perkataan lain, setiap himpunan selalu mengandung himpunan kosong. Lalu dapatkah kita menghitung berapa banyak himpunan bagian yang dimiliki oleh suatu himpunan jikajumlah anggotanya tertentu? Untuk itu, coba kita lihat himpunan A= {3 }. Himpunan ini hanya memiliki satu anggota, yaitu angka 3. Himpunan bagian yang dimiliki oleh himpunan A adalah sembarang himpunan yang beranggotakan angka 3, misalnya P = (3), dan sembarang himpunan kosong misalnya K = 0. Jadijumlah himpunan bagian yang dimiliki cacahnya ada 2. Sekarang, kalau himpunan yang akan dicari jumlah himpunan bagiannya adalah Q = {a, b} maka himpunan bagian sejatinya adalah A = {a}, B = {b}, C = {a, b} dan D = 0. Jadi jumlah himpunan bagian yang dimiliki oleh himpunan Q = {a, b} cacahnya ada 4 himpunan. Untuk mengetahui secara cepat jumlah himpunan bagian sejati yang dimiliki oleh suatu himpunan yang memiliki n anggota dapat dengan menggunakan rumus: 2n Contoh: Jumlah himpunan bagian yang dimiliki oleh A = {3} adalah 21 = 2, yaitu P = {3} danK= 0, Contoh: Jumlah himpunan bagian yang dimiliki oleh Q= {a, b} adalah 22 = 4, yaitu A = {a} ; B = {b}; C = {a, b }; D = 0. Himpunan yang dibicarakan umumnya merupakan himpunan bagian sejati dari suatu himpunan yang memuat seluruh anggota. Himpunan itu disebut himpunan semesta dan dilambangkan dengan u. Contoh: Berbicara mengenai abjad maka himpunan semesta adalah himpunan semua abjad, yaitu a sampai z.
  • 7. e ESPA41 22/ MODUL 1 1.7 Suatu cara yang sederhana untuk menggambarkan hubungan antara himpunan yang satu dengan himpunan yang lain, adalah dengan memakai diagram Venn-Euler atau sering disingkat dengan nama diagram Venn. Suatu himpunan ditunjukkan oleh luas suatu bidang datar yang dapat berbentuk luas suatu lingkaran atau luas empat persegi panjang. Contoh: Misalkan A c B dan B cz_ A maka A dan B dapat ditunjukkan oleh diagram berikut: atau Diagram 1.1a. Diagram 1.1 b. Contoh: Jika A = {a, b, c, d} dan B = {c, d, e, f} maka kedua himpunan tersebut dapat disajikan melalui diagram Venn sebagai berikut: A 8 a c e b d Diagram 1.2. Cara lain yang dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara himpunan yang satu dengan yang lain adalah menggunakan diagram garis.
  • 8. 1.8 MATEMATIKA EKONOMI e Untuk menyajikan bahwa A c B maka dapat ditulis B yang ditempatkan di atas A dan keduanya dihubungkan dengan garis lurus. A 8 Diagram 1.3. Contoh: Jika A c B dan B c C maka diagram garisnya adalah: A 8 A Diagram 1.4.
  • 9. e ESPA41 22/ MODUL 1 1.9 Contoh: Jika A= {a}, B = {b} dan C = {a, b} maka diagram garis dari A, B, dan C adalah: c A 8 Diagram 1.5. Contoh: Jika D = {d}, E = {d, e}, F = {d, e, f} serta G = {d, e, g} maka diagram garis dari D, E, F, danG adalah: F G E D Diagram 1.6. C. OPERASI HIMPUNAN Pekerjaan seperti menjumlah, mengurang, mengali, dan membagi suatu bilangan adalah operasi aritmatika. Himpunan meskipun berbeda dengan bilangan dapat juga dioperasikan secara aritmatika. Operasi yang dapat dilakukan adalah gabungan, irisan, selisih, dan komplemen.
  • 10. 1.10 MATEMATIKA EKONOMI e Gabungan (union) dari himpunan A dan himpunan B merupakan suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota himpunan A atau anggota himpunan B atau keduanya. Gabungan himpunan A dan himpunan B ini dilukiskan dengan lambang Au B dan dibaca "gabungan himpunan A dan B". Contoh: Pada diagram Venn berikut, A u B adalah luas A dan luas B yang diarsir. A 8 Diagram 1.7. Contoh: Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d, e, f} maka A u B = {a, b, c, d, e, f}. Diagram 1.8. Irisan (interseksi) dari himpunan A dan himpunan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A, tetapi juga merupakan anggota himpunan B. Irisan dari himpunan A dan himpunan B dilukiskan dengan lambang An B.
  • 11. e ESPA41 22/MODUL 1 1.11 Contoh: Pada diagram Venn berikut, An B adalah bagian luas A yangjuga menjadi bagian luas B dan ditunjukkan dalam gambar sebagai bagian luas yang diarsir. A B Diagram 1.9. Contoh: Misalkan A = {a, b, c, d} dan B = {c, d, e, f, g} maka A n B = {c, d} Contoh: Misalkan A= {1, 3, 5} dan B = {7, 3, 5, 6, 8} maka An B = {3, 5} Selisih antara himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A, tetapi bukan anggota himpunan B. Contoh: Pada diagram Venn berikut, A - B adalah bagian A yang tidak menjadi bagian luas B dan dalam gambar ditunjukkan oleh bagian yang diarsir. 8 Diagram 1.10.
  • 12. 1.12 MATEMATIKA EKONOMI e Contoh: Misalkan A= {12, 14, 16, 13, 15} dan B = {9, 10, 12, 13} makaA-B = {14,15,16} Contoh: Misalkan P = {a, b, c, d} dan Q = {a, b, e, f} maka P - Q = {c,d} Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya merupakan selisih antara himpunan semesta U dan himpunan A. Komplemen dari himpunan A ditulis A'. Contoh: Pada diagram Venn berikut, komplemen dari himpunan A adalah bagian luas yang tidak termasuk bagian luas A dan dalam diagram dilukiskan sebagai bagian luas yang diarsir. Anggapan yang digunakan di sini adalah himpunan semesta U merupakan luas segi empat panjang. Diagram 1.11 . Contoh: Misalkan himpunan semesta U anggotanya adalah bilangan 1 sampai 100 dan A= {1, 2, 3}, maka A'= {4, 5, 6,............, 99, 100} D. PASANGAN URUT Himpunan yang urut-urutan anggotanya tertentu, yaitu yang bemomor urut 1, 2, 3, ...... dan seterusnya disebut himpunan urut. Daftar anggota himpunan urut tidak ditempatkan di antara dua tanda kurawal, akan tetapi di antara tanda kurung biasa.
  • 13. e ESPA41 22/MODUL 1 1.13 Contoh: {a,b,c} adalah himpunan yang mempunyai tiga buah anggota yang urut-urutan penulisannya boleh sembarang. (a,b,c) adalah suatu himpunan urut dengan tiga buah anggota yang urut-urutan penulisannya tidak boleh diubah dan harus seperti itu. Bila suatu himpunan hanya mempunyai dua anggota di mana satu anggota dinyatakan sebagai nomor satu dan yang lain dinyatakan sebagai nomor dua maka himpunan tersebut dinamakan pasangan urut. Contoh: Pasangan urut (1,4) dan (4,1) adalah berbeda. Contoh: Pasangan urut boleh memiliki anggota pertama dan anggota kedua yang sama seperti (1,1), (2,2), (5,5) ....~' §ill . . LATIHAN -- - ~ ~ Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Tulislah pernyataan-pemyataan di bawah ini dengan menggunakan lambang himpunan: a) a bukan anggota himpunan A b) p adalah anggota himpunan Q c) X adalah himpunan bagian sejati dari Y d) R bukan himpunan bagian sejati dari S e) Himpunan M mengandung himpunan N 2) Bila P = {a,b,c} atau dengan kata lain P beranggotakan a, b dan c maka dari pernyataan-pernyataan berikut ini manakah yang benar dan yang salah. Bila salah sebutkan sebabnya! a. a E P c. {b} c p b. acP d. {b} E p
  • 14. 1.14 MATEMATIKA EKONOMI e 3) Seandainya himpunan semesta S = {a, b, c, d, e} dan misalkan A = {a, b, e}, B = {a, c, d} dan C = {b, e} maka carilah: a. An B c. B u C b. A- C d. Au C 4) Dengan menggunakan data pada soal nomor 3 di atas, gambarkan diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut ini. a. A n B c. (A u B ) n C b. A u B d. (A n B ) u C 5) Bila ditentukan himpunan A= {p, q, r, s} maka tentukan himpunan bagian yang dimiliki oleh A. 6) Bila ditentukan: X = {a, b, c, d, e} y = {b, c, d} Z = {c, d} tunjukkan pernyataan-pernyataan berikut ini yang salah dan sebutkan mengapa. a. YcX c. ZcX b. Y =::)X d. z =::) y 7) Dapatkan gabungan dari himpunan H1 dan himpunan H2 berikut: a. H1 ={1, 2, 3} b. H1 ={a, 1, 2} H2 ={a, b, c} H2 ={a, b, c} c. H1 = {a, b, 2} H2 = {a, b, c} 8) Dapatkan irisan dari himpunan H1 dan himpunan H2 pada soal nomor 7 di atas. 9) Dengan menggunakan himpunan-himpunan pada soal nomor 7, carilah H1- H2 dan H2- H1. 10) Dengan menggunakan H1 dan H2 pada soal nomor 7, dapatkan (HI- H2) u (H2- H1)
  • 15. e ESPA41 22/ MODUL 1 1.15 Petunjuk Jawaban Latihan 1) a) a~ A b) pEQ c) Xc Y d) RctS e) M~N 2) a) benar b) salah, sebab a bukan himpunan c) salah, sebab simbol {b} untuk himpunan dan b adalah elemen d) benar 3) a) A n B={a} b) A-C={a} c) B u C = {a, b, c, d, e} = S d) A u C={a, b,e} 4) a) A n B = bagian yang diarsir A B b) A u B = bagian yang diarsir A B ) J / /
  • 16. 1.16 MATEMATIKA EKONOMI e c) ( A u B ) n C = bagian yang diarsir B A c d) ( A n B ) u C =bagian yang diarsir ~/ ' ~ A / ........... / "/ ". / I ' I ' I ' I ' I X / "/ ........ I ". / ..... "....... / ........ / 5) Himpunan bagian yang dimiliki oleh A adalah 24 =16, yaitu {0}, {p}, {q}, {r}, {s}, {p,q}, {p,r}, {p,s}, {q,r}, {q,s}, {r,s}, {p,q,r}, {p,q,s}, {p,r,s}, {q,r,s}, {p,q,r,s}. 6) a) Benar. b) Benar. c) Benar. d) Salah karena Z c Y. 7) a) {1,2,3,a,b,c} b) {a,b,c,1,2} c) {a,b,c,2} 8) a) {0}
  • 17. e ESPA41 22/MODUL 1 1.17 b) {b} c) {a,b} 9) a) {1,2,3} b) {1,2} c) {2} 10) a) {1,2,3,a,b,c} b) {1,2, b,c} c) {2,c} RANG K U MAN'----------------------- Himpunan adalah suatu daftar dari sek:umpulan benda-benda yang mempunyai sifat-sifat tertentu. Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika keduanya mempunyai anggota yang sama. Setiap anggota suatu himpunan dapat menjadi anggota himpunan lainnya dan himpunan itu disebut himpunan bagian sejati dari suatu himpunan tertentu. Himpunan yang memuat seluruh anggota yang ada disebut himpunan semesta. Hubungan antara suatu himpunan dengan himpunan lain, dapat ditunjukkan oleh diagram Venn atau dengan diagram garis. Gabungan (union) dari dua himpunan atau lebih merupakan suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota yang ada di kedua atau lebih himpunan tersebut. Irisan (interseksi) antara dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota di kedua himpunan tersebut. Selisih dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota salah satu dari himpunan tersebut. Komplemen suatu himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan selisih antara himpunan semesta dan himpunan tersebut. Himpunan urut adalah suatu himpunan yang urut-urutan anggotanya tertentu. Bila himpunan urut mempunyai dua anggota dan satu anggota dinyatakan sebagai nomor satu dan yang lain dinyatakan sebagai nomor dua maka himpunan tersebut dinamakan pasangan urut.
  • 18. 1.18 MATEMATIKA EKONOMI e TES FORMATIF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Himpunan yang disajikan melalui diagram Venn berikut adalah .... A B a c e b d f g A. A = {a, b, c, d, e} dan B = {c, d, e, f, g} B. A= {a, b} dan B = {c, d, e, f, g} C. A= {a, b, c, d, e} dan B = {f, g} D. A= {a, b} dan B = {c, d, e, f, g} 2) Himpunan yang disajikan melalui diagram Venn berikut dapat ditulis .... 8 A A. B nB B. AuB C. AcB D. A-B 3) Seandainya himpunan semesta S = {a, b, c, d, e} , A= {a, b, e}, B = {a, c, d} dan C ={b, e} maka: A. S =AnB B. S =B u C
  • 19. e ESPA41 22/MODUL 1 1.19 C. S =A- C D. S =Au C 4) Seandainya himpunan semesta S = {a, b, c, d, e, f} , A = {a, b, e}, B = {a, c, d} dan C = {b, e, f} maka bagian yang diarsir dapat ditulis: ~.I ' A / ......... / '/ ".I '.I ' .I '' .I " /.)<.. / ...... ./ ....... .I .I " - / " / ...... / ....... ./ A. AuB B. An B C. (Au B) n C D. (An B) u C 5) Pada diagram Venn berikut, bagian yang diarsir dapat ditunjukkan oleh .... B A. An B B. AuB C. AcB D. A- B
  • 20. 1.20 MATEMATIKA EKONOMI e Cocokkanlahjawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Jumlah Jawaban yang Benar Tingkat penguasaan =-----------x 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% =cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80o/o atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.
