BMP EKMA4413 Riset Operasi

Modul 1
Pendahuluan dan Perencanaan
Penugasan
Drs. Pangestu Subagyo, M.B.A.
PENDAHULUAN
alam memecahkan masalah yang dihadapinya, manajemen biasanya
memerlukan pertimbangan-pertimbangan tertentu. Untuk itu
diperlukan berbagai alat, antara lain statistik, matematika, operations
research, dan sebagainya. Operations research merupakan salah satu alat
analisis yang mendasarkan pada angka saja, padahal tidak semua hal dapat
diukur dengan angka. Oleh karena itu, hasil optimal dalam operations
research belum tentu merupakan keputusan terbaik, tetapi mungkin ada
sedikit perubahan atau penyesuaian setelah mempertimbangkan data-data
kuantitatif. Pada modul ini akan dibahas salah satu metode kuantitatif, yaitu
perencanaan penugasan, sedang pada modul-modul berikutnya berturut-turut
akan dibahas metode-metode yang lain.
Salah satu metode kuantitatif dalam operations research adalah
perencanaan penugasan beberapa orang karyawan pada beberapa tugas yang
berbeda-beda. Dalam hal ini kita pilih cara penugasan yang bisa
meminimumkan biaya atau yang bisa memaksimumkan manfaat.
Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat:
a. menjelaskan kegunaan operations research untuk pengambilan
keputusan;
b. menjelaskan cara alokasi karyawan pada beberapa macam pekerjaan.
Secara khusus setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat:
a. menjelaskan cara analisis data dengan model-model yang ada dalam
operations research;
b. memilih model yang lebih tepat dan sesuai dengan masalah yang
dihadapi;

1.2 Riset Operasi •
c. menerapkan hasil analisis untuk pemecahan masalah melalui
pengambilan keputusan;
d. melakukan alokasi tenaga kerja dengan tepat;
e. menempatkan karyawan dengan biaya terendah atau hasil terbesar.

• EKMA4413/MODUL 1 1.3
Kegiatan Belajar 1
Pendahuluan
A. PENGERTIAN DASAR
Dalam suatu organisasi, manajemen selalu dihadapkan pada masalah
pengambilan keputusan. Keputusan ini untuk menyelesaikan masalah-
masalah yang dihadapinya. Sebelum mengambil keputusan biasanya
dilakukan analisis terhadap data yang ada. Untuk melakukan analisis ini
diperlukan alat-alat analisis, antara lain yang kita bahas dalam modul ini,
yaitu analisis kuantitatif karena dalam analisis ini menggunakan ukuran atau
satuan angka. Jadi, segala hal atau faktor yang berhubungan atau
mempengaruhi masalah yang dapat dipecahkan sedapat mungkin diukur
dengan angka, kemudian dianalisis secara kuantitatif. Untuk melakukan
analisis ini dilakukan atau dikembangkan konsep-konsep yang dipelajari
dalam matematika, statistik, akuntansi, dan sebagainya sehingga membentuk
suatu model yang dapat dipakai untuk memecahkan masalah.
Dalam operations research tujuan kita adalah mencari pemecahan
masalah secara optimal dengan mengingat tujuan serta keterbatasan yang ada.
Optimal berarti sebaik-baiknya, yaitu yang paling kita kehendaki. Kalau
biaya atau pengorbanan tentu saja kita minimumkan, tetapi kalau manfaat
atau keuntungan tentu saja kita maksimumkan.
B. PROSES PENGAMBILAN KEPUTUSAN
Dalam pengambilan keputusan bisa dilakukan secara sembarang tanpa
didahului oleh suatu analisis, tetapi cara ini tentu saja tidak menjamin
diperolehnya hasil secara optimal, terutama kalau masalahnya relatif rumit
dan terjadi pada organisasi yang relatif besar. Untuk bisa mengambil
keputusan secara lebih baik bisa digunakan prosedur yang skemanya
tercantum pada Gambar 1.1 berikut.

I l:JU
I ro
I
Gambar 1.1.
Skema Proses Pengambilan Keputusan
1. ldentifikasi Masalah
Masalah yang timbul harus diketahui dengan jelas, sebab kalau masalah
pokoknya belum diketahui kita tidak mungkin bisa mengatasi memecahkan
masalah tersebut dengan baik. Untuk mengetahui masalah tersebut bisa
dilakukan penelitian pendahuluan. Berdasar atas masalah ini bisa ditentukan
cara-cara yang cocok untuk mengatasinya.
2. Mengumpulkan Data
Untuk mengetahui cara mengatasi masalah tersebut harus didukung
dengan data yang relevan atau cocok. Untuk itu kita harus mengumpulkan
data yang diperlukan tersebut.

• EKMA4413/ MODUL 1 1.5
3. Analisis Data
Data yang terkumpul hams dianalisis terlebih dahulu agar bisa diketahui
pemecahannya. Dalam analisis ini biasanya dibuat suatu model. Model
adalah timan atau abstraksi dari kejadian yang sebenamya, biasanya dalam
bentuk yang lebih sederhana. Untuk melakukan analisis biasanya digunakan
ilmu-ilmu pengetahuan, seperti matematika, operations research, statistik,
akuntansi. Di sinilah kedudukan analisis kuantitatif sebagai alat untuk
membantu manajemen dalam menganalisis data sebagai dasar untuk
mengambil keputusan.
Dalam analisis ini selain dipertimbangkan hasil-hasil perhitungan dari
analisis kuantitatif juga dipertimbangkan faktor-faktor lain yang tidak bisa
diukur dengan satuan angka, misalnya kebudayaan, perikemanusiaan, agama,
politik, dan sebagainya. Faktor-faktor ini tidak bisa dimasukkan dalam model
kuantitatif, tetapi memiliki pengaruh yang kuat. Oleh karena itu, hasil analisis
kuantitatifyang kita peroleh kadang-kadang tidak bisa diterapkan begitu saja,
tetapi diperlukan penyesuaian terlebih dahulu.
4. Penentuan Alternatif-alternatif Pemecahan Masalah
Berdasarkan analisis yang telah dilakukan bisa diperoleh altematif-
alternatifpemecahan masalah.
5. Pemilihan Alternatif
Di antara alternatif-altematif yang ada itu kita pilih salah satu yang
paling cocok untuk mengatasi masalah tadi.
6. Pelaksanaan
Alternatif yang telah dipilih di atas, kemudian dilaksanakan/dijalankan
untuk mengatasi masalah yang timbul. Dalam pelaksanaan ini dapat dilihat
apakah langkah itu sudah cocok atau belurn. Kalau alternatif itu sudah cocok
dan bisa mengatasi masalah yang timbul maka langkah ini bisa dijalankan.
Sebaliknya kalau altematif ini temyata setelah dicoba tidak cocok maka hams
diulang lagi langkah-langkah sebelumnya, mungkin pemilihan altematifnya
yang salah, mungkin analisisnya kurang tepat atau mungkin datanya yang
kurang relevan.
Demikianlah kedudukan alat-alat analisis kuantitatif dalam pengambilan
keputusan oleh manajemen. Yang penting harus diingat bahwa alat analisis

ini hanya sekadar membantu memudahkan analisis, sedangkan untuk
mengambil keputusan masih dipertimbangkan pula berbagai aspek yang
biasanya bersifat kuantitatif.
C. SEJARAH PERKEMBANGAN PENGGUNAAN OPERATIONS
RESEARCH
Sebenamya analisis kuantitatif ini sudah mulai dikenal sejak lama.
Tokoh-tokoh yang pemah mencoba menerapkannya untuk pengambilan
keputusan, antara lain F.W. Harris di mana pada tahun 1915 mengemukakan
konsep pengawasan inventori. Pada tahun 1931 Walter Shewart
mengemukakan penggunaan statistik untuk pengawasan kualitas.
Sebelum Perang Dunia II masih banyak orang yang menganggap bahwa
metode-metode kuantitatif itu tidak bisa diterapkan pada Ilmu Sosial, tetapi
pada Perang Dunia II ada gagasan untuk menggunakan/menerapkan metode
kuantitatif ini untuk mengatur strategi perang. Di Inggris pada tahun 1941
para sarjana dari berbagai cabang ilmu pengetahuan, terutama sarjana-sarjana
matematika dikerahkan untuk ikut memikirkan strategi perang. Hasil kerja
mereka, antara lain sistem radar, pengaturan konvoi, dan cara-cara
mengetahui kekuatan armada angkatan laut musuh.
Oleh karena penerapan pertamanya dalam operasi militer di Inggris
maka disebut Operations Research in the United Kingdom, selanjutnya
disebut Operations Research. Kemudian, menyusul Amerika Serikat yang
juga mengerahkan sarjana-sarjana matematika untuk ikut memecahkan
masalah-masalah peperangan. Ternyata hasilnya juga cukup memuaskan.
Setelah Perang Dunia II berakhir ada beberapa ilmuwan yang dulu ikut aktif
dalam mengatur strategi perang tersebut mencoba menerapkan operations
research ini dalam perekonomian pada umumnya dan dalam kehidupan
perusahaan pada khususnya. Dengan demikian, lahirlah analisis kuantitatif
untuk manajemen, yang sering juga disebut sebagai operations research atau
managementscience.

LATIHAN
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
1) Sebutkan macam-macam alat yang bisa membantu atau memudahkan
seseorang untuk melakukan analisis!
2) Manakah yang penting dalam pengambilan keputusan, data kuantitatif
atau kualitatif?
3) Jelaskan kedudukan operations research dalam proses pengambilan
keputusan!
4) Apakah hasil pemecahan optimal itu pasti sama dengan keputusan yang
harus dijalankan? jelaskan jawaban Anda!
5) Sebutkan secara singkat sejarah perkembangan operations research
dalam Ilmu Sosial!
PetunjukJawaban Latihan
Jawaban dari semua pertanyaan latihan dapat dibaca pada uraian materi
Kegiatan Belajar 1 dan semuanya sudah diuraikan dengan jelas. Apabila ada
kesulitan Anda dapat berdiskusi dengan ternan atau tutor Anda!
Dalam bagian ini diuraikan tentang kedudukan operations research
dalam Ilmu Sosial, sebagai pembantu analisis data yang diperlukan
untuk pengambilan keputusan. Namun, hasil pemecahan optimal dalam
operations researcl1 itu hanya salah satu pertimbangan yang bersifat
kuantitatif saja, di samping itu masih ada hal-hal yang bersifat kualitatif
yang sulit diukur dengan angka, tetapi juga harus dipertimbangkan.

TES FORMATIF 1
Pilihlah satu iawaban vang paling tepat!
1) Operation research bertujuan mencari pemecahan masalah secara
optimal dengan keterbatasan yang ada. Optimalisasi biaya berarti
biaya ....
A. terbesar
B. sedang
C. terkecil
D. terbatas
2) Proses pengambilan keputusan yang baik melewati beberapa prosedur,
diawali dengan prosedur ....
A. identifikasi masalah
B. pengumpulan data
C. analisis data
D. pemilihan alternatif
3) Selain mempertimbangkan analisis kuantitatif, proses pengambilan
keputusan juga memperhatikan aspek kualitatif, misalnya ....
A. produksi
B. pemasaran
C. operasi
D. politik
4) Kesalahan pemilihan alternatif pemecahan masalah, antara lain
disebabkan oleh ....
A. kecocokkan data
B. data yang kurang relevan
C. korelasi data
D. keragaman data
5) Pertama kali operation research diterapkan pada operasi militer yang
terjadi selama ....
A. Perang Dunia I
B. Perang Dunia II
C. Perang Korea
D. Perang Vietnam

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
Jumlah Jawaban yang Benar
Tingkat penguasaan = - - - - - - - - - - - x 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda hams mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.

Kegiatan Belajar 2
Perencanaan Penugasan
alam melakukan alokasi karyawan pada tugas yang ada, kadang-
kadang memerlukan pemikiran yang cukup sulit. Hal ini disebabkan
karena kita memiliki beberapa macam pekerjaan yang berbeda-beda cara
menyelesaikannya, di samping itu karyawan yang ada memiliki keahlian dan
sifat yang berbeda-beda. Alokasi karyawan itu tidak boleh asal dilakukan
saja, sebab kalau cara alokasinya berbeda akan membawa konsekuensi hasil
atau pengorbanan yang berbeda pula. Karyawan harus kita alokasikan secara
optimal, artinya kalau memakan biaya/ pengorbanan kita usahakan sekecil-
kecilnya dan kalau menghasilkan manfaat kita usahakan sebesar-besarnya.
Dengan karyawan yang sama dan pekerjaan yang sama kita harus bisa
memilih cara alokasi yang sebaik-baiknya.
Cara alokasi dalam modul ini dilakukan dengan menggunakan algoritma.
Biasanya yang digunakan sebagai ukuran untuk menentukan efisien dan
tidaknya adalah uang. Metode algoritma yang digunakan di sini sering juga
disebut sebagai Hungarian Method
Algoritma yang digunakan dalam memecahkan masalah penugasan ada dua
macam, yaitu algoritma dengan meminimumkan pengorbanan dan algoritma
dengan tujuan memaksimumkan manfaat. Dalam bagian ini akan kita bahas
satu per satu.
A. ALGORITMA DENGAN TUJUAN MEMINIMUMKAN
Dalam algoritma model ini, tujuan kita meminimumkan pengorbanan.
Pengorbanan yang ditanggung biasanya diukur dengan biaya yang
dikeluarkan untuk menyelesaikan suatu pekerjaan oleh seorang karyawan.
Biaya untuk menyelesaikan suatu pekerjaan itu berbeda-beda apabila
dilakukan oleh karyawan yang berbeda. Hal ini disebabkan oleh perbedaan
keterampilan, kepandaian, latar belakang pendidikan, kerajinan, pengalaman,
dan sebagainya, sedangkan seorang karyawan akan memerlukan biaya yang
berbeda pula apabila mengerjakan pekerjaan yang berbeda. Untuk itu kita
harus menempatkan orang yang paling cocok dengan kebutuhan pekerjaan
itu. Caranya dengan menggunakan matriks atau tabel yang berisi biaya

• EKMA4413/ MODUL 1 1.11
penugasan karyawan. Tabel itu kita olah sedemikian rupa sehingga
memperoleh hasil penugasan optimal. Sebagai contoh kita gunakan contoh
masalah sebagai berikut.
Suatu perusahaan memiliki 4 orang karyawan yang akan ditugaskan
untuk menyelesaikan 4 macam tugas. Satu karyawan harus mengerjakan satu
macam pekerjaan. Data biaya penyelesaian pekerjaan itu oleh tiap karyawan
seperti terlihat pada Tabel1.1 berikut ini.
Tabel 1.1.
Biaya Penyelesaian Pekerjaan oleh Tiap-tiap Karyawan.
Pekerjaan I II Ill IV
(Dalam rupiah)
Karyawan
20 28 25 24
15 13 13 11
10 21 20 30
25 20 23 20
Arti dari Tabell.l itu adalah sebagai berikut.
Pekerjaan 1 kalau diselesaikan oleh karyawan A memakan biaya
Rp20,00 oleh karyawan B Rp15,00, karyawan C Rp10,00 dan karyawan D
Rp25,00. Pekerjaan II kalau diselesaikan oleh karyawan A memerlukan biaya
Rp28.00, karyawan B Rp13,00, karyawan C Rp21,00, dan karyawan D
Rp20,00, dan seterusnya.
Untuk melakukan alokasi penugasan karyawan yang optimal dengan
langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1: Membuat OpportunityCostMatrix
Ubahlah matriks dalam Tabel 1.1 di atas menjadi Opportunity Cost
Matrix, dengan jalan, yaitu nilai tiap-tiap baris dikurangi nilai terkecil dari
baris itu. MisalnyaJberikut ini.
Baris A : Nilai biaya terkecil 20 maka semua nilai dari baris itu
dikurangi 20. Kolom I mula-mula bernilai 20 menjadi 0,

