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Black-Scholesの面白さ
- 5. Black-Scholes公式とは
[仮定]
●𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 :時刻tでの株価
●𝐵𝑡 = 𝐵0 exp 𝑟𝑡 : 時刻tでの無リスク債券価格
●𝐶𝑡 : 時刻tでの満期T,行使価格KのEuropean Callオプションの価格
●市場はこの2資産からなり・売り買いが手数料なしで何回でもできる
[結論]
C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t
where
𝑑± =
log
𝑆 𝑡
𝐾
+ 𝑟±
𝜎2
2
𝑇−𝑡
𝜎 𝑇−𝑡
, 𝑁 𝑥 =
1
2𝜋 −∞
𝑥
𝑒−
𝑦2
2 𝑑𝑦
5
- 6. Black-Scholes公式とは
[仮定]
●𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 :時刻tでの株価
●𝐵𝑡 = 𝐵0 exp 𝑟𝑡 : 時刻tでの無リスク債券価格
●𝐶𝑡 : 時刻tでの満期T,行使価格KのEuropean Callオプションの価格
●市場はこの2資産からなり・売り買いが手数料なしで何回でもできる
[結論]
C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t
where
𝑑± =
log
𝑆 𝑡
𝐾
+ 𝑟±
𝜎2
2
𝑇−𝑡
𝜎 𝑇−𝑡
, 𝑁 𝑥 =
1
2𝜋 −∞
𝑥
𝑒−
𝑦2
2 𝑑𝑦
6
- 9. [概観]株価について考える
●𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 とは。。。
𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡
→𝑆𝑡 = 𝑆0exp 𝜇𝑡
𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡
→ノイズが加わっている
𝑊𝑡:はブラウン運動
9
- 10. [概観]株価について考える
●𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 とは。。。
𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡
→𝑆𝑡 = 𝑆0exp 𝜇𝑡
𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡
→ノイズが加わっている
𝑊𝑡:はブラウン運動
[復習](1)𝑊0 = 0 (2) 𝑊𝑡+𝑢 – 𝑊𝑡と 過去の情報𝑊𝑠 𝑠 < 𝑡 は独立
(3) 𝑊𝑡+𝑢 – 𝑊𝑡は平均0,分散uに従うrandom variable
(4) 事象を1つ固定すると、𝑊𝑡はtの関数として連続
10
- 14. この章で考えたいこと
[主張]
𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 としてよい。
[証明]
𝑆 𝑡+Δ𝑡−𝑆𝑡
𝑆𝑡
= 𝜇Δ𝑡 + 𝜎 𝑊𝑡+Δ𝑡 − 𝑊𝑡 を示せば良い
𝑊𝑡はブラウン運動なので
𝑊𝑡+Δ𝑡 − 𝑊𝑡 は正規分布𝑁(0, Δt)に従う
(左辺)= 𝑁(𝜇Δ𝑡, 𝜎 Δt)を示せばよい。
14
- 54. Black-Scholesの面白さ②
C S, t = N d+ S − N d− Ke−r T−t
②公正な価格である
=売り手にも買い手にも公平な価格
=経済学(平衡)な考え方もできる
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得したときに発生する得
の期待値
損したときに発生する損
の期待値
- 75. 参考文献
●Notes on Stochastic Finance
Nicolas Privault(著)
http://www.ntu.edu.sg/home/nprivault/indext.html
無料で手に入る講義ノート
丁寧かつ大量に書いてあって感動する
コードや動画なども埋め込まれている。
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- 76. 参考文献
●Python for Finance: Analyze Big Financial Data
Yves Hilpisch (著)
エンジニア・Pythonかける人向け
コード・手を動かしてファイナンスを理解できる
新しいめの内容も多い
理論的なことはあまり書いてない
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