  • 21. e ESPA41 22/MODUL 1 1.21 KEGIATAN BELA&JAR 2 Sistem Bilangan A. SISTEM BILANGAN DESIMAL Di dalam kehidupan sehari-hari sistem bilangan yang biasanya dipakai adalah sistern bilangan dengan basis 10 dan dikenal dengan nama bilangan desimal. Angka yang digunakan ada sepuluh, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. Bilangan ditulis dengan menggunakan harga tempat. Tempat, dicacah dari letak tanda koma ke kiri. Tempat pertama mempunyai harga satuan 10° = 1, tempat kedua 101 = 10, tempat ketiga 102 = 100, dan tempat ke n harga satuannya 1on-1 dan seterusnya. Contoh: 45 artinya 4 x 101 + 5 x 10° = 40 + 5 Contoh: 1990 artinya = 1 X 103 + 9 X 102 + 9 X 101 + 0 X 10° = 1000 + 900 + 90 + 0. Pencacahan tempat untuk angka pecah, dimulai dari tanda koma ke kanan, tempat pertama mempunyai harga satuan 10-1 = 1 , tempat kedua 10-2 = 1 , 10 100 tempat ketiga 1o-3 = 1 dan seterusnya. 1000 Contoh: 67,85=6x 101 +7x 10°+8x 10-1 +5x 102 = 60 + 7 + 8 + - 5 - 10 100 B. SISTEM BILANGAN BINAR Sistem bilangan dengan basis 10 bukanlah satu-satunya sistern yang digunakan. Misalnya, sistem bilangan dengan basis 2 digunakan pada
  • 22. 1.22 MATEMATIKA EKONOMI e kebanyakan alat komputer. Angka yang digunakan adalah 0 dan 1. Bilangan yang menggunakan basis 2 dikenal dengan nama bilangan binar. Pada penulisan bilangan, berlaku juga harga tempat sehingga untuk tempat pertama mempunyai harga 2°, tempat kedua yang berada di sebelah kiri tempat pertama mempunyai harga 21 , tempat ketiga mempunyai harga 22 , dan seterusnya. Contoh: Bilangan 1011 mempunyai harga = 1 X 23 + 0 X 22 + 1 X 21 + 1 X 2° =8+0+2+1 = 11 Contoh: Bilangan 101010 mempunyai harga = 1 X 25 + 0 X 24 + 1 X 23 + 0 X 22 + 1 X 21 + 0 X 2° = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 =42 C. BILANGAN KOMPLEKS Dalam mencacah atau menghitung, mula-mula manusia menggunakan bilangan alam atau bilangan bulat positif, yaitu 1, 2, 3, 4, ...... Bilangan-bilangan ini digunakan untuk menambah, mengurang, mengali serta membagi. Bilangan nol dan bilangan negatif kemudian diciptakan agar dapat menghitung x dari persamaan a+ x =b. Nilai a dan b merupakan bilangan alam sembarang. Bilangan bulat positif maupun negatifdan bilangan nol, merupakan himpunan bilangan bulat. Kemudian, bilangan pecahan diciptakan agar dapat menghitung nilai x dari persamaan ax - b = 0 Pada persamaan tersebut di atas, nilai a dan b adalah sembarang bilangan bulat dengan nilai b -:~= 0. Dengan demikian, dari setiap nilai yang diberikan kepada a dan b akan diperoleh suatujawaban untuk x. Bila tidak ada bilangan pecah maka harga untuk x tidak bisa dijawab. Contoh: 3x- 2 = 0. 2 X==- 3
  • 23. e ESPA41 22/ MODUL 1 1.23 Bilangan yang ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat disebut bilangan rasional. Bilangan rasional juga dapat ditulis sebagai bilangan desimal berulang. Contoh: 2 3 =0,6666....... (satu angka berulang). Selain bilangan rasional, juga dikenal adanya bilangan irasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasional, yaitu bilangan yang tidak dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Oleh karena tidak dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat maka dengan sendirinya kita tidak pernah akan menjumpai bilangan desimal berulang. Bilangan rasional dan irasional merupakan himpunan bilangan riil. Contoh: Keliling suatu lingkaran dengan diameter satu adalah n yaitu suatu simbol untuk angka yang nilainya 3,141592. Angka ini merupakan bilangan irasional karena tidak dapat ditunjukkan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Bilangan irasional diciptakan, agar Anda dapat menyelesaikan suatu persamaan kuadrat yang bentuk umumnya: ax 2 + bx + c = 0 Pada persamaan di atas nilai a -=~: 0 dan akar persamaan dapat diperoleh dengan menggunakan kaidah: -b ±~b2 - 4ac X 1,2 = 2 a Bila diskriminan b2 - 4 ac > 0, maka akar-akar persamaan dapat dicari karena adanya bilangan irasional. Akan tetapi, hila diskriminan b2 - 4 ac < 0, maka supaya persamaan dapat diselesaikan kemudian diciptakan bilangan imajiner. Untuk menunjukkan bilangan imajiner, dipakai tanda i yang juga disebut "satuan imajiner". Besamya i adalah: i= + i dengan demikian maka:
  • 24. 1.24 ·2 11 =- ·3 ,----;~ 1 = -1v -1 ·4 11 = i 5 = H MATEMATIKA EKONOMI e Contoh: Akar persamaan x 2 + 6x + 13 =0 adalah: -6 ±"36 - 52 X12 =, 2 -16-6± =---- 2 =-3+2rt karena i = +I ,maka x1 2 =-3 ± 2i ' Contoh: Akar persamaan x2 - 8x + 17 =0 adalah X! 2 = 8±~64-68 = 4 ± +t ' 2 karena i ==+I ,maka x1,2 = 4 ± i Bilangan rasional dan irasional merupakan himpunan bilangan riil. Bilangan riil dan bilangan imajiner, merupakan himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks dengan himpunan-himpunan bagiannya dapat dilukiskan sebagai berikut: Bilangan komplex Bilangan riil Bilangan imajiner Bilangan irasional Bilangan rasional Bilangan bulat Bilangan pecah
  • 25. e ESPA41 22/MODUL 1 1.25 Bila R merupakan himpunan seluruh bilangan irasional, a dan b adalah sembarang bilangan alam maka sekarang dapat disusun kaidah-kaidah bilangan untuk operasi penjumlahan (+) dan perkalian (x). No. Kaidah 1. Tutupan 2. Asosiatif 3. Komutatif 4. lndentitas 5. Inversi 6. Distributif D. PERTIDAKSAMAAN 0 1erasi + (a+b) E R (a+b)+c = a + (b + c) (a + b)=b + a a + O=O+ a (a + -a) = (-a + a) = 0 ax (b +c)== axb + axc Operasi x (ax b) E R (axb)xc = ax (bxc) axb = bxa axl=lxa axYa=%=1 Suatu bilangan a dikatakan lebih besar dari bilangan b dan ditulis a > b hanya jika b lebih kecil dari a dan ditulis b < a. Tanda " > " dan " < " disebut tanda pertidaksamaan. Di samping kedua tanda pertidaksamaan itu, masih ada tanda yang lain, yaitu: < yang dibaca "lebih kecil atau sama dengan", dan > yang dibaca "lebih besar atau sama dengan". Sifat-sifat Pertidaksamaan 1. a > 0 hanya jika a positif a < 0 hanya jika a negatif a> 0 hanyajika -a< 0 a< 0 hanyajika -a> 0 2. Bila a < b dan b < c, maka a < c Contoh: 3 < 5 dan 5 < 9, maka 3 < 9 3. Bila a< b, maka untuk setiap nilai c berlaku a+ c < b +c. Contoh: 3 < 5 dan c =2, maka 3 + 2 < 5 + 2 atau 5 < 7
  • 26. 1.26 MATEMATIKA EKONOMI e 4. Bila a< b dan c < d, maka a+ c < b + d Contoh: 3 < 5 dan 8 < 11 maka 3 + 8 < 5 + 11 atau 11 < 16 5. Bila a< b dan c positif, maka a(c)< b(c) Contoh: 3 < 5 dan c =2, maka 3(2) < 5(2) atau 6 < 10 6. Bila a< b dan c negatif, maka a(c)> b(c) Contoh: 3 < 5 dan c =-2, maka 3(-2) > 5(-2) atau -6 > -10 7. Bila 0 <a< b dan 0 < c < d, maka a(c)< b(d) Contoh: 2 < 4 dan 3 < 6, maka 2(3) < 4(6) atau 6 < 24. Mulai sifat nomor 2 sampai sifat nomor 7, tanda > dapat diganti dengan tanda < dan begitu pula tanda < dapat diganti dengan tanda >. Sifat penting bilangan riil yang lain adalah bahwa setiap bilangan riil dapat digambarkan pada suatu garis lurus yang disebut garis bilangan. Pada garis bilangan dipilih satu titik dan diberi nilai 0. Titik ini sebut titik awal. Dari titik awal ini kemudian dibuat skala dengan satuan tertentu. Di sebelah kanan titik awal digunakan untuk bilangan-bilangan positif dan bilangan-bilangan negatif diletakkan di sebelah kiri titik awal. Contoh: -2 -1 c 0 1 2 3 4 A 8 Bilangan-bilangan di atas garis menunjukkan skala dan bilangan di bawah menunjukkan nilai bilangan. Misalnya: A = 3/2 ; B = 3; C = - 1/2. Oleh karena setiap titik pada garis bilangan menggambarkan atau mewakili suatu bilangan riil tertentu maka suatu bilangan a dapat disebut dengan titik A.
  • 27. e ESPA41 22/MODUL 1 1.27 Suatu bilangan yang nilainya terletak di antara dua nilai, yaitu a dan b disebut dengan selang terbuka dari a ke b ditulis (a,b) dan didefinisikan sebagai (a, b) ={x a < x < b} Disebut selang terbuka karena nilai x tidak pernah akan sama dengan a ataupun dengan b. Jika nilai x dapat menjadi sama dengan a dan b maka didefinisikan dengan: [a, b] ={x a ~ x ~ b} Perhatikan, tanda kurung untuk selang terbuka dan tertutup berbeda! Suatu kemungkinan dapat pula terjadi pada nilai x yang mungkin sama dengan a akan tetapi tidak pernah sama dengan b atau sebaliknya tidak pernah sama dengan a tetapi dapat sama dengan b. Selang yang demikian itu disebut selang setengah terbuka atau selang setengah tertutup dan ditulis [a, b) dan (a, b], didefinisikan: [a, b) ={x a ~ x < b} (a, b] ={x a < x ~ b} Selang dapat digunakan untuk mencari himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan. Contoh: Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan: 2 + 6x < 4x + 8 Dalam menyelesaikan pertidaksamaan tersebut di atas, usahakan agar suku yang mengandung x terletak di sebelah kiri tanda <. Bagian kiri dan kanan tanda pertidaksamaan dikurangi dengan 2 sehingga menjadi: 2 + 6x -2 < 4x + 8 - 2 atau 6x < 4x + 6 Kemudian bagian sebelah kiri dan kanan tanda pertidaksamaan dikurangi dengan 4x sehingga menjadi 6x - 4x < 4x + 6 - 4x
  • 28. 1.28 MATEMATIKA EKONOMI e atau 2x<6 x<3 Jadi himpunan penyelesaian dari 2 + 6x < 4x + 8 adalah {x x < 3}. Pada contoh di atas, tujuan untuk menamhah atau mengurangi hagian sehelah kanan dan kiri tanda pertidaksamaan adalah agar hilangan yang mengandung x herada di sehelah kiri tanda pertidaksamaan dan hilangan yang tidak mengandung x herada di sehelah kanan tanda pertidaksamaan. Contoh: Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 5x + 6 2:: 0 Bagian di sehelah kiri tanda pertidaksamaan dapat diuraikan menjadi: (x + 2)(x + 3) 2:: 0 Harus diingat hahwa hasil perkalian dua hilangan akan hernilai positif kalau kedua hilangan itu hertanda positif atau kedua-duanya hertanda negatif. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, pertama kita harus menganggap hahwa kedua suku hertanda positif dan dicari himpunan penyelesaiannya, kemudian menganggap hahwa kedua suku hernilai negatif dan dicari himpunan penyelesaiannya. Kasus 1: Bila kedua hilangan, yaitu (x + 2) dan (x + 3) hertanda positif. Atau (x + 2) > 0 dan (x + 3) > 0. Ini akan terpenuhi hila x > -2 dan x > -3. Bilangan yang memenuhi kedua pertidaksamaan tersehut hanyalahjika x > -2. Kasus 2: Bila kedua hilangan, yaitu (x + 2) dan (x + 3) hertanda negatif. Atau (x + 2) < 0 dan (x + 3) < 0. Ini akan terpenuhi hila x < -2 dan x < -3. Bilangan yang
  • 29. e ESPA41 22/MODUL 1 1.29 memenuhi kedua pertidaksamaan tersebut hanyalah jika x ~ -3. Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan: (x + 2)(x + 3) ~ 0 adalah {x x~-2}u{x x~-3} yaitu Cara lain untuk menyelesaikan soal tersebut di atas adalah dengan menggunakan garis bilangan. Nilai x yang menyebabkan ruas sebelah kiri menjadi sama dengan nol adalah untuk x = -2 dan x = -3. Untuk nilai x yang lain kita selidiki apakah menyebabkan ruas kiri lebih besar atau lebih kecil dari nol. Untuk nilai x yang menyebabkan ruas kiri bernilai positif pada garis bilangan diberi tanda + dan nilai x yang menyebabkan ruas kiri bernilai lebih kecil dari nol (negatif) diberi tanda- sehingga garis bilangan dapat digambarkan seperti: + + - - + + -3 -2 Jadi, penyelesaian dari (x + 2) (x + 3) > 0 adalah {x x>-2}u{x x<-3} dan ditulis Dalam beberapa kasus, suatu bilangan mungkin tidak dipentingkan tandanya apakah bertanda positif atau negatif, tetapi yang dipentingkan adalah nilai absolutnya atau nilai mutlaknya. Nilai mutlak suatu bilangan riil a ditulis dengan simbol a dan didefinisikan sebagai: X= X jika X> 0 X= -X jikax<O