1.12
Baris B •
•
Riset Operasi •
Kolom II yang mula-mula 28 menjadi 8, dan kolom III, dan
IV masing-masing menjadi 5 dan 4.
Nilai terkecil pada baris B sebesar 11. Jadi, semua angka
pada baris itu dikurangi dengan 11. Nilai barn kolom I, II, III
dan IV menjadi 4, 2, 2, dan 0.
Demikian pula nilai barn dari baris-baris yang lain. Hasil selurnhnya,
seperti terlihat pada Tabel1.2.
Tabel 1.2.
Tabel Opportunity Cost
Pekerjaan
I II Ill IV
Ka~tawan
A 0 8 5 4
B 4 2 2 0
c 0 11 10 20
D 5 0 3 0
Langkah 2: Membuat Total OpportunityCost Matrix
Dalam Tabel 1.2 itu terlihat bahwa pada kolom I, II dan IV sudah
memiliki nilai 0, tetapi kolom III belum. Kalau dalam Tabel Opportunity
Cost ini masih ada kolom yang tidak memiliki nilai 0 maka harus kita
usahakan agar kolom itu memiliki nilai 0, dengan mengurangi nilai-nilai pada
kolom itu dengan nilai kolom yang terkecil. Pada kolom III, nilai terkecil
sebesar 2 (pada baris B) maka nilai baru dari kolom III itu pada baris A
menjadi 3, baris B menjadi 0, baris C menjadi nilai 8, dan baris D menjadi 1.
Setelah semua baris dan kolom mempunyai nilai 0 maka tabel itu disebut
total OpportunityCost Matrix, seperti terlihat pada Tabel 1.3.
Tabel1.3.
Total Opportunity Cost Matrix
~)ekerjaan
I II Ill IV
Karyawan
A 0 8 3 4
B 4 2 0 0

• EKMA4413/MODUL 1
c
D
0
5
11
0
8
1
Langkah 3: Menggambar garis untuk meliputi angka 0
20
0
1.13
Setelah semua baris dan kolom memiliki nilai 0 maka tariklah garis
seminimum mungkin, baik vertikal maupun horizontal yang bisa
menghubungkan setiap angka 0 yang ada. Dalam hal ini bisa dibuat garis
pada kolom I, baris B dan baris D (sebenarnya bisa dibuat 4 garis, yaitu pada
kolom I, II, III, dan IV, tetapi ini tidak minimum). Hasilnya seperti tampak
pada Tabel 1.4. kalau jumlah garis minimum yang bisa dibuat itu kurang dari
jumlah baris atau kolom maka Tabel 1.3 di atas hams diubah lagi, tetapi
kalau jumlah baris yang bisa dibuat paling tidak sama dengan jumlah baris
satu kolom maka alokasi yang optimal sudah bisa diperoleh lewat tabel itu
pada contoh kita itu ternyata jumlah garis baru 3, padahal ada 4 kolom (dan 4
baris) maka masih harus diubah.
Tabel 1.4.
Menggambarkan Garis Seminimum Mungkin
Pekerjaan
I II Ill IV
Kar1awan
A 0 8 3 4
B 4 2 0 0
c 0 11 8 20
D 5 0 1 0
Langkah 4: Mengubah Total Opportunity Cost Matrix
Untuk mengubah Total Opportunity Cost Matrix dilakukan dengan cara
berikut.
a. Pilihlah angka terkecil di antara semua angka yang belum terliput oleh
garis minimum di atas dan semua angka yang belum terliput garis
dikurangi dengan angka terkecil ini. Yang belum terliput oleh garis
adalah nilai-nilai pada garis A dan C pada kolom II, III, dan IV. Angka
terkecil di antara semua angka tersebut 3 sehingga angka-angka tersebut

dikurangi 3 sehingga yang mula-mula 8 menjadi 5, yang mula-mula 3
menjadi 0, yang mula-mula 4 menjadi 1, dan seterusnya.
b. Nilai-nilai yang terliput oleh dua garis harus ditambah dengan angka
terkecil yang belum terliput garis (yang dipakai untuk mengurangi pada
butir a di atas). Dalam Tabel 1.4 di atas ada 2 buah, yakni 4 menjadi 7
dan 5 menjadi 8. Hasil setelah perubahan ini tampak pada Tabel 1.5
berikut.
Tabel 1.5.
Perubahan terhadap Total Opportunity Cost Matrix
Pekerjaan
I II Ill IV
Karyawan
A 0 5 0 1
B 7 2 0 0
c 0 8 5 17
D 8 0 1 0
Langkah 5: Membuat Alokasi Penugasan
Berdasarkan Tabel 1.5 di atas kita bisa melakukan alokasi karyawan
karena garis yang dibuat bisa 4, sama dengan jumlah baris (atau kolom).
Caranya letakkan karyawan pada salah satu pekerjaan yang dinilainya pada
Total Opportunity Cost Matrix = 0, dan satu pekerjaan hanya bisa diisi oleh
satu orang saja.
Untuk itu, tugaskanlah dahulu karyawan yang ada dalam tabel itu hanya
memiliki satu nilai 0. Dalam contoh kita karyawan C, sebaiknya ditugaskan
pada pekerjaan I, akibatnya karyawan A tidak bisa menempati pekerjaan
sehingga harus ditugaskan pada pekerjaan III. Oleh karena pekerjaan III
ditempati oleh A maka karyawan B ditugaskan di pekerjaan IV, dan
karyawan D hanya di pekerjaan II sehingga alokasinya, seperti Tabel1.6.

• EKMA4413/MODUL 1 1.15
Tabel 1.6.
Alokasi Optimal Penugasan Karyawan serta Biayanya
Karyawan
Tugas yang Biaya yang
Ditempatinya Dikeluarkan
A Ill Rp25,00
B IV Rp11 ,00
c I Rp10,00
D II Rp20,00
I Jumlah I Rp66,00 I
Biaya yang tercantum pada kolom 3 dalam tabel di atas diambilkan pada
tabel biaya (Tabel 1.1). Jumlah biaya Rp66,00 merupakan biaya termurah
dibanding dengan semua altematiflain (tidak ada yang lebih murah lagi).
B. ALGORITMA DENGAN TUJUAN MEMAKSIMUMKAN
Kita bisa juga melakukan alokasi karyawan dengan tujuan
memaksimumkan, yaitu apabila yang diketahui sebagai ukuran untuk
menentukan efisiensi itu besamya keuntungan atau manfaat yang
ditimbulkannya. Cara alokasinya mirip dengan algoritma yang bersifat
meminimumkan, perbedaannya hanya pada langkah pertama. Pada langkah
pertama kita cari selisih data keuntungan pada tiap-tiap baris dengan
keuntungan terbesar pada baris itu. Hasil setelah langkah pertama disebut
sebagai opportunityloss. Sebagai contoh kita gunakan data sebagai berikut.
Suatu perusahaan akan melakukan penempatan 4 orang karyawan pada 4
pekerjaan. Data keuntungan yang dihasilkan oleh setiap karyawan kalau
menyelesaikan pekerjaan itu, seperti pada Tabel 1.7.
•
Matriks Keuntungan atas Penugasan Karyawan
Karyawan (Dalam Rupiah)
A 20 24 20 16
B 28 20 18 30

1.16
c
D
16
26
18
30
Langkah 1: Membuat OpportunityLoss Matrix
14
16
Riset Operasi •
16
32
Kalau tujuan kita memaksimumkan maka kita cari opportunity loss
matrix, yaitu dengan mengurangi nilai-nilai keuntungan pada tiap baris dari
tabel Tabel 1.7 itu dengan nilai terbesar dari baris itu.
Hal ini disebabkan kalau karyawan ditugaskan pada pekerjaan lain ia
akan mengakibatkan perbedaan keuntungan yang seharusnya diterima,
misalnya karyawan B, kalau ia ditugaskan di pekerjaan IV ia akan
menghasilkan keuntungan Rp30,00, tetapi kalau ia ditugaskan di pekerjaan
II maka ia hanya bisa menghasilkan keuntungan Rp20,00 saja. Akibatnya
terjadi opportunity Joss Rp10,00 (Rp30,00 - Rp20,00), yaitu hilangnya
keuntungan yang seharusnya diterima. Semua nilai pada tiap baris harus
dikurangi dengan nilai terbesar pada baris itu dan hasilnya, seperti pada Tabel
1.8. Nilai dari Tabel 1.8 itu sebenamya nilai negatif.
Tabel 1.8.
Opportunity Loss Matrix
Karyawan (Dalam Rupiah)
A 4 0 4 8
B 2 10 12 0
c 2 0 4 2
D 6 2 16 0
Langkah 2: Membuat Total OpportunityLoss Matrix
Cara membuat total opportunityJoss matr1xmirip dengan langkah kedua
dari algoritma minimumkan, yaitu dengan mengubah nilai pada kolom yang
belum memiliki angka nol. Dalam contoh kita kolom III. Pada kolom itu
angka terkecil 4 sehingga nilai dari kolom itu semua dikurangi 4 dan
hasilnya, seperti terlihat pada Tabel 1.9.

• EKMA4413/ MODUL 1 1.17
Tabel 1.9.
Total Opportunity Loss Matrix
Pekerjaan
I II Ill IV
Kartawan
(Dalam rupiah)
A 4 0 0 8
B 2 10 8 0
c 2 0 0 2
D 6 2 12 0
Langkah 3: Membuat garis seminimum mungkin untuk meliputi 0
Untuk membuat garis yang meliputi nilai-nilai 0 caranya sama dengan di
depan. Untuk itu contoh kita bam bisa dibuat 3 garis, seperti pada Tabel 1.10.
Tabel 1.10.
Menggambarkan Garis untuk meliputi Nilai 0
~Pekerjaan
I II Ill IV
(Dalam rupiah)
A 4---0---- o----8
B 2 10 8 0
c 2---o---- o---- 2
D 6 2 12 0
Langkah 4: Mengubah Total Opportuni"tyLoss Matrix
Dalam Tabel 1.10 bam terdapat 3 garis, padahal ada 4 baris (atau kolom)
sehingga tabel itu harus diubah lagi agar bisa diperoleh alokasi optimal. Cara
mengubahnya, seperti pada algoritma minimumkan, yaitu angka yang belum
terliput garis dikurangi dengan angka terkecil dari yang belum terliput itu,

dan angka yang diliput garis dua kali harus ditambah dengan angka
pengurangan tersebut dan hasilnya seperti terlihat pada Tabel 1.11 berikut.
Tabel 1.11.
Total Opportunity Loss Matrix yang Telah Diperbaiki
Pekerjaan
I II Ill IV
Karyawa (Dalam Rupiah)
A 4 0 0 10
B 0---8 6----0
c 2 0 0 4
D 4 0 10 0
Langkah 5: Membuat alokasi penugasan
Alokasi penugasan yang dilakukan adalah karyawan A melaksanakan
pekerjaan II, C melaksanakan pekerjaan III, D melaksanakan pekerjaan IV,
dan B melaksanakan pekerjaan I. Hasilnya beserta keuntungan maksimum
terlihat pada Tabel1.12 berikut.
Tabel1.12.
Alokasi Karyawan dan Keuntungan Maksimum
Kar1awan Peker"aan yan Dilaksanakan Keuntun an 1an Dihasilkan
A II Rp24,00
B I Rp28,00
c Ill Rp14,00
D IV Rp32,00
Jumlah Rp96,00
Keuntungan pada Tabel 1.12 di atas merupakan keuntungan maksimum.
Alternatif alokasi lain tidak ada yang menghasilkan laba lebih dari Rp96,00.
D. APABILA JUMLAH KARYAWAN TIDAK SAMA DENGAN
JUMLAH PEKERJAAN

• EKMA4413/MODUL 1 1.19
Apabila jumlah karyawan tidak sama dengan jumlah pekerjaan maka
digunakan bantuan dummy variable (variabel semu/boneka). Guna variabel
semu ini untuk mengisi ketidakcocokkan itu. Kalau yang lebih sedikit
banyaknya baris (karyawan) maka diperlukan baris semu dengan biaya (atau
keuntungan) sebesar 0. Sebaliknya apabila yang lebih sedikit banyaknya
pekerjaan yang ada maka diperlukan kolom (pekerjaan) semu. Sebagai
contoh apabila kita memiliki 5 pekerjaan, padahal hanya memiliki 4
karyawan maka tabelnya harus diubah, seperti pada Tabel 1.13, sedangkan
proses mengerjakannya, seperti prosedur yang dijelaskan di depan baik untuk
memaksimumkan maupun yang meminimumkan.
Tabel 1.13.
Penambahan Baris Semu karena Karyawan Lebih Sedikit dari Jumlah
Pekerjaan
Pekerjaan
I II Ill IV v
Karyawan (Biaya dalam Rupiah)
A 20 28 25 24 27
8 15 13 13 11 17
c 10 21 20 30 25
D 25 20 23 20 21
Kolom semu 0 0 0 0 0
LATIHAN
1) Suatu perusahaan memiliki 4 orang karyawan yang akan diserahi untuk
mengerjakan 4 macam pekerjaan. Untuk tiap macam pekerjaan
dikerjakan oleh 1 orang. Biaya untuk tiap-tiap alternatif penugasan,
seperti terlihat pada tabel berikut ini.
Karyawan
Biaya Kalau Mengerjakan
Tugas I Tugas II Tugas Ill TugasiV
A I Rp10,00 Rp13,00 Rp17,00 Rp15,00 I

1.20
B
c
D
Rp11 ,00
Rp12,00
Rp13,00
Rp10,00
Rp11 ,00
Rp14,00
Rp16,00
Rp10,00
Rp 9,00
Riset Operasi •
Rp13,00
Rp 8,00
Rp10,00
Carilah alokasi karyawan yang bisa meminimumkan biaya!
2) Seperti pertanyaan soal nomor 1, tetapi dengan altematif biaya sebagai
berikut.
Karyawan
Tugas I
Biaya Apabila Mengerjakan (Rp)
Tugas II Tugas Ill TugasiV
A 20 27 25 21
B 23 25 23 21
c 23 18 21 20
D 24 20 27 23
3) Seperti pertanyaan pada soal nomor 1 tetapi dengan alternatif biaya
sebagai berikut.
Karyawan
Tugas I
Biaya Apabila Mengerjakan (Rp)
A 20 28 25 24
B 15 13 13 11
c 10 21 20 30
D 25 20 23 20
E 21 18 15 17
4) Suatu perusahaan akan mengalokasikan 4 orang karyawan untuk 4
macam tugas. Tiap karyawan menyelesaikan satu tugas. Karyawan-
karyawan tersebut kalau diserahi tugas yang berbeda akan menghasilkan
laba yang berbeda pula, altematif penugasan serta keuntungan yang
dihasilkan, seperti tampak pada tabel berikut ini (dalam ribuan rupiah).
Karyawan
Tugas I
Laba Apabila Mengerjakan
A 35 27 39 41
B 40 35 30 32
c 43 46 43 38
D 50 45 43 38