  • 30. 1.30 Sifat-sifat penting pada nilai mutlak adalah: 1. a ~a Contoh: 7 ~ 7 dalam hal ini 7 = 7 -12 ~ -12 dalam hal ini 12 > -12 2. ab = a . b 3. Contoh: 12 = 4 . 3 a a b b Contoh: 11 1111 -=-- 13 1131 4. a + b :::; a + b Contoh: MATEMATIKA EKONOMI e Bilaa=-3danb=5,maka (-3)+5 < -3 + 5 atau 2 < -3 + 5 karena 2 < 8 5. a- b > a - b Contoh: Bila a = -3 dan b = 5 maka (-3) - 5 > -3 - 5 atau -8 > -3 - 5 karena 8 > -2 6. x <a untuk a> 0, hanyajika -a< x <a Contoh: x < 3 untuk -3 < x < 3 7. x >a untuk a> 0, hanyajika x >a atau x <-a Contoh: x > 4 untuk x > 4 atau x < -4
  • 31. e ESPA41 22/MODUL 1 1.31 Perhatikan sifat no. 6 dan 7, berlaku juga untuk pertidaksamaan dengan tanda < atau > dengan cara mengganti tanda > dengan tanda > atau mengganti tanda < dengan tanda <. Contoh: .. --- - -~ Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan x - 3 2:: 5 Dari sifat no. 7 maka diperoleh penyelesaian x- 3 2:: 5 atau x- 3 ~-5 jadi agar pertidaksamaan terpenuhi, maka x > 8 atau x < -2, dan himpunan penyelesaiannya adalah {x x 2:: 8 atau x ~ -2} LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3 - 5x < 1 adalah: a. {x x > 2/5} b. {x x < 2/5} c. {x x<2,5} d. {x x > 2,5} 2) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3 + 5x 2:: 3x + 5 adalah .... a. {x x > 2} b. {X X 2:: 1} c. {x x < 2} d. {x x < 1} 3) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 9 - 5x < 2x- 5 adalah: a. {x x < 2} b. {x 5<x<9} c. {x x > 2} d. {x 5 > x > 9}
  • 32. 1.32 MATEMATIKA EKONOMI e 4) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 - x - 20 > 0 adalah: a. {x x < -4} b. {x x>5} C. {X -4 < X < 5} d. {x x < -4 atau x > 5} 5) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 - 5x + 6 < 0 adalah: a. {x x > 3} b. {x x<2} c. (2,5) d. {x 2 < x < 3} 6) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 - 9 > 0 adalah: a. {x x < -3} b. {x x > -3 atau x > 3} c. {x x > 3} d. {x -3 < x < 3} x+5 7) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan - - < 0 adalah: x-3 a. {x x < -5} b. {x x>3} c. {x -5 < x < 3} d. {x x < -5 atau x > 3} 8) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x - 2 < 5 adalah: a. {x x < -3 atau x > 7 } b. {x -3<x<7} c. {x x<-3} d. {x x > 7} 9) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x - 5 > 4 adalah: a. {x x < 0,5 atau x > 4,5} b. {X 0,5 < X < 4,5} c. {x x < 0,5} d. {x x > 4,5}
  • 33. e ESPA4122/ MODUL 1 1.33 10) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 4 > x- 3 adalah: 1 a. {x x >- - atau x < -7 } 3 1 b. {x -7 < x <- } 3 1 c. {x x >-} 3 d. {x x < -7} Petunjuk Jawaban Latihan 1) 3- 5x < 1 - 5x < -2 2 x>- 5 Himpunan penyelesaiannya: { x 2) 3 + 5x > 3x + 5 2x> 2 x>1 2 x>-} 5 Himpunan penyelesaiannya: { x x > 1 } 3) 10- 6x < x- 4 -7x < -14 x>2 Himpunan penyelesaiannya: { x x > 2 } 4) x2 - x - 20 > 0 (x-5)(x+4) > 0 + + - - - -4 5 + Himpunan penyelesaiannya: { x x > 5 atau x < -4 } +
  • 34. 1.34 MATEMATIKA EKONOMI e 5) x2 - 5x + 6 < 0 (x-2)(x-3) < 0 + + - - - 2 3 Himpunan penyelesaiannya { x 2 < x < 3 } 6) x 2 - 9 > 0 (x+3)(x-3) > 0 + + - - - -3 3 + + Himpunan penyelesaiannya { x x < -3 atau x > 3 } 7) x+5<0 x-3 + + - - - -5 3 Himpunan penyelesaiannya { x -5 < x < 3 } 8) X- 2 < 5 -5 < (x- 2) < 5 untuk x - 2 < 5, maka x < 7 untuk x - 2 > -5, maka x > -3 Himpunan penyelesaiannya { x -3 < x < 7 } 9) 2x- 5 > 4 (2x - 5) > 4 atau (2x - 5) < -4 untuk 2x - 5 > 4, maka x > 4,5 untuk 2x - 5 < -4, maka x < -0,5 + Himpunan penyelesaiannya { x x < -0,5 atau x > 4,5 } + + +
  • 35. e ESPA41 22/MODUL 1 10) 2x + 4 > x-3 atau 2 x + 4 > 1 x-3 _1 > 2x +4 > 1 x-3 untuk 2x + 4 > x - 3, maka x > -7 1 untuk 2x + 4 < -x + 3, maka x < - 3 Himpunan penyelesaiannya { x 1 x >- - atau x < -7 } 3 RANGKUMAN 1.35 ------------------------------------ Sistern bilangan yang biasanya digunakan dalam kehidupan sehari-hari adalah sistem bilangan dengan basis 10 dengan menggunakan sepuluh angka, yaitu 0, 1, 2, ...........9. Sistem bilangan yang lain contohnya adalah bilangan binar, yaitu sistem bilangan dengan basis 2 dan menggunakan dua angka, yaitu 0 dan 1. Bilangan bulat dan bilangan pecah merupakan himpunan bilangan rasional. Bilangan rasional dan bilangan irasional merupakan himpunan bilangan riil. Bilangan riil dengan bilangan imajiner merupakan himpunan bilangan kompleks. Sifat-sifat pertidaksamaan 1. a > 0 hanya jika a positif. a < 0 hanya jika a negatif. a> 0 hanyajika -a< 0 a< 0 hanyajika -a> 0 2. Bila a < b dan b < c maka a < c. 3. Bila a< b, maka a+c < b+c untuk setiap c. 4. Bila a < b dan c < d, maka a+c < b+d. 5. Bila a < b dan c positif maka a.c < b.c 6. Bila a < b dan c negatif maka a.c > b.c 7. Bila 0 < a dan 0 < c < d, maka a.c < b.a Sifat-sifat nilai mutlak: 1. a >a 2. ab = a . b 3. a a b b 4. a + b :::;; a + b
  • 36. 1.36 MATEMATIKA EKONOMI e 5. a- b ~ a - b 6. x ~a untuk a> 0, hanyajika -a~ x ~a 7. x ~a untuk a> 0, hanyajika a~ a atau x <-a TES FORMATIF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 + 5x < 12 adalah .... A. { X X> 2/5 } B. { X X< 2/5 } C. {X X< 2 } D. { X X> 2} 2) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x - 5 ~ 3 - 5x adalah .... A. {X X> 2} B. { X X~ 1 } C. { X X~ 2} D. { X X~ 1 } 3) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 10- 3x < 2x- 15 adalah .... A. { X X< 5 } B. {x 5<x<10} C. {X X> 5 } D. { X 5 >X> 10 } 4) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 - x - 12 > 0 adalah .... A. {X X< 4 } B. { X X> -3 } C. { X -3 <X< 4 } D. { x x < -3 atau x > 4 } 5) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 - 2x - 8 < 0 adalah .... A. { X -2< X < 4} B. {X X> 4 } C. { X X< -2 } D. { x x < -2 atau x > 4 }
  • 37. e ESPA41 22/MODUL 1 6) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 - 16 < 0 adalah .... A. { X X< -4 } B. { x x < -4 atau x > 4 } C. { X X> 4 } D. { X -4 < X < 4 } x+7 7) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan - - > 0 adalah .... X -1 A. {X B. {X C. {X D. {X x < -7 atau x > 1 } X< -7} x>1} -7<x< 1} 1.37 8) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x - 8 ~ 10 adalah .... A. { X -2 ::s X ::s 18 } B. { x x > 18 atau x < -2 } C. { X X< -2} D. { X X~ 18} Cocokkanlahjawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglahjawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. Jumlah Jawaban yang Benar Tingkat penguasaan = - - - - - - - - - - x 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% =cukup < 70% =kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.
  • 38. 1.38 MATEMATIKA EKONOMI e Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif1 Tes Formatif2 1) A 1) c 2) B 2) B 3) B 3) c 4) D 4) D 5) D 5) A 6) D 7) A 8) B
  • 39. e ESPA41 22/ MODUL 1 1.39 Daftar Pustaka Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turne. (1996). Mathematical Economics. The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher. Haeussler, Ernest F. and RichardS. Paul. (1996). Introductory Mathematical Analysisfor Business Economics, and The Life and Social Sciences. Eighth Edition, Prentice Hall International Inc. Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis Stengos. (1996). Mathematics for Economics. Addison-Wesley Publisher Limited. Jacques, Ian. (1995). Mathematicsfor Economics and Business. Second Edition, Addison-Wesley Publishing Company. Silberberg, Eugene and Wing Suen. (2001) The Structure of Economics a Mathematical Analysis. Irwin McGraw-Hill.
  • 40. MDDUL 2 Pangkat, Akar, Logaritma, serta Banj ar dan Deret Dr. Wahyu Widayat PENDAHULUAN odul ini menjelaskan pengertian pangkat, akar, logaritma, serta banjar ~ dan deret yang bahannya pernah Anda pelajari. Materi ini disajikan kembali untuk membantu Anda mengingat kembali sehingga Anda menjadi lebih paham tentang konsep ini. Di dalam modul-modul selanjutnya, akan tampak bahwa konsep pangkat, akar, dan logaritma sering sekali digunakan. Demikian juga, untuk banjar dan deret. Dengan demikian, pendalaman terhadap materi ini bukanlah merupakan pekerjaan yang sia-sia. Dengan mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu menerapkan kaidah-kaidah perpangkatan, akar, logaritma, banjar dan deret yang berlaku di dalam ekonomi. Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat: 1. menjelaskan konsep pangkat, akar, dan logaritma; 2. menghitung dengan menggunakan konsep pangkat; 3. menghitung dengan menggunakan konsep akar; 4. menghitung dengan menggunakan konsep logaritma; 5. menjelaskan konsep banjar dan deret; 6. menghitung dengan menggunakan konsep banjar; 7. menghitung dengan menggunakan konsep deret; 8. menerapkan konsep banjar dan deret dalam perhitungan bunga pinjaman; 9. menerapkan konsep banjar dan deret dalam perhitungan nilai sekarang; 10. menerapkan konsep banjar dan deret dalam perhitungan bunga majemuk.
  • 41. 2.2 MATEMATIKA EKONOMI e KEGIATAN BELA&JAR 1 Pangkat, Akar, dan Logaritma A. PANGKAT Suatu ekspresi an dibaca "a pangkat n"; a disebut basis dan n disebut pangkat. Jika n merupakan suatu bilangan bulat positif maka n a =axax ........ xa di mana a merupakan perkalian sebanyak n kali. Menurut definisi di atas, jika n = 0 dan a * 0 maka a 0 = 1. Jadi, untuk a yang berupa bilangan riil tidak sama dengan nol berlaku a0 = 1. Hal tersebut sama dengan peristiwa berikut ini: m a m-m 0 1-a · -a -- - -m a Jika n merupakan bilangan bulat positif dan a * 0 maka Kaidah-kaidah Perpangkatan: 1 m X n m + n . a a =a 2. 3. 4. 5. 6. m a m-n n =a a (am)n = a m.n (am.bm)n =amn.bmn m m = _a_ untuk b * 0 a - b bm 1 -m =am a 1-n a=-n a
  • 42. e ESPA41 22/MODUL 2 Contoh: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 64X67=611 7 4 =47-3=44 43 (32)3 = 32x3 = 36 (3x 4) 2 =32X42=9x16 =144 3 2 32 - =- 5 5 2 1 -=3-2 32 2.3 Suatu fungsi yang variabelnya berpangkat suatu konstan disebut fungsi berpangkat. Contoh dari fungsi berpangkat adalah y = xa, di mana a merupakan suatu konstan. Apabila suatu fungsi mempunyai konstan yang berpangkat variabel maka fungsi itu disebut fungsi eksponensial. Contoh dari fungsi eksponensial adalah y = ax, di mana x adalah variabel dan a adalah konstan. Fungsi eksponensial yang sederhana mempunyai bentuk umum y = ax di mana a > 0 Grafik fungsi y = ax terletak pada kuadran I dan kuadran II. Grafik fungsi eksponensial tersebut akan merupakan kurva yang menaik untuk nilai a > 1 dan merupakan kurva yang menurun untuk 0 < a < 1. Pada kedua kasus di atas, kurva memotong sumbu y di titik (0,1). Ingat nilai a0 = 1.
  • 43. 2.4 MATEMATIKA EKONOMI e a= 0,4 y y a = 10 a = c a= 0,6 a = 0,9 0 X 0 > 1 0 X Diagram 2. 1a. Diagram 2.1 b. Dari kedua gambar di atas, tampak bahwa besarnya nilai a menentukan kelengkungan kurva. Untuk a= 1 maka y = ax menjadi y = 1 atau suatu garis lurus yang sejajar dengan sumbu x. Untuk nilai a yang lain, fungsi akan mendekati sumbu x secara asimetris. Fungsi eksponensial yang sering digunakan adalah fungsi yang konstannya bernilai e, yaitu bilangan alam yang besarnya adalah e = 2,718. Bentuk umumnya adalah y = aekx + c di mana a, k, dan c adalah konstan dan e = 2,718. Di dalam ilmu ekonomi, fungsi eksponensial yang digunakan kebanyakan menggunakan bilangan alam e sebagai basis. Mengenai keuntungan serta manfaat penggunaan bilangan e ini, akan dibahas pada bagian lain. Kurva yang menyajikan fungsi y = aekx + c ini adalah kurva yang memotong sumbu y di titik (0, a+ c) dan asimtotis terhadap • gar1s y =c.
  • 44. e ESPA41 22/MODUL 2 2.5 y a+c 0 X Diagram 2.2. B. AKAR Kaidah-kaidah perpangkatan untuk an pada bab sebelumnya dinyatakan untuk nilai a yang tidak sama dengan nol dan n merupakan bilangan bulat positif atau negatif. Sesungguhnya, nilai n pada bentuk an dapat berupa setiap bilangan rasional. Ingat, bilangan rasional adalah sembarang bilangan yang dapat ditunjukkan oleh pembagian dua bilangan bulat p/q, untuk q * 0 serta p dan q merupakan bilangan bulat. Pengembangan kaidah-kaidah perpangkatan untuk pangkat suatu bilangan pecahan (yaitu bilangan rasional) menghendaki agar bentuk ap/q didefinisikan sesuai dengan kaidah-kaidah perpangkatan yang berlaku. Misalnya, ada suatu ekspresi dalam bentuk a11 ndan berlaku kaidah (am)n maka dengan menganggap m = 1/n akan berlaku pula: (alln)n = an/n =a Bentuk a11 n disebut akar pangkat n dari a dan disimbolkan *- Contoh: 1. a 112 menunjukkan akar kuadrat dari a atau hanya disebut akar dari a dan ditulis 1:);. atau hanya J;.
  • 45. 2.6 MATEMATIKA EKONOMI e 2. a113 menunjukkan akar pangkat tiga dari a dan ditulis ~ . 3. a314 menunjukkan akar pangkat empat dari a pangkat tiga dan ditulis if;l. Seperti telah disebut di atas, bentuk a112 dapat ditulis menjadi .J; dan a110 dapat ditulis *-. Lebih umum lagi untuk bentuk am/n dapat ditulis menjadi: am/n= n am Dengan cara seperti itu maka ekspresi dalam bentuk eksponensial dapat diubah menjadi bentuk akar dan begitu pula sebaliknya. Contoh: 1. 2. 3. 4. 82/3 = :if82= 3(23)2= 4 4x213 =4~ w =42/3 3 - 3 -2/4- X 4 2 X Kaidah-kaidah Akar mln _ nlm ~ a -a m a.b = rif;..r4b rif;.=allm a rif;.m- =- b r4b Contoh: 1. ~= W =22/3 2. 3 216 = ~8.27 = @ .ifii= 6 3. ~ = 161/4= 24/4 = 2 4. 3# =if26=2
  • 46. e ESPA41 22/MODUL 2 2.7 5. C. LOGARITMA Logaritma merupakan bentuk perpangkatanjuga. Secara definisi, logaritma menunjukkan pangkat yang dimiliki oleh suatu basis sehingga bentuk perpangkatan itu nilainya sama dengan bilangan tertentu. Dengan menggunakan simbol maka bila ada: y = an untuk a > 0 dan a i:- 1 maka n merupakan logaritma dari y dengan basis a atau ditulis : n = alog y Kaidah-kaidah Logaritma Untuk setiap bilangan riil positifx dan y, setiap bilangan riil r dan bilangan riil positif b = 1, berlaku: 1. alog X.y = alog X+ alog y 2. alog x/y = alog X- alog y 3. alog xr = r alog X 4. alog X= alog b . blog X 5. alog b . blog a = 1 a 1 atau ( log b) = - b - - 6. alog a= 1 7. alog 1 = 0 Contoh: 1. 2 log (8 . 16) = 2 log 8 + 2 log 16 =3+4=7 ( log a) 2. slog (625/125) = slog 625 - slog 125 =4-3=1 3. 10 log 1000 = 10 log 103 = 310 log 10 = 3
  • 47. 2.8 MATEMATIKA EKONOMI e 4. Mengubah basis 2 menjadi basis 4 2 log 16 = 2 log 4 . 4 log 16 = 2 . 2 = 4 5. 6 log 6 = 1 6. 8 log 1 = 0 Seperti telah disebutkan di atas, nilai a sebagai basis harus merupakan bilangan yang positifdan tidak sama dengan satu. Dari sekian banyak bilangan, yang paling banyak digunakan sebagai basis adalah 10 dan e = 2,7182818. Logaritma yang mempunyai basis angka 10 dinamakan logaritma persepuluhan atau logaritma Brigg, sedangkan logaritma dengan basis e yang nilainya e = 2,7182818 dinamakan logaritma alam atau logaritma Napier. Logaritma Brigg ditulis 10 log x atau hanya log x tanpa mencantumkan basisnya. Sementara itu, logaritma Napier menggunakan simbol ln x. Baik logaritma Brigg maupun Napier, keduanya tunduk pada kaidah-kaidah seperti yang telah ditulis di atas. Contoh: 10 2 1. log 3 =log 102 -log 103 = 2- 3 = -1 10 2. log 100 =log 10 2 = 2 3. log ifW1 =log 10113 = 1/3 4. log 103 = 3log 10 = 3 5. ln e = 1 6. ln ~ 2 = ln e 112 = 1/2 7. ln 1 = 0
  • 48. e ESPA41 22/ MODUL 2 ..--- ---._ ,.,..,.hi -6 • --- =-- ~ . LATIHAN 2.9 Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Sederhanakan ekspresi berikut ini: 1) 4-2 . 43 2) (23)2 3) (4y)2 4) (12. 5)2 5) 6) 7) 8) 4 2 X y 3 3 X y 33 - 2 42 9) (4-1)3 10) (103 ) 2 11) - 2 2xz-2 3yz-3 12) X y 13) 3x-1 (3y) 14) (3xr1 (2y) -2 -3 15) X y X -4y -l - 2 3 2 16) (3x)2 + (5y)0 17) (2xr] (y)2(y-1)2 Gambarkan fungsi berikut: 18) y=2x 19) Y =22 x
  • 49. 2.10 Untuk a= 1, 2, e dan 10 Sederhanakan ekspresi berikut ini: 21) 25112 22) 16314 23) 32-215 24) 625114 25) 16-114 26) 8 -2/3 Ubahlah ke bentuk perpangkatan: 27) (~) 2 28) 5 if5 30) X -112y- l/ 4 Ubahlah ke bentuk akar: 31) 2X 213 32) x113y -114 33) (3X)415 34) x -112y -114 35) 4X-115 Sederhanakan ekspresi berikut ini: 36) 4 log (4.32) 37) 8 log 64-3 38) 5 log (25/625) 39) 3 log (1/27) 40) 7 log (49/343) Tukar basisnya dengan yang ditunjukkan berikut: 41) 25 log 625 dengan basis 5 42) 64 log 8 dengan basis 2 MATEMATIKA EKONOMI e
  • 50. e ESPA41 22/ MODUL 2 2.11 43) 9 log 243 dengan basis 3 44) 3 log 81 dengan 9 45) 4 log 2 dengan basis 16 Petunjuk Jawaban Latihan 1) 4 2) 26 3) 16y2 4) 602 5) 9x2 25y2 6) 34 6·X 7) X y 8) 44 36 9) 1 43 10) 106 11) 9y2 4x2 z2 12) 36y4 29x6 13) 9y X 14) 2y 3x 2 15) X y2 16) 9x2 +5 1 17) 2x 18) Gambar fungsi y =2x
  • 51. 2.12 MATEMATIKA EKONOMI e y 0 X 19) Gambar fungsi y = 22 x y 0 X
  • 52. e ESPA41 22/ MODUL 2 2.13 20) Gambar fungsi y =ax untuk a= 1, 2, e dan 10 y a=1 0 X 21) 5 22) 8 23) _!__ 4 24) 5 25) 1 2 26) 1 4 27) 12 5 - 28) 56 1 - 29) x3 1 - y2 30) 1 1 1 - - x2y4 31) 2~
  • 53. 2.14 32) ~ ifY 33) 1(3x) 4 1 34) (~)(ifY) 4 35) $ 36) 4 log (4.32) = 3 4 log 2 37) 8 log 64-3 = -6 38) slog (25/625) = -2 39) 3 log (1/27) =-3 40) 7 log (49/343) = -1 41) 2 slog 625 =slog 25 42) 64 log 8 =2 log 4-1 43) 9 log 243 =(Y2) 3 log 243 44) 3 log 81= 2. 9 log 81 45) 4 log 2 = 2. 16 log 2 . RANGKUMAN MATEMATIKA EKONOMI e ' - - - - - - - - - - - - - - - - - Perpangkatan merupakan suatu bentuk singkat dari bentuk perkalian sesuatu yang sama lebih dari satu kali. Bentuk akar merupakan pengubahan bentuk perpangkatan dengan pangkat bilangan pecahan, demikian juga sebaliknya, bentukperpangkatan dapat ditemukan dari bentuk akar. Pengakaran memiliki sifat-sifat sebagai berikut. ~ =an/rn rn a.b = ~.'Ifb ~=allm a~m - = - b 'ib
  • 54. e ESPA41 22/ MODUL 2 2.15 Logaritma merupakan proses penentuan pangkat apabila bilangan dasar dan nilai perpangkatan telah diketahui. Sifat-sifat dasar logaritma yang dapat digunakan dalam operasi logaritma adalah: 1. alog x.y = alog X+ alog y 2. alog x/y = alog X - alog y 3. alog Xr = f a log X 4. alog X = alog b . blog X 5. alog b . blog a = 1 atau (•tog b)= b 1 ( log a) 6. alog a= 1 7. alog1=0 TES FDRMATIF 1 Pilihlah satu j awaban yang paling tepat! 1) 6-2 . 63 A. 12 B. 18 C. 6 D. 6 2) (63)2 A. 66 B. 63 C. 62 D. 36 3) (16 . 6)2 A. 692 B. 962 C. 1612 D. 362 2 4) 4x 6y A. 8x2 12y2
  • 55. 2.16 MATEMATIKA EKONOMI e B. 8x2 36y2 C. 16x2 36y2 D. 16x2 12y2 5) (43.x3)2 A. 43 6·X B. 46 6 ·X C. 49 6·X D. 45 5·X 53 - 2 6) 72 A. 54 76 B. 76 54 C. 56 74 D. 74 56 7) (123 ) 2 A. 123 B. 126 C. 122 D. 125 8) 32-215 = A. 1/2 B. 1/4 C. 1/8 D. 1/16
  • 56. e ESPA41 22/ MODUL 2 2.17 9) 16-114 A. 1/2 B. 1/4 C. 1/8 D. 1/16 10) 5 :if'S 3 - A. 5 4 4- B. 5 5 5- C. 5 6 6- D. 5 7 11) JJx JY 1 - x 3 A. 1 - y2 x3 B. y2 X - 3 C. y- 2 1 - - X 3 D. 1 - - y 2 12) (3X) 415 = A. ~..--·(3-x)-5 B. J(3x)-5
  • 57. 2.18 C. ~(3x)-4 D. 1 (3x) 4 13) x -ll2y-ll4 A. (~)(1Y) B. 1 C. ( x-1 )(1Y) 1 D. 14) 8 log 64-3 A. 6 B. -6 C. 8 D. -8 15) 5 log (25/625) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 16) Hasil tukar basis 64 log 8 dengan basis 2 A. 2 log 2-1 B. 2 log 4-1 C. 2 log 6-1 D. 2 log 8-1 MATEMATIKA EKONOMI e
  • 58. e ESPA41 22/MODUL 2 2.19 Cocokkanlahjawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglahjawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Jumlah Jawaban yang Benar Tingkat penguasaan = -----------x 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% =cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80o/o atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.
  • 59. 2.20 MATEMATIKA EKONOMI e KEGIATAN BELA&JAR 2 Banjar dan Deret A. BANJAR Banjar dapat didefinisikan sebagai suatu fungsi yang wilayahnya merupakan himpunan bilangan alam. Setiap bilangan yang merupakan anggota suatu banjar dinamakan suku. Bentuk umum dari banjar adalah: di mana suku ke 1 = sl = al suku ke 2 = s 2= a2 suku ke 3 =s 3=a3 • • • • suku ke n =Sn =an Banjar di atas dapat disimbolkan dengan [an] sehingga kalau ditulis lagi dengan lengkap menjadi: Suatu banjar yang tidak mempunyai akhir atau banyaknya suku tidak terbatas dinamakan banjar tak terhingga, sedangkan banjar yang banyaknya suku tertentu dinamakan banjar terhingga. Bilangan alam yang terdapat pada suatu banjar pada umumnya tersusun secara teratur dengan suatu pola tertentu. Dengan memperhatikan pola yang terdapat pada suku-sukunya, banjar dapat dibedakan menjadi banjar hitung, banjar ukur, dan banjar harmoni. Banjar hitung adalah banjar yang antara dua suku berurutan mempunyai selisih yang besarnya sama. Jadi, suatu banjar [an] = ab a2, a3 ' ..... an
  • 60. e ESPA41 22/ MODUL 2 akan disebut dengan banjar hitung apabila a2 - a1 =b a3 - a2 =b a4 - a3 =b ••• an- an-1 =b 2.21 di mana b merupakan beda yang besarnya tetap dan dapat bernilai positif atau negatif. Contoh: 1. [n] =1 , 2 , 3 , 4, . . . . . n b =Sn - Sn-1=1 2. [5n] =5 , 10 , 15, 20, ... 5n b =Sn - Sn-1=5 3. [12 - 2n] =10 , 8 , 6 , 4 , .... (12 - 2n) b =Sn - Sn-1=-2 Banjar ukur adalah banjar yang antara dua suku berurutan mempunyai basil bagi yang sama besarnya. Jadi untuk banjar: [an] = a1' a2 ' a3 ' . . . . . an akan disebut sebagai banjar ukur kalau s21s1 = p s31s2= p • • • Sn I Sn-1= p di mana p merupakan nilai banding (=rasio) yang besarnya tetap dan dapat bertanda positif atau negatif. Contoh: 1. 2. [ n-1] 2 n-1ap =a , ap , ap , . . . ,ap [5. 2n-l] = 5 , 10 , 20, 40, ...., 5(2n-l) Banjar harmoni adalah banjar yang sukunya merupakan kebalikan dari suku banjar hitung.