• EKMA4413/MODUL 1 1.21
Carilah alokasi karyawan yang bisa memaksimumkan laba!
5) Seperti pertanyaan pada soal nomor 4, tetapi untuk 5 tugas dan altematif
laba yang dihasilkan sebagai berikut (dalam ribuan rupiah).
Laba Apabila Mengerjakan
Karyawan
Tugas I Tugas II Tugas Ill Tugas IV Tugas V
A 30 32 25 32 24
B 40 35 15 30 18
c 50 39 22 37 30
D 39 41 20 35 20
PetunJ·ukJawaban Latihan
1) Pada langkah pertama semua kolom sudah memiliki nilai 0. Tahap kedua
tidak perlu dilakukan dan dalam tahap ketiga sudah diperoleh 4 garis.
Maka, jawaban yang optimal sebagai berikut. A mengerjakan tugas I, B
tugas II, C tugas IV, dan D tugas III. Biaya penugasan sebesar Rp37,00.
2) Dalam langkah pertama dihasilkan 3 kolom yang memiliki nilai 0,
dalam langkah kedua kolom III memiliki nilai 0 pada baris B. Pada
langkah ketiga barn diperoleh 3 baris. Dalam langkah kelima barn
diperoleh 4 garis. Keputusan optimal adalah A mengerjakan tugas I, B
tugas IV, C tugas III, dan D tugas II. Biaya penugasan minimum sebesar
Rp82,00.
3) Dalam masalah ini ada 5 karyawan, tetapi hanya mengerjakan 4 tugas
sehingga perlu kolom dummy (semu). Cara mengerjakannya mirip
dengan soal sebelumnya.
4) Dalam masalah ini digunakan algoritma yang bertujuan
memaksimumkan.
5) Dalam masalah
memaksimumkan,
yang ada.
• •
lnl
tetapi
RANGKUMAN
digunakan algoritma yang bertujuan
banyaknya tugas lebih dari orang/karyawan
Dalam bagian ini dibahas cara alokasi para karyawan pada tugas-
tugas yang ada. Alokasi yang berbeda akan mengakibatkan biaya atau

laba yang berbeda. Hal ini disebabkan karena keahlian karyawan untuk
tiap-tiap pekerjaan juga berbeda-beda. Tujuan dalam alokasi ini adalah
untuk mencari biaya terkecil atau laba terbesar.
TES FORMATIF 2
Pilihlah satu iawaban yang paling tepat!
Pekerjaan
Karyawan A B c D
I 15 18 21 24
II 19 23 22 18
Ill 26 17 16 19
IV 19 21 23 17
1) Nilai opportunitycostmatr1xkolom pekerjaan A, yaitu ....
A. 0 4 11 4
B. 1 6 0 4
C. 5 6 0 7
D. 7 1 2 0
2) Alokasi penugasan untuk karyawan III, yaitu ....
A. 21 hari
B. 18 hari
C. 16 hari
D. 15 hari
3) Altematifpenugasan untuk karyawan I terletak pada pekerjaan ....
A. A atau B
B. A atau D
C. B atau C
D. B atauD
4) Alternatifpenugasan untuk karyawan III terletak pada pekerjaan ....
A. A
B. B
C. C
D. D

• EKMA4413/ MODUL 1 1.23
5) Alokasi penyelesaian pekerjaan optimum, yaitu ...
A. 40 hari
B. 50 hari
C. 60 hari
D. 70 hari
Cocokkanlahjawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif2 yang
Tingkat penguasaan = - - - - - - - - - - - x 100%
Jumlah Soal
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang
belum dikuasai.

Kunci Jawaban Tes Formatif
Tes Formatif1 Tes Formatif2
1) c 1) A
2) B 2) c
3) D 3) A
4) B 4) c
5) B 5) D

• EKMA4413/MODUL 1 1.25
Daftar Pustaka
Churchman, C.W., Ackoff, R.L. dan Arnoff, E.L. Introduction to Operations
Research. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Subagyo, P., Asri, M. dan Handoko, T. H. Dasar-dasar Operations
Research. Yogyakarta: BPFE.

Modul 2
Pengawasan Persediaan
Drs. Pangestu Subagyo, M.B.A.
PENDAHULUAN
ang dimaksud dengan persediaan adalah persediaan barang yang
biasanya selalu ada dalam setiap lembaga, misalnya dalam dagang
biasanya memiliki barang dagangan, perusahaan industri memiliki persediaan
bahan baku, barang setengah jadi, dan barang jadi. Kantor-kantor swasta
maupun pemerintah biasanya memiliki persediaan alat-alat tulis, rumah sakit
biasanya memiliki obat-obatan, darah, bahan makanan, dan sebagainya.
Jumlah persediaan barang harus diatur sedemikian rupa sehingga dapat
menghemat biaya dan pengorbanan-pengorbanan perusahaan. Kalau jumlah
persediaan barang terlalu sedikit akan mengganggu kelancaran kerja lembaga
tersebut, misalnya kalau persediaan bahan baku perusahaan industri kurang
maka kelancaran proses produksi akan terganggu, akibatnya volume produksi
menurun, pemanfaatan buruh tidak efisien, dan laba berkurang. Sebaliknya
kalau persediaan barang terlalu banyak akan menyebabkan banyak barang
yang rusak karena terlalu lama disimpan, biaya penyimpanan menjadi mahal,
asuransi lebih tinggi dan persediaan yang berlebihan berarti terdapat
pengangguran modal kerja yang tidak produktif. Oleh karena itu, jumlah
persediaan harus ditentukan sebaik-baiknya, jangan terlalu banyak, dan
jangan terlalu sedikit. Untuk menentukan jumlah yang tepat dapat digunakan
beberapa model persediaan yang dalam bagian ini dibahas satu per satu.
Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan bisa menjelaskan cara-
cara menghemat biaya denganjalan mengatur persediaan barang.
Secara khusus setelah mempelajari modul ini Anda bisa merencanakan:
1. jumlah persediaan barang yang bisa menghemat biaya;
2. saat pemesanan barang yang tepat;
3. besar biaya yang ditanggung perusahaan yang berhubungan dengan
keputusan pembelian barang.

Kegiatan Belajar 1
Model Persediaan yang Sederhana
A. MODEL PALING SEDERHANA
Model yang paling sederhana ini berlaku untuk menentukan jumlah
pembelian barang, bahan baku atau bahan pembantu yang penggunaannya
secara teratur. Dalam model ini belum memasukkan kemungkinan
keterlambatan pengiriman barang.
Dalam model yang sederhana ini kita menggunakan beberapa asumsi
sebagai berikut.
1. Kebutuhan barang sepanjang tahun relatif stabil dan bisa diperkirakan.
2. Biaya yang berhubungan dengan pemeliharaan barang yang disimpan
tergantung pada banyaknya barang yang disimpan.
3. Besar biaya pemesanan barang untuk setiap kali pesan sama.
4. Barang yang disimpan tidak mudah rusak.
5. Barang selalu tersedia di pasar, dalam jumlah berapa pun kebutuhan
barang akan selalu bisa terbeli.
6. Harga barang relatif stabil.
Untuk menentukan jumlah pembelian yang paling ekonomis atau
Economic Order Quantity (EOQ) kita hams mempertimbangkan besarnya
biaya-biaya yang berhubungan dengan kebijaksanaan pembelian itu. Biaya
itu terdiri dari biaya set-up dan biaya pemeliharaan barang dalam
•
penytmpanan.
1. Biaya Set-up
Yang dimaksud dengan biaya set-up adalah biaya yang dikeluarkan
setiap kali perusahaan memesan barang. Besarnya biaya ini untuk setiap kali
pesan selalu sama, tidak terpengaruh oleh jumlah barang yang dipesan. Yang
termasuk dalam kelompok biaya ini, misalnya biaya pengiriman surat
pesanan, ongkos teleks, interlokal, pengiriman petugas pembelian, dan
sebagainya yang besarnya tidak terpengaruh oleh jumlah barang yang
dipesan. Dalam biaya ini tidak termasuk ongkos pengangkutan barang dan
harga barang karena macam biaya ini biasanya tergantung pada jumlah

barang yang dibeli. Pada dasarnya biaya set-up adalah biaya yang
dikeluarkan pada saat perusahaan melakukan pemesanan, berapa pun jumlah
barang yang dibeli, besar biaya set-up ini selalu sama.
Simbol yang biasanya digunakan untuk biaya set-up ini adalah Cs. Kalau
kebutuhan barang selama satu tahun sebesar R dan jumlah barang setiap kali
membeli Q maka satu tahun dilakukan pembelian R/Q kali, dan biaya set-up
selama satu tahun sebesar (R/Q)Cs.
2. Biaya Pemeliharaan Barang
Yang termasuk dalam biaya pemeliharaan barang adalah semua biaya
yang dikeluarkan perusahaan karena perusahaan melakukan penyimpanan
barang. Besar biaya ini tergantung pada banyaknya barang yang disimpan
serta lamanya waktu penyimpanan. Contoh dari biaya ini adalah biaya
asuransi, sewa gudang yang didasarkan pada volume atau berat dan lama
penyimpanan, penyusutan/berkurangnya barang yang disimpan (apabila
persentase susutnya tergantung pada lamanya penyimpanan). Kalau sewa
suatu gudang yang dipakai atau tidak membayarnya sama, tentu saja tidak
masuk dalam biaya ini. Demikian juga apabila gudang dimiliki sendiri dan
penyusutan dilakukan dengan metode garis lurus maka biaya penyusutan
gudang ini juga tidak termasuk biaya pemeliharaan. Pokoknya yang termasuk
dalam biaya ini hanyalah biaya yang besarnya tergantung pada volume/berat
yang disimpan dan lamanya waktu penyimpanan.
Biaya pemeliharaan ini setiap barang setiap tahun biasanya diberi simbol
Ci. Besarnya biaya pemeliharaan barang seluruhnya selama satu tahun
sebesar rata-rata jumlah barang dikalikan biaya pemeliharaan setiap barang
setiap tahun.
Banyaknya barang yang disimpan selama satu tahun setiap hari selalu
berubah-ubah, pada saat pembelian baru saja dilakukan jumlah barang
sebanyak yang dibeli tadi, tetapi setiap hari dipakai maka selalu berkurang
dan akhirnya habis dan membeli lagi. Oleh karena itu, untuk mencari rata-
rata jumlah barang yang disimpan dalam gudang = (Q+O): 2 atau = Q/2.
Untuk jelasnya dapat dilihat pada Gambar 2.1. Biaya pemeliharaan barang
selama satu tahun = (Q/2)Ci.

2.4
,..
I
..'lr
I
.,_
Gambar 2.1.
I
.... I
Jumlah Persediaan dan Rata-rata Persediaan
Riset Operasi •
Pada Gambar 2.1. itu tampak bahwa selama satu tahun dipesan beberapa
kali, setelah barang habis maka barang yang dibeli datang dan persediaan
diisi lagi sebanyak pembelian. Barang dalam persediaan bergerak antara 0
sampai dengan Q. Jangka waktu di antara pesanan satu dengan pesanan
berikutnya adalah t.
Dalam uraian di atas telah dijelaskan bahwa biaya set-up tergantung
pada sering atau tidaknya pembelian dilakukan, kalau sering maka biaya set-
up untuk satu tahun menjadi tinggi. Tetapi akibatnya bagi biaya pemesanan
justru sebaliknya, kalau sering dilakukan maka jumlah setiap kali pembelian
sedikit, rata-rata jumlah barang yang disimpan sedikit, dan biaya
pemeliharaan barang rendah. Apabila pembelian jarang dilakukan maka
jumlah biaya set-up selama satu tahun sedikit, tetapi setiap kali membeli
hams dalam jumlah yang banyak dan akibatnya biaya pemeliharaan barang
yang disimpan tinggi. Dari uraian di atas jelas terlihat bahwa perubahan
jumlah biaya set-up berlawanan dengan perubahan biaya pemeliharaan.
Kalau pembelian sering dilakukan, biaya set-up tinggi, tetapi biaya
pemeliharaan rendah, demikian pula sebaliknya kalau pembelian jarang
dilakukan maka jumlah biaya set-up rendah dan jumlah biaya pemeliharaan
tinggi. Lalu, bagaimanakah sebaiknya?
Lebih baik setiap membeli dalam jumlah sedikit (sering membeli) atau
setiap membeli dalam jumlah banyak Uarang membeli). Tentu saja kita pilih
jumlah pembelian yang bisa meminimumkan jumlah dari kedua macam biaya

itu. Jumlah dari kedua macam biaya itu selama satu tahun dapat dilihat pada
persamaan berikut ini.
18= ~ + Cj-C
Kalau kedua macam biaya itu dan jumlahnya kita gambarkan akan
tampak, seperti pada Gambar 2.2.
_..
0
Gambar 2.2.
Hubungan antara Jumlah Setiap Pembelian dengan Biaya Set-up, Biaya
Pemeliharaan, dan Jumlah dari Kedua Biaya Tersebut.
Skala horizontal menunjukkan jumlah setiap kali pembelian dan skala
vertikal menunjukkan besarnya biaya selama satu tahun. Kalau setiap kali
membeli dalam jumlah sedikit (berarti sering dilakukan pembelian) maka
biaya set-up mahal, semakin besar jumlah setiap pembelian berarti semakin
jarang dibeli maka jumlah biaya set-up selama setahun semakin murah. Lain
halnya dengan biaya pemeliharaan, semakin sedikit jumlah setiap kali
membeli, biaya ini akan semakin murah dan sebaliknya kalau semakin
banyak jumlah setiap kali membeli, berarti jumlah biaya ini akan semakin
mahal. Kalau kedua biaya itu dijumlahkan akan tampak pada garis biaya
yang paling atas, kalau jumlah setiap pembelian sedikit maka jumlah kedua
biaya itu mahal, semakin banyak jumlah setiap kali membeli mula-mula
jumlah biaya semakin turun, tetapi sampai pada titik tertentu mulai naik lagi.
Jumlah biaya terendah terjadi pada titik Q. Untuk mencari titik Q itu

dilakukan minimisasi dengan menggunakan pendekatan diferensial terhadap
persamaan jumlah biaya JB (persamaan 1) pada Q. Setelah dilakukan
perubahan seperlunya dan digunakan pendekatan diferensial maka hasilnya
sebagai berikut.
Jumlah pembelian yang ekonomis:
Q* == 2RCs
Ci
Jangka waktu di antara pesanan satu dengan pesanan berikutnya:
t* == Q* _ 2RCs
R RCi
Contoh:
Seorang pedagang selama satu tahun harus memenuhi permintaan
pembeli sebanyak 24.000 kg. Permintaan sepanjang tahun relatif stabil. Biaya
pemesanan setiap kali membeli sebesar Rp3.500,00. Biaya penyimpanan
setiap kg barang selama satu tahun Rp10,00.
a. Berapakah jumlah pembelian yang paling ekonomis?
b. Berapa lamakah jangka waktu antara pesanan satu dengan pesanan
berikutya agar pemesanan ekonomis?
Jawab: R = 24.000 kg
Cs = Rp3.500,00
Ci = Rp10,00
a. Jumlah pembelian yang ekonomis:
Q* == 2(24.000)(3.500) == 4.098 78
10 '
b. Jangka waktu di antara pesanan yang ekonomis:
t* == 2(24.000)(3.500) == 0 171 tahun
(24.000)10 '
kira-kira = 62 hari