  • 61. 2.22 MATEMATIKA EKONOMI e Contoh: 1 1 1 1 1 1. -=1,-,-,-, ... , n 2 3 4 n 2. 1 1 1 1 1 1 -= 5 ' 10 ' 15 ' 20 ' ···' 5n5n B. DERET Bila suku-suku pada suatu banjar dijumlah makajumlah tersebut dinamakan deret. Jadi, deret merupakan penjumlahan semua suku suatu banjar. Seirama dengan pembedaan banjar maka deret dapat dibedakan menjadi deret hitung, deret ukur, dan deret harmoni. Deret hitung merupakan jumlah suku-suku banjar hitung, deret ukur merupakanjumlah suku-suku banjar ukur, dan deretharmoni merupakanjumlah suku-suku banjar harmoni. Contoh: 1. 2. 3. Deret hitung : 1 + 2 + 3 + ... + n Deret ukur : 5 + 10 + 20 + .. + 5(2°-1 ) D h . 11 1 1 eret armon1 : +- +- +... +- 2 3 n Oleh karena sampai saat ini belurn ditemukan rumus untuk menjumlahkan deret harmoni maka untuk selanjutnya, deret harmoni tidak akan dibahas. Secara umum, suatu deret dapat ditulis sebagai: Jn= a1 + a2 + a3 + . . . . + an Untuk menyingkat cara penulisan, dapat dipakai tanda L dan dibaca "sigma" sehingga deret dapat ditulis menjadi: dan n L ai untuk deret terhingga i=l L ai untuk deret tak terhingga i=l
  • 62. e ESPA41 22/MODUL 2 2.23 Deret ukur dan deret hitung sering digunakan dalam matematika ekonomi. Sebagai contoh, Malthus, seorang ahli ekonomi teori, pernah menyatakan bahwa penduduk mempunyai kecenderungan untuk tumbuh seperti deret ukur, sedangkan bahan makanan tumbuh menurut deret hitung. Anda telah mengenal deret ukur dan deret hitung maka pernyataan Malthus tersebut mengandung arti bahwa pertumbuhan penduduk sangat cepat dan lebih cepat dibanding pertumbuhan makanan. Apabila a adalah suku pertama suatu banjar dan b adalah beda antara dua suku yang berurutan maka sesuai dengan pengertian deret hitung: suku pertama = a suku kedua = a + b suku ketiga = a + 2b suku keempat = a + 3b • • • • • suku ken= a+ (n- 1)b = Sn Jadi suku ke n suatu banjar hitung, ditentukan oleh Sn =a+(n-1)b Deret hitung jumlahnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus: 1 J == -n(a +Sn) 2 di mana n = banyaknya suku a= suku pertama Sn = suku ken Contoh: Jika ingin mengetahui suku ketujuh suatu banjar hitung yang suku pertamanya = 1 dan beda = 2 adalah: Sn = a + (n - 1)b = 1 + (7- 1)2 =13
  • 63. 2.24 MATEMATIKA EKONOMI e Deret bitung dengan jumlab tujub suku tersebut adalab: 1 1 == -n(a +Sn) 2 1 J==-7(1+13) 2 =49 Selain banjar bitung, kita telab mengenal banjar ukur. Suatu banjar ukur ditandai oleb banjar yang basil bagi suatu sukunya dengan suku sebelumnya merupakan bilangan konstan, atau suku suatu banjar ukur diperoleb dari basil kali suku sebelumnya dengan suatu pengali yang besarnya konstan. Bila suatu banjar ukur memiliki suku pertama a dan pengali sebesar p maka secara matematis dapat ditulis: suku pertama = a suku kedua = ap suku ketiga = ap 2 • • • suku ke n =apn-1 =Sn Jadi suku ken suatu banjar ukur ditentukan oleb Sn =apn-1 Jumlab n suku suatu deret ukur dapat ditentukan dengan rumus 1-pn a-pSn J==a-- 1-p 1-p Rumus di atas tidak berlaku untuk p = 1. Pada kasus p = 1, telab diketabui bahwa satu dipangkatkan berapa saja hasilnya adalah satu, sehingga suku ken nilainya akan sama dengan suku pertamanya sehingga jumlab n sukunya sama dengan basil kali antara a dengan n. Bila Ip I < 1 dan jumlab sukunya tak terbingga maka jumlabnya dibitung dengan menggunakan rumus: 1= a 1- p
  • 64. e ESPA41 22/ MODUL 2 2.25 Contoh: Bila ada suatu banjar ukur yang suku pertamanya a= 1 dan pengalinya p = 2 maka besarnya suku ke-5 adalah: Sn = apn-1 S5 =1(25 - 1 ) =16 dan jumlah 5 sukunya adalah: 1- pn a- pSn J=a = 1-p 1-p 1-2.16 1-32 =1 =-- 1- 2 -1 = 31 C. PENERAPANPADAEKONOMI 1. Bunga Pinjaman Bunga pinjaman selama setahun atau kurang, sering dihitung dengan menggunakan cara yang sederhana, yaitu bunga yang hanya dikenakan pada jumlah pinjaman. Jumlah yang dipinjam ini untuk selanjutnya akan disebut dengan pokok pinjaman. Jika besarnya pokok pinjaman adalah P dengan bunga sebesar r persen setahun dan lama meminjam adalah t tahun maka besarnya bunga yang harus dibayar, yaitu I adalah hasil perkalian antara pokok pinjaman dan bunga dan lama meminjam, atau I= P.r.t Contoh: Berapakahjumlah yang harus dikembalikan oleh seseorang yang meminjam uang sebanyak Rp2.500,- pada tanggal5 Juni 1992 dan dikembalikan pada tanggal 5 Februari 1993 dengan bunga sebesar 14 persen? Mulai tanggal5 Juni 1992 sampai 5 Februari 1993 ada 8 bulan, atau waktu peminjamannya 8/12 = 2/3 tahun. Besarnya bunga pinjaman: I= P.r.t = 2500 (0,14) (2/3) = 233,33
  • 65. 2.26 MATEMATIKA EKONOMI e Jurnlah yang harus dikembalikan adalah pokok pinjaman ditambah dengan bunga, atau Rp2.500,- + Rp233,33,- = Rp2.733,33,- 2. Nilai Sekarang Nilai sekarang dari jurnlah yang diperoleh di masa mendatang atau sering pula disebut dengan present value adalah nilai sejurnlah uang yang saat ini dapat dibungakan untuk memperoleh jurnlah yang lebih besar di masa mendatang. Misalkan, P adalah nilai sekarang dari uang sebanyak A pada t tahun yang akan datang. Bila kemudian diumpamakan tingkat bunga adalah r maka bunga yang dapat diperoleh dari P rupiah adalah: I= P.r.t dan uang setelah t tahun menjadi: P + P.r.t = P(1 + rt) Oleh karena A adalah nilai uang sebanyak P pada t tahun mendatang maka atau P(1 + rt) =A P= A 1+rt Contoh: Setahun lagi, Asbun akan menerima uang sebanyak Rp10.000,-. Berapakah nilai sekarang uang tersebut jika tingkat bunga adalah 13 persen setahun? Dalam masalah ini, A= 10.000, r = 0,13 dan t = 1 p = 10.000 1+(0,13)(1) = 8849,56 3. Bunga Majemuk Bunga sederhana seperti yang dibahas sebelumnya adalah bunga yang umumnya diterapkan untuk pinjaman dalam jangka waktu satu tahun atau kurang. Dengan bunga majemuk, bunga selain dikenakan pada pokokpinjaman,
  • 66. e ESPA41 22/MODUL 2 2.27 juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan. Misalkan, seseorang membungakan uangnya sebanyak P dengan bunga sebesar i per tahun. Setelah satu tahun, ia mendapatkan bunga sebesar: bunga tahun pertama =P.i Bunga dan pokok pinjaman pada akhir tahun menjadi: P + P.i =P(l + i) Jumlah sebanyak itu, menjadi pokok pinjaman yang baru sehingga pada akhir tahun kedua bunga yang diterima sebesar: P(l + i)(i) Jumlah uang keseluruhan sekarang menjadi; P(l + i) + P(l + i)(i) = P(l + i)(l + i) =P(l + i) 2 Dengan cara yang sama maka di tahun ketiga seluruh uangnya menjadi = P(l + i) 3 dan dalam n tahun seluruh uangnya menjadi =P(l + i)n Penggandaan uang atau penghitungan bunga dapat dilakukan lebih dari satu kali dalam setahun. Misalkan, pembayaran bunga dilakukan dalam m kali setahun (dalam 5 periode setahun), pada tingkat bunga i per tahun maka tingkat bunga setiap periode adalah i/m dan jumlah periode pembungaan (penghitungan bunga) adalah sebanyak n x m. Seandainya, bunga yang diperoleh dibungakan lagi selama n periode maka rumus yang digunakan untuk menghitung seluruh uangnya menjadi: • n.m A=P 1+ 1 m
  • 67. 2.28 MATEMATIKA EKONOMI e Contoh: -- _ !.,.._ ~ Misalkan ada uang sebanyak Rp1.000,- dibungakan selama 6 tahun dengan bunga majemuk sebesar 5 persen per tahun dan diambil setahun sekali maka berapakahjumlah uang tersebut setelah 6 tahun? Dari rumus • n.m A=P 1+ 1 m P = 1000 i = 5% = 0 05 m = 1 dan n = 6' ' ' ' . Jumlah uangnya setelah 6 tahun menjadi: A= 1000 1+ O,OS 6 .1 1 = 1000(1,05)6 = 1000(1,34010) = 1340,10 LATI HAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Bila suku pertama deret hitung adalah 2 dan bedanya tiga, hitunglah suku ke-5 dan suku ke-8! 2) Bila suku kelima dari suatu deret hitung ditambah dengan suku ketiganya sama dengan 22 dan suku kelima dikurangi dengan suku ketiga sama dengan empat, maka berapakah nilai suku keempatnya? 3) Badu meminjam uang sebanyak Rp 100.000,- dengan bunga sebesar 18 persen per tahun. Berapa lamakah ia meminjam uang tersebut kalau bunga yang kemudian harus dibayar ternyata sebanyak Rp27.000,-? 4) Godril memiliki uang sebesar Rp500.000,-. Berapakah nilai uang tersebut pada lima tahun yang akan datang hila tingkat bunga per tahun adalah 17 persen? 5) Paijo pada saat berumur 10 tahun pernah menyimpan uang di bank sebanyak Rp2.000,- dengan bunga majemuk sebesar 15 persen yang dibayar
  • 68. e ESPA41 22/MODUL 2 2.29 oleh bank setiap bulan. Kini Paijo berumur 25 tahun dan ingin mengambil uang simpanannya itu. Berapajumlah yang akan diterima Paijo? Petunjuk Jawaban Latihan 1) suku ke 5 = 14 dan suku ke 8= 23 2) Suku ke 4 = 11 3) 4) 5) 1,5 tahun. Rp 925.000,-. Rp 16.274,12 Banjar Hitung merupakan banjar yang memiliki pola perubahan tambah dengan besar tambahan tetap. Nilai sukunya mengikuti Rumus: Sn =a+ (n- 1) b atau Sn=k-(n-1)b Deret hitung merupakan jumlah suku-suku banjar hitung. Deret ditentukan dengan Rumus-rumus: Jn = n.a + {1 + 2 + 3 + ... + (n- 1)} b Jn = n.k- {1 + 2 + 3 + ... + (n- 1)} b Jn= n(a+k) 2 Banjar Ukur merupakan banjar yang memiliki pola perubahan kelipatan yang tetap. Faktor pelipat disimbolkan dengan p dan banjar ukur biasa disajikan dalam bentuk: 2 (n-1) a, ap, ap , ..., ..., ..., ap Nilai suku banjar ukur mengikuti rumus: Sn =a . p(n-1) Deret ukur merupakan jumlah suku-suku banjar ukur. Ditentukan dengan rumus: Jn = a+ ap 1+ 2 + ... + (n-1) atau dengan
  • 69. 2.30 MATEMATIKA EKONOMI e (1- rn) Jn= a--- 1-r TES FORMATIF 2 Pilihlah satu j awaban yang paling tepat! 1) Bila suku pertama deret hitung adalah 5 dan bedanya tiga, hitunglah suku ke-6 dan suku ke-9! A. suku ke-6 =16 dan suku ke-9 = 26 B. suku ke-6 = 20 dan suku ke-9 = 29 C. suku ke-6 =17 dan suku ke-9 =27 D. suku ke-6 = 19 dan suku ke-9 = 29 2) Bila suku ketiga deret hitung adalah 8 dan bedanya empat, hitunglah suku ke-7 dan suku ke-11 ! A. suku ke-7 =16 dan suku ke-11 =26 B. suku ke-7 =20 dan suku ke-11 =29 C. suku ke-7 =24 dan suku ke-11 =40 D. suku ke-7 = 16 dan suku ke-11 = 36 3) Bila suku ke empat dari suatu deret hitung ditambah dengan suku ke duanya sama dengan 20 dan suku ke empat dikurangi dengan suku ke dua sama dengan lima, maka berapakah nilai suku ke tiganya? A. 5 B. 15 C. 20 D. 10
  • 70. e ESPA41 22/MODUL 2 4) Kemungkinan fungsi persamaan dari gambar di bawah ini adalah .... y 0 X A. Y =22x B. y =x2 + 2 C. y =x 3 + 2x D. y = x3 +2x 2 +5 2.31 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. Jumlah Jawaban yang Benar Tingkat penguasaan = - - - - - - - - - - - x 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90- 100% =baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% =cukup < 70% =kurang
  • 71. 2.32 MATEMATIKA EKONOMI e Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.
  • 72. e ESPA41 22/ MODUL 2 Tes Formatif1 1) D 2) A 3) B 4) c 5) B 6) D 7) B 8) B 9) A 10) c 11) A 12)D 13) c 14) B 15) A 16) B 2.33 Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif2 1) B 2) c 3) D 4) A
  • 73. 2.34 MATEMATIKA EKONOMI e Daftar Pustaka Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Tume. (1996). Mathematical Economics. The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher. Haeussler, Ernest F. and RichardS. Paul. (1996). Introductory Mathematical Analysisfor Business Economics, and The Life and Social Sciences. Eighth Edition. Prentice Hall International Inc. Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis Stengos. (1996). Mathematics for Economics. Addison-Wesley Publisher Limited. Jacques, Ian. (1995). Mathematics for Economics and Business. Second Edition. Addison-Wesley Publishing Company. Silberberg, Eugene and Wing Suen. (2001). The Structure of Economics a Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill. Weber, Jean E. (1982). Mathematical Analysis: Business and Economic Applications. New York: Harper & Row.
  • 74. MDDUL 3 Fungsi Dr. Wahyu Widayat PENDAHULUAN alam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lain-lain. Hubungan kait-mengait antara variabel yang satu dengan variabel yang lain ditunjukkan oleh suatu fungsi. Penjelasan mengenai fungsi serta kegunaannya dalam ekonomi akan Anda jumpai di dalam modul ini. Modul ini dimulai dengan penjelasan mengenai sumbu koordinat dan cara- cara menggambar grafik dari suatu fungsi, meskipun Anda mungkin pernah mempelajari bagaimana mencari persamaan suatu garis lurus dari beberapa titik yang diketahui, dalam modul ini hal tersebut akan dibicarakan lagi sehingga Anda akan lebih memahami konsep ini. Seperti disebutkan di atas, bahwa kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi yang saling mempengaruhi, dan proses saling mempengaruhi ini dapat diselidiki dengan menggunakan fungsi maka pendalaman terhadap materi ini bukanlah merupakan pekerjaan yang sia-sia. Fungsi yang akan dibicarakan dalam modul ini dilandasi oleh teori himpunan yang terdapat dalam modul sebelumnya. Penjabaran-penjabaran dari fungsi selanjutnya, akan dibahas dalam modul-modul berikutnya. Dengan mempelajari modul ini, secara umum Anda diharapkan mampu untuk memahami fungsi linear beserta penggunaannya dalam ekonomi. Setelah selesai mempelajari modul ini, secara khusus Anda diharapkan dapat: 1. menjelaskan pengertian fungsi; 2. menjelaskan pengertian konstanta; 3. menjelaskan pengertian variabel; 4. menjelaskan pengertian fungsi linier; 5. menentukan persamaan garis dengan metode dua titik; 6. menentukan persamaan garis dengan metode satu titik dan kemiringannya; 7. menentukan persamaan garis dengan penggal garis; 8. menentukan hubungan dua garis lurus;
  • 75. 3.2 MATEMATIKA EKONOMI e 9. menjelaskan konsep metode eliminasi; 10. menghitung dengan konsep metode eliminasi; 11. menjelaskan konsep metode substitusi.
  • 76. e ESPA41 22/ MODUL 3 3.3 KEGIATAN BELA&JAR 1 Konsep Fungsi A. LETAK SUATU TITIK Suatu titik yang terletak di sebuah bidang datar dapat ditentukan letaknya dengan menggunakan garis penolong yang disebut Sumbu Koordinat. Sumbu koordinat adalah garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus. Garis yang horizontal biasanya disebut sumbu x dan yang vertikal disebut sumbu y. Dikatakan biasanya, sumbu tersebut tidak harus dinamakan dengan x dan y. Dalam literatur ekonomi, sumbu x sering dinamakan sumbu Q dan sumbu P untuk sumbu y. Perpotongan antara sumbu x dengan sumbu y disebut titik origin atau titik asal atau titik nol. Disebut demikian, karena jarak pada sumbu selalu dihitung mulai dari titik asal ini. Simbol untuk origin adalah 0. + y Kuadran II 0 Kuadran Ill Diagram 3. 1. Kuadran I + X Kuadran IV Sumbu x yang ada di sebelah kanan 0 dan sumbu y yang berada di atas 0 digunakan untuk nilai yang positif dari himpunan nilai x di sumbu x dan nilai y di sumbu y, sedangkan untuk himpunan nilai yang negatif digunakan sumbu x yang berada di sebelah kiri 0 dan sumbu y yang berada di sebelah bawah 0. Sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat bagian. Setiap bagian dinamakan kuadran. Masing-masing kuadran diberi nomor secara berurutan dimulai dari bidang sebelah atas kanan sebagai kuadran I, kemudian dengan arab menurut kebalikan arab putaran jarumjam ditentukan kuadran II, kuadran III dan IV (lihat gambar di atas). Jadi, suatu bidang datar dibagi oleh sumbu koordinat menjadi empat kuadran.
  • 77. 3.4 MATEMATIKA EKONOMI e Suatu titik, yang sebidang dengan sumbu koordinat, letaknya ditentukan oleh suatu pasangan urut (x, y). Anggota pertamanya dinamakan koordinat x atau absis dan anggota keduanya dinamakan koordinat y atau ordinat. Suatu titik (a,b) yang mana a> 0 dan b > 0 menunjukkan bahwa x =a dan y =b. Titik ini dapat dilukiskan dengan bergeser dari origin a unit ke kanan dan b unit ke atas. Titiknya ditentukan oleh perpotongan dua garis yang ditarik dari kedudukan yang baru karena pergeseran tadi dan sejajar dengan sumbu koordinat. Contoh: Titik (3,2) menunjukkan bahwa x = +3 dan y = +2. Titik ini didapat dengan bergeser ke kanan 3 unit dari origin dan dibuat garis yang sejajar sumbu y, kemudian dari origin bergeser 2 unit ke atas dan dibuat garis yang sejajar sumbu x maka diperoleh letak titik (3,2) pada kuadran I dan selanjutnya titik ini dapat diberi nama, misalnya titik A. Contoh: y 2 ------------, I I I I I I I I I Kuadran I A(3,2) ---+------------------~------x 0 1 2 3 Diagram 3.2. Titik (-2,4) menunjukkan bahwa x = -2, y = +4, dan dapatdiperoleh dengan bergeser dari origin 2 unit ke kiri (ke arah negatif) dan kemudian 4 unit ke atas maka diperoleh letak titik (-2,4) pada kuadran II dan misalnya titik ini dinamakan titik B.
  • 78. e ESPA41 22/ MODUL 3 3.5 y B(-2,4) 4~-------- I I I I 3 I I I Kuadran II I 2 I I I I 1 I I I X -2 -1 0 Diagram 3.3. Contoh: Titik (-4,-4) menunjukkan bahwa x = -4, y = -4 dan gambarnya seperti berikut ini: y -4 -3 -2 -1 ------------~------------------------~~-----x Kuadran Ill I I I I I I I I I I I I I 1 2 3 C(-4,-4) 1---------------- 4 Diagram 3.4.
  • 79. 3.6 MATEMATIKA EKONOMI e B. PENGERTIAN FUNGSI Fungsi didefinisikan sebagai himpunan pasangan urut dengan anggota-anggota pertama pasangan urut yang dinamakan wilayah (domain) dan anggota-anggota kedua pasangan urut yang dinamakan jangkau (range), dihubungkan sedemikian rupa sehingga tidak ada dua pasangan urut yang anggota pertamanya sama. Ada 3 cara untuk menunjukkan suatu fungsi, yaitu: 1. cara daftar lajur; 2. cara penulisan dengan lambang; 3. cara grafik. Contoh-contoh untuk menunjukkan suatu fungsi dengan cara-cara tersebut di atas adalah sebagai berikut. Contoh: Fungsi ditunjukkan dengan cara daftar lajur. X y 1 -1 2 0 3 3 4 8 5 15 Lajur pertama mengandung elemen-elemen pertama pasangan urut dan lajur kedua mengandung elemen kedua pasangan urut. Perhatikan di sini, pada daftar lajur tersebut tidak terdapat pasangan urut yang anggota pertamanya sama. Anggota kedua pada himpunan pasangan urut bisa terjadi sama. Contoh: Fungsi ditunjukkan dengan cara lambang: 1. y =x2 - 2x atau 2. f(x) = x2 - 2x atau 3. f(x, y) ialah fungsi yang pasangan urutnya (x, x2 - 2x) atau 4. {(x, y) Iy = x2 - 2x}
  • 80. e ESPA41 22/MODUL 3 3.7 Cara penulisan dengan lambang yang sering dipakai adalah cara a atau b karena lebih singkat hila dibandingkan dengan cara yang lain. Contoh: Fungsi ditunjukkan dengan cara grafik. Misalkan, fungsi yang akan dilihat grafiknya adalah y =x2 - 2x. Agar grafiknya dapat dilukis maka harus dibuat dahulu daftar lajurnya, kemudian menentukan letak titik-titiknya menurut pasangan urutnya. Grafik dari fungsi diperoleh dengan menghubungkan titik-titik tersebut. X y -2 8 -1 3 0 0 1 -1 2 0 3 3 4 8 y -----------0~--~~----------x Diagram 3. 5.
  • 81. 3.8 MATEMATIKA EKONOMI e C. KONSTANTA DAN VARIABEL Suatu fungsi biasanya terdiri dari konstanta dan variabel. Konstanta adalah jumlah yang nilainya tetap dalam suatu masalah tertentu. Konstanta dapat dibedakan menjadi konstanta absolut dan konstanta parametrik atau parameter. Konstanta absolut, adalah jumlah yang nilainya tetap untuk segala macam masalah, misalnya jumlah penduduk pada tahun tertentu untuk setiap masalah biasanya dianggap sama. Jumlah penduduk Indonesia pada tahun 1997 misalnya sebanyak 200juta. Apabila kemudian ada yang membahas pendapatan perkapita negara Indonesia, atau kesehatan penduduk Indonesia pada tahun 1997 maka jumlah penduduk pada saat itu dianggap sebanyak 200 juta orang. Konstanta parametrik atau parameter adalahjumlah yang mempunyai nilai tetap pada suatu masalah akan tetapi dapat berubah pada masalah yang lain. Variabel adalah jumlah yang nilainya berubah-ubah pada suatu masalah. Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel tak bebas. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya menentukan nilai fungsi, atau himpunan yang anggotanya adalah anggota pertama pasangan urut. Variabel tak bebas adalah variabel yang nilainya sama dengan nilai fungsi setelah variabel bebas ditentukan nilainya, atau himpunan yang anggotanya adalah anggota kedua pasangan urut. Contoh: Pada persamaan garis lurus y =a + bx, maka a dan b adalah konstanta, x adalah variabel bebas dan y adalah variabel tak bebas. Contoh: Pada persamaan garis lurus x + y == 1 , angka 1 adalah konstanta absolut, a a b dan b adalah parameter, x dan y adalah variabel. Dalam matematika murni, biasanya huruf-hurufpermulaan susunan alfabet, seperti a, b, c, d, digunakan untuk lambang parameter, dan huruf-huruf akhir susunan alfabet seperti x, y, z digunakan untuk lambang variabel. Akan tetapi pada matematika terapan banyak pengecualian dari konvensi ini. Variabel sering kali diberi lambang huruf pertama dari namanya. Contohnya, p untuk harga (price), q untuk kuantitas (quantity), c untuk ongkos (cost), s untuk tabungan (saving) dan lain-lainnya.
  • 82. e ESPA41 22/ MODUL 3 3.9 Contoh: Fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan D = 10 - 3P ; D dan P adalah variabel. D menunjukkan demand (permintaan) dan P menunjukkan price (harga). Agar lebih mudah memahami apa yang telah dibahas di atas maka berikut ini diberikan contoh-contoh penggunaannya. Contoh: Gambarkan titik-titik berikut ini pada sistem sumbu koordinat: A(1,6), B(-3,4), C(-4,-5), D(3,-6) B --------I I I I I I I I I I y A--, --------~~------+-~--~------------------X L..----------c -------- Diagram 3.6. Contoh: Gambarkan titik-titik (0,0); (1,1); (2,2) dan (3,3). Tunjukkan bahwa titik-titik tersebut terletak pada sebuah garis lurus.
  • 83. 3.10 MATEMATIKA EKONOMI e y 3 ------------- Diagram 3.7. Bila titik-titik tersebut dihubungkan satu sama lain, ternyata titik-titik terletak pada sebuah garis lurus. Contoh: Hitung jarak antara titik-titik (0,2) dan (-3,-2) y A 2 -3 0 X I I I I I I I I I 2 8 I------------------ 4 c Diagram 3.8.