B. MODEL PERSEDIAAN DENGAN KETERLAMBATAN BARANG
Dalam model ini dimungkinkan keterlambatan penyediaan barang yang
dibutuhkan, tetapi keterlambatan ini memerlukan tambahan biaya. Jadi,
perusahaan menanggung tiga macam biaya, yaitu biaya set-up, biaya
pemeliharaan barang, dan biaya keterlambatan. Misalnya, pada suatu hari
datang seorang pembeli pada suatu toko ban, pembeli tersebut akan membeli
ban radial tertentu, tetapi pada saat itu persediaan ban radial tersebut sedang
habis. Pembeli, akhirnya bersepakat untuk melakukan pembelian, tetapi
barangnya barn akan diperoleh dua hari lagi. Untuk memenuhi kebutuhan ini
tentu saja toko tersebut hams mengeluarkan biaya tambahan karena harus
membeli dengan order khusus, meminjam pada toko lain yang terdekat,
mengantar ke rumah pembeli, dan sebagainya. Dengan demikian,
keterlambatan barang masih diperbolehkan, tetapi disertai dengan biaya
ekstra. Asumsi yang digunakan adalah bahwa besar biaya ekstra karena
keterlambatan ini harus tergantung pada jumlah kekurangan barang dan
jangka waktu keterlambatan. Tujuan kita dalam model ini adalah menentukan
jumlah pemesanan yang bisa meminimumkan jumlah ketiga macam biaya
tersebut di atas.
Hubungan antara jumlah dalam setiap pemesanan, persediaan, dan
kekurangan barang seperti terlihat pada Gambar 2.3. Jumlah dalam setiap kali
pembelian diberi simbol Q, jumlah barang yang dibeli yang masuk
persediaan diberi simbol S (pada awal siklus pembelian), dan sisanya yang
untuk memenuhi kekurangan permintaan adalah Q-S. Kalau jumlah
kebutuhan barang selama satu tahun sebesar R maka jangka waktu setiap
siklus pembelian (mulai dari suatu pembelian sampai dengan pembelian
berikutnya) = Q/R tahun. Pada gambar tersebut tampak bahwa selama satu
siklus pembelian dibagi menjadi dua bagian (fase). Fase pertama pada saat
permintaan masih bisa terpenuhi dengan barang yang ada dalam gudang dan
ini ditunjukkan dengan segitiga pertama yang berada di atas garis 0 yang
tingginya S. Jangka waktu perusahaan masih memiliki barang dalam satu
siklus adalah S/R tahun. Fase kedua pada saat persediaan barang sudah habis
dan pemenuhan kebutuhan barang ditunda sampai saat pesanan pembelian
datang. Ini ditunjukkan dengan segitiga kedua yang berada di bawah garis 0
dan tingginya Q-S. Jangka waktu perusahaan dalam keadaan kekurangan
barang dalam setiap siklus adalah (Q-S) I R tahun.

•
•
Q
- -n ,.........~~~..........!!.ot-, ~~-:"""""~~~....!!......~............,.~- ~fcbt
....__ ...::!::; • .. .,
.. (Jr-
I
..,. ----...-.
Gambar 2.3.
Hubungan Persediaan Barang, Pemesanan, dan Kekurangan Barang.
Biaya yang kita tanggung ada tiga rnacam, yaitu biaya set-up, biaya
pemeliharaan barang, dan biaya karena keterlarnbatan barang. Berikut ini
akan dibahas satu per satu sebelum dimasukkan ke dalam persamaan jumlah
biaya.
Biaya set-up:
Besar biaya set-up sama, seperti dalarn model persediaan yang
sederhana, yaitu:
(R/Q) Cs.
Biaya pemeliharaan:
Besar biaya pemeliharaan dapat dicari dengan luas segitiga pertarna
dikalikan dengan biaya perneliharaan tiap unit tiap tahun, yaitu:
_!_(S I R)Ci = S
2
Ci
2 2R
Kalau jurnlah biaya diatas dikalikan dengan banyaknya siklus dalarn satu
tahun (R/Q) rnaka akan kita dapatkan jumlah biaya selarna satu tahun sebagai
berikut.

Biaya pemeliharaan barang selama satu tahun:
S 2
Ci R S 2
Ci
--
2R Q 2Q
Biaya keterlambatan:
Besar biaya keterlambatan sama dengan luas segitiga kedua dikalikan
dengan biaya keterlambatan setiap unit barang setiap tahun (Ct), sebagai
berikut.
Biaya keterlambatan selama satu siklus:
1
-
2 R t 2R t
Biaya keterlambatan selama satu tahun sebesar biaya di atas dikalikan dengan
banyaknya siklus selama satu tahun (R/Q), sebagai berikut.
(Q-S) R (Q-S)
2
c = c2R t Q 2Q t
Oleh karena itu, jumlah biaya seluruhnya selama satu tahun menjadi
sebagai berikut.
R S
2
Ci (Q-S)
2
JB = Cs+ + Ct
Q 2Q 2Q
Apabila persamaan itu diminimumkan dengan diferensial pada Q akan
diperoleh jumlah pemesanan yang optimal (Q*) dan apabila diturunkan pada
S akan diperoleh jumlah-jumlah pembelian yang dimasukkan dalam
persediaan ( pada awal siklus pembelian ).
Q
* = 2RCs Ct +Ci
Ci ct
s* =
2RCs
Ci Ct +Ci
Jangka waktu optimal antara dua pemesanan:

*
t * == Q x 1 tahun
R
Contoh 2.1.
Suatu perusahaan menjual satu barang. Banyaknya kebutuhan konsumen
setiap tahun sebanyak 1.000 buah. Biaya penyimpanan barang setiap tahun
sebesar 20% dari harga barang, harga setiap barang Rp20,00. Setiap
melakukan pemesanan memerlukan biaya Rp100,00. Kalau terjadi
keterlambatan barang konsumen masih mau membeli, tetapi perusahaan
harus menanggung biaya ekstra Rp3,65 setiap barang setiap tahun.
Berdasarkan data di atas kita hitung bahwa Ci sebesar 20% x Rp20,00 =
Rp4,00, Cs sebesar Rp100,00, R sebanyak 1.000 barang dan Ct sebesar
Rp3,65. Jumlah pemesanan yang optimum adalah:
Q* = 2( 1.000)( 100)
4
3, 65 + 4 == 324
3,65
Jumlah optimal barang yang dibeli yang dimasukkan dalam persediaan:
s* = 2( 1.000)( 100)
4
3, 65 == 154
3,65 + 4
Jangka waktu optimal antara suatu pesanan dengan pesanan berikutnya.
* 324
t == == 0, 324 tahun
1.000
Jumlah biaya yang optimal:
1.000 4(154)
2
3,65(170)
2
JB== 100+ +----
324 2( 324) 2( 324)
JB == 617,82
Yaitu Rp617,82 selama satu tahun.

• EKMA4413/MODUL 2 2.11
LATIHAN
1) Berdasarkan data berikut ini tentukanlah jumlah pembelian yang bisa
meminimumkan biaya!
Kebutuhan barang setiap tahun 5.200 kuintal
Biaya pesan setiap pembelian Rp90.000,00
Biaya pemeliharaan barang tiap kuintal tiap tahun Rp 300,00
2) Suatu perusahaan setiap tahun memerlukan 30.000 buah bahan baku A
yang harganya tiap buah Rp1.000,00. Setiap kali membeli perusahaan
hams membayar biaya pemesanan Rp2.000,00. Biaya pemeliharaan
barang dalam gudang termasuk asuransinya selama satu tahun sebesar
20% dari harga barang. Berapakah jumlah pembelian yang paling
ekonomis?
3) Sebuah toko diperkirakan bisa menjual 64.000 buah batu baterai selama
satu tahun. Biaya pemeliharaan baterai itu dalam penyimpanan setiap
tahun Rp100,00 dan biaya pesan setiap kali pembelian Rp7.500,00.
a. Berapakahjumlah barang setiap pembelian?
b. Berapa kalikah pembelian dilakukan selama satu tahun?
4) Berdasarkan data pada soal nomor 3 di atas, hitunglah:
a. Jangka waktu antara pembelian satu dengan pembelian berikutnya
yang optimal!
b. Jumlah biaya set-up dan biaya pemeliharaan barang selama satu
tahun yang optimal!
5) Suatu toko menjual ban radial dengan harga Rp40.000,00 per buah.
Setiap kali pemesanan toko itu harus membayar biaya pesan
Rp5.000,00. Biaya pembelian barang dalam gudang setiap tahun sebesar
5% dari harga beli ban. Kalau suatu ketika ada pengunjung toko yang
akan membeli ban tersebut, tetapi perusahaan tidak sedang memiliki
persediaan maka pembelian bisa ditunda, tetapi toko harus mengantar ke
rumah pembeli dengan tambahan biaya Rp3.000,00 setiap ban.
Penjualan ban setiap tahun 1.500 buah.
a. Berapakah jumlah barang setiap kali pemesanan agar
meminimumkan biaya?

2. 12 Riset Operasi •
b. Pada setiap pemesanan (optimal) itu, berapakah jumlah barang yang
masuk dalam persediaan?
c. Berapa lamakahjarak tiap pemesanan dengan pesanan berikutnya?
d. Berapakahjumlah biaya optimal?
Kunci Jawaban Latihan
1) Q* = 558,70 kuintal
2) Q* =2.449,49 buah barang, dibulatkan =2.449 buah
3) a. Q* = 3.098,39 buah, dibulatkan = 3.098 buah
b. Pembelian setiap tahun dilakukan 20,65 kali.
4) a. t* = 17,43 hari
b. JB = Rp309.794,50
5) a. Q* = 112 buah
b. S* = 67 buah
c. T* = 0,0786 tahun = 29 hari
d. JB* = 134.165,18
RANGKUMAN
Dalam kegiatan belajar ini dibahas cara perencanaan pembelian
yang sederhana. Ada variasi sedikit, yaitu apabila terjadi kemungkinan
kekurangan barang.
~ · TES FORMATIF 1
Data her1knt ci1 o-nnakan nnt:nk men1awah ~oal no 1 ~ci no. S.
Perusahaan ANTOMIA setiap tahun membutuhkan bahan baku 16.000
kg, biaya penawaran Rp1.000,00, biaya ekstra keterlambatan Rp100,00
dan biaya penyimpanan yang terdiri dari biaya asuransi Rp100,00,
biaya gudang Rp400,00, biaya modal Rp125,00 serta biaya iesiko
kerusakan Rp175,00.
1) Biaya penyimpanan perusahaan ANTOMIA yaitu ....
A. Rp600,00
B. Rp700,00
C. Rp800,00
D. Rp900,00

• EKMA4413/ MODUL 2 2.13
2) Jumlah pembelian optimum (Q), yaitu .. ..
A. 600 kg
B. 500 kg
C. 400 kg
D. 300 kg
3) Jumlah pembelian optimum yang dimasukkan dalam persediaan,
yaitu ....
A. 56,667 kg
B. 66,667 kg
C. 76,667 kg
D. 86,667 kg
4) Jumlah waktu optimum antara satu pesanan dengan pesanan lain (t) ....
A. 10,5 hari
B. 11,5 hari
C. 12,5 hari
D. 13,5 hari
5. Jumlah biaya optimum (JB) selama setahun ...
A. Rp53.333,333
B. Rp54.333,333
C. Rp55.333,333
D. Rp56.333,333
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
Tingkat penguasaan = - - - - - - - - - - x 100%
Jumlah Soal
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang

belum dikuasai.

• EKMA4413/MODUL 2 2.15
Kegiatan Belajar 2
Beberapa Macam
Model Persediaan yang Lain
A. MODEL PERSEDIAAN DENGAN POTONGAN BARGA
Dalam model persediaan ini dimasukkan adanya potongan harga beli
barang yang dibutuhkan. Biasanya kalau jumlah pembelian mencapai jumlah
tertentu akan mendapat potongan harga, misalnya kalau membeli dalam
jumlah 1000 buah barang atau lebih akan mendapat potongan harga 10%.
Oleh karena itu, dalam hal ini terdapat 2 macam harga beli. Harga beli
pertama (PI) kalau tidak ada potongan harga dan harga kedua (P2) kalau
mendapat potongan harga. Kalau batas untuk mendapat potongan harga itu
sebanyak b maka harga pertama (P1) akan berlaku kalau jumlah setiap
pembelian kurang dari b, sedang harga kedua (P2) terjadi apabila jumlah
pembelian melebihi atau paling tidak sama dengan b. Oleh karena ada
perbedaan harga ini maka untuk mencari titik optimum pembelian, kita
gunakan persamaan biaya ditambah dengan harga beli barang. Dalam hal ini
kita mengenal dua macam persamaan jumlah harga barang dan biaya (JHB)
sebagai berikut.
Jumlah harga barang dan biaya tanpa potongan harga.
JHB1 = REj + R Cs + Q Ci
Q 2
Jumlah harga barang dan biaya dengan potongan harga:
R Q .
JHB2 :::::: RB2 + Cs + Cz
. Q 2
Kedua macam biaya itu kalau digambarkan, seperti pada Gambar 2.4.
Garis penuh menunjukkan garis biaya yang bisa direalisasi, sedangkan garis
putus-putus adalah garis biaya yang tidak bisa direalisasi atau tidak berlaku
karena harganya tidak sesuai. Jadi, garis biaya pada titik b berpotongan turun
ke bawah, kemudian mengikuti garis biaya kedua.

Untuk mencari titik Q1 minimum untuk persamaan garis biaya pertama,
dilakukan dengan bantuan diferensial pada Q, atas garis biaya itu. Demikian
pula untuk mencari titik Q2 minimum dengan cara yang sama, tetapi terhadap
garis biaya kedua. Temyata Q1 minimum sama dengan Q2 minimum.
a.
b.
' 1.rn!miT·I~ .. a
U~f1 EHS~
• •
[
. . f"WT
Gambar 2.4a.
[
•
IHBt
Jl-$ ,·,
-·
JHB1, JHB2, Garis Biaya yang Tidak Bisa Direalisasi dan QMinimum.
JrnltBJI tfsttLHI
nan ~•vP•
lJ
...
...
....
•
I
..IIIII
Gambar 2.4b.
. I
~'
.)-
•
•
.-
JHB1, JHB2, Garis Biaya yang Tidak Bisa Direalisasi dan QMinimum.

• EKMA4413/ MODUL 2 2.17
c. ~.Uf:1 I I~l1: rr--+~ ,g
·· ~1cHt .at .v
'
l liii
--1!!1I
-
• •
Gambar 2.4c.
JHB1, JHB2, Garis Biaya yang Tidak Bisa Direalisasi dan Q Minimum.
Hal ini bisa terjadi sebab dalam persamaan biaya di atas (JHB1 atau
JHB2) perbedaannya pada harga beli barang. Dalam harga beli barang (RP1
atau RP2) ini tidak mengandung Q. Jadi, dianggap sebagai bilangan, kalau
diturunkan sama dengan 0.
2R Cs
Qmin == Qlmin == Q2min == Ci
Dalam mencari jumlah yang optimal ini mula-mula kita cari jumlah
pembelian yang meminimumkan JHB, dengan rumus Qmindi atas:
a. Kalau Qmin berada di atas batas potongan harga maka jumlah pembelian
yang optimal pada titik Qmin (Q* = Qmin), seperti pada Gambar 2.4.a.
b. Kalau Qmin di bawah batas potongan harga maka kita hitung JHB1 pada
titik Qminimum dibandingkan dengan JHB2 pada titik b (batas potongan
harga). Kalau JHB2 pada titik b yang lebih murah daripada JHB1 pada
titik Qmin (seperti pada Gambar 4.b) maka kita pilih Q (Q optimal) pada
titik b, tetapi kalau nilai JHB1 pada titik Qmin yang lebih murah daripada
JHB2 pada titik b (seperti pada Gambar 4.c) maka kita pilih titik Qmin
sebagai Q* (Q optimum). Untuk jelasnya, dapat dilihat pada contoh
berikut.

Contoh 2.2
Suatu perusahaan roti setiap tahun memerlukan 2.400 kuintal gandum.
Kebutuhan akan gandum ini sepanjang tahun relatif stabil. Kalau jumlah
setiap pembelian kurang dari 500 kuintal maka harga beli gandum setiap
kuintal Rp20.000,00, tetapi kalau jumlah setiap pembelian paling tidak 500
kuintal harga beli gandum hanya Rp18.500,00 setiap kuintal. Biaya
pemeliharaan barang di gudang setiap kuintal sebesar Rp400,00. Biaya setiap
melakukan pemesanan sebesar Rp35.000,00.
Q
2
(
2
.
400
)
35
·
000
= 648,07 kuintal
min = 400
Oleh karena Omin = 648,07 kuintallebih besar dari batas potongan harga
maka titik Q* sebesar 648,07 kuintal.
rrnUM1 ftatga
~:en~v ·
Contoh 2.3
...
1!!!1
-~
Ill
[
Gambar 2.5.
Andaikata dalam Contoh 2.2 di atas biaya pemesanan tidak Rp35.000,00,
tetapi kita ganti dengan RplO.OOO,OO maka:
Qmin = 2(2.400)10.000 = 346,41 kuintal
400

• EKMA4413/MODUL 2 2.19
karena Qmin = 346,41 kuintal lebih kecil dari b maka harus dibandingkan
JHB1pada titik Qmin dengan JHB2 pada titik b.
JHB1 pada Qmin, yaitu:
= 2.400(20.000) +
2
.400 (1 0.000) +
346
•
41
(400) = Rp 48.138.564,06
346,41 2
JHB2 pada titik b, yaitu:
2.400 500
== 2.400(18.500) + (10.000) + (400) == Rp 44.548.000,00
500 2
Oleh karena JHB2 pada titik b lebih murah daripada JHB1pada titik Qmin
maka jumlah setiap pembelian yang optimum (Q*) sebesar b, yaitu 500
kuintal.
Contoh 2.4
IJl"''tl ~Jl ti;aJ' ~p
~nl'j ~a
I ,
11!!11 I - -
- -~ I
ll1 1r ., ~c~·~ 11) ~~~LW
•
Gambar 2.6.
Andaikata dari Contoh 2.2 kita ubah, di samping biaya pemesanannya
menjadi Rp5.000,00 juga biaya pemeliharaan barang yang mula-mula
Rp400,00 menjadi Rp600,00 setiap kuintal setiap tahun maka:
Qmin = 2(2.400)5.000 = 200 kuintal
600
Oleh karena Qmin lebih kecil dari b maka hams kita pilih antara Qmin
dengan b sebagai Q*.

JHB1 pada Qmin = 200(20.000) +
2
•
400
(5.000) +
200
(600) =
200 2
Rp4.120.000,00
JHB2 pada titik b == 500(18.500) +
2
.400 (5.000) +
500
(600) ==
500 2
Rp9.424.000,00
Berdasarkan kedua hitungan di atas temyata JHB1 pada titik Qmin lebih
murah maka kita pilih titik Qmin sebagai titik Q* . Jadi, Q* atau jumlah
pembelian yang paling optimum sebesar 200 kuintal.
1~nn11aJ11M,8JYQSI
H~n;IHla:~a·
..
Gambar 2.7.
B. MODEL PERSEDIAN BARANG YANG DIBUAT SENDIRI
Dalam model ini barang yang dibutuhkan tidak dibeli tetapi dibuat
sendiri. Tentu saja dalam membuat itu tidak bisa sekaligus dalam jumlah
yang banyak, tetapi secara sedikit demi sedikit tergantung pada produktivitas
pembuatannya. Tingkat produksi setiap tahun (kalau sepanjang tahun
berproduksi) kita beri simbol Pr dan kebutuhan selama setahun sebesar R.
Dalam hal ini dianggap P selalu lebih besar dari pada A.
Hubungan antara waktu dengan hasil pembuatan barang yang
diperlukan, seperti yang dilihat pada Gambar 2.8. Pada gambar tersbut
tampak bahwa mula-mula barang dalam persediaan tidak ada (sebesar 0).
Andaikata perusahaan berproduksi saja tanpa menggunakan barang yang

• EKMA4413/ MODUL 2 2.21
dibuatnya itu maka jumlah barang yang dibuatnya itu akan bertambah terus,
seperti pada garis produksi dengan slope Pr. Setelah jumlah barang sesuai
dengan jumlah dalam order produksi maka produksi dihentikan. Dalam hal
ini produksi dilakukan selama t1.
- - .Alun~fah R~r~ttfu~~
...
•
l
o·
. ..
.·BI''"~Ar
Gambar 2.8.
Hubungan Antara Waktu dengan Jumlah Barang yang Dibuat Sendiri Kalau
Perusahaan tidak Menggunakannya.
Andaikata perusahaan sudah memiliki barang yang dibutuhkan (tidak
usah membuat dulu) maka hubungan antara waktu dengan pemakaian barang
seperti terlihat pada Gambar 2.9. Mula-mula jumlah barang sebanyak Q.
Setelah dipakai sedikit demi sedikit berkurang dan pemakaian akan habis
(mencapai titik 0). Pengurangan persediaan itu dengan slope R (kebutuhan
selama setahun).
4~1· ftth·~~rao·e
'
-.Q
.___-----------~~--'- ·r•,u-l<lLI •~ • _ ~:v~w~•
~ -._____ :t-.....-------
Gambar 2.9.
Hubungan
antara Waktu
dengan
Pemakaian
Barang kalau
Barang Sudah
Tersedia
Dalam uraian di atas hanya dibahas penambahan barang dalam
persediaan (tidak sambil dipakai) dan pemakaian barang yang sudah ada

(tanpa dibuat dulu). Padahal, dalam model persediaan barang kebutuhan yang
dibuat sendiri ini, di samping menghasilkan juga tetap menggunakan barang
itu (misalnya untuk produksi). Oleh karena itu, sekarang kita gabungkan,
seperti yang terlihat pada Gambar 2.10. Pada gambar itu kita lihat bahwa
dalam satu siklus pemesanan terdapat 2 segitiga. Segitiga pertama di sebelah
kiri, pada waktu perusahaan sedang membuat barang dan pada saat yang
bersamaan pemakaian barang tetap berjalan seperti biasa. Jadi, menghasilkan
sambil dipakai karena tingkat produktivitas (Pr) lebih tinggi dari pada tingkat
pemakaian maka sisanya masuk persediaan sehingga jumlah persediaan
selalu bertambah dengan slope (Pr - R). Dengan menggunakan sudut dan
garis segitiga itu maka dapat dihitung besar persediaan maksimum sebesar:
Q(Pr-R)
Pr
Jangka waktu berproduksi tetap sebesar t1 karena setelah order terpenuhi
produksi berhenti.
Segitiga kedua di sebelah kanan yang menunjukkan daerah di mana
perusahaan sedang tidak menghasilkan barang yang dibutuhkan tetapi hanya
menggunakan barang itu. Jumlah barang berkurang sedikit demi sedikit
dengan slope garis sebesar -R. Jangka waktu memakai saja tanpa berproduksi
selama t2. Jangka waktu satu siklus pemesanan selama t = t1 + t2.
i
~JI - kI • I
If.- l11 lllih~•.,_, - -......;: ..,..- -----"'1
J...· - - - - - I - - - - ----."'"-
'
Gambar 2.1 0.
Hubungan antara Waktu, Produksi, dan Pemakaian Barang

• EKMA4413/MODUL 2 2.23
Lama setiap siklus pemesanan selama Q/R tahun, yaitu sebesar jumlah
yang dipesan dibagi kebutuhan selama satu tahun. Jangka waktu berproduksi
(ti) sebesar Q/Pr, yaitu jumlah order produksi dibagi produktivitas selama
satu tahun dan lamanya memakai saja tanpa produksi (t2) dapat dicari dengan
(t- t1). Jadi,
t == Q
R
Qtl ==-
Pr
t2 == t- t1 == Q- Q =Q Pr-R
R Pr RPr
Untuk bisa menentukan jumlah setiap pemesanan yang paling ekonomis
harus kita ketahui dulu jumlah biaya yang mempengaruhi kebijaksanaan
pemesanan pembuatan ini. Kita mengenal ada dua macam biaya
pemeliharaan barang di gudang.
1. Biaya Set-Up
Dalam model ini kita juga mengenal biaya set-up, yaitu biaya memulai
berproduksi, yang antara lain berupa menyetel mesin, mempersiapkan
kebutuhan untuk proses produksi, membuat schedule, menjelaskan kepada
karyawan yang akan mengerjakan, dan lain-lain. Besar biaya ini sama untuk
setiap memulai produksi, yaitu sebesar Cs. Jumlah biaya set-up ini selama
satu tahun sebesar frekuensi pemesanan (dalam setahun memesan beberapa
kali) dilakukan dengan biaya set-up sekali memesan, sebagai berikut.
Jumlah biaya set-up selama satu tahun = R Cs
Q
2. Biaya Pemeliharaan Barang
Biaya pemeliharaan barang di gudang sebesar jumlah barang yang
disimpan rata-rata dikalikan dengan biaya simpan setiap tahun (Ci).
Rata-rata jumlah barang yang disimpan dalam gudang selama satu siklus
sama dengan rata-rata luas 2 segitiga itu dan sama dengan jumlah dari dua
segitiga itu. Tinggi tiap segitiga sama dengan jumlah persediaan maksimum
= Q (Pr - R) I Pr. Oleh karena itu, luas kedua segitiga tersebut sebagai
berikut.
Luas segitiga pertama
1
=-t
2 1
Pr-R
Q Pr

2.24
Luas segitiga kedua
Pr-R
Pr
Riset Operasi •
Biaya pemeliharaan barang selama satu siklus pemesanan sebagai berikut.
1 Q Pr - R 1 Q Pr - R Ct.- t +- t
2
1
Pr 2
2
Pr
--
--
Q2
( Pr- R) Q2
( Pr- R)
----+ cl
2Pr2
2RPr2
Pr-R
Pr
Ci
Biaya pemeliharaan selama satu tahun berarti sama dengan biaya
pemeliharaan selama satu tahun siklus dikalikan dengan frekuensi pemesanan
hasilnya sebagai berikut.
Q Pr-R c·-X 1
2 Pr
Jumlah dari biaya set-up dan biaya pemeliharaan barang selama satu tahun:
JB = R Cs + Q Pr - R Ci
Q 2 Pr
Berdasarkan persamaan biaya tersebut diatas bisa dicari jumlah
pemesanan produksi barang yang bisa meminimumkan biaya:
Q* = 2RCs Pr
Ci Pr-R

• EKMA4413/MODUL 2 2.25
Contoh 2.4
Suatu perusahaan memerlukan onderdil untuk membuat suatu produk
sebanyak 100.000 buah setiap tahun. Onderdil itu tidak dibeli dari luar
perusahaan, tetapi dibuat sendiri, dengan tingkat produktivitas sebanyak
200.000 buah kalau selama 1 tahun membuat terns. Setiap memulai
berproduksi memerlukan biaya persiapan Rp5.000,00. Biaya pembuatan
onderdil itu setiap buah sebesar Rp10,00 dan biaya pemeliharaan dalam
penyimpanan setiap tahun sebesar 20% dari nilai persediaan.
Berdasarkan data itu dapat diketahui bahwa biaya pemeliharaan gudang
setiap tahun setiap barang (Ci) = Rp2,00, Cs = Rp5.000,00, R = 100.000
dan Pr = 200.000
Jumlah setiap pemesanan yang optimal:
Q* = 2(100.000) 5.000 200.000 =
31.623 buah
2 200.000-100.000
Waktu optimal setiap membuat pemesanan onderdil
*
31
·
623
0 1 8 h k' k' 58 h .t = = , 5 ta un, Ira- Ira ari
200.000
Jangka waktu setiap siklus pesanan, yaitu jangka waktu antara suatu
pembuatan dengan pembuatan onderdil berikutnya:
t* =
31
·
623
= 0, 316 tahun, kira-kira 115 hari
100.000
Jumlah biaya yang optimal,
JB = 100.000 S.OOO + 31.623 200.000-100.000
31.623 2 200.000
= 31.623
yaitu sebesar Rp31.623,00.
Demikianlah beberapa contoh untuk model inventory, tentu saja masih
ada model lain yang belum dibicarakan di sini.

LATIHAN
1) Suatu perusahaan memerlukan 2.000 buah bahan baku A selama 1 tahun.
Kalau dalam pembelian barang itu kurang dari 1.000 buah maka harga
setiap barang Rp2.000,00. Tetapi kalau setiap membeli paling tidak
1.000 buah barang maka harga belinya hanya Rp1.900,00. Biaya untuk
setiap kali pemesanan sebesar Rp20.000,00 dan biaya pemeliharaan
barang dalam gudang setiap buah barang setiap tahun Rp320,00.
Hitunglah jumlah pembelian yang paling optimal!
2) Data dan pertanyaannya, seperti soal nomor 1 di atas, tetapi biaya set-up
(pemesanan) setiap kali memesan sebesar Rp119.072,00. Hitung pula
jumlah harga barang dan biaya pada titik optimum itu!
3) Data dan pertanyaannya seperti soal nomor 1 di atas, tetapi harga
pembelian kalau jumlah pembelian paling tidak 1.000 buah barang
sebesar Rp1.990,00.
4) Suatu perusahaan memerlukan komponen nomor #534 untuk membuat
suatu produk. Kebutuhan komponen itu, setiap tahun sebanyak 5.640
buah. Komponen itu dibuat sendiri dengan kapasitas setiap tahun 67.680
buah (kalau berproduksi terus-menerus). Biaya set-up setiap memulai
berproduksi sebesar Rp80.000,00 dan biaya pemeliharaan barang setiap
unit sebesar 20% dari harga barang. Harga beli setiap unit barang
Rp5.000,00.
5) Perusahaan mobil PT Sabang Merauke memerlukan suku cadang untuk
pembuatan mobil-mobil basil produksinya. Suku cadang itu dibuat
sendiri di dalam pabrik. Beberapa informasi yang berhasil dikumpulkan
adalah sebagai berikut.
Biaya produksi pembuatan tiap suku cadang Rp17.500,00
Kapasitas produksi suku cadang setiap hari 40 buah.
Kebutuhan suku cadang setiap hari 10 buah.
Biaya persiapan setiap siklus produksi Rp25.000,00.
Biaya penyimpanan/suku cadang tiap tahun Rp 50,00.
Jumlah hari kerja dalam satu tahun 300 hari.
a. Berapa jumlah suku cadang yang sebaiknya dibuat pada setiap
siklus produksi agar meminimumkan biaya?