  • 84. e ESPA41 22/ MODUL 3 3.11 AC = 4, BC = 3 ABC adalah segi tiga siku-siku. Kemudian dengan dalil Phytagoras dapat dihitung: AB == ~AC2 +BC 2 AB == ~16+9 AB == J25 AB= 5 Jadi AB = 5 Contoh: Hitungjarak antara titik-titik (1,1) dan (3,4) y ----------- --------------------i A: C :I I I I I I I I 0~----~----------~ 1 --------- x Diagram 3.9. AC = 2, BC = 3 ABC adalah segi tiga siku-siku. Dengan menggunakan dalil Phytagoras dapat dihitung:
  • 85. 3.12 AB = ~AC 2 +BC 2 AB= ~4+9 AB=.JD MATEMATIKA EKONOMI e Contoh: Apabila diketahui y = f(x) = 4 + x- x2 berapakah f(O), f(-2), f(3), f(-1)? f(O) = 4 + (0) - (0)2 =4 f(-2) = 4 + (-2)- (-2)2 =4-2-4 - 2-- f(3) = 4 + 3 - (3)2 =4+3-9 - 2-- f(-1) = 4 + (-1)- (-1)2 = 4 -1 -1 =2 Contoh: Apabila y = f(x) = 3x /(x 2 -1) 1. Berapakah f(O), f(-3), f(4)? 2. Apakah nilai x = 1 dan x = -1 boleh dimasukkan ke dalam fungsi? a. f(O) =3.0 /(02 -1) =0 f(-3) = 3.(-3)/((-3)2 -1) = -9/8 f(4) = 3.4 /(42 -1) = 12/15 b. Nilai x = 1 dan x = -1 tidak boleh dimasukkan ke dalam fungsi karena f(x) nilainya menjadi tak terhingga. Contoh: Apabila y = ax2 + bx + c, di mana a, b, dan c adalah konstanta. Berapakah f(O), f(a), f(a+b)? f(O) = a.O + b.O + c = c f(1) = a.1 2 + b.1 + c = a + b + c f(a) = a.a2 + b.a + c = a3 + ab + c f(a +b)= a(a+ b)2 + b (a+ b)+ c = a (a2 + 2ab + b2 ) + ab + b2 + c = a3 + 2a2 b + ab2 + ab + b 2 + c
  • 86. e ESPA41 22/MODUL 3 3.13 Contoh: Gambarkan fungsi y = 3 - 2x untuk domain x = -3 sampai x = 4. y X y 3 -3 9 -2 7 -1 5 0 3 1 1 2 -1 3 -3 4 -5 0 1,5 Diagram 3.10. LATIHAN -- - ~ ~ . Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Gambarkan titik-titik berikut ini pada sistem sumbu koordinat: A(4,3), B(3,-4), C(-3,-2), D(-4,2)! 2) Gambarkan titik-titik (0,8), (2,4), (4,0) dan (6,-4)! Tunjukkan bahwa titik-titik tersebut terletak pada sebuah garis lurus. 3) Hitung jarak antara titik A(4,0) dan B(0,3)! 4) Hitung jarak antara titik A(-4,-3) dan B(-2,1)! 5) Apabila f(x) = 9 - x2 , berapakah f(O), f(2), f(-2), f(3)? 6) Dari titik-titik berikut ini, tentukan mana yang terletak di garis 2x+y-9= 0 a. ((0,5),8) b. (4,1) c. (5,2) d. (3,3) e. (9,-9)
  • 87. 3.14 MATEMATIKA EKONOMI e 7) Gambarkan garis-garis berikut ini: a. 4x -3y = 12 b. y = 25- 2x Petunjuk Jawaban Latihan 1) y 3 -------------------------- A(4,3) D(-4,2) 2 r------------------------- ----~--~----------------+-----------------~~~---- X -4 -3 3 4 L---------------------- C(-3,-2) -4 ----------------------- 8(3,-4) 2)
  • 88. e ESPA41 22/ MODUL 3 3) AB= ) 42 +32 . = J25 =5 4) AC = 2 BC=4 y 8 4 0 AB == ~AC2 + BC 2 = ~22 +42 = ~4+16 = ~ =2J5 5) f (x) =9 - x 2 f (0) =9 f (2) = 5 f(-2)=5 f (3) = 0 ---- 3.15 I I I I I I I I I I I 2 4 X 6
  • 89. 3.16 MATEMATIKA EKONOMI e 6) Garis 2x + y - 9 = 0 atau y = 9 - 2x a. untuk x =0,5 maka y =8. Jadi ((0,5),8) terletak pada garis b. untuk x = 4 maka y = 1. Jadi (4,1) terletak pada garis c. untuk x = 5 maka y = -1. Jadi (5,2) tidak terletak pada garis d. untuk x = 3 maka y = 3. Jadi (3,3) terletak pada garis e. untuk x = 9 maka y = -9. Jadi (9,-9) terletak pada garis 7) a) Garis 4x - 3y = 12 Untuk y = 0, maka x = 3 x =0, maka y =4 y 4 0 b. Garis y = 25 - 2x Untuk y = 0, maka x = 12,5 x =0, maka y =25 y 25 3 ~---------X 0 12,5
  • 90. e ESPA41 22/MODUL 3 3.17 Sumbu koordinat adalah dua garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus. Perpotongan antara kedua sumbu tersebut dinamakan titik origin atau titik asal atau titik nol. Sumbu koordinat membagi bidang menjadi 4 kuadran. Suatu titik letaknya ditentukan oleh koordinat X atau absis dan koordinat Y atau ordinat. Fungsi adalah himpunan pasangan urut dan dihubungkan sedemikian rupa sehingga tidak ada dua pasangan urut yang anggota pertamanya sama. Fungsi dapat ditunjukkan dengan 3 cara, yaitu: cara daftar lajur, cara penulisan dengan lambang, dan cara grafik. Konstan adalah jumlah yang nilainya tetap dalam suatu masalah tertentu. Konstan dapat dibedakan menjadi konstan absolut dan parameter. Variabel adalah jumlah yang nilainya berubah-ubah pada suatu masalah. Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel tak bebas. TES FORMATIF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Di bawah ini adalah titik-titik yang terletak pada sebuah garis lurus, kecuali .... A. (0,8) B. (2,4) C. (4,1) D. (6,-4) 2) Jarak antara titik A(4,0) dan B(0,3) adalah .... A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3) Jarak antara titik A(-4,-3) dan B(-2,1) adalah .... A. 2 B. 2J5 C. 4 D. 4J5
  • 91. 3.18 MATEMATIKA EKONOMI e 4) Apabila f(x) = x2 - 5 k + 3, berapakah nilai f(-4) = .... A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5) Apabila f(x) = 9x - x2 , berapakah nilai f(2) - f( 2J5) = ... A. 3(1+3J5) B. 6(1+3J5) C. -3(1+ 3J5) D. -6(1+ 3J5) 6) Titik-titik ( 4,1); (3,3); dan (9,-9) terletak pada .... A. 3x+2y-9= 0 B. 4x+y-10= 0 C. 2x+y-9= 0 D. x+y-9= 0 7) Gambar berikut memiliki rumus fungsi .... y 25 .____ _......a..,..__ _ _ _ _ X 0 12,5 A. 4x -y = 25 B. y = 25- 2x C. 4x + 3y = 25 D. y = 25 - 3x
  • 92. e ESPA41 22/MODUL 3 3.19 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglahjawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Jumlah Jawaban yang Benar Tingkat penguasaan = -----------x 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% =cukup < 70% =kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.
  • 93. 3.20 MATEMATIKA EKONOMI e KEGIATAN BELA&JAR 2 Fungsi Linier entuk umum dari fungsi linier adalah: ax+ by+ c =0 Di mana a, b, dan c adalah konstanta dengan ketentuan bahwa a dan b bersama-sama tidak bernilai nol. Persamaan ini disebut linier, sedangkan grafik persamaan ini merupakan sebuah garis lurus. Koordinat x dan y dari setiap titik (x, y) yang terletak pada garis lurus, harus memenuhi persamaan garis tersebut. Garis lurus yang ditarik melalui titik-titik yang koordinat-koordinatnya memenuhi persamaan disebut grafik persamaan atau lokus persamaan. Cara yang termudah untuk menggambar suatu grafik garis lurus yang diketahui persamaannya adalah dengan mencari penggal-penggal garis sumbu yang dipotong oleh garis lurus tersebut. Panjang penggal garis sumbu diukur dari titik origin sampai titik potong antara garis lurus dengan sumbu-sumbu koordinat. Perpotongan garis dengan sumbu x merupakan suatu titik yang ditentukan oleh pasangan y = 0 pada persamaan garis lurus tersebut. Begitu pula perpotongan garis lurus dengan sumbu y merupakan suatu titik yang ditentukan oleh pasangan x = 0 pada persamaan garis tersebut. Bila kedua titik potong tersebut digambar maka garis lurus yang dicari adalah garis yang melalui kedua titik tersebut. Contoh: Gambarkan garis dengan persamaan 3x + 4y = 12 Langkah pertama adalah mencari titik potong garis dengan sumbu x dan sumbu y. Titik potong dengan sumbu x diperoleh bila y =0. Untuk y =0, maka 3x =12 atau x =4. Jadi titik potong dengan sumbu x adalah (4, 0). Titik potong dengan sumbu y diperoleh bila x = 0 Untuk x = 0 maka 4y =12 atau y =3. Jadi, titik potong garis tersebut dengan sumbu y adalah (0, 3). Kemudian, kedua titik potong tersebut digambar dan dihubungkan
  • 94. e ESPA41 22/MODUL 3 3.21 dengan garis lurus. Garis lurus itu adalah garis yang persamaannya adalah 3x + 4y- 12 =0 dan merupakan garis yang melalui titik (4, 0) dan (0, 3). y 3 3x + 4y = 12 ~--------------------~~------------x 0 4 Diagram 3.11. A. CURAM Setiap garis lurus mempunyai arah. Arah suatu garis lurus ditunjukkan oleh curam (gradien) yang sering disebut kemiringan garis atau slope, didefinisikan sebagai tangens dari sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu x. Apabila titik potong garis tersebut dengan sumbu x adalah titik A, dan sudut yang dibentuk oleh garis dengan sumbu x misalnya, dinamakan sudut a kemudian pada garis tersebut ditentukan sebuah titik sembarang B dan melalui B dibuat garis tegak lurus ke sumbu x dan memotong sumbu x di titik C maka curam garis dapat didefinisikan sebagai: BC m= tga =- AC
  • 95. 3.22 MATEMATIKA EKONOMI e y B a A c X Diagram 3.12. Untuk sudut a yang besarnya lebih dari 90° maka m bernilai negatif sehingga: BC m= tga = - - AC Untuk garis yang sejajar dengan sumbu x, curamnya sama dengan nol atau: m =tg 0 =0 B. BENTUK DUA TITIK Persamaan suatu garis lurus dapat ditentukan bila diketahui koordinat dua titik yang terletak pada garis tersebut atau apabila diketahui curam garisnya dan sebuah titik yang terletak di garis tersebut. Ada beberapa rumus yang dapat digunakan untuk mencari persamaan suatu garis lurus. Rumus mana yang harus digunakan, tentunya tergantung pada masalah yang sedang dihadapi. Garis lurus mempunyai sifat bahwa curam garisnya adalah konstan. Curam dapat ditentukan dengan menggunakan dua titik yang terletak pada sebuah garis lurus. Misalnya, ada dua buah titik sembarang A (x1,y1) dan B (x2,y2) yang terletak di garis lurus (lihat gambar berikut ini).
  • 96. e ESPA41 22/ MODUL 3 y B Y2 ------------------ A Y1 --------- a c --~----~~------~------------------------ y E 0 Diagram 3.13. Curam garis tersebut adalah: m= tga akan tetapi, dengan menggunakan ilmu ukur, dapat dibuktikan bahwa BC BD -=--- EC AD padahal BD = y2 - y1 dan AD = x2 - x1 sehingga: m = tg a = y2 - y1 X 2 - X1 3.23 Selanjutnya, bila diambil sebuah titik sembarang (x,y) dan bersama titik (xby1), digunakan lagi untuk mencari curam garis maka besarnya curam garis adalah: y- yl m= tga = ---- X- X1
  • 97. 3.24 MATEMATIKA EKONOMI e Oleh karena sifat suatu garis lurus mempunyai curam yang konstan maka itu berarti dua curam yang dicari tadi besarnya pasti sama. Jadi, X-xl X 2 -X1 atau dapat ditulis: Persamaan di atas, merupakan persamaan garis lurus yang melalui titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2). Contoh: Cari persamaan garis yang melalui titik (3,2) dan titik (4,5). Misalkan, (x1,y1) =(3,2) dan (x2,y2) =(4,5) y2-yl( ) Y- Y1 = X- X1 X2 - X1 5-2 y- 2= (x- 3) 4-3 y- 2 = 3(x -3) y =3x -9 + 2 atau y = 3x -7 (persamaan yang dicari) Untuk membuktikan bahwa garis tersebut melalui titik (3, 2) dan (4, 5) maka masukkan (3,2) ke dalam y = 3x -7 2 =3(3)-7 2 =2 (terbukti) Masukkan (4,5) ke dalam y =3x -7 5 = 3 (4) -7 5 = 12 -7 5 =5 (terbukti). Oleh karena terbukti melalui (3,2) dan (4,5) maka persamaan y = 3x-7 adalah persamaan yang dicari.
  • 98. e ESPA41 22/MODUL 3 3.25 C. BENTUK PENGGAL GARIS Untuk kasus tertentu di mana titik (xt,y1) merupakan penggal x yang ditunjukkan oleh (a,O) dan titik (x2,y2) merupakan penggal y yang ditunjukkan oleh (O,b) maka persamaan garisnya diperoleh dengan memasukkan x1 =a, y1 = 0 dan x2 = 0, y2 = b ke dalam persamaan: y2-yl( ) y-y~= x-x1 X 2 - X1 b-0 y- 0= (x- a) 0-a b y = (x- a) -a bx ab y= +- -a a bx y= +b -a Jika ke dua ruas dibagi dengan b maka: atau y -X -= +1 b a X y -+-=1 a b dan grafiknya adalah sebagai berikut:
  • 99. 3.26 y b X y -+- =1 a b MATEMATIKA EKONOMI e 0~----------------------------~a-------x Diagram 3.14. Contoh: Cari persamaan garis yang mempunyai penggal (0,5) dan (-4,0). Untuk a= -4 dan b = 5, nilainya dimasukkan ke X y -+-=1 a b Ruas kiri dan kanan persamaan dikalikan 20 -5x + 4y = 20 atau 5x -4y + 20 = 0 Jadi, persamaan 5x -4y + 20 = 0 adalah persamaan yang dicari. D. BENTUK CURAM - TITIK Bentuk ini dapat digunakan untuk menentukan persamaan suatu garis lurus yang diketahui curam garisnya dan titik (xhy1) yang terletak digaris tersebut. Telah dibicarakan bahwa curam garis ditunjukkan oleh persamaan:
  • 100. e ESPA41 22/ MODUL 3 3.27 maka persamaan: dapat ditulis sebagai: Contoh: Cari persamaan garis yang melalui titik (2,5) dan mempunyai curam 3. Nilai m = 3 dan (xby1) = (2,5) dimasukkan ke dalam persamaan: Y- Y1 = m (x - x1) y- 5 =3 (x- 2) y = 3x- 6 + 5 y = 3x- 1 Jadi, persamaan y = 3x -1 adalah persamaan yang dicari. Rumus-rumus di atas tidak dapat digunakan untuk mencari persamaan garis yang sejajar sumbu vertikal karena curam garis vertikal besarnya tak terhingga. Garis vertikal yang melalui titik (x1, y1) mempunyai persamaan: Berbeda dengan garis vertikal, untuk garis horizontal rumus-rumus yang dituliskan tadi masih dapat digunakan. Garis horizontal yang melalui titik (xi, Yt) mempunyai persamaan: Y= Yt
  • 101. 3.28 MATEMATIKA EKONOMI e y y OL..-----L--------x 0 L..-------------x Diagram 3.15a. Diagram 3. 15b. E. GARIS SEJAJAR, TEGAK LURUS, DAN BERPOTONGAN Dua garis lurus yang terletak di satu bidang kemungkinannya dapat saling berimpit, sejajar, tegak lurus, dan berpotongan satu sama lain. Sifat 1: Dua garis lurus akan saling berimpit kalau persamaan garis yang satu merupakan kelipatan persamaan garis yang lain. Sifat 2: Dua garis akan sejajar bila curamnya sama. Sifat 3: Dua garis lurus akan saling berpotongan tegak lurus apabila curam garis yang satu merupakan kebalikan negatif dari curam garis yang lain, atau perkalian kedua curamnya sama dengan -1. Jadi garis y =m1x + b1 dan garis y = m2x + b2 akan berpotongan tegak lurus bila dipenuhi syarat 1 m1 =- atau m1.m2 =-1. ffi2 Sifat 4: Dua garis lurus akan saling berpotongan apabila curamnya tidak sama. Dua garis yang berpotongan, koordinat titik potongnya harus memenuhi ke dua persamaan garis lurus. Koordinat titik potong ini diperoleh dengan mengerjakan kedua persamaan secara serempak.