• EKMA4413/MODUL 2 2.27
b. Berapakah jumlah biaya set-up dan biaya pemeliharaan selama
setahun apabila produksi suku cadang itu sesuai dengan Q optimal?
Petunjuk Jawaban Latihan
1)
2)
Q . == 2(2.000)(20.000) == 500 buah barang
mm 320
Oleh karena Omin di bawah batas potongan harga maka harus
dibandingkan JHB1 pada Omin dengan JHB2 pada batas potongan harga,
dipilih yang termurah.
~ pada Titik <Jun 2.000(2.000)t
2
·000
~0.000+) 500
~0= )4.160. 000
500 2
JHB2 pada Batas Potongan Harga ==
= 2.000( 1.900) +
2
·
000
(20.000) +
1
·
000
(320) = 4.000.000
1.000 2
2 (2.000) (119.072)
Q . == == 1.220 buah barang
mm 320
Ternyata Qmin berada di atas batas potongan harga maka jumlah setiap
kali pembelian yang optimum = 1.220 buah barang.
Jumlah harga dan biaya = Rp4.190.400,00
3) Omin sebesar 500 buah barang.
JHB1 pada Qmin = Rp4.160.000,00
JHB2 pada batas potongan harga = Rp4.180.000,00
Jadi jumlah pembelian optimal pada titik Omin sebanyak 1.220 buah
barang.
4) Jumlah pemesanan yang paling optimal:
* 2 (5.640) (8.000) 67.680
Q = 5.000 (0, 20) 67.680-5.640
= 327,71 dibulatkan menjadi 328 buah.
5) a. Kebutuhan suku cadang untuk produksi mobil setiap tahun adalah
300 x 10 buah = 3.000 buah. Kapasitas produksi suku cadang tiap
tahun (kalau membuat terus) sebesar 300 x 40 buah = 12.000 buah.
Q
* == 2 (3.000) (25.000) 12.000
- - - - - == 2.000 buah.
50 12.000-3.000

Catalan: Rata-rata produksi dalam tanda akar bagian kanan (Pr) bisa
juga harian, tetapi tingkat kebutuhan pada bagian itu harus harian juga
(r). Sedang kebutuhan di bagian kiri (dalam akar) harus selama satu
tahun (R), hasilnya sama sebagai berikut.
* 2 (3.000) (25.000) 40
Q == == 2.000 buah
50 40-10
b. Jumlah biaya set-up dan biaya pemeliharaan barang selama setahun
(dalam rupiah) adalah
JB = 3.000 (25.000) + 2.000 12.000-3.000 50= 75.000
2.000 2 12.000
; RANGKUMAN
Pada kegiatan belajar ini mula-mula dibahas model inventory kalau
terdapat potongan harga. Dalam hal ini kita harus memilih titik optimal
dengan ketentuan sebagai berikut.
a. Kalau Qminimum lebih dari batas potongan harga maka titik Q optimal
pada titik Qminimum·
b. Kalau Qminimum lebih dari batas potongan harga maka Q optimal
harus dipilih di antara Qminimum dan batas potongan harga yang
memiliki JHB terendah.
Pada bagian berikutnya dibahas perencanaan persediaan atas
kebutuhan barang yang dibuat sendiri. Oleh karena itu, pada model ini
kita masukkan tingkat produksi di samping tingkat kebutuhan untuk
menghitung Q optimal. Pada saat berproduksi (membuat barang yang
dibutuhkan) bersama-sarna dengan pemakaian barang. Produksi
dilakukan sedikit demi sedikit sehingga persediaan bertambah secara
berangsur-angsur pula. Tingkat pertambahan persediaan sebesar
kelebihan produksi di atas pemakaian.

• EKMA4413/MODUL 2 2.29
TES FORMATIF 2
Data berikut digunakan untuk menjawab soal no. 1 sd 5
Setiap tahun kebutuhan bahan baku suatu perusahaan relatif stabil, yaitu
sebesar 80.000kg. Biaya pemesanan Rp2.000,00 dan biaya pemeliharaan
barang di gudang setiap kg selama setahun Rp6,4. Sedang bunga
pembelian bahan baku tersebut sebagai berikut.
a. Pembelian kurang dari 8.000 kg harga tiap kg Rp30,00
b. Pembelian 8.000 sampai dengan 10.000 kg harga tiap kg Rp28,00
c. Pembelian lebih dari 10.000 kg harga tiap kg Rp27,00
1) Jumlah pembelian Qminimum bahan baku, yaitu ....
A. 7.000 kg
B. 7.100 kg
C. 7.200 kg
D. 7.300 kg
2) Jumlah harga barang (JHB) pada tingkat pembelian kurang dari
8.000 kg adalah ....
A. Rp2.445.255,00
B. Rp2.255.445,00
C. Rp2.544.255,00
D. Rp2.552.445,00
3) Jumlah harga barang (JHB) pada tingkat pembelian 8.000 sd.
10.000 kg adalah ....
A. Rp2.445.255,00
B. Rp2.285.600,00
C. Rp2.208.000,00
D. Rp2.200.000,00
4) Jumlah harga barang (JHB) pada tingkat pembelian lebih dari 10.000
kg adalah ....
A. Rp2.445.255,00
B. Rp2.285.600,00
C. Rp2.208.000,00
D. Rp2.200.000,00
5) Berdasarkan perbandingan biaya maka seharusnya perusahaan
melakukan pembelian pada kuantitas ....

A. < 8.000 kg
B. 8.000 sd. 10.000 kg
C. > 10.000 kg
D. tidak ada yang benar
Cocokkanlahjawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif2 yang
Tingkat penguasaan = - - - - - - - - - - x 100%
Jumlah Soal
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
belum dikuasai.

• EKMA4413/ MODUL 2 2.31
Kunci Jawaban Tes Formatif
Tes Formatif1 Tes Formatif2
1) c 1) B
2) A 2) A
3) B 3) B
4) D 4) c
5) A 5) c

Daftar Pustaka
Churchman, C.W., Ackoff, R.. dan Arnoff, E.L. Introduction to Operations
Research. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Subagyo, P., Asri, M. dan Handoko, T. H. Dasar-dasar Operations
Research. Yogyakarta: BPFE.
Taha, H. A. (1982). Operations Research, An Introduction. McMillan
Publishing Co. Inc.

Modul
Linear Programming, Metode Grafik
Drs. Pengestu Subagyo, M.B.A.
PENDAHULUAN
itinjau dari kata-katanya, linear programming berarti pembuatan
program atau rencana yang mendasarkan pada asumsi-asumsi linear.
Penjelasan di atas merupakan pengertian secara sempit. Adapun arti secara
lebih luas adalah suatu cara alokasi sumber daya yang terbatas jumlahnya
secara optimal untuk melaksanakan beberapa macam aktivitas yang
semuanya memerlukan sumber-sumber daya tadi.
Sumber daya yang ada yang akan kita gunakan untuk mencapai tujuan
kita itu terbatas jumlahnya, padahal kita harus melaksanakan beberapa
aktivitas, yang tiap-tiap aktivitas itu memerlukan sumber-sumber daya tadi
sehingga seolah-olah aktivitas-aktivitas itu berebut sumber daya yang
terbatas jumlahnya itu. Oleh karena itu, sumber-sumber daya itu hams
dialokasikan sedemikian rupa agar diperoleh hasil yang optimal. Yang
dimaksud dengan optimal di sini adalah yang sebaik-baiknya untuk kita,
tentu saja kalau hal-hal yang kita senangi, seperti laba, penerimaan uang,
kepuasan, kenikmatan, kegembiraan, dan sebagainya kita usahakan sebanyak
mungkin (kita maksimumkan), sedang untuk hal-hal yang tidak kita senangi,
seperti kerugian, pembayaran, biaya, kesedihan, kekecewaan, waktu
menunggu dan sebaiknya kita tekan sekecil apa pun (kita minimumkan).
Adapun yang dimaksud dengan asumsi linear adalah anggapan bahwa
perubahan segala sesuatu yang dimaksudkan dalam model kita bersifat linear,
ada hubungan linear atau proporsional dengan tingkat aktivitas yang kita
lakukan.
Sebagai contoh masalah alokasi sumber untuk melaksanakan aktivitas-
aktivitas dengan optimal adalah dalam kegiatan kita sehari-hari. Sebenamya
banyak aktivitas yang akan kita laksanakan, tetapi terdapat batasan paling
tidak waktu yang sehari hanya ada 24 jam dan uang hanya sebanyak yang
kita miliki. Padahal, kita ingin belajar, olahraga, memperoleh hiburan,

istirahat, dan sebagainya. Semua aktivitas itu, kalau bisa akan kita laksanakan
semua agar diperoleh kepuasan yang sebanyak-banyaknya, tetapi sayang
sekali terbatasnya waktu dan uang yang kita miliki menyebabkan kita hams
membagi waktu dan uang kita sedemikian rupa agar tingkat pelaksanaan tiap
aktivitas itu dapat sebaik-baiknya bagi kita. Misalnya, belajar 3 jam, olahraga
sekali seminggu saja, tidur setiap hari 7 jam, hiburan seminggu sekali saja
dan sebagainya. Pengaturan itu terpaksa kita lakukan karena tidak mungkin
kita melaksanakan semua aktivitas sepuas-puasnya sehingga dicari kombinasi
yang terbaik bagi kita.
Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan bisa menerapkan cara
alokasi sumber daya yang terbatas secara optimal, untuk melaksanakan
beberapa kegiatan, dengan asumsi-asumsi linear.
Secara khusus telah mempelajari modul ini, diharapkan Anda bisa:
1. membuat formulasi masalah ke dalam persamaan-persamaan dan
menyusunnya ke dalam linear programming;
2. memecahkan masalah secara sederhana dengan pendekatan grafik;
3. menjelaskan dasar pemikiran yang digunakan dalam linear
•
programmzng;
4. menafsirkan arti dari hasil pemecahan optimal berdasarkan metode
grafik sebagai dasar dalam mengambil keputusan.

Kegiatan Belajar
Pemecahan Masalah yang Masih dalam
Bentuk Standar dengan Metode Grafik
A. FORMULAS! MASALAH
Agar masalah yang kita hadapi bisa diselesaikan, terlebih dahulu harus
diformulasikan atau dinyatakan dalam persamaan-persamaan linear,
persamaan ini ada dua macam, yaitu pertama yang menyatakan tujuan yang
akan dicapai, misalnya bertujuan memaksimumkan atau meminimumkan
nilai tertentu dengan masalah-masalah yang kita hadapi. Adapun macam
persamaan yang kedua adalah persamaan atau fungsi yang menunjukkan
batasan-batasan yang dalam batasan ini terdiri dari dua macam, yaitu yang
disebut batasan fungsional menyatakan keterbatasan sumber daya yang ada
dan batasan non-negatif yang menyatakan bahwa hasil pemecahan itu tidak
boleh negatif. Batasan biasanya berbentuk pertidaksamaan dengan tanda <_,
yang menunjukkan maksimum tersedianya sumber serta kebutuhan sumber
itu oleh tiap aktivitas. Untuk membuat persamaan-persamaan itu kita
menggunakan simbol-simbol sebagai berikut.
•
1
•
J
m
n
~j
b·1
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Nomor dari sumber daya
Nomor aktivitas
Banyaknya macam sumber
Banyaknya macam aktivitas
Kebutuhan setiap unit aktivitas j akan sumber i.
Banyaknya sumber i yang tersedia
Manfaat yang diperoleh oleh setiap unit aktivitas j
Ukuran (unit) aktivitas
Jumlah nilai yang mau dituju, maksimumkan untuk manfaat atau
penerimaan dan minimumkan untuk biaya, pembayaran atau
pengorbanan.
Untuk menjelaskan cara formulasi masalah ke dalam persamaan-
persamaan linear maka kita gunakan contoh sebagai berikut.

PT. KEMBANG ARUM menghasilkan 2 macam barang. Setiap unit
barang pertama memerlukan bahan baku A = 2 kg dan bahan baku B = 2 kg.
Setiap unit produk kedua memerlukan bahan baku A = 1 kg dan bahan baku
B = 3 kg. Jumlah bahan baku A yang bisa disediakan perusahaan sebanyak
6.000 kg dan bahan baku B = 9.000 kg. Sumbangan terhadap laba dan biaya
tetap (yang dihitung dengan harga jual per satuan di kurangi biaya variabel
per satuan) setiap unit produk pertama sebesar Rp3,00 dan setiap unit produk
kedua Rp4,00.
Agar masalah di atas bisa jelas kita pahami maka kita susun ke dalam
tabel, seperti yang terlihat pada Tabel 3.1.
Tabel 3.1.
Kebutuhan Bahan Baku per Unit, Maksimum Tersedianya Bahan Baku dan
Sumbangan Terhadap Laba
PRODUK BAHAN KEBUTUHAN BAHAN BAKU/UNIT KAPASITAS
BAKU Produk 1 Produk 2 MAKSIMUM
A 2 1 6.000
B 2 3 9.000
Sumb8ng8n terh8d8p 3 4
L8b8 d8l8m RP.•
Kalau simbol-simbol yang ada di depan kita masukkan ke dalam tabel di
atas maka akan terlihat pada Tabel 3.2.
Tabel 3.2.
Kebutuhan Bahan Baku Per Unit, Maksimum Tersedianya Bahan Baku, serta
Simbol-simbolnya
KEBUTUHAN BAHAN
PRODUK BAHAN BAKU BAKU/UNIT KAPASITAS MAKSIMUM
Produk 1 Produk 2
A 2 811 1 821 6.000 b1
B 2 812 3 822 9.000 b2
Sumb8ng8n terh8d8p 3 C1 4 C2
L8b8 (d818m Rp}.
Untuk membuat formulasi masalah, marilah kita ikuti langkah-langkah
sebagai berikut.
1. Fungsi tujuan

• EKMA4413/ MODUL 3 3.5
Seperti telah dikemukakan di muka, fungsi ini menunjukkan tujuan yang
akan dioptimalkan bisa dimaksimumkan atau diminimumkan nilai tujuan
yang diberi simbol Z. untuk pertama kali kita buat saja bentuk yang paling
sederhana, yaitu maksimumkan nilai tujuan dengan persamaan sebagai
berikut.
Maksimumkan
Untuk contoh kita di atas tujuannya adalah memaksimumkan seluruh
nilai sumbangan terhadap laba, padahal setiap unit produk 1 dan produk 2
masing-masing sebesar Rp3,00 dan Rp4,00 maka fungsi tujuan sebagai
berikut.
Maksimumkan
Sebetulnya formulasi di atas lebih mudah lagi kalau kita lihat pada Tabel
3.2 karena di samping angka sudah tercantum juga simbolnya sehingga
tinggal mengambil saja.
2. Batasan Fungsional
Batasan ini menunjukkan alokasi sumber yang tersedia. Kalau setiap unit
aktivitas memerlukan a unit sumber i maka dapat ditunjukkan dengan
persamaan sebagai berikut.
a11 X1 + a12 X2+ a13 X3+ .......ain+ Xn :::; b1
(untuk i= 1,2,3, ....m)
atau secara lebih jelas :
au x l + al2x 2+ a13 x 3+ ........ a1n Xn
a21X1+ a22 x 2+ a23 x 3+ ........ a2n Xn
a31xl + a32 x 2+ a33 x 3+ ........ a3nXn
•.•.•.•.•.•.•.
<-
<-
<-
•.•.•.•.•.•.•.
Pada contoh di depan kita memiliki dua batasan, yaitu bahan baku A dan
bahan baku B. Bahan baku A dibutuhkan oleh setiap unit produk pertama
sebanyak 2 kg dan oleh setiap unit produk kedua sebesar 2 kg. Jadi,
banyaknya kebutuhan setiap unit produk pertama akan bahan baku A (2 kg)
ini dikalikan dengan jumlah produk pertama yang dihasilkan (X1) ditambah
dengan kebutuhan produk ke-2 akan bahan baku A (1 kg) di kali dengan

jumlah produk ke-2 yang dihasilkan (X2) merupakan kebutuhan bahan baku
A untuk berproduksi. Ini tidak boleh melebihi 6.000 kg sehingga formulasi
batasan bahan baku A ini sebagai berikut.
2X+X< 6.000
Demikian pula untuk bahan baku B, dengan logika yang sama dapat
disusun persamaan sebagai berikut.
2X1 + 32 <9.000
3. Batasan Non-Negatif
Batasan non-negatif mengharuskan hasil aktivitas itu (X1 dan X2) tidak
boleh negatif, harus positif atau paling kecil sebesar 0. Hal itu dapat
dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut.
x1 ~ o; x2 ~ o
Secara keseluruhan dapat kita cantumkan formulasi masalah di atas ke
dalam fungsi-fungsi sebagai berikut.
Fungsi tujuan : Maksimum Z = 3X1 + 4X2
Batasan-batasan : (1) 2X1 + X2 :::; 6.000
(2) 2X1 + 3X2 :::; 9.000
(3) X1 > o; x2 > o
Bentuk formulasi di atas disebut bentuk standar dari linear
programming, yaitu bentuk yang paling sederhana dan bisa langsung
dipecahkan. Tanda-tanda dari bentuk standar adalah:
a. fungsi tujuan bersifat memaksimumkan;
b. batasan fungsional bertanda < atau tidak boleh lebih dari nilai
maksimum tertentu;
c. batasan non negatif bertanda ~ 0 atau nilai ukuran aktivitas (Xj)
minimum 0, tidak boleh negatif.
Dalam kenyataan banyak masalah yang formulasinya tidak persis sama
dengan bentuk standar di atas, misalnya fungsi tujuan bersifat
meminimumkan, batasan fungsional bertanda ~ atau = dan fungsi batasan
non-negatif bertanda tidak boleh lebih kecil dari nilai tertentu, tidak boleh
lebih besar dari nilai tertentu atau bertanda boleh positif atau negatif.