  • 102. e ESPA41 22/ MODUL 3 3.29 Contoh: Perpotongan antara garis 3x-4y+6=0 dan garis x-2y-3=0 diperoleh dengan mengeleminir x, yaitu mengalikan persamaan ke dua dengan -3 dan menambahkan dengan persamaan pertama. 3X -4y + 6 =0 I X 1 I 3X - 4y + 6 =0 x -2y - 3 = 0 Ix-3 l-3x + 6y + 9 = 0 + 2y + 15 =0 2y =- 15 y =- 7,5 Substitusi y = -7,5 ke dalam persamaan pertama 3X -4 (-7,5) + 6 = 0 3x + 30 + 6 = 0 3x =- 36 X=- 12 Jadi, titik potongnya adalah (-12, -7,5). Untuk menguji kebenarannya, koordinat titik potong ini dimasukkan ke dalam persamaan-persamaan tersebut. Bila memenuhi persamaan maka artinya titik potong tersebut merupakan titik yang dicari. Persamaan 1 : 3 ( -12) -4 (-7,5) + 6 = 0 -36 + 30 + 6 = 0 0=0 Persamaan 2: -12-2 (-7,5) -3 = 0 -12 + 15 -3 = 0 0=0
  • 103. 3.30 ~ ... . ...= ... ~ ...c;:-s_-._ jr -b • ·----- MATEMATIKA EKONOMI e LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik a. (2, 1) dan (4, 5) b. (0, 0) dan (3, 4) c. (-2, 3) dan (2, -3) d. (-5, 2) dan (4, 1) e. (0, 8) dan (5, 0) 2) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4, 3) dan mempunyai curam: a. m =-2 b. m=O c. m= 1 d. m= 6 3) Tunjukkan hubungan (apakah berpotongan, berimpit atau sejajar) antara garis 3x - 4y -8 = 0 dengan garis 3 a. y = -x -2 -2 4 2 b. 2x+ -y+l==O 3 c. y =5- 3x d. 6y =8x + 16 4) Tentukan koordinat titik potong garis y =50 -2x dengan: a. y = 3x 1 b. y =-X + 15 3 C. X -2y + 20 = 0 d. 2y +X= 160 Petunjuk Jawaban Latihan 1) a. b. 4 3y- 4x = 0 atau y ==-x 3
  • 104. e ESPA41 22/MODUL 3 3.31 2) 3) 4) 3 C. y ==--X 2 d. X+ 9y = 13 e. X y - + - == 1 atau8x+5y=40 5 8 a. y = 11- 2x b. y=3 c. y =X- 1 d. y = 6x- 21 a. Berimpit b. berpotongan c. berpotongan d. berpotongan a. x = 10 y = 30 b. X= 15 y=20 c. X= 16 y = 18 d. X= -20 y= 90 Fungsi Linier mempunyai bentuk umum: ax + by + c = 0 di mana a dan b secara bersama-sama tidak bemilai nol. Grafik dari fungsi linier merupakan garis lurus. Setiap garis lurus mempunyai arah yang ditunjukkan oleh curam garis dan didefinisikan sebagai tangens dari sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu x. Persamaan suatu garis lurus dapat dicari apabila diketahui koordinat dua titik yang berada digaris tersebut atau bila diketahui curam garisnya dan sebuah titik. Persamaan garis yang melalui titik A(xr, y1) dan titik B(x2, y2) adalah: y-y1 = y2 -y1 (x-x1) Persamaan garis yang melalui A(a,O) dan B(O,b) adalah X 2-X1 persamaan: ~+1.=1. a b
  • 105. 3.32 MATEMATIKA EKONOMI e Persamaan garis lurus yang curamnya m dan melalui titik (xh y1) adalahpersamaan: y-y1 =m(x-x1 ). Dua huah garis lurus yaitu y = m1x + a dan y = m2x + h akan: herimpit hila m1 = m2dan a = h sejajar hila m1 = m2 herpotongan tegak lurus hila m1 • m2= -1 herpotongan hila m1 -:/: m2 TES FORMATIF 2 Pilihlah satu jawahan yang paling tepat! 1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik (2, 1) dan (4, 5) ; (0, 0) dan (3, 4) .... A. y = 2x - 1 ; 4y- 9x = 0 B. y = 2x- 3 ; 4y- 9x = 0 C. y = 2x - 1 ; 4y- 3x = 0 D. y = 2x - 3 ; 3y- 4x = 0 2) Persamaan garis yang melalui titik (4, 3) dan mempunyai curam m = 6 .... A. y =3x - 21 B. y=4x+21 C. y =6x- 21 D. y = 12x + 21 3) Tentukan koordinat titik potong garis y =50 -2x dengan y = _!_ x +15 .... 3 A. X =15 ; y =10 B. X =25 ; y =10 C. X= 15 ; y = 20 D. X = 25 ; y = 20
  • 106. e ESPA41 22/MODUL 3 3.33 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglahjawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. Jumlah Jawaban yang Benar Tingkat penguasaan = -----------x 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% =cukup < 70% =kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.
  • 107. 3.34 MATEMATIKA EKONOMI e Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif1 Tes Formatif2 1) c 1) D 2) B 2) c 3) B 3) c 4) c 5) D 6) c 7) B
  • 108. e ESPA41 22/ MODUL 3 3.35 Daftar Pustaka Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner. Mathematical Economics, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher. Haeussler, Ernest F. and RichardS. Paul, Introductory Mathematical Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences. Eighth Edition. Prentice Hall International Inc. Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis Stengos. Mathematics for Economics. Addison-Wesley Publisher Limited. Jacques, Ian. Mathematics for Economics and Business. Second Edition. Addison-Wesley Publishing Company. Silberberg, Eugene and Wing Suen. The Structure ofEconomics a Mathematical Analysis. Irwin McGraw-Hill. Weber, Jean E. MathematicalAnalysis: Business andEconomicApplications. New York: Harper & Row.
  • 109. MDDUL 4 Penggunaan Fungsi dalam Ekonomi Dr. Wahyu Widayat PENDAHULUAN atematika adalah suatu alat untuk menyederhanakan penyajian dan .- pemahaman suatu masalah. Dengan menggunakan bahasa matematika, penyajian suatu masalah menjadi lebih sederhana sehingga mudah untuk dipahami, dianalisis serta dipecahkan. Di dalamilmu ekonomi yang berkembang dengan pesat, berbagai konsep matematika digunakan sebagai alat analisis. Salah satu konsep di antaranya adalah fungsi linier. Bila dalam modul-modul sebelumnya, secara ringkas telah disajikan model-model matematika murni maka modul ini menyajikan penerapan model matematika itu dalam konsep ekonomi dan disertai contoh-contoh praktisnya. Dengan mempelajari modul ini, Anda mendapat banyak manfaat. Selain lebih memahami konsep-konsep matematika juga akan memudahkan Anda dalam mempelajari teori ekonomi mikro dan makro. Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan, mampu untuk memahami penggunaan fungsi linier sebagai alat untuk menjelaskan beberapa konsep ekonomi. Secara khusus, Anda diharapkan mampu untuk menerapkan fungsi linier pada konsep: 1. permintaan; 2. penawaran; 3. keseimbangan pasar; 4. keseimbangan pasar karena pengaruh pajak dan subsidi; 5. konsumsi; 6. tabungan; 7. penentuan pendapatan nasional.
  • 110. 4.2 MATEMATIKA EKONOMI e KEGIATAN BELA&JAR 1 Fungsi Permintaan dan Penawaran A. FUNGSI PERMINTAAN Dalam ilmu ekonomi, konsep tentang permintaan merupakan bagian yang penting. Fungsi permintaan adalah persamaan yang menunjukkan hubungan antara jumlah sesuatu barang yang diminta dan semua faktor-faktor yang mempengaruhinya. Fungsi permintaan akan sesuatu barang dapat ditunjukkan oleh persamaan: Qx = f( Px, Py, Pz, M , S) di mana: Qx = Jumlah barang X yang diminta Px = harga barang X Py =harga barang Y Pz =harga barang z M =pendapatan konsumen S =selera konsumen Pada contoh di atas, fungsi permintaan tidak dapat disajikan dengan diagram dua dimensi. Diagram dua dimensi hanya dapat digunakan untuk menggambar grafik fungsi yang mengandung dua variabel saja. Agar fungsi permintaan dapat digambar grafiknya maka faktor-faktor selain jumlah yang diminta dan harga barang tersebut dianggap tidak berubah selama dilakukan analisis. Faktor-faktor yang dianggap tetap ini disebut ceteris paribus. Dengan anggapan ceteris paribus tersebut, sekarang bentuk fungsi menjadi lebih sederhana karena hanya terdiri dari dua variabel, yaitu variabel harga dan variabeljumlah yang diminta. Faktor-faktor yang dianggap tetap pengaruhnya dapat dilihat dari besarnya konstanta pada persamaan permintaan. Fungsi permintaan tunduk pada hukum permintaan yang mengatakan bahwa: "bila harga suatu barang naik, maka ceteris paribus jumlah barang yang diminta konsumen akan turun; dan sebaliknya bila harga barang turun maka jumlah barang yang diminta akan bertambah".
  • 111. e ESPA41 22/MODUL 4 4.3 Bila hukum permintaan itu dipenuhi maka fungsi permintaan mempunyai curam yang nilainya negatif. Di dalam grafik, sumbu Y digunakan untuk harga per unit dan sumbu X digunakan untukjumlah barang yang diminta. (Ingat cara penggambaran ini menyimpang dari cara yang lazimnya digunakan dalam matematika). Contoh: Sepuluh jam tangan merek tertentu akan terjual kalau harganya (dalam ribuan) Rp80,- dan 20 jam tangan akan terjual bila harganya Rp60,-. Tunjukkan bentuk fungsi permintaannya dan gambarkan grafiknya. Q1 = 10, P1 = 80 dan Q2= 20, P2 = 60. Rumus yang digunakan: y - YI = y2- yl (x - xl) X2 - XI Dengan mengganti X dengan Q dan Y dengan P maka p - pl = p2- PI (Q - Ql) Q2-Ql P - 80= 60-SO (Q - 10) 20-10 p - 80 = 2 (Q- 10) P - 80 = - 2Q + 20 atau 2Q + P - 100 = 0 Persamaan di atas biasanya ditulis dalam bentuk Q __ 100-P 2 atau Q = 50 - 0,5 P Ditulis demikian karena Q merupakan variabel tak bebas dan P adalah variabel bebasnya.
  • 112. 4.4 MATEMATIKA EKONOMI e p 25 Q =50- 0,5P 0 50 Q Gambar 4.1. B. FUNGSI PENAWARAN Fungsi penawaran adalah fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga barang dengan jumlah barang yang ditawarkan produsen. Menurut hukum penawaran, pada umumnya bila harga suatu barang naik maka ceteris paribus (faktor-faktor lain dianggap tetap) jumlah yang ditawarkan akan naik. Curam kurva penawaran umumnya positif. Dalam kasus-kasus tertentu mungkinjuga dapat terjadi bahwa curam kurva penawaran nol atau tak terhingga. Seperti halnya pada kurva permintaan, sumbu y digunakan untuk harga barang per unit dan sumbu x untuk jumlah barang yang ditawarkan. Bentuk umum fungsi penawaran: Q =a+ bP Contoh: Jika harga kamera jenis tertentu Rp65,- (dalam ribuan) maka ada 125 kamera yang tersedia di pasar. Kalau harganya Rp75,- maka di pasar akan tersedia 145 kamera. Tunjukkan persamaan penawarannya! Rumus yang dapat digunakan adalah persamaan: y - y~= y2-yl (x - xi) X 2 - X1 Kemudian simbol untuk Y diganti P dan X diganti Q P1 = 65 Q1 = 125 dan P2 = 75 Q2 = 145
  • 113. e ESPA41 22/ MODUL 4 Masukkan ke dalam rumus: P - 65= 75 - 65 (Q-125) 145-125 p- 65 = 10 (Q- 125) 20 1 1 P-65 = -Q-62- 2 2 1 1 P= -Q+2- 2 2 Jadi, persamaan penawarannya adalah: 1 1 P = - Q + 2- atau Q = 2P - 5 2 2 4.5 Fungsi permintaan dan fungsi penawaran bersama-sama membentuk keseimbangan pasar. Keseimbangan pasar terjadi apabila jumlah barang yang ditawarkan sama dengan jumlah barang yang diminta dan harga yang ditawarkan sama dengan harga yang diminta. Keseimbangan ditunjukkan oleh koordinat titik potong antara kurva penawaran dan kurva permintaan. Secara aljabar, jumlah keseimbangan dan harga keseimbangan diperoleh dengan mengerjakan persamaan penawaran dan persamaan permintaan secara serempak. Contoh: Dapatkan titik keseimbangan dari fungsi permintaan Pct = 10 - 2Qct dan fungsi penawaran P8 = lQ, +1 2 di mana: Pd =harga yang diminta, Qd =adalah jumlah yang diminta Ps=adalah harga yang ditawarkan Qs= adalah jumlah yang ditawarkan Keseimbangan pasar akan terjadi apabila dipenuhi syarat:
  • 114. 4.6 MATEMATIKA EKONOMI e Oleh karena syarat tersebut di atas harus dipenuhi maka sekarang kita dapat mengabaikan subscript yang ada pada variabel Q dan P sehingga kedua persamaan dapat ditulis menjadi: P=10-2Q 3 p = -Q+1 2 Dengan cara substitusi, diperoleh: 3 10-2Q = -Q+l 2 3 --Q-2Q = 1-10 2 Q= 24 7 P=10 - 2Q 4 P=10 - 2 2- 1 p =10-5- P= 4 6 7 7 7 Jadi, keseimbangan tercapai pada tingkat harga 4 6 dan jumlah 2 4 . 7 7