Masalah tersebut tetap dapat dipecahkan dengan linear programming asalkan
masih memenuhi asumsi-asumsi linear.
Setelah masalah diformulasikan, kemudian dipecahkan. Ada dua metode
yang bisa dipakai untuk menyelesaikannya, yaitu metode grafik dan metode
simpleks. Metode grafik merupakan pemecahan masalah yang menggunakan
bantuan grafik. Cara ini sederhana, tetapi hanya bisa dipakai kalau masalah
itu hanya mempunyai dua aktivitas atau 2 variabel saja. Kalau lebih dari dua
variabel tidak bisa diselesaikan dengan metode grafik karena membuat grafik
itu hanya mudah kalau gambarnya hanya dua dimensi atau dengan dua
sumbu. Dalam metode simpleks kita gunakan tabel atau matriks sehingga
bisa digunakan untuk memecahkan masalah yang aktivitasnya lebih banyak.
Kedua metode ini akan dibahas tersendiri dalam uraian berikutnya.
B. PEMECAHAN MASALAH DENGAN METODE GRAFIK
Salah satu metode dari linear programming adalah metode grafik.
Metode ini sangat sederhana karena mencoba memecahkan masalah dengan
bantuan grafik dua dimensi. Di dalam menggambar grafik hanya mungkin
dilakukan dengan baik kalau dilakukan dengan 2 sumbu, yaitu sumbu
vertikal dan sumbu horizontal sehingga pemakaian metode ini hanya terbatas
pada masalah yang hanya memiliki dua aktivitas saja. Meskipun metode ini
memiliki kelemahan, seperti yang disebutkan di atas, tetapi biasanya
dipelajari dahulu sebelum kita membicarakan metode simpleks yang lebih
rumit karena dengan mengetahui metode grafik ini akan mempermudah kita
dalam memahami hakikat dari linear programming.
Sebelum kita membicarakan masalah yang rumit dan dilengkapi dengan
berbagai variasi, sebelumnya kita bicarakan pemecahan masalah dalam
bentuk standar, seperti bentuk formulasi yang kita lihat pada BAB I . Adapun
langkah-langkah untuk menyelesaikannya sebagai berikut.
1. Persiapan
Mula-mula gambarkanlah sumbu horizontal yang mewakili ukuran
aktivitas pertama (atau produk pertama yang dihasilkan dalam contoh kita)
yang diberi simbol X1, dan sumbu vertikal yang mewakili tingkat aktivitas
kedua atau jumlah produk 2 yang dihasilkan dalam contoh kita yang diberi
simbol X2, seperti yang terlihat dalam Gambar 3.1

3.8
...
'
• •
- -
Gambar 3.1.
Sumbu X1 dan Sumbu X2
2. Menggambarkan Semua Batasan Fungsional
Riset Operasi •
•
••
Semua batasan kita tambahkan pada gambar di atas. Pada contoh di atas
hanya ada dua batasan fungsional, yaitu bahan baku A dan bahan baku B.
Batasan bahan baku A adalah:
2x1+ x2~ 6.ooo
Oleh karena maksimum jumlah bahan baku A yang tersedia 6.000 kg,
berarti penggunaan tidak lebih dari 6.000 kg. Yang mula-mula bisa kita
gambarkan adalah penggunaan maksimumnya, barn kemudian daerah yang
bisa dicapai. Maksimum penggunaan kapasitas bahan baku A ditunjukkan
oleh garis:
Untuk menggambarkannya mula-mula harus kita cari titik potongnya
dengan sumbu X2, yaitu pada nilai X1 = 0 sehingga nilai X2 = 6.000,
kemudian kita cari pula titik potong dengan sumbu xb yaitu pada nilai x2=
0 maka kita peroleh nilai X1 = 3.000. Dari kedua titik itu bisa kita gambar
maksimum penggunaan bahan baku A, tetapi garis ini menunjukkan keadaan
andaikata bahan baku A yang ada dimanfaatkan sepenuhnya, padahal
sebenarnya hanya maksimumnya saja yang terletak pada garis itu.

• EKMA4413/ MODUL 3 3.9
Penggunaan yang lebih sedikit masih diperbolehkan. Oleh karena itu, untuk
menunjukkan daerah feasible (yang bisa dicapai) menurut batasan ini, kita
beri tanda anak panah ke kiri bawah dari garis itu seperti yang terlihat pada
Gambar 3.2.
Untuk batasan kedua (bahan baku B) juga kita gambarkan dulu garis
maksimumnya dengan cara, seperti pada batasan pertama di atas sehingga
titik potong pada sumbu X1 pada titik X2 = 0 dan X1 = 4.500. Titik potong
dengan sumbu X terletak pada titik di mana nilai X1 = 0 dan nilai X2 = 3.000.
Setelah bisa digambarkan garis maksimumnya maka kita beri tanda anak
panah ke kiri bawah untuk menunjukkan bahwa daerah yangfeasible, seperti
terlihat pada Gambar 3.2.
3. Menggambarkan Batasan Non negatif
Batasan non-negatif adalah batasan yang tidak mengizinkan nilai sesuatu
variabel itu negatif, berarti nilai X1 maupun X2 harus paling kecil sebesar 0,
atau dengan simbol XI 2 0 dan x22 0. Untuk menggambarkan batasan XI 2
0 cukup dengan memberi anak panah ke kanan pada sumbu X2 karena pada
sumbu itu nilai XI= 0. Demikian pula untuk menggambarkan batasan X2 2 0
kita gambarkan anak panah ke atas pada sumbu XI. karena pada sumbu itulah
nilai X2 = 0. Hal ini dapat dilihat dengan lebih jelas pada Gambar 3.2.
..
•
-
'Q
•
~"" • X~::3 B.I'J[K).
'
f ~....r-~=-r--:- I J..1
tuTtan:
Gambar 3.2.
Batasan-batasan Fungsional dan Batasan-batasan Non negatif serta Daerah
Feasible
Dari Gambar 3.2 di atas dapat kita ketahui daerah feasible (yang bisa
dicapai), yang tidak melanggar batasan-batasan yang ada, yaitu di sebelah
kiri bawah atau pada garis maksimum batasan pertama (bahan baku A), di

sebelah kiri bawah atau pada garis maksimum batasan kedua (bahan baku B),
di atas atau pada sumbu X1 dan di sebelah kanan atau pada sumbu X2. Pada
gambar tersebut ditunjukkan dengan daerah yang dibatasi titik sudut OABC.
4. Mencari Titik Optimal
Titik optimal adalah titik yang paling baik bagi kita. Oleh karena fungsi
tujuan pada masalah di atas memaksimumkan suatu nilai (Z) maka kita harus
memilih salah satu dari titik-titik sudut di atas yang mempunyai nilai Z
tertinggi. Titik-titik sudut 0, A, B, dan C merupakan titik-titik yang
mempunyai kemungkinan untuk terpilih sebagai titik optimal. Kita hanya
memilih di antara titik-titik sudut itu karena titik-titik itu yang mempunyai
nilai Z tertinggi atau terendah daripada semua titik yang berada pada garis di
antara kedua titik sudut itu. Misalnya, titik A dan titik B dihubungkan oleh
suatu garis, nilai Z pada titik A lebih rendah daripada nilai Z pada titik B.
Nilai Z pada semua titik yang berada di sepanjang garis AB pasti lebih
rendah daripada nilai Z pada titik B dan lebih tinggi daripada nilai Z pada
titik A. Untuk mencari titik optimal bisa digunakan dua cara. Cara pertama
dengan menggambarkan garis fungsi tujuan dan memilih titik yang dapat
dicapai oleh garis Z, pada titik paling kanan atas kalau garis Z itu kita geser
sejajar. Cara kedua dengan mencari nilai Z pada titik sudut yang ada,
kemudian memilih titik sudut yang nilai Z-nya tertinggi.
Cara 1: Menggambarkan fungsi tujuan untuk menemukan titik optimal
Untuk mencari titik optimal dengan menggambarkan fungsi tujuan, kita
gunakan gambar fungsi-fungsi batasan Gambar 3.2, tetapi kita
tambahkan di dalamnya garis fungsi tujuan dengan menganggap/
mengandaikan suatu nilai Z tertentu untuk memudahkan sehingga
hasilnya, seperti tampak pada Gambar 3.3. Misalnya, nilai Z sebesar
6.000 maka titik potong pada sumbu X~, pada titik X1 = 2.000 dan titik
potong dengan sumbu x2 pada nilai x2 = 1.500, kemudian garis itu kita
geser sejajar ke kanan atas sampai pada salah satu titik sudut yang
terjauh. Ternyata titik sudut yang terjauh itu adalah titik B. Titik B
terletak pada perpotongan garis batasan pertama (bahan baku A) dan
batasan kedua (bahan baku B). Nilai X1 dan X2 dapat dicari berdasarkan
kedua persamaan batasan itu dengan cara sebagai berikut.
2x1 + x2 = 6.ooo
2X1 + 3X2 = 9.000

• EKMA4413/ MODUL 3 3.11
2X2 = 3.000 Jadi, nilai x2=
3
·
000
= 1.500
2
Nilai X1 dapat dicari dengan memasukkan nilai X2 pada salah satu
persamaan, misalnya kita ambil persamaan batasan pertama:
2X1 + 1.500 = 6.000 sehingga X1 = (6.000-1.500): 2 = 2.250
Sehingga kesimpulan produksi yang optimal adalah dengan
menghasilkan:
Produk pertama sebanyak X1 = 2.250 unit
Produk kedua sebanyak X2 = 1.500 unit
Jumlah sumbangan terhadap laba sebesar
z= 3(2.250) + 4(1500) = 12.750
l~
•
. . -
s.tlao: .
•
. -' . .tl~~ooo ~. -•
•
·~·
Gambar 3.3.
•
Mencari Titik Optimal dengan Menggambarkan Fungsi Tujuan
Cara 2: Mencari titik optimal dengan menghitung nilai Z tiap-tiap titik-titik
sudut
Mula-mula kita cari dulu nilai-nilai Z dari tiap-tiap titik sebagai berikut.
Titik 0 : X1 = 0, X2 = 0 maka nilai Z = 0
Titik A : X1 = 3.000, X2 = 0, nilai Z = 3(3.000) + 4(0) = 9.000

Titik B : Terletak pada perpotongan antara garis batasan bahan baku A
dan batasan bahan baku B. Oleh karena itu, kita cari dulu titik potongnya
dengan menggunakan kedua persamaan batasan itu.
2x1 + x2 = 6.ooo
2X1 + 3X2 = 9.000-
2X2 = 3.000 Jadi, X2 = 1.500
Nilai X dimasukkan pada salah satu persamaan tersebut.
2X1 + 1.500 = 6.000 jadi X1 = (6.000- 1.500) : 2 = 2.250
z = 3(2.250 + 4(1.500) = 12.750
Titik C: X1 = 0, X2 = 3.000, nilai Z = 3(0) + 4(3.000) = 12.000
Ternyata di antara titik-titik sudut itu yang terbesar nilai Z-nya adalah
titik B. Sebetulnya titik 0 sebelumnya memang sudah kita ketahui bahwa
untuk tujuan memaksimumkan pasti tidak akan terpilih karena tidak
menghasilkan baik produk pertama atau kedua, tetapi biar lebih menjelaskan
di sini juga dihitung nilai Z-nya. Ternyata di antara titik-titik sudut itu yang
terbesar nilai Z-nya adalah titik B sehingga titik B-lah yang kita pilih sebagai
titik optimal dalam pemecahan masalah ini, dengan nilai X 1 = 2.250, nilai
x2 = 1.500 dan nilai z= 12.750. Jadi, kesimpulan sebagai berikut.
Jumlah produksi yang bisa memaksimumkan laba adalah:
a. Produk pertama dihasilkan 2.250 unit
b. Produk kedua dihasilkan 1.500 unit
c. Sumbangan terhadap laba seluruhnya = Rp12.750,00
C. PENYIMPANGAN-PENYIMPANGAN DARI BENTUK
STANDAR
Pada contoh di depan telah kita bicarakan pemecahan masalah yang
dilakukan untuk bentuk standar dengan metode grafik. Berikut ini akan
dibahas mengenai pemecahan masalah yang formulasinya menyimpang dari
bentuk standar.
1. Fungsi Batasan Bertanda Lebih Besar atau Sarna Dengan (~)
Penyimpangan yang bisa terjadi, antara lain dengan adanya > pada
batasan masalah. Hal ini berarti bahwa nilai yang diperoleh tidak boleh lebih
kecil dari suatu tingkat tertentu. Yang mula-mula kita rubah tanda

• EKMA4413/MODUL 3 3.13
pertidaksamaan (~) itu menjadi persamaan (=) untuk bisa menggambarkan
garis minimum penggunaan sumber daya/batasan itu. Oleh karena batasan
yang sebenarnya bertanda ~ maka pada garis itu kita berikan tanda anak
panah ke kanan atas untuk menunjukkan bahwa daerahfeasible berada mulai
dari garis itu ke kanan atas. Artinya, penggunaan sumber/batasan bisa
dilakukan minimum pada garis itu, dan penggunaannya yang lebih dari batas
itu masih diizinkan. Untuk lebih jelasnya, kita ubah batasan pertama dari
contoh tadi (mula-mula 2X1 + X2 ~ 6.000) menjadi 2X1 + X2 ~ 6.000.
Bentuk dari batasan yang baru ini seperti terlihat pada Gambar 3.4.
--
0 .
'
Gambar 3.4.
Fungsi Batasan Bertanda
Lebih Besar atau Sarna
Dengan C~)
2. Fungsi Batasan Bertanda Sarna Dengan (=)
Apabila fungsi batasan bertanda sama dengan (=) maka berarti bahwa
daerahfeasible menurut batasan ini berada pada sepanjang garis batasan itu,
tidak boleh menyimpan (lebih atau kurang) dari garis itu. Andaikata batasan
kedua pada contoh di depan (2X1 + 3X2 ~ 9.000) kita ubah menjadi 2X1 +
3X2 = 9.000 maka bentuk batasan itu, seperti yang terlihat pada Gambar 3.5.

3.14
Gambar 3.5.
Fungsi Batasan Bertanda
Sama Dengan (=)
3. Minimumkan Fungsi Tujuan
Riset Operasi •
I ~
••
Suatu masalah mungkin mempunyai tujuan meminimumkan nilai
tertentu, misalnya biaya, kerugian atau pengorbanan yang lain sehingga
fungsi tujuannya berbentuk sebagai berikut.
Minimumkan Z = ciXI + c2X2+ ........cnXn
Untuk mencari titik optimal dari masalah semacam ini kalau memakai
cara dengan menggambarkan fungsi tujuan maka garis fungsi tujuan itu
digeser ke kiri bawah sampai menemukan titik yang terendah (minimum),
yaitu titik optimumnya. Sebagai contoh apabila fungsi tujuan pada contoh
kita di atas diubah menjadi minimumkan dan kita pecahkan pada masalah
yang batasan pertama dan kedua telah diubah (seperti pada perubahan a dan b
di atas) maka persamaan-persamaannya menjadi sebagai berikut.
Fungsi tujuan: Minimumkan Z = 3X1 + 4X2
Batasan-batasan: (1) 2X1 + X2 2 6.000
(2) 2XI + 3X2= 9.000
(3) xi 2 o; x22 o
Pemecahannya, seperti tampak pada Gambar 3.6. Pada gambar tersebut
tampak bahwa daerah feasible berada pada atau di sebelah kanan atas garis
2X1 + X2 = 6.000, pada (sepanjang) garis 2X1 + 3X2 = 9.000, di atas sumbu
XI dan di sebelah kanan sumbu X2, berarti di sepanjang garis antara titik B
dan D, yaitu pada garis yang tebal. Garis fungsi tujuan kita geser ke kiri
bawah sampai melalui titik sudut feasible yang terendah sehingga titik

• EKMA4413/MODUL 3 3.15
optimal berada pada titik B, dengan nilai XI = 1.500, x2= 2.250 dan nilai
z = 12.750.
Andaikata pemecahan masalah ini dilakukan dengan mencoba nilai Z
pada semua titik sudut yang feasible maka pilihlah titik sudut yang
mempunyai nilai Z terkecil. Dalam hal ini nilai Z pada titik B sebesar 12.750
dan nilai Z pada titik E sebesar 13.500 sehingga sesuai dengan tujuan kita
meminimumkan nilai Z maka kita pilih titik B yang nilai Z-nya terkecil.
I I
I ' ,.
·~i I ~2 == tl;@OO]I
- - 1'lo':.
IV,
Q
•
·--------------------------------'
Gambar 3.6.
Pemecahan Optimal Apabila Fungsi Batasan Pertama Bertanda >, Batasan
Kedua Bertanda =dan Fungsi Tujuan Meminimumkan Nilai Z
4. Perubahan dalam Batasan Non negatif
Batasan non-negatif bisa berubah menjadi batasan tidak non-negatif,
tetapi bisa bersifat lebih kecil dari nilai tertentu (baik positifmaupun negatif),
lebih besar dari nilai tertentu (baik positif maupun negatif) atau boleh positif
maupun negatif. Misalnya, batasan non-negatif pertama dari masalah di atas
kita rumah menjadi XI ~ -5.000 maka daerah feasible menurut batasan ini
akan berada pada atau sebelah kanan garis XI = -5.000, seperti terlihat pada
Gambar 3.7. Dalam gambar tersebut terlihat pula kalau perubahan pada
batasan non-negatif dari X1 berubah menjadi X1 ~ 2.000.

3.16
· ~------------------------------
1
·X13-- ~
•
Gambar 3.7.
I • ~1'
I
'
Riset Operasi •
Batasan Non-Negatif untuk X1 Berubah menjadi X1 ~ -500 atau Berubah
menjadi X1 ~ 2.000
D. BEBERAPA ISTILAH/HAL PENTING DALAM LINEAR
PROGRAMMING
Sebelum kita melanjutkan pada pembahasan yang lebih rumit maka
berikut ini disajikan beberapa istilah serta ketentuan yang sangat berguna
dalam mempelajari linear programming.
1. Daerah Feasible
Daerah feasible adalah daerah yang tidak melanggar batasan-batasan
yang ada. Misalnya, pada Gambar 3.2, yang disebut sebagai daerahfeasible
adalah daerah OABC (yang diarsir), sedang pada Gambar 3.6 yang disebut
daerah feasible adalah sepanjang garis BD. Daerah di luar daerah feasible
disebut daerah tidakfeasible, yaitu yang tidak bisa dicapai/direalisasi.
2. Titik Sudut yang Feasible
Yang disebut titik-titik sudut yang feasible adalah titik-titik sudut yang
bisa dicapai, dalam hal ini titik-tiitk O,A,B, dan C pada Gambar 3.2. Titik-
titik yang lain yang berada di luar daerah feasible disebut titik-titik sudut
yang tidakfeasible, yaitu titik-titik D dan E.

• EKMA4413/MODUL 3 3.17
Meskipun yang merupakan daerahfeasible adalah sebidang daerah yang
dibatasi oleh garis-garis yang menghubungkan titik-titik OAB dan C, tetapi
tidak biasanya tidak pernah kita pilih titik di tengah daerah feasible itu karena
pada titik itu berarti tidak memanfaatkan batasan yang ada dengan
sepenuhnya masih ada pengangguran atau kelonggaran yang sia-sia dan tidak
dipergunakan. Biasanya kita pilih optimal pada tepian daerah feasible itu,
yaitu salah satu dari titik-titik sudut yangfeasible. Kita hanya memperhatikan
titik-titik sudut saja yang akan dipilih karena 2 titik sudut biasanya
mempunyai nilai ekstrem di antara semua titik pada garis yang
menghubungkan kedua titik itu. Artinya, apabila ada 2 titik feasible, yang
pertama mempunyai nilai Z lebih tinggi dari pada nilai Z titik yang kedua
maka nilai Z dari semua titik yang berada pada sepanjang garis yang
menghubungkan kedua titik itu akan di bawah nilai Z titik pertama tetapi
pasti di atas nilai Z titik kedua. Sebagai contoh, kita lihat pada Gambar 3.4,
nilai Z pada titik A sebesar 9.000 dan titik B sebesar 12.750 maka nilai Z
pada titik sepanjang A-B pasti di atas 9.000, tetapi di bawah 12.750 sehingga
tidak ada gunanya kita coba nilai Z pada semua titik yang ada, tetapi
sebaiknya khusus pada titik-titik sudut saja.
3. Masalah yang Tidak Memiliki Daerah Feasible
Suatu masalah mungkin tidak memiliki daerah feasible. Hal itu terjadi
kalau letak dan sifat batasan-batasannya sedemikian rupa sehingga tidak
memungkinkan terdapatnya daerah atau alternatif-alternatif pemecahan yang
feasible. Sebagai contoh apabila ada suatu masalah yang formulasinya
sebagai berikut.
Fungsi tujuan
Batasan-batasan
: Maksimumkan Z = 3X1 + 4X2
:(1) 2X1 +X2 >6.000
(2) 2X1 + 3X2 ::;; 9.000
(3) 4X1 + 5X2 2:: 20.000
(4) X1 >0;X2 >0
Kalau persamaan-persamaan batasan di atas digambarkan dalam satu
diagram akan, seperti terlihat pada Gambar 3.8.

3.18
-
~~1 :• ;x!·=-6.:00'0
K
-"
I
Gambar 3.8.
Masalah yang Tidak Memiliki Daerah Feasible
Riset Operasi •
,
Pada gambar tersebut terlihat bahwa batasan pertama mengharuskan
daerah feasible mulai dari garis 2X1 + X2 = 6.000 ke kanan atas, batasan
kedua menghendaki daerah feasible mulai dari garis 2X1 + 3X2 = 9.000 ke
kiri bawah, batasan ketiga menghendaki daerahfeasible mulai dari garis 4X1
+ 5X2 = 20.000 ke kanan atas dan batasan non-negatif menghendaki daerah
feasible pada atau di atas sumbu X1 dan pada atau di sebelah kanan sumbu
X2. Tidak ada daerah yang tidak melanggar batasan, paling tidak salah satu
batasan pasti dilanggar. Oleh karena itu, masalah ini tidak memiliki daerah
feasible sehingga tidak dipecahkan.
4. Pemecahan/Hasil Optimal (Optimal Solution)
Yang disebut dengan pemecahan/hasil optimal adalah hasil pemecahan
yang mempunyai nilai tujuan (Z) terbaik, bisa yang maksimum atau yang
minimum sesuai dengan fungsi tujuannya. Misalnya, pada contoh kita di
depan yang masih dalam bentuk standar, fungsi tujuannya memaksimumkan
sebab mempunyai nilai Z terbesar di antara titik-titik sudut feasible yang
terdapat pada Gambar 3.6, fungsi tujuannya meminimumkan nilai Z = 3X1 +

• EKMA4413/MODUL 3 3.19
4X2 sehingga pemecahan optimal terletak pada titik B, sebab titik B memiliki
nilai Z terkecil di antara semua titik sudutfeasible yang ada (titik B dan D).
5. Masalah yang Memiliki Pemecahan Optimal Lebih dari Satu Titik
(Multiple Optimal Solution)
Suatu masalah mungkin memiliki titik optimal lebih dari satu titik. Hal
ini bisa terjadi apabila gambar fungsi tujuan sejajar dengan salah satu fungsi
batasan yang dilalui oleh garis fungsi tujuan kalau kita geser sejajar. Garis
fungsi tujuan bisa digeser terjauh sampai sejajar dengan salah satu batasan
sehingga ada dua titik sudut feasible yang dilalui oleh garis fungsi tujuan itu.
Kedua titik sudut itu memiliki nilai Z yang sama sehingga ada dua titik yang
terpilih sebagai titik optimal. Titik optimalnya sebenarnya tidak hanya kedua
titik sudut itu saja, melainkan semua titik yang berada di sepanjang garis
yang menghubungkan kedua titik optimal itu. Inilah sebabnya disebut sebagai
multiple optimal solutions. Sebagai contoh, apabila fungsi tujuan pada contoh
yang masih dalam bentuk standar di depan kita ubah menjadi maksimum Z =
2X + 3X maka formulasi masalahnya sebagai berikut.
Fungsi tujuan : Maksimumkan Z = 2X1 + 3X2
Batasan-batasan : (1) 2X1 + X2 ::;; 6.000
(2) 2X1 + 3X2 ::;; 9.000
(3) X1 > o; X2 > o
Pemahamannya, seperti tampak pada Gambar 3.9. Pada gambar itu
terlihat bahwa garis fungsi tujuan kita geser ke kanan atas akan mencapai
tempatfeasible tertinggi pada saat berimpit dengan garis 2X1 + 3X2 = 9.000
sehingga titik B dan C memiliki nilai tujuan (Z) sama, masing-masing
sebesar 9.000 sehingga ada dua titik sudutfeasible yang terpilih menjadi titik
optimal, di samping itu semua titik yang nilai Z-nya sama dengan titik B dan
C dan bisa pula dipilih sebagai titik optimal sehingga masalah ini memiliki
pemecahan optimallebih dari satu titik.

•.
-
B•lDU
-
--
~I
~----------------------------~ ·
Gambar 3.9.
Terdapat beberapa titik optimal, sepanjang garis yang menghubungkan
titik B dan C
6. Masalah yang Tidak Memiliki Pemecahan Optimal
Suatu masalah kemungkinan tidak memiliki pemecahan optimal. Hal ini
bisa disebabkan oleh dua hal, yaitu tidak terdapatnya daerah feasible dan
adanya suatu aktivitas yang tidak terpengaruh oleh batasan apa pun.
a. Masalah yang tidak memiliki daerah feasible
Masalah yang tidak memiliki daerah .feasible seperti yang dikemukakan
pada bagian C di depan. Kalau tidak memiliki daerahfeasible tentu saja
tidak mungkin bisa diperoleh pemecahan optimal.
b. Salah satu aktivitas tidak terpengaruh oleh batasan yang ada
Suatu aktivitas bisa tidak memiliki batasan sehingga bisa menggunakan
sumber daya yang diperlukannya sebanyak yang dibutuhkan. Kalau
keadaannya seperti ini maka aktivitas itu bisa ditingkatkan sebanyak-
banyaknya atau mungkin bisa dikurangi sedikit-sedikit. Andaikata fungsi
tujuannya bersifat memaksimumkan nilai Z maka nilai Z ini tidak bisa
maksimum karena kita selalu bisa menambah tingkat aktivitas tersebut
sehingga nilai Z akan selalu bisa ditambah. Demikian pula kalau fungsi
tujuannya meminimumkan maka beberapa pun pengurangan yang
dilakukan akan bisa terjadi sehingga tidak mungkin diperoleh titik
minimum. Sebagai contoh, misalnya suatu masalah dapat digambarkan
pada Gambar 3.10 di mana aktivitas kedua bisa ditambah semau kita

• EKMA4413/ MODUL 3 3.21
yang terbatas hanya aktivitas pertama saja. Dengan sendirinya kalau
fungsi tujuannya bersifat memaksimumkan maka nilai Z maksimum
tidak bisa dicapai karena masih selalu bisa ditambah.
•
~..
'
Gambar 3.1 0.
Aktivitas Kedua (X2) Selalu Bisa Ditambah sehingga Nilai Z Tidak Bisa
Maksimum
7. Hubungan antara Titik-titik Sudut Feasible
Andaikata suatu titik sudut feasible memiliki nilai Z yang lebih besar
dari dua titik sudutfeasible yang terdekat maka titik itu memiliki nilai Z yang
terbesar di antara semua titik sudut feasible yang ada. Demikian pula
sebaliknya, kalau suatu titik sudut feasible memiliki nilai Z yang lebih kecil
dari dua titik sudutfeasible yang terdekat maka titik itu memiliki nilai Z yang
lebih kecil dari semua titik sudut feasible yang ada. Sebagai contoh masalah
yang formulasinya, seperti tersebut berikut ini dan grafiknya, seperti terlihat
pada Gambar 3.11.
Fungsi tujuan
Batasan-batasan
: Maksimumkan Z = 3X1 + 4X2
: (1) 2x1 + x2 ::; 6.ooo
(2) 2X1 + 3X2::; 9.000
(3) x 2< 2.ooo
(4) XI ::; 2.800
(5) X1 > o; X2> o
Pada titik B, nilai X1= 2800, X2= 400 dan Z = 10.000, pada titik C nilai
X1 = 2.250, X2= 1.500 dan Z = 12.750, sedang pada titik D nilai X1 = 1.500,
x 2 = 2.000 dan z = 12.500. nilai z pada titik c lebih besar dari nilai z pada

BMP EKMA4413 Riset Operasi

BMP EKMA4413 Riset Operasi

BMP EKMA4413 Riset Operasi

Recomendados

Más contenido relacionado

Was ist angesagt?

Was ist angesagt?(20)

Destacado

Destacado(20)

Similar a BMP EKMA4413 Riset Operasi

Similar a BMP EKMA4413 Riset Operasi(20)

Más de Mang Engkus

Más de Mang Engkus(7)

Último

Último(20)

BMP EKMA4413 Riset Operasi